Tutorial Differentialgleichungen

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1 Tutorial Differentialgleichungen mit einem kurzen Repetitorium der Differentialrechnung und einem ausführlichen Tutorial über unbestimmte Integrale und numerische Verfahren

2 Link-Navigator zu Themen. Mit ctrl-klick zum Thema springen Differentialrechnung : Grundlagen Formeln Integralrechnung : Substitutionsregel Integrale gewöhnl. Funktionen Integrale von Wurzeln Integrale bestimmten Typs Integrale von Quotienten Trigonom. Integration Eulersche Substitutionen Differentialgleichungen : Die homogene DGL Die inhomogene DGL DGLn höherer Ordnung Sonderfall wie Riccati DGL Lotka-Volterra-Gleichungen Nichtlineare DGLn Bernoulli DGL Systeme von DGLn Van-der-Pol-Gleichung Methoden bei DGLn : Trennung der Variablen Variation der Konstanten Unbestimmte Koeffizienten Charakteristische Gleichungen Anwendungen DGLn : Exponentielles Wachstum Beschränktes Wachstum Logistische DGL Schwingungen Bewegung mit Reibung Reverse Astronomie Numerik: Lineare GLS/Algebra Näherungsmethoden Numer. Integr.verfahren Taylor-Reihenentwicklung Laplace-Transformationen Interpolationsverfahren Fourierreihen Euler/Runge-Kutta Repetitorien : Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Komplexe Zahlen Polynomdivision Partialbruchzerlegung Anhang Mathem. Hilfen im Internet Computeralgebrasysteme

3 Behandelte Methoden der Integralrechnung (auszugsweise): Summenregel Integrale von Wurzeln Partialbruchzerlegung Bogenmaßsystem Faktorregel Produktregel (Partielle Integration) Kettenregel (Substitutionsregel) Logarithmusfunktion Exponentialfunktion Winkelfunktionen Polynomdivision Trigonometrische Substitution Integrale von gebr. rationalen Funktionen Hyperbolische Substitution Einheitskreis Eulersche Substitution I - III Behandelte Methoden bei Differentialgleichungen (auszugsweise): Trennung der Variablen Homogene, inhomogene DGLn Wachstumsprozesse Schwingungsprozesse Variation der Konstanten Lineare, nichtlineare DGLn Logistische DGLn Eulersche Identität Unbestimmte Koeffizienten DGLn höherer Ordnung Bewegungen unter Reibung Fourier- Analyse Charakteristische Gleichungen Systeme von DGLn Partikuläre Lösungen Laplace- Transformationen Behandelte numerische und andere Methoden (auszugsweise): Horner-Schema Nullstellen Gaußsches Integral Dividierte Differenzen Lineare Gleichungssysteme (Nicht-) Lineare Näherungen Newton- Verfahren Ausgleichskurven Eigenwerte Eigenvektoren Taylorreihen Newton- Interpolation Abstandsquadrate Numerische Integrationen Fourierreihen Spline- Interpolation Euler-/Runge- Kutta-Verfahren Radioaktiver Zerfall Ausgleichsprozesse Anwendungen von DGLn (auszugsweise): Bewegungsgleichungen Räuber-Beutegleichungen Harmonischer Oszillator Reverse Astronomie Gedämpfte Schwingungen Beschränktes Wachstum

4 Inhaltsverzeichnis: Grundlagen zur Mathematik hier im Buch (ab Seite 1) Gleichungen Gleichungen führen zu Aussagen Darstellung von Funktionen Differentialrechnung (ab Seite 6) Differenzierbarkeit Mehrfache Ableitungen Konstante Funktion Lineare Funktion Potenzregel Trigonom. Funktionen Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Produktregel Quotientenregel Kettenregel Schema Integralrechnung (ab Seite 14) Integrieren als Umkehrung des Differenzierens Zur Notation Integrale gewöhnlicher Funktionen Die Funktion Die Funktion Die Funktion Trigon. Funktionen Die Expon.- und Logar.funktionen Rechenregeln für das Integrieren (ab Seite 20) Summenregel Vorziehen eines konstanten Faktors Produktregel (Part. Integr.) Substitutionsregel Einschub: Integration von Wurzeln Allgem. zur Substitutionsregel Repetitorium: Logarithmusfunktion Rechenregeln Logarithmus Repetitorium: Exponentialfunktion Besondere Integrale bestimmten Typs (ab Seite 36) Besondere Integrale speziellen Typs: Quotienten (ab Seite 42) Integrale von Kehrwerten Partialbruchzerlegung Integrale von gebrochen rationalen Funktionen Trigonometrische Integration (ab Seite 53) Algebr. und trigon. Funktionen Umkehrfunktionen Der Sinus im Einheitskreis Trigon. Substitution Hyperbolische Integration Allgemeines Schema zur Substitution Eulersche Substitutionen

5 Differentialgleichungen (ab Seite 73) Die Mutter aller Differentialgleichungen Abwandlungen unserer Grundgleichung Die homogene Differentialgleichung (ab Seite 79) Trennung der Variablen Anwendungen der DGLn I. Die inhomogene Differentialgleichung (ab Seite 99) Variation der Konstanten Anwendungen der DGLn II. und III. Differentialgleichungen II. und höherer Ordnung (ab Seite 116) Repetitorium: Komplexe Zahlen Inhomogene DGL II. Ordnung Anwendungen der DGLn IV. und V. Methode der unbestimmten Koeffizienten Methode der charakteristischen Gleichungen Nichtlineare, homogene Differentialgleichungen (ab Seite 158) Anwendungen der DGLn VI. Nichtlineare, inhomogene DGLn Systeme von Differentialgleichungen (ab Seite 180) Lösungsverfahren homogene Systeme Anwendungsbeispiel: Ausgleichsprozess Räuber-Beute-DGLn (Lotka-Volterra) Lösungsverfahren inhomogene DGLn Gekoppelte Schwingungen Van-der-Pol-Gleichung

6 Numerische Verfahren (ab Seite 191) Allgemeine Methoden Horner-Schema Lineare Gleichungen/Algebra Näherungsverfahren (ab Seite 208) Lineare Näherungen Nichtlineare Näherungen Taylor-Reihen Nullstellen (ab Seite 214) Newton-Verfahren Suchverfahren Integrationsverfahren (ab Seite 227) Numerische Integration Gaußsches Integral Simpsonsche Regel Fehlerfunktion Interpolationsverfahren (ab Seite 233) Newton-Interpolation Regressionsanalyse Laplace-Transformationen Splines Fourier-Reihenentwicklung Euler-/Runge-Kutta-Verfahren Anhang (ab Seite 277) Mathematische Hilfen im Internet Computeralgebrasysteme Bildnachweise: Seite 235 de.wikipedia.org/wiki/fass#/media/file:radebeul_fass.jpg (Stefan Kühn) Seite 245 de.wikipedia.org/wiki/straklatte#/media/file:spline_(psf).png (Pearson Scott Foresman) Seite 53/54/56 de.wikipedia.org/wiki/trigonometrische_funktion (Bismuc64/Ohne) Seite 67 de.wikipedia.org/wiki/hyperbelfunktion (Ohne) Seite 246 de.wikipedia.org/wiki/simpsonregel (Popletibus) Alle übrigen Graphiken erstellt durch den Verfasser

7 Grundlagen zur Mathematik hier im Buch (anstelle eines Vorworts) Gleichungen: Eine Gleichung ist alles, was eine linke Seite und eine rechte Seite besitzt. Außerdem befindet sich ein Gleichheitszeichen dazwischen. Dies hier sind Gleichungen: ( ) ; Alle haben eine linke und rechte Seite, sowie ein Gleichheitszeichen dazwischen. Es ist für die Eigenschaft, Gleichung zu sein, vollkommen egal, ob die Gleichung Sinn macht. Auch der Ausdruck oben: = ist eine Gleichung, ebenso wie: FC Bayern = BVB Dortmund FC Schalke 04. Gleichungen führen zu Aussagen Aussagen sind alle Formulierungen, bei denen wir wenigstens im Prinzip! entscheiden können, ob sie Wahr oder Falsch sind. Da Gleichungen eben solche Formulierungen sind, bei denen wir dies unterscheiden können, treffen Gleichungen wahre oder falsche Aussagen. In unseren Beispielen können wir unschwer erkennen, dass das erste Beispiel eine wahre Aussage darstellt: weil:. Die zweite Aussage ist offensichtlich falsch: Die Ausdrücke links und rechts sind nicht identisch. Den Pfeil werden wir häufiger benutzen. Er bedeutet: aus der linken Seite folgt die rechte Seite bzw. die Aussage der linken Seite bedingt die Aussage der rechten Seite. Eine Gleichung bezeichnen wir als Wahr, wenn wir sie - nach den Regeln der Kunst - so umformen können, dass auf beiden Seiten der gleiche Ausdruck steht. Dies ist nämlich genau die Definition für Gleichheit. Bei den beiden nächsten Gleichungen fällt es uns zunächst schwer, den Wahrheitsgehalt zu bestimmen. Dies liegt daran, dass hier Symbole auftauchen, die wir als Variablen bezeichnen. In diese Platzhalter können wir beliebige Werte einsetzen. Erst wenn wir dies getan haben, können wir entscheiden, ob die Gleichung zu einer wahren oder falschen Aussage führt. Das probieren wir schnell aus: In der Gleichung ( ) setzen wir für die Variablen ein: 1

8 und erhalten: ( ) Das ist offensichtlich falsch. Für die Einsetzung (bei ansonsten unverändertem p und q) hätten wir eine wahre Aussage erhalten. Aus leidvoller Erfahrung wissen wir, dass es sehr viel einfacher ist, falsche Gleichungen zu produzieren, als wahre Bei der vierten Gleichung: könnten wir im Prinzip genauso verfahren, wie vorher. Der gewiefte Leser erkennt natürlich, dass das Symbol e nicht für eine beliebig wählbare Zahl steht, sondern für eine Konstante, nämlich die Eulersche Zahl, deren numerischer Wert ca. 2,78128 beträgt. Wir finden dahinter den Ausdruck cos(x). Dieser erhält seinen eigentlichen Wert erst, wenn man sich für einen Wert für x entschieden hat. Ebenso erkennt er, dass von ihm etwas vollkommen anderes verlangt wird, wenn er so etwas vorgesetzt bekommt. Immer noch handelt es sich um eine Gleichung. Jetzt ist dies aber eine Funktionsgleichung oder kurz Funktion. Die unausgesprochene Aussage dahinter ist: Hier hast du eine Gleichung. Zu jedem Wert für x den du erlaubtermaßen dort einsetzen kannst, gibt es genau einen Wert für y, so dass die Gleichung wahr ist. Es darf also nicht zwei oder mehr verschiedene Werte für y geben, die die Gleichung erfüllen. Was soll denn erlaubtermaßen heißen? Wir dürfen in der Mathematik alles tun, sofern es nicht gegen Rechengesetze verstößt. Das schließt bestimmte Zahlen oder Mengen von Zahlen für bestimmte mathematische Operatoren aus. An Zahlenmengen, mit denen wir üblicherweise rechnen, stehen uns zur Verfügung: N = {1, 2, 3, 4, 5 } Natürliche Zahlen Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } Ganze Zahlen Q = {-1/2, -2,437, -1, 0, 1, 7, } Rationale Zahlen R = {-11/2, -2,437, -1, 0,, } Reelle Zahlen Klassiker für unerlaubte Operationen sind die Division durch 0: und der Versuch aus einer negativen Zahl eine Wurzel zu ziehen. Und negative Zahlen in Logarithmen zu benutzen und Hierbei sind schnell Fehler passiert. Wenn wir einen Ausdruck der Form: haben und für x den Wert 2 einsetzen, fliegt uns unsere Rechnung um die Ohren. Gleichermaßen bei dem Ausdruck, wenn der Wert für x größer als 5 wird. Es sei außerdem vorsichtshalber noch einmal daran erinnert, dass Unendlich ( keine Zahl ist, bzw. keinen bestimmten Wert darstellt. Man weist üblicherweise darauf hin, dass bestimmte Werte ausgeschlossen werden, indem man eine Anmerkung dazu schreibt, bspw.: x 0 oder x < 5. Damit sind alle Werte zugelassen, außer der 0 im einen und sämtlichen Zahlen 5 im anderen Fall. Ansonsten ist die Grundmenge bzw. die Definitionsmenge, mit der wir arbeiten, die Menge der reellen Zahlen R. Der mögliche Wertebereich umfasst ebenfalls die Menge der reellen Zahlen. 2

9 Darstellung von Funktionen Funktionen lassen sich durch drei Methoden beschreiben: 1. Durch die Angabe der Funktionsgleichung Beispiel: [ ] [ ] 2. Durch einen Funktions-Graphen: 3. Durch eine Wertetabelle: (symbolisch) (numerisch) -30 1/13 (16*e^-60-3 Cos[90] + 2 Sin[90]) /13 (16*e^-50-3 Cos[75] + 2 Sin[75]) /13 (16*e^-40-3 Cos[60] + 2 Sin[60]) /13 (16*e^-30-3 Cos[45] + 2 Sin[45]) /13 (16*e^-20-3 Cos[30] + 2 Sin[30]) /13 (16*e^-10-3 Cos[15] + 2 Sin[15]) Die Darstellung durch die Funktionsgleichung ist natürlich die eleganteste, die anderen beiden Darstellungen haben jedoch auch ihre Berechtigungen. 3

10 Funktionen stecken in praktisch jeder Gleichung! Nicht nur in Funktionsgleichungen! Das hört sich beim ersten Mal reichlich blödsinnig an. Was hat denn eine Gleichung wie: auch nur mit einer einzigen Funktion zu tun? Sehr viel. Insgesamt finden wir hier sogar drei Funktionen. Nennen wir sie y 1, y 2 und y 3. Dann lauten die drei Funktionen y 1 = 7, y 2 = 4 und y 3 = 3. Aber das ist doch Blödsinn, eine einzelne Zahl kann doch gar keine Funktion sein! Doch, sehr wohl: die sogenannte konstante Funktion. y 1 hat dabei überall den Wert 7. Das lässt sich prima in einem Graphen darstellen, der parallel zur -Achse verläuft und bei y = 7 die -Achse schneidet. Also heißt es:. Den Doppelpfeil lesen wir als äquivalent bzw. gleichwertig zu. Die Funktionsgraphen machen das deutlich. Addiert man die Funktionswerte für y 2 und y 3 erhält man den Funktionswert für y 2. In allen Fällen y 10 8 y1 y2 y y2 y x Das ist doch sinnlose Wortklauberei, oder? Nein, ist es nicht. Die konstante Funktion hat eine wichtige Bedeutung bei Integralen und Differentialgleichungen. Es gibt noch ein weiteres Beispiel, an dem sich das Prinzip verdeutlichen lässt. Wir lernten einstmals, wie sich eine quadratische Gleichung lösen lässt. Mittels der berühmten p/q-formel. Aber es gibt auch einen anderen Weg - eben über Funktionen - weswegen man uns damals eine Parabel- Schablone zum Zeichnen kaufen ließ. Nehmen wir die Gleichung als Beispiel. Sie liegt in der Normalform vor (0 alleine auf einer Seite). Wir formen sie durch Addition von auf beiden Seiten um und erhalten. Jetzt erkennen wir schon deutlicher die quadratische Funktion auf der linken und die lineare Funktion auf der rechten Seite. Tragen wir sie beide in das gleiche Koordinatensystem ein, erhalten wir die Lösungen für x 1 und x 2 als die x-koordinaten der Schnittpunkte beider Graphen. 4

11 y 10 8 Die Nullstellen finden wir da, wo sie sein sollten, nämlich bei: und. 6 4 x1 2 x x Entsprechend schneidet für die Funktion die Gerade die kubische Parabel an den Nullstellen der Funktion und y x Wir merken uns im Voraus: Bei Integralen und Differentialgleichungen behandeln wir jeden einzelnen Term in der Gleichung als eigenständige Funktion! 5

12 Differentialrechnung zurück zur Themenübersicht Die allermeisten Funktionen lassen sich ableiten. Das setzen wir als bekannt voraus. Die Ableitung einer Funktion führten wir in der Differentialrechnung durch. Dabei wurde zu einer gegebenen Grund- bzw. Stammfunktion diejenige Funktion gesucht, die an jeder Stelle von x die Steigung der Stammfunktion angibt. Wichtige Regeln hierzu wollen wir uns noch einmal ins Gedächtnis rufen: Die abgeleitete Funktion kennzeichnen wir immer mit einem kleinen Hochstrich. 1. Sind alle Funktionen überall differenzierbar? Überall schon mal gar nicht. So ist die Funktion für alle Werte überhaupt nicht definiert. Sogar an der Stelle selbst (die ja eigentlich noch im Definitionsbereich liegt) ist sie nicht differenzierbar, weil ihre Ableitung y dort gegen strebt. Die Wurzelfunktion samt ihrer Ableitung. Die Ableitung strebt für gegen Unendlich: x Das ist auch bei allen anderen Funktionen so, die eine Polstelle besitzen, bei denen dann an einer oder mehreren Stellen der Nenner verschwindet: Beispiel: 6

13 Die Funktion ( ) Gegen den Nullpunkt hin oszilliert die Funktion immer schneller. Am Punkt 0 ist sie nicht differenzierbar. Es gibt noch weitere Fälle, in denen Funktionen an einigen Punkten nicht differenzierbar sind. Dies ist dann der Fall, wenn sie an bestimmten Stellen unstetig sind (also einen Sprung oder Knick in ihrem Graphen aufweisen). Beispiele: Wir betrachten hier nur stetig differenzierbare Funktionen. Nachbemerkung zur Notation: Wir benutzen die Abkürzungen und für die betr. Funktionen. Manche schreiben aufwändiger (aber auch etwas präziser ) für die abgeleitete Funktion den Ausdruck In einigen Fällen kann diese Schreibweise von großem Vorteil sein. Dann wird sie verwendet werden. In vielen Fällen wird aber sogar bei auf den Bestandteil verzichtet (weil eh klar ist, was man meint ) und nur geschrieben. 7

14 Mehrfache Ableitungen Als Ergebnis einer Ableitung erhalten wir ja wieder eine Funktionsgleichung. Diese lässt sich häufig wiederum differenzieren und wir erhalten die 2. Ableitung. Wenn wir diese wiederum ableiten, erhalten wir die 3. Ableitung usw. Wir kennzeichnen solche Ableitungen mit einem zusätzlichen Hochstrich als usw. Die Ableitung der konstanten Funktion ist 0. Hat also eine Funktion die Form (mit n gleich irgendeinem Wert aus der Menge der reellen Zahlen [ R ] ), dann verschwindet deren Ableitung: Beispiele: ; ; Aber: ; ; (Immer eine Funktion von x!) Das wird klar, wenn man eine Schar konstanter Funktionen betrachtet: y y 7 y 4 y 3 Alle Graphen liegen parallel zur -Achse und haben deswegen die Steigung 0, obwohl ihre Funktionsgleichungen verschieden sind x Die Ableitung der linearen Funktion ist einfach abzulesen. Hat eine Funktion die Form (mit ), dann ist deren Ableitung exakt gleich : Beispiele: ; ; Aber: ; (Immer ist x beteiligt!) Neben dem linearen Glied der Funktion kann auch noch ein absolutes Glied auftreten. Die Funktionsgleichung hat dann die Form. Ihre Ableitung lautet dann aber immer noch n! 8

15 Wie bei der konstanten Funktion hat auch hier die Konstante keine Auswirkung auf die Steigung der Funktion: y x 2 4 Für Funktionen von mit reellem Exponenten gilt die Potenzregel der Ableitung: Beispiele: Das können wir auch mit negativen Zahlen durchführen: ( Auch Brüche als Exponenten sind zugelassen: Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen von Sinus und Cosinus bilden eine leicht zu merkende Reihe: Soll heißen: Sinus wird abgeleitet zu Cosinus, dieser wiederum zu Sinus etc. Aus dem Tangens wird der Ausdruck: Aus dem Cotangens wird folgerichtig: 9

16 Die exotischeren, trigonometrischen Funktionen wie Arcussinus, Sinus hyperbolicus etc. kann man bei Bedarf in Tabellen nachschlagen, bspw.: von Ableitungs- und Stammfunktionen Die Exponential- und Logarithmusfunktionen werden bei Differentialgleichungen sehr häufig benötigt. Die Exponentialfunktion: ist hier die Eulersche Zahl ( = 2,78 ). Für eine andere Basis gilt: Die natürliche Logarithmusfunktion zur Basis : Produktregel und Quotientenregel bei Ableitungen Besteht die Funktionsgleichung ihrerseits selbst aus einem Produkt oder einem Quotienten zweier Funktionen von, die wir mit und bezeichnen wollen, so müssen bestimmte Regeln angewendet werden. Es gilt: Die Produktregel: Die Quotientenregel: [ ] Beispiel zur Produktregel: Zur Vorbereitung erstellt man eine kleine Tabelle der Funktionen und ihrer Ableitungen. Stamm Ableitung Wir setzen dann ein: 10

17 Beispiel zur Quotientenregel: [ ] Tabelle wie vor, Einsetzen wie vor: Stamm Ableitung [ ] Die Kettenregel Dies ist die Königsdisziplin und der Abschluss des Differenzierens. Sie kommt zum Tragen, wenn Funktionen ineinander verschachtelt werden. Dabei haben wir eine äußere Funktion und eine innere Funktion, dergestalt, dass [ ] ist. Einige Beispiele: ( ) [ ] Die Ableitungsregel lautet dann: [ ] [ ] Äußere Ableitung der inneren Funktion mal innere Ableitung Die vorherigen Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten waren wenig erklärungsbedürftig: Tabelle aufstellen, Ableitungen bilden, einsetzen, ausrechnen, fertig. Die Kettenregel ist aufwändiger und fehlerträchtiger. Deshalb ist es gut, wenn es einen Ablaufplan gibt, den man solange strikt verfolgt, bis die Prozedur quasi automatisch abläuft. Solche Ablaufpläne werden wir auch später bei der Integralrechnung und den Differentialgleichungen in gleicher Notation finden. 11

18 Beispiel: ( ) Vorher Tabelle aufstellen: Stamm Ableitung Die äußere Funktion ist Deren Ableitung ist. Für das setzen wir die innere Gleichung ein: ( ) Obwohl die Funktionen in der vorherigen Beispieltabelle harmlos aussahen, kann man durch die Kettenregel sehr schnell komplizierte Ausdrücke bekommen. Hier die Lösungen der Beispieltabelle: Man kann auch einen Ablaufplan in Form einer Tabelle erstellen. Das werden wir noch häufiger tun. Ein Teil der Gleichung wird dabei durch ein Symbol substituiert (ersetzt) und Später wird die Ersetzung wieder rückgängig gemacht. Es wird rücksubstituiert. Ablaufplan Differenzieren mit Kettenregel : 1 Innere Funktion als substituieren 2 Äußere Funktion als festlegen 3 nach differenzieren 4 zu differenzieren 5 In Formel Werte einsetzen 6 wieder rücksubstituieren: ( ) 12

19 Malen nach Zahlen, Rechnen mit Farben... zurück zur Themenübersicht Die Produktregel Ergebnis: Die Quotientenregel Ergebnis: ( ) Die Kettenregel Ergebnis: * 13

20 Integralrechnung zurück zur Themenübersicht Eine kurze Geschichte des Integrierens Dorfschule im bayrischen Wald, Dezember 1801 Dorfschullehrer Dr. Faust: So, ich habe jetzt eine Aufgabe für euch. Die Schüler auf der linken Seite schreiben eine Funktion auf. Diese halten sie geheim. Stattdessen schreiben sie deren Ableitung auf einen Zettel. Mindestens vier Terme. Die Schüler rechts schreiben dann die geheime Funktion auf, die sie ermitteln. Wer die Ursprungsfunktion richtig errät, braucht morgen früh nicht bei mir zu Hause Schnee zu schippen. Weil ich so ein großzügiger Mensch bin, darf ein aber auch nur ein! Term falsch sein. Sprach s und widmete sich seiner Brotzeit Auf dem Schulhof, in der Pause, bibbernd im Schnee, vier Schüler: Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Carl Friedrich Gauß und Johann Wolfgang Goethe (noch ohne von ) Goethe: Der Faust ist wirklich ein Schwein. Das erraten wir nie und müssen dann schippen! Gauß: Wir müssen uns einen Trick überlegen. Irgendwie müssen wir die Funktionen ausrechnen. Newton: Das übernehmen Leibniz und ich. Wer zuerst fertig ist, der ist der Rechenkönig! Goethe: Und was mache ich? Gauß: Du schreibst eine schön fiese Geschichte über Dr. Faust als verrückten Wissenschaftler, der schwarze Magie kann. Mit Besen und so, aber nicht wie in Harminius Potterus. Zehn Minuten später Newton: Ich hab s! Leibniz: Ich auch! Newton: Aber ich war schneller! Leibniz: Ich war genauso schnell und habe sogar noch neue Kekse erfunden! Gauß: Wie wollen wir das neue System nennen, Goethe? Goethe: Integral-Rechnung vom lateinischen - Leibniz und Newton: Shut up! Fack ju, Göhte! So, und nicht anders, wurde die Integralrechnung erfunden Integrieren als Umkehrung des Differenzierens Genauso wollen wir die Integralbildung ansehen: Integrieren als Umkehrung des Differenzierens Dass das Integrieren auch noch weitere, nützliche Funktionen als Flächenberechnung unter eine Kurve besitzt, ist uns vollkommen egal Jede Rechenoperation hat ihre Umkehrfunktion. Das Addieren das Subtrahieren, das Multiplizieren das Dividieren, das Radizieren (Wurzelziehen) das Quadrieren usw. Wir kommen von der Stammfunktion F durch differenzieren zu einer abgeleiteten Funktion. Durch Integrieren derselben gelangen wir wieder zurück zur Stammfunktion. Differenzieren Integrieren Stammfunktion Abgeleitete Funktion 14

21 Zur Notation von Differentialen und Integralen Bereits erwähnt wurde, dass der Differentialquotient der Stammfunktion y der abgeleiteten Funktion y entspricht. Für das Integral der Funktion y (aus dem wir ja hoffen, die Stammfunktion wiederzuerlangen ) führte Gottfried Wilhelm Leibniz (ebenjener ) das Integralsymbol ein: Dies soll ein stilisiertes für Summe darstellen. Dahinter fügt man die zu integrierende Funktion y ein, gefolgt von der aus der Differentiation bekannten Buchstabenfolge dx ein. Heutzutage findet man es immer mehr, dass diese Reihenfolge vertauscht wird. Zuerst kommt das Integralzeichen, dann die Buchstabenfolge dx und zuletzt die zu integrierende Funktion. Man kann das dx auch vollständig weglassen. Folgende Schreibweisen erachten wir daher im Folgenden als identisch: Integrale gewöhnlicher Funktionen zurück zur Themenübersicht Die Funktion Wenn 0 die Ableitung ist, was ist dann die Stammfunktion? Nun, die Ableitung gibt ja die Steigung der Stammfunktion an. Wenn uns die Gleichung y (x) = 0 sagt, dass für jeden Wert von x die Steigung 0 beträgt, dann muss es sich bei y um eine Funktion handeln, deren Graph keine Steigung besitzt, deren Verlauf also eine Gerade ist, die überall parallel zur -Achse verläuft. Das wäre also y = 0. Gut, das ist die Gleichung der -Achse selbst und wir haben die Lösung gefunden! Aber ist das die einzige Lösung? Nein: Alle Geraden, die parallel zur -Achse verlaufen haben ja die Steigung 0 und gerade danach haben wir ja gefragt. y y 7 y 4 y 3 All die Funktionen und noch unendlich mehr sind Lösungen des Integrals. Sie unterscheiden sich ausschließlich durch eine willkürlich festzulegende, additive Konstante c. Wenn die Lösung ist, dann ist auch mit eine gültige Lösung. Also ist x Damit haben wir - nicht ganz befriedigend unsere erste Integralregel gefunden: 15

22 Informationsverlust beim Differenzieren Woher kommt diese Vieldeutigkeit? Durch das vorher stattgefundene Differenzieren! Jede Funktion, die eine additive Konstante hatte, verliert diese beim Differenzieren. Es gibt auch keinerlei Möglichkeiten, diese auf irgendeine Art und Weise zurückzugewinnen. Ein Beispiel aus der Physik, wie man damit umgeht Zwei der Grundgrößen der Grundgrößen der Mechanik sind Weg und Zeit. Man leitet den Weg nach der Zeit ab und erhält die Geschwindigkeit: Leitet man diese wiederum nach der Zeit ab erhält man die Beschleunigung: Integration bei der konstanten Beschleunigung : Will man aus den gegebenen Größen Beschleunigung und Zeit auf die erreichte Geschwindigkeit schließen, so muss man über die Zeit integrieren. Das Integral einer Konstanten ist das Produkt der Konstanten mit der Integrationsvariablen. (Die Konstante bitte nicht mit der Integrationskonstanten verwechseln ) Wir erhalten also eine Geschwindigkeit und eine Integrationskonstante. Diese muss aber die gleiche Dimension besitzen, wie das Ergebnis unserer Integration, es muss sich also auch um eine Geschwindigkeit handeln. Wir nennen sie die Anfangsgeschwindigkeit. Integrieren wir das Ergebnis nochmals erhalten wir den zurückgelegten Weg: war aber gerade unsere Anfangsgeschwindigkeit, also schreiben wir erklären wir zu unserem Anfangsweg und erhalten: 16

23 Die Funktion, Die Ableitung sei irgendeine Zahl n. Bspw. 1 ; +5 ; -2,413 ;, was ist dann die Stammfunktion? Wieder gilt: Die Ableitung gibt die Steigung der Stammfunktion an. Beim Differenzieren war es einfach: Stand ein konstanter Faktor vor dem, dann war die Ableitung eben dieser konstante Faktor. Also multiplizieren wir die Konstante mit unserer Variablen Beispiele: Differenzieren Integrieren y x 2 4 Wir erhalten als Lösung wieder eine Funktionenschar. Die Funktion, Beim Differenzieren gab es ein einfaches Rezept: Nimm den Exponenten über dem, setze ihn vor das (Multiplikation!) und erniedrige den Exponenten um 1. Beispiel: Machen wir es beim Integrieren also genau umgekehrt. Auch in der Reihenfolge der Operationen: Erhöhe den Exponenten um 1 Nimm den erhöhten Exponenten und dividiere durch ihn Beispiel: Beispiel: Wir führen die Probe durch Differenzieren durch. Dann muss ja die Ursprungsfunktion wieder herauskommen Passt! Also setzen wir allgemein: 17

24 Achtung, Falle! n darf nicht gleich -1 sein! ( ) Sonst passiert Folgendes: Das würde uns nicht stören, aber die Division durch 0 ruiniert die Gleichung! Für n = -1 gilt: Zum Ergötzen des Lesers Zwei Mathematiklehrer sitzen abends in einer Bar in New York und geben sich unglaublich die Kante. Irgendwann sagt einer zum anderen: Ich bin so gut, ich kann jedem Dummkopf innerhalb einer Minute Integralrechnung beibringen! Das glaub ich nicht. Wetten wir 50 Dollar! OK! Der erste geht zur Bar und sagt zu der aufreizenden, natürlich blonden, Bedienung: Ich werde Sie gleich an den Tisch rufen und Sie fragen, was das Integral von x-quadrat ist. Sie sagen dann Ein Drittel x hoch drei. Können Sie sich das merken? Es sind 5 Dollar für Sie drin! Aber klar doch! Nach einiger Zeit ruft er sie an den Tisch und fragt sie im Beisein des anderen: Ich habe ihnen doch gerade Integralrechnung beigebracht? Ich glaube schon Was ist das Integral von x- Quadrat? Ein Drittel x hoch drei.. - Sie nimmt sich ihre 5 Dollar, entfernt sich vom Tisch und murmelt: plus c, du Vollpfosten (Wir schließen uns übrigens dem anderen, betrunkenen Mathematiklehrer an und lassen das c auch weg, wenn es nicht unbedingt zum Verständnis erforderlich ist ) Die trigonometrischen Funktionen Wer sich die trigonometrische Reihe gemerkt hat wird keine Schwierigkeiten haben, dies auf die Integralrechnung anzuwenden. Man muss die Schritte nur in umgekehrter Reihenfolge durchführen Differenzieren Integrieren Sinus Diff. Cosinus Cosinus Sinus Int. 18

25 Für Tangens und Cotangens muss man sich einfach merken: Die Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen: Logarithmusfunktionen: Weitere Funktionen in den üblichen Quellen. Bspw.: von Ableitungs- und Stammfunktionen Mathematik: Unbestimmte Integrale rationaler Funktionen Mathematik: Unbestimmte Integrale algebraischer Funktionen 19

26 Rechenregeln für das Integrieren Die meisten Rechenregeln für Integrale sind deutlich anspruchsvoller als bei Differentialen und vielfach deutlich eingeschränkter in ihrer Anwendung. Summenregel beim Differenzieren und Integrieren Im Abschnitt über Differentiale haben wir folgende Eigenschaft wenn auch nur unterschwellig benutzt: Besteht eine Funktion aus mehreren Termen, die durch + oder verknüpft sind, dürfen wir jeden Term einzeln differenzieren. Es gilt also So konnten wir leicht die einzelnen Terme differenzieren und sie dann zusammenziehen. Gleiches gilt für Integrale! Wir dürfen bei Gliedern dieser Funktion diese einzeln integrieren und sie später dann wieder addieren, bzw. subtrahieren. Das gilt natürlich nicht, wenn die Terme durch Multiplikation oder Division oder anders verknüpft sind! Beispiel: Vorziehen eines konstanten Faktors Tritt rechts vom Integralzeichen bei allen Termen ein konstanter Faktor auf, so darf man diesen vor das Integralzeichen ziehen. Beispiel: Produktregel (Partielle Integration) Die Produktregel beim Differenzieren war einfach anzuwenden und vereinfachte deutlich das Rechnen mit Differentialen. Nur normale Algebra und das einfachere Differenzieren war beteiligt. Ihr Äquivalent beim Integrieren ist komplizierter anzuwenden und man muss dabei sowohl differenzieren als auch integrieren. Ein Erfolg ist nur bei kluger Auswahl des Verfahrens gegeben. Hier die Produktregel: Das sieht auf den ersten Blick so aus, als würde hier mehr kompliziert, als vereinfacht. Auch das Produkt aus einer abgeleiteten Funktion unter dem Integralzeichen und einer nicht abgeleiteten verwirrt anfangs. 20

27 Wir systematisieren die Sache und erstellen zuerst eine Tabelle, in der wir die bekannten Terme in der zweiten Zeile eintragen: und ergeben sich aus der Aufgabenstellung. und sind zu berechnen. Die Beispielfunktion sei: Wir haben jetzt die Wahl, welchen der beiden Faktoren wir als, welchen als übernehmen wollen, denn die Multiplikation zweier Terme ist ja kommutativ, wir können also entweder oder benutzen. Diese Auswahl ist nicht trivial, sondern will wohl überlegt sein. Wir wählen hier die erste Möglichkeit. Der Cosinus ist Teil der trigonometrischen Reihe und lässt sich beliebig oft differenzieren oder integrieren, ohne dass der Term dadurch komplizierter würde. Der erste Term würde sich, wenn wir ihn im ersten Schritt ableiten, deutlich vereinfachen. Nicht immer ist eine Wahl zwischen den Termen so einfach. Faustregel für die Reihenfolge der Faktoren (Was nehme ich als?): Diejenigen Funktionen, die hinterher am leichtesten zu integrieren sind. In der Reihenfolge 1. Exponentialfunktionen ( etc.) 2. Trigonometrische Funktion ( etc.) 3. Algebraische Funktionen ( etc.) Wir wählen hier die erste Möglichkeit: Die leeren Felder müssen jetzt gefüllt werden. Von nach gelangen wir durch Differenzieren: Von nach gelangen wir durch Integrieren: Werte eintragen: Jetzt haben wir alle Werte zusammen und setzen sie ein: 21

28 Das letzte Integral wird aufgelöst: ( ) Die Probe: Wie hätte es bei der Form ausgesehen? Nun, die 2 unter dem Integralzeichen ist ja ein konstanter Faktor. Diesen hätten wir vor das Integralzeichen gezogen, unter dem Integralzeichen ansonsten das gleiche Ergebnis erhalten: Wie hätte es bei der Form ausgesehen? Dann wäre Ausmultiplizieren wohl die effektivste Methode gewesen: Das zweite Integral kennen wir ja schon Überhaupt ist das Ausmultiplizieren häufig eine gute Art, einen komplizierteren Ausdruck in mehrere einfache umzuwandeln! Trigonometrische Funktion und Potenz? Jetzt lösen wir das Restintegral. Rechnung wie vor Einsetzen ( ) Trigonometrische Funktion und Polynom? Ausmultipliziert erhält man das Ursprungsintegral Komplizierteres Polynom? Ausmultiplizieren, Vereinfachen wie vor Weitere Beispiele: und Bei einer falschen Wahl der Faktoren, also: läuft man ins Leere! Probieren Sie es! Ein beliebtes Schmankerl ist die Aufgabe: Berechnen Sie: Wie, das ist doch gar kein Produkt? Schon, aber wir können es als Produkt schreiben:. Von kennen wir auch die Ableitung. Sie lautet 22

29 Für die Integration eines Produkts lässt sich ein Ablaufplan erstellen, nach dem man sich richten sollte. Zuerst einfach und elegant für Ablaufplan Integration eines Produkts : 1 Faktor für und aussuchen 2 Gewählten Faktor zu integrieren 3 zu differenzieren 4 in einsetzen 5 Integral rechte Seite lösen 6 Lösung enthält noch Integral? Gehe zu 4 7 Lösung enthält kein Integral mehr Fertig Dann eine polynomiale Funktion: Wir multiplizieren vorher im Kopf aus: Auch Zusammenfassen und Integrieren geht im Kopf schnell: Was passiert, wenn man einfach stur die Formel anwendet, sieht man hier: Durchführen 1 Faktor für und aussuchen 2 Gewählten Faktor zu integrieren 3 zu differenzieren 4 in einsetzen Hier brechen wir ab, das war wohl nichts Produktregel (Partielle Integration): Die Funktion, die sich bei einer Ableitung nicht wesentlich vereinfacht Die Funktion, die sich bei einer Ableitung wesentlich vereinfacht Die Ableitung der vereinfachten Funktion 23

30 Substitutionsregel (Kettenregel) zurück zur Themenübersicht Alle Funktionen, die wir bisher betrachtet haben, waren einfache Funktionen von x. Wir bezeichnen sie als elementare Funktionen. Die Differentiale bzw. Integrale haben wir aus Tabellen entnommen. Die Addition bzw. Subtraktion verschiedener, elementarer Funktionen bereitet wegen der Summenformel der Integration keine besonderen Probleme. Für die Multiplikation selbiger mussten wir schon etwas in die Trickkiste greifen. Über die Division haben wir aus guten Gründen noch gar nicht gesprochen. Das ist ein ganz besonderes Kapitel Aber die elementaren Funktionen können untereinander verschachtelt bzw. verkettet werden. Bei der Differentiation lernten wir dabei die Kettenregel kennen. Etwas Ähnliches gibt es auch bei der Integration, dort nennen wir sie die Substitutionsregel. Für die allgemeine Verkettung zweier Funktionen gibt es ein eigenes Symbol, einen kleinen Kreis: bedeutet also: Die beiden Funktionen und wurden auf irgendeine Art und Weise miteinander verkettet. In der Regel verschachtelt: ( verdeutlichen: Exponentiell Exponentiell Trigonometrisch ) Eine kleine Tabelle mag dies Logarithmisch Trigonometrisch Polynomial Logarithmisch Die rot hervorgehobenen Funktionen sind nicht elementar lösbar! Für verschachtelte Funktionen haben wir - bisher - noch keine Lösungsmöglichkeit. Wir unterscheiden wieder zwischen einer inneren und einer äußeren Funktion. Durch eine Klammer um die innere Funktion sollte jeder sie erkennen Die allgemeine Formulierung zur Substitutionsregel lautet in unserer stark vereinfachten Notation: [ ] [ ] Wie üblich, sagt uns die allgemeine Definition erst mal gar nichts Sie erinnert aber stark an die Multiplikationsregel: Doch wo kommt das z in der Substitutionsregel plötzlich her? Wir werden das Lösungsverfahren an einem Beispiel ausführen und später allgemein formulieren. 24

31 [ ] [ ] Als Beispiel wählen wir die sehr einfache Exponentialfunktion und einen sehr einfachen Ausdruck: Wir ersetzen (substituieren) die innere Funktion durch das Symbol z. Somit wird das neue Integral: Anm.: Die Integration der ehemaligen, verschachtelten Funktion wird damit vorerst auf die Integration einer Funktion zurückgeführt, von der wir die Stammfunktion bereits kennen! Somit wird zu lösen sein: Zwischenschritt: Wir leiten zu ab: Wir setzen nun die Werte für und in die Substitutionsformel ein: [ ] Der Faktor ist eine Konstante. Wir können ihn vor das Integralzeichen ziehen: Zu dem Integral kennen wir die Stammfunktion. Sie lautet: Wir suchten aber eine Lösung in und nicht in. Deshalb müssen wir rücksubstitutieren, also an allen Stellen mit den ursprünglichen Ausdruck einsetzen: 25

32 Allgemeines Schema der Substitutionsmethode, mit Beispiel: Allgemeines Schema der Substitutionsmethode : 1 Innere Funktion als substituieren 2 Äußere Funktion als festlegen 3 nach ableiten 4 [ ] einsetzen 5 Integral nach integrieren 6 Lösung enthält noch Integral? Gehe zu 5 7 Rücksubstituieren Fertig Anm.: Bei der Multiplikationsregel hatten wir die Wahl zwischen und. Hier nicht mehr. Der entscheidende Fortschritt gelang in Nr. 4. Dort konnten wir einen störenden Faktor aus dem Integral beseitigen. Und Integrale zu vereinfachen ist immer unser Ziel. 26

33 Einschub: Integration von Wurzeln zurück zur Themenübersicht Wurzeln behandeln wir bei Differential- und Integralrechnung als Potenzen mit Brüchen als Exponenten: ; Faktoren in der Wurzel lassen sich vor die Wurzel ziehen: Der Kehrwert einer Wurzel besitzt einen negativen Exponenten: Das Integrieren geschieht über die Potenzregel: ( ) ( ) ( ) Was geschieht aber, wenn unter dem Wurzelzeichen ein nur etwas anderer Term steht? Beispiel: Wir wenden die Substitutionsmethode an. Durchführen... 1 Innere Funktion als substituieren 2 Äußere Funktion als festlegen 3 nach ableiten 4 [ ] einsetzen 5 Integral nach integrieren 6 Lösung enthält noch Integral? Gehe zu 5 7 Rücksubstituieren Fertig Gar nicht so schwer, oder? Abwarten Wir machen den Term unter der Klammer nur etwas komplizierter: Wir gehen stur schematisch vor, bis es absolut nicht mehr geht Durchführen... 1 Innere Funktion als substituieren 2 Äußere Funktion als festlegen 3 nach ableiten 4 [ ] einsetzen 5 Integral nach integrieren 27

34 Oh Schreck! Noch bevor wir rücksubstituieren konnten, ist das Integral so kompliziert geworden, dass wir es nicht mehr lösen können! Versagt hier die Substitutionsmethode? Nicht ganz, aber wir hätten eine ganz andere - viel kompliziertere - Substitutionsmethode anwenden müssen: Die trigonometrische Substitution. Doch dazu später So ganz lässt uns die Sache keine Ruhe und wir betrachten eine ähnliche Funktion Kann ja wohl nicht sein, dass das Integral durch das Hinzufügen eines weiteren Terms einfacher wird? Durchführen... 1 Innere Funktion als substituieren 2 Äußere Funktion als festlegen 3 nach ableiten 4 [ ] einsetzen 5 gegen das in kürzen: 6 Integral nach integrieren 7 Lösung enthält noch Integral? Gehe zu 5 8 Rücksubstituieren Fertig Wir konnten aus dem Integral herauskürzen. Das klappt nur, wenn die Potenz von unter dem Wurzelzeichen um 1 größer ist, als im darauffolgenden Faktor. Bei klappt es deswegen nicht, jedoch wieder bei. Jetzt lässt sich auch erklären, warum die Substitution bei so prima klappte, bei jedoch nicht. können wir als auffassen. Somit ist unsere Bedingung erfüllt, dass die Potenz von außerhalb des Wurzelzeichens um eine Potenz niedriger sein muss, als bei dem x unter dem Wurzelzeichen. Bei ist dies jedoch nicht der Fall. 28

35 Ein weiteres Beispiel zur Nützlichkeit der Substitution. Und zwar an einer Stelle, an der man sie zuerst nicht vermutet. Ein Klassiker in vielen Prüfungen: Auf den ersten Blick ist das ein Fall für die Multiplikationsregel bzw. Partielle Integration: Wir lösen die Ursprungsgleichung, die enthält, mit partieller Integration: Damit haben wir jetzt aber noch nicht so schrecklich viel erreicht Doch halt: Bei diesem Ergebnis finden wir ähnliche Ausdrücke vor und hinter dem Integralzeichen. Wechseln wir in der Ursprungsgleichung gegen aus, so erhalten wir: Wir bewegen uns offensichtlich im Kreise... Logisch: Hinter dem Integralzeichen bleibt die -Funktion immer gleich und die trigonometrische Funktion hüpft von einer zur nächsten, bis man wieder am Anfang angekommen ist. Ein circulus vitiosus! Jetzt kommt der Trick: Wir ersetzen (substituieren) den Ausdruck rechte Seite in der Partnergleichung: in der Ursprungsgleichung durch die Die Integrale unterscheiden sich nur im Vorzeichen: Wir addieren auf beiden Seiten, wodurch das Integral rechts wegfällt: 29

36 Allgemeines zum Einsatz der Kettenregel (Substitutionsregel) Wir hoffen ja, die Lösung eines Integrals durch einfache Regeln zu erleichtern. Es sei die allgemeine Lösung des Integrals ( ) gesucht. Dafür wollen wir mathematisch sauberer vorgehen und nicht nur einfach die Lösungsformel anwenden. Wir schreiben dieses Mal korrekt den Faktor mit in das Integral. Es handelt sich ja hierbei nicht einfach nur um eine Konvention, sondern der Faktor sagt ja tatsächlich aus, dass man den vorhergehenden Term mit ihm multipliziert. Der vorhergehende Term ist dabei die Ableitung von Allgemeine Herleitung der Kettenregel : ( ) 1 Festlegen von und 2 Substituiere 3 Leite ab: 4 Weil ist, können wir durch ersetzen: 5 Wir formen nach um: 6 7 Im Ursprungsintegral ersetzen wir mit : Nun ersetzen wir noch durch den Ausdruck aus 5 : 8 Das Ganze schreiben wir noch etwas gefälliger: Kettenregel (Substitutionsregel): [ ] [ ] Die ursprüngliche, äußere Funktion Ist erst einmal nur ein Platzhalter bis zur Rücksubstitution nach Lösen des Integrals Die Ableitung der ursprünglichen, inneren Funktion Immer erst nach Berechnung des Integrals die innere Funktion rücksubstituieren! 30

