Kapitel 9: Lineare Programmierung Gliederung

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1 Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen 9. Lineare Programmierung 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

2 Anwendung: Approximationsalgorithmen Optimierungsproblem es sei P eine Probleminstanz (/* eines algorithmischen Problems Π */) es sei L(P) die Menge der Lösungen von P zu jeder Lösung L L(P) bezeichne k(l) die Kosten (/* bzw. g(l) die Güte */) der Lösung L... das Ziel besteht darin, unter allen Lösungen in L(P) eine Lösung L* zu finden, für die k(l*) minimal (/* bzw. g(l*) maximal */) ist... P nennt man dann Instanz eines Optimierungsproblems und L* nennt man dann optimale Lösung für die Probleminstanz P... falls die Kosten zu minimieren sind, nennt man P Instanz eines Minimierungsproblems (/* sonst... eines Maximierungsproblems */) 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

3 Anwendung: Approximationsalgorithmen Einordnung es gibt eine ganze Reihe von Optimierungsproblemen, die zur Klasse der NP-vollständigen Probleme gehören... man vermutet, daß es keine effizienten Algorithmen zur Lösung dieser Optimierungsprobleme gibt (/* d.h. Algorithmen, deren Laufzeit polynomiell in der Größe der Eingaben beschränkt sind */)... für einige dieser Probleme gibt es effiziente Approximationsalgorithmen (/* man vermutet, daß es die nicht für alle solche Probleme gibt */)... einige bekannte Approximationsalgorithmen basieren auf einer netten Anwendung der Linearen Programmierung 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

4 Anwendung: Approximationsalgorithmen zugrunde liegender Hilfsbegriff es sei P eine Probleminstanz (/* eines Minimierungsproblems Π */) es sei L(P) die Menge der Lösungen von P zu jeder Lösung L L(P) bezeichne k(l) die Kosten der Lösung L es sei L* eine optimale Lösung von P es sei c > 1... eine Lösung L L(P) heißt c-approximation für P, falls k(l) c*k(l*) gilt (/* d.h. L ist höchstens c-mal teurer als L* */) 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

5 Anwendung: Approximationsalgorithmen Begriff: c-approximationsalgorithmus es sei Π ein Minimierungsproblem und L(Π) die Menge aller Lösungsmengen L(P) für Probleminstanzen P von Π zu jeder Lösung L L(Π) bezeichne k(l) die Kosten der Lösung L es sei c > 1... ein Algorithmus A ist ein c-appoximationsalgorithmus für Π, falls A für jede Probleminstanz P von Π eine c-approximation für P berechnet... von Interesse sind effiziente c-approximationsalgorithmen (/* wobei die Konstante c möglichst klein sein sollte *) 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

6 Illustration der Problemstellung Stadtplan mit Straßen und Kreuzungen... das Ziel besteht darin, an den Kreuzungen Überwachungskameras zu platzieren, so daß jede Straße einsehbar ist, und möglichst wenige Überwachungskameras benötigt werden 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

7 Modellierung Modellierung als ungerichteter Graph G = (V,E) Knotenmenge V (/* enthält alle Kreuzungen */) Kantenmenge E (/* enthält alle Straßen */) /2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

8 Allgemeine Problemstellung gegeben sei ein ungerichteter Graph G = (V,E) eine Teilmenge U V heißt Knotenüberdeckung für G, falls für jede Kante { x,y } E gilt: x U oder y U (/* d.h. jede Kante in E hat wenigstens einen Endpunkt in U */) für jede Knotenüberdeckung U setzen wir k(u) = U... das Ziel besteht dann offenbar darin, zu einem gegebenen Graphen eine optimale (/* d.h. eine minimale */) Knotenüberdeckung zu bestimmen 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

9 Einordnung / Herangehensweise das Problem, eine minimale Knotenübereckung für einen gegebenen ungerichteten Graphen zu finden, ist ein NP-vollständiges Problem es gibt einige effiziente 2-Approximationsalgorithmen für dieses Minimierungsproblem ein möglicher Ansatz basiert auf folgende Idee: a) übersetze die gegebene Problem P in ein Problem P der ganzzahligen Linearen Programmierung b) übersetze P in ein Problem P der normalen Linearen Programmierung und bestimme eine optimale Lösung α(.) für P c) bestimme anhand von α(.) eine ggf. nicht optimale Lösung β(.) für P und anhand von β(.) die gesuchte Lösung von P 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

10 Übersetzung in ein Problem der ganzzahligen Linearen Programmierung es sei G = (V,E) der gegebene ungerichtete Graph mit V = { 1,...,n } Variablen: zu jedem Knoten i V gibt es eine Variable x i Constraints: für alle x i gilt: x i { 0,1 } (/* Ganzzahligkeit */) für alle Kanten { i,j } E gilt: x i + x j 1 Zielfunktion: zu minimierende Funktion f(.) = x x n 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

11 Beispiel x 1, x 2, x 3, x 4 x 1 { 0,1 }, x 2 { 0,1 }, x 3 { 0,1 }, x 4 { 0,1 } x 1 + x 2 1, x 1 + x 3 1, x 2 + x 3 1, x 3 + x 4 1 zu minimierende Funktion: f(.) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

12 Hintergrund der Übersetzung es sei G = (V,E) der gegebene ungerichtete Graph mit V = { 1,...,n } es seien U eine Knotenüberdeckung von G und β(.) eine Lösung des Problems der ganzzahligen Linearen Programmierung dann gilt offenbar: (1) die Belegung β U (.) mit β U (x i ) = 1 (/* für alle i U */) und β U (x j ) = 0 (/* für alle j U */) ist eine Lösung des Problems der ganzzahligen Linearen Programmierung (2) die Knotenmenge U β mit i U (/* für alle x i mit β(x i ) = 1 */) ist eine Knotenüberdeckung von G (3) die Kosten der Knotenüberdeckung U β entsprechen dem Wert der Zielfunktion f(.) für die Belegung β(.) 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

