Behörde für Schule und Berufsbildung Abitur 2010 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik. Übergangsmatrix. und
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- Klara Kneller
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1 aupttermi Abitur 21 II2 Krake üher LA/AG 2 I eier Geflügelfarm bricht eie Viruserkrakug aus, die für die Tiere teilweise tödlich verläuft, für Mesche aber ugefährlich ist, we das Fleisch durchgebrate verzehrt wird Eie Forschugseirichtug beobachtet de Krakheitsverlauf ud modelliert diese mittels eier Übergagsmatrix, wobei sich der Bestadsvektor p ach eiem Zeittakt zum Bestadsvektor p + 1 gemäß folgeder Modellgleichug etwickelt: p = + 1 p (ei Zeittakt ist eie Woche) Tabelle: vo zu \ G K T G,3,1 K,7,7 T,2 1 Übergagsmatrix,3,1,7,7 =,2 1 ud p x y z = (G: gesude Tiere, K: krake Tiere, T: gestorbee Tiere, sowie x, y, z als Azahle ach Woche) a) Stelle Sie de zugehörige Übergagsgraphe dar (5P) b) Es gelte: 2,16,1 =, 7,56,14,34 1 ud 4,956,72 =,54,3836,44, Bestätige Sie durch Rechug die Richtigkeit der eigerahmte Zahle i de agegebee Matrize Beurteile Sie die folgede Aussage zu dem like obere Matrixwert,16 der Matrix hisichtlich ihres Wahrheitsgehaltes im Modell: 2 (A1) (A2) (A3) Der Ateil der ursprüglich gesude üher, die währed der letzte zwei Woche gesud ware, beträgt 16 % Vo 1 gesude üher sid ach zwei Woche 16 gesud Der Ateil der ursprüglich gesude üher, die i zwei aufeiader folgede Woche gesud ware, ist kleier als 16 % Beschreibe Sie eie Recheweg, wie mit weige Matrizemultiplikatioe eie lägerfristige Progose für eie weit i der Zukuft liegede Zeitpukt ierhalb dieses Modells erstellt werde ka (2P) Ma1-LKLM-AWTdoc Seite 27 vo 46
2 aupttermi Abitur 21 c) I eiem gesude Bestad vo isgesamt 2 5 Tiere bricht diese Ifektio aus Der of wird isoliert ud vo eier Arbeitsgruppe der Forschugseirichtug beobachtet Bereche Sie die erwartete Bestäde, die sich ausgehed vo dem Modell ach eier bzw ach acht Woche seit Ausbruch der Krakheit eistelle müsste Ma ka erkee, dass sich der Vektor p * = mit z i diesem Modell z icht mehr ädert, de alle üher, die gestorbe sid, bleibe auch tot Uklar ist och, ob dies der eizige mögliche statioäre Zustad ist Utersuche Sie, ob sich mit eiem geeigete Vektor p stat ei vo p* verschiedeer statioärer Zustad eistelle ka, sich die Zusammesetzug der Populatio i eiem Zeitschritt also icht mehr ädert Im Beobachtugsprotokoll taucht der Bestadsvektor p = auf 45 Etscheide Sie, ob dieser Vektor im Rahme des Modells aus eiem geeigete Vorbestadsvektor p 1 etstade sei ka (3P) Aufgrud eies eu gewoee Impfstoffes stirbt kei Tier mehr die Erkrakug verläuft deutlich abgemildert Die eue Situatio fidet sich im folgede Übergagsgraphe wieder, wobei (G) für die durchgägig gesude Tiere steht, also jee, die bisher och icht erkrakt sid, (K) für die krake ud (W) für die wieder gesudete, also jee, die die Krakheit eimal überstade habe: d) Gebe Sie die zugehörige Übergagsmatrix eu a Iterpretiere Sie die gegeüber veräderte Matrixelemete im Sachkotext der Aufgabe (1P) Ma1-LKLM-AWTdoc Seite 28 vo 46
