Algorithmische Graphentheorie

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1 Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 13: Flüsse und Zuordnungen Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca 9. Juni 2017

2 DURCHSATZ D(e) ist die maximale Flussmenge, die durch die Ecke e fliessen kann.

3 ALGORITHMUS VON DINIC Die Idee des Verfahrens besteht darin, in jedem Schritt den Fluss auf dem geschichteten Hilfsnetzwerk derart zu erhöhen, dass der Fluss durch die Ecke e mit minimalem Durchsatz gerade D(e) ist. Danach können e und die mit e inzidenten Kanten aus dem Netzwerk entfernt werden. Der Durchsatz aller Ecken muss ebenfalls neu bestimmt werden. Er kann sich auf zwei verschiedene Arten geändert haben.

4 ALGORITHMUS VON DINIC Die Kapazitäten der Kanten werden um den entsprechenden Fluss vermindert. Dadurch kann der Durchsatz sinken. Ferner können Ecken mit Durchsatz 0 entstehen (z.b. die Ecke mit minimalem Durchsatz). Diese werden mit ihren Kanten entfernt und der Durchsatz der Nachbarn abgeändert. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis der Durchsatz jeder Ecke positiv ist. Die änderung des Durchsatzes erfolgt mittels der beiden Felder D + und D. D + [e] = k=(e,f ) K c(k) und D [e] k=(f,e) K c(k).

5 ALGORITHMUS VON DINIC Die Erhöhung des Flusses bis zu dem Punkt, an dem die Ecke mit minimalem Durchfluss gesättigt ist, erfolgt mit den Prozeduren erweitererückwärts und erweiterevorwärts. Diese verteilen den Fluss D[e], von e aus startend, rückwärts bis zur Quelle bzw. vorwärts bis zur Senke. Dabei werden die beiden Felder D und D + abgeändert. Kanten, deren Kapazitäten voll ausgenutzt werden, werden entfernt. Die Ecken, deren Durchsatz auf 0 absinkt, werden gesammelt und in der Prozedur blockfluss rekursiv entfernt.

6 PROZEDUR blockfluss

7 PROZEDUR blockfluss

8 PROZEDUR erweitererückwärts Die Prozeduren erweitererückwärts und erweiterevorwärts arbeiten nach dem gleichen Prinzip. Sie starten bei der Ecke mit minimalem Durchsatz und verteilen diesen Fluss rückwärts zur Quelle bzw. vorwärts zur Senke unter Beibehaltung der Flusserhaltungsbedingung für alle besuchten Ecken. Dies ist möglich, da der Durchsatz der anderen Ecken mindestens genauso hoch ist. Eine Verteilung dieses Flusses rückwärts von der Senke startend würde nicht das gleiche Ziel erreichen. In diesem Fall wäre nicht gesichert, dass die Ecke mit minimalem Durchsatz gesättigt wäre und deshalb entfernt werden könnte.

9 PROZEDUR erweitererückwärts

10 TRENNENDER SCHNITT

11 TRENNENDER SCHNITT Definition Es sei N = (G, c, s, t) ein Flussnetzwerk mit G = (V, A). Für eine Teilmenge S V heißt A S := {(v, w) A v S, w V \ S} Schnitt von G. Falls s S, t V \ S, so ist A S ein trennender Schnitt. Ein trennender Schnitt A S mit minimaler Kapazität c(a S ) := e A S c(e) heißt minimaler Schnitt.

12 MAX-FLOW-MIN-CUT-THEOREM Theorem

13 BEMERKUNG 1 Kennen wir einen Fluss f und finden wir einen trennenden Schnitt A S mit Φ(f ) = c(a S ), so ist f ein Maximalfluss. 2 Für die Menge S bei Terminierung vom Markierungsalgorithmus ist A S ein minimaler Schnitt. 3 Der Markierungsalgorithmus berechnet also nicht nur einen maximalen Fluss sondern auch einen minimalen Schnitt.