13 Übersetzung in ein Problem der normalen Linearen Programmierung... ersetze die Constraints, die die Ganzzahligkeit einer Lösung erzwingen für alle x i wird das Constraint x i { 0,1 } ersetzt durch die zwei Constraints 0 x i und x i 1 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

14 Beispiel (/* cont. */) x 1, x 2, x 3, x 4 x 1 1, x 1 0, x 2 1, x 2 0, x 3 1, x 3 0, x 4 1, x 4 0, x 1 + x 2 1, x 1 + x 3 1, x 3 + x 4 1 zu minimierende Funktion: f(.) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

15 Hintergrund der Übersetzung (/* Teil 1 */) es sei β(.) eine Lösung des Problems der ganzzahligen Linearen Programmierung dann gilt offenbar:... die Belegung β(.) ist gleichzeitig Lösung des Problems der normalen Linearen Programmierung außerdem ist klar:... mit Hilfe von Standardverfahren kann man effizient eine optimale Lösung des Problems der normalen Linearen Programmierung bestimmen 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

16 das Problem der normalen linearen Programmierung lösen... verwende eines der effizienten Standardverfahren zur Lösung des Problems der normalen linearen Programmierung... problematisch ist, daß die bestimmten Lösungen nicht unbedingt ganzzahlig sind (/* das wird sich nicht vermeiden lassen */)... solcherart Lösungen lassen sich auf den ersten Blick nicht sinnvoll als Lösung der eigentlich interessierende Problems, eine minimale Knotenüberdeckung zu bestimmen, interpretieren 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

17 Beispiel (/* cont. */) offenbar ist 2 der minimale Wert, den die Funktion f(.) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 annehmen kann (/* falls alle Constraints erfüllt sind */) α 1 (.) mit α 1 (x 1 ) = α 1 (x 4 ) = 1 und α 1 (x 2 ) = α 1 (x 3 ) = 0 ist eine Lösung α 2 (.) mit α 2 (x 1 ) = α 2 (x 2 ) = α 2 (x 3 ) = α 2 (x 4 ) = 0.5 ist eine Lösung... welche Lösung das Standardverfahren zum Lösen von normalen Linearen Programmen bestimmt, können wir nicht beeinflussen 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

18 das Problem der ganzzahligen Linearen Programmierung lösen es sei α(.) die bestimmte Lösung des Problems der normalen Linearen Programmierung die gesuchte Belegung β(.) wird wie folgt bestimmt: β(x i ) = 1, falls α(x i ) 0.5 β(x i ) = 0, falls α(x i ) < 0.5 es bleibt zu zeigen (/* Hintergrund der Übersetzung, Teil 2 */): (1) β(.) ist Lösung des Problems der ganzzahligen Linearen Programmierung (2) β(.) ist eine 2-Approximation 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

19 Beispiel (/* cont. */) für Lösung α 1 (.) mit α 1 (x 1 ) = α 1 (x 4 ) = 1 und α 1 (x 2 ) = α 1 (x 3 ) = 0... zugehörige Knotenüberdeckung für Lösung α 2 (.) mit α 2 (x 1 ) = α 2 (x 2 ) = α 2 (x 3 ) = α 2 (x 4 ) = zugehörige Knotenüberdeckung /2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

20 um (1) zu zeigen... es sei β(.) die bestimmte Lösung des Problems der normalen Linearen Programmierung es sei x i + x j 1 irgendein Constraint da β(.) auch dieses Constraint erfüllt, muß β(x i ) 0.5 oder β(x j ) 0.5 gelten also gilt α(x i ) = 1 oder α(x j ) = 1 folglich ist α(.) auch eine Lösung des Problems der ganzzahligen Linearen Programmierung... also ist U α mit i U (/* für alle x i mit α(x i ) = 1 */) eine Knotenüberdeckung für G 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

21 um (2) zu zeigen... es seien β(.) die bestimmte optimale Lösung des Problems der normalen Linearen Programmierung und α(.) die bestimmte Lösung Lösung des Problems der ganzzahligen Linearen Programmierung ferner sei α*(.) eine optimale Lösung des Problems der ganzzahligen Linearen Programmierung da α*(.) auch Lösung des Problems der normalen Linearen Programmierung ist, gilt: β(x 1 ) β(x n ) α*(x 1 ) α*(x n ) aus der Definition von α(.) folgt: α(x 1 ) α(x n ) 2β(x 1 ) β(x n )... also ist die Knotenüberdeckung U α von G mit i U (/* für alle x i mit α(x i ) = 1 */) eine 2-Approximation 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

22 Anmerkung derselbe Ansatz funktioniert auch, wenn man minimale gewichtete Knotenüberdeckungen für einen gegebenen knotengewichteten Graphen G = (V,E) mit V = { 1,...,n } bestimmen will (/* jedem Knoten i wird ein Gewicht g(i) zugeordnet und es geht darum, eine Knotenüberdeckung mit minimalem Gewicht zu bestimmen */) es genügt die Zielfunktion im Problem der ganzzahligen Linearen Programmierung zu modifizieren... anstelle der Zielfunktion f(.) = x x n ist die Zielfunktion f(.) = g(1)*x g(n)*x n zu verwenden 9/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Effiziente Algorithmen

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