3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung

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1 Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut konvergente Reihen 3.7 Die Exponentialreihe 3.8 Potenzreihen Buchholz / Rudolph: MafI 2 38 Buchholz / Rudolph: MafI Folgen und Grenzwerte Denition 3.1 (Folge) Unter einer Folge versteht man eine Abbildung f : N R. Jedem n N wird ein a n R zugeordnet. Man schreibt (a n ) n N oder (a 1, a 2,...). n Index der Folge a n Glieder der Folge Buchholz / Rudolph: MafI 2 40 Buchholz / Rudolph: MafI 2 41

2 f = (a n ) n N sei eine Folge, dann ist f := sup{ a n n N} die Norm der Folge. f = (a n ) n N sei eine Folge, dann ist f := sup{ a n n N} die Norm der Folge. Denition 3.2 (konvergente Folgen) Eine Folge (a n ) n N heiÿt konvergent gegen a R, falls gilt: zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 N, sodass a n a < ε für alle n n 0 Buchholz / Rudolph: MafI 2 42 Buchholz / Rudolph: MafI 2 42 f = (a n ) n N sei eine Folge, dann ist f := sup{ a n n N} die Norm der Folge. Denition 3.2 (konvergente Folgen) Eine Folge (a n ) n N heiÿt konvergent gegen a R, falls gilt: zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 N, sodass a n a < ε für alle n n 0 Falls f gegen a konvergiert, so nennt man a den Grenzwert von f und schreibt: lim a n = a oder a n a für n Eine Folge die gegen 0 konvergiert, heiÿt Nullfolge. Beachte, dass n 0 von ε abhängt! Buchholz / Rudolph: MafI 2 42 Buchholz / Rudolph: MafI 2 43

3 Falls f gegen a konvergiert, so nennt man a den Grenzwert von f und schreibt: lim a n = a oder a n a für n Eine Folge die gegen 0 konvergiert, heiÿt Nullfolge. Falls f gegen a konvergiert, so nennt man a den Grenzwert von f und schreibt: lim a n = a oder a n a für n Eine Folge die gegen 0 konvergiert, heiÿt Nullfolge. Satz 3.3 Der Grenzwert einer Folge ist, falls er existiert, eindeutig. Satz 3.3 Der Grenzwert einer Folge ist, falls er existiert, eindeutig. Die Annahme, dass zwei Grenzwerte existieren wird zum Widerspruch geführt indem gezeigt wird, dass der Abstand der beiden Grenzwerte zu groÿ ist und die Folge nur gegen einen von ihnen konvergieren kann. Buchholz / Rudolph: MafI 2 43 Buchholz / Rudolph: MafI 2 43 Denition 3.4 (Beschränkte Folge) Eine Folge f = (a n ) n N heiÿt nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, falls es eine Konstante K R gibt, sodass a n K für alle n N (bzw. a n K für alle n N). Die Folge heiÿt beschränkt, falls a n K für alle n N. Denition 3.5 (Bestimmt divergente Folge) Eine Folge f = (a n ) n N heiÿt bestimmt divergent gegen, falls ein n 0 N existiert, sodass für alle n n 0, a n > 0 und ( 1 a n ) n N,n n0 gegen 0 konvergiert. Buchholz / Rudolph: MafI 2 44 Buchholz / Rudolph: MafI 2 45

4 Satz 3.6 Denition 3.5 (Bestimmt divergente Folge) Eine Folge f = (a n ) n N heiÿt bestimmt divergent gegen, falls ein n 0 N existiert, sodass für alle n n 0, a n > 0 und ( 1 a n ) n N,n n0 gegen 0 konvergiert. Jede konvergente Folge f ist beschränkt. Entsprechend kann man bestimmt Divergenz gegen denieren. Buchholz / Rudolph: MafI 2 45 Buchholz / Rudolph: MafI 2 46 Satz 3.6 Jede konvergente Folge f ist beschränkt. Satz 3.6 Jede konvergente Folge f ist beschränkt. Ab einem vorgegebenem Index n 0 weichen alle Glieder der Folge um nicht mehr als ein vorgegebenes ɛ vom Grenzwert ab. Damit kann kein Glied gröÿer als eines der Glieder mit Indizes kleiner n 0 oder der Grenzwert plus dem vorgegebenen ɛ sein. Durch diese Schritte wurde ein Grenzwert deniert. Ab einem vorgegebenem Index n 0 weichen alle Glieder der Folge um nicht mehr als ein vorgegebenes ɛ vom Grenzwert ab. Damit kann kein Glied gröÿer als eines der Glieder mit Indizes kleiner n 0 oder der Grenzwert plus dem vorgegebenen ɛ sein. Durch diese Schritte wurde ein Grenzwert deniert. Die Umkehrung des Satzes gilt natürlich nicht! Buchholz / Rudolph: MafI 2 46 Buchholz / Rudolph: MafI 2 46