14 BEISPIEL Wie groß ist der Maximalfluss in dem folgenden Graphen?

15 0-1-NETZWERKE In diesem Abschnitt wird ein wichtiger Spezialfall von allgemeinen Netzwerken betrachtet: Netzwerke, in denen jede Kante die Kapazität 0 oder 1 hat. Solche Netzwerke nennt man 0-1-Netzwerke. Sie treten in vielen Anwendungen auf. Auf 0-1-Netzwerke existieren maximale Flüsse mit speziellen Eigenschaften. Satz. Es sei G ein 0-1-Netzwerk. Dann existiert ein maximaler Fluss f, welcher auf jeder Kante den Wert 1 oder 0 hat. Ferner gibt es f Wege von q nach s, welche paarweise keine Kante gemeinsam haben. Die Kanten dieser Wege haben alle den Fluss 1.

16 BINÄRE FLÜSSE Ein Fluss heisst binär, wenn er auf jeder Kante den Wert 0 oder 1 hat. Man beachte, dass nicht jeder maximale Fluß auf einem 0-1-Netzwerk ein binärer Fluss ist. Die in den letzten Abschnitten entwickelten Algorithmen lassen sich für 0-1-Netzwerke noch verbessern, so dass man zu effizienteren Verfahren gelangt. Die Grundlage für diesen Abschnitt bildet der Algorithmus von Dinic. In beliebigen Netzwerken können die dazugehörigen geschichteten Hilfsnetzwerke aus bis zu n 1 Niveaus bestehen. Für die Anzahl der Niveaus in einem geschichteten Hilfsnetzwerk eines 0-1-Netzwerkes kann eine bessere obere Schranke angegeben werden. Das folgende Lemma gilt auch für Netzwerke, die nicht schlicht sind.

17 BINÄRE FLÜSSE Lemma Es sei N ein 0-1-Netzwerk mit der Eigenschaft, dass es zwischen je zwei Ecken maximal zwei parallele Kanten gibt. Ist f 0 der triviale Fluss auf N und M der Wert eines maximalen Flusses, so besteht das geschichtete Hilfsnetzwerk G f 0 aus maximal 2 2/3 n/ M Niveaus.

18 BINÄRE FLÜSSE Mit Hilfe dieses Ergebnisses kann man nun zeigen, dasss die worst case Laufzeit des Algorithmus von Dinic für 0-1-Netzwerke geringer als die für allgemeine Netzwerke ist. Eine weitere Verbesserung wird dadurch erreicht, dass das Verfahren zum Auffinden von blockierenden Flüssen auf die speziellen Eigenschaften von 0-1-Netzwerken abgestimmt wird.

19 BLOCKIERENDE FLÜSSE Ein Fluss ist ein blockierender Fluss, falls es keinen Erweiterungsweg gibt, der nur aus Vorwärtskanten besteht. Für 0-1-Netzwerke bedeutet dies, dass ein binärer Fluss blockierend ist, falls es keinen Weg von der Quelle zur Senke gibt, der ausschliesslich aus Kanten mit Fluss 0 besteht. Dazu werden Wege von der Quelle zur Senke bestimmt und deren Kanten dann aus dem Netzwerk entfernt. Diese Kanten tragen den Fluss 1. Das folgende Verfahren basiert auf der Tiefensuche. Hierbei wird jede Kante nur einmal betrachtet und anschliessend entfernt.

20 DIE REKURSIVE FUNKTION finde Sucht Wege von der Quelle zur Senke und entfernt alle betrachteten Kanten.

21 PROZEDUR blockfluss Jeder Aufruf von finde erweitert den Fluss h, soweit h noch nicht blockierend ist, und entfernt die besuchten Kanten aus G. Die Prozedur blockfluss ruft solange finde auf, bis kein Weg mehr von der Quelle zur Senke existiert. Am Ende ist h ein binärer blockierender Fluss. Prozedur blockfluss procedure blockfluss(g : 0-1-Netzwerk; var h : Fluss) begin while finde(g, G.quelle, h) = 1 do t end

22 BINÄRE FLÜSSE Die Komplexität der Prozedur blockfluss läßt sich leicht bestimmen. Jede Kante wird maximal einmal betrachtet; somit ergibt sich O(m) als worst case Komplexität. Das im letzten Abschnitt vorgestellte Verfahren zur Bestimmung eines blockierenden Flusses in einem beliebigen Netzwerk hatte dagegen eine Komplexität von O(n 2 ). Mit Hilfe dieser Vorbereitungen kann nun folgender Satz bewiesen werden. Satz. Ein binärer maximaler Fluss für 0-1-Netzwerke kann mit dem Algorithmus von Dinic mit Komplexität O(n 2/3 m) bestimmt werden.