37 Beispiel 1: [ ] Beispiel 2: [ ] Beispiel 3: [ ] Schattenseiten der Kettenregel Das ganze Verfahren steht und fällt damit, dass in der Formel [ ] der Faktor vor das Integral gezogen werden kann. Das dürfen wir aber nur, wenn es sich dabei um einen konstanten Faktor handelt, bspw.. Da der Kehrwert der Ableitung der inneren Funktion ist, darf die innere Funktion höchstens linear sein (a*x + b), wenn es sich um ein Polynom handelt. Eine Ausnahme hierzu hatten wir vorgeführt. Das war: Beispiel 4: konnten wir mit der Kettenregel lösen. Was passiert bei? ( ) [ ] [ ]. Jetzt haben wir als Faktor den Ausdruck unter dem Integral und dieser ist nicht konstant. Das Verfahren ist also nicht anwendbar. Die Kettenregel der Integration darf eigentlich - nur angewendet werden, wenn die innere Funktion die Form a*x +b besitzt! Wir müssen übrigens unterscheiden zwischen der Substitution als Methode und der Substitutionsregel, die wir - etwas unscharf - auch als Kettenregel der Integration bezeichneten. Die Substitution als Methode lässt sich überall verwenden, auch dort, wo sie als Kettenregel unbrauchbar ist. Das Vorhandensein der Kettenregel garantiert nicht, dass die Integrale dieser Verkettungen lösbar sind. Das gilt insbesondere für trigonometrische Funktionen. Schon ist unlösbar! 31

38 Repetitorium zur Logarithmusfunktion zurück zur Themenübersicht Bisher wurde wenig Gebrauch von der Logarithmusfunktion und ihrer Ableitung gemacht. Die Eulersche Zahl ist der Grenzwert der Reihe Das Ausrufezeichen! kennzeichnet dabei die mathematische Funktion Fakultät mit: n! =1*2*3* *n und der Festlegung 0! = 1. Die obige Reihe berechnet sich entsprechend zu: : Ihr numerischer Wert beträgt 2, Als irrationale Zahl ist dies ein unendlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch. Wenn in der Mathematik von der Exponentialfunktion die Rede ist, meint man damit immer die Funktion Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Sie gibt zu einer bestimmten Zahl diejenige Zahl zurück mit der man potenzieren muss, um die Ursprungszahl wieder zu erhalten. Potenzieren Logarithmieren Zahl Zahl Zwar kann man e mit jeder Zahl potenzieren, den Logarithmus kann man aber nur von positiven Zahlen ermitteln. Darauf wird meist nicht immer - gesondert geachtet, indem man schreibt Logarithmus des Betrags von x :. Hier ein Plot der Logarithmusfunktion (Blau) und der Exponentialfunktion e x (Orange). Man beachte das asymptotische Verhalten und den eingeschränkten Definitionsbereich für. Im Vergleich dazu die Logarithmusfunktion mit der Exponentialfunktion e x (Orange). (Blau) Grün ist der zusätzliche Bereich des Logarithmus wenn man den Betrag von wählt:. 32

39 Einschub zur Logarithmusfunktion: Rechenregeln Außer zur Basis e kann man Logarithmen auch zu anderen beliebigen Basen benutzen. Zum Unterschied zur echten Logarithmusfunktion bezeichnet man diese mit. Dann muss aber die entsprechende Basis als Subskript mit angegeben werden. Man benutzt noch den dekadischen Logarithmus zur Basis 10: (auch: oder ) oder den binären Logarithmus zur Basis 2: (auch: ). Taschenrechner zeigen den dekadischen Logarithmus an! Um den Logarithmus einer Zahl zu einer beliebigen Basis zu erhalten, benutzt man folgende Formel: Daraus lässt sich wiederum ableiten, wie man den natürlichen Logarithmus aus dem Logarithmus einer anderen Basis gewinnt: Im Folgenden werden wir nur noch den natürlichen Logarithmus verwenden. Alle Rechenregeln gelten jedoch auch entsprechend für die übrigen Logarithmen. Rückgewinnung von aus : Logarithmus von 1 : (Das heißt: Der Logarithmus aller Zahlen ist negativ!) Logarithmus von : (Leitet sich aus der Definition ab.) Logarithmus von Produkten : (Wichtig!) Logarithmus von Quotienten : (Wichtig!) Logarithmus von Potenzen : (Wichtig!) Ableitung von : (Wichtig!) Wichtige Integrale von : Integrieren: Integrieren: 33

40 Repetitorium zur Exponentialfunktion : zurück zur Themenübersicht Als Exponentialfunktion (e-funktion) bezeichnen wir eigentlich alle Funktionen mit einer reellen Zahl als Basis und einer Funktion von im Exponenten. Im engeren Sinne bezieht sich der der Ausdruck aber auf die Funktion (auch: exp(x) )mit der eulerschen Zahl als Basis. Alle e -Funktionen mit anderen Basen lassen sich sehr einfach in sie umwandeln: Die übrigen Funktionen, bei denen im Exponenten keine Variable, sondern eine Konstante auftaucht, nennen wir dagegen Potenzfunktionen:. Verhalten von : Im positiven Bereich von x steigen die Funktionswerte rasant (exponentiell) an. Bei schneidet die Funktion die -Achse im Punkt. Im negativen Bereich nähert sie sich asymptotisch der -Achse an Verhalten von : Verhalten in der Umgebung der -Achse : Bei ist Zwischen P1 und P2 wird der Wert kleiner als. Das lässt sich mit den Potenzgesetzen leicht am Beispiel erklären: Bei = 0 (P2) gilt: Jetzt wird der Exponent negativ. Dann gilt: 34

41 Verhalten von : Am Punkt P1 gilt:. Von dort an nähert sich der Funktionswert asymptotisch der Geraden. Von P1 nach 0 steigt der Funktionswert immer mehr an und nähert sich asymptotisch der -Achse. Zeigte die Funktion exponentielles Wachstum, so zeigt exponentielle Abnahme. Ansonsten gelten die üblichen Potenzgesetze: Allgemein: Für Produkte, Quotienten und Potenzen: Für die Addition gibt es natürlich wie beim Logarithmus keine gesonderten Gesetze. Wichtige Ableitungen und Integrale von : Die Ableitung von ist wiederum, also: Das Integral von ist wiederum : (Darum gilt nicht allgemein: ) Bei Ableitungen und Integralen mit einer anderen Funktion als wir natürlich die Kettenregel verwenden! im Exponenten müssen Beispiele: 35

42 Besondere Integrale bestimmten Typs zurück zur Themenübersicht In den folgenden Abschnitten werden Integrale betrachtet, die besondere Formen besitzen und deswegen sehr einfach integriert werden können. Die Herleitung der Regeln für diese Funktionen geschieht mithilfe der Substitutionsmethode. Schema der allgemeinen Substitutionsmethode: Substituiere die geeignete Funktion( oder ) durch zu ableiten aus errechnen Substituiere im Integral durch das neu errechnete Löse das substituierte Integral nach Rücksubstitution erst nachdem gelöst wurde Dabei üben wir nochmals die Substitutionsmethode und erhalten ganz nebenbei nützliche Formeln für das vereinfachte Integrieren von Funktionen wie: [ ] ( ) ( ) 36

43 Besondere Integrale speziellen Typs: Wir betrachten also Integrale, bei denen der eine Partner ( ) genau der Ableitung des anderen Partners entspricht. Man mag sich fragen, wie oft so etwas in der freien Wildbahn vorkommt? Wohl eher selten Aber wir befinden uns nicht in freier Wildbahn, sondern in der Schule oder Uni. Und da haben die Lehrer eine besondere Vorliebe für solche Kombinationen. Also ran ans Werk! Wir suchen das Integral des Produktes Als Beispiel lösen wir damit dann das Integral Das machen wir nicht nur für die vorliegenden Funktionen oder, sondern allgemein für und, in der Hoffnung, die Lösung auch auf viele andere Probleme anwenden zu können, bei denen und auftreten. Besondere Integrale speziellen Typs : 1 Festlegen von und 2 Substituieren 3 bestimmen: 4 5 Im Ursprungsintegral die Substitution vornehmen aus Nr. 3 substituieren. Integral vereinfachen. Ein Faktor entfällt. kürzen 6 Integral lösen 7 Rücksubstituieren ( ) Damit haben wir das allgemeine Problem und somit auch das Spezialproblem gelöst: ( ) Beispiel: Die Funktion ist die Ableitung von. Also setzen wir und. ( ) [ ] 37

44 Besondere Integrale speziellen Typs: Auch für den Quotienten dieser verwandten Funktionen lässt sich eine allgemeine Regel ableiten: Besondere Integrale speziellen Typs : 1 Festlegen von und 2 Substituieren 3 bestimmen: 4 5 Im Ursprungsintegral die Substitution vornehmen aus Nr. 3 substituieren. Integral vereinfachen. Ein Faktor entfällt. kürzen 6 Integral lösen 7 Rücksubstituieren An einem Beispiel wollen wir das Verhalten einer Funktion unter diesen Umständen untersuchen. Es sei, demgemäß und unsere Funktion somit Das Integral dementsprechend Ursprungsfunktion: (Blau), Lösungsfunktion: (Orange). Wegen der Verwendung der Betragsfunktion ist das Integral über den ganzen Definitionsbereich der Ursprungsfunktion definiert. Für sind beide nicht definiert. 38

45 Besondere Integrale speziellen Typs: Haben wir ein Produkt aus einer verketteten Funktion mit dem inneren Glied und der Ableitung vorliegen, können wir - wie in den Fällen vorher - eine allgemeine Lösungsformel herleiten. Die Schritte sind identisch: Substituieren von Substituieren von Integral auflösen und rücksubstituieren. Besondere Integrale speziellen Typs : 1 Festlegen von und bzw. 2 Substituieren 3 bestimmen: 4 5 Im Ursprungsintegral die Substitution vornehmen aus Nr. 3 substituieren. Integral vereinfachen. Ein Faktor entfällt. 6 Ergebnis: kürzen Wir können vorerst nicht weiter vereinfachen. Über die Funktion v(z) wissen wir ja nichts Genaueres. Das könnte bspw. sein: ; ; ; eine Potenz oder was auch immer. Nehmen wir weiterhin an. Dann ergeben sich als Lösungen: ) [ ] Formulieren wir die allgemeine Regel also so: [ ] 39

46 Besondere Integrale speziellen Typs: Häufig finden wir einen linearen Term von verkettet mit einer einfachen Funktion. Zur Sicherheit: Natürlich gilt nicht: Beispiele: usw. Dafür lässt sich eine allgemeine Regel herleiten. Besondere Integrale speziellen Typs : 1 Festlegen von und bzw. 2 Substituieren [ ] 3 bestimmen: 4 Im Ursprungsintegral die Substitution vornehmen 5 aus Nr. 3 substituieren. Integral vereinfachen. Ein Faktor entfällt. 6 Ergebnis: Dadurch, dass die Ableitung von eine Konstante ist, konnten wir sie vor das Integral ziehen. Bei einer höheren Potenz von wäre das nicht möglich gewesen. Diese Formel ist sehr praktisch, um Integrale im Kopf zu lösen: ) ) 40

47 Besondere Integrale speziellen Typs: Beispiele: usw. Dafür lässt sich eine allgemeine Regel herleiten. Besondere Integrale speziellen Typs : 1 Festlegen von und bzw. 2 Substituieren 3 bestimmen: 4 5 Im Ursprungsintegral die Substitution vornehmen aus Nr. 3 substituieren. Integral vereinfachen. Ein Faktor entfällt. 6 Ergebnis: Nun lösen wir dies Integral mit der Produktregel für Funktion und Ableitung. ( ) Beispiel: 41

48 Besondere Integrale speziellen Typs: Quotienten zurück zur Themenübersicht Integrale von Kehrwerten Der Kehrwert einer Zahl oder Funktion ist definiert als der Quotient von 1 durch diese Zahl oder Funktion. In unserem Falle wäre die einfachste Funktion:. Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Integral dieser Funktion zu bestimmen: Die Tabelle für elementare Funktionen sagt uns: Wir benutzen die Regel:, weil 1 die Ableitung von ist. Den Ausdruck mit negativem Exponenten zu schreiben und die Potenzregel zu benutzen, funktioniert nicht: ergibt eine Division durch 0. Bei anderen Potenzen von können wir aber die Regel wieder anwenden, somit ergibt: Auch mit der Exponentialfunktion Wir schreiben: kommen wir bei den Kehrwerten gut weiter. Integral mit Kehrwert der e-funktion : 1 Festlegen von und bzw. 2 Substituieren 3 bestimmen: 4 5 Im Ursprungsintegral die Substitution vornehmen aus Nr. 3 substituieren. Integral vereinfachen. Ein Faktor entfällt. 6 Rücksubstituieren Mit entsprechender Rechnung lässt sich die Formel ermitteln, wenn der Exponent eine lineare Funktion von ist: 42

49 Wir integrieren nun den Kehrwert der linearen Funktion von, also : Integral mit Kehrwert der linearen Funktion: 1 Festlegen von und bzw. 2 Substituieren 3 bestimmen: 4 5 Im Ursprungsintegral die Substitution vornehmen aus Nr. 3 substituieren. Integral vereinfachen. Ein Faktor entfällt. 6 Rücksubstituieren Wird jetzt die Potenz von größer als 1, läuft unsere einfache Substitution wieder nicht: Durchführen 1 Festlegen von und bzw. 2 Substituieren 3 bestimmen: Wir haben nun zusätzlich die Variable wir sie kürzen könnten. Somit ist der Bruch vor vor das Integralzeichen ziehen. im Nenner. Und weit und breit findet sich nichts, gegen das keine Konstante mehr und wir können ihn nicht Jetzt ist guter Rat teuer. Solche gebrochen rationalen Funktionen sind ja die Brot- und Butterfunktionen der Mathematik. Und da soll es keine Lösung geben? Die Idee hinter der Lösung ist folgende: Wenn es mit der allgemeinen, quadratischen Funktion auf dies Art und Weise nicht geht, so müssen wir versuchen, den Bruch so zu zerlegen, so dass wir zwei integrierbare (integrable) Funktionen erhalten, die zu der Ursprungsfunktion äquivalent sind. Das Verfahren hierzu heißt Partialbruchzerlegung. Die Methode ist etwas aufwändig und wird im Folgenden näher erläutert. 43

50 Partialbruchzerlegung einer quadratischen Funktion zurück zur Themenübersicht Gegeben sei im Nenner die quadratische Funktion in Normalform: (Liegt sie in der Form vor, so bringen wir sie mittels Division durch auf diese.) Wir bestimmen die Nullstellen der Funktion durch die p/q-formel. Diese sind: ( ) und ( ) (es seien zwei verschiedene, reelle Nullstellen) Somit haben wir den Nenner faktorisiert. Nun machen wir den Ansatz: Jetzt machen wir die beiden Brüche gleichnamig, indem wir sie jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern und dann zusammenfassen. Jetzt wird der Zähler ausmultipliziert: Aus dem Zähler wollen wir ein lineares Gleichungssystem gewinnen, das wir lösen werden. Der Zähler war vorher gleich 1 und muss es jetzt auch noch sein. Wir schreiben hier den Zähler als: : Zusammenfassen von Gliedern gleicher Potenz von : Den so erhaltenen, hier fett gedruckten Ausdruck setzen wir in die Ursprungsgleichung ein: Man vergleicht nun die Ausdrücke für gleiche Potenzen im Zähler der rechten Seite mit demjenigen des Zählers der linken Seite. Ein Koeffizientenvergleich. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem: Dieses lösen wir nach und (siehe Beispiel ) und setzen und in den Ansatz ein: Jetzt haben wir zwei einzelne Integrale mit jeweils nur einem linearen Glied. Diese können wir lösen. 44

51 Beispiel: Nullstellen des Nenners: Ansatz: Erweitern: Ausmultiplizieren: (ab hier wird der Zähler eigentlich nicht mehr benötigt ) Glieder gleicher Potenz: Koeffizientenvergleich: Lineares Gleichungssystem: Lösen mit Additionsmethode; Was passiert, wenn wir nur eine einzelne Nullstelle haben? Exakt gesprochen haben wir auch dann zwei Nullstellen, jedoch sind diese beiden identisch. Das tritt dann auf, wenn in der p/q-formel der Wurzelausdruck 0 wird. Beispielsweise ( ) ( ) Faktorisiert gilt hier: Hier beim Kehrwert bringt uns die Methode des Koeffizientenvergleichs nicht weiter. Aber das Integral lautet ja dann: Wir substituieren und erhalten Rücksubstituieren ergibt: Was passiert, wenn wir keine einzige Nullstelle haben? Exakt gesprochen haben wir auch dann zwei Nullstellen, jedoch sind diese beiden komplex. Das tritt dann auf, wenn in der p/q-formel der Wurzelausdruck negativ wird. 45

52 Beispiel: ( ) ist hierbei die imaginäre Einheit. Im Bereich der reellen Zahlen können wir dies nicht lösen. Was passiert, wenn die Potenz von im Nenner größer als 2 ist? Wir sind ja darauf angewiesen, die Nullstellen des Nenners zu finden, um den Ansatz zu erstellen Keine Panik, wird schon nicht vorkommen, oder höchstens als Bluff des Prüfers. Zwar lässt sich die allgemeine Gleichung dritten Grades nach der Formel von Cardano lösen. Das Verfahren ist aber so aufwändig, dass man es in einer Prüfung nicht zu erwarten braucht. Und zu Hause hat man ja ein Computeralgebrasystem Beliebt ist es aber, quadratische Gleichungen in kubischen zu verstecken. Wie in folgender Gleichung:. Da kein absolutes Glied vorhanden ist, lässt sie sich durch Ausklammern von leicht vereinfachen: ( ) Eine solche Gleichung ist immer dann gleich, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Damit haben wir schon die Lösung für das vor der Klammer, nämlich. Die Lösung für die Klammer erhalten wir auf übliche Weise durch die p/q-formel aus:. Jetzt gilt es, den Ansatz aus den drei Nullstellen zu erstellen: Erweitern: Ausmultiplizieren: Der Zähler entfällt jetzt Glieder gleicher Potenz: Jetzt kommt der gleiche Trick wie vorher. Der Zähler war vorher gleich 1 und muss es jetzt wieder sein. A, B und C sind Konstanten. Wir schreiben hier den Zähler als: Aus dem Vergleich der Koeffizienten erhalten wir das lineare Gleichungssystem: Wir lösen das System und erhalten Somit: Das wird leicht zu integrieren sein. 46

53 Ausklammern, Kürzen, Faktorisieren Die guten alten Tricks Bevor man zu schweren Geschützen wie Polynomdivision und Partialbruchzerlegung greift, sollte man immer zuerst prüfen, ob sich Polynome auf andere Art und Weise vereinfachen lassen. Führt das zum Erfolg, hat man sich viel Zeit erspart, bei einem Teilerfolg wenigstens etwas. Ausklammern und kürzen Sie, was irgendwie geht! ( ) Faktorisieren Sie immer alles, was irgendwie geht! Das Beispiel war noch einfach. Manchmal ist es anspruchsvoller:. Da muss sofort der Verdacht aufkommen, dass der Nenner irgendwie im Zähler versteckt ist: Der gesamte Bruch reduziert sich durch Kürzen damit auf: Eine kleine Warnung: Streng genommen verändern wir beim Kürzen den Definitionsbereich. Die Ursprungsfunktion war ja bei Ziehen Sie alle binomischen Formeln in Betracht! nicht definiert! Vereinfachen Sie Ausdrücke in der Exponentialfunktion! Vereinfachen Sie Ausdrücke in Logarithmen! 47

54 Integrale von gebrochen rationalen Funktionen Die Beschäftigung mit Kehrwerten war ja nur die halbe Miete. Eine gebrochen rationale Funktion hat jede Menge Potenzen von sowohl im Zähler, als auch im Nenner. Die höchste Potenz von gibt jeweils den Zählergrad bzw. Nennergrad an. Bei der Funktion: ist der Zählergrad 5 ( ) und der Nennergrad 3 ( ) Von einer echt gebrochen rationalen Funktion sprechen wir nur, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Nur diesem Verhältnis gilt unser Interesse. Warum ist das so? Es gibt unechte Brüche wie, die wir in gemischte Bruchzahlen umwandeln können:. So wie sich die richtige Bruchrechnung nur auf das am Schluss bezieht, so beziehen sich unsere Überlegungen auch nur auf den Bei einzelnen Potenzen fällt das nicht schwer: der sich ergibt.. Wie sieht das jedoch bei richtigen Polynomen aus? Auch dort gibt es eine Methode, um Brüche in einen ganzzahligen Anteil und einen Rest zu verwandeln. Beispiel für eine Division ohne Rest: Man sieht, dass der vorher komplizierte Bruch sich auf einen ganz einfachen und leichthändig zu integrierenden Term reduziert. Wenn wir im Zähler nur eine 1 addieren, geht unsere Division nicht mehr auf. Wir erhalten dann einen ganzzahligen Anteil und einen Rest. Beispiel für eine Division mit Rest: Zwar haben wir immer noch einen Bruch vorliegen, aber dieser hat sich jetzt durch die Vereinfachung des Zählers deutlich vereinfacht. Die Polynomdivision zurück zur Themenübersicht Am letzten Beispiel wollen wir die Vorgehensweise bei der Polynomdivision demonstrieren. Sie entspricht der Vorgehensweise bei der schriftlichen Division von Zahlen, wie wir sie in der Schule gelernt haben. Wir schreiben Zähler und Nenner, getrennt durch das Divisionszeichen, nebeneinander. Die Potenzen sind dabei nach absteigenden Potenzen bis zum absoluten Glied geordnet: Nun betrachten wir die erste Potenz im Zähler und die erste Potenz im Nenner. Die Überlegung ist: Mit was muss ich die Potenz im Nenner multiplizieren, damit ich die Potenz im Zähler erhalte? Hierbei ist es einfach: 48

55 Der erste Teilschritt lautet also: Anm.: Bei etwas komplizierteren Ausdrücken würde man dividieren und z.b. erhalten: Nun multiplizieren wir das erste Teilergebnis mit dem gesamten Nenner und setzen das Ergebnis so unter den Zähler, dass die entsprechenden Potenzen untereinanderstehen: Wir subtrahieren die zweite Zeile von der gesamten ersten Zeile. Das entfällt nun. Wir müssen darauf achten, von allen Gliedern des Zählers zu subtrahieren: Subtrahieren Die nun höchste Potenz des Zählers dividieren wir durch die höchste Potenz des Nenners Dies ist unser zweites Teilergebnis. Wieder multiplizieren wir den Nenner mit, schreiben es untereinander und subtrahieren: Subtrahieren Unsere Polynomdivision ist nun beendet. Wir haben keine Potenz von mehr im Dividenden die mindesten so hoch ist wie. Dieser Rest - dividiert durch den Nenner - gehört zu unserem Gesamtergebnis: Im Zähler kann übrigens auch noch ein Polynom verblieben sein: Das Integral aus unserer Beispielaufgabe wollen wir aber noch schnell lösen und damit demonstrieren, wie unsere Arbeit hier erleichtert wurde: 49

56 Durch Anwenden der Polynomdivision konnten wir das Integral vereinfachen und die beiden ersten Teilintegrale im Kopf berechnen. Jetzt bleibt nur noch das Integral dem Bruch, das wir durch Substitution lösen. Allerdings müssen wir vorher noch eine Partialbruchzerlegung durchführen: Nullstellen Ansatz: ( ) Gleichnamig machen / Erweitern: Ausmultiplizieren: Glieder gleicher Potenz: Koeffizientenvergleich: Lineares Gleichungssystem: Lösen durch Einsetzen: Das linke Integral lösen wir direkt zu: Das rechte Integral ergibt sich durch einfache Substitution: Das Endergebnis lautet dann: Somit haben wir ein allgemeines Schema zum Lösen von gebrochen rationalen Funktionen erhalten: Polynomdivision durchführen Mit dem Rest Partialbruchzerlegung durchführen Die erhaltenen Einzelpolynome wie gewohnt lösen 50

57 Nochmals Partialbruchzerlegung Beispiele mit zwei und sogar drei einzelnen Nullstellen im Nenner haben wir schon besprochen und auch gelöst. Wir wollen nun jeweils ein Beispiel mit einer doppelten reellen Nullstelle und sogar eines mit zwei komplexen Nullstellen besprechen. Doppelte reelle Nullstellen im Nenner: Nullstelle der gesamten Funktion: Faktorisierung des Nenners: Nullstellen des Nenners: Diese (doppelte) Nullstelle ist natürlich eine Polstelle der Funktion, weil der Nenner verschwindet. Ein Ansatz nach ist hier nicht zielführend. Dafür machen wir den Ansatz: Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit dem Nenner der linken Seite. Auf der linken Seite der Gleichung entfällt dadurch der Nenner. ebenfalls unter : Bei kann noch weiter gekürzt werden: Jetzt wird bei ausmultipliziert: Beim Vergleich der Koeffizienten erkennt man sofort: und aus: erhält man: Daraus ergibt sich: Die vollständige Partialbruchzerlegung lautet daher: Die Integrale zu dieser Partialbrucherlegung lassen sich leicht lösen. ( ) ( ) 51

58 Zweifache komplexe Nullstellen im Nenner: Nullstelle der gesamten Funktion: Faktorisierung des Zählers: Faktorisierung des Nenners: Nullstellen des Nenners: ( Die Nullstellen bei und sind imaginär. Die einfache Nullstelle bei ist reell. Dort verschwindet der Nenner. Es handelt sich um eine Polstelle. Ein Ansatz nach ist hier nicht zielführend. Dafür machen wir den Ansatz: Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit dem Nenner der linken Seite: linken Seite der Gleichung entfällt er dadurch. Die Gleichung vereinfacht sich zu:. Auf der Der Koeffizientenvergleich wird durchgeführt: Daraus folgt sofort: ; und aus: sowie folgt: Die vollständige Partialbruchzerlegung lautet daher: Der erste Teil des Integrals zu dieser Partialbrucherlegung lässt sich leicht lösen: Für den zweiten Teil sei auf den nachfolgenden Abschnitt verwiesen. 52

59 Trigonometrische Integration zurück zur Themenübersicht Bisher haben wir die üblichen Funktionen, trigonometrische wie sin, cos, tan oder algebraische wie Potenzen, Logarithmen oder Exponentialfunktion, als eine Black Box behandelt. Auf der einen Seite kamen die zu integrierenden Funktionen (von denen wir ja die Stammfunktionen aus Tabellen kennen!) hinein, dann noch Nebenfunktionen hinzu. Durch Anwendung der Integrationsregeln erhielten wir schließlich die gesuchte Stammfunktion: Funktion 1 Integrationsregeln Lösungsfunktion Funktion n Für die meisten Nichtmathematiker ist das ausreichend. Die durchzuführenden Substitutionen waren meist offensichtlich. Auch auf die üblichen Integrale mit den kleinen trigonometrischen Funktionen trifft dies zu. Eine Funktion, in der die üblichen, trigonometrischen Funktionen mit den Grundrechenarten verbunden werden, nennt man Rationale Funktion in trigonometrischen Funktionen. Ein Beispiel dafür wäre: Da Sinus und Cosinus Winkelfunktionen sind, wird nicht das übliche sondern das griechische Theta als Variable genutzt. Spielt keine Rolle. Die Schreibweise dient nur dazu, um die Potenzen [ ] und [ ] voneinander zu unterscheiden. Weitere trigonometrische Funktionen: Zu den üblichen, einfachen trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens gehören noch die selten gebrauchten Funktionen Secans (sec) und Cosecans (csc). Alle diese Funktionen lassen sich durch ihre Verhältnisse im Einheitskreis herleiten: Es gelten folgende Beziehungen: (Diese und die nächste Abbildung aus Wikipedia: Trigonometrische Funktionen ) 53

60 Jede Winkelfunktion lässt sich beliebig durch eine der anderen Funktionen ersetzen: Von der unüberschaubaren Vielfalt an trigonometrischen Formeln sind nur vier so wichtig, dass man sie unbedingt wissen sollte: ( Trigonometrischer Pythagoras ) Die Kunst beim trigonometrischen Integrieren besteht nun darin, für die gegebene Funktion eine geeignete Substitution zu finden, die das Integrieren vereinfacht oder gar erst ermöglicht. Beispiel: Es gibt eine Identität: Wir substituieren identisch: Das Integral lösen wir mit der Substitution : Durch Einsetzen dieser Teillösung erhalten wir nun das Gesamtergebnis: 54

61 Der Zusammenhang zwischen algebraischen und trigonometrischen Funktionen: Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen. Algebraische Funktionen sind Funktionen einer reellen Zahl. Das sind doch zwei verschiedene Felder oder nicht? Wir müssen uns von der Vorstellung freimachen, die Variable in der Winkelfunktion sei etwas anderes, als eine reelle Zahl. In der Schule waren uns Begriffe wie geläufig. Mit einem Winkel verband man eine andere Größe als mit einer einfachen Zahl. In der höheren Mathematik ist das anders. Die historisch entstandene Bezeichnung Grad wird dort nicht mehr benutzt. Das Winkelgradsystem: Es geht zurück bis zu den Sumerern die ein Sexagesimalsystem benutzten, das auf der Zahl 60 basierte. Durch Hypsikles von Alexandria wurde 170 v.chr. dann ein Vollwinkel zu 360 = 6 * 60 definiert. Demgemäß erhält man für den rechten Winkel einen Wert von und für den gestreckten Winkel. Das Bogenmaßsystem: In der höheren Mathematik benutzt man heutzutage das Bogenmaßystem. Es basiert auf der Grundgleichung für den Umfang des Kreises: Umgeformt erhält man die Gleichung:. Ein Vollwinkel von 360 ist damit zu festgelegt, ein gestreckter Winkel von 180 zu und der rechte Winkel zu. So wie es in der Temperaturskala kein Kelvin-Grad gibt, so gibt es auch hierfür keine Gradbezeichnung mehr. Ein Winkel ist damit eine dimensionslose, reelle Zahl. Will man deutlich machen, dass es sich um einen Winkel handelt, kann man die Einheit anhängen. Diese ist - dem obigen entsprechend - ein Winkel, der einem Kreisausschnitt mit der Bogenlänge 1m bei einem Radius von 1m entspricht. Sein numerischer Wert im Bogenmaßsystem beträgt:. Somit ist auch eine Winkelangabe nur noch zu einer reellen Zahl wie jede andere geworden. Der Definitionsbereich der Winkelfunktionen: Die Winkelfunktionen sind über alle reellen Zahlen - positiv oder negativ - definiert. Ihre Werte zeigen ein periodisches Verhalten mit einer Periode von. 55

62 Die Sinusfunktion Links im Bogenmaßsystem beschriftet, rechts im Gradmaßsystem Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Mit Umkehrfunktionen beschäftigen wir uns schon die ganze Zeit. Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation und umgekehrt. Wenn ich in eine Winkelfunktion (bspw. Sinus) ein Argument hineinstecke:, so erhalte ich einen Zahlenwert ausgeworfen, der dem Sinus dieser Zahl entspricht. Wenn ich den Wert dieser Zahl kenne, wie komme ich wieder auf die ursprüngliche Zahl (den ursprünglichen Winkel) zurück? Dafür gibt es die Arcus-Funktionen, zu jeder der sechs Winkel-funktionen eine eigene. Beispiel: Durch die Anwendung der Arcusfunktion mache ich die Winkelfunktion wieder rückgängig [ ] [ ] Die Umkehrung gilt auch: [ ] [ ] Achtung: Da die Winkelfunktionen periodisch mit einer Periode von sind, trifft dies nur auf jenen Bereich zu! Für unsere Überlegungen hier spielt es keine Rolle, da wir sowieso nur den Bereich {0 ; 0 90 } betrachten. Nachfolgend eine Übersicht der Arcusfunktionen aus Wikipedia: 56

63 Der Sinus im Einheitskreis: 1.0 y Ein rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis. 0.5 r 1 f x y Es gilt der Satz des Pythagoras: x x Nur: Wie soll uns der Satz des Pythagoras bei der Integration helfen? Der Einheitskreis wird gebildet durch die Menge aller Punkte, die der Gleichung genügen. Dies ist aber auch gleichzeitig der Satz des Pythagoras. Der Sinus zum Winkel Θ (Theta) ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Diese hat hier aber genau die Länge 1. Also: Der Punkt, an dem die Hypotenuse den Kreisumfang trifft, genügt also der Kreisgleichung. Diese Kreisgleichung ist aber keine wirkliche Funktion, sondern eine Relation. Wir müssen sie umformen, um zu einer richtigen Funktionsgleichung zu kommen. Wir betrachten nur den ersten Quadranten, also wählen wir die positive Wurzel: Dies untersuchen wir näher: Ihr Definitionsbereich wird durch das Wurzelzeichen eingeschränkt auf alle Werte von, die den Wert unter dem Wurzelzeichen nicht in den negativen Bereich gelangen lassen. Da bleiben nur reelle Zahlen zwischen -1 und +1 übrig. Also ist {. Die Funktion lässt sich differenzieren (Kettenregel!): Nur beim Integrieren laufen wir ins Leere. Wir versuchen eine Substitution: Durchführen... 1 Innere Funktion als substituieren 2 Äußere Funktion als festlegen 3 nach ableiten 4 [ ] einsetzen 5 Integral nach integrieren Geht nicht, es ist noch ein vorhanden 57

64 Die zielführende Substitution ist:. Wir ersetzen also die Variable, dort wo wir sonst einen ganzen Term substituiert hatten. Es wird ein langer und schwieriger Weg Integral mit trigonometrischer Substitution lösen: 1 Die Variable substituieren: Was ist hierbei? Wir dürfen natürlich nicht einfach die Variable durch einen beliebigen Ausdruck ersetzen. Wir müssen dafür sorgen, dass vollständig erhalten bleibt. Wenn wir vor der Klammer die Sinusfunktion angewendet haben, so müssen wir dies innerhalb der Klammer wieder rückgängig machen. Sinus wir durch Arcussinus aufgehoben. Also setzen wir: 2 nach ableiten: ( ) 3 bestimmen: 4 Jetzt können wir im Ursprungsintegral ersetzen: 5 Jetzt ersetzen wir noch durch 6 Nun kommt der nächste trig. Kunstgriff. Es gibt folgende trigonometrische Identität: 7 Dies ersetzen wir unter dem Wurzelzeichen: 8 Die Wurzel aus dem Quadrat eines Terms ist dieser Term selbst. Wir vereinfachen: Erst nach diesen ganzen Substitutionen und Umformungen haben wir ein Integral vorliegen, das wir auf der nächsten Seite lösen werden. 58

65 Nr. Durchführen... 9 Fortsetzung der letzten Seite: Wiederum können wir eine trigonometrische Identität verwenden: (Es geht auch anders ) Dadurch ersetzen wir den Integralausdruck: 10 Integral nach Summenregel aufspalten: 11 Konstanten Faktor vor die Klammer ziehen. Rechtes Integral lösen. 12 Integral nach spezieller Formel lösen Rechtes Integral aus 11 wieder einfügen ( ) 15 Rücksubstituieren Damit wäre unser Integral mit vielen Mühen und Kunstgriffen eigentlich gelöst. Wir haben jetzt nur noch elementare Funktionen vorliegen, die sich integrieren lassen. Wir überprüfen am Computer: Sollte die Rechnung stimmen, müsste sich aus der ersten Ableitung der Funktion im Graphen wieder ein Viertel eines Kreises ergeben. Unsere Integralfunktion ist blau eingezeichnet. Ihre erste Ableitung orange. Bleibt noch eines nachzutragen: Mit der Identität: lässt sich unsere Gleichung noch aufhübschen zu: 59

66 Erweiterungen der trigonometrischen Substitution: Die Herleitungen geschahen für die spezielle Funktion. Kann man das auf ähnliche Funktionen erweitern? Wir schauen uns den ersten Summanden unter dem Wurzelzeichen an. Anstelle der könnten wir jede beliebige reelle Zahl größer Null verwenden. Bei der 0 hätten wir einen Ausdruck, der wegen des Minuszeichens vor dem immer negativ wäre. Da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann, erübrigt sich das damit. Mit der gleichen Überlegung sind natürlich alle negativen Zahlen auch ausgeschlossen. Diese Gleichungen schreiben wir deswegen am Besten in der Form. Damit sind wenigstens diese Schwierigkeiten beseitigt. Darf ein Faktor nennen wir ihn vor dem stehen? Das ist auch keine grundsätzliche Schwierigkeit. Sei die Form der der neuen Gleichung:, dann lässt sich die Gleichung durch Faktorisieren und Ausklammern wieder auf eine der vorgenannten Formen bringen. Darf in einer anderen Potenz als 2 stehen? Nein, das Verfahren ist ja genau auf den pythagoreischen Lehrsatz zugeschnitten. Wie sieht es mit einem anderen Vorzeichen in der Mitte aus? Da gibt es dann drei Möglichkeiten, die jeweils spezielle Substitutionen benötigen. Wir benutzen im Nachfolgenden die übliche Schreibweise mit ursprünglichen Variablen zu vermeiden. als neuer Variablen, um Verwechslungen mit der Form Substitution Die Grundidee all dieser trigonometrischen Funktionen ist immer die gleiche. Man will die Wurzel beseitigen, die ansonsten hier nicht integrabel wäre. 60

67 Besondere Integrale speziellen Typs: Wir mussten für das Integral Gibt es da keine Abkürzung? noch einmal eine vollständige Integration durchführen. Doch: Wir betrachten allgemein die Funktion, wobei hier stellvertretend für irgendeine Winkelfunktion steht und eine ganze Zahl ist. Der gültige Bereich sei. Die Grundidee der Herleitung ist folgende: Wir spalten den Term in ein Produkt aus und auf. Dann benutzen wir die partielle Integration. Integral mit Potenz von Winkelfunktionen lösen: 1 Festlegen von und 2 Festlegen der Ableitungen 3 = 4 Wir ziehen vor die Klammer. * = = 5 Für die Identität einsetzen = 6 Ausmultiplizieren = 7 = 8 Wir addieren = 9 Weiter zusammenfassen = 10 Dividieren durch So haben wir eine Regel gefunden, die Potenz der Winkelfunktion um 2 zu verringern. Für den häufigen Fall (und ähnliche Funktionen) erhalten wir so: 61

68 Ist die Potenz von eine gerade Zahl, so können wir durch (evtl. mehrfache) Anwendung dieser Formel das Integral soweit vereinfachen, bis nur noch vorhanden ist. Ist die Potenz von eine ungerade Zahl, so bleibt bei diesem Verfahren ein Rest von übrig. Ihn gilt es auch noch zu beseitigen. Das ist einfach: ist ja gleich. Es gibt viele andere Rekursionsformeln für die verschiedensten Kombinationen aus Winkelfunktionen mit geraden und ungeraden Potenzen. Diese kann man bei Bedarf nachschlagen. Wie man im Einzelfall ein solches Integral löst, soll an demonstriert werden. Integral mit Potenzen von Winkelfunktionen lösen: 1 Terme geeignet aufspalten: 3 umstellen: 4 Identität anwenden: 5 Substituieren: 6 Ausmultiplizieren: 7 Integral lösen: 8 Rücksubstituieren: Analog kann man dies auf die anderen Winkelfunktionen anwenden. Weitere wichtige Substitutionen Wichtige bestimmte Integrale Aus: folgt: 62

69 Erinnern Sie sich noch an die vielen Skizzen, die sie in der Schule zum Satz des Pythagoras gezeichnet haben? Dieses Mal steht die Gegenkathete zu für das Argument der Funktion, die aus den Variablen und gebildet wird. Die Winkelfunktion ist definiert als Nach Pythagoras wird daraus: Also: Unser Integral ist:. Wir setzen es in den Nenner: Nach der Tabelle ist für Wurzeln der Form die Substitution geeignet. Das hatten wir bereits aus unserem Pythagoras abgelesen. Trigonometrische Substitution I durchführen 1 Substituieren: ; ; ( ) ; Ableitung von bilden: 2 Einsetzen für : 3 Einsetzen für : 4 Vereinfachen: 5 Identität verwenden: 6 Integral lösen Rücksubstituieren 63

70 Jetzt ist es die Ankathete zu, die aus den Variablen und gebildet wird. Die Winkelfunktion ist definiert als: Komplikationen ein: Wir bauen auch hier noch ein paar Wir müssen uns jetzt alleine nach dem Vorschlag der Tabelle richten, die für empfiehlt. die Substitution Trigonometrische Substitution II durchführen Substituieren: ; ; 1 Ableitung von ( ) ; bilden: 2 Einsetzen für : 3 Einsetzen für : 4 Vereinfachen: 5 Vereinfachen: 6 Aus der Skizze erkennt man: : 64

71 Die Hypotenuse ist unsere Funktion, die aus den Variablen gebildet wird. Unser Integral lautet also und Die Winkelfunktion ist definiert als: Um es etwas anspruchsvoller zu gestalten, manipulieren wir noch etwas an ihr herum. Nach der Tabelle ist für Wurzeln der Form die Substitution geeignet. Trigonometrische Substitution III durchführen 1 Substituieren: ; ; ( ); Ableitung von bilden: 2 Einsetzen für : 3 Einsetzen für : 4 Identität: 5 Nenner vereinfachen: 6 Kürzen 7 Weiter vereinfachen 8 Identität: 9 Integral lösen 10 Rücksubstituieren, vereinfachen 65

72 Hyperbolische Integration y Grundlage der trigonometrischen Funktionen waren die Beziehungen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis untereinander. 1.0 fx r y 0.0 Der Kreis ist jedoch nur einer der sogenannten Kegelschnitte. Deren gibt es mehrere: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel x x Der Kreis besitzt eine geschlossene Form, die Ellipse ebenfalls: y Anstelle eines Mittelpunktes besitzt die Ellipse zwei Brennpunkte F1 und F F2 F1 x Die Ellipse hat in der Integralrechnung einen schlechten Ruf. Das Stichwort dazu heißt Elliptische Integrale. Dazu später ein wenig mehr Parabel und Hyperbel besitzen eine offene Form: Parabel Hyperbel Gegenüberstellung Winkelfunktionen von Kreis und Hyperbel: Name Abkürzung Definition Differential Integral Sinus hyperbolicus Cosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus Cotangens hyperbolicus Secans hyperbolicus Cosecans hyperbolicus Zu jeder Winkelfunktion im Kreis gibt es also eine entsprechende Winkelfunktion zur Hyperbel

73 Zu diesen Winkelfunktionen der Hyperbel gibt es wie bei den trig. Funktionen eine Umkehrfunktion namens, bspw.: So, wie man für den Kreis einen Einheitskreis über die Gleichung: kann man für die Hyperbel eine Einheitshyperbel mit der Gleichung festlegen kann, festlegen. Zusammenhänge der einzelnen Hyperbelfunktionen untereinander: (Wikipedia: Hyperbelfunktionen) Die Hyperbelfunktionen sind sowohl für alle reellen als auch für alle komplexen Zahlen definiert. Es gibt auch hier die sehr wichtige Identität:. Außerdem Reduktionsformeln in ähnlicher Menge wie bei den trigonometrischen Funktionen. In der reinen Integralrechnung ist die Bedeutung der Hyperbelfunktionen sehr viel geringer als diejenige der trigonometrischen Funktionen. Viele Substitutionen durch Hyperbelfunktionen können auch mit trigonometrischen Funktionen durchgeführt werden. Das liegt am Sinn und Zweck der trigonometrischen Substitution. Die Ursprungsfunktion wird in trigonometrische Funktionen transformiert, weil dort deutlich mehr Umwandlungsfunktionen zur Verfügung stehen. Den Aufwand nimmt man ja nur deswegen in Kauf, weil die konventionellen Substitutionen versagen. Da die Hyperbelfunktionen auf der Basis der e-funktion definiert sind, besitzen sie Bedeutung dort, wo diese Funktion stark involviert ist. Dies ist besonders bei bestimmten Integralen der Fall. Eine überragende Bedeutung besitzen sie jedoch bei Differentialgleichungen. Genauso, wie auch dort die e-funktion überragende Bedeutung genießt. Im Nachfolgenden wird exemplarisch eine Wurzelfunktion über die Hyperbelfunktion integriert. Man sieht, dass die Vorgehensweise derjenigen mit trigonometrischen Funktionen entspricht. 67

74 Hyperbolische Substitution durchführen Substitution: Nach auflösen: ( ) 1-4 Ableitung von : Nach auflösen: 5 Neues für altes in Integral einsetzen: 6 Substitution für aus 1 im Integral einsetzen: 7 Identität Eins.: 8 Vereinfachen bis Grundintegral: Reduktionsformel wie bei anwenden: 9 ( ) 10 Integral nach lösen: 11 Rücksubstituieren: Ausdruck für aus Nr. 2 in Integral ersetzen: Jetzt geht es ans aufhübschen: ( ( )) ( ( )) ( ) 12 ( ( )) ( ( )) ( ) 68

75 Eulersche Substitutionen zurück zur Themenübersicht Diese sind eine spezielle Substitutionen für Funktionen der Form Alle Integrale mit dieser Form lassen sich algebraisch (ohne trig. Substitutionen) lösen. Je nach Bedingungen gibt es drei verschiedenen Substitutionen, die nachfolgend besprochen werden. Eulersche Substitution I: für Die Funktion sei: Sie besitzt keine reellen Nullstellen: Wir wählen die Substitution: Somit gilt: Wir lösen nach auf: Eulersche Substitution I durchführen Substitution: Herleitung: 1 2 Ableiten : 3 Neues ; Altes ersetzen: 4 Substituieren: 5 Vereinfachen: 6 Integral nach lösen: 7 Rücksubstituieren: 69

76 Eulersche Substitution II: für Die Funktion sei: Sie besitzt zwei reelle Nullstellen: Wir wählen die Substitution: Somit gilt: Wir lösen nach auf: Eulersche Substitution II durchführen Substitution: Herleitung: 1 2 Ableiten : 3 Neues ; ersetzen: 4 Substituieren: 5 Vereinfachen: 6 Integral nach lösen: ( ) 7 Rücksubstituieren und auflösen: 70

77 Eulersche Substitution III Für diejenigen Fälle, in denen die Funktion zwei reelle Nullstellen besitzt Die Funktion sei: Sie hat zwei reelle Nullstellen, wir nennen sie: Wir wählen die Substitution: und somit: Außerdem gilt natürlich auch: Wir können die rechten Seiten der beiden Gleichungen deswegen gleichsetzen: Nach etlichen Umformungen kann man isolieren: Eulersche Substitution III durchführen 1 Substitution: Herleitung: (s.o.) 2 Ableiten : ; 3 Neues für altes in Integral einsetzen: 4 Substituieren: 5 Vereinfachen: 6 Integral nach lösen: 7 Rücksubstituieren: ( ) ( 8 Vereinfachen: ) 71

78 Elliptische Integrale Dabei handelt es sich um die schwierigsten aller Integrale. Auch sie haben mit Wurzeln zu tun. Ihre Form ist immer ähnlich einer der folgenden: Elliptisches Integral I. Art: Elliptisches Integral II. Art: Elliptisches Integral III. Art: Sie sind i.a. nicht mehr durch elementare Funktionen lösbar und müssen numerisch approximiert werden. Ihren Namen haben sie daher, dass sie bei Berechnungen an Ellipsen auftreten. Hier endet der Bereich des Repetitoriums der Differential- und Integralrechnung Es geht weiter mit dem Abschnitt über Differentialgleichungen 72

