Name, Klasse, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Anna Lena Frtunic, EF, 14/15 x Erwartungswert
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- Werner Fiedler
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1 Anna Lena Frtunic, EF, 14/15 x Erwartungswert In einem Geschäft stehen drei Glücksräder mit jeweils acht gleich großen Feldern mit den Zahlen von 1 bis 8. Es gibt nun einen Rabatt auf die Ware, welcher sich aus den jeweils gedrehten Zahlen ergibt. Nr.1 a) Welchen durchschnittlichen Rabatt kann man bei nur einem Glücksrad erwarten? b) Welchen durchschnittlichen Rabatt kann man für alle drei Glücksräder erwarten? Am nächsten Tag gibt es eine Sonderaktion! Wenn man es schafft dreimal die gleiche Zahl zu drehen werden sofort 35% Rabatt gutgeschrieben, ansonsten gibt es weiterhin für jede Zahl die entsprechenden Prozente. Nr.2 Welchen durchschnittlichen Rabatt kann man bei der Sonderaktion erwarten? Nr.1 a)1% x 1/8+2% x 1/8+3% x 1/8+4% x 1/8+5% x 1/8+6% x 1/8+7% x 1/8+8% x 1/8 = 4,5% b)4,5% x 3 = 13,5% Nr.2 13,5% x 504/ % x 8/512 = 13,84%
2 Sarah Nietsch, EF, 2014 X Erwartungswert In einem Schreibwarengeschäft kann man bis zu 30% Rabatt bekommen. Wenn man 4 Bleistifte (jeweils 3 Seiten mit der Beschriftung 1-3) wirft und 4 gleiche Zahlen bekommt, bekommt man 30% Rabatt. Bei 3 gleichen Zahlen 20% und bei 2 gleichen Zahlen 10% Rabatt. Berechne den Erwartungswert! Möglichkeiten: Insgesamt gibt es 81 Möglichkeiten. 4 (30%) à 3 Möglichkeiten 3 (20%) à 24 Möglichkeiten 2 (10%) à 54 Möglichkeiten 30 x 3/ x 24/ x 54/81 13,704% Der Erwartungswert beträgt ungefähr 13,704%.
3 Vanessa Clemens, Q2, 2015 * Beim Winterfest kann für 10 Euro Einsatz ein Glücksrad mit 4 gleich großen Feldern 3 mal pro Person gedreht werden. Die Felder sind von 1-4 nummeriert. Die gedrehten Zahlen werden addiert und die Summe wird in Euro ausgezahlt. a) Wie groß ist der Erwartungswert für die Auszahlung an jeden Spieler? b) Machen die Spieler voraussichtlich Gewinn oder Verlust? Wie hoch ist der Gewinn/Verlust? a) (1 0,25+2 0,25+3 0,25+4 0,25)=2,5 2,5 3=7,5 Antwort: Der Erwartungswert für die Auszahlung an jeden Spieler beträgt 7,50 Euro. b) 10 7,5=2,5 Antwort: Jeder Spieler macht voraussichtlich 2,50 Verlust.
4 Stochastik- Symmetrisches Zufallsexperiment Aufgabe: Eine Münze wird dreimal geworfen. Berechnen Sie den Erwartungswert für die Seite Kopf. K Z X P(x) X= Anzahl der Würfe P(x)= Wkt. für Kopf bei x-würfen Münze K Z K Z K Z K Z K Z K Z K Z -gibt insg, 8 Möglichkeiten: KKK KKZ KZK KZZ ZKK ZKZ ZZK ZZZ A: Bei drei Würfen kann man also erwarten, dass 1,5mal die Seite Kopf geworfen wird.
5 Stochastik- Nichtsymmetrisches Zufallsexperiment Aufgabe: Anna möchte an einem Glückspiel teilnehmen. Allein für die Teilnahme muss sie 5 Euro investieren, danach kann sie einmal an dem Glücksrad drehen. Je nachdem welche Zahl 7 13 gedreht wird, so viel Euro wird ihr auch ausgezahlt. 3 Frage: Ist ein Gewinn oder ein Verlust zu erwarten und wenn ja, wie viel? X P(x) Antwort: Im Durchschnitt ist Euro Gewinn zu erwarten.