23 KOSTENMINIMALE FLÜSSE In praktischen Anwendungen treten Netzwerke häufig in einer Variante auf, bei der den Kanten neben Kapazitäten auch noch Kosten zugeordnet sind. Es sei G ein Netzwerk mit oberen Kapazitätsbeschränkungen. Jeder Kante k in G sind Kosten c(k) > 0 zugeordnet. Hierbei sind c(k) die Kosten, die beim Transport einer Flusseinheit durch die Kante k entstehen. Die Kosten eines Flusses f von G sind gleich f (k)(c(k). k E

24 KOSTENMINIMALE FLÜSSE In der Praxis interessiert man sich für folgende Fragestellung: Unter den Flüssen mit Wert w ist derjenige mit minimalen Kosten gesucht. Einen solchen Fluss nennt man kostenminimal. Insbesondere sucht man nach einem maximalen Fluss mit minimalen Kosten. Es sei nun f ein Fluss und W ein Erweiterungsweg für f. Die Kosten von W sind gleich der Summe der Kosten der Vorwärtskanten minus der Summe der Kosten der Rückwärtskanten bezüglich f. Ein geschlossener Weg in G f heißt Erweiterungskreis. Die Kosten eines Erweiterungskreises berechnen sich genauso wie für einen Erweiterungsweg. Die wichtigsten Eigenschaften von kostenminimalen Flüssen sind in folgendem Satz zusammengefasst.

25 SATZ Es sei G ein Netzwerk mit oberen Kapazitätsbeschränkungen und einer Bewertung der Kanten mit nicht negativen Kosten. Dann gelten folgende Aussagen: 1 Ein Fluss f mit Wert w hat genau dann minimale Kosten, wenn der Graph G f keinen Erweiterungskreis mit negativen Kosten besitzt. 2 Es sei f ein kostenminimaler Fluss mit Wert w und W ein Erweiterungsweg mit den kleinsten Kosten für f. Der aus f und W gebildete neue Fluss f ist wieder ein kostenminimaler Fluss und hat den Wert f + f. 3 Sind alle Kapazitäten ganze Zahlen, so gibt es einen kostenminimalen maximalen Fluss, dessen Werte ganzzahlig sind.

26 ANWENDUNGEN VON NETZWERKALGORITHMEN Matchings - Wiederholung Es sei G ein ungerichteter Graph mit Kantenmenge K. Eine Teilmenge Z von K heißt Zuordnung (Matching) von G, falls die Kanten in Z paarweise keine gemeinsamen Ecken haben. Eine Zuordnung heißt maximal, wenn es keine Zuordnung mit mehr Kanten gibt. Die Maximalität von Zuordnungen stützt sich nicht auf die Maximalität von Mengen bezüglich Mengeninklusion, sondern auf die Maximalität der Anzahl der Elemente von Mengen. Eine Zuordnung Z eines Graphen G heißt nicht erweiterbar, wenn sie durch keine weitere Kante vergrößert werden kann. In diesem Fall gibt es zu jeder Kante von G eine Kante aus Z, so dass beide Kanten mindestens eine Ecke gemeinsam haben. Eine Zuordnung Z heißt vollständig, falls jede Ecke des Graphen mit einer Kante aus Z inzident ist. Jede vollständige Zuordnung ist maximal, aber die Umkehrung gilt nicht.

27 MATCHINGS IN BIPARTITE GRAPHEN Es sei G ein bipartiter Graph und N G folgendes 0-1-Netzwerk: Die Eckenmenge E G von N G ist gleich E {q, s}, d.h. es werden zwei neue Ecken eingeführt. Für jede Ecke e E 1 gibt es in N G eine Kante von q nach e mit Kapazität 1 und für jede Ecke e E 2 eine Kante von e nach s mit Kapazität 1. Ferner gibt es für jede Kante (e 1, e 2 ) von G eine gerichtete Kante von e 1 nach e 2 mit Kapazität 1 (e 1 E 1, e 2 E 2 ).