5 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen Denition 3.7 (Rechenregeln für Folgen) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen und c R. Dann denieren wir: 1. (a n ) n N + (b n ) n N = (a n + b n ) n N 2. c (a n ) n N = (c a n ) n N 3. (a n ) n N (b n ) n N = (a n b n ) ( ) n N (a n ) n N an 4. = falls (b n ) 0 für alle n N (b n ) n N b n n N Buchholz / Rudolph: MafI 2 47 Buchholz / Rudolph: MafI 2 48 Satz 3.8 (Grenzwerte kombinierter Folgen) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen und c R. Dann gilt: i) lim (a n + b n ) = lim (a n) + lim (b n) ii) lim (c a n) = c lim (a n) iii) lim (a n b n ) = lim (a n) lim (b n) ( ) an iv) = lim b n lim b n 0. lim (a n) lim (b n) falls b n 0 für alle n N und Satz 3.8 (Grenzwerte kombinierter Folgen) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen und c R. Dann gilt: i) lim (a n + b n ) = lim (a n) + lim (b n) ii) lim (c a n) = c lim (a n) iii) lim (a n b n ) = lim (a n) lim (b n) ( ) an iv) = lim b n lim b n 0. lim (a n) lim (b n) falls b n 0 für alle n N und Jeweils geschickter Einsatz der Denition des Grenzwertes von Folgen. Buchholz / Rudolph: MafI 2 49 Buchholz / Rudolph: MafI 2 49

6 Satz 3.9 Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen mit a n b n. Dann gilt auch lim a n lim b n. Satz 3.9 Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen mit a n b n. Dann gilt auch lim a n lim b n. Nachweis, dass der Grenzwert der Dierenzfolge c n = b n a n gröÿer gleich 0 ist. Buchholz / Rudolph: MafI 2 50 Buchholz / Rudolph: MafI 2 50 Satz 3.9 Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen mit a n b n. Dann gilt auch lim a n lim b n. Nachweis, dass der Grenzwert der Dierenzfolge c n = b n a n gröÿer gleich 0 ist. Satz 3.10 (Sandwich-Theorem) Seien (a n ) n N, (b n ) n N und (c n ) n N Folgen mit a n b n c n. Sind (a n ) n N und (c n ) n N konvergent mit lim a n = lim c n, dann ist auch (b n ) n N konvergent und es gilt lim a n = lim b n = lim c n. Vorsicht, der Satz gilt nicht, wenn durch < ersetzt wird! Buchholz / Rudolph: MafI 2 50 Buchholz / Rudolph: MafI 2 51

7 Satz 3.10 (Sandwich-Theorem) Seien (a n ) n N, (b n ) n N und (c n ) n N Folgen mit a n b n c n. Sind (a n ) n N und (c n ) n N konvergent mit lim a n = lim c n, dann ist auch (b n ) n N konvergent und es gilt 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen lim a n = lim b n = lim c n. Vorgabe von n 0 und ɛ für die Folgen a n und c n. Daraus Ableitung eines passenden n 0 und ɛ für Folge b n. Buchholz / Rudolph: MafI 2 51 Buchholz / Rudolph: MafI 2 52 Denition 3.11 (Monotone Folge) Eine Folge (a n ) n N heiÿt monoton wachsend, falls a n a n+1 für alle n N, streng monoton wachsend, falls a n < a n+1 für alle n N, monoton fallend, falls a n a n+1 für alle n N, und streng monoton fallend, falls a n > a n+1 für alle n N. Denition 3.12 (Teilfolge) Sei (a n ) n N eine Folge und n 1 < n 2 < n 3 <... eine aufsteigende unendliche Folge natürlicher Zahlen, dann heiÿt (a nk ) k N = a n1, a n2,... eine Teilfolge der Folge (a n ) n N. Buchholz / Rudolph: MafI 2 53 Buchholz / Rudolph: MafI 2 54

