Finite Elemente. bzw. F + E K = 1. (1)

Transkript

1 Dr. S.-J. Kimmerle Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Wintertrimester 25 Finite Elemente Übung 2 Aufgabe 6 (Eulerscher Polyedersatz für Triangulierung) Bekanntlich ist ein Gebiet einfach zusammenhängend, wenn sich zwei beliebige Punkte des Gebietes stets durch eine glatte Kurve verbinden lassen. Zerfällt ein Gebiet in mehrere solcher Zusammenhangskomponenten, nennt man das Gebiet mehrfach zusammenhängend. Man zeige: Bei einer zulässigen Triangulierung eines einfach zusammenhängenden Gebietes im R 2 mit P-Rand gilt die Formel: Anzahl der Dreiecke + Anzahl der Knoten - Anzahl der Kanten =. bzw. F + E K =. () Anleitung: Man bestätigt die Formel zunächst für ein Dreieck. Welche Fälle treten auf, wenn eine Triangulierung um ein Dreieck erweitert wird? Man zeige die Formel in allen diesen Fällen und beweise so die Formel mit Hilfe vollständiger Induktion nach der Anzahl der Dreiecke! Was gilt für eine Triangulierung eines einfach zusammenhängendes Gebietes im R 3 mit P-Rand mittels Tetraedern? Die Beweisidee für Dreiecke folgt der Anleitung. Dabei führt man eine vollständige Induktion über die Anzahl der Dreiecke durch. Man überzeugt sich, dass der Induktionsanfang ( Dreieck) gilt. Für den Induktionsschritt gibt es 3 Möglichkeiten: ) Ein Dreieck wird hinzugefügt, indem eine neue Ecke außerhalb dazukommt, die man mit 3 vorhandenen Rand-Ecken verbindet: (F + ) + (E + ) (K + 2) =, 2) Ein Dreieck wird hinzugefügt, indem man zwei vorhandene (Rand-)Ecken durch eine neue Kante verbindet: (F + ) + (E + ) (K + ) =, 3) Ein Dreieck wird hinzugefügt, indem man an einer vorhandenen Ecken ein neues Dreieck ansetzt (Wobei hier sich die Frage stellt, wie man Zusammenhang genau auffasst.): (F + ) + (E + 2) (K + 3) =.

2 Hierbei sei daran erinnert, dass die Zerlegung in Dreiecke zulässig sein muss und dass es reicht sich auf außerhalb dazukommende Dreiecke zu beschränken. Damit ist die Formel für Dreiecke durch Induktion gezeigt. Für Tetraeder lautet der Eulersche Polyedersatz (üblicherweise für Polyeder geschrieben als F + E K = 2) N + F + E K =, wobei N die Anzahl der Tetraeder bezeichnet und F nun die Anzahl der Seitenflächen ist. Dies kann man ebenso durch Induktion zeigen. Der Induktionsanfang funktioniert. Für den Induktionsschritt bin ich auf 6 Möglichkeiten gekommen: ) Ein Tetraeder wird hinzugefügt, indem eine neue Ecke außerhalb dazukommt, die man mit 3 vorhandenen (Rand-)Ecken verbindet: (N + ) + (F + 3) + (E + ) (K + 3) =, 2) Ein Tetraeder wird hinzugefügt, indem man zwei vorhandene (Rand-)Ecken durch eine neue Kante verbindet: (N + ) + (F + 2) + (E + ) (K + ) =, 3) Ein Tetraeder wird hinzugefügt, indem man drei vorhandene (Rand-)Kanten durch eine neue Fläche verbindet: (N + ) + (F + ) + (E + ) (K + ) =, 4) Ein Tetraeder wird hinzugefügt, indem man zwei vorhandene (Rand-)Kanten durch eine neue Kante zu einem Dreieck schließt und eine neue Ecke außerhalb hinzufügt (Wobei hier sich wiederum die Frage stellt, wie man Zusammenhang genau auffasst.): (N + ) + (F + 4) + (E + ) (K + 4) =, 5) Ein Tetraeder wird hinzugefügt, indem man an einer vorhandenen (Rand-)Kante einen neuen Tetraeder ansetzt (Wobei hier sich wiederum die Frage stellt, wie man Zusammenhang genau auffasst.): (N + ) + (F + 4) + (E + 2) (K + 5) =. 6) Ein Tetraeder wird hinzugefügt, indem man an einer vorhandenen Ecken einen neuen Tetraeder ansetzt (Wobei hier sich wiederum die Frage stellt, wie man Zusammenhang genau auffasst.): (N + ) + (F + 4) + (E + 3) (K + 6) =. Bemerkungen:.) Die auf der rechten Seite der Formeln hängt mit der Euler-Charakteristik zusammen. Diese gibt die Anzahl der Löcher eines mehrfach zusammenhängenden Gebiets an. 2.) Man beachte, dass wir nur konvexe Polyeder betrachten. Aufgabe 7 (Ein Galerkin-Verfahren in D) Man betrachte die gemischte Randwertaufgabe mit zu gegebenem f L 2 (, ). u = f in (, ) (2) u() =, u () = (3) 2