6 Vanessa Clemens, Q2, 2015 * Joachim Lambert verteilt bei Lets's Dance Punkte von Es nehmen 20 Tanzpaare an der Veranstaltung teil. Wie viele Punkte verteilt er im Erwartungswert? Punkte Anzahl ( ):20 = ( ):20 = 126 : 20 = 6,3 Antwort: Joachim Lambert verteilt im Erwartungswert 6,3 Punkte.
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8 Lennart Zimmermann X Symmetrischer Erwartungswert Wir untersuchen im nun Folgenden einen Spielautomat. Der Einsatz pro Spiel kostet 2 Euro. Eine Tabelle informiert, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen ausgezahlten Betrag in Euro ist. 1. Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn ( Erwartungswert )? 2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt/verliert man das Spiel? Ist das Spiel fair? Begründe deine Meinung. Betrag in 0 0,3 1 0,25 2 0,2 3 0,15 4 0,1 p 1. E(X)= 0 0, , , , ,1 = 1,5 Der durchschnittliche Gewinn beträgt 1,5. 2. Gewinn: X 3 = = 0.25 Niederlage: X 1 = = 0.55 Man gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% und verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% das Spiel. Das Spiel ist nicht fair, da der Automatenbetreiber durchschnittlich 0,5 verdient und man selber mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% sein Geld verliert.
9 Scanned by CamScanner
10 Scanned by CamScanner
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12 Marvin Annen, EF, 2014/2015 X Stochastik Ein Geschäftsinhaber überlegt sich eine "Rabattaktion" um neue Kunden zu gewinnen. Der Kunde darf 3 mal Würfeln. Pro gewürfelte 1 bekommt er 10% Rabatt. Frage: Mit Wie viel Verlust muss der Geschäftsinhaber im Durchschnitt pro Kunde rechnen? 1x1 = (1/6*5/6*5/6)*3 = 25/72 2x1 = (1/6*1/6*5/6)*3 = 5/72 3x1 = (1/6*1/6*1/6)*3 = 1/72 10*25/72+20*5/72+30*1/72 = 95/18 = Antwort: Der Geschäftsinhaber muss mit ungefähr 5.278% Verlust pro Kunde im Durchschnitt rechnen.
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14 Lennart Zimmermann XX Asymmetrischer Erwartungswert Wir untersuchen im nun Folgenden einen Spielautomat. Das erste Spiel kostet 3, das zweite Spiel kostet 2 und das dritte Spiel kostet nur noch 1. Nach jeder Runde kann man aufhören. Eine Tabelle informiert, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen ausgezahlten Betrag in Euro ist. 1. Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn ( Erwartungswert )? Ist das Spiel deiner Meinung nach fair? 2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, a) dass man Geld verliert? b) dass man sein Geld behält? Betrag in 1 0,4 2 0,3 3 0,15 4 0,1 5 0,05 p 1. E(X) = (1 0, , , , ,05) 3 = 6,3 Der durchschnittliche Gewinn beträgt 6,3. Ja, das Spiel ist fair, da der durchschnittliche Gewinn sogar höher als der Einsatz ist. 2. A) 3 = = 1-1-2; 1-2-1; P(1-1-1) = 0.4³ = P(1-1-2; 1-2-1; 2-1-1) = = 1-1-3; 1-2-2; 1-3-1; 2-1-2; 2-2-1; P(1-1-3; 1-2-2; 1-3-1; 2-1-2; 2-2-1; 3-1-1) = 0.18 P(insgesamt) = = Mit einer Wahrscheinlichkeit von 38,8% verliert man Geld. B) 6 = 1-1-4; 1-2-3; 1-3-2; 1-4-1; 2-1-3; 2-2-2; 2-3-1; 3-1-2; P(1-1-4; 1-2-3; 1-3-2; 1-4-1; 2-1-3; 2-2-2; 2-3-1; 3-1-2; 3-2-1) = Mit einer Wahrscheinlichkeit von 16.7% behält man sein Geld
15 Malek Omeirat, EF, 14/15 X Erwartungswert,Wahrscheinlichkeit In einem Getränkemarkt findet eine Lagerräumungs Aktion für Eistee- Liebhaber statt. Man zahlt 3 Einsatz. Im Geschäft stehen 3 Krüge in denen jeweils Lose enthalten sind,die von 1-5 gehen. Die Summe der Lose die man am Ende zieht, ergibt die Anzahl der Flaschen die man umsonst kriegt. Nr. 1 a) Wieviele Eistee Flaschen kann man maximal ergattern? b) Was ist der Erwartungswert? c) Lohnt es sich, bei der Aktion teilzunehmen? d) Ist die Aktion überhaupt realistisch? Nummer 1 a) Man kann maximal 15 Flaschen umsonst kriegen,da man aus 3 Krügen maximal jeweils eine 5 ziehen kann. ( 3*5=15 ) b) Erwartungswert bei einem Krug: 1* 1/5 + 2*1/5 + 3*1/5 + 4*1/5 + 5*1/5 = 3 Erwartungswert bei drei Krügen: 3*3=9, da bei einem Krug der Erwartungswert bei 3 liegt und man diese Zahl mal 3 rechnen muss weil 3 Krüge vorhanden sind. c) Die Aktion lohnt sich aufjeden Fall, denn wenn man bei einem Preis von 1 pro Flasche ausgeht kann sich die Aktion nur lohnen da man mindestens 3 Flaschen gewinnt!
