Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie

Transkript

1 Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie

2 Guido Walz Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie mit ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Beispielen

3 Autor Prof. Dr. Guido Walz Wichtiger Hinweis für den Benutzer Der Verlag und der Autor haben alle Sorgfalt walten lassen, um vollständige und akkurate Informationen in diesem Buch zu publizieren. Der Verlag übernimmt weder Garantie noch die juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für die Nutzung dieser Informationen, für deren Wirtschaftlichkeit oder fehlerfreie Funktion für einen bestimmten Zweck. Der Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, dass die beschriebenen Verfahren, Programme usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag hat sich bemüht, sämtliche Rechteinhaber von Abbildungen zu ermitteln. Sollte dem Verlag gegenüber dennoch der Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das branchenübliche Honorar gezahlt. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011 Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Anja Groth Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India Autorensatz: Guido Walz, Marco Daniel Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm Abbildungen: Marco Daniel ISBN

4 Mit Mathematikern ist kein heiteres Verhältnis zu gewinnen. (J. W. von Goethe) Vorwort Bei allem Respekt vor Goethe: Der Mann hat gelegentlich auch Unsinn geschrieben. Hierzu gehört sicherlich seine Farbenlehre, in der er vehement, aber natürlich vergebens versucht, Newtons Erkenntnisse über die Mischung von buntem Licht zu weißem Licht zu widerlegen. Ebenso gehört dazu das obige Zitat; mit Mathematikern und ebenso mit der Mathematik ist durchaus ein heiteres Verhältnis zu gewinnen, denn nirgendwo steht geschrieben, dass der Umgang mit der Mathematik verkrampft und todernst zu geschehen hat. Ich habe vor, Ihnen dies im Laufe des vorliegenden Buches zu beweisen. Das heißt natürlich nicht, dass ich die Dinge ins Lächerliche ziehen oder es an der nötigen Sorgfalt und Korrektheit mangeln lassen werde, aber dass ich versuchen will, Ihnen das Lesen der folgenden Seiten so angenehm und unterhaltsam wie möglich zu machen. Wie üblich aber keineswegs selbstverständlich möchte ich an dieser Stelle einige Worte des Dankes anbringen. Da wäre zunächst mein Ansprechpartner beim Verlag, Herr Dr. Andreas Rüdinger, zu nennen, der sich weit über die üblichen Aufgaben eines Editors hinaus in die Entstehung dieses Buches eingebracht hat. Er war sich nicht zu schade dafür, jedes einzelne Kapitel Korrektur zu lesen, und hat dabei so manchen Lapsus meinerseits aufgedeckt und beseitigt. Frau Anja Groth, ebenfalls Springer-Verlag, hat es geschafft, aus einigen diffusen Vorstellungen meinerseits ein ansprechendes Layout zu erstellen. Schließlich ist Herr Marco Daniel zu nennen, der aus meinen laienhaften Latex-Fragmenten ein brauchbares Manuskript gebastelt und dazu professionelle Abbildungen erstellt hat. Die ursprüngliche Idee für das Cover dieses Buches hatte mein Sohn Philipp. Leider ist er kurz darauf sehr krank geworden, sodass er an der weiteren Ausgestaltung des Buchtitels nicht mehr teilnehmen konnte. Gerade deswegen widme ich ihm dieses Buch von ganzem Herzen. Im Sinne dessen, was ich eingangs formuliert habe: Ich wünsche Ihnen viel Erfolg, aber auch viel Spaß und das meine ich ernst beim Durcharbeiten der folgenden Seiten. August 2010, Guido Walz

5 Inhaltsverzeichnis Vorwort... v I Grundlagen und Lineare Algebra 1 Grundlagen Mengen DefinitionundSchreibweisen Mengenoperationen PotenzmengeundkartesischesProdukt WichtigeZahlenmengen KomplexeZahlen Die imaginäre Einheit i und die Menge der komplexen Zahlen Grundrechenarten für komplexe Zahlen Die gaußsche Zahlenebene und die trigonometrische Form komplexerzahlen Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Relationen DefinitionundersteBeispiele Äquivalenzrelationen VollständigeInduktion Summenformeln Rekursionsformeln Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme, Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Einführende Beispiele DerGauß-Algorithmus Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen Vektoren Matrizen AdditionundMultiplikationvonMatrizen Symmetrische Matrizen InvertierungvonMatrizen Determinanten Definition der Determinante und der Entwicklungssatz EigenschaftenderDeterminante DefiniteMatrizen InvertierbarkeitvonMatrizen Prüfung auf lineare Unabhängigkeit DiecramerscheRegel