79 Differentialgleichungen zurück zur Themenübersicht Jetzt beginnen wir also mit Differentialgleichungen? Falsch! Wir haben uns schon die ganze Zeit mit Differentialgleichungen beschäftigt! Sowohl im Abschnitt über Differentialrechnung (was eigentlich naheliegend ist ) als auch im Abschnitt über Integralrechnung. So wie Professor Bömmel in Alexander Spoerls Feuerzangenbowle in nicht zu überbietender Klarheit und Schlichtheit konstatierte: Also, wat is en Dampfmaschin? Da stelle mer uns janz dumm. Da sage mer so: En Dampfmaschin, dat isse ne jroße schwarze Raum können auch wir konstatieren: Eine Differentialgleichung ist jede Gleichung in der mindestens ein Differential erhalten ist. Jede Bildung eines Differentials beinhaltet eine Differentialgleichung (DGL): Links steht die Abkürzung für die Ableitung, rechts im Nenner der eigentliche Ausdruck für das Differential, nämlich. Überall dort, wo wie wir eine gestrichene Funktion oder das Differential einer Funktion, bspw. finden und ein Gleichheitszeichen in der Nähe ist, haben wir auch eine Differentialgleichung vorliegen. ist also eine ausgewachsene Differentialgleichung. Mit dem Begriff Differential in obiger Gleichung bezeichnet man eigentlich nur den Ausdruck sich durch Umformung derselben als schreiben lässt. der Natürlich benutzten wir in der Integralrechnung auch Differentiale und Gleichheitszeichen, sogar schon in der Definition:. Die Bedeutung des Integralzeichens wäre dann folgende: In steht das Integralzeichen für denjenigen Operator, der das aus dem entfernt. Einen Ausdruck wie: Lösung könnten wir dann als triviale Differentialgleichung bezeichnen, deren lautet. Durch dieses Beispiel ist auch eine Grundeigenschaft aller Differentialgleichungen schon vorweggenommen: Zur Lösung einer solchen Gleichung muss man zum Schluss immer integrieren. Aber zwischen solch trivialen DGLn und folgender: liegen noch Welten 73

80 Aussortieren der trivialen Aufgaben Alle Differentialgleichungen, die man durch sofortiges - evtl. auch mehrfaches - Integrieren lösen kann, schließen wir im Folgenden aus. Also solche der Form usw. Ebenso, wenn man die Gleichung durch triviale Umformungen auf diese Form bringen kann: ist keine DGL in unserem Sinne, weil man sie durch Subtraktion von anschließende Division durch 3 auf die Form Wir stellen jetzt die Forderung: bringen und einfach integrieren kann. Außer der unbekannten Ableitung der Funktion sollte auch die Funktion selbst als Unbekannte in der DGL auftreten und Die Mutter aller Differentialgleichungen Wenn das o.g. wahr ist und es gibt keinen Grund, daran zu zweifeln dann gibt es auch eine nicht mehr weiter zu reduzierende Differentialgleichung, die sich dennoch nicht durch einfaches Differenzieren oder Integrieren lösen lässt. Es ist dies die DGL: Sie erfüllt unsere Anforderungen: Sowohl die Ableitung der Funktion, als auch die Funktion selbst sind in der Gleichung enthalten. und. Sogar ein Gleichheitszeichen steht zwischen ihnen. Unzweifelhaft eine Differentialgleichung! Sie lässt sich sicherlich nicht durch Differenzieren lösen: Aus wird zuerst, dann usw. Auch mit Integrieren kommen wir nicht weiter: Reines Rechnen bringt uns also nicht voran, dafür aber bauernschlaues Überlegen. Welche Funktion könnte es wohl sein, die ihrer eigenen Ableitung gleich ist:? Da war doch was Stimmt: Es ist die Exponentialfunktion! Die erste Ableitung von ist, deren Ableitung wiederum usw. Wir haben unsere erste und auch wichtigste! DGL gelöst! Vielleicht gilt dann auch: (?) (Ganz so einfach wird es dann aber mit DGLn höherer Ordnung nun auch nicht werden ) 74

81 Sogar unsere Bemühungen mit dem Integrieren machen jetzt Sinn: Weiterhin gilt aber auch: Doch ist dies unsere einzige Lösung? In gewisser Weise ja, in anderem Sinne nein. Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, welche die Eigenschaft besitzt, ihrer eigenen Ableitung gleich zu sein. (Kleine Heimtücke: Es gibt natürlich noch die Funktion ) Jedoch gilt dies auch für alle Funktionen der Form: ( ) Wir müssen also unsere Lösung erweitern: Beim Integrieren erhielten wir immer eine additive Konstante, hier bekommen wir eine multiplikative Konstante. Wir wollen uns gleich angewöhnen, diese mit Indizes 1 n zu versehen. Die Lösung ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Mehr können wir vorerst nicht darüber aussagen. Als allgemeine Lösung ergibt sich damit einen Funktionenschar: Wir könnten aber eine einzelne Funktion aus der unendlich großen Funktionenschar herauspicken, wenn wir nur einen einzigen ihrer Funktionswerte wüssten. Es gibt nämlich - wenigstens in diesem Fall - keine zwei verschiedenen Funktionen, die sowohl in als auch in übereinstimmen. Es sei der Funktionswert an der Stelle bekannt, er betrage. Dann können wir berechnen: 75

82 Aus der allgemeinen Lösung der DGl haben wir so eine spezielle, eine partikuläre Lösung erhalten Der Graph der partikulären Lösung der Differentialgleichung. 4 y 2 e x Die Funktion 2 f Wir haben die DGL in der Form: geschrieben. Dies nennt man die explizite Form der DGL. Hätten wir sie so umgeformt, dass auf der rechten Seite nur noch 0 steht:, so hätten wir eine implizite DGL erhalten. Die höchste vorhandene Ableitung war die erste Ableitung. Darum bezeichnet man sie als eine DGL 1. Ordnung. Bei höheren Ableitungen erhalten wir für eine DGL 2. Ordnung, 3. Ordnung usw. Unsere Funktion bezog sich nur auf eine einzelne Variable:. Solche DGLn nennen wir gewöhnliche DGLn. Bei mehreren Variablen: sprechen wir von partiellen Differentialgleichungen. In unserer DGL kamen und nur in erster Potenz vor. Solche DGLn nennt man linear. Kommen oder auch in höherer Potenz vor, nennen wir die DGL nichtlinear. Jetzt fassen wir einige wichtige Informationen zusammen: DGLn in nur einer Variablen nennen wir gewöhnliche DGLn, ansonsten partielle Stehen alle Terme einer DGL auf einer Seite, nennen wir sie implizit, ansonsten explizit Die Ordnung einer DGL gibt an, wie oft die Funktion höchstens abgeleitet wurde Eine DGL hat immer unendlich viele, allgemeine Lösungen. Wird durch eine Randbedingung eine einzelne daraus isoliert, sprechen wir von einer partikulären Lösung Eine DGL ist linear, wenn und nur in erster Potenz vorkommen, ansonsten nichtlinear 76

83 Abwandlungen unserer Grundgleichung Wir werden all diese DGLn herleiten. Hier jedoch schon einmal eine Vorschau: Dies kehrt das Vorzeichen im Exponenten um: Der Faktor vor wandert in den Exponenten: Qualitativ ändert sich am Funktionsgraphen gegenüber nichts. Die Funktionen ändern nur ihre Steigung. Bei verlaufen sie steiler, bei flacher als die Originalfunktion: n 2 5 n

84 Eine Vorschau auf weitere Fälle: Bisher waren in unseren DGLn nur die Funktion, ihre Ableitung und evtl. ein Faktor für enthalten. Addieren wir nun eine konstante Zahl zu einem unserer Partner. oder Wir erhalten als Lösung: Die als Lösung erhaltene Exponentialfunktion wird entlang der -Achse verschoben und zwar im entgegengesetzten Sinne ihres Vorzeichens. Nun wird es aber Zeit, endlich eine richtige Funktion einzufügen. Weil auch da ein System dahinter steckt, machen wir gleich eine Tabelle: 3 2 Links die Graphenschar für eine der Funktionen. Die Graphen zeigen die Lösungen für Wir erkennen eine Art kubischer Parabel die sich nach unten aber zu einer Art umgekehrter quadratischer Parabel entwickelt Zum Abschluss unserer Übersicht elementarer DGLn multiplizieren wir Potenzen von mit. Wiederum ist eine Tabelle hilfreich Die Funktionenschar zu einer der Funktionen von oben. Die anderen Scharen sind ähnlich

85 Die homogene Differentialgleichung zurück zur Themenübersicht Lösungsverfahren zu ganz einfachen Differentialgleichungen Jetzt, da wir eine Teilmenge der möglichen Probleme und die dazugehörigen Lösungen kennen, wird es uns einfacher fallen, die allgemeinen Lösungsverfahren für unbekannte Probleme zu verstehen und anzuwenden. Als ganz einfache DGLn definieren wir dabei: Ganz einfache Differentialgleichungen sind solche, bei denen neben und auch noch genau eine Funktion mit diesen durch Multiplikation verknüpft ist Gemäß der Klassifikation von DGLn wären dies Gewöhnliche, Homogene, Lineare DGLn I. Ordnung. Welche Gestalt haben diese Gleichungen? Wir schrieben sie in expliziter Form als:, die implizite Form wäre: Die DGL heißt homogen, weil außer der mit verbundenen Funktion keine weitere Funktion in der Gleichung vorhanden ist, wie in bzw.. Eine solche Funktion würde uns stören, man nennt sie deswegen auch Störfunktion. Die DGL wäre dann inhomogen. Eine homogene DGL besitzt keine Störfunktionen, ansonsten wäre sie inhomogen Solche DGLn besitzen die grundsätzliche Lösung mit einer noch unbekannten Lösungsfunktion, die wir zur Lösung der DGL eben herauszufinden haben. Der Weg zur Ermittlung der unbekannten Funktion, also zur Lösung solcher DGLn nennt sich: Methode der Trennung der Variablen Sie ist grundlegend wichtig, deswegen werden wir sie auf der nächsten Seite ausführlich herleiten. Beginnen wir mit der einfachsten Form, wenn nämlich einer der Partner in der DGL mit einer Konstante multipliziert wird:. Für hätten wir dann auch gleich die Muttergleichung hergeleitet. 79

86 DGLn lösen: Allgemeines Verfahren 1 Die DGL liegt schon in expliziter Darstellung vor. Ansonsten hätten wir sie dahin umformen müssen. 2 Wir identifizieren die zusätzliche Funktion: 3 Wir schreiben das in um : 4 Wir multiplizieren mit : 5 Wir dividieren durch 6 Wir wollen beide Seiten integrieren : 7 Dafür schreiben wir das linke Integral etwas um : 8 Jetzt führen wir die eigentliche Integration durch. ist ein Stammintegral : = 9 Das Integral ist gleich 10 Die Integrationskonstante ist unbestimmt. Wir können sie also genauso gut als schreiben: 11 Wir bringen die Int. konstante auf die linke Seite: 12 Wir wenden an: 13 Wir schreiben beide Seiten als Potenz von auf: 14 Wir wenden an : 15 Wir bringen auf die rechte Seite: Wir gewöhnen uns an, die Integrationskonstante bei DGLn immer zu nennen! 80

87 Trennung der Variablen durchführen I 1 Die DGL liegt in expliziter Darstellung vor. Ansonsten hätten wir sie dahin umformen müssen. 2 Wir identifizieren die zusätzliche Funktion : 3 Wir schreiben das in um : 4 Wir multiplizieren mit : 5 Wir dividieren durch 6 Wir integrieren beide Seiten : 7 Wir schreiben das linke Integral etwas um : 8 Jetzt führen wir die eigentliche Integration durch. ist ein Stammintegral : = 9 Das Integral ist gleich 10 Die Integrationskonstante ist unbestimmt. Wir können sie genauso gut als schreiben: 11 Wir bringen die Int.konstante auf die linke Seite: 12 Wir wenden an: 13 Wir schreiben beide Seiten als Potenz von auf: 14 Wir wenden an : 15 Wir bringen auf die rechte Seite: 81

88 An diesem Beispiel haben wir auch die allgemeine Lösung solcher homogenen, linearen DGL in der expliziten Darstellung gewonnen: Hätte die Gleichung in der impliziten Form Lösung die Form: besitzen. vorgelegen, so würde die Der folgende Graph zeigt die Lösungsfunktionsschar von für die Werte der Konstanten von 2 bis - 2 bei einer Schrittweite von 0,5. Auch genau auf der -Achse liegend befindet sich eine Lösung, die triviale Lösung. Nämlich diejenige für und somit : Wir berechnen noch eine partikuläre Lösung für : 82

89 Ein weiteres Beispiel: Trennung der Variablen durchführen II 1 Die DGL liegt schon in expliziter Darstellung vor. 2 Wir identifizieren die zusätzliche Funktion: 3 Wir schreiben das in um 4 Wir multiplizieren mit : 5 Wir dividieren durch 6 Wir integrieren beide Seiten : 7 Wir schreiben das linke Integral etwas um : 8 Jetzt führen wir die eigentliche Integration durch. = ; = 9 Wir schreiben als : 10 Wir bringen auf die linke Seite: 11 Wir wenden an: 12 Wir schreiben beide Seiten als Potenz von auf: 13 Wir wenden an : 14 Wir bringen auf die rechte Seite: 3 Lösungsfunktionenschar:

90 Ein etwas aufwändigeres, trickreiches Beispiel: Trennung der Variablen durchführen III ( ) 1-7 Durchführung wie vor 8 Jetzt führen wir die eigentliche Integration durch. 9 Wir schreiben als : 10 Wir vereinfachen die logarithmischen Ausdrücke und substituieren diese zu : 11 Der neue Ausdruck lautet nun : 12 Wir bringen auf die linke Seite: 13 Anwenden : 14 Wir schreiben beide Seiten als Potenz von auf: 15 Wir wenden an : 16 Wir bringen auf die rechte Seite : 17 Resubstituieren : 84

91 Die Lösungsfunktionenschar ist optisch ansprechend: Hier haben wir einen Fall, bei dem an zwei Stellen die Funktionswerte aller Lösungen gleich sind, nämlich an den Nullstellen von Abweichende Form der Differentialgleichung Was tun, wenn die DGL nicht in der Standardform vorliegt? Wichtig ist, dass alleine auf einer Seite liegt! Dann können wir in umschreiben. Liegt die DGL in impliziter Form vor, so formen wir sie in die explizite Form um. Liegt die Funktion bei : dann müssen wir auch umformen: 85

92 Sonderfälle, Funktion und Ableitung miteinander verbunden: zurück zur Themenübersicht Diese Spezialfälle, in denen die Funktion und ihre Ableitung direkt miteinander verbunden sind, lassen sich leicht auflösen. Für Einzelheiten siehe: Integrale speziellen Typs Sonderfall I : Multiplikation 1 Wir integrieren beide Seiten. Die Ableitung schreiben wir dabei in Differentialschreibweise : kürzt sich heraus : 2 Integral lösen : 3 Auflösen nach : Sonderfall II : Division Wir integrieren beide Seiten. Die Ableitung schreiben wir dabei in Differentialschreibweise : 1 kürzt sich heraus : 2 Integral lösen : 3 e-funktion anwenden : 4 Auflösen : Sonderfall III : Division (Herleitung wie oben) 86

93 Eine alternative Herangehensweise an homogene DGLn I. Ordnung Homogene Differentialgleichungen sind ja sehr einfach aufgebaut: Sie besitzen keine Störfunktion auf der rechten Seite, wie in: Man kann deswegen sehr leicht umformen in: Jetzt befinden sich beide Terme mit Seiten auf der linken Seite der Gleichung ohne einen störenden, sonstigen Term. Auf der rechten Seite befindet sich nur noch eine mehr oder weniger einfache - aber auf jeden Fall bekannte - Funktion von. Wir haben die Variablen getrennt, man sagt auch: separiert und spricht von einer Separation der Variablen. Dann liegt sie aber auf eine Art und Weise vor, die sie einer direkten Integration zugänglich macht. Wir erinnern uns an den speziellen Typus eines Integrals aus der Integralrechnung: Ist der Zähler eines Bruches die Ableitung seines Nenners so hat das Integral die Lösung Es folgt dann eine direkte Integration der beiden Ausdrücke nach insgesamt folgendem Schema: In beiden Fällen muss die DGL separabel sein, was bei homogenen DGLn jedoch der Fall ist. Trennung der Variablen durchführen IV 1 Gleichung separieren : 2 Beide Seiten integrieren: 3 Integrale lösen : 4 e-funktion anwenden : 5 Lösung : 87

94 Anwendungen der Differentialgleichungen I. zurück zur Themenübersicht Lineare, homogene Differentialgleichungen I. Ordnung Diskretes Wachstum Das Adjektiv diskret hat in Naturwissenschaft und Mathematik eine vollständig andere Bedeutung, als im Alltagsleben. Dort hat es die Bedeutung von: verschwiegen, zurückhaltend u.ä. Im anderen Falle bedeutet es: wohlunterscheidbar, trennbar, in Stufen geschehend, abzählbar. In unserem Beispielfall ist wohl die Bedeutung: in Stufen geschehend am passendsten. Jemand habe ein Konto bei einer Bank, bei dem er ein Grundkapital deponiert hat. Bspw. 1. Dieses wird jährlich zu einem bestimmten Prozentsatz verzinst, die Zinsen verbleiben also auf dem Konto und werden im folgenden Jahr mit dem Grundkapital zusammen wieder verzinst. Wir sprechen vom Zinseszins-Modell. Es gibt also einen Wachstumsfaktor der dafür sorgt, dass im folgenden Jahr mehr Geld auf dem Konto vorhanden ist, als vorher. Welche Eigenschaften muss dieser Wachstumsfaktor besitze? Er ist ein Faktor, also muss er durch Multikation mit dem Ursprungswert (nennen wir diesen ) verbunden sein. Es gilt daher: Wir unterscheiden mehrere Fälle: Das wäre ziemlich ungünstig, im folgenden Jahr wäre das Kapital verschwunden: Das wäre auch ungünstig, im folgenden Jahr wäre das Kapital kleiner geworden: Suboptimal, im folgenden Jahr wäre das Kapital gleich groß geblieben: Das ist schon besser, im folgenden Jahr wäre das Kapital gewachsen: Der Wachstumsfaktor wird von der Bank durch den Zinssatz in Prozent vorgegeben. Prozent bedeutet von Hundert. 10 Prozent bedeutet also: 10 Hundertstel. Dies kann aber nicht der Wachstumsfaktor sein. Da er kleiner als 1 ist, wäre im Folgejahr ja nur noch ein Zehntel des Kapitals vorhanden:. Natürlich bekommt man die Zinsen und das angelegte Kapital zurück. Zum Prozentsatz muss also eine 1 addiert werden, um den korrekten Wachstumsfaktor zu ermitteln: Damit ist jetzt gewährleistet, dass im Folgejahr das Kapital angewachsen ist:. Dieses Wachstum - es ist vollkommen nebensächlich, ob es sich dabei um Geld oder etwas Anderes handelt - kann man graphisch darstellen. Die -Achse stellt dabei die Zeit - in Jahren gemessen - dar, die -Achse die Höhe des Kapitals. Es werden zwei Wachstumsfaktoren im Vergleich dargestellt: und : 88

95 Das angelegte Kapital wächst exponentiell an. Sei das Anfangskapital es nach Jahren: dann beträgt ( ) Dabei sind die im Exponenten natürliche Zahlen: { Das Wachstum erfolgt in diskreten Schritten. Stetiges Wachstum Harry Schlau hat eine Bank gefunden, die einen enormen Zinssatz verspricht:. Der Wachstumsfaktor beträgt somit 2: ( ) ( ) Das ist zwar ein stolzer Wert, aber er möchte sein Ergebnis noch optimieren. Er überlegt: Wenn er das Geld nach einem halben Jahr abhebt und sofort wieder für ein halbes Jahr anlegt, bekommt er im zweiten Halbjahr zusätzliche Zinsen auf den Zinsgewinn im ersten Halbjahr. Nach einem halben Jahr hätte er 1,5-mal so viel auf dem Konto, das ergibt am Jahresende das 2,25-fache. Ein schöner Zugewinn. Doch warum hier Halt machen? Das geht doch auch monatlich. Oder wöchentlich. Oder täglich. Oder Harry Schlau hat soeben die Eulersche Zahl solcher Überlegungen: erfunden. Diese ergibt sich nämlich als Grenzwert Diese unendliche Reihe kann man auch schreiben: Ihr Grenzwert gegen Unendlich beträgt: ( ) Dies wäre das Optimum, was er erhalten könnte, wenn er das diskrete Wachstum gegen stetiges Wachstum getauscht hätte. 89

96 Diskretes vs. Stetiges Wachstum Es gibt wohl nichts im Universum, das in solchem Sinne stetig wäre, dass man es unendlich teilen könnte. Diese Erkenntnis von Demokrit - auf die Materie angewandt und zu Atomen führend - kann man bedenkenlos auf alle anderen Größen in der Natur anwenden. Inklusive der Zeit, die wohl nicht kleiner als die Planck-Zeit unterteilt werden kann. Jedoch sind die Grundeinheiten der Größen so klein, die Anzahlen dieser Grundeinheiten, mit denen wir es üblicherweise zu tun haben, damit so groß, dass die Hypothese einer unendlichen Granularität die Realität praktisch immer am besten abbildet. Grenzübergang von Wachstumsschritten In der Differential- und Integralrechnung, sowie bei Differentialgleichungen, haben wir es mit unendlich kleinen Änderungen zu tun. Wir machen also immer den Übergang vom Differenzen- zum Differentialquotienten. Die Annahme, dass in einer solchen Gleichung wie ( ) der Exponent eine natürliche Zahl { sei, entfällt damit. Aus der Gleichung: wird damit mit. zeigt damit aber gerade die Änderung von mit jedem neuen und somit bietet es sich an, als und als zu schreiben: Ersetzen wir nun die fremden Symbole und durch die vertrauten Symbole und, so können wir schreiben: ist dabei eine willkürliche Konstante und wir erkennen, dass wir es mit einer veritablen Differentialgleichung zu tun haben. Die Lösung für diese DGL haben wir bereits hergeleitet: Die allgemeine Lösung zu unserer DGL. Da wir unser Problem ganz allgemein dargestellt haben, wird uns auch nur eine allgemeine Lösung zurückgeliefert. Die e-funktion mit irgendeinem Faktor zusätzlich im Exponenten. 1 2 Wir stellen jetzt zuerst eine Randbedingung auf: Unsere Konstante soll nicht negativ sein Damit betrachten wir nur noch exponentielles Wachstum und keine exponentielle Abnahme einer Größe. 90

97 Bei genauerem Hinsehen erkennen wir, dass genau auf der -Achse auch ein Funktionsgraph erkennbar ist. Dies ist der Graph für. Aus der Lösungsfunktion wird durch ihn die Funktion und dann wird jeder Funktionswert zu 0, egal, was die Exponenten und dazu sagen. Die Funktion ist die triviale Lösung (fast) aller Differentialgleichungen. Die anderen Funktionsgraphen sind die Lösungen für usw. Die Kurven gehen auch nach links über die -Achse bei hinaus. Dies ist kein Fehler, sondern so gewollt und sogar ein Spezialfeature dieser Lösung. ist der gegenwärtige Zeitpunkt zu dem wir das System betrachten. Verfolgen wir die Funktionswerte nach rechts, können wir die zukünftige Entwicklung betrachten. Verfolgen wir die Funktionswerte nach links, können wir die gesamte Entwicklung in der Vergangenheit aufschlüsseln. Bisher haben wir noch nicht über die Exponenten der Funktion gesprochen. wäre in unserem Modell die Zeit gewesen, gemessen in irgendeiner Einheit. Bei der Kapitalentwicklung wahrscheinlich in Jahren, bei einem Experimentalphysiker vielleicht in Femtosekunden. im Exponenten ist unser Wachstumsfaktor. Wie sich der Verlauf der Kurve mit dem Wachstumsfaktor ändert, zeigt die nächste Graphik. 91

98 Natürlich steigt die Kurve mit dem höheren Wachstumsfaktor stärker an, als die übrigen. Was aber noch auffällt: Alle Kurven treffen im Punkt zusammen. Dort liegt unser Anfangswert. Daraus können wir auch die Integrationskonstante bestimmen, die hier verwendet wurde: Jetzt genügt die Kenntnis eines einzelnen Punktes, um die vollständige Gleichung zu bestimmen. Wir entnehmen der Graphik den Punkt. Wir setzen in die Gleichung unsere Werte für und ein:. ist ja eine Konstante mit dem numerischen Wert einmal, um die Gleichung nach. Aber diese Zahl benötigen wir noch nicht aufzulösen. Wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung: Nach den Logarithmusgesetzen ist Wir erhalten: Wir ermitteln den (natürlichen, nicht: dekadischen!) Logarithmus von 4,2: und als Ergebnis:, wie erwartet. Was tun, wenn der Anfangswert auch nicht bekannt ist? Das berechnen wir an einem Standardbeispiel: Eine Bakterienprobe wurde morgens um 10 Uhr angesetzt. Der Praktikant hatte aber vergessen, aufzuschreiben, wie viele Bakterien anfangs in der Probe waren. Um 12 Uhr werden sie erstmals gezählt. Es sind 370 Stück. Bis um 13 Uhr wird gewartet und dann wiederum gezählt. Nun sind es 420 Bakterien. Was war der Anfangsbestand der Kultur, wie groß ist die Wachstumsrate? Wir rekonstruieren: Um 12 Uhr waren 2 Stunden seit Beginn vergangen.. Da waren es 370 Bakterien:. Um 13 Uhr waren 3 Stunden seit Beginn vergangen.. Da waren es 420 Bakterien:. 92

99 Wir erstellen nun ein Gleichungssystem: Die miteinander verbundenen Gleichungen lauten: und Die Fortpflanzungsrate (= Wachstumsfaktor) und der Anfangsbestand sind zu ermitteln. Sowohl Fortpflanzungsrate als auch Anfangsbestand sind Konstanten. Wir setzen ein: Wir stellen beide Gleichungen nach um und setzen gleich: Nach den Logarithmusgesetzen ist der Logarithmus eines Produktes die Summe der Logarithmen beider Faktoren: Wir wenden dies auf beide Gleichungen an: Es gilt: Der Wachstumsfaktor beträgt Nachdem nun einer der Faktoren bekannt ist, können wir den zweiten leicht durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen berechnen: Der Anfangsbestand der Bakterienkultur betrug also Die Funktionsgleichung für das Wachstum der Bakterienkultur lautet damit: Der prozentuale Zuwachs pro Stunde berechnet sich nach: Damit kann man die Probe durchführen: 93

100 Stetige Abnahme Eine Glasscheibe bestimmter Dicke lässt nur einen bestimmten Prozentsatz des Lichtes durch. Das ist manchmal unerwünscht, manchmal aber sogar erwünscht. Man kann Glasscheiben so herstellen, dass sie nur ungefähr 1 Photon pro Sekunde hindurchlassen, anstelle der Fantastilliarden, die ansonsten eine Scheibe passieren. Nach Durchgang durch eine Scheibe von 1mm Dicke sei noch 90% des Lichtes vorhanden, der Rest wurde absorbiert. Setzt man jetzt eine zweite Scheibe hinter die erste, werden von jetzt noch vorhandenen 90% wieder nur 90% durchgelassen. Es sind jetzt 90% von 90% = 81% vorhanden. Die dritte Scheibe absorbiert davon wieder 10% und es bleiben 90%(90%(90%))= 72,9% übrig usw. Der Wachstumsfaktor beträgt 0,9. Er ist kleiner als 1, was eben kein Wachstum, sondern eine Abnahme zur Folge hat. 1 0,90 0,81 0,73 0,66 0,59 0,53 0,48 Man könnte natürlich auch die sieben Glasscheiben von je 1mm Dicke zu einer einzigen mit 7mm Dicke zusammenfügen. Wie dick müsste eine solche Glasscheibe wohl sein, damit sie nur noch 1% des eintreffenden Lichtes durchlässt? sei die Intensität des Lichtes. Sie beträgt am Anfang und sinkt mit jedem Schritt um = 10% (= 0,1) der vorherigen. Es werden noch = 90% (= 0,9)durchgelassen. Es gilt daher: und Die Lichtintensität fällt exponentiell ab. Sei die Anfangsintensität dann beträgt sie nach Schritten: ( ) Die Lichtstärke sinkt in diskreten Schritten. Dabei sind die im Exponenten natürliche Zahlen: { Wir führen wieder einen Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten durch und schreiben: und sind willkürlich gewählte Namen, wir kehren zum gewohnten zurück. 94

101 Für die DGL finden wir wiederum das Integral! Auf den ersten Blick meint man, einen Fehler begangen zu haben. Die Gleichung kann ja nicht gleichermaßen für exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme gelten? Die Verwirrung wird noch größer, wenn man kurz googelt und mit einer Wahrscheinlichkeit von geschätzten 99% auf einen Artikel findet, der die Vorgehensweise in etwa nachstehend beschreibt: Es handelt sich um eine Abnahme, deswegen müssen wir die DGL folgendermaßen schreiben: Die Autoren kommen dann zu dem Ergebnis, dass dann der Exponent negativ werden müsse. Das ist grundfalsch! Die Gleichung, die wir erhielten ist vollkommen richtig und die scheinbare Unstimmigkeit rührt von etwas ganz anderem her. Zuerst wollen wir beweisen, dass der Ansatz: unsinnig ist. Gegeben ist die DGL mit. können wir dann als Menge schreiben: {. Damit bekommt die DGL die Form: { Wir multiplizieren die DGL mit -1. Dann ändert sich das Vorzeichen der Elemente der Menge: { An der Menge selbst hat sich aber überhaupt nichts geändert! Also gilt: und sind vollkommen identische DGLn! Darum müssen sie zur gleichen Lösung führen. Die Lösung liegt in den zwei Konstanten, die in enthalten sind. Beide sind Elemente der reellen Zahlen also von und. Bei hatten wir gleich ausgeschlossen, weil negative Werte nicht zu unserer Problemstellung gehörten. Für hatten wir sogar ausdrücklich gefordert. Außerdem forderten wir:, weil nur dies zu unserer Aufgabenstellung passte. Die gleiche Forderung müssen wir dieses Mal an unsere Lösung stellen: Es muss gelten:, weil nur so die endgültige Formulierung Sinn macht: Lösungsfunktionsschar für: 95

102 Der Funktionsverlauf entspricht demjenigen der Funktion, jedoch durch das negative Vorzeichen im Exponenten an der -Achse gespiegelt. Jetzt variieren wir den Exponenten: Lösungsfunktionsschar für des Exponenten von - 1-1,6 bei einem von 1. Nun wollen wir die Eingangsfrage klären und dann wissen, wie dick eine Glasscheibe bei 90% Durchlässigkeit pro Millimeter sein muss, damit nur noch 1% des Lichts auf der anderen Seite ankommen. Wie sieht die Ausgangsgleichung überhaupt aus? Für muss gelten: Das ist nämlich die Ausgangsintensität. Für muss gelten:. Also: Wir setzen kurzerhand und erhalten:. Diese Gleichung lösen wir. Logarithmieren beider Seiten: Anwenden: Probe: Nach wie vielen mm sinkt die Intensität auf 0,01? 96

103 Radioaktiver Zerfall Keine Behandlung der exponentiellen Abnahme ist ohne dieses Thema komplett. Atomkerne bestehen aus positiven Protonen und neutralen Neutronen. Die Neutronen verhindern durch einen Mechanismus, der Starke Kernkraft genannt wird, dass die Protonen sich wegen ihrer Abstoßung untereinander aus dem Atomkern entfernen. Liegt ein Ungleichgewicht zwischen der Anzahl an Protonen auf der einen und der Anzahl an Neutronen auf der anderen Seite vor, so besitzt der Atomkern eine bestimmte Wahrscheinlichkeit innerhalb eines bestimmten Zeitraumes zu zerfallen. Diese Wahrscheinlichkeit ist jedem Atom einzeln gegeben. Nach einem gewissen Zeitraum ist es eben zerfallen oder nicht. Atome kennen kein Altern. Deswegen ist es nicht so, dass die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Atom, zu zerfallen, mit der Zeit zunähme: Die Zerfallswahrscheinlichkeit ist zu jedem Zeitpunkt gleich! Die Zerfallswahrscheinlichkeit kann - wie jede Wahrscheinlichkeit! - Werte von 0 bis 1 annehmen. Ist die Zerfallswahrscheinlichkeit 0, so ist das Atom stabil. Beträgt sie 1, so wird es sofort zerfallen. Bei allen Werten dazwischen hat es eine Chance unzerfallen davonzukommen. Bis zur nächsten Periode. Dann beginnt die Wahrscheinlichkeit wieder von vorne. Es ist wie beim Roulettespiel: Bei jedem neuen Durchlauf ist es für eine Zahl gleich wahrscheinlich, gezogen zu werden. Egal ob sie selbst vorher gezogen wurde oder nicht. Bei unserem vorherigen Beispiel mit der Intensitätsverringerung beim Durchgang durch eine Glasscheibe, war es der gleiche Vorgang: Beim Durchgang durch die erste Scheibe gab es eine gewisse Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Photon, von den Atomen der Scheibe absorbiert zu werden. Drang es in die nächste Scheibe ein, begann die Wahrscheinlichkeit wieder von vorne. Die bestimmende Größe bei der Intensitätsverringerung war die Dicke der Scheibe. Beim radioaktiven Zerfall ist es die Zeit. Setzen wir als Zeitdauer die grundlegende Zeiteinheit 1 Sekunde, so gibt es für das Atom eine Wahrscheinlichkeit, dass es zerfällt. Setzen wir für die Anzahl der vorhandenen Atome, dann gilt die Differenzengleichung: Wir betrachten Atome. Die Wahrscheinlichkeit, in einer Sekunde zu zerfallen, sei 0,2. Die Anzahl an unzerfallenen Atomen, jeweils nach einem Zeitschritt von 1 Sekunde 97

104 Flugs wieder vom Differenzen- zum Differentialquotienten gewechselt, ergibt sich, ganz vertraut: Jetzt gilt es, einige Begriffe zu definieren und den einzelnen Komponenten der Gleichung eine physikalische Bedeutung zu geben. Die Konstante ist die ursprünglich vorhandene Anzahl an unzerfallenen Atomen. Wir nennen sie Der Exponent ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Sekunde. Sie hat damit die Einheit. Sie wird in der Physik mit dem griechischen Buchstaben Lambda λ. λ wird auch Zerfallskonstante genannt. Sie ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer Tau τ. Es gilt also: Es wird eine sog. Halbwertszeit definiert, als diejenige Zeit, nach der die Hälfte der Atome zerfallen ist. Diese Halbwertszeit lässt sich aus der Zerfallskonstanten berechnen: Unser Praktikant wurde nach dem Vorfall mit der Bakterienkultur ins Isotopenlabor zum Atome zählen strafversetzt. Dort wird gerade eine C 14 -Datierung an einer Probe aus einer Mumie aus der Steinzeit durchgeführt. C 14 hat eine Zerfallskonstante von = 1,2*10-4 Jahren. Bei der Probe lässt sich ermitteln, dass der Anteil an C 14 verglichen mit einer heutigen Probe auf ein Drittel des Wertes gefallen ist. Wie alt ist die Probe? Für muss gelten: Das ist nämlich der Vergleichswert. Für dann: Jahre Die Mumie ist also Jahre alt. Das Minuszeichen im Ergebnis zeigt deutlich, dass die Mumifizierung vor dem gegenwärtigen Zeitpunkt stattfand. 98

105 Die inhomogene Differentialgleichung zurück zur Themenübersicht Kommt zu einer homogenen DGL in noch eine weitere Funktion hinzu, die weder mit noch mit durch Multiplikation oder Division verbunden ist dann könnten wir sie ja durch eine Umformung zuschlagen so sprechen wir von einer inhomogenen Differentialgleichung. Solche sind deutlich schwieriger zu lösen, als die homogenen. Ihre Gestalt wäre dann: Inhomogene DGL: Die Funktion nennt man verständlicherweise Störfunktion. Es gibt einen grundlegenden Satz, der die prinzipielle Lösbarkeit einer solchen DGL sicherstellt: Die Lösung einer inhomogenen DGL (linearer Art, 1. Ordnung) lässt sich stets in Form einer allgemeinen Lösung der homogenen DGL (mit s(x)=0) und einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL angeben Die Methode nennt sich: Methode der Variation der Konstanten zurück zur Themenübersicht Wie üblich, sagt uns diese Definition zuerst mal gar nichts Wir konstruieren uns also eine DGL in einfachster Form, lösen sie und hoffen dabei, allgemeine Lösungsstrategien für ähnliche Gleichungen zu gewinnen. Um uns nicht von unnötigen Komplikationen ablenken zu lassen, wählen wir für die Funktionen und Wir setzen: und die einfachste zur Verfügung stehende Funktion, nämlich die konstante. Die zu lösende DGL lautet dann: 99

106 Variation der Konstanten durchführen I 1 Der homogene Teil der DGL lautet : 2 Der partikuläre Teil der DGL lautet : 3 Die allgemeine Lösung des homogenen Teils lautet Wir denken uns jetzt, die Konstante aus 3 sei eine Funktion von. Wir benennen um in : Wir bilden die Ableitung der Funktion (hier: Produktregel (u*v) = u *v + u*v ) Wir holen uns die Ursprungsgleichung wieder hervor : Wir ersetzen das der Ursprungsgleichung mit dem das wir in 5 gewonnen haben : auf der rechten Seite ersetzen wir durch die Lösung des homog. Teils aus 4 : 9 Vereinfachen 1 : 10 Vereinfachen 2 : : Jetzt werden beide Seiten der Gleichung integriert, um aus wieder zu gewinnen 11 Integrieren : 12 Integral lösen : Aus diesem Ausdruck und dem homog. Teil der DGL bilden wir die Lösung des partikulären Teils : Die Lösung des homogenen Teils war : Als partik. Lsg. erhielten wir: Wir setzen beide gleich : Wir lösen nach auf : Die partikuläre Lösung lautet somit : 100

107 Wir bilden die allgemeine Lösung aus der Lösg. des homog. Teils und der Lösg. des partik. Teils : Lösungsfunktionenschar: Die horizontale Linie zeigt den Graphen der Funktionsgleichung für Die nächste Funktion wird schon deutlich schwieriger. Die Funktion, mit der wir Die Störfunktion lautet: verbinden, ist Die gesamte DGL heißt dann: 101

108 Variation der Konstanten durchführen II 1 Die DGL liegt schon in expliziter Darstellung vor. 2 Der homogene Teil der DGL lautet : 3 Der partikuläre Teil der DGL lautet : Homogenen Teil der DGL lösen 4 Die Lösung für den homogenen Teil der DGL : 5 Wir schreiben das in um 6 Wir multiplizieren mit : 7 Wir dividieren durch 8 Wir integrieren beide Seiten : 9 Lösung des Integrals ( logarithmisch schreiben) : 10 Anwenden : 11 Lösung durch e-funktion : Lsg. des homog. Teils Wir denken uns jetzt, die Konstante Partikulären Teil der DGL lösen aus 11 sei eine Funktion von. Wir benennen um in : Wir bilden die Ableitung der Funktion (hier: Produktregel (u*v) = u *v + u*v ) Wir holen uns die Ursprungsgleichung wieder hervor : 15 Wir ersetzen das dem aus Nr. 13 : der Ursprungsgleichung mit 16 auf der rechten Seite ersetzen wir durch die Lösung des homog. Teils aus 12: 102

109 Fortsetzung von voriger Seite 16 auf der rechten Seite ersetzen wir durch die Lösung des homog. Teils aus 12: 17 Vereinfachen 1 : 18 Vereinfachen 2 : 19 Vereinfachen 3 : Durch dividieren Jetzt werden beide Seiten der Gleichung integriert, um aus wieder zu gewinnen 20 Integrieren : 21 Integral lösen : Aus diesem Ausdruck und dem homog. Teil der DGL bilden wir die Lösung des partikulären Teils : 22 Lösung des partikulären Teils bilden: Aus Nr. 12: folgt : außerdem gilt Nr. 21: wir setzen gleich: * Wir bilden die allgemeine Lösung aus der Lösg. des homog. Teils und der Lösg. des partik. Teils : 23 Lösungsfunktionenschar:

110 Variation der Konstanten durchführen III 1 Die DGL liegt schon in expliziter Darstellung vor. 2 Der homogene Teil der DGL lautet : 3 Der partikuläre Teil der DGL lautet : Homogenen Teil der DGL lösen 4 Die Lösung für den allgemeinen Teil der DGL : 5 Wir schreiben das in um 6 Wir multiplizieren mit : 7 Wir dividieren durch 8 Wir integrieren beide Seiten : 9 Lösung des Integrals ( logarithmisch schreiben) : 10 Anwenden : 11 Lösung durch e-funktion : Lsg. des homog. Teils Wir denken uns jetzt, die Konstante Partikulären Teil der DGL lösen aus 11 sei eine Funktion von. Wir benennen um in : Wir bilden die Ableitung der Funktion (hier: Produktregel (u*v) = u *v + u*v ) Wir holen uns die Ursprungsgleichung wieder hervor : 15 Wir ersetzen das dem aus Nr. 13 : der Ursprungsgleichung mit 16 auf der rechten Seite ersetzen wir durch die Lösung des homog. Teils aus 12: 104

111 Fortsetzung von vorheriger Seite 16 auf der rechten Seite ersetzen wir durch die Lösung des homog. Teils aus 12: 17 Vereinfachen 1 : 18 Vereinfachen 2 : : 19 Vereinfachen 3 : Ersetzen Jetzt werden beide Seiten der Gleichung integriert, um aus wieder zu gewinnen 20 Integrieren : 21 Integral lösen : Aus diesem Ausdruck und dem homog. Teil der DGL bilden wir die Lösung des partikulären Teils : Lösung des partikulären Teils bilden: Aus Nr. 12: folgt : außerdem gilt Nr. 21: 22 wir setzen gleich: : Wir bilden die allgemeine Lösung aus der Lösg. des homog. Teils und der Lösg. des partik. Teils : 23 Lösungsfunktionenschar:

112 Variation der Konstanten Ablaufschema: Ausgangs-DGL: y = y * u(x) + s(x) Aufspalten in: Homog. Teil: Partik. Teil: y * u(x) s(x) Homog.-DGL lösen: y = y * u(x) Lsg. des hom. Teils: y = c 1 * L(x) Ersetzen: c 1 durch c 2 (x) Ergebnis: y = c 2 (x) * L(x) Ableiten von y: Ergebnis: y = ( c 2 (x) * L(x) ) Ausgangs-DGL: y = y * u(x) +s(x) Ersetzen y : ( c 2 (x) * L(x) ) = y * u(x) + s(x) Ersetzen von y * u(x) durch c 2 (x) * L(x) : ( c 2 (x) * L(x) ) = c 2 (x) * L(x) + s(x) Vereinfachen, bis auf einer Seite nur noch c 2 (x) vorhanden ist Beide Seiten integrieren Lösung des partik. Teils bilden: Lsg. des partik. Teils Gesamtlösung aus: Lsg. des partik. Teils und Lsg. des homog. Teils zus.setzen 106

113 Proben auf Richtigkeit der Lösung von Differentialgleichungen Wir haben jetzt fleißig Differentialgleichungen gelöst. Wie können wir sicher sein, dass unsere Lösungen richtig waren? Denken wir zurück, als wir quadratische Gleichungen gelöst haben. Die Lösungen für und haben wir wieder in die Ausgangsgleichung eingesetzt und diese dann gelöst. Wenn auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis herauskam, war alles in Ordnung. Genau das Gleiche müssen wir bei DGLn tun. Wir setzen die Lösung in die Ursprungsgleichung ein, führen die angemessenen Operationen durch und prüfen auf Gleichheit beider Seiten. Beispiel: Die Mutter aller Differentialgleichungen Lösung: Die Ableitung von ist. Also gilt: Etwas komplizierter: ; Lösung: ( ) ( ) Links können wir die Glieder einzeln differenzieren. Rechts müssen wir die Klammer ausmultiplizieren. Die beiden Seiten der Gleichung stimmen überein 107

114 Zwischenbilanz ziehen: In unserer Behandlung der Differentialgleichungen sind wir schon ganz schön weit gekommen. Wir betrachten uns hier einmal das gesamte Feld: Differentialgleichung: Gleichung mit unbekannter Funktion und Ableitung Allgemeine und partikuläre DGLn (mit Randwertbedingung) Gewöhnliche DGL: Nur eine Variable (x) Explizit: y = ; Implizit: y + = 0 Homogene DGL: Keine isolierte Funktion von x, also nur: y y u x Inhomogene DGL: Sonstige Funktion von x: y y u x d x s x Störfunktion Lineare DGL: y, y, y etc. nur in erster Potenz, ansonsten nichtlinear (Beachte: y* y ) Nichtlineare DGL: y, y, y etc. in höherer Potenz. Höchste Potenz bestimmt den Grad der DGL Ordnung einer DGL: Wie oft wurde y abgeleitet? (1. Ordnung y, 2. Ordnung y.) Wir behandeln ja hier nur Gewöhnliche DGLn. Diese waren bisher alle linear, was bedeutet, dass die bestimmenden Faktoren der DGL, nämlich und immer in erster Potenz vorkamen. Die Ordnung der DGLn war immer erster Ordnung, das heißt, die Ableitung von war stets die erste Ableitung. Damit bleibt immer noch genügend übrig: Differentialgleichungen höherer Ordnung Nichtlineare Differentialgleichungen 108

115 Zusammenfassung DGLn I. Ordnung Als Differentialgleichungen bezeichnen wir Gleichungen, bei denen eine unbekannte Funktion samt deren unbekannter Ableitung auftritt. Weitere Funktionen von können mit der Funktion oder ihrer Ableitung durch Multiplikation verknüpft sein. Bis dahin nennen wir die DGLn homogen. Findet sich noch eine isolierte Störfunktion, nennen wir sie inhomogen. Die Lösungen von Differentialgleichen ergeben Lösungen mit einer oder mehreren multiplikativen Konstanten. Die Lösungen von Differentialgleichen bestehen im Wesentlichen aus Exponentialfunktionen mit der Variablen im Exponenten. Durch Randbedingungen können aus der allgemeinen Lösung der DGL partikuläre Lösungen erhalten werden, die keine Integrationsvariablen mehr enthalten. Die Lösung einer DGL kann durch Differenzieren auf Richtigkeit überprüft werden. Allgemeines Verfahren zur Lösung der DGL: und geeignet anordnen Die Ableitung in Differentialschreibweise schreiben Integrieren beider Seiten der Gleichung Es ergibt sich der Logarithmus von Integrationskonstante auch logarithmisch schreiben Geeignet umformen Exponentialfunktion anwenden Geeignetes Verfahren zur Lösung der homogenen DGL ist die Methode der Trennung der Variablen. Geeignetes Verfahren zur Lösung der inhomogenen DGL ist die Methode der Variation der Konstanten. 109

116 Anwendungen der Differentialgleichungen II. zurück zur Themenübersicht Lineare, inhomogene Differentialgleichungen I. Ordnung Beschränktes Wachstum Bei unseren Betrachtungen zum Wachstum sind wir von einem unbeschränkten Wachstum ausgegangen. Solche Wachstumsvorgänge sind eine Idealisierung. Sie kommen in der Natur nicht vor. Wäre dies anders, würde irgendeine Größe immer weiter bis ins unendliche anwachsen. Nehmen wir ein konkretes Beispiel: Die Bakterienkultur, die der Praktikant vergessen hatte, breitet sich anfangs scheinbar exponentiell aus. Dies jedoch nur, solange sie genügend Platz, genügend Nährstoffe usw. besitzt. Nehmen wir an, die Bakterien seien in einer Küvette. Für fortwährenden Nährstoffbestand sei zwar gesorgt, jedoch reicht schlicht und einfach der Raum in der Küvette nur für Bakterien aus. Wir betrachteten in der Exponentialfunktion die Anzahl der Bakterien und hier ist auch eine Anzahl als Schranke gegeben. Dann könnten wir uns das Wachstum der Kultur folgendermaßen vorstellen: Wir teilen den Raum in der Küvette in einzelne Zellen ein. Anfangs sind alle leer. Dann setzen wir in die erste Zelle eine einzelne Bakterie. Diese vermehrt sich und bringt nach einer Sekunde einen Nachkommen zur Welt, der in Zelle zwei landet. Nach einer weiteren Sekunde teilen sich Mutterbakterie und Tochterbakterie wieder, es kommen zwei Bakterien hinzu. Jetzt sind schon 4 Zellen belegt. Dann werden es 8, 16, 32, 64 usw. Solange, bis keine leere Zelle mehr vorhanden ist. Die Anzahl möglicher Fortpflanzungszyklen können wir berechnen: Die Wachstumsfunktion ist mit Es muss gelten:. Wir lösen: Nach 13 Fortpflanzungszyklen wird das Wachstum abrupt beendet. Man kann sich den Vorgang so vorstellen: Es gibt eine Schranke (hier: 8.192) von der die Wachstumsfunktion immer so viel wegknabbert, bis es nichts mehr wegzuknabbern gibt. Dort verharrt die Wachstumsfunktion. Die naive Annahme, es würde von einer Schranke abgezogen: funktioniert aber leider nicht. Auf diese Weise erhalten wir nämlich nicht den neuen Funktionswert, sondern nur die Differenz von der Schranke bis zu diesem. 110

