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1 9 Determinanten Historisch von großer edeutung war die Fragestellung, ob ein gegebenes lineares Gleichungssystem eine Lösung besitzt Zu einer gegebenen Matrix ist man daran interessiert diese Lösbarkeit möglichst direkt zu charakterisieren Dies hat zur Entwicklung der sogenannten Determinanten einer Matrix (lat determinare: abgrenzen, bestimmen ) geführt, die jeder Matrix eine Zahl zuordnet, an der man die Lösbarkeit direkt ablesen kann - diese determiniert also die Lösbarkeit des Gleichungssystems Determinanten sind jedoch nicht nur zur Lösung von Gleichungssytemen interessant, sondern mit ihrer Hilfe lässt sich bequem ein Volumen in mehreren Dimensionen berechnen, was von großer praktischer edeutung in der Integrationstheorie in mehreren Dimensionen ist Auch zur estimmung der Diagonalisierbarkeit einer Matrix wird die Determinante ein entscheidenes Hilfsmittel sein Zunächst seien aber zwei Spezialfälle betrachtet () etrachtet man ein lineares Gleichungssystem für Unbekannte ax = b, so ist dies genau dann lösbar, wenn a 6= gilt Daher definiert man als Determinante det (a) := a und das System ist lösbar für det(a) 6= FürdieLösunggiltindiesemFall x = b a = det b det a (2) etrachtet man ein lineares Gleichungssystem für 2 Unbekannte a a 2 x b =, a 2 a 22 x 2 b 2 so findet man durch Umformungen das äquivalente System a a 22 a 2 a 2 x a22 b = a 2 b 2 a a 22 a 2 a 2 x 2 a b 2 a 2 b Dieses System kann man genau dann lösen, falls a a 22 a 2 a 2 6=gilt Daher führt man für 2 2 Matrizen die Determinante ein als a a det 2 := a a 2 a a 22 a 2 a

2 9 Determinanten und das System ist genau dann die Lösung b det b2 a22 b a2 b2 x = = a a22 a2 a2 a det a2 lösbar, falls det A 6= gilt In diesem Fall gilt für a2 a22, a2 a22 x2 = a b2 a a22 a2 b a2 a2 a det a2 = a det a2 b b2 a2 a22 Ein solches Lösbarkeitskriterium und die Darstellung der Lösung möchte man gerne für Matrixgleichungen beliebiger Größe besitzen Gesucht ist daher nach einer Verallgemeinerung dieses Vorgehens für Matrizen Kn n für alle natürlichen Zahlen n 2 N 9 Definition und Eigenschaften Definition 9 (Determinante) Für einen Körper K heißt eine Abbildung det : Kn n! K, A 7! det A, die Determinante einer Matrix, falls gilt: (D) Linearität: det ist linear in jeder Zeile, dh für alle i =,, n gilt: etrachtet man zu einer Matrix alle Zeilen als fest und variiert nur die i-te Zeile, so ist diese Abbildung (i) additiv T atz, az, det atz,i + btz,i = det atz,i + det btz,i, A A A atz,n atz,n atz,n atz, (ii) homogen atz, det atz,i = A atz,n atz, det atz,i A atz,n (D2) Alternierend : Sind in einer Matrix A zwei Zeilen identisch, so gilt det A = (D3) Normierung: Für die Einheitsmatrix gilt det n = 84

3 9 Definition und Eigenschaften Sofort lässt sich fragen, wie sich die Determinante ändert, wenn man elementare Zeilenumformungen auf einer Matrix ausführt Direkt aus der Definition findet man dazu folgendes Satz 92 (Determinante bei Zeilenumformungen) Eine Determinante det : K n n! K hat die folgenden Eigenschaften: (I) ei Zeilenumformungen vom Typ (I) ändert die Determinante das Vorzeichen, dh vertauscht man zwei Zeilen einer Matrix, so gilt det =( ) det A A Dies begründet auch die ezeichnung alternierend (II) ei Zeilenumformungen vom Typ (II) ändert sich die Determinante um den Faktor, dh multipliziert man eine Zeile der Matrix mit einer Zahl 2 K, sogilt erhält man det a T Z,iA = det A (III) ei Zeilenumformungen vom Typ (III) ändert sich Determinante nicht, dh addiert man das -fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile (i 6= j), dann gilt det + =det A at Z,j A 85

