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1 T U T O R I U M S A U F G A B E N z u r I N V E S T I T I O N u n d F I N A N Z I E R U N G Einführung in die Zinsrechnung Zinsen sind die Vergütung für die zeitweise Überlassung von Kapital; sie kommen bei Gewährung von Krediten, Aufnahme von Darlehen, Überziehung von Zahlungszielen, Einzahlung von Sparguthaben usw. vor. Man ermittelt die Zinsen mit Hilfe des Zinsrechnens, das eine Anwendung des Prozentrechnens unter Berücksichtigung einer weiteren vierten Größe, der Zeit, ist. Beim Zinsrechnen geht man von drei gegebenen Größen aus, um die Vierte zu errechnen. Meistens sind Kapital, Zinsfuß und Zeit gegeben, und die Zinsen sind zu errechnen. Die Höhe der Zinsen ist abhängig von der Höhe des zur Verfügung gestellten Kapitals, der Höhe des Zinsfußes und von der Zeit, für die das Kapital überlassen wird. Der Zinsfuß gibt im Allgemeinen an, wie viel Prozent in einem Jahr für 100,- zu zahlen sind. Beispiel: 100,- bringen, zu 8% Zinsen im Jahr angelegt, in einem Jahr 8,- Zinsen, in 90 Tagen (= 1/4 Jahr) 2,-. Mit zunehmender Zeit wird der Zinsbetrag größer. In der Zinsrechnung kommen folgende Begriffe vor: Zinsfuß Kapital Zeit Zinsen 5 % von 300,- in 2 Jahren = 30,75,- Zinsfuß Kapital Zeit in Zinsen i K 100 % Jahren n Monaten m Tagen t Z Das Kapital entspricht dem Grundwert in der Prozentrechnung und ist immer 100 %. Der Zinsfuß entspricht dem Prozentsatz in der Prozentrechnung. Er gibt die Anzahl der Anteile von 100 auf die Zeit bezogen (meistens 1 Jahr) an. Die Zinsen Die Zeit entsprechen dem Prozentwert in der Prozentrechnung und ergeben sich durch den Bezug des Zinsfußes auf das Kapital unter Berücksichtigung der jeweils angegebenen Zeit. kommt in der Prozentrechnung nicht vor. Sie tritt als vierte Größe neu hin zu. Die Zeit kann als Anzahl von Jahren, Monaten und/oder Tagen angegeben werden.

2 Aufgabe T-1.1 Die Berechnung der Jahreszinsen Beispiel: Ein Kapital von 3100,- wird zu 4 % verzinst. Wieviel Zinsen bringt das Kapital in 3 Jahren? Lösung ohne Zinseszins: K = 3100,- i = 4% n = 3 Jahre Z = x Z K * i * n 100 Z 3100 * 4 * Z = 372,- Die Zinsen betragen 372,-. Lösung mit Zinseszins: Wenn die angefallenen Zinsen nicht abgeschöpft werden, müssen sie in den weiteren Jahren mitverzins werden. Die Ermittlung des Zinsertrags erfolgt nun indirekt durch einen Vergleich zwischen Anfangs- (K) und Endkapital (K n) : Z = K n -K K n berechnet sich folgend:

3 Übungsaufgaben: 1. Berechnen Sie die Jahreszinsen zu: 2,5%, 3 1/3%, 7,5%, 4,5%,6 2/3%, 8 1/3% für 3200,- 2. Berechnen Sie die Zinsen mit und ohne Zinseszinseffekt für: a) 1250,- zu 5% in 2 Jahren b) 684,- zu 6% in 5 Jahren c) 955,- zu 3 1/3% in 3 Jahren d) 1160,- zu 2 1/2% in 6 Jahren