117 Beispiel: Der Schritt 10 hat ergeben. wäre dann. Es ergibt sich aber: Und das ist falsch Wir müssen die Gleichung zu modifizieren dann ist sie nachweisbar richtig. Probe: Das ist natürlich ein Trick. Aber er funktioniert. Denn hinter der Gleichung steckt ja nichts anderes als die Wachstumsgleichung: Wir betrachten nun die umgekehrte Fragestellung: Wie viele Zellen verbleiben noch frei, wenn die Bakterienkultur anwächst? Diese Fragestellung hat sogar einen Fachbegriff: Wir fragen nach dem Sättigungsmanko. Ab dem 13. Wachstumszyklus ist keine Zelle mehr frei. Dieser abrupte Wechsel bereitet uns Schwierigkeiten. Nehmen wir ein anderes Beispiel. Die Hefepilze Saccharomyces Cerevisiae wandeln Zuckerlösungen in Alkohol um. Die Zuckerlösung dient also als Nahrung um weiteren Nachwuchs zu generieren, der gebildete Alkohol ist Abfall. Der gebildete Alkohol vermindert aber als Zellgift ihre Fortpflanzungsrate. Bei einer Konzentration von 15% kommt sie vollständig zum Erliegen. Deswegen gibt es auch keinen Wein mit höherer Alkoholkonzentration. Für diese Betrachtung schalten wir schon frühzeitig vom Differenzenmodell zum Differentialmodell. Die Änderung der Konzentration - von 0 auf 15% - wirkt sich also gleichzeitig auf diese selbst und auf die Vermehrungsrate aus. Die Konzentration von 15% bildet dabei die Schranke Diese Situation beschreiben wir so: Der Bestand an Hefepilzen sei eine Funktion der Zeit (also von ) und wir nennen ihn Die differentielle Änderung des Bestandes wäre dann gleich. Beide ändern sich proportional zueinander mit einer Proportionalitätskonstanten. Diese sei 0,01. Dann haben wir die Differentialgleichung vorliegen. Es handelt sich um eine lineare, jedoch inhomogene Differentialgleichung. 111

118 Eine ähnliche DGL haben wir bereits gelöst (siehe: Variation der Konstanten) DGL des beschränkten Wachstums lösen: Wir formen die Gleichung um: 1 Der homogene Teil der DGL lautet : 2 Der partikuläre Teil der DGL lautet : 3 Die allgemeine Lösung des homogenen Teils lautet 4 5 Wir denken uns jetzt, die Konstante aus 3 sei eine Funktion von. Wir benennen um in : Wir bilden die Ableitung der Funktion (hier: Produktregel (u*v) = u *v + u*v ) 6 Die Ursprungsgleichung lautete : 7 8 Wir ersetzen das der Ursprungsgleichung mit dem das wir in 5 gewonnen haben : auf der rechten Seite ersetzen wir durch die Lösung des homog. Teils aus 4 : 9 Vereinfachen 1 : 10 Vereinfachen 2 : : Jetzt werden beide Seiten der Gleichung integriert, um aus wieder zu gewinnen 11 Integrieren : 12 Integral lösen : Aus diesem Ausdruck und dem homog. Teil der DGL bilden wir die Lösung des partikulären Teils : Die Lösung des homogenen Teils war : Als partik. Lsg. erhielten wir: Wir setzen beide gleich : Wir lösen nach auf : 112

119 Wir betrachten einen Ausschnitt aus der Menge aller Lösungen für dieses Problem. Als Grenze nehmen wir die maximale Konzentration an Alkohol, nämlich 15% y c 1 e k x S Positive c 1 Zwei Kurvenscharen nähern sich unserer Schranke von 15%. Die obere Schar hat positive Integrationskonstanten, die untere negative Negative c Die Gleichung gilt also sowohl für eine exponentielles Wachstum zu einer Schranke hin (negative ), als auch für eine exponentielle Abnahme zu einer solchen (positive ). Unser Problem war exponentielles Wachstum, also dürfen wir nur negative zulassen. Die Schranke selbst findet sich in unserer Gleichung für den Wert als rote Linie wieder. Jetzt wenden wir uns wieder der konkreten Fragestellung zu. Wir betrachten nur noch den rechten, unteren Quadranten, weil nur Lösungen für positive bei negativen von Interesse sind. Die endgültige Form unserer Lösungskurve. Der Proportionalitätsfaktor befindet sich im Exponenten. Jetzt gilt es nur noch die Int.konstante zu bestimmen. Wir haben die Anfangsbedingung: Somit ergibt sich die Lösung des Anfangswertproblems zu: 113

120 Anwendungen der Differentialgleichungen III. zurück zur Themenübersicht Lineare, inhomogene Differentialgleichungen I. Ordnung Das Wachstumsmodell des beschränkten Wachstums befriedigt nicht in allen Fällen. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist am Anfang sehr hoch und wird dann stetig kleiner. Es wird bei den meisten realen Wachstumsprozessen wohl eher so sein, dass das Wachstum zu Beginn (ohne eine Hemmung) exponentiell stattfindet, dann die Hemmung doch eine Wirkung zeigt und das Wachstum dann in ein beschränktes übergeht. Man kann beide Modelle miteinander verbinden. Anfangs soll das Wachstum exponentiell sein und dann allmählich in ein beschränktes Wachstum übergehen. Dazu verbinden wir die beiden Prozesse (beschränktes Wachstum) miteinander zu: (exponentielles Wachstum) und Diese Gleichung nennt man Logistische DGL. Es handelt sich um eine nichtlineare, jedoch homogene DGL zweiten Grades. Will man für sie auch das Anfangswertproblem lösen, darf der Anfangswert nicht 0 sein. Nachfolgend die Kurve nach den Daten des Hefepilzbeispiels des beschränkten Wachstums. Ihre Gestalt nennt man Schwanenhalsform oder Sigmoidform. Die rechnerische Herleitung geschieht auf der nächsten Seite. Die DGL gehört zur Klasse der Bernoulli- und Riccati- DGLn, lässt sich aber auch ohne deren schwierige Anwendung lösen. 114

121 Lösung der Logistischen Differentialgleichung : Löst man die Klammer auf, erkennt man eine nichtlineare DGL zweiten Grades: 1 2 Wir belassen die Funktion faktorisiert: Wir dividieren durch : Damit haben wir die Gleichung separiert. 3 Wir integrieren beide Seiten : 4 Wir lösen die rechte Seite : Wir lösen die linke Seite : Wir substituieren: Dann ist: Wir lösen das Integral: 5 und erhalten als Lösung: 6 Wir setzen zusammen : 7 Wir multiplizieren mit : 8 schreiben wir als: 9 Wir müssen jetzt nach auflösen. Dazu wenden wir die e-funktion an: 10 Wir bilden den Kehrwert: 11 Nach diversen Umformungen erhalten wir als Lösung : 12 Lösung für: 115

122 Differentialgleichungen II. und höherer Ordnung zurück zur Themenübersicht Tritt in der Differentialgleichung höherer Ordnung. in zweiter oder höherer Ableitung auf, nennen wir sie eine DGL Die einfachste solche DGL wäre natürlich Die Tante aller DGL höherer Ordnung Ein paar kleine Vorüberlegungen anzustellen, wird sich wohl als nützlich erweisen Beispielfunktion: Wir leiten nacheinander ab. Funktion Ableitung Abgeleitete Funktion Weggefallen --- Die Funktion reduziert sich immer mehr. Nacheinander verschwinden Terme, wir haben einen Informationsverlust, bis die ganze Funktion im Strudel der Null verschwindet. Diesen Informationsverlust werden wir auch nie vollständig, sondern höchstens teilweise wieder wettmachen können. Beim Integrieren haben wir einen - aber nur scheinbaren - Informationsgewinn: Integral --- Integrierte Funktion 116

123 Der Informationsgewinn täuscht. Über bis ist überhaupt nichts bekannt. Aus der Information die Ableitung ist 0 lässt sich noch nicht einmal erkennen, ob es sich überhaupt um eine Potenzfunktion von handelte. Der Sinus von 0 ergibt ja auch 0 Wir wollen nun versuchen, zu lösen. Mit der Methode Trial and Error. Diese ist gar nicht mal so verpönt in der Mathematik, wie man glauben mag. Gute Mathematiker werden dafür geschätzt, dass sie komplizierte Lösungen erraten können. Einen Hinweis haben wir bereits: Die vorangegangenen Ergebnisse legen nahe, dass es sich wieder um eine irgendeine Form der Exponentialfunktion handeln könnte. Wir versuchen : Annahme: Probe für : Erste Ableitung bilden : Zweite Ableitung bilden : Jawohl, das klappt! Nächste Erweiterung: Probe für : Erste Ableitung bilden : Zweite Ableitung bilden : Jawohl, das klappt! Aha, es sind also auch Linearkombinationen in der Lösung zulässig! Superpositionsprinzip Versuchen wir, am Exponenten etwas zu ändern: Probe für : Erste Ableitung bilden : Aha, da ändert sich etwas Zweite Ableitung bilden : Änderung wieder zurück. OK! Aha, auch ist in der Lösung zulässig! Aber nur für gerade Anzahlen der Ableitung! Jetzt kombinieren wir die beiden vorhergehenden Ansätze: Probe für : Erste Ableitung bilden : Aha, da ändert sich etwas Zweite Ableitung bilden : Änderung wieder zurück. OK! Damit haben wir die wichtigsten Informationen zusammen. 117

124 Das erscheint uns jetzt allgemein genug und wir lassen vorerst stehen: Eine Lösung der allgemeinen DGL 2. Ordnung ist: Hier eine Übersicht über die Lösungsfunktionenschar für : Unsere Herleitung der Lösung der DGL II. Ordnung war in Ordnung und auch richtig. Aber: So richtig mathematisch war sie wohl nicht. Das wollen wir auf der nächsten Seite nachholen 118

125 Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir schreiben das in um 2 Wir subtrahieren auf beiden Seiten (impl. Form) : 3 Wir vermuten irgendeine Lösung mit der e-funktion. Diese müsste im Exponenten der e-funktion liegen, natürlich von abhängen und vielleicht irgendeinem Faktor Wir substituieren 4 Die zweite Ableitung von ist : 5 Wir klammern aus : 6 8 Das Produkt links kann nur zu 0 werden, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. kann aber für keinen Exponenten zu 0 werden. Also muss es die Klammer sein, die zu 0 wird : Unsere Lösung muss also aus zwei Teilen bestehen, jeweils mit : 9 Das Superpositionsprinzip erklärt das für zulässig : Hier wollen wir noch mögliche partikuläre Lösungen diskutieren: Wir haben es jetzt mit zwei verschiedenen Integrationskonstanten und zu tun. Jede ist voneinander unabhängig. Dafür benötigen wir aber auch zwei Lösungen für Fixpunkte, an denen wir die gewünschte Funktion festnageln können. Das können bspw. ein Punkt der Lösungsfunktion und ein Punkt der Ableitung der Lösungsfunktion sein. Es sei ein Punkt der Lösungsfunktion und ein Punkt der ersten Ableitung. Partikuläre Lösung bestimmen : 1 Die Gleichung zur Lösung von ist : 2 Die Gleichung zur Lösung von ist : 119

126 3 Wir lassen die Terme weg : Einsetzen in (1) 4 Wir lösen das lineare Gleichungssystem : 5 Partikuläre Lösung der DGL : Der Graph der Lösungsfunktion ist ähnlich den Graphen der allgemeinen Lösung Die Lösung der allgemeinen DGL Da erwarten wir auf den ersten Blick nichts Besonderes. Der Graph der Lösungsfunktion wird wohl an der -Achse gespiegelt werden. Abwarten Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir schreiben das in um 2 Wir addieren auf beiden Seiten (implizite Form) : 3 Wir vermuten irgendeine Lösung mit der e-funktion. Diese müsste im Exponent der e-funktion liegen, natürlich von x abhängen und vielleicht irgendeinem Faktor Wir substituieren 4 Die zweite Ableitung von ist : 5 Wir klammern aus : 6 Das Produkt links kann nur zu 0 werden, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. kann aber für keinen Exponenten zu 0 werden. Also muss es die Klammer sein, die zu 0 wird : Jetzt ist guter Rat teuer. Wir können keine Lösung der Gleichung Zahlen finden. Die Lösung ist komplex. im Bereich der reellen 120

127 Da die Lösung komplex ist, finden wir sie im imaginären Zahlenbereich: Unsere Lösung ist rein imaginär: Auf den ersten Blick können wir damit nichts anfangen. Wie wollen wir den Graphen einer imaginären Funktion zeichnen? Doch glücklicherweise gibt es Abhilfe. Carl Friedrich Gauß fand die Identität: Mit im Exponenten ist der Realteil der komplexen Zahl gemeint. Da unsere Lösung rein imaginär ist, ist unser sogar gleich 0. Außerdem ist unser gleich Wir können daher schreiben: ( ) ( ) ( ) ( ) Ausmultiplizieren: Umbenennen und Lösungsfunktionenschar für den reellen Teil für: Der Term ist imaginär und kann deswegen nicht angezeigt werden. 121

128 Repetitorium des Rechnens mit komplexen Zahlen: zurück zur Themenübersicht Komplexe Zahl: Realteil: Imaginärer Teil: Rein reell: Rein imaginär: Konjugiert komplexe Zahl zu Rechenoperationen: Addition Subtraktion Multiplikation Division Hier muss der Bruch zuerst mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert, um den Nenner reell zu machen: Gaußsche Zahlenebene mit Einheitskreis : 1.0 Imaginär 0.5 z a i b z b r Im. Teil 0.0 r e i z a Re. Teil Reell Eulersche Identität: Darstellung in kartesischen Koordinaten: Darstellung in Polarkoordinaten: 122

129 Die Lösung der allgemeinen DGL (Homogene DGL II. Ordnung) Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir schreiben das in um 2 3 Wir subtrahieren auf beiden Seiten (implizite Form gewinnen) : Wir vermuten irgendeine Lösung mit der e-funktion. Diese müsste im Exponent der e-funktion liegen, natürlich von x abhängen und vielleicht irgendeinem Faktor Wir substituieren 4 Die zweite Ableitung von ist : 5 Wir klammern aus : 6 8 Das Produkt links kann nur zu 0 werden, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. kann aber für keinen Exponenten zu 0 werden. Also muss es die Klammer sein, die zu 0 wird : Unsere Lösung muss also aus zwei Teilen bestehen, jeweils mit : 9 Das Superpositionsprinzip erklärt das für zulässig : Man beachte: Für ist die Wurzel negativ. Wir haben dann eine rein imaginäre Lösung! Die Lösung der allgemeinen DGL Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1-5 Ablauf wie vor 6 An dieser Stelle müssen wir abbrechen. Da eine Variable ist, gibt es keine wohldefinierte Lösung für diese Gleichung, wenn die Lösung noch in elementaren Funktionen darstellbar sein soll. Eine Lösung ist nur in Reihenentwicklung möglich. Siehe 123

130 Die Lösung der allgemeinen DGL (Inhomogene DGL II. Ordnung) Jetzt haben wir zusätzlich noch eine (sehr einfache) Störfunktion vorliegen. Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir schreiben in um : 2 Wir subtrahieren auf beiden Seiten (fast implizite Form) : 3 Wir suchen wieder eine Lösung in 4 II. Ableitung = ; I. Ableitung : 5 Wir klammern auf : 6 Wir lösen wieder die Klammer auf : An dieser Stelle müssen wir abbrechen. Da eine Variable ist, gibt es keine wohldefinierte Lösung für diese Gleichung. Anders als bei der Gleichung gibt es hier jedoch einen Ausweg. Wir erinnern uns an folgenden Satz bei den inhomogenen, linearen DGLn I. Ordnung: Die Lösung einer inhomogenen DGL (linearer Art, 1. Ordnung) lässt sich stets in Form einer allgemeinen Lösung der homogenen DGL (mit s(x)=0) und einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL angeben Warum sollte so etwas Ähnliches bei DGLn II. Ordnung nicht auch funktionieren? Wir suchen wieder in einer Kombination aus homogener und partikulärer Funktion Die zugrundeliegende Methode nennt sich: Methode der unbestimmten Koeffizienten zurück zur Themenübersicht 124

131 Methode der unbestimmten Koeffizienten I 1 Die DGL liegt in expliziter Darstellung vor. 2 Der homogene Teil der DGL lautet : 3 Der partikuläre Teil der DGL lautet : Homogenen Teil der DGL lösen 4 Die Lösung für den homogenen Teil der DGL : 5 Wir kennen die Lösung bereits : Lsg. homog. Teil Partikulären Teil der DGL lösen Die partik. Lösung erwarten wir in Form eines Polynoms. 6 Die allgemeine Form eines Polynoms ist: Koeffizienten hier: 7 8 Es geht um die II. Ableitung dieses Polynoms, also hat die Lsg. die Form: Umgeformt in die implizite Form lautet sie : Wir bilden jetzt die II. Ableitung des Terms mit den Koeffizienten und : ( ) 9 Wir vergleichen die Koeffizienten. Blau mit Blau, Grün mit Grün Wir erstellen daraus Gleichungen: Wir bilden die allgemeine Lösung aus der Lösg. des homog. Teils und der Lösg. des partik. Teils :

132 Methode der unbestimmten Koeffizienten II Die homogene Lösung kennen wir schon: Partikulären Teil der DGL lösen 6 Die partik. Lösung hat die Form eines Polynoms. Koeffizienten für dieses Polynom sind ; : Koeffizienten: 7 Umgeformt in die implizite Form lautet sie : 8 Wir bilden jetzt die II. Ableitung des Terms mit den Koeffizienten : (Dies ist der Koeffizient der Lsg. der Ableitung. Die anderen Koeffizienten entfallen beim Differenzieren) Man könnte jetzt denken, es gehe darum, eine Quadratische Gleichung zu lösen. Nein. Wir müssen einen Koeffizientenvergleich durchführen. Siehe: Partialbruchzerlegung Wir setzen: Klammern auflösen: Zusammenfassen gleicher Koeffizienten, aktuelle Koeffizienten rechts einsetzen: Durch Vergleich der Koeffizienten gleicher Potenzen erhalten wir: Die Lösung lautet dann: Hinweis: Das Ergebnis des Koeffizientenvergleichs ist also nicht - wie vielleicht vorher vermutet - das Negative des Ursprungsausdrucks! Wir bilden die allgemeine Lösung aus der Lösg. des homog. Teils und der Lösg. des partik. Teils :

133 Methode der unbestimmten Koeffizienten III Die homogene Lösung kennen wir schon: Partikulären Teil der DGL lösen 6 Die partik. Lösung geht aus einer Winkelfunktion hervor. Wir vermuten ihre Lösung in der Menge der Elemente mit: Koeffizienten: 7 Umgeformt in die implizite Form lautet sie : 8 Wir bilden jetzt die II. Ableitung des Terms mit den Koeffizienten : Wir setzen: ( ) ( ) Klammern auflösen, zusammenfassen; aktuelle Koeffizienten rechts einsetzen: Durch Vergleich der Terme links mit dem Term rechts erhalten wir: (Kein Term mit cos!) (Ein Term mit sin!) Die Koeffizienten werden wieder eingesetzt. Die Lösung lautet dann: Wir bilden die allgemeine Lösung aus der Lösg. des homog. Teils und der Lösg. des partik. Teils : 10 Lösungsfunktionenschar: Nur für macht sich der sinusförmige Anteil bemerkbar. 127

134 Die Methode der charakteristischen Gleichungen zurück zur Themenübersicht Für homogene DGLn zweiter Ordnung haben wir folgenden Lösungsweg gefunden: Wir haben die zweite Ableitung gebildet: 1 Wir schreiben das in um Dann haben wir - weil die Ursprungsgleichung explizit war - diese in die implizite Form überführt: 2 Wir subtrahieren auf beiden Seiten (implizite Form gewinnen) : Wir haben gefordert, die Lösung der Gleichung sei immer in der Form : Wir vermuten irgendeine Lösung mit der e-funktion. 3 Diese müsste im Exponenten der e-funktion liegen, natürlich von abhängen und irgendeinem Faktor Wir substituieren Dann haben wir die zweite Ableitung von gebildet: 4 Die zweite Ableitung von ist : Wir erhielten ein vereinfachtes Bild der Ursprungsfunktion: 4 Die zweite Ableitung von ist : Wir klammerten aus: 5 Wir klammern aus : Und lösten dann die für diese Gleichung charakteristische Gleichung : 128

135 Wir können diesen Ablauf, der für alle homogenen Gleichungen beliebiger Ordnung gleich ist, schematisieren. Wir tun dies an einer Beispielfunktion: Es sei eine DGL höherer Ordnung in impliziter Form gegeben: Diese Gleichung können wir vereinfacht schreiben: Jede Ableitung hat einen eigenen Koeffizienten, nämlich die Zahl vor ihr. Dieser geben wir einen allgemeinen Namen. Es seien die Koeffizienten bis Wir erwarten die Lösung in der Form: Die Ableitungen sind dann ; ; ; Wir können also allgemein substituieren: Dann klammern wir aus: Da nie werden kann, müssen die Lösungen innerhalb der Klammer liegen. Jetzt haben wir die charakteristische Gleichung aufgestellt, die es zu lösen gilt. Das Problem ist nur: Wie wollen wir eine allgemeine Gleichung in 4. Potenz oder gar höher lösen? Das geht doch gar nicht! Nicht so voreilig! Zwar kann man die allgemeinen Polynome ab 4. Potenz nicht mehr elementar-analytisch lösen, jedoch ist dies in angenäherter Form möglich. Dafür gibt es numerische Lösungsverfahren, wie z.b. das Newton-Verfahren, welches im letzten Teil bei numerischen Verfahren beschrieben wird. 129

136 Solche numerischen Verfahren setzen auch Computer-Algebra-Systeme (CAS) wie Mathematica, Maple oder Wolfram Alpha ein. Eine Lösung ist also immer nur einen Internetanschluss entfernt: Die Lösung kann in diesem Fall sogar noch teilweise in geschlossener Form dargestellt werden: Bei einem Polynom 4. Grades muss es auch 4 Lösungen geben: Es sind zwei reelle Lösungen, von denen eine noch in komplizierter, geschlossener Form angegeben werden kann. Das ist der Wurzelausdruck. Die beiden anderen Lösungen sind konjugiert komplex. Die beiden Realteile stimmen überein, der imaginäre Teil des einen ist das Negative des imaginären Teils des anderen. Da wir eh schon auf fremde Hilfe zurückgegriffen haben, können wir uns auch der Plots der Polynome bedienen: Reelle Lösungen bei und Komplexe Lösungen: 130

137 Und da haben wir auch schon ein Problem Es kann prinzipiell vier Arten von Lösungen geben: 1. Alle Lösungen sind reell. 2. Es gibt eine reelle Lösung. 3. Alle Lösungen sind komplex. 4. Es gibt verschiedene reelle und komplexe Lösungen, evtl. in verschiedener Vielfachheit. Wie auch immer: Wir haben damit die Differentialgleichung gelöst! Die vorläufige Lösung lautet: Wir können diese Lösung vereinfachen: Der erste Term lautet: Der zweite Term lautet: Der dritte Term lautet: An ihm gibt es nichts mehr zu vereinfachen. Er muss nach der Eulerschen Identität gelöst werden: ( ) Der vierte Term genauso: ( ) Im Prinzip ist die DGL gelöst. Man kann höchstens noch Vereinfachungen vornehmen. Nehmen wir an, wir sind - wie sehr häufig in der Physik - nur an den reellen Lösungen interessiert. Dann können wir die komplexen Lösungsteile weglassen. Für den dritten und vierten Term erhalten wir dann: Reeller Teil : Ausklammern : ( ) Trig. Identit. : Gesamt : 131

138 Eine ähnliche Vereinfachung kann man für den Sinus manchmal vornehmen: Trig. Identit. : Aus einer DGL -ter Ordnung erhalten wir auch ein Polynom -ter Ordnung, welches Nullstellen besitzt. Die Nullstellen können in Vielfachheit auftreten, d.h. eine Funktion kann mehrere, gleiche Nullstellen besitzen. Aus ergeben sich die Nullstellen Aus ergibt sich Die komplexen Nullstelen sind immer konjugiert komplex, d.h. sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen zwischen Realteil und Imaginärteil: Braucht uns aber nicht zu kümmern, wenn wir die Regel beherzigen, immer alle Nullstellen einzusetzen. Für uns gilt die DGL als gelöst, wenn wir sie in Termen der Integrationskonstanten e-funktion und/oder in Termen der trigonometrischen Funktionen vorliegen haben., der Erst zum Schluss kann man Vereinfachungen in Betracht ziehen. Diese können aber leicht sehr komplex werden, insbesondere, wenn wir trigonometrische Identitäten anwenden können oder müssen. 132

139 Herleitung der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung : Falls die DGL höherer Ordnung nicht in dieser Form vorliegt, so umformen, dass sie es tut Wir vermuten irgendeine Lösung mit der e-funktion. Diese müsste im Exponenten der e-funktion liegen, natürlich von abhängen und vielleicht irgendeinem Faktor Wir substituieren Die Ableitungen von sind (Ausklammern: ) Die Lösungen der charakteristischen Gleichung seien: (Dann gilt: ) ( ) (Ausmultiplizieren) Die und sind reelle oder komplexe Zahlen. Man kann sie zusammenfassen zu : Die Lösung der Differentialgleichung ist dann : Im Einzelfall können dann evtl. noch Vereinfachungen vorgenommen werden. Hier nicht Dies war die Lösung für den homogenen Fall. Ist in der obigen Gleichung inhomogene Differentialgleichung vorliegen. so haben wir eine Auch diese ist im Prinzip lösbar. Dazu benutzt man den gleichen Lösungsansatz wie vorher: Die Lösung einer inhomogenen DGL lässt sich in Form einer allgemeinen Lösung der homogenen DGL (mit s(x)=0) und einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL angeben: Die zugehörige Lösungsmethode war die Methode der Variation der Konstanten. Diese kann man auch hier anwenden. 133

140 Lösen einer inhomogenen DGL II. Ordnung: 1 Die DGL liegt schon in expliziter Darstellung vor. 2 Der homogene Teil der DGL lautet : 3 Der partikuläre Teil der DGL lautet : Homogenen Teil der DGL lösen 4 Die Lösung für den homogenen Teil der DGL : 5 In implizite Form bringen : 6 Charakter. Gleichung : Lösung : 5 Lösung durch e-funktion : Lsg. des homog. Teils Wir vereinfachen hier weiter. Die Lösung wird wohl in Termen von Sinus und Kosinus anfallen. Deswegen wenden wir hier schon die Euler-Identität an. Der Exponent ist rein imaginär, darum ergibt sich: ( ) ( ) Neue : 6 7 (Man kann das auch der neuen Variablen direkt zuschlagen ) Partikulären Teil der DGL lösen Wir denken uns jetzt, die Konstanten aus 5 seien Funktionen von. Wir benennen um : Wir bilden die Ableitung der beiden Terme : (hier: Produktregel (u*v) = u *v + u*v ) 8 Wir holen uns die Ursprungsgleichung wieder hervor. Jetzt brauchen wir sie zweifach : 9 Nach unzähligen Umformungen unter Anwendung trigon. Subst. erhalten wir zwei Integrale : 134

141 10 11 Bilden des part. Teils zusammen mit der homogenen Lsg. ergibt : ( ) Das lässt sich nochmals trigonometrisch vereinfachen zu : 12 Man muss es einfach sagen: Die einfache Variation der Konstanten war schon eine arge Plackerei. Hier wird der Aufwand durch die zusätzliche Integrationskonstante nochmals potenziert Aber unser Ziel haben wir erreicht: Es ist also möglich, auch inhomogene DGLn höherer Ordnung zu lösen. Dabei bedient man sich immer der Regel, dass eine inhomogene DGL aus der Lösung des homogenen Teils und einer Lösung des partikulären Teils gebildet werden kann. Zusammenfassung: Aus der DGL höherer Ordnung wird mit dem Ansatz Gleichung gebildet. eine charakteristische Diese hat die Form: Die einzelnen die sich als Lösung des Polynoms -ten Grades ergeben, werden in einzelne e-funktionen eingesetzt und bilden dann das Fundamentalsystem als Lösung der DGL. Die Lösungen können reell oder komplex sein. Das ist bei einer versuchten Vereinfachung zu berücksichtigen. Vielfache Nullstellen werden jeweils einzeln berücksichtigt. Eine DGL -ter Ordnung hat immer Lösungsterme im Fundamentalsystem. 135

142 Reverse Engineering of Differential Equations Das erlaubt es, sich den Spaß zu machen, eigene Differentialgleichungen höherer Ordnung zu konstruieren. Wir denken uns Lösungen der charakteristischen Gleichung aus und konstruieren daraus das Polynom. Wir müssen nur beachten, dass die komplexen Nullstellen immer konjugiert komplex auftreten. Seien die Nullstellen einer DGL VII. Ordnung folgende: Dann erhält man das charakteristische Polynom durch Ausmultiplizieren folgender Terme: Als Lösung erhalten wir: ( ) ( ) ( ) ( ) Wir ersetzen die durch die Ableitungen: Das ist mal eine Differentialgleichung zum Fürchten. Plot der Lösungsfunktion:

143 Anwendungen der Differentialgleichungen IV. zurück zur Themenübersicht Inhomogene Differentialgleichungen II. Ordnung Physiker lieben es, Bewegungsgleichungen für Teilchen aufzustellen. Ein Teilchen kann dabei so klein sein, wie ein Elektron, etwas größer, wie bspw. ein Fallschirmspringer oder richtig groß, wie die Bewegung der Planeten um die Sonne. Ein Teilchen auf das keine Kraft wirkt, hat keine Notwendigkeit, seine Bewegung in irgendeiner Art und Weise - sei es in Bezug auf den Betrag der Geschwindigkeit oder deren Richtung - zu ändern. Da gibt es keinen Platz für Differentiale: Differentiale bilden Änderungen ab. Hier ist die Änderung 0, also gibt es nichts abzuleiten. Anders sieht es aus, wenn eine Kraft wirkt. Kräfte sind gerade dazu definiert, Bewegungsänderungen hervorzurufen. Die unter Betracht kommenden Teilchen besitzen alle eine Masse. Besitzen sie die Eigenschaft nicht - wie z.b. die Photonen - dann ist ihre Bewegungsgleichung so simpel, wie es nur geht: Sie ist konstant und zwar immer mit der Geschwindigkeit, der Lichtgeschwindigkeit. Eine Kraft wirkt auf die Masse so ein, dass das Verhältnis eine Konstante ist, die Beschleunigung. Diese ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit. Die erste Ableitung von ist die Geschwindigkeit. Das hatten wir alles schon integriert bis zu: Dies ist die Bewegungsgleichung unter der Einwirkung einer konstanten Kraft. Wie man aus dem ersten Term erkennen kann, bildet sie eine Parabel. Wirkt eine zweite konstante Kraft gleichzeitig auf das Teilchen ein, so ist das auch kein Problem. Das Superpositionsprinzip bei DGLn garantiert uns, dass auch die Summe aus diesen beiden DGLn eine Lösung ist. Ist die zweite Kraft jedoch nicht von der einfachen Form, dann müssen wir in die Trickkiste greifen. Das einfachste Beispiel, eine Bewegung unter dem Einfluss einer konstanten Kraft zu erzeugen, ist der freie Fall. Seine Bewegungsgleichung findet sich oben. Die Beschleunigung ist dabei die Erdbeschleunigung mit einem Wert von ca. Die zweite Kraft sollte idealerweise eine Kraft sein, die nicht von der Masse des Teilchens abhängt, sondern von einem Teil der Bewegungsgleichung selbst: Eine Störfunktion. Eine solche ist schnell gefunden: Die Reibung bei einem Durchgang des Teilchens durch ein flüssiges oder gasförmiges Medium. Dabei tritt Reibung auf. Je nach den Verhältnissen ist diese Reibung laminar oder turbulent. Bei laminarer Reibung ist der Widerstand gegen die Bewegung proportional zur Geschwindigkeit, bei turbulenter Reibung ist der Widerstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit: 137

144 Freier Fall bei laminarer Reibung Zwei Kugeln verschiedener Masse aber gleichen Radius versinken in einem Teich. Wir betrachten die Kräfte, die auf eine der Kugeln wirkt: Es wirkt die Gewichtskraft nach unten wir wählen diese als positiv aus. F A F R Es wirkt die Reibungskraft nach oben. Daher schreiben wir sie negativ. Es wirkt die Auftriebskraft nach oben. Daher schreiben wir sie negativ. Die Gewichtskraft ist proportional zur Masse und der (konstanten) Erdbeschleunigung. Die Reibungskraft wirkt linear mit einer Konstanten F g Sie ist proportional zur Geschwindigkeit. Es gilt: Die dynamische Viskosität eines Körpers wird mit bezeichnet. Wasser hat eine dyn. Viskosität von 1 mpa*s, Motoröl ca. 100 mpa*s Die Auftriebskraft ist insbesondere in einem Fall, bei dem die Dichten von Wasser und Kugel nicht weit auseinanderliegen, zu berücksichtigen. Sie ist für den gegebenen Fall eine Konstante. Die Symbole seien für den Ort und für die Zeit. Die DGL zur Geschwindigkeit lautet dann: Division durch : Wir fassen die beiden ersten Terme zu einer reduzierten Beschleunigung zusammen: ( ) Wir substituieren außerdem und erhalten einfacher: Dies ist eine lineare, inhomogene DGL I. Ordnung. Wir lösen sie mit der Methode der Variation der Konstanten. Gewünscht wird natürlich eine partikuläre Lösung der eher nichtssagenden allgemeinen Lösung. Diese können wir für eine spezielle Situation festlegen, bspw. 138

145 Geschwindigkeitsgleichung bei laminarer Reibung : Der homogene Teil der DGL lautet : ; Der partikuläre Teil der DGL lautet : 1 Die allgemeine Lösung des homogenen Teils lautet : 2 Wir benennen um in : 3 Wir bilden die Ableitung der Funktion : 4 Wir holen uns die Ursprungsgleichung wieder hervor : 5 Ersetzen von der Ursprungsgleichung und : 6 Vereinfachen : Jetzt werden beide Seiten der Gleichung integriert, um aus wieder zu gewinnen 7 Integrieren : 8 Integral lösen : Aus diesem Ausdruck und dem homog. Teil der DGL bilden wir die Lösung des partikulären Teils : Die Lösung des homogenen Teils war : Als partik. Lsg. erhielten wir : 9 Wir setzen beide gleich : Wir lösen nach auf : Die partikuläre Lösung lautet somit : Wir bilden die allgemeine Lösung aus der Lösg. des homog. Teils und der Lösg. des partik. Teils : Wir besitzen nun die allgemeine Lösung der DGL zur speziellen Lösung gelangen wir durch : Resubstituieren: ( ) Resubstituieren: ( ) 139

146 ( ) ( ) Wir haben sowohl einen Einfluss des Auftriebs, als auch einen Einfluss der Reibung. Betrachten wir zunächst den Einfluss des Auftriebs: Besitzt ein Körper die gleiche Dichte, wie das Medium, in dem er sich befindet, wird er schweben. Das ergibt sich aus der Definition, die wir der reduzierten Beschleunigung gegeben haben: ( ) ( ) (!!!) Es wirkt gemäß gar keine Gewichtskraft mehr auf den Körper. Er schwebt. Ist seine Dichte kleiner, als die des Mediums, so wird der Ausdruck in der Klammer sogar negativ. Die Gewichtskraft wird sich umkehren:. Der Körper wird nicht fallen, sondern steigen! Alle Ballons funktionieren nach diesem Prinzip. Betrachten wir dann den Einfluss der Reibung: Je größer der Reibungskoeffizient wird, desto kleiner wird der Faktor Er macht sich außerdem im Exponenten der Reibungsterms bemerkbar. Die Geschwindigkeit wird also mit größerem geringer anwachsen. Für den Grenzfall dürfen wir unsere obige Gleichung nicht anwenden, da dies zu einer Division durch 0 führen würde. Die Fallgeschwindigkeit ist also doch von der Masse abhängig! Dadurch, dass ein Reibungsterm in unsere Gleichung kam, wird plötzlich die Masse eines Körpers doch involviert. Und zwar zweifach: Einmal als Proportionalitätsfaktor vor der Beschleunigung (wo sie eigentlich auch hingehört) und dann noch im Nenner des Reibungstermexponenten. Dort wird dafür gesorgt, dass schwerere Körper eben doch schneller fallen. Konkreter Fall: eine Aluminiumkugel von 10 cm Radius falle durch Wasser. Wie sieht der Geschwindigkeitsverlauf aus? Aluminium: Reibungskoeffizient: Die Grenzgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Grenzwert der Gleichung für 140

147 Freier Fall bei turbulenter Reibung Ab einer - von der Reynoldszahl abhängigen - Grenzgeschwindigkeit geht die laminare Strömung in eine turbulente Strömung über. Diese ist nicht mehr proportional zur Geschwindigkeit sondern proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Wie bei der laminaren Reibung auch, ist die turbulente Reibung ein Effekt der Oberfläche eines bewegten Körpers und sehr stark von dessen Form in Bezug auf die Bewegungsrichtung abhängig. Der Standardfall ist die Luftströmung um einen fallenden Körper, bspw. einen Fallschirmspringer. F R Die Reibungskraft des Luftwiderstandes wirkt quadratisch proportional zur Geschwindigkeit mit einer Konstanten, dem Luftwiderstandsbeiwert. Die konstituierende Gleichung für den Luftwiderstand ist: F g Dabei ist die Querschnittsfläche des Körpers, die Dichte des durchströmten Mediums und der Faktor von der Form des Körpers abhängig. Optimale Werte für liegen um 0,1. Die schlechtesten Werte über 2. Unsere DGL für ergibt sich zu: Nach Division durch : 141

148 Die Konstanten der Reibungsgleichung fassen wir zusammen: Es handelt sich um eine inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung. Als Anfangsbedingung können wir nicht den Startwert setzen, sondern wir müssen den stationären Fall betrachten, wenn die Gewichtskraft der Reibungskraft entspricht: Nach aufgelöst ergibt dies: Geschwindigkeitsgleichung bei turbulenter Reibung : 1 Wir teilen beide Seiten durch : 2 Wir klammern aus: 3 Wir substituieren : dann ist: 4 Wir integrieren beide Seiten : 5 ist ein Standardintegral : 6 Resubstituieren: ( ) 7 Wir wenden die Umkehrfunktion des an : ( ( )) 8 Links entfällt der -Teil : Dividieren 9 Vereinfachen. Integrationskonstante : Die Ermittlung von ergibt sich folgendermaßen: Geht gegen unendlich muss gegen die Grenzgeschwindigkeit gehen. Diese ist aber gerade gleich Also muss = 1 sein. 10 Resubstituieren : 142

149 Beim Integrieren hätte man auch einen anderen Ansatz nehmen können, als das Standardintegral: Dieser Ansatz entspricht demjenigen bei der logistischen Differentialgleichung 5 Wir schreiben den Bruch um : 6 Lösen mit der Produktregel : gem. Anfangsbed. = 0 7 Vereinfachen : 8 Logarithmusgesetz anwenden : 9 e-funktion anwenden : 10 Vereinfachen : 11 Dividieren durch : Beide Verfahren führen zum gleichen Ergebnis, weil der eben nach dem Verhältnis unter der Wurzel definiert ist: Typischer Verlauf der Geschwindigkeit bei turbulenter Strömung. Für einen Fallschirmspringer im freien Fall ergibt sich eine Grenzgeschwindigkeit von ca. 200 km/h bei horizontaler Lage. Im Kopfsprungmodus kann man über 400 km/h erreichen. 143

150 Anwendungen der Differentialgleichungen V. zurück zur Themenübersicht Inhomogene Differentialgleichungen II. Ordnung Schwingungen: DGL des harmonischen Oszillators - Ungedämpfte Schwingungen Ruhelage Min. Auslenk. Max. Auslenk. Wenn eine erzwungene Ortsveränderung eine rücktreibende Kraft erzeugt, entstehen Schwingungen. 0 Auf die Kugel wirkt konstant die Gewichtskraft. Dieser entgegen wirkt als elastische Gegenkraft die Federkraft, die dem Hookeschen Gesetz unterliegt: In dieser Gleichung ist die Federkonstante. Wir setzen als Symbol für den Weg. Dann ist die Erdbeschleunigung die 2. Ableitung nach dem Weg:. Auch in der Federkraft ersetzen wir den Weg durch. In der Ruhelage sind beide Kräfte gleich groß, jedoch entgegengesetzt gerichtet:. Wir dividieren durch und erhalten unsere DGL für den Ort: Dies ist eine homogene DGL II. Ordnung. Wir lösten sie in ähnlicher Form bereits als: Wir ersparen uns Schreibarbeit, ersetzen mit und lösen nun Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir addieren auf beiden Seiten : 2 Wir schreiben beide in Differentialform: 3 Wir vermuten irgendeine Lösung mit der e-funktion. Wir substituieren : 4 Die zweite Ableitung von ist : 5 Wir klammern aus : ( ) 6 Wir lösen ( ) : ( ) 7 Die Lösung ist rein imaginär. Wir nehmen es gelassen hin : 144

151 Übertrag vorherige Seite : 7 Wir wenden die Eulersche Identität an: ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 8 Wir beachten: Wir addieren jetzt nicht, sondern überlegen, ob wir auch ohne dies auf die richtige Lösung kommen... ( Wir setzen vorläufig als Lösung : sin x Um die Lösung richtig interpretieren zu können, müssen wir noch einmal zu den grundlegenden Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktionen zurückkehren. Hier ein Graph beider Funktionen. y ) x Aus der Cosinusfunktion wird die Sinusfunktion durch Verschieben um cos x 0.5 und umgekehrt. 1.0 Zusätzlich ein Graph für die Summe beider Funktionen. y sin x 1.5 cos x 1.0 Die Funktionswerte erhöhen sich auf das 1,5-fache, x der Graph selbst ist um gegenüber den beiden anderen verschoben. 0.5 Wir lösen nun das Anfangswertproblem, d.h. wir weisen den Konstanten und konkrete Werte zu Der Zeitpunkt des Starts in unserem Experiment ist derjenige, in dem die angehobene oder heruntergezogene Kugel losgelassen wird. Dann ist die Auslenkung gerade gleich 1 oder -1. Dies ist die Cosinusfunktion, die Sinusfunktion können wir ausschließen. Selbst wenn wir für die Summe die Integrationskonstanten so geschickt wählen, dass sie zum Zeitpunkt 0 gerade 1 ergeben würden, bekämen wir zu einem späteren Zeitpunkt irgendwann und das ist aus Gründen der Energieerhaltung ausgeschlossen. Darum gilt und und unsere Lösung wird zu: ( ) ( ) ( ) Umso schöner, dass beim Addieren der Teillösungen der imaginäre Teil sowieso entfallen wäre 145

152 Genau die umgekehrte Betrachtungsweise erhält man bei der quantenmechanischen Betrachtung eines Teilchens als Welle. Aber zuerst das klassische Teilchen: Das Teilchen sei zwischen zwei unendlich hohen Wänden des Abstandes eingeschlossen, zwischen denen es sich aber hin- und herbewegen kann. Das klassische Teilchen unterliegt keinen Beschränkungen: Es bewegt sich zwischen den Wänden mit konstanter Geschwindigkeit, die Geschwindigkeit wird an den Wänden zu reflektiert. Der Betrag der Geschwindigkeit spielt hierbei keine Rolle, ist aber bestimmend für die Energie Bei und gilt jedes Mal. Ansonsten gilt. Diese Randbedingung gilt auch für ein Quantensystem, das in einem Intervall begrenzt wird. Die Wellenfunktion muss für und für den Betrag 0 haben. Das ist aber wiederum nur mit der Sinusfunktion möglich, womit die Lösungsgleichung dann wird. Aber auch Vielfache von sind Lösungen: Für haben wir übrigens die triviale Lösung der DGL:. Das würde bedeuten, dass sich kein Teilchen im Potential befindet. Darum kann nur die Werte annehmen: Veranschaulichen kann man dies durch einen Graphen mit der Sinusfunktion innerhalb eines Intervalls. Die passenden Wellenstücke besitzen jeweils die Hälfte der gesamten Wellenlänge von also. Die Quantenphysiker lieben ausgefallene Buchstaben als Symbole. Darum ersetzen sie das schnöde in ihren Formeln durch das esoterischer anmutende : 146

153 Was ist überhaupt mit dem klassischen Pendel. Das ist doch sonst ein Standardbeispiel für harmonische Oszillatoren? Dieses ist der Theorie nach kein harmonischer Oszillator, weil die rücktreibende Kraft nicht linear proportional zum Weg ist. Die rücktreibende Kraft Winkels : ist eine Funktion des Dazu müssten wir die DGL lösen: Ftan Dies ist mit elementaren Funktionen nicht möglich. F=m*g Frad Man behilft sich damit, eine Annäherung zu machen. Für kleine Winkel (im Bogenmaß) gilt:, wodurch die DGL wieder zu einer linearen wird. Dadurch lässt sie sich wie der normale, harmonische Oszillator behandeln. Eine Pendeluhr unterliegt nur der sehr geringen Luftreibung. Eine sich bewegende Feder unterliegt jedoch der viel höheren, inneren Reibung der Feder selbst, die keinen längeren Betrieb zulässt. Von weiteren Problemen einmal ganz abgesehen. Gedämpfte Schwingungen Ein horizontaler Oszillator. Eingespannt zwischen zwei Schraubenfedern. Ohne Reibungsverluste würde er Schwingungen mit einer Schwingungsdauer von durchführen. Er sei von einem viskosen Medium umgeben, die Hemmungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit. Was ist aber diejenige Kraft, welche die Gewichtskraft ersetzt? Es ist die Massenträgheit, die der Geschwindigkeitsänderung Widerstand entgegensetzt. Im Ruhezustand haben wir keine Geschwindigkeitsänderung Sehr wohl aber im Verlauf der Schwingung. Für die Reibungskraft hatten wir schon früher den Ausdruck Wir berücksichtigen die Masse, damit verschiedene Massen sich auch verschieden verhalten! 147