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17 Name, Klasse, Jahr Schwierigk eit Mathematisches Thema Laura Tesche,EF,2014 X Erwartungswert Hollister! Würfel dir einen Preisnachlass! Bei Hollister kann man sich mit 3 Würfeln einen Preisnachlass erwürfeln. Bei der Augensumme größer als 9 gibt es 5 Nachlass. Bei der Augensumme kleiner als 6 gibt es 50 Nachlass und sonst 25. F: Mit wie viel Euro Preisnachlass muss Hollister auf lange Sicht im Durchschnitt rechnen? Möglichkeiten : 216 ( 6 6 6) Augensumme größer als 9: 174 v. 216 = 80,5% > 5 Augensumme kleiner als 6: 18 v. 216 = 8,5% > 50 Rest: 24 v. 216 =11% > 25 R: (5 80,5%) + (50 8,5%) + (25 11%) = 11 (ungenau) Genau: 10,97 A: Hollister muss auf lange Sicht mit 11 im Durchschnitt rechnen.
18 Kaan Dogru, EF, 2014 X Erwartungswert Bei einer Bäckerei darf man bei einem Kauf von Brötchen im Wert von 3 und einer zusätzlichen Zahlung von 1 an einem Glücksrad drehen. Das Glücksrad besteht aus 3 gleichmäßig großen Feldern. Im 1. Feld ist der Gewinn 3 Im 2. Feld ist der Gewinn 2 Im 3. Feld ist der Gewinn 0 1.Feld = 120 = 1/3 2.Feld = 120 = 1/3 3.Feld = 120 = 1/3 Rechnung: EW = 3 * 1/3 + 2* 1/3 + 0 * 1/3 = 1,67 1,67-1 = 0,67 Antwort: Nach dem Dreh macht der Käufer einen durchschnittlichen Gewinn von 0,67.
19 Julius Hesmer, EF, 2014 x Erwartungswert Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beschmiertes Butterbrot auf die belegte Seite fällt liegt bei 75%. Berechne die zu erwartende Anzahl an Butterbroten, die auf die belegte Seite fallen, wenn man 4 Brote fallen lässt! A: Jedes 2,9 Butterbrot (jedes 3) fällt auf die belegte Seite.
