Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München

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1 Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie II" (Prof. Wachutka) SS9 Blatt 1 Aufgabe: Ebene Wellen Im Vakuum, daß heißt die Leitfähigkeit σ, die Ladungsdichte ρ und die Stromdichte j sind gleich Null, breitet sich eine harmonische, ebene elektromagnetische Welle in positive z-richtung aus. Sie ist durch das durch das elektrische Potential Φ 1 ( r, t) = und das Vektorpotential A 1 ( r, t) = A sin( k r t) e x mit dem reellen Wellenvektor k = k e z, der Kreisfrequenz und der Amplitude A gegeben, die allesamt räumlich und zeitlich konstant sind. a) Zeigen Sie, daß die durch das Vektorpotential A 1 ( r, t) und das elektrische Potential Φ 1 ( r, t) gegebene elektromagnetische Welle sowohl die Coulomb-Eichung als auch die Lorentz-Eichung erfüllt. b) Unter welcher Bedingung erfüllt die gegebene elektromagnetische Welle die Wellengleichung? c) Geben Sie die zum Vektorpotential A 1 ( r, t) und dem elektrischen Potential Φ 1 ( r, t) gehörende elektrische Feldstärke E 1 ( r, t) und magnetische Induktion B 1 ( r, t) an. d) Berechnen Sie die elektromagnetische Energiedichte w elmg,1 ( r, t). e) Bestimmen Sie die elektromagnetische Leistungsflußdichte S 1 ( r, t) (Poynting- Vektor) und den zeitlichen Mittelwert der elektromagnetischen Leistungsflußdichte S 1 ( r, t). Die durch das elektrische Potential Φ 1 ( r, t) und das Vektorpotential A1 ( r, t) gegebene elektromagnetische Welle wird nun mit einer durch das elektrische Feld E ( r, t) = A cos( k e z r t) e x gegebenen elektromagnetischen Welle überlagert, die in negativer z-richtung fortschreitet. f) Geben Sie die elektrische Feldstärke E 3 ( r, t) an die sich durch Überlagerung der beiden gegebenen elektromagnetischen Wellen ergibt. f) Bestimmen Sie unter Verwendung der geeigneten Maxwellschen Gleichung die magnetische Induktion B 3 ( r, t) der überlagerten elektromagnetischen Wellen. g) Wie groß ist die elektromagnetische Leistungsflußdichte S 3 ( r, t) (Poynting-Vektor) der überlagerten elektromagnetischen Wellen und dessen zeitlicher Mittelwert S 3 ( r, t)?

2 Lösung: a) Die Coulomb-Eichung lautet: div A 1 ( r, t) = Da die Welle sich in positive z-richtung ausbreitet, gilt k = k e z. Es folgt: A sin(k e z r t) = x y z Das heisst, diese Welle erfüllt die Coulomb-Eichung. Die Lorentz-Eichung lautet: div A 1 ( r, t) + ǫµ φ 1 ( r, t) t = Die Welle erfült auch die Lorentz-Eichung, da div A 1 ( r, t) = und φ 1 ( r, t) =. b) Die inhomogene Wellengleichung für A 1 ( r, t) lautet: ǫµ A1 ( r, t) t A 1 ( r, t) = µ j Da im Vakuum j =, ǫ = ǫ und µ = µ gilt, folgt: ǫ µ A1 ( r, t) t A 1 ( r, t) = ǫ µ A sin(kz t) + k A sin(kz t) = = 1 ǫ µ k Die inhomogene Wellengleichung für φ 1 ( r, t) lautet: φ 1 ( r, t) ǫ µ φ t 1 ( r, t) = ρ ǫ Da ρ = gilt, folgt: ǫ µ φ 1 ( r, t) t φ 1 ( r, t) = Mit φ 1 ( r, t) = ist die Wellengleichung erfüllt.

3 c) Für das elektrische Feld E 1 ( r, t) gilt: E 1 ( r, t) = gradφ 1 ( r, t) A 1 ( r, t) t = t A sin(kz t) e x = A cos(kz t) e x Für die magnetische Induktion B 1 ( r, t) gilt: B 1 ( r, t) = rota 1 ( r, t) = x y z A sin(kz t) = ka sin(kz t) d) Elektromagnetische Energiedichte w elmg,1 ( r, t): w elmg,1 ( r, t) = ǫe 1 ( r, t) = ǫ (A cos(kz t) e x ) = ǫ A cos (kz t) e) Elektromagnetische Energieflussdichte S 1 ( r, t): S 1 ( r, t) = cw elmg n Mit c = 1 ǫ µ und n = e z folgt: S 1 ( r, t) = ǫ µ A cos (kz t) e z Zeitlicher Mittelwert der elektromagnetische Energieflussdichte S 1 ( r, t): S 1 ( r, t) = π π S 1 ( r, t)dt Mittelung über eine Zeitperiode: S 1 ( r, t) = π π [ ] ǫ A µ cos (kz t) e z dt Substition: ϕ = kz t S 1 ( r, t) = kz π [ 1 ] ǫ A π kz µ cos ϕ) e z dϕ = 1 [ ǫ 1 A π µ ϕ + 1 ] kz π 4 sinϕ e z kz = 1 ǫ A 1 π µ ( π) e z = 1 ǫ A µ e z

4 f) Für das elektrische Feld E 3 ( r, t) ergibt sich: E 3 ( r, t) = E 1 ( r, t) + E ( r, t) = A cos(kz t) e x + A cos(kz + t) e x = A [cos(kz t) + cos(kz + t)] e x Mit cos(α) + cos(β) = cos( (α+β) )cos( (α β) ) folgt: E 3 ( r, t) = A cos(kz)cos(t) e x g) Berechnung der magnetischen Induktion B 3 ( r, t): rote 3 ( r, t) = B 3 ( r, t) t B 3 ( r, t) = rote 3 ( r, t)dt = = x y z A cos(kz t) + A cos(kz + t) A ksin(kz t) + A ksin(kz + t) dt dt = A kcos(kz t) e y A kcos(kz + t) e y + const; const= h) Elektromagnetische Leistungsflussdichte S 3 ( r, t): S 3 ( r, t) = E 3 ( r, t) H 3 ( r, t) = 1 µ E3 ( r, t) B 3 ( r, t) = 1 µ A (cos(kz t) + cos(kz + t)) e x A k(cos(kz t) cos(kz + t)) e y = 1 µ ka (cos (kz t) cos(kz + t)cos(kz t) + cos(kz + t)cos(kz t) cos (kz + t)) e z = 1 µ ka [ cos (kz t) cos (kz + t) ] e z Mit cos α = 1 (1 + cosα) folgt: S 3 ( r, t) = 1 [ 1 ka µ cos(kz t) 1 ] cos(kz + t) e z Mit cos(α) cos(β) = sin( α+β )sin(β α ) folgt: S 3 ( r, t) = 1 µ ka sin(kz)sin(t) e z Zeitlicher Mittelwert der elektromagnetischen Energieflussdichte S 3 ( r, t):

5 S 3 ( r, t) = π =.π.π.π S 3 ( r, t)dt = ka πµ sin(kz) 1 ka µ sin(kz)sin(t)dt.π sin(t)dt = Für eine stehende, elektromagnetische Welle ist der zeitliche Mittelwert der elektromagnetischen Energieflussdichte gleich Null.