154 Wir schreiben wieder die Kräftegleichung: Wir dividieren durch : Substitutionen: ( ) Dies ist eine homogene, lineare DGL II. Ordnung. Wir haben sie in ähnlicher Form bereits als gelöst. Differentialgleichung der gedämpften Schwingung : 1 Wir schreiben in und in um : 2 Wir subtrahieren (implizite Form) : auf beiden Seiten 3 Wir suchen wieder eine Lösung in 4 II. Ableitung = ; I. Ableitung : 5 Wir klammern aus : ( ) 6 Wir lösen die Klammer (p/q-formel) : ( ) ( ) Wir haben drei Fälle zu unterscheiden: Für sind die Wurzelausdrücke positiv, die Lösung ist reell in e-funktionen: Der sogenannte Kriechfall Für sind die Klammerausdrücke reell, die Wurzel ist 0. Die Lösung ist reell in e-funktionen: Der sogenannte Aperiodische Grenzfall Für werden die Wurzelausdrücke negativ, die Lösung wird komplex. Dann sollten sich auch Ausdrücke in Sinus und Cosinus ergeben, so wie wir dies bei einer Schwingung erwarten. Der sogenannte Schwingfall. Wir untersuchen die drei verschiedenen Fälle getrennt. DGL der gedämpften Schwingung : Schwingfall 1 Wir lösen nur den part. Teil und fügen später den allgemeinen Fall hinzu : ( ) ( ) 148

155 2 Wir ordnen nach reell. und imag. Teil : ( ) ( ) 3 Subst.: 4 Euler-Gleichung hervorholen : 5 Gleichung in zwei Teile zerlegen : 6 Euler-Identität anwenden : Beide Gleichungen addieren: (Imaginäre Anteile sind entfallen!) Neues erstellen ( ) ( ) ( ) Rücksubstituieren als : Dann alles resubstituieren ( ) ( ( ) ) Funktionenschar: Das periodische Verhalten der Funktion ist deutlich zu erkennen. Wir betrachten einen Einzelfall (partikuläre Lösung) und wollen an diesem die Konsequenzen dieser Lösung diskutieren. 149

156 Wellenlänge und Periode bleiben über die Zeit hin erhalten. Die Amplitude fällt exponentiell ab. Um die Funktion kann man sich eine einhüllende Asymptote denken, an welche sie sich anschmiegt. Eine höhere Viskosität zeitigt den gleichen Effekt. 150

157 DGL der gedämpften Schwingung : Kriechfall 1 Die Standardlösung ist: ( ) ( ) 2 Wir addieren die beiden reellen Funktionen. Aber eigentlich stehen sie doch schon addiert da? Hier hilft ein Trick: In der Theorie der hyperbolischen Substitutionen gibt es eine Identität: 3 Diese wenden wir an und erhalten : ( ) 4 Zusammenfassen zu einem neuen : ( ) ( ) Der Aperiodische Grenzfall ist gerade diejenige Grenzbedingung, ab der keine Schwingung mehr möglich ist. Dieser Grenzfall muss auf andere Art und Weise bestimmt werden. Es ist derjenige Fall, bei dem die Endlage am schnellsten wieder erreicht wird. Nach dieser Funktion werden Autostoßdämpfer berechnet, die das Auto ja schnellstens (aber ohne Schwingungen!) wieder in die Normallage zurückbringen sollen. 151

158 Die Lösung der allgemeinen DGL (Homogene DGL II. Ordnung) Jetzt haben wir neben der II. Ableitung auch die I. Ableitung vorliegen. Die Funktion fehlt. Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir schreiben in und in um : 2 Wir subtrahieren (implizite Form) : auf beiden Seiten 3 Wir suchen wieder eine Lösung in 4 II. Ableitung = ; I. Ableitung : 5 Wir klammern auf : 6 Wir lösen wieder nach auf : 7 Lösungsform : 8 Vereinfachen : 9 Wir haben jetzt einen Fall vorliegen, bei dem eine Integrationskonstante additiv, die andere multiplikativ verwendet wird. Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1-7 Bei gleicher Rechnung wie oben erhalten wir : 8 Wieder zwei Integrationskonstanten : Beide Gleichungen sind in der Anwendung sehr wichtig! 152

159 Die Lösung der allgemeinen DGL (Homogene DGL II. Ordnung) Jetzt haben wir neben der II. Ableitung auch noch eine I. Ableitung vorliegen. Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir schreiben in und in um : 2 Wir subtrahieren (implizite Form) : auf beiden Seiten 3 Wir suchen wieder eine Lösung in 4 II. Ableitung = ; I. Ableitung : 5 Wir klammern auf : 6 Wir lösen wieder die Klammer (p/q-formel). Die Lösungen sind reell: 8 Lösungsform : 9 ( ) ( ) Das Lösungsverfahren der allgemeinen Funktion II. Ordnung zusammen mit einer I. Ableitung ist hier nicht wesentlich verschieden vom Lösungsverfahren ohne diese. Lösungsfunktionenschar für: 153

160 Die Lösung der allgemeinen DGL (Homogene DGL II. Ordnung) Jetzt haben wir neben der II. Ableitung auch noch eine I. Ableitung vorliegen. Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir schreiben in und in um : 2 Wir subtrahieren (implizite Form) : auf beiden Seiten 3 Wir suchen wieder eine Lösung in 4 II. Ableitung = ; I. Ableitung : 5 Wir klammern auf : 6 Wir lösen wieder die Klammer (p/q-formel) : 7 8 Die Lösungen sind komplex : 9 Wir teilen die Lösung in Realteil und Imaginärteil auf : 10 Trotzdem schreiben wir die Lösung als e-funktion : 11 Wir wenden nun die Euler. Id. an :

161 14 15 Die imaginären Teile haben verschiedene Vorzeichen. Beim Addieren heben sie sich auf! Wir addieren: Die Imaginärteile sind entfallen! ( ) 16 Wir resubstituieren α und β : ( ( )) 17 Jede gelöste DGL bekommt eine Int. Konstante. Die 2 wird integriert : ( ) Funktionenschar für Man erkennt ein periodisches Verhalten im negativen Bereich. Im positiven Bereich sind die Funktionswerte zu klein, um eine Aussage zu treffen. Vergrößerung des positiven Bereichs. Jetzt erkennt man auch hier das periodische Verhalten. Näheres zu dieser Funktion im Abschnitt Anwendungen der DGLn unter: Gedämpfte Schwingungen 155

162 Differentialgleichungen III. Ordnung Auch die Lösung für die DGL III. Ordnung herleiten: lässt sich mit den bereits eingeübten Methoden Herleitung der allgemeinen Lösung von : 1 Wir schreiben in um : 2 Wir subtrahieren (implizite Form) : auf beiden Seiten 3 Wir suchen wieder eine Lösung in 4 III. Ableitung = 5 Wir klammern auf : Da nicht 0 werden kann, muss das Ergebnis 0 aus der Klammer herrühren. Wir müssen daher die Gleichung lösen. 6 Dazu faktorisieren wir den Ausdruck zu :. Die erste Lösung führt zu:. Die quadratische Gleichung löst sich zu : Wir haben also eine reelle und zwei komplexe Lösungen vorliegen 8 Der erste Teil mit ergibt die Teillösung : Für die zwei weiteren Teile mit der komplexen Lösung benötigen wir die Eulersche Identität: 9 Der erste Teil mit ergibt : ( ( ) ( )) 10 Der zweite Teil mit ergibt : ( ( ) ( )) 156

163 Diese Lösung ist in Teilen schon monströs, zusammengefügt noch viel mehr, obwohl man sie durch Zusammenfassen und Umgruppieren zu: ( ) ( ) wieder etwas vereinfachen kann. Der Anteil reell. Die Integrationskonstanten und sind jedoch komplex, so dass es auch deren Anteile sind. Im Graphen der Lösungsfunktionen taucht jedoch der komplexe Teil nicht auf, das Bild erscheint vertraut: ist Zusammenfassung DGLn II. und höherer Ordnung Die Herleitung kann im Wesentlichen mit den gleichen Methoden, wie bei DGLn I. Ordnung auch, durch Suchen in Lösungen mit der Exponentialfunktion geschehen. Bei einer DGL n-ter Ordnung gibt es n Teillösungen (Fundamentallösungen). Bei höchster Ableitung also drei Fundamentallösungen. Es tauchen komplexe Zahlen in den Lösungen auf. Für uns wichtig sind die reellen Lösungsanteile aber die komplexen Teile dürfen nicht einfach weggelassen werden. Bei einem Minuszeichen im homogenen Teil der DGL ergibt sich die Lösung u.a. in Sinus und Kosinus, bedingt durch die Eulersche Identität. Bei inhomogenen Gleichungen muss die Methode des Koeffizientenvergleichs angewandt werden. Für partikuläre Lösungen der DGLn II. Ordnung sind zwei Werte notwendig, bzw. noch mehr bei höheren Ordnungen, von denen sich eine in der Funktion selbst, die anderen in jeder ihrer Ableitungen befinden sollte. 157

164 Nichtlineare Differentialgleichungen zurück zur Themenübersicht Tritt in der Differentialgleichung oder in zweiter oder höherer Potenz auf, so nennen wir die DGL nichtlinear. Die einfachste solche DGL wäre natürlich: Die Onkel aller nichtlinearen DGLn Es kann aber auch die Ableitung in höherer Potenz vorliegen: Beides kann miteinander kombiniert werden: Sie kann mit einer weiteren Funktion verbunden sei. Dann ist sie immer noch homogen: Es kann eine Störfunktion hinzukommen. Dann wird sie inhomogen: Zur Lösung dieser Differentialgleichungen müssen wir Wurzeln ziehen, potenzieren, substituieren, integrieren usw. Kurzum: Alle Rechenmethoden anwenden, die wir im Repertoire haben. Je nach Höhe der Potenz ergeben sich verschiedene Anzahlen von Lösungen. Man beachte, dass in allen Fällen, in denen Wurzeln bzw. gebrochene Exponenten auftreten, der Definitionsbereich der Funktion sehr eingeschränkt sein wird! Es wird nur in besonderen Fällen speziell darauf hingewiesen werden. 158

165 Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen I : Nur für homogene DGLn geeignet 1 Dafür sorgen, dass links nur Ableitungen vorliegen Ist bereits geschehen 2 Dividieren durch Potenz von : 3 Wir schreiben als Potenz : 4 Wir integrieren beide Seiten : 5 Wir lösen die rechte Seite : Wir lösen die linke Seite : 6 Wir substituieren: Dann ist: Wir lösen das Integral: Potenzregel: 7 Wir setzen zusammen : 8 Wir multiplizieren mit dem Nenner : 9 Wir müssen nun die -te Wurzel ziehen. Das bedeutet, die Exponenten mit zu multiplizieren : ( ) 10 Vereinfachen : ( ) Wir wollen uns die Lösungen für verschiedene Werte von ansehen: n = 1 Wir dürfen die Lösung nicht für benutzen! Ansonsten würde im Exponenten der Nenner zu 0 werden 159

166 n = 2 ( ) ( ) Lösungsfunktionsschar für, Schrittweite 0, ( ) ( ) n = 3 Jetzt heißt es aufpassen! Aus ergeben sich ja zwei Lösungen: So auch hier: : Lösungsfunktionsschar für, Schrittweite 0,

167 ( ) ( ) n = 4 Jetzt heißt es wieder aufpassen! Aus ergeben sich insgesamt drei Lösungen. Diese lassen sich schreiben: ( ) Lösungsfunktionsschar für, Schrittweite 0, ( ) ( ) n = 5 Jetzt heißt es wieder aufpassen! Aus ergeben sich insgesamt vier Lösungen. Diese lassen sich schreiben: Zwei der Lösungen sind also imaginär. 161

168 Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen II : Nur für homogene DGLn geeignet 1 Dafür sorgen, dass links nur Ableitungen vorliegen Ist bereits geschehen 2 Die Ausgangsgleichung lautet : 3 Wir ziehen die n-te Wurzel aus beiden Seiten. Für wählen wir die Potenzschreibweise : 4 Jetzt dividieren wir durch 5 Wir integrieren beide Seiten : 6 Wir lösen die rechte Seite : Wir lösen die linke Seite : Wir substituieren: Dann ist: 7 Wir lösen das Integral: Die Potenzregel: gilt auch für gebrochene und negative Exponenten. 8 Wir setzen zusammen : 9 Wir lösen nach auf : 10 Wir müssen nun die ( )-te Wurzel ziehen. D.h., die Exponenten mit multiplizieren : ( ) 11 Der Exponent bei entfällt : ( ) 162

169 n = 1 Wir dürfen die Lösung nicht für benutzen! Ansonsten würde im Exponenten der Nenner zu 0 werden ( ) ( ) n = 2 Wieder muss es mehrere Lösungen geben. Es sind deren zwei: Lösungsfunktionsschar für, Schrittweite n = 3 ( ) ( ) Wieder muss es mehrere Lösungen geben. Es sind dieses Mal drei, davon zwei imaginäre. Lösungsfunktionsschar für, Schrittweite

170 Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen III : Nur für homogene DGLn geeignet 1 Dafür sorgen, dass links nur Ableitungen vorliegen Ist bereits geschehen 2 Die Ausgangsgleichung lautet : 3 Wir ziehen die m-te Wurzel aus beiden Seiten. Für wählen wir die Potenzschreibweise : 4 Jetzt dividieren wir durch 5 Wir integrieren beide Seiten : 6 Wir lösen die rechte Seite : Wir lösen die linke Seite : Wir substituieren: Dann ist: 7 Wir lösen das Integral: Die Potenzregel: gilt auch für gebrochene und negative Exponenten. 8 Wir setzen zusammen : 9 Wir lösen nach auf : 10 Wir müssen nun die ( )-te Wurzel ziehen. D.h., die Exponenten mit multiplizieren : 11 Der Exponent bei entfällt : ( ) 164

171 Lösungsfunktionsschar für, Schrittweite m = 2; n = 3 ( ) ( ) Wir haben jetzt Lösungen für alle Kombinationen homogener, nichtlinearer Differentialgleichungen gefunden, bei denen keine Funktion mit oder verbunden ist. Als nächstes werden wir Lösungen für denjenigen Fall suchen, bei dem eine Funktion mit verbunden ist. Falls sie mit verbunden sein sollte, können wir ja durch Umformung dafür sorgen, dass ebendies der Fall wird. Wir werden dies an folgenden Beispielen durchführen: Die DGLn sind dann immer noch homogen in demjenigen Sinne, dass keine Störfunktion vorhanden ist. Sie sind deswegen separabel. Auch die vorangegangenen DGLn wurden nach der Methode der Trennung der Variablen durchgeführt. 165

172 Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen IV : Nur für homogene DGLn geeignet 1 Dafür sorgen, dass links nur Ableitungen vorliegen Ist bereits geschehen 2 Dividieren durch Potenz von : 3 Wir schreiben als Potenz : 4 Wir integrieren beide Seiten : 5 Wir lösen die rechte Seite : Wir lösen die linke Seite : 6 Wir substituieren: Dann ist: Wir lösen das Integral: Potenzregel: 7 Wir setzen zusammen : 8 Wir formen um : Lösungsfunktionenschar: Schrittweite 0,

173 Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen V : Nur für homogene DGLn geeignet 1 Dafür sorgen, dass links nur Ableitungen vorliegen Ist bereits geschehen 2 Auf beiden Seiten Wurzel ziehen : 3 Durch dividieren : 4 Wir integrieren beide Seiten : 5 6 Wir lösen die rechte Seite : Um das kümmern wir uns am Schluss Wir lösen die linke Seite : Wir substituieren: Dann ist: Wir lösen das Integral: Potenzregel: 7 Wir setzen zusammen : 8 Dividieren durch 2 : 9 Zur zweiten Potenz erheben : ( ) 10 Ausmultiplizieren : 11 Vereinfachen : 12 Die zweite Lösung hat die Form : 167

174 Lösungsfunktionenschar: Schrittweite 0, Wir haben nun alle Formen nichtlinearer, homogener Differentialgleichungen beliebiger Potenz gelöst. Dabei kristallisierte sich ein Schema für den Lösungsweg heraus: Lösungsschema für nichtlineare, homogene Differentialgleichungen 1 Dafür sorgen, dass links nur Ableitungen vorliegen 2 Wurzel ziehen, bis in erster Potenz steht 3 Durch die Potenz von dividieren 4 Beide Seiten der Gleichung integrieren. Substituieren: 5 Nach auflösen Nichtlineare, inhomogene Differentialgleichungen Durch Einfügen einer Störfunktion bilden wir eine inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung. 168

175 Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen VI : Für inhomogene DGLn geeignet 1 Wir faktorisieren die rechte Seite : 2 Wir dividieren durch : 3 Wir haben die Gleichung nun separiert: Alle Terme mit liegen auf einer Seite : 4 Wir integrieren beide Seiten : 5 Wir lösen die rechte Seite : Wir lösen die linke Seite : Wir substituieren: Dann ist: 6 Wir lösen das Integral: Die Potenzregel lässt sich nicht anwenden. Aber Integrale mit der Form ( haben wir bereits gelöst: Wir mussten die trigonometrische Substitution anwenden. Das tun wir auch hier und erhalten als Lösung 7 Wir setzen zusammen : 8 Wir müssen jetzt nach auflösen : ist die Umkehrfunktion des Tangens. Also müssen wir den Tangens anwenden, um unser Argument wieder zu erhalten : ( ) ( ) 9 Dies ist dann auch schon die Lösung : ( ) 169

176 Lösungsfunktionenschar: Schrittweite 0, Wir dürfen uns hier nicht täuschen lassen: Die Lösung der DGL war nur deswegen so einfach zu erhalten, weil sie genau für diese Demonstration maßgeschneidert wurde. In elementaren Funktionen lassen sich nur die allerwenigsten inhomogenen, nichtlinearen DGLn lösen. Wir verändern die Ausgangsgleichung ein wenig, um zu erkennen, woran dies liegt: Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen VI : Wir haben den Faktor bei sogar reduziert auf Wir versuchen, die rechte Seite zu faktorisieren : ( ) 1 ( ) Immer bleibt ein in der Klammer Es gelingt uns nicht, die Gleichung zu separieren. Eine Lösung ist somit elementar nicht möglich! Nach dem eben Gesagten, sollten aber wenigstens Gleichungen der Form lösbar sein? Ja, das sind sie, wie wir an einem weiteren Beispiel zeigen werden. 170

177 Lösungsmethoden bei nichtlin. Differentialgleichungen VII : Für inhomogene DGLn geeignet 1 Wir faktorisieren die rechte Seite : 2 Wir dividieren durch : 3 Wir haben die Gleichung nun separiert: Alle Terme mit liegen auf einer Seite : 4 Wir integrieren beide Seiten : 5 Wir lösen die rechte Seite : Wir lösen die linke Seite : Wir substituieren: Dann ist: 6 Wir lösen das Integral: Die Potenzregel lässt sich nicht anwenden. Wir können aber aufspalten in integrieren und erhalten als Lösung: ( ) 7 Wir setzen zusammen : 8 9 Wir müssen jetzt nach auflösen : Dazu wenden wir die e-funktion an: Nach diversen Umformungen erhalten wir als Lösung : Lösungsfunktionsschar: 1.0 Schrittweite 0,

178 Anwendungen der Differentialgleichungen VI. zurück zur Themenübersicht Differentialgleichungen selbst konstruieren: Reverse Astronomie Der Lehrer, der Professor, die Tutoren und alle, die uns unterrichten und DGLn zum Knacken geben haben es gut: Sie kennen die Lösung bereits Wir wollen zeigen, dass man aus der Lösung eines Problems das Problem selbst erzeugen kann. Dazu machen wir einen Rückgriff auf die Astronomie, die Bewegungen der Himmelskörper. Es gibt vier verschiedene Bahnformen für Himmelskörper: Offene Kurven Geschlossene Kurven Jede dieser Bahnkurven lässt sich in Koordinaten von und beschreiben. Hyperbel: Ellipse: Kreis: Parabel: Wir fassen als unabhängige und als abhängige Variable auf und differenzieren dann nach. Das werden wir wiederholen, wir bilden also die II. Ableitung. Aus dem Ergebnis bilden wir dann eine Differentialgleichung. 172

179 Beispiel: Wir differenzieren gliedweise nach Differenzieren I. : Potenzregel anwenden: Produktregel anwenden: Konstante Zahl anwenden: Die Faktoren vor den Ergebnissen lassen wir beim nächsten Schritt weg Differenzieren II. : Potenzregel anwenden: Produktregel anwenden: Konstante Zahl anwenden: Differentialgleichung der Hyperbel bilden : 1 Wir differenzieren nach : (Faktoren weglassen!) 2 Nochmals differenzieren nach : 3 Umstellen nach 4 Umgestelltes Ergebnis für in Nr. 1 : 5 Aufhübschen : ( ) Eine erstklassige, nichtlineare Differentialgleichung II. Ordnung in impliziter Form zum Fürchten! Für die Ellipse ändern sich nur die Vorzeichen außerhalb der Klammer. Für Kreis und Parabel entfallen die Faktoren mit. Das hat auch so seine Ordnung, weil alle vier Formen aus Kegelschnitten stammen: Kegelschnitt, der zu einer Ellipse führt Sichtbare Teile rot, nicht sichtbare Teile blau. Bei horizontaler (und nicht schräger ) Lage der Schnittebene ergibt sich ein Kreis. Bei exakt vertikaler Schnittfläche eine Parabel. Bei schräg vertikaler Schnittfläche, die außerhalb der Kegelspitze liegt, eine Hyperbel. 173

180 Spezielle Typen nichtlinearer DGL zurück zur Themenübersicht Bernoulli-DGL Besitzt eine DGL die Form:, so lässt sie sich eindeutig lösen, falls Lösungsmethoden bei nichtlin. Differentialgleichungen VIII : Bernoullische DGL Diese Lösungsmethode führt eine Transformation durch. Es wird gesetzt: Für n = 2 wird damit, für n = 3 damit usw. Das Ganze führt auf ein Anfangswertproblem, das nur für positive Werte von eindeutig lösbar ist. Bspw.:. Dadurch wird aus der Ausdruck und das Ziel ist es, aus den Koeffizienten von und eine lineare Differentialgleichung zu gewinnen. Diese wird gelöst und es erfolgt die Rücktransformation. 1 Es sei, 2 Die erste Ableitung von ist : 3 addieren : 4 Durch dividieren : 5 Vereinfachen : 6 Substituieren : und 7 Vereinfachen : 8 Nach umformen : 9 Dies ist jetzt eine lineare, inhomogene DGL. Sie löst sich durch Variation der Konstanten : 174

181 Variation der Konstanten für Bernoulli-DGL 1 Die DGL liegt schon in expliziter Darstellung vor. 2 Der homogene Teil der DGL lautet : 3 Der partikuläre Teil der DGL lautet : Homogenen Teil der DGL lösen 4 Die Lösung für den allgemeinen Teil der DGL : 5 Wir schreiben das in um 6 Wir multiplizieren mit : 7 Wir dividieren durch 8 Wir integrieren beide Seiten : 9 Lösung des Integrals ( logarithmisch schreiben) : 10 Anwenden : 11 Lösung durch e-funktion : Lsg. des homog. Teils Wir denken uns jetzt, die Konstante Partikulären Teil der DGL lösen aus 11 sei eine Funktion von. Wir benennen um in : Wir bilden die Ableitung der Funktion (hier: Produktregel (u*v) = u *v + u*v ) Wir holen uns die Ursprungsgleichung wieder hervor : 15 Wir ersetzen das dem aus Nr. 13 : der Ursprungsgleichung mit 16 auf der rechten Seite ersetzen wir durch die Lösung des homog. Teils aus 12: 175

182 Fortsetzung von vorheriger Seite 16 auf der rechten Seite ersetzen wir durch die Lösung des homog. Teils aus 12: 17 Vereinfachen 1 : 18 Vereinfachen 2 : : 19 Vereinfachen 3 : Ersetzen Jetzt werden beide Seiten der Gleichung integriert, um aus wieder zu gewinnen 20 Integrieren : 21 Integral lösen : ( ) Aus diesem Ausdruck und dem homog. Teil der DGL bilden wir die Lösung des partikulären Teils : Lösung des partikulären Teils bilden: Aus Nr. 12: folgt : außerdem gilt Nr. 21: 22 ( ) wir setzen gleich: : ( ) ( ) Wir bilden die allgemeine Lösung aus der Lösg. des homog. Teils und der Lösg. des partik. Teils : 23 ( ) Wir haben jetzt die transformierte Differentialgleichung gelöst. Nun müssen wir rücktransformieren: ( ) Der Definitionsbereich der Lösungsfunktion wird sehr stark beschränkt auf diejenigen Fälle, bei denen der Klammerausdruck nicht negativ wird. Es gibt noch eine zweite Lösung mit negativem Vorzeichen. Wir haben die Bernoulli-DGL gelöst. 176

183 Lösungsfunktionsschar unter der Annahme : Man kann jetzt noch die partikuläre Lösung für ermitteln : ( ) ( ) y y

184 Riccati-DGL zurück zur Themenübersicht Besitzt eine DGL die Form:, so lässt sie sich i.a. nicht mehr durch elementare Rechenmethoden und Aufsuchen von Stammfunktionen lösen. Bei der Riccati-Funktion gelingt dies in ausgesuchten Fällen. Lösungsmethoden bei nichtlin. Differentialgleichungen IX : Riccati DGL Auch diese Lösungsmethode führt eine Transformation durch. Die Transformation lautet: Im Gegensatz zur linearen Bernoulli-DGL ist sie also quadratisch. Die Funktion wird in äußerst komplizierter Form aus den Funktionen sowie deren Ableitungen konstruiert. Ist durch Erraten oder eine andere Zufälligkeit eine Lösung von ggfs. die anderen Lösungen herleiten. bekannt, lassen sich Die allgemeine Lösung der Riccati-DGL besitzt die Gestalt: Ihre Lösungsfunktionen können dann ähnlich den folgenden aussehen: 178

185 Zusammenfassung: Nichtlineare Differentialgleichungen und Allgemeines Homogene, nichtlineare DGLn sind der Lösung durch die üblichen Lösungsmethoden zugänglich. Inhomogene, nichtlineare DGLn nur in trivialen Ausnahmefällen. Das ganze Tutorial über hat uns ein Prinzip verfolgt: Die Umkehrung der angewandten Methoden ist deutlich schwieriger, als es die vorangegangene Operation war. Differenzieren ist einfach, die erhaltene Funktion zu integrieren ist schwierig. Kein Beispiel verdeutlicht es besser als die Reverse Astronomie, dass aus einfachsten Gleichungen durch nur zweifaches Differenzieren Differentialgleichungsmonster entstehen können, die kaum mehr zu lösen sind. Dummerweise sind allerdings gerade solche nichtlinearen, inhomogenen DGLn in der Technik die wichtigsten. Bspw. in der technischen Mechanik (Statik, Biegemomente) oder auch in der Elektrotechnik. Da werden dann einige Vereinfachungen vorgenommen, so dass man die Lösung trotzdem hinbekommt. Es sind entweder Näherungsmethoden oder numerische Lösungsverfahren. Beide Verfahren liefern dann Lösungen, die nicht mehr mathematisch exakt richtig sind, der wahren Lösung aber beliebig nahe kommen. Auch wenn das eigentlich nicht mehr zum Thema hier gehört, so werden solche Methoden jedoch im vierten Kapitel wenigstens diskutiert. 179

186 Systeme von Differentialgleichungen zurück zur Themenübersicht Ein System aus mehreren gekoppelten Elementen muss durch mehrere Differentialgleichungen beschrieben werden, falls die Eigenschaften des einen Systems von den Eigenschaften des zweiten Systems abhängen. Solche Systeme sind meistens von der Zeit abhängig, wir wählen deswegen meist als unabhängige Variable. Beispiel: ( ) alternativ: ( ) oder: ( ) Die zwei verschiedenen Funktionen und usw. tauchen jeweils in beiden Gleichungen auf. Die Funktionen und ihre DGLn sind miteinander gekoppelt. Um so etwas zu lösen, müssen wir schon etwas tiefer in die Trickkiste greifen. Nicht umsonst wurde das System in einer Art Matrix aufgeschrieben, wie in einem Linearen Gleichungssystem. Wir müssen es nämlich als solches behandeln. Dann stehen uns alle Möglichkeiten offen, welche die Lineare Algebra kennt. Die Herleitung und Beschreibung der Verfahren für charakteristische Gleichungen, Eigenwerte und Eigenvektoren findet man im Kapitel Numerische Verfahren. Schritt 1: Schreibe die Gleichungen in einer Matrixform untereinander. Links vom Gleichheitszeichen dürfen nur die Ableitungen, rechts die Stammfunktionen stehen. Die Stammfunktionen werden rechts so angeordnet, dass die Terme der Stammfunktionen nebeneinander in der gleichen Reihenfolge angeordnet sind, wie die Ableitungen untereinander. ( ) Schritt 2: Wir schreiben das Gleichungssystem als Koeffizientenmatrix, multipliziert mit den Stammfunktionen. ( ) ( ) ( ) Schritt 3: Wir bilden die charakteristische Gleichung aus der Koeffizientenmatrix: ( ) ( ) ( ) Wir haben die beiden Eigenwerte zu unserer Koeffizientenmatrix gefunden. 180

187 Schritt 4: Wir bilden die Eigenvektoren zu den Eigenwerten und Für : Wir bilden aus einer Identitätsmatrix passender Dimension den Subtrahenden: ( ) ( ) ( ) Wir setzen in die Gleichung ein: (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Aus den Zeilen der Matrix Spaltenvektoren bilden. Lösungsvektoren bestimmen: ( ) ( ) ( ) und ( ) ( ) ( ) Der rechte Vektor wäre die triviale Lösung. An ihr haben wir kein Interesse. Den linken Vektor können wir noch kürzen (normieren) zu: ( ) Für : Mit gleicher Prozedur wie oben erhalten wir: ( ) Schritt 5: Jetzt geht es daran, aus den bisherigen Lösungen die Lösungen für die Stammfunktionen zu bilden. Das Ganze war ja ein System aus homogenen, linearen DGLn I. Ordnung. Wir erwarten daher die Lösungen in Funktionen von. Wir schreiben daher: und ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Wir setzen noch die Konstanten und ein Ausgeschrieben: und 181

188 Partikuläre und allgemeine Lösung der DGLn Setzt man die Randbedingungen, so erhält man die partikulären und Partikuläre Lösung der DGL Lösungen: und Das ist im Graphen der Funktionen nichts Spektakuläres: y1 t y2 t Anders sieht es aus, wenn man sich die Funktionen in parametrisierter Form ausdrucken lässt. 0.4 Wir bekommen eine Funktionenschar, die sich um den Punkt (0 0) ballt: 0.2 Erhöhen wir nun die Anzahl an DGLn auf drei oder mehr, so ändert sich am Prinzip des Lösungsweges nichts Der Rechenaufwand für die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren steigt nur stark an Komplexe Lösungen in den Eigenwerten Sehr schnell können auch komplexe Lösungen der Eigenwerte auftreten: ( ) Charakteristische Gleichung: Eigenwerte: ( ) Eigenvektoren: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 182

189 ( ) ( ) Ausgeschrieben: und Mittels der Eulerschen Identität lässt sich das - nach einiger Rechenarbeit - auch in Form von Winkelfunktionen schreiben: und Allgemein ist es günstig, die Lösungen solcher Systeme getrennt in einem Realteil (wie oben) und in einem Imaginärteil anzugeben. Für ein System : Sei ein konjugiert komplexer Eigenwert mit Eigenvektor Dann hat das System die komplexen Lösungen: und Durch Linearkombination folgen die reellen Lösungen: ( ) ( ) und ( ) ( ) Partikuläre und allgemeine Lösung der DGLn Setzt man die Randbedingungen der Beispielfunktion partikulären Lösungen: und, so erhält man die und 20 y1 t 0 20 Partikuläre Lösung der DGL 40 y2 t Wieder sieht es anders aus, wenn man sich die Funktionen in parametrisierter Form ausdrucken lässt. Wir bekommen eine Funktionenschar, die sich um den Punkt (0 0) ballt:

190 Anwendungsbeispiel: Ein System homogener Differentialgleichungen Zwei Druckbehälter verschiedener Volumina stehen über eine Rohrleitung und ein Ventil miteinander in Verbindung. p1, V1 p2, V2 Das Ventil ist zuerst geschlossen, zum Zeitpunkt wird das Ventil geöffnet. Der Fließwiderstand des Ventils verhindert, dass sich die Drücke instantan ausgleichen. 1bar 10bar Dieses System kann mit gekoppelten Differentialgleichungen beschrieben werden. Dem Druckzuwachs auf der einen Seite steht immer eine Druckminderung auf der anderen Seite entgegen. ( ) ( ) ( ) Wir bilden das charakteristische Polynom: ( ) Die Lösungen für die Eigenwerte ergeben sich sofort zu: Eigenvektor zu : (( ) ( )) ( ) ( ) Eigenvektor zu : ( ) ( ) ( ) ( ) und ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) Die allgemeine Lösung des DGLS ergibt sich zu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 184

191 Wir lösen nach den Anfangswertbedingungen auf: Aus folgt: Aus folgt: Gleichsetzen: Daraus folgt: und Die Graphik zeigt, wie sich die beiden Drücke dem Endzustand annähern: Dieser Endzustand lässt sich aus dem Grenzwert jeder der Funktionen berechnen: Solche Aufgaben mit einem bestimmten Zuwachs auf der einen Seite und einer Abnahme auf der anderen Seite sind als Aufgaben sehr beliebt. Beispiele: Miteinander verbundene Wassergefäße, die sich über ein Rohr und ein Ventil gegenseitig ausgleichen. (Ähnlich wie hier) Chemische Reaktionskinetik: Konzentrationen von Einzelsubstanzen während einer chemischen Reaktion. Typisches Beispiel sind Reaktionsabläufe, bei denen es außer einer Hinreaktion auch eine nennenswerte Rückreaktion gibt: 185

192 Systeme von inhomogenen DGLn Auch für Systeme von DGLn gilt (wenigstens im Prinzip): Die Lösung einer inhomogenen DGL (linearer Art, 1. Ordnung) lässt sich stets in Form einer allgemeinen Lösung der homogenen DGL (mit s(x)=0) und einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL angeben. Wir fügen im Einführungsbeispiel eine Störfunktion hinzu: ( ) Wir schreiben das Gleichungssystem nach linearer Algebra in Matrizen und Vektoren um: ( ) ( ) ( ) ( ) Die homogenen Lösungen sind bekannt: und Die partikulären Lösungen finden wir in einem Vektor mit Koeffizienten ( ) Wir müssen hierzu die I. Ableitung bilden, auf der linken Seite des DGLS stehen ja auch die ersten Ableitungen: Die Ableitung von ist, also ( ) Wir bilden nun aus der homogenen Lösung ein LGLS, mit dem wir die Koeffizienten ermitteln wollen: und ( ) ( ) ( ) ( ) Dazu bilden wir zeilenweise zwei Gleichungen: I. II. Einsetzen in I.: Der Lösungsvektor lautet nun: ( ) Wir bilden nun die endgültigen Lösungen: Man darf sich von den relativ einfachen Ausdrücken in diesem Beispiel nicht täuschen lassen: Insbesondere bei Hinzunahme einer weiteren Störfunktion in der zweiten Gleichung können sehr schnell äußerst verwickelte Ausdrücke entstehen. 186

193 Systeme homogener DGLn II. Ordnung Schon bei Einzelfunktionen II. Ordnung hatten wir es mit Schwingungen zu tun. Das ist bei Systemen von DGLn nicht anders. Solche Systeme treten immer dann auf, wenn zwei oder mehr Systeme, die zu Schwingungen fähig sind, miteinander gekoppelt werden. Ein solches System aus zwei harmonischen Oszillatoren ist hier in Ruhelage gezeichnet: Hier schwingen die beiden Massen genau gegensinnig. erreicht ihre kleinste Auslenkung, wenn ihre größte erreicht: Hier schwingen die beiden Massen genau gleichsinnig. Sie erreichen ihre größte und kleinste Auslenkung zum gleichen Zeitpunkt: Ruhelage Gegensinnig schwingend Gleichsinnig schwingend Zwischen diesen Besonderheiten gibt es natürlich noch unendlich viele Zwischenzustände, die Massen können verschieden groß sein, die Kennwerte der Federn können verschieden sein usw. Solche gekoppelten Schwingungen gehören in die Domäne der Physiker und vor allem der Elektronikingenieure. Die halten sich - weil sie am Ergebnis orientiert sind und nicht am Weg dorthin - nicht lange an dem formalen Weg über Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren (alles mit komplexen Werten!) auf, sondern sagen sich: Wir wissen sowieso, was dabei herauskommt, also fangen wir schon ziemlich am Ende an und Entkoppeln die Gleichungen kurzerhand. Und deswegen wollen wir die betreffende Vorgehensweise auch darstellen, selbst wenn sie DGLn nur in versteckter Art und Weise berührt. Physikalische Argumentation: Dieses System von gekoppelten, harmonischen Oszillatoren lässt sich durch folgende Bewegungsgleichungen beschreiben: und Die beiden Punkte über den kennzeichnen nach Physikerart die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit. Es wird die physiktypische Substitution und Jetzt erfolgt eine merkwürdige, jedoch zulässige Substitution: und durchgeführt, ergebend: 187

194 Daraus ergibt sich: I. Gleichung II. Gleichung Bei den Brüchen von und bei den alternierenden Vorzeichen der Summanden in den Klammern beginnt man schon, Verdacht zu schöpfen, bei den folgenden Anweisungen wird es vollends klar: Addiere I. und II. Gleichung. Ergebnis: Subtrahiere I. Gleichung von II. Gleichung: Dies ist genau die gleiche Vorgehensweise, die wir bei der Trennung der Lösungen von DGLn in Realteil und Imaginärteil bei komplexen Eigenwerten und Eigenvektoren beschrieben haben. Praktisch der gesamte Algorithmus, jedoch ohne Matrizen, Eigenvektoren usw. Die DGLn sind jetzt voneinander entkoppelt. Zu jeder - zweifachen - Ableitung gehört nur noch der eigene Funktionsterm. In expliziter Schreibweise: und Diese lassen sich dann konventionell - ohne lineare Algebra - lösen zu und Jetzt wird die ursprüngliche Transformation wieder rückgängig gemacht und man gelangt zu: Jetzt sind die beiden Schwingungen überlagert: 188

195 Lösen eines Systems von DGLn II. Ordnung mit linearer Algebra Seien die Massen gleich:, die beiden Federkonstanten der äußeren Federn jeweils gleich:, die Federkonstante in der Mitte jedoch verschieden, so erhalten wir: Wir substituieren, um die Schreibarbeit zu erleichtern ( ) ( ) In Matrixform erhalten wir dann: ( ) Die Lösung erwarten wir in Form von Winkelfunktionen in Sinus und Cosinus - wir haben ja keine Dämpfung - und machen deswegen den Ansatz: ( ) Damit schreibt sich das LGLS: ( ) mit Wir lösen die Eigenwerte: : ( ) ( ) ( ) Dieses Mal müssen wir ausnahmsweise addieren und nicht subtrahieren, weil gilt: somit verschiedene Vorzeichen erforderlich sind. und Daraus ergibt sich: Wir lösen die quadratische Gleichung nach auf: Daraus folgt: Damit wir nicht über diesen Weg doch noch unleserliche Ausdrücke in den Matrizen bekommen, setzen wir und erhalten für Aus und erhalten wir und, womit unsere Matrix sich bildet zu: ( ) ( ) 189

196 Wir bilden den Eigenvektor zu : (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oder ( ) Wir bilden den Eigenvektor zu : (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oder ( ) Wir suchten ja die Lösung mit dem Ansatz: Daraus würden sich normalerweise aus den zwei Termen der Eigenvektoren für jedes zwei Glieder mit der e-funktion ergeben. Hier basierte unsere Lösung aber auf, was jeweils zu einer positiven und einer negativen Lösung führt. Im Exponenten steckt nämlich nur und nicht : Für jedes erhalten wir also eigentlich vier Glieder. In allgemeiner Form haben wir jetzt die Lösung des DGL-Systems erhalten: ( ) Das sieht natürlich bedeutend gewichtiger aus, als die Lösung, die die Physiker ermittelt hatten. Der physikalische Sinngehalt ist jedoch der gleiche. Im Reellen ergibt das: Zum Abschluss noch eine Lissajous-Figur, gebildet aus einem parametrischen Plot der Funktionen und über einen Bereich von : 190

197 Räuber-Beute-DGLn: Die Lotka-Volterra-Gleichungen zurück zur Themenübersicht Diese DGLn, welche die Entwicklung eines biologischen Systems von Beutetieren und Räubertieren beschreiben, wurden erst sehr spät (1925) aufgrund von Beobachtungen an Fischpopulationen entwickelt. Sie bilden Paare von gekoppelten DGLn. Die eine gibt die zahlenmäßige Änderung des Bestandes an Beutetieren, die andere diejenige der Räubertiere an. Wir nehmen Hasen und Füchse für Beute- und Räubertiere an. Sei die Anzahl der Beutetiere, dann ist deren zahlenmäßiges Wachstum pro Zeiteinheit (bspw. pro Jahr). Dabei wird von äußeren Einflüssen wie Umweltbedingungen, Nahrungsangebot etc. vollkommen abstrahiert. Diese seien immer in optimaler Weise vorhanden. Dann kann man sich auf jeweils zwei Parameter der Gleichungen beschränken: sei die Reproduktionsrate der Hasen (in die die natürlichen Abgänge durch altersgemäßen Tod schon eingegangen sind). Ein von würde bedeuten, dass am Ende der Beobachtungsperiode dreimal so viele Hasen vorhanden sind, wie am Anfang, wenn keine Räubertiere vorhanden sind. sei die Sterberate der Hasen pro Räubertier und Zeiteinheit, also die Veränderung des Hasenbestandes dadurch, dass sie von Füchsen gefressen werden. sei die Sterberate der Füchse, die dadurch hervorgerufen wird, dass zu wenige Hasen vorhanden sind. Die Fressrate der Räuber pro Beutelebewesen ist gleich eben der Sterberate der Hasen durch Beutetiere. Auch Füchse vermehren sich, und zwar umso besser, je größer das Angebot an Beutetieren ist. Dieser Effekt wird durch den Parameter festgelegt. Aus dem Vorgenannten können wir zwei gekoppelte DGLn konstruieren: und Das Minuszeichen bei der zweiten Gleichung stört noch etwas die Symmetrie, wir verlagern es in die Klammer:. Das endgültige Gleichungssystem lautet damit: ( ) ausmultipliziert: ( ) Durch den Term werden die DGLn nichtlinear. Wir brauchen erst gar keine Mühe aufzuwenden, eine analytische Lösung mit elementaren, bspw. trigonometrischen Funktionen zu finden. Dies ist ein klassischer Fall für eine numerische Lösung. Damit das überhaupt sinnvoll möglich ist, müssen wir Angangswertbedingen für die Anzahlen an Hasen und Füchsen festlegen und natürlich müssen die Parameter bekannt sein. Aus der Struktur der DGLn kann man aber schon einige Eigenschaften der Lösung vorher ableiten. 191

198 Schon das Gefühl sagt uns, dass es Gleichgewichtszustände geben muss, bei denen sich die Bestände irgendwo einpendeln. Der triviale Gleichgewichtszustand (es gibt keine Hasen und keine Füchse mehr) ist natürlich uninteressant. Seien vernünftige Anfangswerte gegeben, dann können wir den Rest aus den DGLn ableiten. Bei einer solchen Gleichgewichtsbedingung müssen die Änderungen der Anzahlen von Beute- und Räubertieren gleich sein (die Anzahlen bleiben, gemittelt über längere Zeiten hin, konstant). Wir können die beiden DGLn also gleichsetzen: Da ja unsere Voraussetzung war, dass weder noch gleich 0 werden können (bei würden die Füchse allesamt verhungern, bei gäbe es keine Fressfeinde mehr und die Hasen würden sich ungehemmt vermehren, was ja der Annahme eines Gleichgewichtszustandes widerspricht) müssen die Klammern der rechten Seiten der Gleichungen zu 0 werden: und Es muss also jeweils gelten: und Das Verhältnis der beiden Populationen wäre damit auf das Verhältnis festgelegt. Diese Bedingungen würden den nichttrivialen Gleichgewichtszustand definieren. Kommen wir zurück auf die Bedeutung der Parameter und so bedeutet dies, dass die Reproduktionsrate der Hasen im Verhältnis zu deren Sterberate dergestalt sein muss, dass ihre Anzahl gerade erhalten bleibt. Gleiches gilt für die Sterberate der Füchse im Verhältnis zu deren Reproduktionsrate. Aus unseren DGLn ergeben sich also plausible Bedingungen, die darauf hinweisen, dass unser grobes Modell die Wirklichkeit wenigstens annähernd gut abbildet. Das System aus DGLn kann wenigstens numerisch gelöst werden, bspw. mit Runge-Kutta. Bequemer ist es natürlich, dies vom Computer durchführen zu lassen (Mathematica): Festlegen der Parameter [{ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] DGLn [ ] [ ] { { ] Festlegen der Randbedingungen Das Ergebnis wird ausgedruckt: [ [{ [ ] [ ] ] { { {{ { ] 192

199 Typisches Beispiel der Lösung einer Lotka- Volterra-DGL. 14 Beute Population Räuber Population 12 Mit dem Anstieg der Räuber-Population nimmt die Beute-Population stark ab, bis zu einem Minimum. Daraufhin sinkt die Räuber-Population wieder, was wiederum zu einem Anstieg der Beute-Population führt usw Die Theoretische Biologie hat daraus drei Regeln abgeleitet: Regel 1: (Periodizität der Populationsgrößen) Die Populationsgrößen von Räubern und Beute schwanken selbst bei konstanten Bedingungen periodisch. Hierbei folgt der Höchstwert der Räuberpopulation zeitlich versetzt auf den Höchstwert der Beutepopulation. Regel 2: (Mittelwert der Populationen) Die Populationsgrößen der Räuber- und Beutepopulationen innerhalb jeder Periode besitzen einen festen Mittelwert. Regel 3: (Wirkung eines externen Einflusses) Werden Räuber- und Beutepopulation gleichermaßen proportional zu ihrer Größe dezimiert, so vergrößert sich kurzfristig der Mittelwert der Beutepopulation, während der Mittelwert der Räuberpopulation kurzfristig sinkt. Parametrisierung von Kurven Interessant wird insbesondere der parametrisierte Plot beider Funktionen zusammen. Üblicherweise wird eine der Variablen als unabhängige Variable aufgefasst, die andere Variable als abhängige Variable. Hier werden beide Variablen und als gleichberechtigte Partner über dem periodischen Bereich betrachtet. Die Tatsache, dass wir hier eine geschlossene Kurve vorliegen haben, bedeutet, dass es sich um einen streng periodischen Zusammenhang handelt, der in jeder Periode wieder die gleichen Werte an den gleichen Stellen erzeugt. Die erhaltene Figur weist allerdings keinerlei Symmetrie auf. Ein gleichartiger Plot mit den Funktionen symmetrische Ellipse erzeugen, bei sogar einen Kreis. würde aber entsprechend eine 193

200 Wie kommt so eine Figur überhaupt zustande? Normalerweise tragen wir eine abhängige Variable gegen eine unabhängige Variable auf. Dazu erstellen wir eine Wertetabelle mit und der oder den abhängigen Variablen. Das haben wir auch hier als erstes getan und ein Diagramm mit zwei Graphen erhalten. Man kann daraus die zeitliche Schwankung der Bestände erkennen, aber die Abhängigkeit der beiden Gleichungen voneinander tritt nicht sehr deutlich hervor. Jetzt gehen wir anders vor. Wir tragen auf der Abszisse die Funktionswerte von und auf der Ordinate die Funktionswerte von auf. Bei zwei willkürlichen, voneinander unabhängigen Funktionen kommt da ziemlicher Blödsinn bei heraus. Anders bei gekoppelten Systemen. Unser Plot beginnt nicht - wie gewohnt - bei sondern mitten im I. Quadranten. Dies sind die Anfangsbedingungen: 10 Hasen und 5 Füchse. Eigentlich müssten wir eine Wertetabelle erstellen: t y1 y ,01 9,5 5,4 0,1 6 8,2 In diesem Fall macht der Computer das für uns. Von der Wertetabelle werden nur die Werte von und verwendet. Diejenigen Werte von für die Abszisse, diejenigen von für die Ordinate. An den Punkten: machen wir wie gewohnt Pünktchen, diese verbinden wir dann. Der Computer erledigt das. 194