4 9Determinanten eweis (I) Aus der Additivität bzgl einer Zeile (D),(i) und der Eigenschaft (D2) folgt det +det =det +det +det +det A A A A A A {z } = + at Z,j =det +det =det = + at Z,jA + at Z,jA + at Z,jA {z } = (II) Ist die Definition (D),(ii) (III) Aus (D) und (D2) folgt + at Z,j det =det A + det A {z } = =det A A Anhand der definierenden Merkmale lassen sich ebenso direkt weitere Eigenschaften der Determinante ableiten Satz 93 (Eigenschaften der Determinante) Eine Determinante det : K n n! K hat die folgenden Eigenschaften: (i) Ist eine Zeile der Matrix gleich Null, so gilt det A = (ii) Multipliziert man die Matrix mit einer Zahl 2 K, so gilt det ( A) = n det A (iii) Für eine obere Dreiecksmatrix gilt 2 det A = 2 n, n dh die Determinante ist das Produkt der Diagonaleinträge 86

5 9 Definition und Eigenschaften (iv) Eine Matrix A 2 K n n ist genau dann invertierbar, wenn det A 6= ist, dh det A =, Rang(A) <n (v) Es gilt der Determinanten-Multiplikationssatz: FüralleA, 2 K n n gilt det (A ) = det A det (vi) Für eine invertierbare Matrix A 2 K n n (dh für det A 6= )gilt det A =(deta) = det A eweis Aus der Homogenität bzgl einer Zeile in (D),(ii) findet man durch die Wahl =die Aussage (i) und durch das n-fache Anwenden auf jede Zeile mit gleichem 2 K die Aussage (ii) (iii) Gilt i 6= für alle i =,,n, dann kann man die Matrix durch elementare Zeilenumformungen vom Typ (III) auf Diagonalgestalt bringen, indem man alle Einträge oberhalb der Diagonalen durch Addition eines geeigneten Vielfachen zu Null macht Dadurch ändert sich die Determinante nicht Man kann nun noch die linearen Faktoren zeilenweise herausziehen und findet mit det n =(D3) schließlich die Aussage durch 2 det A =det 2 A = 2 n det n n n Ist hingegen i =für mindestens ein apple i apple n, so wählt man das Maximale von diesen, macht durch Addition geeigneter Vielfacher der Zeilen j = i +,,n die Einträge der i-ten Zeile zu Null und hat nun eine Nullzeile in der Matrix Daher ist die Determinante Null, aber ebenso das Produkt der i (iv) Durch elementare Zeilenumformungen vom Typ (I) und (III) formt man die Matrix A in eine Matrix A, e 2 ea = A, n mit oberer Dreiecksgestalt um Für diese gilt det A e = ± det A und man hat Rang( A)= e Rang(A) Diese Matrix hat nun vollen Rang genau dann wenn alle i 6= sind Dann gilt aber auch Rang(A) =Rang( e A)=n, det A = ± det e A = ± n 6= 87

