A1: Das zweidimensionale makroskopische Modell des idealen Gases

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1 A: Das zweidimensionae makroskopische ode des ideaen Gases. Ziee des Experiments Der Versuch so die Grundagen der kinetischen Gastheorie an einem zweidimensionaen makroskopischen ode des ideaen Gases eranschauichen. Insbesondere soen die Größen, die die Bewegichkeit der Teichen charakterisieren und die Größen des thermodynamischen Zustandes des odesystems anaysiert werden. Die Reationen zwischen der mikroskopischen und makroskopischen Beschreibung des Gases steht hier im Vordergrund.. Theoretische Grundagen In einfachsten odeen der kinetischen Gastheorie wird ein Gasteichen as eine harte ikrokuge mit Durchmesser d, asse m und Geschwindigkeit dargestet. Die Bewegung des Teichens ist durch die Zusammenstöße mit anderen Teichen und den Wänden des Gasbehäters geprägt. Im ideaen Gas bewegt sich ein Teichen zwischen zwei nacheinander erfogenden Stößen geradinig mit konstanter Geschwindigkeit (keine Wechsewirkung zwischen den Teichen, Stöße ausgenommen). Der Stoß zweier Teichen wird as eastische Streuung (mit Erhatung der kinetischen Energie) betrachtet. Ein socher Stoß führt aso zur Umerteiung der Teichengeschwindigkeiten (Betrag und Richtung). Die Bewegung der Gasteichen kann statistisch durch die mittere freie Wegänge und die mittere Geschwindigkeit charakterisiert werden: ) n i n i, n i n δt i i n - Zah der Stöße; i und δt i - die zurückgeegte Strecke und das Zeitintera eines Teichens zwischen dem i. und i +. Stoß. Die mittere Stoßhäufigkeit Z (Anzah der Stöße pro Sekunde) des Teichens ist: ) Z Die Stoßhäufigkeit kann auch durch den Stoßquerschnitt σ beschrieben werden, bei N oeküen in einem Voumen V ist Z: 3) Z σ N V Es fogt aus ) und 3): 4) V σn Die mittere Wegänge zwischen zwei Stößen ist damit nur eine Funktion der Anzah N der Teichen im Voumen V und unabhängig on der Teichengeschwindigkeit (σ const für ideaes Gas; σ πd für Kuge mit dem Durchmesser d).

2 Der makroskopische Druck des Gases P entsteht durch die Impusübertragung bei Stößen der Teichen mit der Wand des Behäters. Je größer der Impus eines oeküs (pmν) norma zur Wand, desto größer ist die Stoßkraft und damit der Beitrag des Teichens zum Gesamtdruck. Für ein ideaes Gas iefert die kinetische Gastheorie fogende Reation zwischen der quadratisch gemitteten Geschwindigkeit der Teichen resutierenden Druck P: und dem 5) P n 3V V - Voumen des Untersuchungsraumes, n - Stoffmenge, N A m. + +, x ist die Geschwindigkeitskomponente (z.b., norma zur x Wand), x y y z z 3 x. Aus dem Vergeich zwischen 5) und dem ideaen Gasgesetz fogt: 6) 3RT Die Temperatur des Gases ässt sich as zweiter Parameter des makroskopischen Zustandes as Funktion der mikroskopischen quadratisch gemitteten Teichengeschwindigkeit beschreiben: 7) T 3R an kann sowoh theoretisch as auch experimente zeigen, dass sich die Verteiung der Geschwindigkeiten der Gasteichen im Geichgewicht (auch für reae Gase) durch die axwe-botzmann-verteiung f(ν) wiedergeben ässt: 3/ 8) f ( ) 4π exp πrt RT Die Breite der Geschwindigkeitserteiung steigt mit der Temperatur des Gases T. Ebenso weisen eichte Gase (keine moare assen) größere Breiten der f(ν)-verteiung auf. Die mittere Geschwindigkeit nach der Verteiung 8) ist: 9) ( 8RT / π ) Die innere Energie des Gases ässt sich per Definition as Summe der Energien der Gasteichen berechnen, und entspricht für einatomiges ideaes Gas einfach der mitteren kinetischen Transationsenergie: N E k k 0) U m N E kin N