4 Aufgabe T-1.2 Die Berechnung der Monatszinsen Beispiel: Ein Kapital von 3100,- wird mit 4% verzinst. Wieviel Zinsen bringt das Kapital in 5 Monaten ohne Betrachtung von Zinseszinsen? Lösung: K * i * m Z 100*12 4*3100*5 Z 100*12 4*3100*5 Z 100*12 Z = 51,67 Die Zinsen betragen 51,67. Unter Betrachtung der Zinseszinsen (einmonatige Zinsperiode): Wieder wird der Zinsertrag durch Subtraktion des Anfangskapitals vom Kapital zum Ende der Betrachtung ermittelt: Z = K n -K K n nach n Jahren und k Perioden berechnet sich nach folgender Formel: wobei m die Anzahl der unterjährigen Zinsperioden ist (bei monatsweiser Betrachtung m=12).

5 Übungsaufgaben: 1. Es sind die Zinsen zu berechnen für: a) 350,- zu 6% in 2 Monaten b) 1750,- zu 9% in 8 Monaten c) 2 500,- zu 12% in 15 Monaten d) 3640,- zu 8 1/3% in 18 Monaten 2. Ermitteln Sie den Rückzahlungsbetrag für folgende Darlehen einschließlich Zinsen: Darlehen Zinssatz Monate a) ½ % 2 1/3 b) ½ % 5 ½ c) ½ % 4 ½ d) /3 % 7 3. Ein Kaufmann beantragt bei seiner Hausbank einen Kredit von 24000,- für die Dauer von 7 Monaten. Die Bank gewährt den Kredit zu 9% Zinsen. Welcher Betrag muß zurückgezahlt werden? 4. Ein Industriebetrieb lieferte an einen Kunden mehrere Warensendungen, und zwar für 2480,- ; 6260,- und für 820,-, sofort zahlbar. Der Kunde entrichtet den ersten Betrag erst nach 3 Monaten, den zweiten Betrag nach 4 Monaten und den letzten Betrag erst nach 5 Monaten. Welchen Gesamtbetrag einschließlich 7 ½ % Verzugszinsen hat der Kunde zu zahlen?

6 Aufgabe T-1.3 Die Berechnung der Tageszinsen Bei der Berechnung der Tage wird in Deutschland in der kaufmännischen Zinsrechnung das Jahr mit 360 Tagen, der Monat mit 30 Tagen gerechnet. 1 Jahr = 360 Tage 1 Monat = 30 Tage Monate mit 31 Tagen gelten als Monate mit 30 Tagen. Läuft der Zinszeitraum Ende Februar ab, so wird dieser Monat genau berechnet, also mit 28 bzw. 29 Tagen. Bei der Berechnung des Zinszeitraumes wird der 1. Tag der Laufzeit nicht mitgezählt. Der letzte Tag hingegen - der Rückzahlungstermin - wird mitgerechnet. Beispiele zur Ermittlung der Tage: (a) (b) (c) 18. Januar bis 4. März 18. Januar bis 31. März 18. Januar bis 28. Februar Januar 12 Tage Januar 12 Tage Januar 12 Tage Februar 30 Tage Februar 30 Tage Februar 28 Tage März 4 Tage März 30 Tage 40 Tage 46 Tage 72 Tage (d) 17. April bis 28. Juli 1. Möglichkeit: Monate = 90 Tage = 11 Tage = 101 Tage 2. Möglichkeit: Man schreibt den früheren Tag unter den späteren und subtrahiert: Tage 3 Monate = 11 Tage + 90 Tage = 101 Tage