28 MATCHINGS IN BIPARTITE GRAPHEN Abbildung 1: Ein bipartiter Graph G und sein 0-1-Netzwerk N G

29 LEMMA Lemma Die Anzahl der Kanten in einer maximalen Zuordnung eines bipartiten Graphen G ist gleich dem Wert eines maximalen Flusses auf N G. Ist f ein maximaler binärer Fluss, so bilden die Kanten aus G mit Fluss 1 eine maximale Zuordnung von G. Beweis Es sei f ein maximaler binärer Fluss auf dem 0-1-Netzwerk N G. Ferner sei Z die Menge aller Kanten aus G, für die der Fluss durch die entsprechende Kante in N G gerade 1 ist. Da jede Ecke aus E 1 in N G den Eingrad 1 und jede Ecke aus E 2 in N G den Ausgrad 1 hat, folgt aus der Flusserhaltungsbedingung, dass Z eine Zuordnung ist. Ferner enthält Z genau f Kanten.

30 BEWEIS (2) Sei nun umgekehrt Z eine maximale Zuordnung von G mit z Kanten. Dann läßt sich leicht ein Fluss f mit Wert z auf N G konstruieren. Für jede Kante (e 1, e 2 ) Z definiert man f (q, e 1 ) = f (e 1, e2) = f (e 2, q) = 1 und f (k) = 0 für alle anderen Kanten k von N G. Die Flusserhaltungsbedingung ist für f erfüllt, und es gilt f = z. Damit ist das Lemma bewiesen.

31 MATCHINGS UND FLÜSSE Satz Für einen bipartiten Graphen kann eine maximale Zuordnung in der Zeit O( zm) mittels des Algorithmus von Dinic bestimmt werden. Hierbei bezeichnet z die Anzahl der Kanten in einer maximalen Zuordnung.

32 BESTIMMEN VON MATCHINGS Maximale Zuordnungen für Bäume können in linearer Zeit bestimmt werden. Verfahren zur Bestimmung von maximalen Zuordnungen in nicht bipartiten Graphen sind komplizierter. Die besten Algorithmen haben erstaunlicherweise die gleiche worst case Laufzeit wie im bipartiten Fall. Dabei wird das Konzept der Erweiterungswege auf dem Netzwerk N G in ein entsprechendes Konzept für G übertragen. Das größte Problem dabei ist die Bestimmung von Erweiterungswegen in nicht bipartiten Graphen.

33 NETZWERKE MIT OBEREN UND UNTEREN KAPAZITÄTEN Bisher wurden nur Netzwerke betrachtet, in denen der Fluss durch jede Kante nur nach oben beschränkt war. Eine explizite untere Grenze wurde nicht angegeben. Es wurde lediglich verlangt, dass der Fluss nicht negativ ist, d.h. 0 war die untere Grenze für alle Kanten. In vielen Anwendungen sind aber von 0 verschiedene Untergrenzen von Bedeutung. In diesem Abschnitt werden Netzwerke mit oberen und unteren Grenzen für den Fluss durch die Kanten betrachtet. Dazu werden zwei Kapazitätsfunktionen κ u und κ 0 für ein Netzwerk angegeben. Für alle Kanten k des Netzwerkes gilt κ u (k) < κ 0 (k). Der erste Teil der Definition eines Flusses wird folgendermaßen abgeändert: a) für jede Kante k von G gilt κ u (k) < f (k) < κ 0 (k).