20 Julian Ernst 9b 2015 x Trigonometrie In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 5cm lang. Ein Winkel beträgt 35 a) Bestimme die fehlenden Angaben b) Gib die Steigung in Prozent an a) b) x 5cm tan (35 ) 0,70 Die Steigung beträgt ungefähr 70 % 35 Sin (35 ) = x:5 5 Sin (35 ) 5 = x 2,86 x Cos (35 ) = y:5 5 Cos (35 ) 5 = y 4,09 y = 55
21 Julia Schröer, Q2, 2015 x Erwartungswert Tetraeder In einem Drogeriemarkt werden 2 Tetraeder mit den Augenzahlen von 1-4 von verschiedenen Personen jeweils einmal geworfen. Man bekommt so viele Gutscheine über 0,50, wie Augenzahlen angezeigt werden, solange der Einkaufswert über 15 liegt. a) Berechne den Erwartungswert, also wie viele Gutscheine im Durchschnitt gewonnen werden. a) Kombinationen der Augenzahlen: (1x) 21 (2x) 22 (1x) 23 (2x) 33 (1x) 43 (2x) 44 (1x) 13 (2x) 14 (2x) 42 (2x) x i P(x i ) 1 4! 1 4! 2 1 4! 3 1 4! 4 1 4! 3 1 4! 2 1 4! = 1 16 = 1 8 = 3 16 = 1 4 = 3 16 = 1 8 = 1 16 µ = = 5 Durchschnittlich werden also 5 Gutscheine gewonnen.
22 Julia Schröer, Q2, 2015 x Erwartungswert Schülerbefragung 30 Schüler aus der Oberstufe werden an einem Tag zu ihrem Stundenplan befragt. 3 Schüler geben an, dass sie an dem Tag 2 Stunden haben, 4 Schüler haben 4 Stunden und 13 Schüler haben 6 Stunden Schule. 7 Schüler sagen, dass sie 8 Stunden Unterricht haben und 3 Schüler geben an, dass sie 10 Stunden haben. a) Berechne den Erwartungswert, also wie viele Stunden die Schüler im Durchschnitt an dem Tag haben. a) µ = 2!!" + 4!!" + 6!"!" + 8!!" + 10!!" = 6,2 An dem Tag haben die Schüler durchschnittlich ca. 6 Stunden Unterricht.
23 Jan Harnischmacher, EF, 2014 xx Erwartungswert Würfel deinen Rabatt: Jeder Kunde würfelt 2mal mit einem 10 seitigen Würfel. Die Seiten des Würfels sind alle gleich groß! Die Augensumme ergibt den Rabatt. Gebe an wie viel Prozent der Ladeninhaber durchschnittlich pro Kunde verliert. 10 x 10 = 100 Möglichkeiten gesamt Aufschreiben wie viele Möglichkeiten auf jeweils einen Prozentwert zutreffen. 1% / 11% 10 2% 1 12% 9 3% 2 13% 8 4% 3 14% 7 5% 4 15% 6 6% 5 16% 5 7% 6 17% 4 8% 7 18% 3 9% 8 19% 2 10% 9 20% 1 2 x 1/ x 2/ x 3/ x 4/ x 5/ x 6/ x 7/ x 8/ x 9/ x 10/ x 9/ x 8/ x 7/ x 6/ x 5/ x 4/ x 3/ x 2/ x 1/100 = 11
24 Isabell Hahn xx Erwartungswerte A Alle oder keine! Bei einem Würfelspiel wird als Einsatz 5 verlangt. Dann werden drei oder vier Würfel geworfen. Die Anzahl darf der Spieler selber wählen. Für 3 Würfe gilt: - wenn man nur Fünfen wirft, bekommt man 10 - wenn man keine einzige wirft, bekommt man 7,50 - wenn man jedoch eine andere Kombination wirft, bekommt man nichts. Für 4 Würfe gilt: - wenn man nur Fünfen wirft, bekommt man 15 - wenn man keine einzige wirft, bekommt man 10 - wenn man jedoch eine andere Kombination wirft, bekommt man nichts. Aufgaben 1) Wofür würdest du dich ohne zu rechen entscheiden? Für drei oder für vier Würfel? 2) Stelle alle möglichen Ergebnisse übersichtlich für drei Würfel mit Hilfe eines Baumdiagrammes dar. 3) Wie ist der durchschnittliche Gewinn für drei Würfel? 4) Wie ist der durchschnittliche Gewinn für vier Würfel? Aufgabe 2 ß Aufgabe 3 (1 x x 7, x 0) : 216 =~ 4,387 Antwort: Der durchschnittliche Gewinn bei 3 Würfeln beträgt ca. 4,39. Aufgabe 4 Führe die Pfade des Baumdiagramms aus Aufgabe 2 weiter. (1 x x x 0) : 1296 =~ 4,834 Antwort: Der durchschnittliche Gewinn bei 4 Würfeln beträgt ca. 4, 83
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