Um- und Inkugelradien am allgemeinen Tetraeder

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Thomas Stieber
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1 Ano Fehinge, Gymnsillehe fü Mthemtik und Physik 1 Um- und Inkugeldien m llgemeinen Tetede Oktoe 2007 In de voliegenden Aeit sollen Um- und Inkugeldien eines llgemeinen Tetedes in Ahängigkeit von den Kntenlängen dgestellt weden. Hiezu muss ih mih zum Teil uf Egenisse fühee, von mi vefsste Aeiten stützen. In [1] wude die Volumenfomel des Tetedes hegeleitet, welhe folgendemßen lutet: V = 1/12 sqt [ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 ) ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ] Dei edeuten,,,, q, die Kntenlängen, woei und, und q, und jeweils gegenüestehen. Hieus ehält mn eine Fomel fü die Höhe des Tetedes ezüglih des Gunddeieks q mit dem Fläheninhlt A = 1/4 sqt( 2 2 q q q 4-4 ) gemäß: h = 3V/A h= sqt [ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 ) ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ] / sqt (2 2 q q q 4-4 ) S q P Q Die 4 Deieke und die entsehenden Fläheninhlte weden folgendemßen ezeihnet: 1 =, A 1 =1/4 sqt ( ) 2 =, A 2 =1/4 sqt ( ) 3 = q, A 3 =1/4 sqt ( q q q 4 ) 4 = q, A 4 = 1/4 sqt (2 2 q q q 4-4 )

2 Ano Fehinge, Gymnsillehe fü Mthemtik und Physik 2 Desweiteen denkt mn sih duh die Eke P ein Ctesishes Koodintensystem, so dss uf de x-ahse und 4 in de x-y-eene liegt. Bild: S( 1 / y / h ) h 1 h ( 4 I h 4 I 0 ) q h 4 P( 0 I 0 I 0 ) Q( I 0 I 0 ) 1 4 Bestimmung de Koodinten : P( 0 I 0 I 0 ) Q( I 0 I 0 ) ( 4 I h 4 I 0 ) mit 4 = (q )/(2), h 4 = sqt (2 2 q q q 4-4 ) / (2) S( 1 I y I h ) mit 1 = ( ) / ( 2 ) h = sqt [ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 ) ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ] / sqt (2 2 q q q 4-4 ) woei y noh zu estimmen ist. Die Längen 4, h 4, 1 ehält mn us den Fehingeshen Gleihungen [1] fü ds llgemeine Deiek. Bestimmung von y : (1) h 2 = h 1 2 -y 2 (2) ( 1-4 ) 2 + (y-h 4 ) 2 + h 2 = 2 ( Astndsqudt ISI 2 ) ( 1-4 ) 2 + y 2-2yh 4 + h h 2 = 2 ( 1-4 ) 2 + y 2-2yh 4 + h h 1 2 -y 2 = 2

3 Ano Fehinge, Gymnsillehe fü Mthemtik und Physik 3 ( 1-4 ) 2-2yh 4 + h h 2 1 = 2 y = (( 1-4 ) 2 + h h 2 1 ) / ( 2yh 4 ) Einsetzen de Teme und Veeinfhen liefet fü y folgenden Ausduk: y= ( q q q 2 2 ) / ( 2 sqt(2 2 q q q 4-4 )) Beehnung von z und Umkugeldius : In [2] wude gezeigt, dss de Umkeismittelunkt M 4 und Umkeisdius 4 des Deieks 4 gegeen sind duh: S( 1 / y / h ) M z 4 ( 4 I h 4 I 0 ) y P( 0 I 0 I 0 ) Q( I 0 I 0 ) /2 M 4 M 4 ( /2 I z 4 I 0 ) mit z 4 = ( 2 +q 2-2 ) / ( 2 sqt (2 2 q q q 4-4 ) ) 4 = q / ( 2 sqt (2 2 q q q 4-4 ) ) De Umkugelmittelunkt M liegt senkeht üe M 4 und ht die Koodinten M( /2 I z 4 I z ), woei z noh zu estimmen ist.

4 Ano Fehinge, Gymnsillehe fü Mthemtik und Physik 4 Zu Bestimmung von z und dienen folgende Gleihungen: (3) 2 = z 2 ( Astndsqudt IPMI 2 ) (4) ( 1 -/2) 2 + (y-z 4 ) 2 +(h-z) 2 = 2 ( Astndsqudt IMSI 2 ) Duh Einsetzen und Umfomen ehält mn us (4) eine Gleihung fü z : ( 1 -/2) 2 + (y-z 4 ) 2 +h 2-2hz+ z 2 = 2 ( 1 -/2) 2 + (y-z 4 ) 2 +h 2-2hz = 2 ( 1 -/2) 2 + (y-z 4 ) 2 +h 2-2hz = 0 z=( ( 1 -/2) 2 + (y-z 4 ) 2 +h ) / (2h) Weitees Einsetzen egit : z = ( q q q q q q 2 2 ) / ( 2 sqt [ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 ) ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ] sqt (2 2 q q q 4-4 ) ) Aus (1) ehält mn dnn eine Gleihung fü 2 folgenden Quotienten: 2 =( ( q q q q q q 2 2 ) q 2 2 [ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ] ) / (4[ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ] (2 2 q q q 4-4 ) ) Nh Qudieen, Ausmultilizieen und Zusmmenfssen ehält mn fü den Zähle von 2 eine Summe mit 36 Summnden in Poduktfom, die mn wie folgt fktoisieen knn: 2 =( q q q )( 2 2 q q q 4-4 ) / (4[ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ] (2 2 q q q 4-4 ) ) Küzen duh ( 2 2 q q q 4-4 ) egit: 2 =( q q q ) / (4[ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ]) =sqt( q q q ) / (2sqt[ 2 2 ( 2 +q 2-2 )+ 2 2 ( 2 -q )+ 2 2 (- 2 +q )+ 2 2 (q )+ 2 q 2 ( )+ 2 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 ( 2 +q 2 )- 2 2 ( )- 2 q 2 2 ])

5 Ano Fehinge, Gymnsillehe fü Mthemtik und Physik 5 De Nenne ist gleih 24V, lso folgt: =sqt( q q q ) / (24V) Den Zähle knn mn nohmls Fktoiesieen: =sqt ( ( ++q+ ) ( -+q+ ) ( +-q+ ) ( ++q- ) ) / (24V) Zusmmenhng zwishen Umkugeldius und Inkugeldius ρ : Wegen ρ = 3V / (A 1 + A 2 + A 3 + A 4 ) folgt: 8ρ = sqt ( ( ++q+ ) ( -+q+ ) ( +-q+ ) ( ++q- ) ) / (A 1 + A 2 + A 3 + A 4 ) efeenzen: [1] Ano Fehinge: Vellgemeineung de euklidishen Flähensätze im llgemeinen Deiek und Fehingeshe Gleihungen nest Anwendung zu Volumenestimmung des llgemeinen Tetedes, Juni 2007 [2] Ano Fehinge: Um- und Inkeisdien m llgemeinen Deiek, Seteme 2007 [3] Wehle, Hugo: Deiek und Wehlezhl, Somme 2007

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