7 Beispiel zur Berechnung der Tageszinsen: Ein Kapital in Höhe von 3100,- wird mit 4% verzinst. Wieviel Zinsen bringt das Kapital in 72 Tagen? Lösung mit Formel: K * i * t Z 100* * 4 * 72 Z 100* 360 Z = 24,80 Die Zinsen betragen 24,80. Beispiel zur gemischten Verzinsung: Ein Kapital in Höhe von 3100,- wird am zu 4% angelegt und am wieder abgeholt. Wie viel Zinsen bringt das Kapital in diesem Zeitraum? Obwohl nach Zinseszinsrechnung verfahren wird, wird Kapital, das nicht am letzten Zinsverrechnungszeitpunkt und damit auch nicht die gesamte Zinsperiode über angelegt war, üblicherweise mit einfachen Zinsen verzinst. Unsere Verzinsung ergibt sich somit aus den beiden Zeiträumen t1 (15 Tage bis zum Ende des Jahres), t2 (10 Tage zum Ende der Verzinsung) und den vollen n Jahren zwischen t1 und t2:

8 Übungsaufgaben: 1. Ermitteln Sie die Zinstage: a) vom g) vom b) vom h) vom des folgenden Jahres c) vom i) vom d) vom j) vom e) vom k) vom f) vom l) vom des folgenden Jahres 2. Verzinsen Sie folgende Beträge: a) 180,- zu 5% vom c) 2317,- zu 4 1/2% vom b) 1750,- zu 6 % vom d) 5489,- zu 8 1/3% vom Ein kurzfristiges Darlehen von ,- wird zu 6 1/5% p.a. für die Zeit vom gewährt. Welchen Betrag einschließlich Zinsen zahlt der Kreditnehmer am zurück? (Abwandlung: monatliche Zinsperiode)

9 Aufgabe T-1.4 Die Berechnung des Zinsfußes Beispiel: Ein Kapital von 2440,- brachte in der Zeit vom 6. Februar bis zum 30. Juni 48,80 Zinsen. Zu welchem Zinsfuß wurde das Kapital verzinst? = 144 Tage K = 2440,- ; Z = 48,80 ; t = 144; i = x Lösung mit Formel: Aus der allgemeinen Tageszinsformel K * i * t Z 100*360 ergibt sich durch Umformung: Z *100*360 i K * t 48,80*100*360 i 2440*144 i = 5 % Beispiel zur Ermittlung des Zinsfußes bei Betrachtung von Zinseszinsen Ein Kapital von 2400,- wuchs in 3 Jahren auf 2778,30 an. Zu welchem Zinsfuß wurde es angelegt? Zur Lösung muss die Formel zur Berechnung des Kapitals nach n Jahren nach i umgestellt werden: ( ) ( )

10 Übungsaufgaben: 1. Welcher Zinsfuß liegt bei der Berechnung folgender Zinsen zu Grunde? (jährliche Verzinsung) a) 3265,- in 4 Jahren 326,50 Zinsen b)24150,- in 2 Jahren 3220,00 Zinsen c) 1750,- in 6 Monaten 70,00 Zinsen d) 1825,- in 3 Monaten 36,50 Zinsen e) 3280,- vom bis ,68 Zinsen f) 6900,- vom bis ,66 Zinsen 2. Wieviel Prozent Verzugszinsen wurden einer Firma berechnet, die für eine am 31. März fällige Rechnung über 12700,- am 15. Mai eine neue Rechnung über 12819,06 erhält? 3. Mit wieviel Prozent wurde ein Kapital von 20000,- verzinst, das nach 2 1/2 Jahren mit 24000,- zurückgezahlt wird?

11 Aufgabe T-1.5 Die Berechnung der Zeit Beispiel: Ein Kapital von 3210,- brachte bis zum ,31 Zinsen. Es wurde zu 4,5% p.a. verzinst. Wann wurde es eingezahlt? K = 3210,- ; Z = 35,31 ; i = 4,5%; t = x Lösung x 360* 100* 35, * 4, 5 x = 88 Tage Das Kapital wurde 88 Tage verzinst abzüglich 88 Tage = (Der 31. wird nicht berücksichtigt.) Antwort: Das Kapital wurde am eingezahlt. Beispiel zur Berechnung der Zeit unter Berücksichtigung von Zinseszinsen Ein Kapital von 3100,- wuchs bei einem Zinsfuß von 4% p.a. auf 4963,20. Wie viele Jahre wurde es angelegt? Umformung der Formel für die Exponentielle Verzinsung:

12 Übungsaufgaben: 1. Weiche Zeit liegt bei der Berechnung folgender Zinsen zugrunde? a) 7 000,- bei 6 1/2 % 455,00 Zinsen b 1 400,- bei 8 % 168,00 Zinsen c) 300,- bei 4 1/2 % 54,00 Zinsen d) 480,- bei 5 % 10,40 Zinsen 2. Am schreibt die Bank für ein Kapital von 3360,-, das mit 4 1/2% verzinst wurde, 84,- gut. Wann wurde das Kapital eingezahlt? 3. Ein Kaufmann erhält eine Rechnung über 3564,- mit einem Zahlungsziel von 30 Tagen. An welchem Tag wurde sie ausgestellt, wenn am % = 47,52 Verzugszinsen berechnet werden?

13 Aufgabe T- 1.6 Die Berechnung des Kapitals Beispiel: Ein Schuldner hatte für die Zeit vom bis zum % Verzugszinsen in Höhe von 138,60 zu zahlen. Von welchem Schuldbetrag wurden die Zinsen berechnet? =77 Tage Z =138,60 ; i = 8%; t = 77; K = x Lösung: Aus der allgemeinen Tageszinsformel: K * i * t Z 100*360 ergibt sich durch Umformung: Z *100*360 K i * t 138, 60* 100* 360 K 8* 77 K = 8100,- Beispiel unter Berücksichtigung von Zinseszinsen: Ein Kapitalbetrag von 5555,- wurde durch eine Verzinsung von 8% über 4 Jahre generiert. Wie hoch war der Anfangskapitalbestand? Umformung der Formel für Exponentielle Verzinsung nach K:

14 Übungsaufgaben: 1. Welche Kapitalien liegen bei der Berechnung der folgenden Zinsen zugrunde? a) zu 4 % im Jahr 976,- Zinsen b) zu 6 % im Jahr 535,50 Zinsen c) zu 4 1/2 % in 5 Monaten 73,50 Zinsen d) zu 5 % in 2 Monaten 36,- Zinsen 2. Welchen Wert hat ein Gebäude, für das in der Zeit vom 3.4. bis eine Pacht von 612,- zu zahlen ist, wenn eine Verzinsung von 6 1/3% zu Grunde gelegt wird?

15 (Exkurs) Zusammenfassende Übungsaufgaben zu Am ist eine Rechnung über 2780,- fällig. Diese Rechnung wird erst am 2.9. beglichen. Wieviel hat der Schuldner zu zahlen, wenn 8,5% Verzugszinsen berechnet werden? 2. Ein Betrag von 8760,- wurde am bei der Bank eingezahlt. Die Verzinsung erfolgt zu 3,5 %. Auf wieviel wächst der Betrag unter Berücksichtigung der Zinsen bis zum an? 3. Folgende Rechnungen sollen in einer Zahlung per Scheck beglichen werden. Rechnung vom über 6210,- Rechnung vom über 5894,- Rechnung vom 7.9. über 7125,- Ziel 45 Tage Ziel 30 Tage netto Kasse. Ober welchen Betrag lautet der Scheck einschließlich 9% Verzugszinsen, wenn die Zahlung am erfolgt? 4. Ein Einzelhändler hat bei seiner Bank am einen Kredit in Höhe von 14500,- aufgenommen. Er leistet Rückzahlungen in Höhe von 3400,- am ,- am ,- am ,- am Der Rest soll einschließlich der bis dahin aufgelaufenen Zinsen am zurückge- zahlt werden. Über welchen Betrag lautet die Zahlung einschließlich Zinsen am , wenn die Bank 8% Zinsen berechnet? 5. Ein Kaufmann hatte folgende Rechnungen zu begleichen: 2 900,-, fällig am ,-, fällig am ,-, fällig am Da er am Fälligkeitstag nicht zahlen konnte, läßt er sich die Beträge bis zum stunden. Er zahlt dafür 7 1/2% Verzugszinsen. Wieviel hat er insgesamt am zu zahlen? 6. Ein Händler hatte am zum Ausbau seines Ladens ein Darlehen von 7000,- aufgenommen und zahlte es einschließlich 5 1/2% Zinsen am nächsten Jahres zurück. Wieviel mußte er insgesamt zahlen? 7. Ein Einzelhandelskaufmann muß für eine Rechnung über 1200,-, die er 60 Tage zu spät begleicht, 10,- Verzugszinsen bezahlen. Wieviel Prozent Verzugszinsen werden ihm berechnet? 8. Über welchen Betrag lautete das Kapital, das vom 1. Januar bis 1. April ausgeliehen war und bei einem Zinssatz von 7% Zinsen in Höhe von 27,30 brachte? 9. Um wieviel Tage wurde eine Rechnung über 6300,- zu spät beglichen, wenn bei einem Zinssatz von 5% 70,- Verzugszinsen zu zahlen waren?