6 9Determinanten (v) Gilt Rang(A) <n,dannauchrang(a ) <nund die Aussage folgt mit (iv), da beide Seiten dann Null sind Für eine Matrix mit vollem Rang lässt sich diese durch ein Produkt von Elementarmatrizen darstellen A = E E s Die Elementarmatrizen vom jeweiligen Typ gehen durch elementare Zeilenumformung aus der Einheitsmatrix hervor, daher gilt mit den Eigenschaften der Determinante unter elementaren Zeilenumformungen det E I ij =( ) det n =, det E II i ( )= det n =, det E III ij ( ) = det n = Nun bewirken die Elementarmatrizen bei Multiplikation auch dieselben Operationen, dh es gilt det (E I ij ) = ( ) det = det(e I ij) det, det (E II i ( ) ) = det = det(e II i ( )) det, det (E III ij ( ) ) = det = det(e III ij ( )) det, und daher gilt det (E ) =dete det für alle Elementarmatrizen E Nunfolgtdamit det (A ) =det(e E s ) =dete det E s det =det(e E s ) det =deta det (vi) Folgt direkt aus (v) und det n =(D3) durch = det ( n )=det(a A ) = det (A) det A emerkung 94 Im Allgemeinen kann man keine Aussage über die Determinante einer Summe von Matrizen treffen, dh es gilt im Allgemeinen für beliebige A, 2 K n n det (A + ) 6= deta +det Die bisher gezeigten Eigenschaften gelten für jede Determinantenfunktion und konnten direkt aus den Definitionen (D)-(D3) gewonnen werden Jedoch steht noch aus zu zeigen, dass überhaupt für jedes n 2 N eine Funktion mit solchen Eigenschaften existiert Zudem lässt sich fragen, ob auch mehrere verschiedene Funktionen mit diesen Eigenschaften (D)-(D3) existieren können Die zweite Frage nach der Eindeutigkeit soll zuerst beantwortet werden Die Existenz der Determinantenfunktinon wird durch die Angabe einer expliziten erechnungsformel folgen 88

7 92 erechnung von Determinanten Satz 95 (Eindeutigkeit der Determinante) Für n 2 N seien det, det : K n n! K zwei Abbildungen mit den Eigenschaften (D)- (D3) Dann gilt det A =det A für jede Matrix A 2 K n n,dhesgibthöchstenseine Determinantenfunktion eweis Gilt Rang(A) <n,soauchdet A ==det A und die Aussage ist richtig Ist hingegen Rang(A) =n, dann lässt sich die Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix n umformen und für diese gilt wegen (D3) immer det n = = det n Nun kann man die Zeilenumformungen wieder rückgängig machen und erhält dieselben Vorfaktoren bei Zeilenumformungen für det und det,dhschließlich det A =det A 92 erechnung von Determinanten Aus den Eigenschaften der Determinanten ergibt sich direkt ein praktisches Vorgehen zur erechnung der Determinanten Satz 96 (erechnung einer Determinanten) Wird die Matrix A durch Zeilenvertauschungen und die Addition geeigneter Vielfacher von Zeilen zu anderen Zeilen (elementare Zeilenumformungen (I) und (III)) in eine Matrix A e mit A A e = 2 A n in oberer Dreiecksgestalt umgeformt und werden dabei k Zeilenvertauschungen durchgeführt, dann gilt det A =( ) k det e A =( ) k n eweis Ergibt sich direkt aus den obigen Eigenschaften der Determinante eispiel 97 Man findet 5 2 det 2 3 3A =( ) det 5 2A =( =( ) 2 5 4= 4, ) det 5 2A 4 da man bei der Transformation auf Dreiecksgestalt eine Zeilenvertauschung benötigt 89

8 9Determinanten Dieses Vorgehen ist in der Praxis ein sehr effizientes Vorgehen Man kann aber auch für die erechnung eine (deutlich aufwändigere) Formel angeben und durch diese Angabe einer expliziten erechnungsformel wird die Existenz der Determinante gesichert Definition 98 (Untermatrix) Für eine Matrix A 2 K n n bezeichnet A ij 2 K (n ) (n ) diejenige Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte aus A entsteht eispiel 99 Man findet für A = A = A 23 = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 A = A = A: a 22 a 23 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 32!! Satz 9 (Laplacescher Entwicklungssatz nach einer Spalte) Die Determinante einer Matrix A 2 K n n lässt sich induktiv berechnen: Für n =und A =(a ) 2 K setzt man det A := a Für n det A = 2 und A 2 K n n berechnet man für eine beliebige Spalte j 2 {,,n} ( ) i+j a ij det A ij (Entwicklung nach der j-ten Spalte) i= eweis Der eweis wird als Induktion über n geführt: Für n =erfüllt die angegebene Formel det A := a die Eigenschaften (D)-(D3) direkt Sei also n 2 und angenommen, dass die obige erechnungsformel für Matrizen K (n ) (n ) eine Determinante mit den Eigenschaften (D)-(D3) ist (Induktionsannahme) Nun folgert man, dass die Formel für Matrizen A 2 K n n eine Determinante ist: (D) Um die Linearität bzgl einer Zeile zu zeigen, wähle man beliebig die k-te Zeile Dann findet man in jedem der Summanden ( ) i+j a ij det A ij die Einträge der k-ten Zeile entweder nur in den a ij (falls k = i und daher die k-te Zeile in A ij gestrichen ist) oder nur in A ij (falls k 6= i) Im ersten Fall ist der Summand damit linear in der k-ten Zeile, im zweiten Fall ebenfalls nach Induktionsvoraussetzung Somit ist für die Entwicklungsformel jeder Summand linear bzgl der k-ten Zeile und daher auch die gesamte Summe 9