8 Satz 3.13 Jede Teilfolge (a nk ) k N einer konvergenten Folge (a n ) n N ist konvergent und es gilt lim a n k = lim a n = a. k Satz 3.13 Jede Teilfolge (a nk ) k N einer konvergenten Folge (a n ) n N ist konvergent und es gilt lim a n k = lim a n = a. k Das ɛ, n 0 -Kriterium gilt auch, wenn nur ein Teil der Folgenglieder betrachtet werden. Buchholz / Rudolph: MafI 2 55 Buchholz / Rudolph: MafI 2 55 Satz 3.14 (Divergenzkriterium) Besitzt eine Folge (a n ) n N i) eine divergente Teilfolge oder ii) zwei konvergente Teilfolgen (a nk ) k N und (a nl ) l N mit lim (a n k ) lim (a nl ) k l so ist die Folge divergent. Satz 3.14 (Divergenzkriterium) Besitzt eine Folge (a n ) n N i) eine divergente Teilfolge oder ii) zwei konvergente Teilfolgen (a nk ) k N und (a nl ) l N mit lim (a n k ) lim (a nl ) k l so ist die Folge divergent. i) folgt aus Satz 3.13 und bei ii) kann der Grenzwert nicht eindeutig sein, wenn die Folge konvergent wäre. Buchholz / Rudolph: MafI 2 56 Buchholz / Rudolph: MafI 2 56

9 Satz 3.15 (Konvergenzkriterium) Satz 3.15 (Konvergenzkriterium) Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent. Genauer formuliert: i) Ist f = (a n ) n N monoton wachsend und nach oben beschränkt, so ist f konvergent und es gilt lim a n = sup{a n n N} ii) Ist f = (a n ) n N monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist f konvergent und es gilt lim a n = inf{a n n N} Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent. Genauer formuliert: i) Ist f = (a n ) n N monoton wachsend und nach oben beschränkt, so ist f konvergent und es gilt lim a n = sup{a n n N} ii) Ist f = (a n ) n N monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist f konvergent und es gilt lim a n = inf{a n n N} Beschränkte Folgen haben ein Supremum bzw. Inmum. Es wird gezeigt, dass das Supremum (Inmum) dem Grenzwert bei monotonen Folgen entspricht. Buchholz / Rudolph: MafI 2 57 Buchholz / Rudolph: MafI 2 57 Satz 3.16 Satz 3.16 Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge. Betrachte Menge N 1 von nicht kleiner werdenden Elementen. Falls N 1 unbeschränkt, dann ist dies die monotone Teilfolge, ansonsten wir eine monoton fallende Folge rekursiv erzeugt. Buchholz / Rudolph: MafI 2 58 Buchholz / Rudolph: MafI 2 58

10 Satz 3.17 (Bolzano-Weierstraÿ) Jede beschränkte Folge (a n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. Satz 3.17 (Bolzano-Weierstraÿ) Jede beschränkte Folge (a n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. Folgt aus den Sätzen 3.15 und Buchholz / Rudolph: MafI 2 59 Buchholz / Rudolph: MafI 2 59 Denition 3.18 (Häufungspunkt) Für eine Folge (a n ) n N heiÿt a Häufungspunkt, wenn es eine Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N gibt und lim k a n k = a. Denition 3.19 (Cauchy-Folge) Eine Folge (a n ) n N heiÿt Cauchy-Folge, wenn gilt: ε > 0 n 0 N n > n 0 a n a n0 < ε. Buchholz / Rudolph: MafI 2 60 Buchholz / Rudolph: MafI 2 61