16 10. Eine Rechnung über ist innerhalb 8 Tagen mit 2% Skonto oder innerhalb 30 Tagen netto zahlbar. Um Skonto auszunutzen, muß der Schuldner einen Kredit zu 9% für 22 Tage aufnehmen. a) Wieviel beträgt der Unterschied zwischen Skonto und Zinsen? b) Wieviel Prozent macht die Ersparnis vom Rechnungsbetrag aus? 11. Ein Kapital stand am mit 30674,- zu Buch. Auf welchen Betrag ist es bei einem Zinsfuß von 6% bis zum angewachsen? 12. Eine Rechnung in Höhe von 2960,- war am fällig. Da sie erst am beglichen wurde, berechnete der Lieferer vereinbarungsgemäß 8 1/2% Verzugszinsen. Wieviel mußten insgesamt gezahlt werden? 13. Am schreibt die Bank einem Kunden 490,- Zinsen gut für ein Kapital, das im gleichen Jahr am bei einem Zinsfuß von 5% eingezahlt wurde. Wieviel betrug das Kapital? 14. Eine am fällige Rechnung über 4899,90 wurde erst am beglichen. Vereinbarungsgemäß berechnet der Lieferer 8 % Verzugszinsen und stellt 59,20 in Rechnung. Was ist zu beanstanden? 15. Eine Rechnung über 6845,- wird 24 Tage zu spät beglichen. Der Lieferer berechnet 6% Verzugszinsen. Wieviel sind insgesamt an den Lieferer zu zahlen? 16. Eine Rechnung, die am 23.5 fällig war, wurde am 5.8. einschließlich 7,5% Verzugszinsen mit 3702,72 beglichen. Über weichen Betrag lautete die Rechnung ursprünglich, und wieviel Verzugszinsen wurden berechnet? 17. Zur Durchführung eines günstigen Einkaufs wurde einem Kaufmann ein Sonderkredit von 15000,- bewilligt, der am 2. Juli ausgezahlt wurde. Am 31. Juli wurden 3400,-, am 25. August 2500,- und am 17. September 4250,- zurückgezahlt. Welche Restschuld einschließlich 8 1/2% Zinsen bestand am 30. September? 18. Die Zahlungsbedingungen einer Papierfabrik lauten: "Zahlbar innerhalb von 14 Tagen unter Abzug von 2 1/2% Skonto oder Ziel 3 Monate ohne jeden Abzug. Bei Überschreitung des Zieles berechnen wir 7% Verzugszinsen." Weiche Beträge wären demnach bei einer am 9. Juni über 362,- ausgestellten Rechnung a) am 23. Juni, b) am 2. Dezember zu zahlen? 19. Ein Darlehen wurde vom bis zu 5% ausgeliehen und einschließlich Zinsen mit 1380,40 zurückgezahlt. Über welchen Betrag lautet das Darlehen? 20. Ein Darlehen wurde für die Zeit vom 10. März bis 20. April gewährt. Die Auszahlung betrug nach Abzug von 4% Zinsen 2688,-. Das Darlehen und die Zinsen sind zu berechnen. 21. Welches Kapital bringt bei einem Zinssatz von 8% in der Zeit vom 3.6. bis genau soviel Zinsen wie 2460,- bei 6% in der Zeit vom bis 12.7.? 22. Wieviel müßten die Ersparnisse betragen, die, zu 7 1/2% in festverzinslichen Wertpapieren angelegt, in einem Monat den gleichen Zinsertrag bringen, den ein Arbeiter in einem Monat

