Einführung in die Meteorologie (met211) - Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

Transkript

1 Einführng in die Meteorologie (met211) - Teil VI: Dnamik der Atmosphäre Clemens Simmer

2 VI Dnamik der Atmosphäre Dnamische Meteorologie ist die Lehre on der Natr nd den Ursachen der Bewegng in der Atmosphäre. Sie teilt sich af in Kinematik nd Dnamik im engeren Sinne 1. Kinematik Diergenz nd Rotation Massenerhaltng -> Kontinitätsgleichng (4. meteor. Grndgl.) Stromlinien nd Trajektorien 2. Die Bewegngsgleichng Newtonsche Aiome nd wirksame Kräfte Naier-Stokes-Gleichng Skalenanalse (geostrophischer Wind+statische Grndgleichng) 3. Zweidimensionale Windssteme natürliches Koordinatensstem Gradientwind nd andere Reibngseinflss af das Vertikalprofil des Windes (Ekman-Spirale) 2

3 VI.1 Kinematik Die Kinematik befasst sich mit der Analse nd Strktr on Windfeldern nter Berücksichtigng der Massenerhaltng ohne Betrachtng der Ursachen (Kräfte). Windfelder lassen sich charakterisieren drch ihre Diergenz (Volmen/lächen)inhalt wächst oder schrmpft) Rotation (Volmen/lächeninhalt konstant, ändern der Asrichtng) Deformation (Volmen/lächeninhalt konstant, Asrichtng konstant) 3

4 VI.1.2 Rotation nd Zirklation rot-operator absolte nd relatie Geschwindigkeit Zirklation als integrales Maß der Rotation Vorticit natürliches Koordinatensstem 4

5 5 Rotation eines Vektorfeldes - Vektor-Prodkt des Nabla-Operators mit einem Vektor - zeta eta i w z z w w k j i w rot z z Ist die Vertikalgeschwindigkeit w= nd sind nd ertikal konstant, dann gilt offensichtlich: k k. Offensichtlich ist die Rotation as der Zeichenebene zm Beobachter gerichtet. Sie wird als zklonal (Zklone!) bezeichnet. Die Rotation ist ein aialer Vektor. Da die Lftströmng großskalig i.w. horizontal ist, hat ς (Vorticit) eine große Bedetng in der Meteorologie. k

6 6 Beispiele w z z w sin L L L 2 cos 2 L/4 L/2

7 Absolte nd Relatie Geschwindigkeit Drch die Erdrotation haben ach af der Erde rhende Gegenstände in einem Sstem, das z.b. in der Sonne erankert ist (gedachtes Inertialsstem), eine on Nll erschiedene Geschwindigkeit. Wir nterscheiden daher zwischen der Geschwindigkeit, welche die Lft relati zr Erde hat (relatie Geschwindigkeit ), nd der Geschwindigkeit, die die Lft in einem Intertialsstem hat (absolte Geschwindigkeit a ). Diese Unterscheidng ist wichtig, da z.b. nr für letzteres das 2. Newtonsche Aiom (Kraft = Masse Beschlenigng) gilt. Die relati zr Erde rhende Lft hat drch die Erddrehng eine absolte Geschwindigkeit, die wir als Mitführngsgeschwindigkeit bezeichnen. a absoltegeschwindigkeit relatie Geschwindigkeit a a Die Operatoren sind über rämliche Ableitngen definiert. Offensichtlich kann sich ach der Effekt des Operators ändern, wenn man zwischen Intertialsstem nd Relati(Erd)sstem wechselt. 7

8 Mitführngsgeschwindigkeit der Erde Wir ernachlässigen die Jahresbahn der Erde m die Sonne (Erde drehe sich nr m sich selbst). Ein af der Erde rhender Pnkt beschreibt dann im Inertialsstem eine Kreisbahn. Eine Kreisbahn ist eine beschlenigte Bewegng, da sich ständig die Richtng ändert. Die Geschwindigkeit des Pnktes af der Kreisbahn R ist die Mitführngsgeschwindigkeit; sie ist offensichtlich on der Breite φ abhängig. R=r cosφ r R φ φ λ R Rotationsektor der Erddrehng: d 2 dt ,27221 rad/s i dλ Abstand on der Rotationsachse R Erdradis R ds=rdλ ds d R i R i R i r cos i dt dt r sin( ) i r 2 sin Definition des Vektor (Krez)-Prodktes 8

9 Rotation der Absoltgeschwindigkeit ür die Absoltgeschwindigkeit eines sich af der Erde bewegenden Teilchens gilt also : a r ür deren Rotation gilt: a r 2 as r Weiter gilt für die z-komponente der Rotation (Vorticit) a k k a mit k 2 nd geografischebreite ( r ) ( ) r ( r ) r ( ) 2sin f mit a f absolte Vorticit relatie Vorticit 2sin Coriolisparameter 9