11 Satz 3.20 Satz 3.20 i) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. ii) Jede Cauchy-Folge ist beschränkt. iii) Besitzt die Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge, so ist sie selbst konvergent. i) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. ii) Jede Cauchy-Folge ist beschränkt. iii) Besitzt die Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge, so ist sie selbst konvergent. i) aus der ε, n 0 Bedingung abgeleitet. ii) Ab n 0 kann kein Folgenglied gröÿer als a n0 + ε sein, damit kann kein Folgenglied gröÿer als max (max n n0 (a n ), a n0 + ε) sein. iii) Herleitung der ε, n 0 Bedingung für die Folgenglieder, die nicht zur konvergenten Teilfolge gehören. Buchholz / Rudolph: MafI 2 62 Buchholz / Rudolph: MafI 2 62 Satz 3.21 Jede Cauchy-Folge ist konvergent. Satz 3.21 Jede Cauchy-Folge ist konvergent. Folgt aus den vorherigen Sätzen. Buchholz / Rudolph: MafI 2 63 Buchholz / Rudolph: MafI 2 63

12 Korollar 3.22 Eine Folge (a n ) n N ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung Buchholz / Rudolph: MafI 2 64 Buchholz / Rudolph: MafI 2 65 Satz 3.23 Satz 3.23 Seien a > 0 und x 1 > 0 reelle Zahlen. Sei (x n ) n N deniert als x n+1 := 1(x 2 n + a x n ). Dann konvergiert (x n ) n N gegen a (d. h. x 2 = a). Seien a > 0 und x 1 > 0 reelle Zahlen. Sei (x n ) n N deniert als x n+1 := 1 2 (x n + a x n ). Dann konvergiert (x n ) n N gegen a (d. h. x 2 = a). In 4 Schritten: i) zeige x n > 0. ii) zeige x 2 n a für n > 1. iii) zeige x n+1 x n für n > 1. iv) zeige: Grenzwert der Folge ist gerade die gesuchte Wurzel. Buchholz / Rudolph: MafI 2 66 Buchholz / Rudolph: MafI 2 66

13 3.5 Reihen Denition 3.24 (Reihe) Man nennt den formalen Ausdruck a k = a 1 + a 2 + mit a k R eine (unendliche) Reihe und s n = n a k die n-te Teilsumme. Wenn die Folge der Teilsummen konvergiert, dann heiÿt die Reihe konvergent. Eine nicht konvergente Reihe heiÿt divergent. Konvergiert sogar a k, so nennt man die Reihe absolut konvergent. Buchholz / Rudolph: MafI 2 67 Buchholz / Rudolph: MafI 2 68 Korollar 3.25 (Cauchy-Konvergenzkriterium) Die Reihe a k konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein n n 0 N gibt, sodass a k < ε für alle n m n 0. k=m Satz 3.26 Eine Reihe a k mit a k 0 für alle k N konvergiert genau dann, wenn die Folge der Teilsummen beschränkt ist. Buchholz / Rudolph: MafI 2 69 Buchholz / Rudolph: MafI 2 70

14 Satz 3.27 (Rechnen mit konvergenter Reihe) Satz 3.26 Eine Reihe a k mit a k 0 für alle k N konvergiert genau dann, wenn die Folge der Teilsummen beschränkt ist. s n ist monoton wachsend, so dass Satz 3.15 gilt. Bei unbeschränkten Teilsummen gilt oensichtlich lim s n =, so dass die Reihe divergent ist. Buchholz / Rudolph: MafI 2 70 i) Seien a k und b k konvergente Reihen, so sind auch (a k + b k ) und (a k b k ) konvergent, und es gilt: (a k + b k ) = a k + b k und (a k b k ) = a k b k. ii) Ist die Reihe a k konvergent und c R, dann gilt: c a k = c a k. Buchholz / Rudolph: MafI 2 71 Satz 3.27 (Fortsetzung) iii) Für jedes l N mit l > 1 gilt: a k konvergent a k konvergent. k=l iv) Sind die Reihen a k und a k b k k N, so gilt b k konvergent und gilt a k b k. Satz 3.27 (Fortsetzung) iii) Für jedes l N mit l > 1 gilt: a k konvergent a k konvergent. k=l iv) Sind die Reihen a k und a k b k k N, so gilt b k konvergent und gilt a k b k. Wie bei der Grenzwertbestimmung konvergenter Folgen. Buchholz / Rudolph: MafI 2 72 Buchholz / Rudolph: MafI 2 72