201 Diese Darstellungsweise gibt also einen guten Einblick in den Systemzusammenhang. Allerdings auf Kosten der Tatsache, dass der Zusammenhang mit der Variablen, der Zeit also, weitgehend verloren geht. Ungedämpfte Schwingungen Als allgemeine Lösung für die DGL des harmonischen Oszillators hatten wir erhalten: ( ) Wir ignorieren den sowieso konstanten Faktor und betrachten das System aus Cosinus- und Sinusterm mit verschiedenen Konstanten und in parametrisierter Darstellung. Je nach Verhältnis der beiden Konstanten und zueinander erhalten wir einen Kreis, eine horizontale oder eine vertikale Ellipse. Gedämpfte und erregte Schwingungen Für diese Schwingungsarten könnten wir bspw. festlegen: und Wir erhalten Spiralen, die bei gedämpften Schwingungen inwärts verlaufen, bei erregten Schwingungen auswärts. 195

202 Die van-der-pol-gleichung zurück zur Themenübersicht Hierbei handelt es sich eigentlich nicht um ein System aus DGLn, sondern um eine einzige solche. Auch sie beschreibt ein schwingungsfähiges System. Entwickelt wurde sie 1927 für die Elektrotechnik, kann aber ebenso auf mechanische Systeme übertragen werden. Trotz der scheinbar einfachen Form ist sie analytisch nicht lösbar (homogene Form): ( ( ) ) Für geht sie in die normale DGL des harmonischen Oszillators über. Da wir keine Chance haben, diese DGL analytisch zu lösen, müssen wir sie eben numerisch lösen. Daran werden wir jedoch dadurch gehindert, dass unsere Lösungsverfahren wie Runge-Kutta nur für DGLn I. Ordnung definiert sind und dies eben eine DGL II. Ordnung ist. In solchen Fällen ist es manchmal möglich, durch eine Reduzierung der Ordnung das Problem auf ein System von DGLn I. Ordnung zu reduzieren. Diese sind dann numerisch lösbar. Allgemeine Vorgehensweise: Bei der Reduzierung einer DGL -ter Ordnung in ein DGL-System I. Ordnung erhält man DGLn I. Ordnung. Wir werden die Vorgehensweise etwas formalisieren. Wir bilden einen Vektor, der die Ableitungen beinhaltet. Dieser ist: ( ) Wir können ihn aber auch etwas anders schreiben, da ja jede höhere Ableitung dadurch gebildet wird, dass man die niedrigere Ableitung nochmals ableitet: ( ) Handwerklich geht das so: Wir substituieren mit einer neuen Funktion : ( ( ) ) Da wir schon mal dabei sind, können wir ja auch und somit auch von, also gleich : ersetzen. Dies ist ja die Ableitung von ( ( ) ) Das formen wir nach um: ( ( ) ) Das sieht gut aus: Wir haben in diesem Ausdruck nur noch I. Ableitungen. Jetzt brauchen wir nur noch eine zweite Gleichung mit. Aber dies ist kein größeres Problem, wir hatten eine solche ja bei der Substitution von erhalten: Unser System aus DGLn I. Ordnung ist somit komplett: ( ( ( ) ) ) Diesen Ausdruck können wir jetzt durch Runge-Kutta numerisch lösen. 196

203 Das Verfahren noch einmal in Einzelschritten erklärt: Nimm die niedrigere Ableitung und substituiere sie durch eine neue Funktion Ersetze die höhere Ableitung durch die Ableitung der neuen Funktion Forme nach der Ableitung der neuen Funktion um Die zweite Gleichung hat sich aus der Substitution ergeben Es lässt sich - bei geeigneten Bedingungen - auch für höhere als die II. Ableitung anwenden. Dann wollen wir uns die Ausgabe unseres numerischen Lösungsprogramms über Runge-Kutta einmal anschauen. Zuerst für. Dann müssten - nach unserer vorherigen Argumentation - ja in der normalen Auftragung die Schwingungen eines harmonischen Oszillators, nämlich Sinusschwingungen herauskommen. In der Parameterdarstellung erwarten wir mindestens eine Ellipse, ggfs. sogar einen Kreis. 2 Van der Pol Gleichung für a x t und y t gegen t aufgetragen Für einen höheren Wert von a sieht das schon ganz anders aus. Man sieht, dass die Funktion periodisch ist, mit einer Sinusschwingung hat das aber nicht mehr viel zu tun. Jedenfalls erkennen wir, dass die Funktion der Funktion nacheilt Van der Pol Gleichung für a 3 x t y t Das ergibt sicherlich eine interessante Darstellung in der Parameterform. Da die Zeit ja in der 197

204 Darstellung fast verloren geht, werden wir die Entwicklung der Parameterkurve zeitlich in Schritte auflösen. Nachdem die Funktion an den Anfangswerten startete, fällt sie kurz darauf wieder, bis, schlägt dort wiederum einen Haken und steigt danach wieder an. Jedoch erreicht sie den Startpunkt nicht (und auch niemals wieder ), sondern geht über diesen hinaus und schließt nach einer weiteren Volte den Zyklus. Auf diesem bewegt sie sich fortan immer weiter. Das Äquivalent zur unendlichen Periodizität in der Normaldarstellung. Hier endet der Abschnitt über Differentialgleichungen Als Nächstes folgt der Abschnitt über Numerische und andere Methoden bei der Behandlung von Differentialgleichungen 198

205 Numerische Verfahren zurück zur Themenübersicht Es gibt kein Numerisches Lösungsverfahren für DGLn, bei dem wir auf der einen Seite eine beliebige DGL hineinstopfen könnten und auf der anderen Seite die Lösung der DGL erhalten. Es gibt nur Numerische Verfahren in der Mathematik, die auch auf DGLn anwendbar sind. Allgemeine Verfahren Man muss darauf gefasst sein, dass allgemeine Verfahren bei der Lösung von DGLn verlangt werden, obwohl sie gar nichts mit Analysis zu tun haben. Die zwei prominentesten solcher Verfahren sind die Anwendung des Horner-Schemas und das Lösen von linearen Gleichungssystemen. Beide kommen bei der Untersuchung von Polynomen zur Anwendung. Wir geben daher wenigstens einen kurzen Überblick über beide. Das Horner-Schema Dieses Verfahren war - und ist - eine große Arbeitserleichterung bei der Berechnung von Polynomen. In Zeiten der Taschenrechner und Tabellenkalkulationen hat es zwar seine Bedeutung in der Praxis verloren, wird aber immer noch gerne in der Lehre behandelt und seine Beherrschung wird verlangt. Dabei werden sukzessive bei einem Polynom Terme von Wir führen das an einem Beispiel vor: ausgeklammert. Anwendung des Horner-Schemas auf ein Polynom: 1 2 Wir ordnen das Polynom nach aufsteigenden Potenzen von : Wir vertauschen die Anordnung von Koeffizient und Potenz : 3 Wir klammern das absolute Glied aus : ( ) 4 5 Wir setzen das erste vor die Klammer. Den verbleibenden Rest umklammern wir : Wir holen die nächste Potenz von vor die Klammer, jedoch nur als! Rest umklammern : ( ) ( ) 6 Wir wiederholen Punkt 5 : ( ) 7 Wir ersetzen die letzte Potenz von durch : 8 Wir kommen zu der Erkenntnis, dass wir schon in Zeile 2 jeweils Klammern hinter die Potenz von hätten setzen können, dann die durch ersetzen Zu spät! Durch Ausmultiplizieren kann man sich leicht davon überzeugen, dass das ursprüngliche Polynom trotz dieser rustikal anmutenden Operationen vollständig erhalten blieb. Die Vorgehensweise oben ist ein einstufiges Verfahren. Man kann das Verfahren durch sog. Kaskadierung noch erweitern. Anwenden kann man es vielfältig, auch bei der Umwandlung von Zahlen in andere Zahlensysteme, Bildung von Ableitungen, Polynomdivisionen etc. 199

206 Lineare Gleichungssysteme zurück zur Themenübersicht Die kennen wir noch aus der Schule: Vier Äpfel, eine Zitrone und drei Birnen kosten 10,50. Zwei Äpfel, zwei Zitronen und eine Birne kosten 7,50. Kein Apfel, zwei Zitronen und vier Birnen kosten 10. Gelöst haben wir solche Gleichungen auf folgende Art und Weise: Substituiere die unbekannten Größen durch eine Variable. Hier wären es der Preis pro Apfel, der Preis pro Zitrone und der Preis pro Birne, die wir mit und ansetzen. Schreibe die Gleichungen sorgfältig untereinander. Haben wir gemacht. Wende eines der drei Verfahren an: Substitutionsmethode, Gleichsetzungsmethode, Additionsmethode. Haben wir gemacht. Schreibe die Lösungen auf. Haben wir gemacht. Sämtliche Schritte müssen wir auch durchführen, wenn wir bspw. die Funktionsgleichungen für Spline-Funktionen bestimmen sollen. Nur entsprechend mehr (so dass es von Hand ein Horror wäre), und mit evtl. krummen Koeffizienten (was den Horror noch potenzieren würde). Sei es, wie es sei: Für lineare Gleichungssysteme brauchen wir ein einheitliches Schema für jeden einzelnen Schritt. Die substituierten Variablen werden untereinandergeschrieben und eine Klammer drum herum gesetzt. Wir bilden einen Spaltenvektor, den wir mit bezeichnen: ( ) Dieser Spaltenvektor hat mit der späteren Lösung nichts zu tun. Er speichert nur die Variablen. Alles Mögliche kann darin stehen. Insbesondere wird das lineare GLS nicht zu einem nichtlinearen, wenn man bspw. Potenzen von wie darin verpackt. Damit haben wir die Variablen des Gleichungssystems entnommen. Zurück bleiben die Koeffizienten, die wir in einer Matrix aufschreiben: ( ) In den Zeilen müssen wir uns Pluszeichen zwischen den Elementen hinzudenken. Wir haben unsere Aufgabe, die Gleichungen sorgfältig untereinanderzuschreiben, noch nicht vollständig gelöst. Es fehlen noch die Gleichheitszeichen und die Preise. Wir erstellen einen zweiten Vektor: ( ) Unser LGLS ist komplett: ( ) ( ) ( ) 200

207 Jetzt käme die Wahl des Lösungsverfahrens. Es standen Substitutionsmethode, Gleichsetzungsmethode und Additionsmethode zur Auswahl. Dies ist für unsere Zwecke nicht günstig. Sollen wir etwa bei jedem LGLS hier Entscheidungen treffen? Und dies noch mehrmals pro LGLS? Es müsste eine Standardmethode her, die uns diese Wahl abnimmt. Dann könnte man das Verfahren auch automatisieren, indem man es einem Computer übergibt. Gibt es ein solches Verfahren, das immer funktioniert (falls es eine Lösung gibt)? Ein solches Standardverfahren gibt es und wir benutzten es auch schon früher. Es ist die Substitutions- bzw. Eliminationsmethode. Wir demonstrieren sie an unserem Beispiel: Forme die 1. Zeile so um, dass nur noch eine Variable auf einer Seite steht: ( ) ( ) ( ) ( ) Führe das mit der nächsten Zeile durch, indem du durch den erhaltenen Ausdruck substituierst. Dann sind nur noch Ausdrücke mit und vorhanden. Davon isolieren wir dann die nächste Variable. Aus Platzgründen können wir die Ausdrücke nicht schreiben, wir benutzen Variablen: ( ) ( ) Wir isolieren : ( ) ( ) Durch Substitution von in der letzten Reihe und folgendes sukzessives Rückwärtseinsetzen haben wir das LGLS gelöst und können das Ergebnis zeilenweise ablesen: ( ) ( ) Herzlichen Glückwunsch werden sie sagen: Der Autor hat soeben das mieseste Verfahren zum Lösen von LGLS entdeckt. Das ist unrichtig: Ich entdeckte es schon im 8. Schuljahr Aber Spaß beiseite: Ich wollte nur zeigen, dass es immer einen Lösungsweg gibt, falls eine Lösung des LGLS möglich ist. Vernünftige Verfahren wären das Gaußsche Eliminationsverfahren oder gleich der richtige Einstieg in die Lineare Algebra und die Matrix zu ihrer Inversen umformen und Interessiert in diesem Zusammenhang überhaupt nicht. Das wäre ein eigenes Buch. Hier ist das Lösungsverfahren eine Black Box, in die wir links die Matrix und den Vektor hineinstecken und rechts den Lösungsvektor herausholen. Was uns zur Frage führt, was wir hineinstecken müssen, bzw. dürfen. 201

208 Lösbarkeit von Linearen Gleichungssystemen Es gibt prinzipiell drei Möglichkeiten für ein LGLS: Es besitzt keine Lösung Es besitzt genau eine Lösung Es besitzt unendlich viele Lösungen Es gibt eine Minimalanforderung an LGS: Sie müssen mindestens aus so vielen Gleichungen bestehen, wie es Variablen gibt, um eindeutig gelöst werden zu können. Besitzt das LGLS weniger Gleichungen, so ist es unterbestimmt. Besitzt es mehr Gleichungen ist es überbestimmt. Unterbestimmtes LGLS. Beispiel: Das LGLS: ( ) ist unterbestimmt. Das einzige, was wir tun können ist, eine Lösung von zwei Parametern mit dem dritten als unbestimmtem Parameter anzugeben. Wir wählen als unbestimmten Parameter und lösen auf: Aus folgt:. Eingesetzt in die erste Zeile ergibt dies:. Das Verhältnis von zu ist damit bestimmt: Das bringt uns aber auch nicht weiter, wenn wir keinen Anhaltspunkt für ein Verhältnis zwischen und/oder und haben. Hätten wir ihn aber, hätten wir ja auch gleich eine dritte Gleichung einfügen können Überbestimmtes LGLS: Das kann ja nicht schaden, oder? Es können zwei Fälle auftreten: Zwei oder mehr der Gleichungen sind linear abhängig voneinander, dann ist es nur Verschwendung von Ressourcen. Eine oder mehr der zusätzlichen Gleichungen sind linear unabhängig von den anderen, dann führt das zu Widersprüchen im Gleichungssystem. Das LGLS ist nicht lösbar. Besonders bei experimentell gewonnen Gleichungen wird das zum Problem. Nehmen wir an, ein gemessener Parameter taucht mehrmals in den Gleichungen auf und seine Messung sei - wie bei jeder Messung - mit Fehlern behaftet. Dann bekommen wir Widersprüche und Unlösbarkeit der Gleichungen. Man müsste dann vorher mit einer Methode - bspw. der Methode der kleinsten Fehlerquadrate - diese Ungenauigkeiten eliminieren, sprich: Den Parameter mit seinem wahrscheinlichsten Wert ersetzen. Unsere Anforderungen an ein LGLS sind also: Zur Bestimmung von LGLS muss die Anzahl linear unabhängiger Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen sein. Wir wünschen also eine quadratische Matrix mit gleicher Anzahl an Zeilen und Spalten. Nachzutragen wäre noch, dass man häufig und zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix zusammenfasst, was aber am Prinzip nichts ändert: ( ) ( ) ( ) 202

209 Lineare Unabhängigkeit der Gleichungen Schon im 8. Schuljahr hatten wir gelernt, dass es bei zwei Geradengleichungen drei Fälle von Lösungen gibt: Die Geraden schneiden sich an einem Punkt, dann sind sie linear unabhängig voneinander. Die Geraden treffen sich im Endlichen nie, dann sind sie linear abhängig voneinander. Die Geraden liegen aufeinander, dann sind sie identisch. Gezeigt wurde dies an einem solchen oder ähnlichen Beispiel: Man erkennt, dass es auf die Koeffizienten von (die Steigung ) ankommt. Das absolute Glied spielt dabei keine Rolle, außer, dass es - gleiches vorausgesetzt - bei Ungleichheit derselben keine Lösung gibt, bei Gleichheit unendlich viele. Diese prinzipiellen Überlegungen werden in der Linearen Algebra verallgemeinert. Zur Prüfung auf lineare Ungleichheit berechnet man die Determinante der Koeffizientenmatrix. Ist diese ungleich 0, so ist das LGS linear unabhängig. Im anderen Falle nicht. Zur Berechnung von Hand bestimmt man die Determinante auf folgende Art und Weise: Nimm die Matrix und setze links und rechts davon Kopien von ihr. Ziehe Diagonalen von den Koeffizienten der ersten Reihe von nach rechts bis zur letzten Zeile. Das Gleiche nach links. Multipliziere die von den Diagonalen getroffenen Koeffizienten miteinander. Addiere die Produkte für links und rechts jeweils getrennt und subtrahiere den Wert für links von dem Wert für rechts. Im Bild wird es anschaulicher: ( ) ( ) Die Differenz beider Werte beträgt ist damit von 0 verschieden, und das LGLS ist lösbar. Was wir übrigens schon gemerkt hatten, als wir es vorhin lösten. Alternative: Gib das LGLS in das Programm zum Lösen desselben ein und warte bis es meckert. Macht genau so viel Arbeit, wie die Prüfung vorher 203

210 Einige Vertiefungen zur linearen Algebra zurück zur Themenübersicht Für alle Probleme in unserem Tutorial sind die vorgenannten Kenntnisse ausreichend, bis auf das Thema Systeme von DGLn. Hierfür ist zum Verständnis doch etwas mehr Wissen über Lineare Algebra notwendig. Wer will, mag das hier überspringen. Matrizen: Matrizen bestehen aus Zeilen und Spalten, in denen jeweils Elemente genau einer Zeile und einer Spalte zugeordnet werden. Matrizen besitzen mehr als eine Zeile und mehr als eine Spalte. Besitzen sie nur eine Zeile oder eine Spalte, so nennen wir sie einen Zeilen-Vektor oder Spalten-Vektor. Besitzen sie gar nur eine Zeile und eine Spalte, handelt es sich um einen Skalar. Dieser besteht dann nur aus einem einzigen Element, also einer Zahl oder einer Variablen. Die Anzahl der Elemente, die in jeder Zeile oder Spalte einer Matrix auftreten können, nennt man den Zeilenrang bzw. Spaltenrang der Matrix. Gezählt wird jeweils eine Zeile oder Spalte. Jedoch nicht, wenn sie von einer anderen Zeile oder Spalte in der Matrix abhängig ist, d.h. wenn es eine Zahl gibt, die die betr. Zeile oder Spalte in die jeweils andere überführt. Zusammenfassend für beide spricht man von der Dimension einer Matrix. ( ) : 2x3-Matrix ( ) : 3x2-Matrix ( ) : 3x3-Matrix ( ) : 3x1-Matrix (Vektor) Die dritte Matrix ist quadratisch. Sie besitzt gleiche Anzahlen von Zeilen und Spalten. Nur solche behandeln wir hier. Für Matrizen untereinander sind fast alle Grundrechenarten definiert. Addition und Subtraktion sind - ganz normal - elementweise. Es werden jeweils die Elemente an gleichen Positionen miteinander verknüpft. Das ist natürlich nur zulässig, wenn beide die gleiche Dimension besitzen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die Multiplikation ist jedoch ganz anders. Es werden die Elemente entsprechender Zeilen mit den Elementen entsprechender Spalten multipliziert: ( ) ( ) ( ) ( ) Achtung: Für die Multiplikation von Matrizen gilt das Kommutativitätsgesetz i.a. nicht! So wie bei der Division reeller Zahlen erhält man bei Vertauschung der Matrizen unterschiedliche Ergebnisse! Die Division ist eigentlich in der linearen Algebra nicht definiert. Bei der Multiplikation mit einem Skalar wird jedes Element der Matrix mit diesem multipliziert: ( ) ( ) ( ) 204

211 Vektoren: Vektoren lassen sich addieren und subtrahieren, wenn sie vom gleichen Typ sind - also beides Zeilenvektoren oder Spaltenvektoren - und die gleiche Anzahl an Elementen besitzen: ( ) ( ) ( ) Für die Multiplikation zweier Vektoren verschiedenen Typs sind zwei Multiplikationsarten definiert, je nachdem, ob der Zeilenfaktor Multiplikand oder Multiplikator ist. Zeile mal Spalte: Das Skalarprodukt. Sein Ergebnis ist eine Zahl (ein Skalar!). Es werden jeweils die Produkte der Elemente an ihren jeweiligen Positionen gebildet, also Erster links mit Erstem oben, Zweiter links mit Zweitem oben usw. Die Ergebnisse werden addiert. ( ) Spalte mal Spalte: Das Skalarprodukt. Es verläuft ebenso. ( ) ( ) Spalte mal Zeile: Das Tensorprodukt oder Vektorprodukt. Die beiden Vektoren bilden dann eine neue Matrix. Die linke Spalte der Matrix ergibt sich dann aus dem Spaltenvektor, nacheinander multipliziert mit den einzelnen Elementen des Zeilenvektors. ( ) ( ) ( ) Das geht auch mit zwei Spaltenvektoren. Die entsprechende Operation heißt auch Kreuzprodukt. Zuerst wird eine Matrix gebildet. Man geht nach folgender Vorschrift vor: ( ) ( ) ( ) Zweite Spalte: ( ) ( ) ( ) Jetzt werden die beiden Spalten der Matrix voneinander subtrahiert: ( ) ( ) ( ) Das ist ein kompliziertes und fehlerträchtiges Verfahren, das man normalerweise lieber einem Programm überlässt. 205

212 Matrizen multipliziert mit Spaltenvektoren (Matrix-Vektor-Produkt): Eine Matrix, multipliziert mit einem Spaltenvektor, ergibt einen Spaltenvektor. Der Spaltenvektor wird in Gedanken quer gelegt und mit den Gliedern jeder Zeile der Matrix multipliziert. Zum Schluss werden alle Glieder der Zeilen addiert, so dass sich die Zeilen zu einer einzelnen Spalte vereinen. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eine Kommutierung, also die Spalte vorne und dann die Matrix ist nicht möglich. Zeilenvektor multipliziert mit einer Matrix (Vektor-Matrix-Produkt). Diese kommen selten vor. Man muss sich den Zeilenvektor jetzt vertikal vorstellen und mit den Spalten der Matrix multiplizieren. Die Spalten jetzt addieren. Das Ergebnis ist ein Zeilenvektor. Auch hier ist eine Kommutierung nicht möglich. ( ) ( ) ( ) Besondere Matrizen und Matrizen-Operationen: Die Null-Matrix ist das neutrale Element bzgl. der Addition: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die Identitäts-Matrix ist das neutrale Element bzgl. der Multiplikation. Ihre Hauptdiagonale besteht aus Einsen, alle anderen Elemente sind 0: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die Diagonal-Matrix besitzt ebenso wie die Identitätsmatrix nur Glieder auf der Hauptdiagonalen, diese können aber von Eins verschieden sein. Obere und untere Dreiecksmatrizen besitzen unterhalb bzw. oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen. So etwas lässt sich meist gut lösen: ( ) Diagonal-Matrix ( ) Obere Dreiecks- ( ) Untere Dreiecks-Matrix Die Spur einer Matrix (engl.: trace) wird durch die Summe der Elemente der Hauptdiagonalen gebildet. Die anderen Elemente sind irrelevant: ( ) Spur: ( ) 206

213 Fortgeschrittene Matrixoperationen: Transponieren einer Matrix Beim Transponieren einer Matrix werden die Elemente an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Die Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen vertauschen dabei ihre Zeilen- mit den Spaltennummern. Die Hauptdiagonale bleibt unberührt. Zeilenvektoren werden zu Spaltenvektoren transponiert und umgekehrt. Man kennzeichnet die transponierte Matrix durch ein hochgestelltes : ( ) ( ) ( ) ( ) Durch nochmaliges Transponieren kann das erste Transponieren wieder rückgängig gemacht werden: ( ) ( ) ( ) Fortgeschrittene Matrixoperationen: Invertieren einer Matrix Die für uns bei weitem wichtigste Matrixoperation ist die grundlegende Operation für das Lösen von Linearen Gleichungssystemen, das Invertieren einer Matrix. Sie ist gleichzeitig auch die fehlerträchtigste, wenn man gezwungen ist, diese von Hand vorzunehmen. Sie ist auf eine bestimmte Art und Weise die Kehrwertbildung bei Matrizen und besitzt auch das entsprechende Symbol: Es gibt verschiedene Algorithmen zur Bestimmung der Inversen einer Matrix. Darunter der Gauß- Jordan-Algorithmus und die Darstellung über Adjunkte nach der Cramerschen Regel. Sie haben alle eines gemeinsam: Sie sind absolut nervtötend! Invertiere niemals eine Matrix von Hand, wenn du nicht durch Einsatz brutaler Gewalt dazu gezwungen wirst. Noch nicht einmal eine 2x2-Matrix! Es gibt genug Programme, die das für dich in Nullzeit erledigen. Falls Sie jemals in koreanische Gefangenschaft kommen oder als Lehrer einen ehemaligen Gulag- Aufseher haben, hier wenigstens die Anleitungen für 2x2 und 3x3-Matrizen: Erster Schritt: Bestimme die Determinante der Matrix. Dieses Verfahren (bis zur Ordnung 3) haben wir bereits vorgestellt. Zweiter Schritt: Bilde den Kehrwert dieser Zahl. Wenn sie 0 ist, lässt sich das Gleichungssystem sowieso nicht lösen. Mit dieser Zahl wird die Matrix später multipliziert. Dritter Schritt: Für 2x2-Matrizen Bilde eine neue Matrix nach folgender Vorschrift: Vertausche die Elemente der Hauptdiagonalen. Multipliziere die Elemente der anderen Diagonalen mit -1. ( ) ( ) ( ) 207

214 Dritter Schritt: Für 3x3-Matrizen Bilde eine neue Matrix nach folgender Vorschrift: ( ) ( ) Das Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme: Wir stellen unser LGLS für Äpfel usw. auf. Wir haben es bereits geordnet. Die Pluszeichen sind überflüssig, wir lassen sie weg. Wir bilden aus den beiden Seiten eine Matrix. ( ) ( ) Die Buchstaben lagern wir in einen separaten Vektor aus. ( ) ( ) ( ) Die Gleichung hat jetzt die Form Links haben wir jetzt eine Koeffizientenmatrix und den Spaltenvektor mit den Variablen. Bei einer normalen Gleichung genügt es, die Variablen zu isolieren. Dann haben wir das Ergebnis. So auch hier. Bei einer normalen Gleichung: haben wir durch 4 dividiert, um den Faktor 4 zu 1 zu machen. Dann verschwand er auf der linken Seite (wurde zu 1), rechts haben wir dividiert und so das Ergebnis erhalten. Das machen wir hier genauso. Allerdings ist unser Dividieren etwas anders: Wir bilden das Inverse der Matrix und multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit ihr. Das ist so, als wenn wir bei der normalen Gleichung beide Seiten mit dem Kehrwert von 4 multipliziert hätten: Eine versteckte Division. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Multipliziert man eine Matrix mit ihrer Inversen, so erhält man die Identitätsmatrix: ( ) ( ) ( ) ( ) Diese können wir dann links weglassen. Wir bilden rechts das Produkt aus dem Spaltenvektor und der invertierten Matrix und erhalten einen Spaltenvektor, den Lösungsvektor zurück: ( ) ( ) An ihm können wir ablesen, dass ein Apfel 1,00 kostet, eine Zitrone 2,00 und eine Birne 1,

215 Die charakteristische Gleichung und Eigenwerte Wenn wir nur an der Lösung von LGLS aus sind, so würde das genügen. Wir sind aber - weil wir auch Systeme von DGLn lösen wollen - auf mehr aus: Auf andere Dinge, die sich aus der Matrix ergeben. An anderen Stellen haben wir schon festgestellt, dass es vollkommen egal ist, was in den Spaltenvektor hineinkommt, der hinter der Koeffizientenmatrix steht. Wir nehmen jetzt an, es seien die Lösungen für eine Polynomgleichung darin. Wir erinnern uns: Zu jedem Polynom -ten Grades gibt es genau Lösungen. Vielfachheiten mitgezählt. Es seien bis die Lösungen. Dann kann man, durch Bildung von Linearfaktoren, die Gleichung wieder zurückgewinnen: Interessanter: Mit den Nebenelementen zusammen, erstellen wir daraus dann die charakteristische Gleichung. Für eine beliebige (natürlich quadratische) Matrix wollen wir diese charakteristische Gleichung gewinnen und dann lösen. Beispiel 1: Eine 2x2-Matrix ( ) Wir bilden eine Identitätsmatrix gleicher Dimension, die wir mit als Skalar multiplizieren: Die so erhaltene Matrix subtrahieren wir von ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Wir multiplizieren über Kreuz: Zuerst die Hauptdiagonale mit den Lambdas, dann die andere Diagonale, die nur aus Zahlen besteht. Diesen Wert subtrahieren wir vom ersten. Diese Vorgehensweise entspricht der Bildung einer Determinanten zu! Wir haben unser charakteristisches Polynom erhalten: Jetzt suchen wir die Lösungen dieses Polynoms für:. Wir setzen also die Determinante gleich 0. Das geht einfach mit der p/q-formel: ( ) ( ) Es ist nicht unüblich, diese Lösung dann in Vektorform anzugeben: ( ) Die beiden Werte und sind die Eigenwerte zur Matrix. 209

216 Beispiel 2: Eine 3x3-Matrix ( ) Wir bilden eine Identitätsmatrix gleicher Dimension, die wir mit als Skalar multiplizieren: ( ) ( ) Die so erhaltene Matrix subtrahieren wir von ( ) ( ) ( ) Dieses Mal wenden wir ganz korrekt das Verfahren nach Sarrus an und bestimmen die Determinante: ( ) Zuerst werden die Terme entlang der nach rechts verlaufenden Diagonalen (durchgezogene Linien) miteinander multipliziert und addiert: ( Dann die Terme entlang der nach links verlaufenden Diagonalen (gestrichelte Linien): Der zweite Term wird vom ersten Term subtrahiert: Wir haben unser charakteristisches Polynom erhalten: Jetzt suchen wir die Lösungen dieses Polynoms:. Es ist eine Pseudo -Kubische Gleichung, wir können ausklammern: Eine Lösung ist also. Die beiden anderen sind nach der p/q-formel und Die Eigenwerte der charakteristischen Gleichung zur Matrix sind dann: ( ) 210

217 Eigenvektoren Bei der Suche nach Eigenvektoren sucht man nach Vektoren, die ganz bestimmte Eigenschaften besitzen. Zur Erinnerung: Das Vektorprodukt einer Matrix und eines Spaltenvektors ergibt wieder einen Spaltenvektor. Graphische Darstellung von Spaltenvektoren Spaltenvektoren mit zwei Elementen lassen sich gut in einem Koordinatensystem als Pfeile darstellen. Dabei wird das oberste Element als -Wert, das untere Element als -Wert für die Spitze eines Pfeils angesehen. Von dort führt dann der Schaft des Pfeiles bis zum Ursprung. Multipliziert man einen Vektor, wie z.b. ( ) mit einem Skalar, also irgendeiner reellen Zahl, so ändert sich nur seine Länge, nicht jedoch seine Richtung. Dies gilt für alle reellen Zahlen. Für die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor gilt diese Aussage jedoch nicht. Multipliziere ich einen Vektor mit zwei verschiedenen Matrizen, so werden die Vektoren i.a. sowohl ihre Richtung, als auch ihre Länge (ihren Betrag) ändern. Hier wurde der Vektor mit den Matrizen: ( ) multipliziert ( ) und ( ) 211

218 Auf der Suche nach Eigenvektoren Wir suchen jetzt einen Vektor, der zu einer gegebenen Matrix nur seine Länge und nicht seine Richtung ändert, wenn er mit dieser multipliziert wird. Wir leiten die betreffende Gleichung für diesen Fall ab: Der Vektor wird mit der Matrix multipliziert, das bedeutet: Dies bildet die linke Seite der Gleichung. Der Vektor ändert dann seine Richtung nicht, das bedeutet, er darf höchstens mit einem Streckfaktor λ multipliziert werden. Diese Multiplikation wirkt sich gleichzeitig auf alle Elemente des Vektors aus, ihr Verhältnis zueinander bleibt dabei gleich. Beispiel: Der Vektor sei ( ) Der Quotient ist gleich 2. Wir multiplizieren ihn mit : ( ) ( ) Der Quotient ist aber immer noch 2. Wir haben die rechte Seite der Gleichung gefunden: Damit ist die Gleichung komplett: Wir formen sie um: Wir klammern aus: Die große Frage ist nun: Wie macht man das konkret? Wir benutzen die Matrix ( ), von der wir bereits die Eigenwerte errechneten: Wir führen die Bestimmung des Eigenvektors zuerst für den Eigenwert durch Wir bilden aus einer Identitätsmatrix passender Dimension den Subtrahenden: ( ) ( ) ( ) Wir setzen in die Gleichung ein: (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Der Ausdruck für die linke Seite kann zum Nullvektor werden, wenn gleich ( ) wird. Dies wäre eine triviale Lösung, an der wir jedoch nicht interessiert sind. Also müssen wir einen Wert für suchen, der nicht Nullvektor ist und trotzdem die Gleichung löst. Man könnte vielleicht versucht sein, die Inverse der Matrix zu bilden und mit ihr die beiden Seiten der Gleichung zu multiplizieren. Das ist hier nicht zielführend. Die Lösung besteht in einer Umkehrung der Regeln zur Matrix-Vektor-Multiplikation unter Verwendung weiterer Hilfssätze. 212

219 Wir schreiben den Vektor auch als Spaltenvektor: ( ) ( ) ( ) Jetzt wird die Matrix geteilt, und zwar so, dass die obere Zeile (grün) zu einer Spalte transformiert wird. Die untere (grüne) Zeile ebenfalls. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jetzt besitzen wir - für einen Eigenwert - zwei Gleichungen, die wir parallel lösen werden. Dafür machen wir von einem Satz der linearen Algebra Gebrauch. Zwei Spaltenvektoren werden dann zum Nullvektor, wenn sie orthogonal (senkrecht) aufeinander stehen. Wir müssen also jeweils denjenigen Vektor finden, der senkrecht auf dem Vektor aus der Matrix steht. Einen solche können wir auf folgende Art und Weise konstruieren: Setze die gleichen Werte in die Lösungsspalte, die auch in der Spalte aus der Matrize enthalten sind. Vertausche dann die Elemente dieser Spalte miteinander. Ändere bei einem dieser Werte das Vorzeichen. Das Ergebnis sieht dann so aus: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Man beachte, dass die beiden erhaltenen Vektoren nicht linear unabhängig sind! Den Vektor ( ) kann man aus dem Vektor ( ) durch Multiplikation mit 4 gewinnen: ( ) ( ) Wir behalten den handlicheren Vektor ( ) Dies ist die Lösung für den Eigenvektor zum Eigenwert. Nun muss - auf gleiche Art und Weise - der Eigenvektor zum Eigenwert bestimmt werden. 213

220 Bestimmung des Eigenvektors für den Eigenwert Identitätsmatrix mit erstellen: ( ) ( ) ( ) Gleichung erstellen: (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Spaltenvektoren erstellen: ( ) ( ) ( ) Orthogonale Vektoren erstellen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Wiederum sind die beiden erhaltenen Vektoren nicht linear unabhängig! Den Vektor ( ) kann man aus dem Vektor ( ) durch Multiplikation mit 2 gewinnen: ( ) ( ) Wir behalten den Vektor ( ) als Lösung für den Eigenvektor zum Eigenwert. Damit ist unsere Lösung komplett: Wir haben aus der Matrix ( ) die Eigenwerte und erhalten. Daraus berechneten wir die Eigenvektoren ( ) und ( ) Man beachte, dass mit den erhaltenen Eigenvektoren auch alle diejenigen Vektoren zulässige Lösungen als Eigenvektoren sind, die aus dem Eigenvektor durch Multiplikation mit einem Skalar erhalten werden. Es gibt somit unendlich viele Eigenvektoren zu jedem Eigenwert. Das führt zum Beispiel dazu, dass zwei Computerprogramme für die gleiche Matrix zwei scheinbar verschiedene Lösungen anbieten. MathCad liefert für die besprochene Matrix bspw. die Vektoren ( ) und ( ), während Mathematica unsere Lösungen liefert: ( ) und ( ) Bei genauerem Hinsehen erkennt man, dass beide Lösungen gleichwertig sind, weil die Quotienten der Elemente der Vektoren es auch sind. Mathematica hat nur eleganter normiert, nämlich so, dass möglichst kleine, ganze Zahlen entstehen. 214

221 Komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren Die vorangegangenen Beispiele waren bewusst so gewählt, dass wir reelle Eigenwerte und Eigenvektoren bekamen. Ist die Dimension der Matrix jedoch mindestens 2, dann können ja auch komplexe Eigenwerte entstehen. Grundsätzlich sind alle Aussagen, die wir schon vorher für Nullstellen von Polynomen getroffen haben, auch hier gültig. So werden wir komplexe Nullstellen immer als Paare von komplex konjugierten Werten finden, es gibt Vielfachheit usw. Die einfachste solcherart konstruierbare Matrix ist: ( ) Wir führen die einzelnen Stufen durch. Eigenwerte ermitteln: ( ) ( ) ( ) ( ) Wir finden zwei konjugiert komplexe Eigenwerte. Wir bilden den Eigenvektor zu: (( ) ( )) ( ) ( ) Zeilen der Matrix spaltenweise schreiben und orthogonalen Vektor bilden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die beiden Vektoren sind äquivalent: ( ) ( ) Wir bilden den Eigenvektor zu: (( ) ( )) ( ) ( ) Zeilen der Matrix spaltenweise schreiben und orthogonalen Vektor bilden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die beiden Vektoren sind äquivalent: ( ) ( ) Wir wählen uns genehme Vektoren aus. Diejenigen, die unten eine 1 haben, sind schöner: ( ) ( ) Man sieht: Die Vorgehensweise ist gleich zu derjenigen bei reellen Zahlen, man muss ggfs. Eigenheiten beim Rechnen mit komplexen Zahlen beachten. 215

222 Näherungsmethoden für Differentialgleichungen zurück zur Themenübersicht Einfache, lineare Näherung Oftmals ist es nicht notwendig, eine Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich zu untersuchen. Nehmen wir als Beispiel das Physikalische Pendel. Es handelt sich um einen massiven Stab mit einer Bohrung als Aufhängung. Seine Länge beträgt. Bezüglich des Aufhängepunktes besitzt es ein Trägheitsmoment von. Der Abstand von bis zum Massenmittelpunkt betrage. Dann beträgt seine Schwingungsdauer: Seine Schwingungsdauer ist also - anders als beim mathematischen Pendel, dem Fadenpendel - eine Funktion der Masse. Dort ist sie: Wird es aus der Ruhelage abgelenkt, führt es Schwingungen aus. Die rücktreibende Kraft ist dabei - wie beim Fadenpendel auch - eine Funktion des Auslenkungswinkels. Die Differentialgleichung für seine Bewegung lautet:, wobei gilt: Wegen des Sinus-Terms ist eine analytische Lösung in elementaren Funktionen nicht möglich. Das physikalische Pendel in Bewegung: 216

223 Es gilt also, den Sinus-Term zu beseitigen. Überdenken wir zuerst einmal den Anwendungsfall und den Definitionsbereich. Die Sinusfunktion ist periodisch mit einer Periode von : Das ist aber viel zu viel. Ein Winkel von entspricht 360. Das Pendel würde sich einmal überschlagen! Selbst =180 ist noch zu viel. Absolut ausreichend ist es, einen Winkel von zu betrachten: Selbst hiervon dürfte nur ca. ein Viertel der übliche (und rechnerisch sinnvolle) Einsatzbereich sein. Wir suchen jetzt eine lineare Funktion, die den Einsatzbereich gut annähert und finden sie in: Die Übereinstimmung ist mehr als ausreichend und stimmt auch im negativen Bereich. Die Differentialgleichung lässt sich nun leicht lösen zu: hatten wir festgelegt als womit die DGL zu gelöst ist. 217

224 Nichtlineare Näherungsmethoden Eine lineare Annäherung macht naturgemäß nur dann Sinn, wenn über den betrachteten Bereich hin die Steigung der Funktion sich nicht wesentlich ändert. Die Steigung einer Funktion ist ihre Ableitung. Sinkt die Ableitung auf 0, so haben wir einen Punkt vorliegen, der zumindest ein Sattelpunkt ist. Wechselt die Steigung danach ihr Vorzeichen, so haben wir eine echte Wendestelle. Die Funktion und werden in ihrem Steigungsverhalten miteinander verglichen. Eine Näherungsfunktion für allgemeine Fälle muss also mehrere Anforderungen erfüllen: Sie muss natürlich einfacher als die Originalfunktion sein Sie muss mit Änderungen der Steigung der Originalfunktion zurecht kommen Sie sollte beliebig genau an die Originalfunktion anpassbar sein Es gibt eine Reihe von Näherungsformeln, die diesen Anforderungen nachkommen. Die einfachste, praktischste und am meisten eingesetzte ist die Taylor-Reihenentwicklung. 218

225 Taylor-Reihenentwicklung zurück zur Themenübersicht Man kann nicht oft genug auf die Schwierigkeitssprünge in der Analysis hinweisen: Differenzieren ist einfach Integrieren vielfach schwieriger DGLn lösen nochmals Die Taylor-Reihenentwicklung setzt hier an. Sie ersetzt kompliziert zu lösende Funktionen durch einfacher zu lösende Polynome. Dazu setzt sie auf das Hilfsmittel des Differenzierens. Sie setzt voraus, dass die zu ersetzende Funktion entweder beliebig oft differenzierbar ist, oder wenigstens so oft, wie die Genauigkeitsanforderungen es verlangen. Natürlich fallen die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus hierunter. Wir stellen ein einfach nachzubauendes Modell her, das in der Reihenfolge und im Aufbau dem Vorgehen entspricht, wie man es auch am Schreibtisch handschriftlich nachvollziehen kann: 1. Lege die Stelle fest, um die herum die Funktion zu entwickeln ist Das ist meistens Sollte es eine andere Stelle sein, ersetzen wir mit 2. Erstelle eine Tabelle folgenden Inhalts: Entw.stelle: Funktion: Erste Ableit.: Zweite Ableit.: Dritte Ableit.: Wir werden die Sinus-Funktion um die Stelle Also füllen wir die Tabelle folgendermaßen: herum entwickeln. Entw.stelle: Funktion: Erste Ableit.: Zweite Ableit.: Dritte Ableit.: Wir erweitern die Tabelle um eine weitere Reihe. Darin befinden sich Brüche. In den Zähler gehört der Term aus der zweiten Reihe. In den Nenner kommt die Fakultätsfunktion aufsteigend von 0. Man beachte: Hinter den Bruch gehört ein Faktor mit zu einer Potenz, die dem Argument der Fakultätsfunktion entspricht: Entw.stelle: Funktion: Erste Ableit.: Zweite Ableit.: Dritte Ableit.: Taylor-Term: 219

226 Entw.stelle: Funktion: Erste Ableit.: Zweite Ableit.: Dritte Ableit.: Taylor-Term: Jetzt wird vereinfacht: An der Stelle gilt immer und. Wir können die Ausdrücke für also in der dritten Zeile durch und diejenigen mit durch ersetzen: Entw.stelle: Funktion: Erste Ableit.: Zweite Ableit.: Dritte Ableit.: Taylor-Term: Die Sequenz hat sich nun stark vereinfacht. Wir bilden die Summe aus den Termen der dritten Reihe: ( ) Wir ersetzen nun durch und haben die Lösung unserer Taylorreihenentwicklung bis zur dritten Ableitung erhalten: Mit entsprechend mehr Ableitungen erhält man: Wer dieses Verfahren zum ersten Mal vorgeführt bekommt, glaubt einem Taschenspielertrick zum Opfer gefallen zu sein. Ist es nicht unredlich, durch zu ersetzen, wenn man genau weiß, dass gleich ist? Nein, ist es nicht: Wir untersuchen ja nicht die Stelle - von der wir sowieso wissen, dass sie ist - sondern die Umgebung von und die ist verschieden von! 220

227 Wir brauchen auch keine Angst vor den großen Zahlen im Nenner zu haben. Erstens wird sowieso meist nur bis zum dritten Glied entwickelt und da ist es gerade mal 120. Zweitens überlassen wir natürlich das eigentliche Rechnen einem Computer und sei er auch noch so klein, wie ein Taschenrechner für 1. Viel wichtiger ist die Frage: Wie genau ist das Verfahren? Dazu approximieren wir die Sinusfunktion nacheinander durch immer höhere Terme von. Zuerst dann usw. Die Originalfunktion ist schwarz, gestrichelt eingezeichnet. Die Approximation kann also beliebig genau geschehen. Mit 4 Gliedern ist sie schon sehr genau. Es fällt auf, dass das erste Glied entspricht. unserer linearen Näherung aus dem ersten Abschnitt Man könnte also kalauern: Die lineare Näherung ist eine nichtlineare Näherung, der die nichtlinearen Glieder fehlen Die Taylorreihen-Entwicklung ist die Brot- und Butterfunktion aller Naturwissenschaftler. Das ist kein Wunder, wenn man bedenkt, dass sogar einfache Gleichungen wie diejenige für das Pendel nicht mehr elementar-analytisch lösbar sind. Hier noch die allgemeine Formel für die Taylor-Reihe: 221

228 Nullstellen Bei DGLn höherer Ordnung haben wir gesehen, dass es notwendig ist die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen. Wir wollen diesen Fall noch einmal näher untersuchen. Nullstellen sind alle diejenigen Werte von, die einen Wert von zurückliefern. Im Bild des Graphen einer Funktion sind sie diejenigen Stellen an denen der Funktionsgraph die -Achse schneidet. Diskutieren wir fortlaufend mehrere Fälle: Die allgemeine lineare Funktion heißt:. Wir suchen den Punkt für und setzen darum ein: Ist das schon Alles? Nein, wir haben einen wichtigen Punkt vergessen. Was ist bei? Da fliegt uns die Gleichung um die Ohren, weil dies zu einer Division durch 0 führt. Wir hätten schon früher beginnen müssen, bei der konstanten Funktion: Schon bei der linearen Funktion müssen wir also eine mögliche Lösung ausklammern und für die Lösung beschönigend hinzuschreiben: Die allgemeine quadratische Funktion heißt:. Für den Schulgebrauch hatten wir uns dahingehend abgesprochen, dass wir sie durch Division durch in die Normalform brachten: Man könnte das als einen Trick der Lehrer betrachten, um zu verschleiern, dass auch hier natürlich gilt:. In anderen Ländern wird diese Vereinfachung in der Schule nicht gemacht, dort lernen die Schüler nicht die -Formel, sondern: und natürlich: Jetzt kann zum ersten Mal der Fall auftreten, dass wir komplexe Zahlen erhalten. Entweder hat die Funktion zwei reelle Nullstellen, eine doppelte Nullstelle oder zwei konjugiert komplexe Nullstellen: Wie errechnet man nun die komplexen Nullstellen der blauen Funktion? So man die Funktionsgleichung kennt, ist es einfach: Nach der -Formel. Aber die Funktionsgleichung haben wir eben nicht Wir betreiben nun Spurensuche. Bei einer neuen, völlig unbekannten Funktion 222

