TECHNISCHER BERICHT. 2. Übungsprogramm: Sphärische Geometrie 1. AUFGABENSTELLUNG:...3

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1 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00 TECHISCHER BERICHT. Üungprogrmm: Sphärihe Geometrie. AUFGABESTELLUG:.... LÖSUGSWEG:.... Skizze:.... Umrehnung der phärihen Ditnzen in Winkel:.... Berehnung ller fehlerfreien phärihen Ditnzen und Winkel: Huptufge von P P: Huptufge von P P: Huptufge von P P:.... Weg A: Herleitung einer Beohtung durh ndere:..... Herleitung von n u n, n:..... Herleitung von n u n, n: Herleitung von n u n, n: Herleitung von n u n, n:.... Weg B: Berehnung von u jeweil Beohtungen:..... Berehnung von u n, n:..... Berehnung von u n, n:..... Berehnung von u n, n:..... Berehnung von u n, n:..... Berehnung von u n, n:..... Berehnung von u n, n:..... Gegenüertellung der Ergenie:.... Mittelwert der geogrphihen Koordinten in :.... ERGEBIS:... Grz, m Dniel Gnder

2 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00. Aufgentellung: Au glolen Vermeungen wurden phärihe Ditnzen in [m] und Azimute in [ ] von drei Fetpunkten in der ähe von Aerdeen/Shottlnd, Egerund/orwegen zw. DenHelder/Hollnd zu einer Bohrinel in der ordee () geleitet. Eine der Beohtungen tellt ih in Reltion zu den nderen l gro flh heru. h rehneriher Fettellung und Auheiden der flhen Beohtung ind die geogrphihen Koordinten der Bohrinel in [ ] durh Einhneideverfhren in llen noh gültigen Komintionen und einer nhließenden Mittelildung zu etimmen. Weitere Angen können dem Angeltt (prog_ng.dt) entnommen werden.

3 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00. Löungweg:. Skizze: Pol Legende: - gegeen - erehnet, mögliherweie fehlerehftet - erehnet, niht fehlerehftet - ullmeridin P P P P

4 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00. Umrehnung der phärihen Ditnzen in Winkel: D in der phärihen Geometrie Ditnzen vorzugweie in Winkeleinheiten, niht in Längeneinheiten ngegeen werden, müen zuert die gegeenen Ditnzen von [m] in Winkeleinheiten [ ] umgerehnet werden. Die erfolgt üer den Zummenhng de zentriwinkel mit der Bogenlänge. [ rd ] [ ] 80 = R = R π m [ ] [ ] 80 = =,0 [ m] R π m [ ] [ ] 80 = =,89 [ m] R π. Berehnung ller fehlerfreien phärihen Ditnzen und Winkel: Wie mn uf der Skizze ehen knn, git e folgende Poldreieke welhe niht in Ahängigkeit einer mögliherweie fehlerhften Beohtung tehen. - Poldreiek P, Pol, P - Poldreiek P, Pol, P - Poldreiek P, Pol, P Dehl können lle Winkel und phärihen Ditnzen in dieen Dreieken mit Siherheit erehnet werden. Der Einfhheit hler wird uf Formelpprte wie dem phärihen Coinutz nur einml verwießen. - Sphäriher Sinutzfür Seiten SSS - Sphäriher Sinutz für Winkel WSS - Sphäriher Coinutz für Seiten SCS - Sphäriher Coinutz für Winkel WCS - Hleitentz HSS - Hlwinkeltz HWS - Hilfformel HLF Für lle Berehnungen wurden fll vorhnden die numerih tilen Formeln verwendet. Siehe Skriptum S. Siehe Skriptum S. Siehe Skriptum S. Siehe Skriptum S. Siehe Skriptum S. Siehe Skriptum S. Siehe Skriptum S.

5 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS Huptufge von P P: Pol γ geg.: P P P (,λ) P (,λ) Pol (,λ) ge.: α β γ α P P β P γ = λ λ = 8,9 P P = 90 =,8 = 90 =,0 HWS α, β, γ α = 0, β = 0,89 γ = 8,9 = α = 0 β γ λ λ =,0 γ P D e ih um ein Poldreiek hndelt knn u der Differenz von λ P und λ der Polwinkel γ erehnet werden. Anhließend ind Betimmungtüke vorhnden um einen Seitenoinutz durhzuführen und dmit zu erehnen. Au einem Hlwinkeltz β P können dnn lle Winkel im Dreiek etimmt werden und γ kontrolliert werden. P... Huptufge von P P: γ = λ λ =, P P HWS α, β, γ = 90 =,0 = 90 =,0 = 0 β = α γ λ λ =,9 α =,90 β =,0 γ =, geg.: P P P (,λ) P (,λ) Pol (,λ) ge.: α β γ P α