3 aupttermi Abitur 21 e) Da krake Tiere schlechter fresse ud deshalb i dieser Zeit kaum a Gewicht zuehme, erwartet ma, dass eimal krak gewordee Tiere ei gerigeres Edgewicht als durchgägig gesude üher habe Ladwirte iteressiert daher die zu erwartede prozetuale Ateile Die Tabelle ethält diese Ateile für die erste vier Woche ach eier Ifektio Azahl der Woche seit der Ifektio Ateil der durchgägig gesude Tiere i % ,2 4,96 Ateil der (aktuell) krake Tiere i % ,8 1,24 Ateil der wieder gesudete Tiere i % ,8 Begrüde Sie mithilfe des Graphe oder der Matrix eu, dass die Modellierug für de Ateil der durchgägig gesude üher durch eie Expoetialfuktio g : g( ) mit der Zeit i Woche sivoll ist Gebe Sie eie passede Gleichug für diese Fuktio a Der Ateil k ( ) der i der -te Woche krake Tiere wird durch die Fuktiosgleichug k( ) = 25,8 für > modelliert Bestätige Sie diese Gleichug beispielhaft für zwei Tabellewerte Auch der Ateil der eimal erkrakte ud u wieder gesudete üher lässt sich ab der zweite Woche durch eie Fuktio w: w( ) modelliere Bestimme Sie eie Fuktiosgleichug für w für 2 Utersuche Sie die drei Fuktioe g, k ud w hisichtlich eier lagfristige Etwicklug der Teilpopulatioe ud treffe Sie eie begrüdete Aussage zu mögliche stabile Zustäde eier üherpopulatio im Rahme des betrachtete Modells (2P) f) I der vorige Aufgabe ist es mit eifache Mittel der Aalysis geluge, Aussage über die modellhafte Etwicklug eier Populatio herauszufide Ei aderer Weg führt über die Berechug ud Iterpretatio vo Eigewerte Dabei heißt die Gleichug: eu peig = λ peig Eigewertgleichug der Matrix eu mit reellem Eigewert λ ud Eigevektor p Bestimme Sie die Eigewerte ud Eigevektore der Matrix eig eu Iterpretiere Sie diese Ergebisse hisichtlich der lagfristige Etwicklug ud möglicher stabiler Zustäde eier Modellpopulatio Kläre Sie isbesodere, ob sich daraus dieselbe Schlüsse wie i Teil e) ziehe lasse (15P) Ma1-LKLM-AWTdoc Seite 29 vo 46
4 aupttermi Abitur 21 Erwartugshorizot Lösugsskizze Zuordug Bewertug a) 5 b) Die Zahle stimme ach de Regel der Matrizemultiplikatio: =,16 =,3 +,1, [ 1;1] 4 [ 2;1] =,54 =,7,16 +,56,7 +,14,16 beschreibt de Ateil der gesude Tiere, die zwei Woche später gesud sid Aus der obige Gleichug erket ma, dass dazu sowohl gesude als auch i der Vorwoche krake Tiere gehöre Daraus folgt, dass ur die Aussage (A2) ud (A3) wahr sid Setzt ma p o als Startvektor der Populatio zum Zeitpukt t =, da gilt: p = p1 2 p = p1= p2 p = p d h die Populatio ach Woche wird durch die Multiplikatio des Startvektors mit der -te Potez der Matrix erreicht Um hohe Matrixpoteze mit weige Matrizemultiplikatioe zu bekomme, multipliziert ma die Matrixpoteze mit sich selbst: = = = usw Ma1-LKLM-AWTdoc Seite 3 vo 46
5 aupttermi Abitur 21 Lösugsskizze Zuordug Bewertug c) 25 Mit dem Startvektor p = ud der i b) beschriebee Vorgehesweise ergebe sich p = = 8 = 64 p p p Azusetze ist die Gleichug: pstat = pstat mit p stat x y = z Als Lösug ergibt sich x= ud y= bei beliebigem z Es gibt also keie vo p* =, z, verschiedee statioäre Vektor z Dieses Ergebis wird auch scho umittelbar aus der Übergagsmatrix bzw dem Graphe klar, de vo der dritte Stufe (de tote Tiere) ka kei Exemplar i eie adere Stufe wechsel Ma betrachtet die Gleichug: x 15 y 55 = z 45 Daraus ergibt sich das LGS (hier i Matrixschreibweise),3,1 15, 7, II ( ) + I 7,2 1 45,3, ,2 7 y 6321, Eie Lösug existiert zwar, p , aber egative Vektorkompoete 1714 köe icht i eiem Bestadsvektor auftrete, d h der gegebee Vektor ka icht im Rahme der Beobachtug etstade sei 5 25 Ma1-LKLM-AWTdoc Seite 31 vo 46