229 Forensik einer unbekannten Funktion Im Elektroniklabor der Fa. Lötkolben haben die Ingenieure die Kennlinie eines neuen Bauteils gemessen. Signifikante Punkte haben sie eingetragen. Der Praktikant Erwin - Mathematikstudent im ersten Semester - bekommt die Aufgabe, daraus die Funktionsgleichung abzuleiten. Natürlich mit höherer Mathematik, also Differentialgleichung. Seine Gedanken vollziehen wir nach: Ich muss aus der Form der Kurve und deren Eigenheiten auf diese Kurve selbst schließen. Das ist genau die umgekehrte Vorgehensweise, wie bei einer Kurvendiskussion in der Schule. Dort hatten wir die Funktionsgleichung der Kurve und sollten daraus die Form der Kurve angeben. Wir haben ein Extremum an der Stelle vorliegen. Es sind keine weiteren Extrema oder bspw. Wendepunkte zu erkennen. Bei einer kubischen Funktion würden wir zwei Extrema finden können, oder zumindest einen Wendepunkt. Es muss also zumindest eine geradzahlige Funktion sein und keine ungeradzahlige. Ich vermute, dass es eine quadratische Funktion ist. Das ist eine Gleichung mit drei Unbekannten. Gut, dass wir auch drei Punkte haben. Ich erstelle ein Lineares Gleichungssystem aus den - und -Koordinaten: = = = Die Funktionsgleichung heißt: Die komplexen Nullstellen bestimmen: ( ) Die Nullstellen sind konjugiert komplex: Jetzt erst fällt Erwin siedend heiß ein, dass er ja eine Differentialgleichung abliefern sollte. Was er gerechnet hat, war aber ganz konventionelle Schulmathematik. Er erinnert sich daran, dass ein Kommilitone ihm einmal gesagt hat, dass es einfach ist, aus einer einfachen Lösung eine komplizierte Problemstellung zu machen. Er wird das so machen und den Ingenieuren damit einmal den Hammer zeigen 223

230 Konstruieren von Differentialgleichungen Er überlegt folgendermaßen: Links vom Extremum hat die Tangente an der Kurve eine negative Steigung. Rechts davon eine positive. Da die Funktion stetig ist, muss sich also dazwischen ein Punkt mit der Steigung 0 befinden. Die Tangentengleichung, die dies beschreibt, ist aber gerade die erste Ableitung der Funktion. Die Lösungsfunktion hat er bereits: Differenzieren ist einfach: Eine gewöhnliche, homogene DGL hat die Form: Er packt die Lösungsfunktion und deren Ableitung in die Gleichung: ( ) Dividieren Aufhübschen In DGL einsetzen P2 P0 Lösungsfunktionsschar P1 mit part. Lösung

231 Nullstellen finden Nullstellen zu finden - so hört man - ist einfach: Man nimmt die Funktion - die Funktionsgleichung kennt man ja - lässt sie sich für den betreffenden Bereich anzeigen und sucht diejenigen Stellen, an denen sie die -Achse schneidet. Was ist aber, wenn eine Funktion die -Achse überhaupt nicht schneidet? Die letzte Funktion war ja dafür ein Beispiel: Wir hatten zwei komplexe Nullstellen die höchstens mal in die Nähe der -Achse gelangten. Dann gibt es einen Trick, der bei quadratischen Funktionen überraschend gut funktioniert. Ich nenne ihn mal das Reverse Newton-Verfahren. Er sucht nach den Extrema der Funktion auf folgende Weise: Bilde aus der Funktion und ihrer Ableitung eine neue Funktion Lass dir diese anzeigen. Suche die Stellen, an der die Funktion die -Achse schneidet. Wir probieren es gleich an der letzten Funktion aus: Unsere Funktion war von 0 bis 3 fallend, danach wieder steigend. An der Stelle hatte sie ein Minimum: Ihre Tangente verlief dort horizontal, d.h. ihre Ableitung war dort 0. Der Funktionswert ihrer Ableitung ist dort 0. Damit der ganze Bruch. Wir können also sehr gut die komplexen Nullstellen herausfinden. Anzahl an Nullstellen und Grad der Funktion Für ein Polynom mit reellen Exponenten gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom -ten Grades besitzt Nullstellen. Bspw.: sieben Nullstellen. Die Nullstellen können reell oder komplex sein. Die Nullstellen können in Vielfachheit auftreten, d.h., die gleiche Stelle mehrmals. Komplexe Nullstellen treten immer paarweise in Form von konjugiert komplexen Zahlen auf. Ist bspw. eine komplexe Nullstelle, so ist es auch. Diese Eigenschaften zu kennen, hilft bei der Nullstellensuche enorm. Nullstellen und Form der Funktion Die kubische Funktion Kenne ich die Nullstellen eines Polynoms, so kann ich daraus das Polynom zurückgewinnen. Sind die Nullstellen bspw.:,, so kann ich das Polynom durch die Bildung von Linearfaktoren zurückgewinnen:,, ( ) 225

232 Diese Bildung aus Linearfaktoren ist eindeutig, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, d.h., zu drei gegebenen Nullstellen gibt es nur eine Funktion, die diese erfüllt. Mit komplexen Werten geht das genauso:,, ( ) ( ) Zuerst die innere Klammer um die komplexen Zahlen auflösen: Jetzt die beiden letzten Klammern multiplizieren: ( ) Die bzw. Ausdrücke heben sich gegenseitig auf: Trotz der komplexen Nullstellen handelt es sich um eine reelle Funktion! Die reelle Nullstelle bei hatten wir erwartet. Aber wie kommen die beiden komplexen Nullstellen im Reellen auf den Wert? Das liegt an der Art und Weise, wie sich komplexe Zahlen in der reellen Welt bemerkbar machen. Wir tragen die konjugiert komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene auf: Für hat der Vektor den Betrag Wir berechnen den Winkel. Es gilt: ( ) Weil die konjugiert komplexen Nullstellen immer paarweise auftreten, hat eine Funktion dritten Grades entweder drei reelle Nullstellen (evtl. in Vielfachheit) oder eine reelle Nullstelle und zwei konjugiert komplexe. 226

233 Wir erkennen, dass die imaginären Teile selbst bei konstantem reellem Teil einen deutlichen Einfluss auf die reelle Darstellung besitzen. Bei genauerer Analyse stellt man fest, dass die zwei höchsten Terme konstant bleiben: Beim Term proportional und beim absoluten Glied kommt jeweils ein additiver Term mit zum Koeffizienten hinzu. Der gleiche Term findet sich in der I. Ableitung wieder (dort nur im absoluten Glied) aber die zweite Ableitung ist in allen Fällen konstant und lautet: Das wirft natürlich die Frage auf, ob dann das Reverse Newton-Verfahren in abgewandelter Form, nämlich als Die gleichen Funktionen wie oben Dann ist: Man sieht, wie alle Funktionen die reelle -Achse bei anwendbar ist. Wir probieren es an der Beispielfunktion aus: schneiden. Zur Erklärung multiplizieren wir die komplexen Terme aus. Den imaginären Teil nennen wir : ( ) ( ) Die von abhängigen Terme verändern sich also nicht, sondern nur das absolute Glied. Und das hat keinen Einfluss auf die Nullstelle der II. Ableitung: Welche Möglichkeiten gibt es bei noch höheren Potenzen von? : Vier reelle oder zwei komplexe Nullstellen oder zwei reelle und eine komplexe. : Irgendeine Kombination, die der Gleichung genügt. Möglichkeiten der schrittweisen Bestimmung aller Nullstellen Hat man eine der Nullstellen der Funktion nach einer der vorgenannten Methoden bestimmt, so kann man durch Polynomdivision der Funktion durch den Grad der Funktion sukzessive um Eins erniedrigen und weitersuchen. Ein rekursives Verfahren, wie das nachfolgende auch. 227

234 Das Newton-Verfahren Natürlich hatte Newton, als er das nach ihm benannte Verfahren zwischen 1664 und 1671 vorstellte, keinerlei Vorstellungen über komplexe Zahlen. Er wollte ganz pragmatisch die reelle Nullstelle der Funktion finden: Es wäre ihm idiotisch vorgekommen, nach weiteren Nullstellen zu suchen. Ganz klar: Sonst schneidet die Kurve die -Achse ja nicht. Auch die Formel die sich nach Cardano ergeben hätte, hätte ihm nicht viel genutzt. Tut sie heutzutage auch nicht, die komplette Lösung sei aber zum Ergötzen des Lesers erwähnt. Solche Monsterausdrücke erhält man bei der Anwendung der Formel von Cardano: Selbst die moderne Darstellung in Form der Ableitung hätte ihm zuerst mal nichts gesagt, obwohl er als Vater der Infinitesimalrechnung gilt. Seine Herangehensweise war über binomische Formeln: Die Annahme eines Differenzenwerts zum wahren Wert und die Annahme, dass die Differenzenwerte sehr klein seien. Die wesentliche Annahme war aber, dass man sich durch rekursives, also mehrfach hintereinander angewandtes Durchführen der Methode, dem Ergebnis beliebig annähern könne. Heutzutage ersetzen wir die Differenzenwerte gleich durch das Differential. Früher war das kein Riesenfortschritt. Numerische Berechnungen waren mühsam per Hand durchzuführen. Eine Methode, bei der man viele Schritte hintereinander - und dabei noch die quälenden Divisionen - durchführen musste, wurde nicht gerade als Erleichterung angesehen. Trotzdem wurden in mühevoller Kleinarbeit umfangreiche Tabellenwerke zu den trigonometrischen und logarithmischen Funktionen erstellt. Die mühselige Kleinarbeit von Wenigen machte sich durch die enorme Arbeitserleichterung von Vielen bezahlt. Eine Tabelle der Logarithmenwerte aufzustellen, macht einmal viel Arbeit. Dann bleibt das Ergebnis aber für die Ewigkeit. So dachte man Kein Mensch benutzt heutzutage noch Logarithmentafeln, die für Schüler höherer Schulen bis Anfang der 70er Jahre noch Pflicht waren. Auch die Taschenrechner und Computer benutzen keine gespeicherten Werte dieser Art mehr. Bei Bedarf greifen sie auf die gespeicherte Rechenvorschrift (den Algorithmus) zurück und wenden diesen nach Bedarf rekursiv - scheinbar in Nullzeit - an. 228

235 Die Vorgehensweise beim Newton-Algorithmus kann man in wenigen Schritten erklären. Außerdem ist es gerade dieser Algorithmus, der bei numerischen Methoden am häufigsten eingesetzt wird. Die einzelnen Schritte des Newton-Verfahrens Wir werden das Verfahren an der Newton-Funktion selbst durchführen. Aus optischen Gründen nehmen wir nur einen anderen Startwert, als Newton. Er wählte 2 (einen etwas niedrigeren, als den wahren Wert), wir wählen 2,4 (einen etwas höheren, als den wahren Wert). Schritt 0: Den Startwert bestimmen: (Anfangsbedingung) Schritt 1: Der Startwert wird auf die Funktion angewendet. (Funktionswert ermitteln) Schritt 2: Lege eine Tangente an an: Schritt 3: Die Tangente schneidet die -Achse bei (Schnittpunkt bestimmen) Schritt 4: Setze als neues. (Substitution) Schritt 5: Prüfe, ob als Ergebnis genau genug ist. (Abbruchbedingung) Schritt 6: Falls als Ergebnis genau genug ist: Gib als Ergebnis aus. (Rekursionsende) Falls als Ergebnis nicht genau genug ist: Fange mit neuem wieder bei Schritt 1 an. (Schleife) Schritt 0: Startwert Schritt 1: Funktionswert Schritt 2: Tangente Schritt 3: Schnittpunkt Schritt 4: Substitution Schritt 5: Abbruchbeding.? Nein Ausgabe Ja 229

236 Die Schritte sollten erklärt werden: Startwert: Er sollte möglichst nahe am Zielpunkt liegen. Es muss ausgeschlossen sein, dass zwischen Startwert und Zielpunkt eine weitere Nullstelle liegt. Funktionswert: Einfach den Startwert einsetzen und ausrechnen. Tangente: Die Tangente ist diejenige Gerade, die am Funktionswert anliegt und dort die Steigung der I. Ableitung besitzt. Den Wert der Steigung berechnen wir aus der ersten Ableitung. Im ersten Durchlauf ist dies: Die Tangentengerade hat also die Funktionsgleichung In dieser Form würde sie allerdings durch den Ursprung verlaufen. Wir müssen sie also entlang der -Achse nach rechts verschieben und zwar um den Wert von : Jetzt muss sie nach oben verschoben werden, bis zu dem Funktionswert von an dieser Stelle: Damit ist unsere Tangentengleichung komplett: Schreibweise in Formelsammlungen: Der neue Wert hat sich deutlich gegenüber dem Startwert verbessert. 230

237 Schnittpunkt: Der neue Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse muss nun bestimmt werden, dafür setzen wir Substitution: Wir ersetzen das alte durch unser neues : Abbr.beding.: Die Abbruchbedingung ist das Qualitätskriterium. Wie definieren wir dies? Nehmen wir an, das Ziel sei es, den Fehler bei der Nullstellenbestimmung auf höchsten 1 Promille zu begrenzen. Dann dürfte - wenn man den neuen Wert einsetzt - die Abweichung gegenüber 0 geringer als 0,001 sein. Wir prüfen mit dem neuen Wert: Das ist eigentlich zu viel. Wir müssten die Iteration also prinzipiell wieder bei Schritt 1 mit beginnen. Aber uns reicht es Das Ganze ist so einfach, dass man es mit einer Tabellenkalkulation wie Excel machen kann: Newton-Verfahren zum Finden der Wurzel aus 5: y = 5 Wurzel aus 5 ziehen x(0) = 2,8 Startwert Folgende Iterationsvorschrift verwenden: x(k) 2,00000 y (x) = x^2 - y 0,00000 Abbruchbedingung y' (x) = 2 * x 4,00000 Ableitung der Funktion Ausgabetabelle: Schritt Zwischenwert Abw. zu 0 Ableitung n x(n) y (x)= x^2 - y y ' (x)= 2*x 0 2,8 2,84 5,6 1 2, , , , , , , ,94437E-07 4, , ,24345E-14 4, , , Wir haben versucht, die mathematischen Hintergründe einigermaßen korrekt herzuleiten. Arbeitet man nicht so aufwändig und nimmt man Differenzen, anstatt Differentialen, kann man das Ganze in eine einfache Iterationsvorschrift packen: 231

238 Es sei nochmals betont, dass es sich auch hierbei um kein Verfahren handelt, DGLn zu lösen. Es ist ein allgemeines, mathematisches Verfahren, das im Verlaufe der Lösung einer DGL sehr häufig nützlich ist. Einige Eigenschaften solcher Iterationsverfahren sollen noch diskutiert werden: Das Newton-Verfahren ist ein Konvergenzverfahren, weil es eine Folge von Zahlen produziert, die gegen einen gewünschten Zielpunkt hin konvergieren. Es ist ein lokales und kein globales Konvergenzverfahren, weil sein Ergebnis vom gewählten Startpunkt abhängig ist. Sein Konvergenzverhalten ist sehr gut, d.h., es braucht nur wenige Iterationsschritte, um zu einem brauchbaren Ergebnis zu kommen. Lineare Nullstellensuche Die einfachste Methode, eine Nullstelle zu finden, besteht in der linearen Suche. Wie beim Newton- Verfahren auch, muss man die Annahme machen, dass sich im zu untersuchenden Intervall höchstens eine Nullstelle befindet. Wir bleiben bei der Newton-Funktion. Wir vermuten die Nullstelle im Intervall zwischen 0 und 10. Dann sind die Intervallgrenzen und. Dieses Intervall teilen wir jeweils in Einzelintervalle beliebiger Größe auf. Sagen wir die Größe des Einzelintervalls betrage. Wir könnten sie aber auch beliebig klein wählen. Nur größer als das Gesamtintervall darf sie nicht sein. Wir haben dann Einzelintervalle vorliegen. Hier ist. Der Computer soll dann nacheinander die Funktionswerte von Der Anfang ist ja gegeben. berechnen, wobei gilt: Dann machen wir uns die Eigenschaft einer Nullstelle zunutze: Links von der Nullstelle, also bei kleineren Werten, muss das Vorzeichen des Funktionswertes ein anderes sein, als rechts. War es links positiv, muss es rechts negativ sein und umgekehrt. Wir prüfen das mit der Abfrage Dies ist die Signum-Funktion. Sie hat den Wert +1 bei positiven Werten, -1 bei negativen und 0 bei 0. Jetzt könnte aber durch Zufall auch der Anfangswert genau die Nullstelle sein. Das müssen wir natürlich vor dem eigentlichen Beginn durch die Abfrage überprüfen. Wir stellen nachfolgend einen Computer-Algorithmus auf. 232

239 Ablaufplan Lineare Suche Schritt 0: Ist sgn(y xa )? Nein Ja x A ist Nullstelle Schritt 1: Anfangswerte n z sgn x A Schritt 2: Inkrementieren n n z n sgn y x A n x Schritt 3: Vergleichen z n sgn x A n x z n z Nein x A n x x E Ja Nullstelle im Intervall! Keine Nullstellen gefunden! Schritt 4: Schleife Keine der Abbruchbedingungen wurde erfüllt. Nächstes Intervall angehen! Dieses Verfahren ist so einfach und effektiv, dass man es nur selten in einem Lehrbuch für numerische Verfahren findet. Dabei kommt es auch noch ohne Differentiale aus. Für Professoren ist das unter ihrer Würde. Dabei trägt es alles in sich, was man zu einer beliebig kleinen Annäherung an eine Nullstelle benötigt. 233

240 Nullstellensuche durch Intervallschachtelung Das vorige Verfahren der linearen Suche lässt sich noch verfeinern. Zum Beispiel durch die Methode der Bisektion. Dabei teilt man das Gesamtintervall anfangs in nur zwei gleich große Teilintervalle auf. Diese untersucht man auf Vorzeichenwechsel. Findet man in einem der Intervalle einen solchen, so teilt man diesen wieder in zwei gleich große Teilintervalle auf usw. Man führt eine binäre, anstelle einer linearen Suche durch. Das Prinzip ist aber auch bei der linearen Suche möglich. Vielleicht kennt man dies aus der Schule unter dem Namen Intervallschachtelung. Das Prinzip ist einfach, die Realisierung auch. An einer Stelle fanden wir die Abbruchbedingung: Nullstelle im Intervall! Damit kennen wir neue Intervallgrenzen und Wir ersetzen durch und durch Mit diesen führen wir unsere Schleife weiter aus, bis wir zu einem neuen, noch kleineren Intervall kommen usw. Wir sollten eine Abbruchbedingung einbauen, so dass der Computer irgendwann einmal daran denkt, auch wieder mit dem Rechnen aufzuhören... Nullstelle im Intervall! x A x n x E x n Schritt 1: Anfangswerte Bleibt nur noch das Problem, dass sich in einem Intervall auch zwei Nullstellen befinden könnten. Das lässt sich zwar nicht theoretisch lösen, aber praktisch umschiffen. Man setze anfangs die Granularität (die Feinheit, in die die Intervalle unterteilt werden können) auf 10. Finden wir nichts, so erhöhen wir auf 100, dann auf usw. Das kann man mit der Zahl 2 genauso machen. Dann haben wir anfangs 2, dann 4, dann 8 usw. Teilintervalle. Finden wir bei allen Bemühungen nichts, so können wir den Fall zwar nicht theoretisch, aber mit ausreichender Wahrscheinlichkeit ausschließen. Es sei nochmals daran erinnert, wie man mit dem Reversen Newton-Verfahren auch komplexe Nullstellen auffinden kann. Wir können zwar die allgemeine Lösung von Gleichungen vierten und höheren Grades immer noch nicht angeben - und es gibt auch genügend Beweise, dass dies mit elementaren Methoden nicht möglich ist - wir finden aber immer numerische Lösungen, die dem Ergebnis beliebig nahekommen. 234

241 Integrationsverfahren zurück zur Themenübersicht Numerische Integration Es sei eine Funktion gegeben, von der wir das bestimmte Integral zwischen zwei Integrationsgrenzen und berechnen wollen. Die normale Methode ist bekannt: Löse das Integral und du erhältst die Stammfunktion: Berechne dann mit der Stammfunktion die Funktionswerte für und und subtrahiere den einen vom anderen: Dabei hat man ggfs. Nullstellen zwischen und berücksichtigt und erhält als Ergebnis eine bestimmte Zahl und keine Funktion mehr. Zu Newtons Zeiten war es eine Herausforderung, das Volumen eines Fasses zu bestimmen: Die bestimmenden Parameter für ein Fass sind seine Höhe, die beiden kleineren Durchmesser unten und oben, sowie der Durchmesser in der Mitte. Reduziert man wegen der Symmetrie die Parameter auf den größeren Radius, den kleineren Radius und die Höhe auf die Hälfte derselben, so kann man den Längsschnitt durch ein Fass folgendermaßen auftragen: Wikipedia: Fass Die Überlegung war folgende: Wenn man die komplizierte Form der Fasskurve durch eine Gerade - horizontal zur -Achse liegend - ersetzen könnte, dergestalt, dass die unterhalb der Gerade liegende Fläche flächeninhaltsgleich zu derjenigen unter der Fasskurve wäre, dann würde man, wenn man die Gerade um die -Achse rotieren ließe, einen leicht zu berechnenden Zylinder erhalten. Das Problem war ähnlich zur Quadratur des Kreises, man sprach von einer Quadraturformel. Die genaue Form der Fasskurve ist eigentlich nicht bekannt. Es ist aber anzunehmen, dass es sich um einen Teil einer Parabel handelt. Hier wurde sie nach erzeugt. Integriert man auf diese Weise über von 0 bis 0,5, so erhält man als exakten Wert: 235

242 Numerische Integration einer unbekannten Funktion Diese Funktion wurde bei einem Experiment oder einer Statistik ermittelt. Es gilt, die graue Fläche unterhalb der Kurve zu ermitteln. Analytisch ist dies nicht möglich. Kein Mensch kann sagen, ob dies ein Teil einer Parabel, einer Hyperbel oder sonst etwas ist. Sogar eine Kosinus-Funktion ist möglich. Wer weiß schon, wie es nach dem Ende der Kurve weitergeht? Wir markieren einzelne Punkte in regelmäßigen Abständen von. Dann verbinden wir die einzelnen Punkte miteinander. Die gleichverteilten Punkte nennen wir Stützstellen. Wir erhalten verschiedene Streifen. Der erste Streifen sieht aus wie ein Rechteck. Der -te Streifen lässt sich als Trapez erkennen. Ist egal: Ein Rechteck ist auch ein Trapez, bei dem nur zufällig die beiden Trapezseiten gleich lang sind. Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich nach der Formel: Wir ersetzen wie vorher: Jetzt lassen wir den Computer alle Streifen aufsummieren: Wir haben das Integral numerisch approximiert. Bei genügend vielen Stützstellen im Intervall kommen wir der analytischen Lösung beliebig nahe. Das besprochene Verfahren ist unter verschiedenen Bezeichnungen bekannt: Trapezregel, Sekanten-Verfahren usw. Zu beachten ist, dass wir hier gleich weit voneinander entfernte (äquidistante) Stützstellen genommen haben. Das muss man nicht unbedingt. Die Entfernungen dürfen beliebig sein. 236

243 Numerische Integration: Gaußsches Integral Ein einzelnes, bestimmtes Integral hat besondere Bedeutung in der Mathematik und soll deswegen extra besprochen werden. Es handelt sich um das Integral zur Funktion. Ihr Graph ist ein Beispiel für eine Glockenkurve. Er ist achsensymmetrisch bzgl. der -Achse. Soweit eigentlich nichts Besonderes, bis auf die Tatsache, dass sie sich nicht elementar integrieren lässt. Für das uneigentliche Integral von minus Unendlich bis plus Unendlich fand Gauß die nebenstehende Beziehung. Im Umkehrschluss bedeutet die Tatsache, dass man keine analytische Funktion für ihr Integral angeben kann, dass man ihre Integration über einen bestimmten Teilbereich durch eine Potenzreihenentwicklung durchführen muss. Die Potenzreihenentwicklung von sei als bekannt vorausgesetzt. Sie lautet: Wir substituieren durch und erhalten: ( ) ( ) ( ) Wohlgemerkt, approximiert diese Reihe die Funktion und nicht deren Integral. 237

244 Diese Approximation gelingt aber sehr gut. Nebenstehend die Graphik für Um jetzt das bestimmte Integral mit der Reihenentwicklung auszurechnen, muss ich die Integrationsgrenzen festlegen. Sagen wir mal von 0 bis 1. Im Ausdruck des Integrals ersetzt man die Funktionsgleichung durch das erhaltene Polynom in gew. Näherung (z.b. 3): Dieses Integral kann man analytisch sehr leicht lösen. Es ist: [ ] Best. Integral: [ ] [ ] Jetzt haben wir semi-analytisch gerechnet. Zuerst die Approximation des Funktionsterms ermittelt, dann das Polynom analytisch behandelt. Aber wenn wir schon mal die Lösung sowieso nur ungefähr bekommen, macht es auch nichts aus, wenn wir den Rest auch ungefähr berechnen. Dann brauchen wir den ganzen Hick-Hack mit der Ermittlung des Polynoms nicht mehr. Dem Computer befehlen wir: Erstelle eine Tabelle von 0 bis 1 mit den Funktionswerten für im Abstand von 0,1. Bilde den Mittelwert jeweils benachbarter Funktionswerte. Multipliziere jeweils mit 0,1. Addiere alles: Fertig! Wir haben die ursprüngliche Idee der Integration wieder aufgegriffen: Bilde (fast) unendlich kleine Streifen unter der Funktionskurve. Bestimme deren Flächeninhalt einzeln. Summiere alle einzelnen Flächeninhalte. Daher kommt ja schließlich das Integralzeichen: 238

245 Gaußsche Fehlerfunktion Eng mit dem Gaußschen Integral hängt die Gaußsche Fehlerfunktion zusammen. Gaußsches Integral: Gaußsche Fehlerfunktion: Wie der Name schon besagt, handelt es sich um eine Funktion, die einen Funktionswert zurückgibt und keine Fläche. Sie ist natürlich keine elementare Funktion und muss durch Näherungsberechnungen ermittelt werden. Abgekürzt wird sie mit nach dem englischen. Ihre Reihenentwicklung lautet: Ihre erste Ableitung ist: Ihr Integral lautet: Es gibt zu ihr eine konjugierte Funktion Man kann sie auch zweiwertig verwenden: Zwar findet sie ihre Hauptverwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, z.b. in der Standardnormalverteilung. Man stolpert jedoch auch häufig über sie, wenn man sich von einem Computeralgebrasystem wie Mathematica Differentialgleichungen lösen lässt, die nicht mehr in elementaren Funktionen angegeben werden können, was ja leicht passieren kann. Dann sehr häufig in ihrer imaginären Variante Beispiel aus Mathematica: [ ] Fehlerfunktionen im Überblick: 239

246 Die Simpsonsche Regel Die Trapezregel ist eine lineare Funktion von. Die einzelnen Integrationsabschnitte (Streifen) werden nach oben durch eine Gerade begrenzt. Gibt man diese Forderung auf, so gelangt man in einer nächsten Stufe dazu, eine quadratische Funktion zwischen den Anfangs- und Endpunkten anzunehmen, die den Funktionswert nach oben mit einem Parabelsegment approximiert. Die Idee kann man mit folgender Graphik plausibel machen: also ergibt sich als das arithmetische Mittel von und, Die entsprechende Abbildung in der Wikipedia ist insofern etwas irreführend. Der Mittelpunkt ergibt sich gerade nicht durch den Schnittpunkt der Parabel mit der unbekannten Funktion, sondern das arithm. Mittel wird i.a. an anderer Stelle liegen. Das Prinzip erkennt man jedoch an den von mir eingefügten hell- und dunkelgrauen Flächen. Wikipedia: Simpsonregel Hat links von das quadratische Polynom eine etwas größere Fläche als Integral, so wird es rechts davon eine etwas kleinere Fläche besitzen. Das ist so ähnlich, wie bei der Trapezregel. Dort würden sich konkave und konvexe Krümmungen der Ursprungsfunktion auch ausmitteln. Die Idee dahinter ist, dass man eine Parabel durch die Endpunkte dergestalt legt, dass das Integral durch das Integral einer quadratischen Funktion angenähert wird. Die quadratische Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung: Integral lösen ( ) ( ) Zusammenfassen ( ) Binomisch ausklammern Inn. Klammern auflösen Ausklammern quadratischer Polynome für die Integralgrenzen. Rest zusammenfassen: ( ( )) Der blaue Term entspricht einer quadratischen Funktion am Punkt, der grüne der gleichen am Punkt, der schwarze Term ebendieser für Mit den Abkürzungen für die linke Grenze, für die rechte Grenze und ( ) für die Mitte erhält man die Lehrbuchformel: ( ( ) ) 240

247 Interpolationsverfahren zurück zur Themenübersicht Ermitteln von Funktionsgleichungen aus empirischen Daten Mit den empirisch - z.b. aus einem Experiment - gewonnenen Daten will man wahrscheinlich weiterarbeiten. Dann wäre es praktisch, eine Funktionsgleichung für sie zur Hand zu haben. Auch das Verfahren hierfür ist allgemeiner Natur und in keiner Weise auf DGLn beschränkt. Wie die meisten Dinge in diesem Tutorial geben wir die Anleitung in Rezeptform: Wir sammeln alle relevanten Informationen über die Kurve. Das sind insbesondere die Nullstellen, aber auch die Extrema. Wenn wir Wendestellen erkennen könnten, würden wir auch diese markieren. Das sind jetzt sieben Punkte. Aus diesen sieben Punkten wollen wir ein Polynom sechsten Grades (das siebte ist das absolute Glied) erstellen, das die Bedingung erfüllt, dass alle Punkte Lösungen dieses Polynoms sind. Das Lösungspolynom ließe sich in folgender Form schreiben: Für unsere Zwecke ist aber folgende Form geeigneter: Das lässt sich in Matrixform schreiben: * = ( ) ( ) ( ) Die leeren Kästchen sind allesamt unbesetzt und daher gleich 0. Die grün markierten Werte sind alle aus der Aufgabenstellung her bekannt. Es sind die Koordinaten der Einzelpunkte. Die linke Matrix ist eine untere Dreiecksmatrix. Oberhalb der Diagonale sind alle Werte gleich 0. So etwas lässt sich mit den Mitteln der linearen Algebra gut lösen. Es geht dann darum, die Koeffizienten bis des mittleren Spaltenvektors zu bestimmen. 241

248 Als Lösung erhält man für das Beispiel dann die Funktion: Die Newton-Interpolation Das vorige Beispiel hatte frei festgelegte Intervalle zwischen den einzelnen Stützstellen. Für die Newton-Interpolation (nicht zu verwechseln mit dem Newton-Verfahren!) ist es günstiger, äquidistante Intervallgrenzen zu benutzen. Außerdem wollen wir auch die Anzahl an Stützstellen reduzieren, um nicht zu unübersichtlich zu werden. Es ist sowieso nicht gut, zu viele Stützstellen zu wählen, das Polynom kann dann nämlich leicht außer Kontrolle geraten und an einigen Stellen unerwünschte Oszillationen erzeugen. Diese Funktion soll aus vier Stützstellen rekonstruiert werden. Eine wird übersprungen. Wir wollen uns dieses Mal nicht auf die lineare Algebra verlassen, sondern von Hand rechnen. Wir werden die: Methode der dividierten Differenzen anwenden. Dazu erstellen wir eine Tabelle, in die wir auf eine bestimmte Art und Weise die Koordinaten eintragen. Eigentlich ist dies auch nichts anderes, als eine verkappte Matrix, aber hier können wir in einfachen Einzelschritten die Rechnung sukzessive ohne Matrizenoperationen durchführen. ( ) Es werden immer diejenigen voneinander subtrahiert, die sich aus den Treppenstufen ergeben, wenn man von der eigenen Zelle immer eine Stufe hoch, bzw. runter geht, bis man die erreicht hat. Die oberen werden von den unteren subtrahiert. Für die letzte Zelle links ist dies mit einem Pfeil gekennzeichnet. Hat man auf der linken Seite alle Stufen bis zu einer einzelnen, letzten Zelle erledigt, geht es auf der rechten Seite mit den weiter. 242

249 ( ) ( ( )) Beide angrenz. als Zähler! (gegenüber) = Nenner dito dito dito Beide angrenz. als Zähler! Beide angrenz. als Zähler! (gegenüber) = Nenner dito (gegenüber) = Nenner dito dito Nachdem jetzt alle -Werte erledigt sind, kommen die -Werte an die Reihe. Die drei -Werte werden folgendermaßen berechnet: Es wird ein Bruch erstellt. Der Zähler wird gebildet aus den beiden vorangegangenen -Feldern. Das sind in der links benachbarten Spalte die -Werte. Es wird derjenige mit dem niedrigeren Index von demjenigen mit dem höheren Index subtrahiert. Also der obere -Wert vom unteren. Der Nenner wird aus dem gegenüberliegenden -Wert gebildet. Dies wurde mit einem roten Pfeil gekennzeichnet. Die zwei ( )-Werte werden folgendermaßen berechnet: Es wird wieder ein Bruch erstellt. Der Zähler wird gebildet aus den beiden vorangegangenen -Feldern. Es wird derjenige mit dem niedrigeren Index von demjenigen mit dem höheren Index subtrahiert. Also der obere gegenüberliegenden -Wert vom unteren. Der Nenner wird gebildet aus dem -Wert. Mit einem roten Pfeil gekennzeichnet. Der letzte ( ( ))-Wert wird wie die vorangegangenen zwei auch berechnet. Unsere Lösungen für die, also die Koeffizienten in unserer Polynomgleichung sind jetzt die oberen Werte von bis ( ( )) Sie wurden unterstrichen dargestellt. Wir fanden damit: ; ; ; Das Newton-Polynom ergibt sich damit zu: Ausmultipliziert: 243

250 Die errechnete Funktion zeigt eine gute Übereinstimmung mit den doch arg begrenzten Eingangsdaten. Das Newtonsche Interpolationsverfahren hat den unschätzbaren Vorteil, dass es sich leicht erweitern lässt. Es können also nach Belieben weitere Stützwerte eingefügt werden. In der Matrix- Darstellung und in der Tabelle der dividierten Differenzen würde dann einfach eine weitere Zeile unten eingefügt werden. Es ist gleichzeitig das schnellste Verfahren, das außerdem den geringsten Rechenaufwand benötigt. Die Rechenzeit wächst nur proportional zum Quadrat der Stützstellen. Ein weiteres Interpolationsverfahren ist das Lagrangesche. Es hat den Nachteil, dass man später nicht ohne großen Aufwand Zeilen hinzufügen kann. Es ist eher von theoretischem Interesse, genauso wie der Algorithmus von Neville-Aitken. Die Hermite-Interpolation kann dann in Erwägung gezogen werden, wenn die Ableitungen der Funktion bekannt sind. Der Lösungsweg ist demjenigen des Newton-Verfahrens sehr ähnlich. An dieser Stelle sei noch einmal an folgende Tatsachen über die bisherigen, polynomialen Interpolationsverfahren erinnert: Das Interpolationspolynom reproduziert nicht die eigentlichen Punkte der Ursprungsfunktion. Im Gegenteil: Es werden die einzelnen Punkte des Lösungspolynoms i.a. nicht identisch zu denjenigen der Ursprungsfunktion sein. Dies gilt auch für die Anfangs- und Endpunkte, sowie die Stützstellen. Stellt man die Forderung auf, dass - z.b. praktischen Gründen - an den Intervallgrenzen und/oder einzelnen Stützstellen die Gleichheit einzelner Punkte gewährleistet sein muss, so muss ein anderes Interpolationsverfahren gewählt werden. Dabei handelt es sich um sogenannte Spline-Verfahren. Diese werden im nächsten Abschnitt erläutert. 244

251 Splines Die Anforderungen der Praxis sind also vollkommen anders gelagert, als die eben genannten Bedingungen. Nehmen wir als Beispiel die Konstruktion eines gewölbten Bauteiles, wie eines Kotflügels oder eines Schiffsrumpfes an. Dann will man an verschiedenen Stellen fest definierte Punkte haben, an die sich die erhaltene Kurve glatt anschmiegt. Es sollen weiche, harmonische Übergänge an den Fixpunkten vorhanden sein. Irgendwelche abrupten Wechsel oder auch Oszillationen sind zu vermeiden. Das sind alles Anforderungen, die die vorbeschriebenen Approximationen eben nicht liefern können, weil sie weder Punktgetreuheit noch Oszillationsfreiheit garantieren können. Hier helfen Spline-Funktionen. Im Schiffsbau kennt man schon seit Jahrhunderten eine wirklich simple Lösung für dieses Problem. Man legt den Anfangs- und Endpunkt fest (mathematisch würde man sagen: die Intervallgrenzen) und schlägt an den Fixpunkten (mathematisch: Stützstellen) Nägel ein. Dann flicht man eine biegsame, dünne Holzlatte so um die Nägel, dass zuerst die Holzlatte unterhalb des ersten Nagels zu liegen kommt, beim nächsten Nagel oberhalb desselben und alternierend immer so weiter bis zum Endpunkt. Jetzt kann man die so erhaltene Kurve aufzeichnen, ggfs. eine Schablone anfertigen usw. Die biegsame Holzlatte heißt im Deutschen Straklatte, im Englischen Spline. Wikipedia: Straklatte Daher hat das ganze Verfahren seinen Namen. Physikalisch gesehen wird dabei die Spannungsenergie minimiert. Die mathematischen Verfahren hierzu gibt es erstaunlicherweise erst seit 1946, was doch etwas verwundert, weil die mathematischen Anforderungen hieran eigentlich sehr simpel sind. Die Mathematik wäre aber nicht die Mathematik, wenn sie nicht diese eigentlich handwerklichen Verfahren in zig-fache Unterabteilungen, Einbettung in Vektorräume usw. verkompliziert hätte. Wie bei allem in diesem Tutorial wollen wir den Sinngehalt dieser Methoden bewahren, ohne durch allzu große mathematische Strenge die Sache unleserlich wie in einem Lehrbuch oder der Wikipedia zu machen. Dort haben richtige Mathematiker die Mathematik-Artikel schon lange übernommen und der Durchschnittsleser versteht nur noch Bahnhof. Anforderungen an die betrachteten Punkte : Es seien die Intervallgrenzen festgelegt. Diese sind also bekannt. Dazwischen soll mindestens eine, ansonsten nur gerade so viele Stützstellen liegen, wie es unerlässlich erscheint. Die Stützstellen müssen natürlich an verschiedenen -Stellen liegen, brauchen aber nicht äquidistant zu sein und sind es nach der Aufgabenstellung im Normalfall auch nicht. 245

252 Anforderungen an die Glattheit der Funktion: An den Stützstellen müssen die Polynome links und rechts die gleiche Steigung besitzen. Ansonsten hätten wir ja einen hässlichen Knick in der Kurve. Diese Forderung ist mathematisch gesehen die Forderung danach, dass die I. Ableitungen der Polynome links und rechts gleich sein müssen. An den Stützstellen sollen auch die II. Ableitungen der Polynome gleich sein, die ja die Wölbung der Kurven an diesem Punkt angeben. An den Intervallgrenzen gelten die Bedingungen an die Glattheit natürlich nicht. Hier gibt es ja keinen Partner auf der anderen Seite, den man zu berücksichtigen hätte. Aus dem Vorgenannten kann man schließen, dass es vernünftig ist, eine mindestens zweimal differenzierbare Funktion zur Interpolation zu fordern. Polynome (sogar die konstante Funktion) können beliebig oft differenziert werden. Bei niedrigen Graden des Polynoms werden aber die höheren Ableitungen schnell alle Null, so dass dies für unsere Zwecke keinen wirklichen Sinn macht. In der Praxis wird fast nichts anderes als der sog. Kubische B-Spline benutzt, so dass wir uns auch auf diesen konzentrieren wollen. Kubische Funktionen sind zweimal sinnvoll differenzierbar. Herleitung des kubischen Splines Als Beispiel wollen wir die Funktion im Intervall splinen. Die Stützstelle liege genau in der Mitte. Damit setzen wir also: Die kubischen Polynome besitzen die allgemeine Form: Ihre I. Ableitung ist nach der Potenzregel: Ihre II. Ableitung ist nach der Potenzregel: Wir wählen andere Konstanten, um die beiden Interpolationsfunktionen sauber zu trennen: Für das Intervall Für das Intervall ist die Interpolationsfunktion: ist die Interpolationsfunktion: Jetzt gilt es, die Randbedingungen - insbesondere an die Glattheit - zu definieren und in Formelgestalt darzustellen. 246

253 Forderung: Mathematische Formulierung: Wir starten am Intervallanfang I. An der linken Intervallgrenze soll die zweite Ableitung verschwinden. Dort brauchen wir keine Krümmung mehr. Die Funktionswerte müssen erhalten bleiben. Das ist ja der ganze Witz an der Sache II. Für den Funktionswert ganz links III. Der Funktionswert in der Mitte ist für IV. beide Funktionen gleich. V. Für den Funktionswert ganz rechts In diesem Abschnitt wird die Glattheit hergestellt VI. Die I. Ableitung in der Mitte muss für und gleich sein. (!) VII. Die II. Ableitung in der Mitte muss für und gleich sein. (!) Für das Intervallende gilt das Gleiche, wie für den Intervallanfang VIII. An der linken Intervallgrenze soll die zweite Ableitung verschwinden. Dort brauchen wir keine Krümmung mehr. Alle Forderungen an die Spline-Funktion wurden eingearbeitet Diese 8 Bedingungen lassen sich nun in Matrixform schreiben. Es wurde eine Bemerkung eingefügt, die kenntlich macht, aus welcher Zeile die Gleichung herrührt: ( ) ( ) ( ) ( ) Die numerischen Werte für unser spezielles Problem werden eingesetzt: ( ) ( ) ( ) ( ) Dieses Lineare Gleichungssystem geben wir den Jungs von der Linearen Gleichungsfront für ihre Computer. Die murren, weil wir wegen der Anschaulichkeit Zeilen vertauscht haben. Das ist eigentlich strengstens verboten. Aber dann machen sie es doch. 247

254 Sie schicken uns den Lösungsvektor wohlgeordnet zurück: ( ) ( ) Danach können wir die Werte in unsere kubische Funktion einsetzen: Wir erhielten also zwei Funktionsgleichungen zurück, die wir abschnittsweise auf die Intervalle anwenden müssen. auf das Intervall bis und auf das Intervall bis Die Splinefunktionen für und wurden zusammengesetzt. Im Bereich wird die erste Funktion angezeigt, im Bereich die zweite. Man mag sich verwundert fragen, wieso es denn zum Unterschwingen bzw. Überschwingen kommt, wenn doch der einfachste Fall angenommen wurde, nämlich dass eine kubische Funktion durch einen kubischen Spline angenähert wird. Das liegt an den Randbedingungen, die wir dem Verfahren auferlegt hatten. Dies sind die Randbedingungen des natürlichen Splines. Es ist das meistangewendete Verfahren und verlangt, dass die II. Ableitung am Rande 0 wird. Eine seltenere Randbedingung ist, dass die I. Ableitung der Splinefunktion der ersten Ableitung der Ursprungsfunktion entsprechen soll. Es gibt noch weitere. Obwohl es nicht so aussehen mag - weil wir als Beispielpunkt zufällig gerade die Hälfte des Intervalls genommen haben - ist das obige Beispiel für beliebige Wahl der Stützstelle ausgelegt. Setzt man die Randbedingung, dass die einzelnen Segmente gleiche Größen haben müssen, vereinfacht sich das Verfahren. Es gibt noch weitere Vereinfachungen des Verfahrens, wenn man Einschränkungen in Kauf nehmen mag. 248

255 Regressionsanalyse - Methode der kleinsten Quadrate Aus empirisch gewonnen Daten, sei es, dass sie aus einer statistischen Erhebung oder aus der Messreihe eines Experiments stammen, lassen sich nie exakte Werte ermitteln. Die gefundenen Werte sind immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet. Es gilt also, die wahrscheinlichsten Werte zu ermitteln. Die Punkte bilden im -Diagramm eine Datenwolke. Der wichtigste Schritt ist nun, aus der Form der Datenwolke auf eine bestimmte Funktionsklasse zu schließen. Scheint die Datenwolke sich um eine Gerade parallel zur -Achse zu ballen, dann ist anzunehmen, dass keine Abhängigkeit von irgendeinem Parameter besteht. Dann genügt es meist, dass man den arithmetischen Mittelwert bildet: Es werden alle Werte ermittelt, ihre Summe gebildet und durch die Anzahl an Werten dividiert: Diese Datenwolke lässt jedoch auf einen linearen Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variable (dem Regressor) und der abhängigen Variable (dem Regressanden) schließen. Dessen Funktionsgleichung gilt es so zu bestimmen, dass die wahrscheinlichste Gerade ermittelt wird. Meist benutzt man dazu die Methode der kleinsten Quadrate. Seien dies die betreffenden Daten. Wir haben bereits die Quadrate der und errechnet und eingefügt: Summen Damit können wir auch deren Mittelwerte errechnen: Wir bilden aus den o.g. Daten noch weitere Werte (gerundet): Summen 20,25 12,25 2,25 0,25 0,25 2,25 12, ,1 11,3 4,8 0,37-0,12 4,1 9,6 21,3 249

256 Jetzt haben wir alle Daten, um die Regressionsgerade zu bestimmen: Die Steigung : Das absolute Glied : Oder: ( ) Da weiß man schnell, welche Gleichung man lieber nimmt Die Ausgleichsgerade hat somit die Form: Der vertikale Abstand der Datenpunkte zu den entsprechenden Punkten der Ausgleichsgeraden bildet Abstandsquadrate. Dieses Verfahren minimiert deren Summe. Werte für die Güte der durchgeführten Regression sind: Standardabweichung (hier: 3,2) Varianz (hier: 10) Korrelationskoeffizient oder (hier: 0,95) Bestimmtheitsmaß oder (hier: 0,91) Polynomiale Ausgleichskurven Durch höhere Grade der Polynome lässt sich das Verfahren im Prinzip auf beliebige Kurvenformen erweitern. dann eine Parabel usw. beschreibt 250

257 Fourier-Reihenentwicklung zurück zur Themenübersicht Bisher haben wir numerische Näherungen für einzelne Punkte betrachtet (bspw. das Newton- Verfahren) oder einzelne Intervalle (bspw. die Newton-Interpolation), sind aber nicht über die einzelnen Intervallgrenzen hinausgegangen. Was passiert hinter den Intervallgrenzen mit der Funktion weiter? Wenn wir unendlich weitergehen? Da wir stets polynomiale Näherungen erhielten, ist die Antwort relativ einfach herzuleiten. Bei einer polynomialen Funktion ist die höchste, vorkommende Potenz für den Grenzwert gegen unendlich bestimmend. Die höchste Potenz erschlägt quasi das Verhalten der kleineren Potenzen immer. Nehmen wir als Beispiel die ganzrationale Funktion. Das Verhalten im Einzelnen ist dabei abhängig vom Vorzeichen und der Geradheit des höchsten Terms. Im positiven -Bereich geht die Funktion für positive Vorzeichen nach, für negative Vorzeichen nach Im negativen -Bereich geht die Funktion für positive Vorzeichen nach, für negative Vorzeichen nach Gerade Funktionen streben entweder nur nach oder nach, abhängig vom Vorzeichen des höchsten Terms. Periodische Funktionen wie und kamen bei numerischen Methoden nur insofern vor, als dass wir sie in der Nähe eines Punktes durch Polynome approximiert haben. Sie streben nicht nach Unendlich, sondern bewegen sich innerhalb einer Schranke: Periodische Vorgänge laufen meist in der Zeit ab. Deswegen wird in Formeln die unabhängige Variable üblicherweise durch ersetzt. Die Abszisse findet dann eine natürliche Teilung in Einheiten eines Vollwinkels von Eine Periode bzw. Periodenlänge ist dann Die Frequenz wird dann folgerichtig als Kreisfrequenz Omega angegeben. Dabei gilt: Die Frequenz ist der Kehrwert der Kehrwert der Periodendauer : Folgerichtig ist: 251