17 mit 22 Arbeitstagen zu je 8 Stunden Arbeitszeit bei einem Stundenlohn von 6,25 an Arbeitslohn verdient? 23. Eine Liefererrechnung lautet über 4380,-, zahlbar in 60 Tagen oder 3% Skonto bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen. a) Welchem effektiven Zinsfuß entspricht der Skonto? b) Lohnt sich die Inanspruchnahme eines Bankkredits, wenn die Bank 14 1/2% Zinsen berechnet? Ermitteln Sie den Finanzierungserfolg in. 24. Die Liefererrechnung lautet über 9260,-. Folgende Zahlungsbedingungen wurden vereinbart: 2 1/2% Skonto bei Zahlung innerhalb von 8 Tagen oder 40 Tage netto Kasse. Zur Ausnutzung des Skontos müßte ein Überziehungskredit zu 18% aufgenommen werden. a) Weichem Jahreszinsfuß entspricht der Skonto für die Kreditzeit? b) Ermitteln Sie den Finanzierungserfolg in. 25. Ein Darlehen wurde für die Zeit vom bis gewährt. Der Darlehensgeber behielt die Zinsen (10%) direkt ein und zahlte an den Kreditnehmer nur 13230,- aus. Welche Darlehenssumme hatte der Kunde beantragt? 26. Ein Kreditgeber gewährt für die Zeit vom ein Darlehen zu 10% Zinsen und 2% Bearbeitungsgebühren. Beide Kosten werden bereits bei der Auszahlung des Darlehens einbehalten. Der Auszahlungsbetrag lautet über a) Welche Darlehenssumme war beantragt worden? b) Welchem Jahreszinsfuß entsprechen Zinsen und Bearbeitungsgebühr insgesamt? 27. Sie können für die Dauer vom einen beantragten Bankkredit im Betrag von 8000,- zu folgenden Bedingungen erhalten: 1 % Zinsen je Monat, 1 % Bearbeitungsgebühr und 64,- für verschiedene Auslagen. Die genannten Kosten werden bei der Kreditauszahlung einbehalten. a) Wieviel Zinsen werden einbehalten? b) Welcher Betrag wird nach Einbehaltung der Kosten ausgezahlt? c) Welchem Zinsfuß entsprechen die gesamten Kosten, bezogen auf den ausgezahlten Kredit? 28. Sie benötigen für die Zeit vom einen Kredit von 5000,-. Ihnen liegen folgende Kreditangebote vor: 1. Auszahlung des Darlehensbetrages unter Abzug von 10% Zinsen und 1 % Bearbeitungsgebühr, 2. volle Auszahlung des beantragten Darlehens. Rückzahlung am Ende der Kreditdauer einschließlich Zinsen mit 5202,50. a) Welcher Betrag wird Ihnen im Falle des 1. Kredites ausgezahlt? b) Welchem Zinsfuß entsprechen die Kosten des 1. Kredites, bezogen auf den ausgezahlten Betrag? c) Zu wieviel Prozent wird der 2. Kredit gewährt?

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