6 viii Inhaltsverzeichnis 3 Analytische Geometrie Vektoren im dreidimensionalen Raum und Vektorprodukte GeradenundEbenenimRaum DarstellungsformenfürGeradenundEbenen SchnittpunkteundSchnittgeraden Lineare Optimierung EinerstesBeispiel Lineare Optimierung mit zwei Variablen GrafischeLösung Rechnerische Lösung durch Eckpunktberechnung DerSimplex-Algorithmus Lineare Optimierung mit beliebig vielen Variablen Problemstellung und allgemeine Vorbemerkungen DerSimplex-Algorithmus ModifikationendesSimplex-Algorithmus II Analysis und Anwendungen 5 Folgen und Funktionen Folgen Beschränktheit und Monotonie KonvergenteFolgenundGrenzwerte Funktionen Grundbegriffe Verkettung, Umkehrbarkeit und Monotonie Stetigkeit WichtigeFunktionenklassen Potenz-undWurzelfunktionen PolynomeundrationaleFunktionen Trigonometrische Funktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Differenzialrechnung Differenzierbarkeit DefinitionundersteBeispiele Ableitungen einiger elementarer Funktionen NichtdifferenzierbareFunktionen Tangente Ableitungsregeln Linearität Produktregel Quotientenregel Kettenregel

7 Inhaltsverzeichnis ix AbleitungderUmkehrfunktion WichtigeAbleitungen Anwendungen der Differenzialrechnung Monotoniekriterien für differenzierbare Funktionen ExtremstellenundExtremwerte Wendestellen und Sattelpunkte Diel hopitalscheregel Integralrechnung IntegrationvonFunktionen DefinitiondesIntegrals Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechung StammfunktioneneinigerwichtigerFunktionen Integrationsregeln Linearität PartielleIntegration Substitutionsregel Partialbruchzerlegung Anwendungen UneigentlicheIntegrale Bogenlänge VolumenvonRotationskörpern Reihen Zahlenreihen Definition und grundlegende Eigenschaften KonvergenzkriterienfürReihen AbsoluteKonvergenz Potenzreihen DefinitionundersteBeispiele KonvergenzradiusundKonvergenzbereich OperationenmitPotenzreihen Taylor-ReihenundTaylor-Polynome Fourier-Reihen PeriodischeFunktionen Fourier-Reihendarstellung periodischer Funktionen Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe Differenzialgleichungen VorbemerkungenundeinleitendeBeispiele Definitionen; Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Lösungsverfahren für spezielle Typen von Differenzialgleichungen TrennungderVariablen VariationderKonstanten

8 x Inhaltsverzeichnis Substitution LineareDifferenzialgleichungen Struktur der Lösungsmenge einer linearen Differenzialgleichung Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten:homogenerFall Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten:inhomogenerFall Laplace-Transformation Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Grundlegende Begriffe PartielleundtotaleAbleitung PartielleAbleitung TotaleAbleitung Extremwertberechnung ExtremaohneNebenbedingungen ExtremamitNebenbedingungen Stochastik Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik Grundlagen Kombinatorik VerknüpfungenvonEreignissen Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse ZufallsgrößenundVerteilungen DiskreteVerteilungen StetigeVerteilungen EinblickeindiemathematischeStatistik DeskriptiveStatistik Induktive Statistik Numerische Mathematik Fixpunkte und Nullstellen DefinitionenundersteBeispiele Berechnung von Fixpunkten: Der Fixpunktsatz von Banach DasNewton-Verfahren Interpolation Problemstellung und Lösung durch Lagrange-Polynome Dividierte Differenzen und die newtonsche Form des Interpolationspolynoms

9 Inhaltsverzeichnis xi 13 Lösungen der Übungsaufgaben Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Literaturverzeichnis Register