3 3 Die Formen 4) - 9) entsprechen dreidimensionaer (3D) Bewegung der Gasteichen. Für den zweidimensionaen (D) Fa Bewegung der Teichen auf Oberfäche wie in diesem Experiment werden die Formen auf fogende Weise modifiziert (in der Literatur nachschagen): 4a) S, σ d σn 5a) P D n S S Fäche des Tisches, d Durchmesser des Teichens, n - Stoffmenge, N A m. Da die Teichen in diesem Experiment fache Scheiben eine messbare Höhe h haben und bei Stößen einen übichen Druck (in Pasca) auf den Rahmenstreifen der Höhe h statistisch erzeugen, wird P fogendermaßen definiert: 5b) P n Sh 6a) RT 7a) T R 8a) f ( ) exp RT RT 9a) πrt 3. Apparatur Das ideae Gas wird in diesem Experiment durch ein quasi-d System on bewegichen Kunststoffscheiben dargestet. Fache Scheiben (asse m.8 g, Durchmesser d 3.4 cm, Höhe h 0.56 cm) bewegen sich nahezu reibungsos auf einem Luftkissen. Der Gasbehäter wird durch einen quadratischen Rahmen (Seitenänge L 06 cm, Fäche L, Voumen V L h) ersetzt. Seine osziierende Bewegung setzt die Scheiben in chaotische Bewegung und definiert damit das Wärmebad (kt). Die Bewegung der Scheiben wird mittes einer Kamera mit einer Geschwindigkeit on 60 fps aufgenommen. Durch automatisierte Bidanayse (Labiew-Programm AIN_VI.i ) wird die freie Wegänge k einer weiß markierten Scheibe für eine ange Foge on k Zusammenstößen ermittet (Labiew erkennt die Stöße durch einen abrupten Knick in der geradinigen Trajektorie, ein Beispie für ein aufgenommenes Bid der Trajektorien ist in Abb. gezeigt). Geichzeitig wird die Zeit t k zwischen zwei aufeinanderfogenden Stößen der weißen Scheibe gemessen. Dadurch werden

4 4 auch die Geschwindigkeiten der Scheibe nach jedem Stoß berechnet. Die Teichenbewegung wird für 5 bzw. 0 min. aufgenommen. Kamera Rütterahmen Teichen PC Luftkasten Ein Aus Gebäse Ansteuerung Rütterahmen otor Abb.. Schema der Apparatur. Die mittere freie Wegänge, die mittere Geschwindigkeit, die quadratisch gemittete Geschwindigkeit wie auch die mittere kinetische Energie werden automatisch berechnet und im Origin-Fie (je ein Fie pro Teichenbewegungsaufname) gespeichert. Abb. a. Typisches Bid der Bewegung der weißen Scheibe in den ersten Sekunden des Experiments