9 92 erechnung von Determinanten (D2) Seien in A die k-te und l-te Zeile gleich Für i/2 {k, l} sind dann in A ij ebenfalls zwei Zeilen gleich, da keine dieser beiden Zeilen gestrichen wird und nach Induktionsvoraussetzung gilt somit det A ij =für i/2 {k, l} DieFormelvereinfachtsichzu det A = ( ) i+j a ij det A ij i= =( ) k+j a kj det A kj +( ) l+j a lj det A lj =( ) j a kj (( ) k det A kj +( ) l det A lj ) denn wegen der Zeilengleichheit gilt zudem a kj = a lj für jedes apple j apple n Nunbetrachtet man die beiden Untermatrizen A kj und A lj genauer: Gilt k l =so sind die beiden identischen Zeilen direkt untereinander und es ist egal, welche der Zeilen man streicht, dh det A kj =deta lj Liegen zwischen den beiden identischen Zeilen genau eine weitere Zeile, l k =2,sokannmandurcheineZeilenvertauschungdet A kj in det A lj überführen Im Allgemeinen gilt: Liegen die identischen Zeilen den Abstand l k auseinander, so benötigt man l k Zeilenvertauschungen, um det A kj in det A lj zu überführen Nach Induktionsvoraussetzung gilt somit det A kj =( ) l k det A lj Man findet (ohne Einschräkung sei l>k) det A =( ) j a kj (( ) k ( ) l k det A lj +( ) l det A lj ) =( ) j a kj (( ) l +( {z ) l ) det A } lj = = (D3) Nach Induktionsvoraussetzung gilt det n =und daher auch det ( n )=( ) j+j det (( n ) jj )=( ) 2j det ( n )= eispiel 9 Man berechnet somit die Determinante einer 3x3 Matrix nach der ersten Spalte zu a a 2 a 3 det a 2 a 22 a 23 A a 3 a 32 a 33 = a22 a a det 23 a2 a a a 32 a 2 det 3 a2 a + a 33 a 32 a 3 det 3 33 a 22 a 23 = a a 22 a 33 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 3 a 32 + a 3 a 2 a 23 a 3 a 3 a 22 Dies wird auch als Regel von Sarrus bezeichnet Man merkt sich diese, indem man die ersten beiden Spalten noch einmal hinter die Matrix schreibt und dann die Diagonalen multipliziert, mit + oder gewichtet und aufsummiert Ebenso merkt man sich auch die Regel für 2 2 Matrizen graphisch wie folgt: 9