6 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS Huptufge von P P: Pol geg.: P P P (,λ) P (,λ) Pol (,λ) ge.: α β γ γ γ = λ λ =,89 P P HWS α, β, γ α =, β = 0,88 = 90 =,8 = 90 =,0 = α = 0 β γ λ λ =,8 γ =,89 P α P P β. Weg A: Herleitung einer Beohtung durh ndere: E wird veruht u zwei Beohtungen woei eine dvon mögliherweie fehlerehftet ein knn, eine dritte herzuleiten welhe wiederum fehlerehftet ein knn. Durh Vergleihten mit den gegeenen Werten knn die. Beohtung mögliherweie l fehlerehftet ugehloen werden... Herleitung von n u n, n: P

7 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00 Betrhtet mn d phärihe Dreiek P, P, P ieht mn d lle Seiten gegeen ind. Ddurh knn ein Hlwinkeltz erehnet und dmit lle Winkel etimmt werden. geg.: α ge.: α β γ γ P HWS α, β, γ α =, β = 09, γ =,88 α + α 0,988 α P α Die Herleitung von u und führte zu einer nderen Löung l der gemeenen Beohtung. Die edeutet d owohl die verwendeten Beohtungen für die Herleitung, und, er uh die Rihtung fehlerhft ein können. Allerding mu eine der Beohtungen fehlerehftet ein, dewegen knn mn l fehlerehftet uhließen. wird l fehlerehftet ugehloen!.. Herleitung von n u n, n: β P α = α WCS γ HSS β = β ' ( 0 ) = 0,, =,0 ' =,8 =,8 = 8,08, = 0,,8,0 E hndelt ih in dieem Fll um ein phärihe Dreiek mit gegeenen Winkeln und eingehloener Seite. Die nliegenden Winkel können u den gegeenen Rihtungen ermittelt werden. Anhließend knn durh einen Winkeloinutz der. Winkel erehnet werden, die wiederum ermögliht die Anwendung eine Hleitentze welher un lle Ditnzen in dieem phärihen Dreiek liefert. 8

8 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00 P geg.: α ge.: γ α P γ S β Allerding it die hergeleitete Ditnz wieder niht identih mit der gemeenen Beohtung. Die edeutet wiederum d eine der verwendeten Beohtungen fehlerehftet ein mu dehl knn mn nh nun uh l fehlerhft uhließen. wird l fehlerehftet ugehloen!.. Herleitung von n u n, n: Für diee Herleitung müen phärihe Dreieke ufgelöt werden, zuert gilt e im Dreiek P, P, P lle verleienden Winkel zu erehnen. Die erfolgt durh die Anwendung eine Sinutze für Winkel, einer Hilfformel und eine Hlwinkeltze. P 9

9 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00 α = WSS γ γ γ ( 0 ) = γ HLF HWS α, β, γ ' =,0 α =, β =,8 () () =,8, γ = 8,88 + α =, = 8,88 () = 80 γ () = 8,88 β β P γ β α P α α β P γ geg.: α, α, α β, β, β ge.: α, β, γ S α β α P 0

10 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00 un knn der Winkel γ u den Winkeln β, β und β ermittelt werden. Im phärihen Dreiek P, P, P ind nun Seiten und ein eingehloener Winkel gegeen, die Anwendung eine Seitenoinutze liefert die. Seite γ = β β β =,80 '' '' =,8,8,0 Wiederum timmt die erehnete Ditnz niht mit der gemeenen Beohtung zummen, wenn kein Rehenfehler vorliegt, knn uh l fehlerhft ugehloen werden. Die fehlerehftete Beohtung müte dehl ein. Die oll nun üerprüft werden. wird l fehlerehftet vermutet!.. Herleitung von n u n, n: geg.: ge.: α, β, γ P γ α P α β Im phärihen Dreiek P, P, P wird nun niht mehr und l eknnt ngenommen, ondern und. E ind lo lle Seiten eknnt. Mit Hilfe eine Hlwinkeltze können lle Winkel ermittelt und üerprüft werden. HWS α, β, γ α =,9 β = 0,89 γ =,80 '' = α + α = 0,0 '' P 0,0 0,0