258 Eine Funktionsgleichung in vorgen. Symbolen lautet dann: Eine Winkelfunktion kann phasenverschoben werden. Die Funktion ändert sich dann auf: Ein positiver Wert von bewirkt dabei eine Verschiebung nach links, ein negativer eine Verschiebung nach rechts. Eine Frequenzerhöhung erfolgt bei Einfügen eines Faktors vor das : Eine Frequenzerniedrigung erfolgt bei Einfügen eines Faktors vor das : ( ) Die unabhängige Variable als zusätzlicher Faktor vor dem Sinusausdruck bewirkt, dass die Sinusfunktion der Funktion folgt. Folgerichtig würde sie bei entsprechend sinken. Bei der Berechnung bestimmter Integrale der Winkelfunktionen muss beachtet werden, dass die negativen, unterhalb der Achse liegenden Flächen negativ gewertet werden und somit bei einem Integral über einen vollen Bereich von die positiven Werte von oberhalb vollständig auslöschen. Im Intervall bis sind die best. Integrale von Sinus und Cosinus gleich

259 Es wird häufig gewünscht, dass die Sinus-Funktion vollständig oberhalb oder unterhalb der -Achse zu liegen kommt. Dann fügen wir ein absolutes Glied ein. Zusammen mit der Phasenverschiebung können wir dann unsere periodische Funktion beliebig in der Fläche verschieben. Bemerkungen über die Symmetrie von Sinus und Cosinus-Funktion: Die Cosinus-Funktion ist achsensymmetrisch. Die Sinus-Funktion ist punktsymmetrisch. Winkelfunktionen lassen sich überlagern. Links nur zwei Winkelfunktionen, rechts mehrere. Je mehr Funktionen überlagert werden, desto mehr kleinere Wellenzüge verschwinden und es bilden sich einzelne Signale heraus. Die Einzelfunktionen wurden dabei miteinander multipliziert. Nun werden die Einzelfunktionen zueinander addiert, gleichzeitig der Trick mit der Verschiebung durch das absolute Glied angewandt, damit wir immer im positiven Bereich bleiben. Das Ergebnis approximiert eine Art Sägezahnfunktion (blau angezeigt) 253

260 Fourier-Reihen Hiermit haben wir ein Analogon zu den Potenzreihen innerhalb der Winkelfunktionen gefunden: Reihen von Potenzen : I. Reihen von Winkelfunktionen: II. Für die Potenzreihen nach I. lässt sich das in einer Summationsformel angeben: Für die Winkelfunktionenreihen (WFRn) nach II. zu: So, wie (fast ) jede Funktion in einer Taylor-Reihenentwicklung approximiert werden kann, sollte auch (fast ) jede Funktion, die im Intervall zwischen 0 und periodisch ist, in einer WFR beliebig approximiert werden können. Seinerzeit ging Joseph Fourier ( ) sogar noch einen Schritt weiter. Er behauptete, dass nicht nur periodische Funktionen auf diese Art und Weise darstellbar seien, sondern jede Funktion. Dies war seinen Zeitgenossen jedoch etwas zu vollmundig und er wurde von den damaligen Mathematik-Größen dafür harsch kritisiert. Im Jahre 1876 fand man schließlich auch eine Funktion, auf die diese Aussage nicht zutrifft. Die Reihenentwicklung konvergierte eben nicht, sondern divergierte. Aber so, wie es nur wenige Funktionen gibt, die sich an einem Punkt nicht differenzieren lassen, gibt es auch nur wenige Funktionen, die sich dem Fourier-Verfahren verweigern. Sei es, wie es sei. Wir beschränken uns darauf, -periodische Funktionen zu behandeln. Man kann also eine -periodische Funktion durch entsprechende WFRn synthetisieren, dazu ist es aber notwendig, zu analysieren, welche WFRn mit welchen Koeffizienten zu benutzen sind. Der Bereich, in dem wir uns bewegen, ist immer breit. Konventionen für das Folgende, Normierung Sinnstiftend für das ganze Verfahren ist ja, dass wir alles in einem Intervall der Breite wollen. Nicht notwendigerweise von bis. Auch das Intervall ist breit. betrachten Ist die Periodenlänge größer oder kleiner als, dann können wir dies durch einen Streckfaktor für alle berücksichtigen. Nehmen wir an, ein Forscher betrachte elektrische Schwingungen mit einer Periode von 10 Millisekunden, dann wäre unser Streckfaktor: 254

261 Die Schwingungsbreite ist der Abstand zwischen unterer und oberer Schranke der periodischen Funktion. Im harmonischen Fall ist sie das Doppelte der Amplitude. Wir nennen ihren Streckfaktor Wären bspw. Schwingungen im Bereichπ -5 Volt und +35 Volt zu finden, wäre unsere Schwingungsbreite 40V. Wir wollen sie auf 1 normieren und setzen Unsere Funktion soll mit ihrer unteren Schranke immer auf der -Achse liegen, also definieren wir einen Verschiebungswert, so dass es passt. Eine eventuelle Phasenverschiebung am Nullpunkt berücksichtigen wir durch den Phasenverschiebungswinkel Damit können wir uns - ohne Beschränkung der Allgemeinheit - in allen denkbaren Fällen nur noch auf die Intervalle und konzentrieren. Bestimmung der Koeffizienten der Fourier-Reihe Bei den Taylor-Reihen haben wir uns der ersten Ableitung der Funktion bedient. Bei der Fourier- Reihe werden wir uns der Integrale über dem betrachteten Intervall widmen. Es sei eine Funktion bekannt, die wir in einzelne Glieder der WFR entwickeln wollen. Eines davon ist das absolute Glied. sei, dann lautet der Ansatz zur WFR: Gesucht: Die Beispielfunktion sei die Sägezahnfunktion: (für im Intervall [ ]) An den Stellen usw. ist eine Unstetigkeitsstelle, dort springt sie jeweils wieder auf 0 zurück. Bestimmung von : Wir wissen, dass sich das bestimmte Integral sowohl von Sinus als auch von Cosinus im Intervall zu 0 ergibt. Dies gilt dann auch für die einzelnen Glieder zusammen mit Koeffizienten. Wir rechnen dies an einen Beispiel vor: 255

262 Wir berechnen nun folgendes, bestimmtes Integral über das Intervall. Der Wert für Bestimmung der beträgt. Wir brauchen ihn fürderhin bis zum Schluss nicht mehr weiter. für die Sinusterme: In unserem Integral sind jetzt nur noch die Winkelfunktionen mit ihren Koeffizienten zu berechnen. Wir multiplizieren nun jedes Mal die Funktion innerhalb des Integrals mit. Die anderen Glieder außer dem jeweiligen bleiben damit weiterhin 0, weil eine Multiplikation mit 0 trotzdem immer 0 ergibt. Allgemein: Wir beginnen mit : Wir erhalten bei fortgesetzter Anwendung : Bestimmung der für die Cosinusterme: Wir wenden die gleiche Prozedur, diesmal mit Cosinus an: ( ) Wir erhalten bei fortgesetzter Anwendung: Wir stellen nun das Ergebnis zusammen: Die Gleichung liegt nur in Termen von Sinus vor, was zu erwarten war, weil galt. 256

263 Wir erkennen nun leicht die Form der zugrundeliegenden Reihe: Hier das Ergebnis der Approximation in 3 und in 10 Termen: War anfangs noch etwas überraschend, dass die approximierte Funktion nicht bei 0 startete, erkennt man bei höherer Approximation den Grund. Die Sprungstelle wandert immer näher zu den Nullstellen wird sie aber im Endlichen nie ganz erreichen. Die Dreiecksfunktion Sie lässt sich mit etwas cleverer Überlegung als definieren, so dass sie einfach in unser Normierungsraster [ ] [ ] passt. Mit gleicher Rechnung wie vorher erhalten wir: Daraus ergibt sich für die Reihe: (für ungerade, sonst 0) Schon die ersten drei ergeben eine sehr gute Approximation: 257

264 Die Rechteckfunktion Die Rechteckfunktion ist eine Treppenfunktion. Sie besitzt Sprungstellen, ist daher abschnittsweise definiert. Hier ist die Teilung genau in der Mitte, darf aber beliebig im Intervall liegen. Die Rechteckbreite (das Signal) kann damit beliebig variiert werden. In der Digitaltechnik ist sie die Brot- und Butterfunktion. Der untere Pegel (bspw. 0 Volt) kennzeichnet dann die logische Null, der obere Pegel (bspw. 5 Volt) kennzeichnet dann die logische Eins. Definition: { } Die einzige, logische Herausforderung ist: Wie packt man das in eine einzelne Funktionsgleichung? Wir benötigen für unsere Koeffizientensuche das bestimmte Integral der Funktion. Das ist eine Zahl, keine Funktion. Das Integral ist ja der Flächeninhalt unter dem Funktionswert. Wäre die Funktion überall gleich 1, dann wäre unser Integral gleich. Hier ist es nur zur Hälfte gefüllt, also Wer es etwas dramatischer möchte: [ ] [ ] Bestimmung von : Das wird später als: in die Funktionsgleichung eingehen. Bestimmung der für die Sinusterme: Wir bestimmen nur die Integrale von bis, weil die Integrale von bis sowieso sind. Für das Integral erhalten wir: Alle geradzahligen Integrale verschwinden! Bestimmung der für die Cosinusterme: Alle Terme mit Cosinus verschwinden. 258

265 Die Funktionsgleichung kann man in Reihenform schreiben: Das Glied sorgt dafür, dass der Zähler bei geradzahligen verschwindet und bei ungeradzahligen 2 wird. Erklärung des Verhaltens der Integrale Zuerst einmal halten wir fest, dass unsere Rechteckfunktion punktsymmetrisch ist. Die Sinusfunktion ist ebenfalls punktsymmetrisch, die Cosinusfunktion achsensymmetrisch. Warum verschwinden die geraden Sinusterme? Alle geraden Sinusfunktionen löschen sich gegenseitig aus. Bei ungeraden bleibt ein positiver Rest. Warum verschwinden alle Cosinusterme? Da die Cosinusfunktion achsensymmetrisch ist, besitzt sie immer gleich viele positive wie negative Flächen im Intervall. Diese eigentlich einfachen Zusammenhänge stecken z.b. tief in den Begründungen der Quantenmechanik drin. 259

266 Fourierreihen und Exponentialfunktionen Über die: Eulersche Identität lässt sich jede Fourierreihe anstelle durch Winkelfunktionen auch als Reihe von Exponentialfunktionen darstellen. Dabei gibt es eine Korrelation zwischen dem reellen Teil des Exponenten und der Cosinus-Funktion auf der einen Seite und der Sinus-Funktion und dem imaginären Teil des Exponenten auf der anderen Seite. Die zu findenden Approximationsfunktionen finden sich dabei in den Funktionen: Anstelle der und sind dann nach folgender Formel zu finden: Die entsprechend gefundenen Konstanten ergeben einen reellen Term, falls die Bedingung erfüllt ist, dass die entsprechende Konstante gleich ihrem konjugiert komplexen Pendant ist: Wir vergleichen die drei Formeln: und stellen fest, dass der Exponentialterm sich nur durch einen Faktor von von den Winkelfunktionstermen unterscheidet. Folgerichtig gilt: Beispiel: ( ) ( ) ( ) 260

267 Laplace-Transformationen durchführen zurück zur Themenübersicht Eine beliebte Methode, um DGLn mit Anfangswertbedingung zu lösen, besteht in der Methode der Laplace-Transformationen. Die zu lösende DGL wird dabei in drei Schritten bearbeitet. 1. Das zu lösende Problem liegt im Originalbereich. Die DGL wird der Laplace-Transformation unterworfen. Dies geschieht nach bestimmten Regeln, die im Nachfolgenden erläutert werden. Dann haben wir sie in den Bildbereich transformiert. 2. Aus Schritt 1. hat sich dann im Bildbereich eine algebraische Gleichung ergeben. Diese wird dort nach dem gesuchten Wert - üblicherweise - gelöst. 3. Die erhaltene Lösung wird der Inversen Laplace-Transformation unterworfen. Damit wird sie vom Bildbereich wieder zurück in den Originalbereich transformiert. Man erhält als Lösung. Laplace-Transformation des Problems durchführen Problem im Bildbereich lösen Inverse Laplace-Transf. anwenden: f t L{f t L{f t g s L 1 {g s f t Notation: Die Variable wird üblicherweise genannt. Auch verwendet man nicht, sondern kennzeichnet den Laplace-transformierten Ausdruck. dessen Inverses. Laplace-Transformation eines Ausdrucks Wir wollen die konstante Funktion in den Bildbereich transformieren. Dies geschieht, indem wir das uneigentliche Integral der e-funktion von 0 bis Unendlich wie folgt bilden: { Es wurde eine neue Variable eingeführt. Diese Variable im Bildbereich entspricht der Variablen, mit der wir normalerweise arbeiten. Wir verfahren mit ihr genauso, wie sonst mit. Das -Funktion konvergiert sehr rasch gegen 0: Sein Integral lässt sich berechnen: [ ] [ ] [ ] 261

268 Wir haben unsere erste Laplace-Transformierte gefunden. Die Laplace-Transformierte von ist Damit wollen wir es auch genug sein lassen, die weiteren Transformationen entnehmen wir Tabellen: Originalfunktion Bildfunktion { Wir führen jetzt keine Operation am Ergebnis aus, sondern wollen sehen, wie man zurücktransformiert. Dann muss ja die Originalfunktion wieder herauskommen. Umkehren der Laplace-Transformation eines Ausdrucks Wir haben { zurückschließen. erhalten. Jetzt müssen wir von auf unsere Originalfunktion Dazu suchen wir in der rechten Spalte der Tabelle den entsprechenden Ausdruck heraus und finden den Ausdruck. { }. Allgemein geschrieben: { { } { Wie, das war alles? Hier schon. Die Ausdrücke können aber auch schnell schwieriger werden, dann wird man sich etwas mehr anstrengen müssen. Außerdem haben wir ja sonst keine Operationen durchgeführt. Das werden wir aber bald tun. Vorher müssen wir uns aber noch die Eigenschaften der Laplace-Transformation ansehen, damit wir ihre Rechenregeln kennenlernen. 262

269 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Rechenregeln) Als Vorbemerkung sei gesagt, dass bei der Transformation eigentlich reelle Werte in komplexe Werte transformiert werden. Diese werden bei den Rechnungen dann aber als Konstanten betrachtet. Da ist es dann egal. Die Rechengesetze besitzen aber deswegen teilweise eine etwas andere Form, als im Reellen. Zum Schluss wird wieder ins Reelle zurücktransformiert. Definitionsbereich für alle Laplace-Transformationen ist! Linearität Die Laplace-Transformationen (LPTn) sind linear. (Im Folgenden werden evtl. Konstanten > 0 vorausgesetzt) Damit ist gewährleistet, dass bei der Addition das Kommutativgesetz gilt: { { { { Wir dürfen beliebig Konstanten ausklammern oder einfügen: { { Das Assoziativgesetz gilt: { { { Zeit für ein Beispiel: Beispiel:, gesucht: { Wir suchen aus der Tabelle den Wert für und setzen ein: Wir suchen aus der Tabelle den Wert für und setzen ein: Vereinfachen: Der 1. Verschiebungssatz (Dämpfungssatz) Dieser Satz besagt Folgendes: Hat eine Funktion im Originalbereich ihre Entsprechung als im Bildbereich und wird sie im Originalbereich mit multipliziert, dann wird das im Bildbereich durch Addition einer Konstanten berücksichtigt: { { Solche Vorgänge treten in der Regelungs- und Elektrotechnik sehr häufig auf. Dort findet man auch folgerichtig das Haupt-Einsatzgebiet für Laplace-Transformationen. 263

270 Beispiel:, gesucht: { Wir suchen aus der Tabelle den Wert für und setzen ein: Wir wenden den 1. Verschiebungssatz an und ersetzen durch Der 2. Verschiebungssatz (Verschiebung) Dieser Satz besagt Folgendes: Wird eine Funktion im Originalbereich um einen konstanten Betrag nach rechts verschoben, dann wird das im Bildbereich durch Multiplikation mit { { Was dabei geschieht, soll beispielhaft dargestellt werden. berücksichtigt: Die Originalfunktion wird korrekt verschoben. Danach werden aber nur noch Nullwerte nachgezogen. Das ist kein Bug, sondern ein Feature. Die LPT ist ja nur für definiert. Für Ereignisse vor dem Zeitpunkt liegen keinerlei Informationen vor. Folgerichtig wird vor dem Einschaltpunkt alles auf gesetzt. 10 ϑ (t 1) sin (8t 8) Beispiel:, gesucht: { Wir suchen aus der Tabelle den Wert für und setzen ein: Wir wenden den 2. Verschiebungssatz an { Skalierung (Ähnlichkeit) Wird das Innere einer Funktion im Originalbereich mit einen konstanten Faktor a multipliziert, dann wird das im Bildbereich durch Multiplikation mit dem Kehrwert folgendermaßen berücksichtigt: (Wurde z.b. bei schon angewendet) { { ( ) 264

271 Multiplikations- und Divisionssatz Hier kommen zum ersten Male Ableitungen und Integrale sichtbar ins Spiel. Multiplikationssatz: { { Beispiel:, gesucht: { Für gilt: { } Wir suchen nun das Negative der ersten Ableit.: Die Ableitung von ist Entsprechend: ( ) Divisionssatz: { { } Beispiel:, gesucht: { Wir suchen aus der Tabelle den Wert für und setzen ein: Wir integrieren [ ] Wir berechnen über die Integralgrenzen: [ ] Ergebnis: Hier noch eine Graphik der Originalfunktion zusammen mit der Bildfunktion: Anmerkung: Eine einschränkende Bedingung existiert in beiden Fällen dergestalt, dass der Grenzwert der Funktion von rechts gegen 0, also existieren muss. 265

272 Ableitung und Integral Beide sind einfach zu formulieren. Ableitung: { { Beispiel:, gesucht: { Die Gültigkeit der o.g. Regel wollen wir folgendermaßen überprüfen: Der Cosinus wird ja zu - Sinus abgeleitet. Wenden wir die Regel an, müssten wir auf das Negative der LPT des Sinus kommen Die LPT des Cosinus ist ; Umformen: Klammer auflösen: Integral: { { } Beispiel:, gesucht: {, jetzt müsste herauskommen Die LPT des Cosinus ist ; Umformen: Das ist aber genau die LPT des Sinus Faltung Die sog. Faltung ist das Äquivalent der Kettenregel von Ableitungen und Integralen. Nur wird sie hier nicht komplizierter als bei diesen, sondern erfreulicherweise einfacher: { { { { Besonders nützlich erweist sie sich bei der Rücktransformation, also beim Bilden von { 266

273 Beispiele für Rücktransformationen Beispiel 1: Sei {, gesucht wird { Rücktransformation über Integral Wir spalten den Ausdruck auf: Aus der Tabelle entnehmen wir für : { } Für lesen wir ab: { } Wir bilden das Integral von 0 bis t des Produkts: Es erweist sich als: ( ) Nach einigen trigonometrischen Umformungstricks erhält man daraus: Wir bilden das bestimmte Integral: [ ] [ ] Endlich: Beispiel 2: Sei {, gesucht wird { Rücktransformation über Tabelle Wir vereinfachen den Nenner: Ein ähnlicher Ausdruck ist in der Tabelle nicht zu finden. Wir führen eine Partialbruchzerlegung durch: Wir ziehen die Zahlen vor die Brüche: Jeder einzelne Bruch mit kann in der Tabelle identifiziert werden: { } { } { } Zusammenfügen der Teile: 267

274 Lösen von DGLn mittels Laplace-Transformation, Beispiele Lösen einer homogenen DGL I. Ordnung mit LPT Konventionelle Schreibweise:. Es handelt sich um ein Anfangswertproblem: 1 Wir wenden die LPT auf beide Seiten an: { { 2 Wir machen Gebrauch von der Linearität: { { { 3 Wir entnehmen der Tabelle die LPT von { : { { 4 { { 5 0 ist eine Konstante. { 6 kennen wir schon und setzen ein: 7 Ausklammern und 3 addieren: 8 Durch dividieren: 9 Wir haben isoliert. Die Berechnung im Bildbereich ist nun komplett: 10 Wir bereiten uns auf die Rücktransformation vor: 11 Die Rücktransformation lautet: { 12 Wir setzen ein: { } { } 13 Der Tabelle entnehmen wir: { } 14 Die DGL ist gelöst. Dadurch, dass wir im Bildbereich die Anfangsbedingung einsetzen konnten, haben wir gleich das komplette Ergebnis und brauchen nicht mehr nach einem zu suchen. 268

275 Lösen einer inhomogenen DGL I. Ordnung mit LPT Konventionelle Schreibweise:. Es handelt sich um ein Anfangswertproblem: 1 Wir wenden die LPT auf beide Seiten an: { { } 2 Wir machen Gebrauch von der Linearität: { { { } 3 Wir entnehmen der Tabelle die LPT von { : { { } 4 { { } 5 Wir entnehmen aus der Tabelle. { 6 kennen wir schon und setzen ein: 7 Ausklammern: 8 Durch dividieren: 9 Wir haben isoliert. Die Berechnung im Bildbereich ist nun komplett: 10 Wir bereiten uns auf die Rücktransformation vor: 11 Die Rücktransformation lautet: { 12 Wir setzen ein und klammern 2 direkt aus: { } Das Problem ist jetzt, den erhaltenen Ausdruck für so umzuformen, dass man Ausdrücke erhält, die man mit denen aus der Tabelle identifizieren kann. Das Problem ist: Dort finden wir nichts Passendes! Wir greifen in die Trickkiste und führen eine Partialbruchzerlegung durch. Zuerst vereinfachen wir den Nenner Wir zerlegen: Mit diesen Ausdrücken können wir etwas anfangen. 13 finden wir in ähnlicher Form in: { mit gleicher Überlegung: finden wir in { finden wir in { Nicht vergessend, dass wir 2 ausgeklammert haben, erhalten wir: 14 Die DGL ist gelöst. Dadurch, dass wir im Bildbereich die Anfangsbedingung einsetzen konnten, haben wir gleich das komplette Ergebnis und brauchen nicht mehr nach einem zu suchen. Dreh- und Angelpunkt war es dann, die Rücktransformation geschickt anzugehen! 269

276 Wir wollen nun eine homogene DGL II. Ordnung mittels LPT lösen: Bisher lösten wir so etwas in folgender Weise: Wir suchten eine Lösung in und Wir kamen auf ein charakteristisches Gleichungssystem Erhielten als Lösung: Dann suchten wir lange nach den Werten für und Wir fanden nach langer Suche Jetzt versuchen wir es mit einer LPT Lösen einer homogenen DGL II. Ordnung mit LPT Konventionelle Schreibweise: Es handelt sich um ein Anfangswertproblem. 1 Wir wenden die LPT auf beide Seiten an: { { 2 Wir machen Gebrauch von der Linearität: { { { { 3 Die Werte für kennen wir bereits: { ( ) Jetzt benötigen wir noch einen Term für die II. Ableitung. Diesen leiten wir separat her: Die zweite Ableitung wird ja dadurch gebildet, dass man die I. Ableitung nochmals ableitet. Wir substituieren ( ) und bilden von ihr die I. Ableitung. war aber gerade die I. Ableitung von. Darum kann man setzen: Formel für die I. Ableitung: ( ) Neue Namen geben: { { { ist gleich { { Wir können die Ausdrücke wieder vereinigen, d.h. in Nr. 3 einsetzen: 4 In Nr.3 einsetzen: 5 Klammern auflösen: 6 ; ordnen: 7 : 8 ausklammern: ( ) 9 Durch ( ) dividieren: Wir haben isolieren können. Kein solcher Eintrag in der Tabelle. Partialbruchzerlegung durchführen: 10 Daraus folgt lt. Tabelle: 11 Herleitung: ; Die Isolierung von war aufwändig. Außerdem musste man eine Partialbruchzerlegung durchführen. 270

277 Zusammenfassung Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, die - ausgehend vom uneigentlichen Integral - eine reelle Funktion in den komplexen Bildbereich überführt. Im Originalbereich ist die Variable reell:. Im Bildbereich wird die Variable komplex: wird aber dort wie eine gewöhnliche, reelle Variable behandelt. Der Übergang von nach ist die eigentliche Laplace-Transformation: { Dieser Vorgang kann auch mittels Symbolen nach DIN 5487 beschrieben werden. { ist gleichbedeutend mit: Die Funktion wird im Bildbereich als gewöhnliche, algebraische Funktion behandelt. Die Terme der Ursprungsfunktion werden mithilfe von Transformations-Tabellen in Terme der Bildfunktion umgewandelt. Die zusammengehörenden Paare von Originalfunktionen und Bildfunktionen nennt man auch Korrespondenzen. Im Bildbereich wird die algebraische Gleichung aus Termen von und solange umgeformt, bis alleine auf einer Seite steht. Die Terme von werden dann so geordnet, dass sie Termen aus den Korrespondenzen entsprechen. Dieser Vorgang wird solange ausgeführt, bis alle Terme von durch Terme von ersetzt sind. Diesen Vorgang nennt man Rücktransformation oder Inverse Laplace- Transformation: {. Auch für ihn gibt es ein Symbol nach DIN 5487: Die Laplace-Transformation dient zum Rechnen im Komplexen mit reellen Werten. Ihre Anwendung auf Differentialgleichungen ist somit nur ein Teilbereich. DGLn müssen beim Rechnen mit Laplace-Transformationen nicht explizit auftreten. Sie können aber zur Lösung von DGLn verwendet werden. Es lassen sich - mit den üblichen Einschränkungen in Bezug auf Lösbarkeit - mit ihnen sowohl homogene, als auch inhomogene DGLn beliebiger Ordnung lösen. Für die Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen sind sie höchstens nach einer Linearisierung des Problems geeignet. Besondere Vorteile bieten sie bei der Behandlung von Anfangswert- bzw. Randwertproblemen, weil diese Anfangswertbedingungen im Bildbereich schon in die spätere Lösung eingebaut werden können und nicht mehr zu einem späteren Zeitpunkt in einem separaten Arbeitsschritt behandelt werden müssen. 271

278 Näherungsverfahren für DGLn: Euler- und Runge-Kutta-Verfahren zurück zur Themenübersicht Manche DGLn weigern sich beharrlich, gelöst zu werden. Vielfach sind sie elementar gar nicht lösbar - was sich, wenn sie einfach sind, dann meist beweisen lässt - oder sie sind so kompliziert und verwickelt, dass sie sich vielleicht lösen lassen, es sich aber nicht lohnt, endlos nach einer analytischen Lösung zu suchen, die es vielleicht gar nicht gibt. Insbesondere Ingenieure sind an einer Lösung interessiert und nicht an einem aufwendigen Weg dorthin. Dann sind numerische Näherungsverfahren angesagt, die mit einer Näherungsmethode wenigstens ein brauchbares Bild der Lösung angeben. Wir gehen die Sache handfest an und fragen uns, was wir denn für die numerische Lösung einer DGL oder eines Systems solcher zur Verfügung haben: Das Problem selbst. Es besteht aus einer oder mehreren DGLn. Diese müssen wir ja kennen, weil es keine Lösung ohne ein Problem gibt. Mindestens einen numerischen Wert. Ein numerisches Verfahren ohne eine Zahl (eine Nummer) macht auch nicht wirklich Sinn. Aus dem Vorgenannten ergibt sich, dass solche Probleme automatisch Anfangswertprobleme sind, denn ohne nicht auch nur wenigstens einen Funktionswert zu besitzen, braucht man gar nicht erst anzufangen. Die vorgenannten Bedingungen können wir für ein Beispiel leicht erfüllen. Die betr. DGL sei. Sie ist nachweisbar nicht elementar-analytisch lösbar. Einen Anfangswert können wir uns auch leicht ausdenken, sagen wir. Die Wahl des Anfangswertes hat eigentlich keine größere Bedeutung. Es könnte höchstens passieren, dass die Funktion dafür gar nicht definiert ist, oder dass gerade dieser Punkt für mehrere Lösungen der DGL zutrifft. Bei einer DGL I. Ordnung wird das zwar nicht der Fall sein, aber egal: Dann haben wir halt Pech gehabt und suchen einen neuen. Gerne wird bei Anfangswertaufgaben der Punkt angegeben. Das hat keine Bedeutung. Eine Angabe zu ist genauso eine Anfangswertangabe. Wie kann ein Näherungsverfahren mit diesen Angaben weiterkommen? Betrachten wir uns die Beispielfunktion genauer. Die linke Seite ist vollkommen nichtssagend. Sie passt ja auf jedes Problem. Eine DGL ohne Differential macht ja auch keinen rechten Sinn. Darum muss ein Näherungsverfahren notwendigerweise an der rechten Seite der DGL ansetzen, die ja unser spezielles Problem beschreibt. Damit wird die Situation klarer: Das Näherungsverfahren muss sich vom Anfangswert zu einem nächsten Wert irgendwie durchhangeln, von dort aus zum nächsten usw. Das sollte aber natürlich möglichst geschickt durchgeführt werden. Das erste solche Verfahren war das Euler-Verfahren, das zwar im Prinzip funktioniert, heutzutage in der Praxis aber nur noch historische Bedeutung besitzt, weil es nicht genau genug ist. In der Lehre ist es aber unerlässlich. Unzählige Verfahren wurden seitdem ersonnen, um speziellen Anforderungen gerecht zu werden. Im Prinzip genügt es, nur noch eine weitere, einzelne Methode zu kennen: Das Runge-Kutta-Verfahren (RKV) 4. Ordnung. Dieses ist praktisch Industriestandard. 272

279 Das Euler-Verfahren (Polygonzugverfahren) Aus dem Vorgenannten ergibt sich, dass man aus dem spärlichen Wissen über die Funktion das Beste machen muss. Von diesen Voraussetzungen leitete Euler die folgenden Überlegungen ab: Wir haben ein - fast - leeres Koordinatensystem mit nur einem Startwert darin. Nur der Bequemlichkeit halber legen wir diesen auf die -Achse. Er könnte überall liegen. Sei der Startwert und irgendeine DGL gegeben, bspw. Dann gehört der Funktionswert ja zu beiden Seiten der DGL. Er muss erfüllen:, was einfach ist. Die erste Ableitung der Funktion ist gleich 2, also die Steigung der Funktion an der Stelle Dann wird es aber haarig. Es müsste ja dann auch gelten: Da bekommen wir aber scheinbar Schwierigkeiten: Der Term ist ja immer 0, somit kann diese Gleichung auch scheinbar nie erfüllt werden. Wir müssen hier anders denken: Zwar hat die Funktion hier tatsächlich eine Polstelle, womit sie an dieser Stelle auch nicht definiert ist. In ihrer infinitesimalen Umgebung jedoch wird es für die o.g. Gleichung eine Lösung geben, d.h. dass der Grenzwert existiert. Falls nicht, wäre die Funktion nicht ausreichend differenzierbar und wir müssten sowieso einpacken. Wir können das also ignorieren. Wir zeichnen das Koordinatensystem samt Steigungsgerade in der Umgebung von auf: Die Idee ist jetzt folgende: Gehe ein kleines Stück (Schrittweite ) nach rechts. Berechne dort einen neuen Funktionswert für nach der rechten Seite der DGL. Dieser gibt ja wiederum gleichzeitig die Steigung an diesem neuen Punkt an. Das nimmt man als neuen Startwert und geht wiederum genauso vor. Wiederholt man diese Prozedur mit genügend kleinen und genügend vielen Schritten, hat man zwar die DGL immer noch nicht gelöst, wenn man die Punkte jedoch miteinander verbindet, bekommt man ein genügend genaues Bild der Lösungsfunktion. Grundsätzlich sind möglichst kleine Schrittweiten für die Güte der Approximation nützlich. Dadurch steigt natürlich der Rechenaufwand. Das ist heutzutage für elektronische Rechner kein Problem mehr. Zu Eulers Zeiten ( ), als man alles von Hand rechnen musste, war das jedoch ein großes Hindernis. Eine Genauigkeit von nur 4 signifikanten Stellen ist schon eine Untergrenze und Rundungsfehler machen das Verfahren mit jedem Folgeschritt immer ungenauer. 273

280 Praktische Durchführung des Euler-Verfahrens Sei eine DGL mit einem Term in und einem solchen in, bspw.: Dann besitzt man hierzu Startwerte Man legt eine gewünschte Schrittweise fest, bspw., bspw. Das Euler-Verfahren kennt nur einen Term, der zuerst aus den Startwerten berechnet wird: Schritt 1: ( ) ( ) Schritt 2: Jetzt ist Gleiche Formel wie vor anwenden Schritt 3: Jetzt ist Gleiche Formel wie vor anwenden und so geht es weiter, bis man das gewünschte Intervallende erreicht hat. Das schreit geradezu danach, automatisiert zu werden, und schnell ist auch eine Tabellenkalkulation dafür in Excel geschrieben: Euler-Verfahren(Polygonzugverfahren) Schrittweite: h= 0,1 DGL: f(x)= 1 - y * x Gewichtungsfunktion: Startwert: x0= 0 Startwert y0= 2 Keine x0 y0 n= x0:=anf.wert 0 y0:= -> Anfangswert 2 0 x1:=x0+h 0,1 y1:=y(0)+h*f(x0; y(0)) 2,1 n= xn:= 0,1 y1:= 2,1 1 x(n+1):=x(n)+h 0,2 y(n+1):=y(n)+h*f(x(n); y(n)) 2,179 n= xn:= 0,2 y1:= 2,179 2 x(n+1):=x(n)+h 0,3 y(n+1):=y(n)+h*f(x(n); y(n)) 2,23542 Von der kantigen Form, die man in größerer Auflösung erkennen kann, kommt die Bezeichnung Polygonzugverfahren. Eine viel höhere Güte der Approximation erzielt das nachstehend beschriebene Runge-Kutta-Verfahren. 274

281 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (4. Ordnung) Sei (wie vor) eine DGL mit einem Term in und einem solchen in Dann besitzt man hierzu Startwerte, bspw. (neu). Man legt eine gewünschte Schrittweise fest, bspw. Das klassische RKV kennt dann 4 Terme, die zuerst aus den Ausgangswerten berechnet werden: ( ) ( ) Aus diesen 4 Termen wird der nächstfolgende Startwert nach folgender Vorschrift gebildet: ; ( ) Diese und werden als neue Startwerte eingesetzt und die Schleife so oft durchlaufen, bis man das vorher festgelegte Intervallende erreicht hat. Seien es Werte bis zum Intervallende, dann bilden die Paare [ ] die -Koordinaten des Graphen der genäherten Lösungsfunktion. Wie berechnet man eigentlich Bsp.:? Aus der rechten Seite der vorgegebenen DGL! Oder bspw.: ( ) ( ) Natürlich macht man dies am besten mit einer Tabellenkalkulation wie Excel: Runge-Kutta-Verfahren 4.Ordnung Schrittweite: h= 0,1 DGL: f(x)= 1 - y * x Gewichtungsfunktion: Startwert: x0= 0 Startwert y0= 1 rkg=rkgesamt=(1/6)*rk1+(1/3)*rk2+(1/3)*rk3+(1/6)*rk4 x0 y0 n= x0:=anf.wert 0 y0:= -> Anfangswert 1 rk1=f(x0,y0) 1 0 x0:=x0+h/2= 0,05 y0:=y0+(h/2)*rk1= 1,05 rk2=f(x0+h/2,y0+(h/2)*rk1 0,9475 x0:=x0+h/2= 0,05 y0:=y0+(h/2)*rk2= 1, rk3=f(x0+h/2,y0+(h/2)*rk2 0, x0:=x0+h= 0,1 y0:=y0+(h)*rk3= 1, rk4=f(x0+h/2,y0+(h/2)*rk3 0, rkg= 0, x1:=x0+h 0,1 y1:=y(0)+h*k 1, n= xn:= 0,1 y1:= 1, rk1=f(xn,y1) 0, xn:=xn+h/2= 0,15 y1:=y1+(h/2)*rk1= 1, rk2=f(xn+h/2,y1+(h/2)*rk1 0, xn:=xn+h/2= 0,15 y1:=y1+(h/2)*rk2= 1, rk3=f(xn+h/2,y1+(h/2)*rk2 0, xn:=xn+h= 0,2 y1:=y1+(h)*rk3= 1, rk4=f(xn+h/2,y1+(h/2)*rk3 0, rkg= 0, xn:=x(n-1)+h 0,2 yn:=y(n-)+h*k 1,

282 Wie kann man nun prüfen, ob die vorgestellten Verfahren tatsächlich die gewünschte Lösung approximieren und wie hoch der zu erwartende Fehler ist? Indem man sie an DGLn prüft, von denen die exakte Lösung bekannt ist. Die DGL ist Die bekannte Lösung ist 2000 Einfluss der Schrittweite auf die Güte der Approximation, bzw. den Fehler. Exakte Lösung 1500 Das Intervall läuft von 0 bis 4. Die Schrittweite von 1 ist noch äußerst krude. Bei einer Schrittweite von 0,001 ist kein Unterschied mehr erkennbar. Allerdings ist der Rechenaufwand dann auch 1.000mal so hoch. h.025 h h Euler h 1 0 Einfluss des Verfahrens auf die Güte der Approximation, bzw. den Fehler Die Verbesserung durch das Runge-KuttaVerfahren ist atemberaubend. Schon bei einer Schrittweite von 1 ist die Approximation so gut, dass sie von der exakten Lösung mit dem bloßen Auge kaum zu unterscheiden ist. Der Unterschied zum Euler-Verfahren ist gewaltig Runge Kutta h 1 Euler 1000 h.1 Euler 500 h Das Euler-Verfahren ist ein Einschrittverfahren, was bedeutet, dass nur eine Zwischenrechnung notwendig ist. Folgerichtig ist das klassische Runge-Kutta-Verfahren ein vierstufiges, es können jedoch Schritte weggelassen werden, was dann jedoch zulasten der Genauigkeit geht. Allgemein kann man sagen, dass einschrittige Verfahren die Taylor-Reihenentwicklung nur im ersten Glied auswerten, vierstufige Verfahren jedoch bis einschließlich des vierten Gliedes. Beides sind explizite Verfahren. Das bedeutet, dass von einem errechneten Wert direkt zum nächsten weitergegangen werden kann. Bei impliziten Verfahren - solche können sowohl für Euler als auch für Runge-Kutta gebildet werden - müssen dagegen nach den eigentlichen Schritten i.d.r. noch aufwändig LGLS gelöst werden. Sie versprechen - pro Schritt - jedoch eine höhere Genauigkeit. Hier endet der Teil über Numerische Verfahren Es folgt der Anhang mit Hilfen aus dem Internet, Tipps zum Programmieren etc. 276

283 Anhang zurück zur Themenübersicht Mathematische Lösungen im Internet Differentialrechnung Für die Bildung von Ableitungen gibt es im Internet eine praktisch unschlagbare Adresse: (DE) bzw. (EN) Man gibt eine Funktion ein und erhält sofort das Ergebnis: Der Clou an der Sache ist: Man kann sich auch die gesamte Herleitung incl. der benutzten Rechenregeln anzeigen lassen. Außerdem können die Nullstellen angezeigt werden, der Graph von Funktion und Ableitung wird gezeichnet und kann manipuliert werden, es können die Funktionswerte einzeln berechnet werden etc. Das alles noch kostenlos. Kurzum: Die Empfehlung der Redaktion 277

284 Hier ein Teil des Rechenweges mit Angabe der gerade verwendetenableitungsregel: Integralrechnung Von der gleichen Gruppe kommt auch ein Rechner für Integrale: (DE) (EN) Er berechnet unbestimmte sowie bestimmte und sogar uneigentliche Integrale. Ansonsten besitzt er den gleichen, großen Funktionsumfang wie der Differentialrechner. 278

285 Differentialgleichungen Ein sehr gutes Programm, um Differentialgleichungen zu lösen, wird angeboten unter: Es ist ebenfalls kostenlos und bietet außer der Lösung auch den Lösungsweg an (Englisch): 279

286 Lineare Gleichungssysteme Hier gibt es mehrere Lösungen im Internet. Eine der besten, weil flexibelsten, findet man unter: Man hat die Wahl zwischen verschiedenen Eingabemethoden: Konventionell als System untereinandergeschriebener Gleichungen, streng in Matrixform oder mit einer Eingabemaske: Die Lösung wird angezeigt: Wie fast alle Programme dieser Art akzeptiert es kein Dezimalkomma, sondern besteht auf Dezimalpunkten. An Sprachen wird zwar Slowenisch und Katalanisch angeboten, jedoch kein Deutsch. 280

287 Allzweckprogramme im Internet Da kommt natürlich niemand vorbei an: Es bietet einen reduzierten Funktionsumfang des Computeralgebrasystems (CAS) Mathematica an. Aber selbst der reduzierte Funktionsumfang ist noch beeindruckend. Außerdem kann man auch Wissensdatenbanken für andere Gebiete, wie Physik und Chemie nutzen. In der Grundversion ist es kostenlos, für ca. 6$/Monat kann man einen erweiterten Funktionsumfang mieten, der u.a. für bestimmte Berechnungen auch den Lösungsweg anzeigt. Die Bedienung geschieht ausschließlich in Englisch. Das System versucht, mittels einer Art Künstlicher Intelligenz, auch umgangssprachlich formulierte Probleme zu lösen und allfällige Fehleingaben abzufangen. Das funktioniert mal so, mal so. Jedenfalls nur auf Englisch. Die besten Resultate erzielt man, wenn man sich der Syntax und Semantik von Mathematica bedient, das ja auch hinter der Weboberfläche steckt. Hier sei auf die spätere Beschreibung von Mathematica verwiesen, die diese Syntax darstellt. Beim Aufruf erhält man eine Eingabemaske, in der man das Problem eingibt. Als spezielle App für Smartphones ist es auch erhältlich. Ein Beispiel: Gleiche DGL wie bei symbolab, man erhält die gleiche Lösung. Zahlende Kundschaft erhält auch den Lösungsweg, sogar nach zwei verschiedenen Methoden: 281

288 Computeralgebrasysteme (CAS) Die Altmeister Newton, Euler und Gauß hätten sich wohl nie träumen lassen, dass es Maschinen geben würde, die Geistesleistungen wie das symbolische Lösen von Differentialgleichungen beherrschen würden. Wir reden hier nicht von numerischen Verfahren - Rechenmaschinen konnte man sich schon gut vorstellen - sondern von der Möglichkeit, aus einer symbolischen DGL wie [ ] [ ] [ ] die symbolische Lösung [ ] [ ] [ ] zu gewinnen. Solche Computeralgebrasysteme sind heutzutage weit entwickelt. Der Platzhirsch heißt hier Mathematica, obwohl es auch eine Reihe weiterer, guter CAS gibt. Allen gemeinsam ist aber, dass es für ihre Bedienung einen hohen Lernaufwand gibt und penibelste Arbeitsweise vonnöten ist. Das kleinste verrutschte Komma, eine nicht oder falsch gesetzte Klammer machen die ganze Anstrengung zunichte. Der Anfänger will darüber schier verzweifeln, weswegen wir für Mathematica hier einige Handreichungen darbringen wollen. Wir beschränken uns dabei auf Funktionen und den Umfang dieses Tutorials. Der erste Schritt wird meist sein, die gewünschte Funktion zu definieren und Randbedingungen wie die Grenzen eines späteren Funktionenplots festzulegen: Man beachte: Die rot hervorgehobenen Zahlen sind solche, die der Benutzer häufig verändern will, wie die späteren Diagrammgrenzen oder die Schrittweite einer Tabelle zur Ausgabe der Funktionswerte, bzw. die Grenzen für ein bestimmtes Integral. Ein Semikolon am Ende einer Zeile bedeutet, dass das Programm die Berechnungen oder Festlegung von Werten zwar durchführen, jedoch nichts ausgeben soll. Die roten Semikola bedeuten: Man kann sie sinnvollerweise entfernen, das Programm gibt dann die entsprechenden Werte aus. Hier wäre die Ausgabe einer Wertetabelle von 0 bis 10 mit einer Schrittweite von 1: 282

289 Hier einige häufig gebrauchte, algebraische Befehle: Plot einer Funktion nach verschiedenen Verfahren: Immer gilt: Die roten Semikola an denjenigen Stellen entfernen, die man anzeigen will. 283

290 Differenzieren, Integrieren und Gleichungen lösen: Weitere Arbeitshilfen: Prüfen auf Gleichheit von Termen, Vereinfachen und Ausmultiplizieren von Termen, Polynomdivision und Partialbruchzerlegung, Substitution einer Variablen durch einen Term. 284

291 Allgemeine DGL lösen (mit Lösungsausgabe): Die graphische Ausgabe erfolgt als Lösungsschar: Eine Differentialgleichung mit Randbedingungen und der exakten Lösung: DGL numerisch lösen: 285

292 Allgemeine Systeme von Differentialgleichungen lösen (mit Lösungsausgabe): Systeme von DGLn mit Randbedingungen lösen, auch Lotka-Volterra: Vektoren und Matrizen definieren: 286

293 Mit Vektoren und Matrizen rechnen: Kurzum: Das Ganze ist so eine Art Schweizer Offiziersmesser für höhere Mathematik und kann vom Microsoft One-Drive-Cloudspeicher unter der Adresse: kostenlos heruntergeladen werden. Größe: 480 kb Das ist natürlich nur nützlich für Personen, die Zugriff auf das Programm Mathematica haben. Alternative Speicheradresse: Es kann sein, dass am Anfang ein Warnhinweis kommt. Dieser bezieht sich darauf, dass ein Teil des Programms (wahlfreies Zoomen in einen Graphen einer Funktion) sogenannter aktiver Inhalt ist. Wenn sie das nicht aktivieren möchten, steht Ihnen aber der Rest des Programms trotzdem uneingeschränkt zur Verfügung. Wäre aber schade, weil der Verfasser gerade an dieser Funktion lange herumgeknobelt hat 287

294 Hilfsmittel selbst programmieren - Der universelle Runge-Kutta-Rechner Mit einfachen Werkzeugen wie der Tabellenkalkulation Excel lassen sich - mit etwas Programmierkenntnis - auch leicht eigene Hilfsmittel programmieren, wie das nachfolgende Beispiel zeigt. Dieses löst selbst gekoppelte DGLn. Wer es nachvollziehen möchte, lädt entweder das ganze Spreadsheet unter oder herunter, oder er benutzt die angegebene Struktur und wandelt den nachstehenden Programmcode selbst ab. Es muss die Variable unter Formeln -> In Formel verwenden freigegeben sein. Zuerst allgemeine Festlegungen bzgl. Variablen und Speicher: Sub DGLn_berechnen() 'Speicherplatz für Runge-Kutta-Terme reservieren Dim rk1(10), rk2(10), rk3(10), rk4(10), rkg(10), ynull(10), yursprung(10) 'Anzahl an DGLn ermitteln Anzahl_DGLn = Range("C7") 'Hat der Benutzer in C7 festgelegt If Anzahl_DGLn = 0 Then Exit Sub 'Soll wohl nichts berechnet werden 'Anzahl an Werten ermitteln Anzahl_Werte = Range("C6") 'Hat der Benutzer in C6 festgelegt 'Ursprünglichen Startwert der Zeit sichern t_ursprung = Range("C4").Value Range("A16:Q60000").Clear Range("B16") = Range("C4") 'Ausgabebereich freimachen 'Startwert t(0) im Ausgabebereich speichern 'Startwerte für y in Ausgabebereich übertragen 'Von Zeile 11 (Eingabebereich) in Zeile 16 (Ausgabebereich) kopieren For i = 1 To Anzahl_DGLn Cells(16, 2 + i) = Cells(11, 2 + i) Next i 288