10 9 Determinanten + a + a2 + a3 a a2 + a a2 a2 a22 a23 a2 a22 a2 a22 a3 a32 a33 a3 a32 Für 2 2: Für 3 3: Die Zeilen scheinen gegenüber den Spalten einer Matrix gemäß der Definition (D)-(D3) eine ausgezeichnete Rolle zu spielen Dies ist jedoch nicht der Fall, denn man könnte analog auch eine Determinante über die Spalten definieren Dies sieht man an folgenden Aussagen, die man auch zur Definition der Determinante verwenden könnte Satz 92 (Spalteneigenschaften der Determinante) Für die Determinante einer Matrix A 2 Kn n gilt: (D) det ist linear in jeder Spalte (D2) Sind in einer Matrix A zwei Spalten identisch, so gilt det A = eweis (D) : Um zu sehen, dass die Determinante linear in der j-ten Spalte ist, schaut man sich die Entwicklung nach dieser Spalte an, det A = n X i= ( )i+j aij det Aij Da die Aij nicht von der gestrichenen j-ten Spalte abhängt, ist dies offensichtlich linear in dieser Zeile, denn es hängt bis auf Faktoren nur von aij ab (D2) : Sind zwei Spalten einer Matrix identisch, dann gilt Rang(A) < n und somit det A = Aus dieser Symmetrie lässen sich aber auch direkt zwei Folgerungen ableiten Satz 93 (Determinante der Transponierten) Für die Determinante jeder Matrix A 2 Kn n gilt det A = det AT eweis Man zeigt direkt, dass auch die Abbildung det : A 7! det AT die Eigenschaften einer Determinante hat: (D) det AT ist linear in den Spalten von AT und somit linear in den Zeilen von A (D2) Sind zwei Zeilen in AT identisch, dann ist Rang(AT ) < n und somit det AT = (D3) Für die Einheitsmatrix gilt det Tn = det n = Aufgrund der Eindeutigkeit der Determinantenfunktion gilt daher die obige Gleichheit 92

11 92 erechnung von Determinanten Damit lässt sich eine Determinante auch nach einer Zeile entwickeln Satz 94 (Laplacescher Entwicklungssatz nach einer Zeile) Für n 2 lässt sich die Determinante einer Matrix A 2 K n n induktiv nach einer beliebigen Zeile i 2 {,,n} berechnen durch det A = ( ) i+j a ij det A ij (Entwicklung nach der i-ten Zeile) j= eweis Man wendet die Entwicklung nach einer Spalte auf A T an und benennt die Indizes um: det A =deta T = ( ) i+j a T ij det A T ij = ( ) i+j a ji det A ji = i= ( ) i+j a ij det A ij j= Die Zeilenentwicklungsformel ist von der Form her einer Matrixmultiplikation sehr ähnlich Daher definiert man die sogenannte komplementäre Matrix Definition 95 (Komplementäre Matrix) Für eine Matrix A 2 K n n ist die komplementäre Matrix A # 2 K n n definiert durch a # ij := ( )i+j det A ji Damit lässt sich die inverse Matrix als Formel angeben Satz 96 (Darstellung der inversen Matrix) Für eine Matrix A 2 K n n gilt A A # =(deta) n bzw falls A invertierbar: A = det A A# eweis Gemäß Entwicklung nach der k-ten Zeile gilt (A A # ) ik = a ij a # jk = ( ) k+j a ij det A kj =deta, j= j= wobei die Matrix A aus A entsteht, indem man die k-te Zeile durch die i-te ersetzt Somit folgt ( (A A # det A, i = k, (A = A) ) ik =, i 6= k, (A enthält zwei identische Zeilen) i= 93

12 9 Determinanten eispiel 97 Für A 2 K2 2 mit det A 6= gilt a a2 a22 A = = a2 a22 a2 a a22 a2 a2 a2 a = A# det A Satz 98 (ramersche Regel) Für A 2 Kn n mit det A 6= und b 2 Kn sind die eindeutigen Lösungen des Gleichungssystems Ax = b gegeben durch a a,i b a,i+ an xi = det A det A an an,i bn an,i+ ann eweis Die Lösung linear kombiniert die Spaltenvektoren von A zum Vektor b gemäß und somit gilt auch x as, + + xi as,i + + xn as,n = b x as, + + (xi as,i b) + + xn as,n = Damit sind diese Vektoren linear abhängig und die Determinante der daraus gebildeten Matrix verschwindet Es folgt = det (as,,, xi as,i b,, as,n ) = xi det (as,,, as,i,, as,n ) det (as,,, b,, as,n ) Die Fälle der ramerschen Regel für n =, 2 sind bereits in der Einleitung des Kapitels aufgetreten Hier findet sich also die gewünschte Verallgemeinerung für beliebige Dimensionen Es gibt noch eine weitere Möglichkeit die Determinante einer Matrix zu berechnen Dabei verwendet man die Vertauschungen der Zahlen bis n Definition 99 (Permutationen) Für jede natürliche Zahl n 2 N bezeichnet Sn die Menge aller bijektiven Abbildungen : {,, n}! {,, n} Die Elemente von Sn heißen Permutationen Eine Permutation, die zwei benachbarte Zahlen vertauscht und alle anderen fest lässt, heißt Nachbarnvertauschung und jede Permutation lässt sich als Hintereinanderausführung von Nachbarnvertauschungen auffassen Das Signum einer Permutation ist definiert durch ( +, falls einer geraden Anzahl an Nachbarnvertauschungen entspricht, sign( ) :=, falls einer ungeraden Anzahl an Nachbarnvertauschungen entspricht 94