11 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00 Der Vergleih de errehneten Winkel mit der gemeenen Beohtung liefert ft exkt den elen Wert, mit einer Aweihung von,09*0 -. it die fehlerehftete Beohtung!. Weg B: Berehnung von u jeweil Beohtungen: Ziel it e jeweil Beohtungen (von denen eine fehlerehftet ein knn) zu verwenden um dmit phärihe Koordinten der Bohrinel zu erehnen. ψ Bei gemeenen Beohtungen git e verhiedene er Komintionen, dvon ind fehlerehftet, weil jede Beohtung ml in einer er Komintion vorkommt. Au den errehneten Koordintenpren knn mn erkennen welhe Beohtung zur Verfälhung geführt ht. Prinzipiell it jede Berehnung der Koordinten von P P P eine. Huptufge von einem der Fixpunkte P, P oder P. Dzu enötigt mn die phärihen Ditnzen von P n zum Pol, Die führt wiederum üer den gegenüerliegenden Winkel ε und der phärihen Ditnz zwihen P n und P. Mindeten eine dieer Größen mu erehnet werden. Dru lät ih P zw. zu erehnen. Sind dnn lle P ε Ditnzen im Dreiek eknnt, knn durh Anwendung eine Hlwinkeltze λ zw. ψ erehnet werden. P.. Berehnung von u n, n: D d Azimut und die phärihe Ditnz von P nh P hon gegeen ind, knn mn mit einer. Huptufge die Koordinten von ermitteln. ε = () P = 90 HWS ψ =,99 λ = ψ λ =, P =, () = λ + λ =,08

12 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00.. Berehnung von u n, n: Im Poldreiek P, P, Pol kennen wir die Polditnz von P und die Ditnz. Außerdem hen wir unter Punkt.. hon den Winkel γ und unter Punkt.. den Winkel β erehnet, dru lät ih ε erehnen. Durh Anwendung eine Seitenoinutze knn die Polditnz von P ermittelt und dru die Koordinte werden. un ind lle Seiten eknnt und mittel eine Hlwinkeltze erehnet mn ψ und dru die Koordinte λ. ε = γ + β =, () P = 90 HWS ψ =,8 λ = ψ λ =,8 P =,9 () = λ + λ =,08.. Berehnung von u n, n: Mn rehnet eine. Huptufge von P nh P. Dfür enötigt mn ε und. Die knn durh Auflöung de phärihen Dreiek P, P, P ermittelt werden, der Winkel γ wurde hon unter Punkt.. erehnet. Die Huptufge erfolgt nlog zu Punkt.. und Punkt... ε = 0 HSS () P = 90 =,0 =, HWS ψ =,909 () λ = ψ λ P = 9,0 =,8 = λ λ =,8.. Berehnung von u n, n: Wiederum rehnet mn eine. Huptufge von P nh P. Dieml edienen wir un eine Sinutze für Winkel und einer Hilfformel zur Auflöung de phärihen Dreiek P, P, P. Die Huptufge erfolgt nlog zu Punkt... ε = 0 WSS γ γ ' = γ HLF () () () P = 90 HWS ψ =,80 λ = ψ λ = 9,0 = 8,99, γ =,80 =,8 =,0 P =,988 () = 80 γ = λ λ =,88 () () =,80

13 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00.. Berehnung von u n, n: Anlog zu Punkt.., llerding Auflöung de Dreiek P, P, P. ε = 0 WSS γ γ ' = γ HLF () () () P = 90 HWS ψ =,909 λ = ψ λ = 9,0 =,8, γ = 8,88 =,0 =, P =,8 () = 80 γ = λ λ =,8 () () = 8,88.. Berehnung von u n, n: Den Winkel α erehnet mn u dem eknnten Azimut und dem Winkel α. Anhließend knn d Dreiek P, P, P durh Anwendung eine Winkelinutze, einer Hilfformel und eine Hlwinkeltze komplett ufgelöt werden. Anlog zu Punkt.. erfolgt dnn die Anwendung der. Huptufge. α ' = WSS β β ' = β HLF HWS γ ' =,80 () = 90 HWS ψ =,8 λ = ψ λ α =,9 () () = 9,, β = 0,89 =,8 ε = γ ' + β =,9 P =, P =,8 () = 80 β = λ λ =,8 ().. Gegenüertellung der Ergenie: () = 0,89 Punkt Ahängig von (P ) λ (P ) Sttu..,,9,08808 fehlerehftet..,,99,088 fehlerehftet..,,0,8 fehlerfrei..,,9888,889 fehlerehftet..,,,88 fehlerfrei..,,,88 fehlerfrei

14 Gnder Dniel GEOMATHEMATIK SS 00 Au der Telle erkennt mn eindeutig d nur Berehnungen in denen die phärihe Ditnz verwendet wurde, unterhiedlihe Koordinten von ergeen. Alle nderen Berehnungen timmen i zur. Kommtelle üerein. Au den fehlerfreien Koordinten ( Pre) knn nun ein Mittelwert gerehnet werden.. Mittelwert der geogrphihen Koordinten in : ( P ) λ ( P ) λ + +,0 +, +, = = =, ( P ) λ = + λ + λ ( P ) =,89,8 +,88 +,88 =. Ergeni: Gemittelte geogrphihe Koordinten de Punkte : (gerundet uf die. Kommtelle) =, =,00 λ =,8 =,0