3 a) Stellen Sie die schwache Formulierung auf. Betrachten Sie V = {v H (, ) v() = }. b) Stellen Sie zu V h = span{φ i } i=,...,n mit φ i = xi i die Steifigkeitsmatrix A auf. c) Was lässt sich über die Kondition cond 2 (A) = A 2 A 2 der Matrix aussagen? Betrachten Sie hierzu z.b. N =, N = 2 und numerisch N = 5. a) Durch Testen mit beliebigem v V erhält man die schwache Formulierung (die beiden Randterme verschwinden wegen u () = bzw. v() = ) u v = fv v V, somit ist a(u, v) := u v die Bilinearform und L(v) := fv die Linearform. b) Wir merken an, dass φ i () =, also V h V. Nach Definition der Matrix A gilt A ij = a(φ j, φ i ) = φ jφ i = x j x i = Bemerkung: A ist eine sogenannte Hilbert-Matrix. i + j [xi+j ] = i + j. c) A ist als symmetrische Matrix auch normal (d.h. AA = A A) und somit können wir vereinfachen cond 2 (A) = λ max, wobei λ max bzw. λ min den betragsmäßig maximalen bzw. minimalen Eigenwert von A bezeichnet. Wir rechnen nach, dass für N = : cond 2 () =. Für N = 2: A = λ min ( /2 /2 /3 lauten die Eigenwerte λ /2 = 6 (4 ± 3), also cond 2 (A) = = 3 ( ) 9.2. Für N = 5 erhält man numerisch cond 2 (A) Bemerkung: Es lässt sich zeigen, dass cond 2 (A) = O(e N ). Diese Basis {φ i } N i= ist also aufgrund der zu erwartenden Rundungsfehler bei der Lösung des LGS für eine numerische Approximation ungeeignet. Aufgabe 8 (Poisson-Problem mit reinen Neumann-Randbedingungen) Sei R d offen, beschränkt und ein C, -Rand. ) 3

4 a) Zeigen Sie, dass aus der Lösbarkeit von u = f in, (4) u ν = g auf (5) für f C (), g C ( ) notwendigerweise f = folgt. g (6) b) Um eine eindeutige Lösung für dieses Problem mit reinen Neumann-Randbedingungen zu erhalten, muss man konstante Funktionen aus dem Lösungsraum herausnehmen. Zeigen Sie das durch [v] H ()/R = v v (7) H () eine Norm auf dem Quotientenraum H ()/R gegeben ist. Dabei bezeichne [v] die zu v H () gehörende Äquivalenzklasse. c) Beweisen Sie mit dem Lemma von Lax-Milgram, dass für das Problem (4) - (5) eine eindeutige Lösung existiert. a) Durch partielle Integration von (4) (d.h. Anwenden des Gaußschen Integralsatzes) folgt direkt f = u = u ν = g. b) Wir überprüfen die Eigenschaften einer Norm: Wir nutzen dass diese sich von der H - Norm auf die Norm des Quotientenraums H ()/R vererben. Es gilt α [v] H ()/R = α v v = αv αv H () = [αv] H ()/R α R, H () [v] + [z] H ()/R = v v v + z z v + z H () = [v] H ()/R + [z] H ()/R, H () z H () und = [v] H ()/R = v v H () v v = f. ü. [v] = f. ü. 4

5 c) Zu lösen ist mit a(u, v) = a(u, v) = L(v) v V u 2, L(v) := fv + Man überzeugt sich, dass im Hilbertraum V = H ()/R die Bilinearform a beschränkt und koerziv ist. Für die Eindeutigkeit: Aus a(u u 2, u u 2 ) = für [f] = und [g] = folgt aus der Koerzivität, dass [u u 2 ] = und damit die Eindeutigkeit in V. Oder über Poincaré: Wie gehabt (vgl. Übungsblatt, Aufg. 3 a)) bekommt man die Abschätzung u 2 f Y u Y + g Z u Z, wobei Y = H () und Z = H /2 (). Damit folgt v u C ( f Y + g Z) und die Existenz im Raum H ()/R. Im Raum H ()/R folgt aus u = const, auch [u] =. Aufgabe 9 (Lemma von Céa) Welche Bedingung muss die Bilinearform im Lemma der Vorlesung erfüllen, damit dort die Konstante α /α = ist? Wie kann man in diesem Fall die Approximation von V durch V h interpretieren? Man kombiniert den Rieszschen Darstellungssatz und die Beschränktheit mit einem Operator A, also α A = sup u V Au V u V wobei α inf u V Au V u V. A(v) = a(u, v) α u V v V, (8). Andererseits gv. A(u) = a(u, u) α u 2 V, (9) Setzt man v = u in der Beschränktheit, dann α = α = c genau dann wenn Au V = c u V d.h. A erzeugt bis auf einen konstanten Faktor c gerade die Norm von V. Gilt α = α, dann lautet das Céa-Lemma: u u h V u v h V v h V, () es handelt sich bei u h um die Bestapproximation (in der V -Norm). Besprechung der Aufgaben in der Übung am Mo,