13 93 Determinante eines Endomorphismus Damit lässt sich die Formel von Leibniz angeben Satz 92 (Leibnizsche Formel) Die Determinante einer Matrix A 2 Kn n lässt sich berechnen durch X det A = sign( ) a, () an, (n) (Summe über alle Permutationen) 2Sn emerkung 92 Die ramersche Regel als auch die Determinantenformeln von Laplace und Leibniz sind in der Praxis (außer für sehr kleine Matrizen) nicht brauchbar, da sie viel Rechenaufwand für große n benötigen (die Anzahl der Permutationen und damit der Summanden ist: n!) Praktisch bestimmt man daher Lösungen und Determinanten durch das Umformen auf Dreiecksgestalt mit dem Verfahren von Gauß Aus theoretischer Sicht sind diese Formel jedoch sehr interessant, denn an der Formel von Leibniz sieht man, dass (für den Fall K = R oder ) die Determinante ein Polynom in den Einträgen der Matrix ist und somit nach diesen differenzierbar und damit stetig ist Ebenso zeigt die ramersche Regel, dass die Lösung x eines Gleichungssystem Ax = b stetig von A und b abhängt emerkung 922 Unter einem n-dimensionalen Parallelotop (Parallelogramm in 2D, Spat in 3D) versteht man zu den Vektoren a,, an die Menge P (a,, an ) = { a + + n an i für alle i n} Das n-dimensionale Volumen, das von P beschreiben wird, kann man mit Hilfe der Determinanten berechnen, indem man die Vektoren als Spalten einer Matrix verwendet: Vol(P (a,, an )) = det(a,, an ) 93 Determinante eines Endomorphismus Die Determinante ist zunächst nur für eine Matrix definiert Man kann jedoch auch einem Endomorphismus (einer linearen Abbildung eines Vektorraums auf sich selbst) eine Determinante zuordnen Definition 923 (Determinante eines Endomorphismus) Sei V ein K-Vektorraum und f : V! V eine lineare Abbildung Sei die lineare Abbildung bzgl einer (beliebig gewählten) asis als Matrix M, (f ) dargestellt Dann ist die Determinante von f definiert durch det f := det (M, (f )) Es lässt sich fragen, ob diese Definition sinnvoll ist, da die Matrixdarstellung von der asiswahl abhängt und damit auch die Determinante des Endomorphismus bei verschiedener Wahl der asis verschieden sein könnte Dies ist zum Glück nicht der Fall 95

14 9Determinanten Satz 924 (Ähnlich Matrizen haben dieselbe Determinante) Ähnliche Matrizen haben dieselbe Determinante eweis Sind zwei Matrizen A, e A ähnlich, dann gibt es eine invertierbare Matrix S, so dass e A = SAS gilt Damit folgt auch det( e A) = det(sas )=det(s)det(a)det(s )=det(s)det(s) det(a) = det(a) Satz 925 (Eindeutigkeit der Determinante eines Endomorphismus) Die Determinante eines Endomorphismus ist von der asiswahl unabhängig eweis Seien und e zwei asen Dann gilt M e, e (f) =T e, M, (f) T e, und die Darstellungsmatrizen sind ähnlich, haben also dieselbe Determinante 96

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