5 5 Abb. b Labiew-Bedienoberfäche 4. Durchführung und Auswertung des Versuches A. Im ersten Tei des Versuches soen die drei Größen, und für die Teichenzahen N0, 30 und 40 (ink. Weißer Scheibe) bestimmt werden. Diese essungen werden bei der geichen Frequenz des osziierenden Rahmens bei der Anregungsstufe 9 (A9) und der Aufnahmezeit on 5 min. durchgeführt. Die Ziegrößen werden mit der Funktion Stoßpunktermittung om Computer aus der aufgezeichneten Teichenbewegung ermittet. Berechnen Sie für die drei essungen die thermodynamischen Zustandsgrößen T, P und U basierend auf den Geichungen 7a), 5b) und 0). Diskutieren Sie die Größe und den Verauf der erhatenen Werte: Wie ässt sich die mikroskopische Theorie des ideaen Gases auf den makroskopischen odeersuch anwenden und weche Effekte führen im durchgeführten Experiment zu Abweichungen? Vergeichen Sie die gemessenen Werte mit denen, die man aus dem Stoßquerschnitt und der Konzentration der Teichen (Forme 4a) erhät. Diskutieren Sie die festgesteten Abweichungen in Bezug auf das Verhätnis zwischen und der Größe des Gasbehäters, d.h. des Rahmens. Bemerken Sie dabei, dass das Bidanayseprogramm zwischen Stößen der weißen Scheibe mit anderen Teichen und mit dem Rahmen nicht unterscheidet. B. Im zweiten Tei des Experiments so die Abhängigkeit der Geschwindigkeitserteiung on der Temperatur (Anregungsstufe) des odesystems gemessen werden. Die Teichenbewegung wird innerhab 0 min. bei konstanter Teichenzah N 40 für zwei unterschiediche Anregungsstufen (A6 und A0) aufgenommen. Die jeweiigen Temperaturen werden mittes Forme 7a) berechnet. Für diese zwei essungen soen die axwe-geschwindigkeitserteiungen erstet werden (Grafik mit der gemessenen Geschwindigkeitserteiung und ihrer Anpassung an die D- axwe-verteiung, s. Hinweis unten). Um die Roe der Temperatur zu iustrieren, soen die zwei Grafiken übereinander (bzw. die Anpassungskuren in einer separaten

6 6 Sammegrafik) dargestet werden. Diskutieren Sie eentuee Abweichungen zwischen den essdaten und der D-axwe-Verteiung und mögiche Gründe dafür (bedenken Sie u.a. erneut den mögichen Beitrag der Stöße mit dem Rahmen). Hinweis: Die Ersteung der gemessenen Geschwindigkeitserteiung F() und Anpassung (Fit) wird mit Origin 9. orgenommen. Das Programm hat ae nacheinander gemessenen Geschwindigkeiten der weißen Scheibe in der.hist -Datei gespeichert. Diese importieren Sie mit Import einzenes ASCII. Jetzt wird die Zeichnung erstet: [Zeichen Symbo Punktdiagramm]. Die Zeichnung wird auf der Origin-Oberfäche as Graph erscheinen. it der aktiierten Zeichnung (im Vordergrund) passen Sie die Verteiung wie fogt an: [Anayse Anpassen Nichtinearer Fit Diaog öffnen]. Bei Kategorie -Fed User defined aus der Liste wähen, und dann im Funktion -Fed BDode (User) auswähen. it [Fit]-Taste die Anpassung starten. Die angepasste Kure und dazugehörigen Werte erscheinen dann in der Graph Zeichnung. Die Kurenpunkte sind in cacuations in der Untertabee FitNLCure as Spaten A(X) (unabhängige Variabe) und B(Y) (Fit Zahen) zu finden. Tragen Sie die erhatenen Funktionen in einer Sammeabbidung auf. Was man wissen so:. Experimentee Grundagen der Zustandsgeichung der ideaen Gase. Wechsewirkung zwischen Teichen in ideaen und reaen Gasen 3. Typische Werte (um Größenordnung) on,, und Fächenstoßrate in einem Gas (Luft) unter normaen Bedingungen 4. Experimenteer Nachweis (zumindest ein Beispie) der axwe-verteiung 5. Hereitung der genäherten Forme für die Stoßhäufigkeit: Zusatzaufgaben Z σ. Entwerfen Sie ein anaoges Experiment in dem zusätzich zur kinetischen Energie der Transationsbewegung auch die Rotationsenergie der Scheiben gemessen werden so. Wie ändert sich dann die innere Energie des Systems?. Hereitung der D-Verteiung 8a) aus axwe-verteiung für eine Geschwindigkeitskomponente (ν x ). Literatur. W. oore, Grundagen der Physikaischen Chemie, de Gruyter Verag, Berin, 990 (Votext über Webseite der Bibiothek zugängich). Peter W. Atkins Physikaische Chemie dritte Aufage, Wiey-VCH-Verag GmbH. Weinheim, W. Göpe, H.-D. Wiemhöfer, U. Vohrer, Statistische Thermodynamik, Spektrum Akademischer Verag, Heideberg, Berin, N V