6 aupttermi Abitur 21 Lösugsskizze Zuordug Bewertug d) Es ergibt sich die Matrix eu,8,2 =, 1 1 dabei ist der Ateil der gesud bleibede üher eu[1,1] =,8 deutlich gestiege, bzw eu[2,1] =,2 Kei krakes Tier verbleibt im Krakheitszustad eu[2,2] =, d h sie gesude (scheller als vorher); alle krake Tiere eu[3,2] = 1 werde wieder gesud dieser Zustad uterscheidet sich aber vom erste Zustad (d h de immer gesude) Amerkug: Zusätzlich gilt, dass es eie Rückfall i die Krakheit icht gibt: eu[2,3] = 5 5 e) Der expoetielle Asatz ergibt sich umittelbar aus dem Graphe Da i diesem Beispiel ur gesude Tiere zu der Gruppe der Gesude übergehe köe, ergibt sich der Ateil der (immer och) gesude üher aus dem Startwert durch -fache Multiplikatio mit dem Faktor,8 Als Gleichug erhält ma so : g= ( ) 1 (,8) 4 z B 25,8 = 2 25 (,8) = 1,24 Bei der Bestätigug durch Tabellewerte ist darauf zu achte, dass der erste Tabellewert = icht i die Gleichug eigesetzt werde darf Der Ateil der wieder gesudete Tiere ergibt sich aus dem Gesamtbestad (1%) vo dem der Ateil der durchgägig gesude sowie der krake Tiere abgezoge wird: ( ) ( ) ( ) w ( ) = 1 1,8 25,8 = 1 125,8 für 2 Iermathematisch bedeutet dies, de Grezwert zu betrachte Aus de Fuktiosgleichuge folgt umittelbar g ( ) 1 = k ( ) 25 = für w ( ) = 1 d h perspektivisch werde alle üher die Erkrakug durchmache, aber wieder gesude Der eizig mögliche stabile Zustad ist also 1 (der Ateile i Prozet) I eiem reale üherstall lebe die Tiere aber ur eie begrezte Zeitspae, sodass dies tatsächlich ur ei theoretisches Ergebis bleibt 5 15 Ma1-LKLM-AWTdoc Seite 32 vo 46
7 aupttermi Abitur 21 Lösugsskizze Zuordug Bewertug f) Mit der Gleichug x x eu y λ y = z z ergibt sich ( I),8x = λx ( II),2x = λy ( III) y + z = λz Für de Fall x ergibt sich aus der erste Gleichug umittelbar λ 1 =,8 Setzt ma dagege x = ud y ergibt sich aus der zweite Gleichug der zweite Eigewert λ 2 = Der dritte Eigewert λ 3 = 1 lässt sich mithilfe der dritte Gleichug uter der Bedigug x= y= bestimme Setzt ma diese Eigewerte ei, da ergebe für die Eigevektore: ( I),8 x =,8 x x λ1 =,8 ( II), 2 x =,8 y peig _1=, 25 x ( III) y + z =,8 z 1,25 x ( I),8 x = x λ2 = ( II),2 x = y peig _2 y = ( III ) y + z = z y ud für ( I),8 x = 1 x λ3 = 1 ( II),2 x = 1 y peig _3 = ( III ) y + z = 1 z z iweis: Auch der Weg über Determiate ist möglich λ 3 = 1 ist der betragsgrößte Eigewert Das bedeutet, dass sich bei beliebigem Startvektor (de Nullvektor ka ma bei diese Betrachtuge aus ahe liegede Grüde ausschließe) die Populatio lagfristig auf eie stabile Zustad eistellt Aus dem zugehörige Eigevektor pmax = p3 liest ma ab, dass die Populatio lagfristig ur aus Tiere der dritte Teilpopulatio (hier die gesudete üher) bestehe wird Währed die Theorie zulässt, dass mit beliebige Startvektore gearbeitet werde ka ud demzufolge uterschiedliche Edzustäde (z ist variabel) erreicht werde köte lässt dies die Betrachtug über die Fuktioe aus Teil e) ud die Beschräkug auf de Sachkotext icht zu, da dort mit prozetuale Ateile gearbeitet wird 15 Isgesamt 1 BWE Ma1-LKLM-AWTdoc Seite 33 vo 46
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