10 mit f Vorticitgleichng f absolte Vorticit relatie Vorticit 2sin Coriolisparameter Pol z Äqator k f ist die Rotation m die lokale Vertikale, die drch die Erddrehng erzegt wird (NH positi, SH negati). Ist der Drehsinn der Relatibewegng so wie der Drehsinn der Erde, nennt man diesen zklonal; zklonal heißt also af der NH gegen Uhrzeigersinn af der SH im Uhrzeigersinn. ür die absolte Vorticit lässt sich nter barotropen Verhältnissen (keine Vertikaländerngen des Horizontalwindes nd keine horizontalen Dichteänderngen) ableiten (barotrope Vorticitgleichng): dη dt = η h h. Konergenz erhöht die Vorticit nd Diergenz redziert sie. Bei zsätzlicher Diergenzfreiheit führt eine Nordwärtsbewegng eines Tief af der NH z seiner Abschwächng nd Südwärtsbewegng z einer Verstärkng. 1

11 Vorticit nd Zirklation (1) So wie die Diergenz als differentieller Operator drch den Gassschen Satz ein integrales Äqialent in D drch den lss über den Rand eines Gebietes hat, so hat ach die Rotation als differentieller Operator ebenfalls ein integrales Äqialent, nd zwar in der Zirklation C drch den Stokesschen Satz: C C ) ) dl cosdl ) dl Satz on Stokes rot d ) α dl Zr Berechnng des lächenintegrals der Rotation genügt also der Wind af dem Rand des Gebietes. Dies ist schwieriger z erstehen als der Gasssche Satz. 11

12 Vorticit nd Zirklation (2) C ) dl Satz on Stokes rot d Herrscht im Inneren der läche eine andere Drehrichtng (Rotation) als af dem Rand, so wird diese bezüglich der Rotation überkompensiert drch die mso stärkere Scherorticit in der Nähe des Randes. 12

13 Vorticit nd Zirklation (3) - Geschwindigkeit sei horizontal - C h ) h dl rot h d k d d k d also 1 1 dch d Ch dch d dch d daras folgt: C h Letztere Beziehng gibt ns eine Vorschrift zr Berechnng der Vorticit as endlich oneinander entfernten Messngen. 13

14 Vorticit bei Kreisbewegng in der Ebene C h ) ) r ) dl rd 2 d ) Kreis- ) bewegng dl dt 2r dl rd 2 C h 2 ) 2 da r 2 r Kreisfläche dl d rd dt 2 dl d r dl rd d dt Bei Kreisbewegng in der Ebene ist die Vorticit identisch mit der zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömng m das Zentrm. Vergleiche das analoge Ergebnis für die Rotation eines af der Erde rhenden Pnktes. 14

15 Natürliches Koordinatensstem Zr Unterschng on Strömngen ist es oft nützlich anstatt des starren nd ortsfesten kartesischen Koordinatensstems ein Koordinatensstem z erwenden, das an die Strömng selbst gebnden ist. Betrachtet man einen sehr kleinen Asschnitt as einer beliebigen dreidimensionalen Strömng, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens affassen. n s Ein geeignetes Koordinatensstem wird dann festgelegt drch drei Einheitsektoren in Richtng n - des Windrichtngsektors (s ) - des Vektors senkrecht daz nach links in der Strömngsebene (dieser ist dann parallel zr Richtng zm hpothetischen Kreismittelpnkt) (n ) - der Normalen af der Ebene des Kreises (k). s, s n k s, n, k bildeneinrechtssstem s 15

16 Krümmngs- nd Scherngsorticit (a) R s n Das natürliche Koordinatensstem erlabt eine formale Trennng zwischen Krümmngs- nd Scherngsorticit. Berechnng der Zirklation nd Vorticit über den schraffierten Bereich nter der Annahme, dass Δβ sehr klein ist: V C V ( s s) V ns n s V + Δ n s' = n V V V s V s V s ns n V V s V s n s V ns n n ns V V n s, n s n ( s s ') n s mit R lim, s n s s C ns V n V R Krümmngsradis s 16

17 Krümmngs- nd Scherngsorticit (b) + + a b V n V R s Scherngsorticit Krümmngsorticit 17

18 Übngen z VI Schätze die Zirklation nd die relatie Vorticit des Horizontalwindes für ein Gebiet bei 5 Nord mit 1 km Süd-Nord nd 1 km Ost-West-Erstreckng ab, bei dem an den zentralen Pnkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite folgende Windmessngen orliegen: Ostwind mit 1 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s, Nordostwind mit 1 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den erhaltenen Wert für die relatie Vorticit mit der Vorticit der Erddrehng. Wie ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher nd an der Ostseite 1 m/s niedriger ist? 2. Berechne die absolte nd relatie Vorticit eines Lftolmens, dass sich bei 5 nördlicher Breite kreisförmig m ein Hoch bzw. Tief im Abstand on 25 km om Zentrm mit 1 m/s relati zr Erdoberfläche bewegt. 3. Zeige r 2 as r ( r ) ( ) r ( r) r ( ) 18