34 NETZWERKE MIT OBEREN UND UNTEREN KAPAZITÄTEN Der zweite Teil der Definition bleibt unverändert. Ziel dieses Abschnitts ist die Entwicklung eines Algorithmus zur Bestimmung eines maximalen Flusses in Netzwerken mit oberen und unteren Grenzen. Betrachtet man noch einmal die im letzten Vorlesung diskutierten Algorithmen, so haben diese eine Gemeinsamkeit: Ein gegebener Fluss wird schrittweise erhöht, bis er maximal ist. Ausgangspunkt war dabei meist der triviale Fluss. Auf einem Netzwerk mit von 0 verschiedenen Untergrenzen ist der triviale Fluss aber kein zulässiger Fluss. Das erste Problem ist also die Bestimmung eines zulässigen Flusses. Die Anpassung der Algorithmen, um aus einem zulässigen einen maximalen Fluss zu erzeugen, sind leicht vorzunehmen.

35 BEISPIEL:NETZWERK MIT OBEREN UND UNTEREN KAPAZITÄTEN Abbildung 2: Ein Netzwerk ohne zulässigen Fluss

36 BEISPIEL - DISKUSSION Aus der Quelle können maximal fünf Einheiten hinausfliessen, und in die Senke müssen mindestens sechs Einheiten hineinfliessen. D.h. es ist im allgemeinen nicht sicher, dass ein zulässiger Fluss überhaupt existiert.

37 BESTIMMUNG EINES MAXIMALEN FLUSSES Die Bestimmung eines maximalen Flusses auf Netzwerken mit unteren und oberen Grenzen erfolgt in zwei Phasen: 1 überprüfung, ob ein zulässiger Fluss existiert und desselben Bestimmung 2 Erhöhung dieses Flusses zu einem maximalen Fluss. L.R. Ford und D.R. Fulkerson haben eine Methode entwickelt, mit der das Problem der ersten Phase auf ein Netzwerkproblem ohne untere Kapazitätsgrenzen zurückgeführt werden kann. Dazu wird ein Hilfsnetzwerk G konstruiert.

38 BESTIMMUNG EINES MAXIMALEN FLUSSES

39 BESTIMMUNG EINES MAXIMALEN FLUSSES

40 BESTIMMUNG EINES MAXIMALEN FLUSSES Damit ist G ein g s-netzwerk, d.h. die Ecken q und s sind normale Ecken in G. Das Netzwerk G hat nur obere Kapazitätsgrenzen, d.h. mit den Algorithmen aus der letzten Vorlesung kann ein maximaler Fluss für G bestimmt werden. Die Konstruktion von G bedingt, dass folgende Gleichung gilt: e E κ(k e ) = e E κ(k e ). Diese Größe wird im folgenden mit S bezeichnet. S ist eine obere Grenze für den Wert eines Flusses auf G. Der Wert eines maximalen Flusses auf G zeigt an, ob es einen zulässigen Fluss auf G gibt. Das wird in dem folgenden Lemma bewiesen.

41 LEMMA Genau dann gibt es einen zulässigen Fluss auf dem Netzwerk G, wenn der maximale Fluss auf dem Netzwerk G den Wert S hat.

42 BEISPIEL Abbildung 3: Ein Netzwerk G mit oberen und unteren Kapazitätsgrenzen und das dazugehörige Netzwerk G

43 BEISPIEL Abbildung 4: Werte des maximalen Flusses f für Netzwerk G Auf allen anderen Kanten hat f den Wert 0. Somit hat f den Wert 7. Da auch S gleich 7 ist, gibt es einen zulässigen Fluss f auf G.

44 BEISPIEL Abbildung 5: Werte des maximalen Flusses f für Netzwerk G

45 BESTIMMUNG EINES MAXIMALEN FLUSSES Nachdem ein zulässiger Fluss gefunden wurde, kann dieser zu einem maximalen Fluss erhöht werden. Dazu muß die Definition eines Erweiterungsweges geändert werden. Für eine Vorwärtskante k muss nun und für eine Rückwärtskante gelten. Ferner ist f (k) < κ 0 (k) f (k) > κ u (k) f v = min{κ 0 (k) f (k) k Vorwärtskante auf dem Erweiterungsweg} f r = min{f (k) κ u (k) k Rückwärtskante auf dem Erweiterungsweg}.

46 BESTIMMUNG EINES MAXIMALEN FLUSSES Nimmt man diese Änderungen im Algorithmus von Edmonds und Karp vor, so bestimmt dieser ausgehend von einem zulässigen Fluss einen maximalen Fluss.