15 Satz 3.28 (Leibniz Kriterium) Sei (a k ) k N eine monoton fallende Folge reeller nicht negativer Zahlen mit lim a k = 0. Dann konvergiert die alternierende Reihe ( 1) k a k. k Satz 3.28 (Leibniz Kriterium) Sei (a k ) k N eine monoton fallende Folge reeller nicht negativer Zahlen mit lim a k = 0. Dann konvergiert die alternierende Reihe ( 1) k a k. k Betrachte die Teilfolgen mit positivem und negativem Vorzeichen und zeige die Konvergenz gegen einen identischen Grenzwert. Buchholz / Rudolph: MafI 2 73 Buchholz / Rudolph: MafI Absolut konvergente Reihen Satz 3.29 Wenn die Reihe a k absolut konvergiert, so konvergiert sie auch im gewöhnlichen Sinne. Buchholz / Rudolph: MafI 2 74 Buchholz / Rudolph: MafI 2 75

16 Satz 3.29 Wenn die Reihe a k absolut konvergiert, so konvergiert sie auch im gewöhnlichen Sinne. Nutzung der Dreiecksungleichung. Satz 3.30 (Majorantenkriterium) Sei c k eine konvergente Reihe mit ausschlieÿlich nicht-negativen Gliedern und (a k ) k N eine Folge mit a k c k für alle k N, dann konvergiert die Reihe a k absolut. Buchholz / Rudolph: MafI 2 75 Buchholz / Rudolph: MafI 2 76 Satz 3.30 (Majorantenkriterium) Sei c k eine konvergente Reihe mit ausschlieÿlich nicht-negativen Gliedern und (a k ) k N eine Folge mit a k c k für alle k N, dann konvergiert die Reihe a k absolut. Nutzung der ε, n 0 Bedingung für die Partialsummen und der Rechenregeln für konvergente Reihen. Satz 3.31 (Minorantenkriterium) Sei c k eine divergente Reihe mit ausschlieÿlich nicht-negativen Gliedern und (a k ) k N eine Folge mit a k c k für alle k N. Dann divergiert die Reihe a k. Buchholz / Rudolph: MafI 2 76 Buchholz / Rudolph: MafI 2 77

17 Satz 3.31 (Minorantenkriterium) Sei c k eine divergente Reihe mit ausschlieÿlich nicht-negativen Gliedern und (a k ) k N eine Folge mit a k c k für alle k N. Dann divergiert die Reihe a k. Satz 3.32 (Wurzelkriterium) Sei a k eine Reihe. Gibt es ein c R und q R mit 0 q < 1, sodass a k c q k für alle k N, dann ist die Reihe absolut konvergent. Ähnlich zum Majorantenkriterium. Buchholz / Rudolph: MafI 2 77 Buchholz / Rudolph: MafI 2 78 Satz 3.32 (Wurzelkriterium) Sei a k eine Reihe. Gibt es ein c R und q R mit 0 q < 1, sodass a k c q k für alle k N, dann ist die Reihe absolut konvergent. Nutzung der geometrischen Reihe als Majorante. Satz 3.33 (Quotientenkriterium) Sei a k eine Reihe mit a k 0 für alle k n 0. Es gebe eine reelle Zahl q R mit 0 < q < 1, sodass < q für alle k n0, dann ist die Reihe absolut konvergent. a k+1 a k Buchholz / Rudolph: MafI 2 78 Buchholz / Rudolph: MafI 2 79

18 Satz 3.33 (Quotientenkriterium) Sei a k eine Reihe mit a k 0 für alle k n 0. Es gebe eine reelle Zahl q R mit 0 < q < 1, sodass < q für alle k n0, dann ist die Reihe absolut konvergent. a k+1 a k Satz 3.34 (Umordnung) Sei a k eine absolut konvergente Reihe. Dann konvergiert jede Umordnung der Glieder der Reihe gegen den selben Grenzwert. Nutzung der geometrischen Reihe als Majorante (wie im Wurzelkriterium). Buchholz / Rudolph: MafI 2 79 Buchholz / Rudolph: MafI 2 80 Satz 3.34 (Umordnung) Sei a k eine absolut konvergente Reihe. Dann konvergiert jede Umordnung der Glieder der Reihe gegen den selben Grenzwert. 3.7 Die Exponentialreihe Darstellung der Umordnung als bijektive Abbildung und Berechnung von zwei Teilsummen für gegebenes ε, n 0, eine mit allen Indizes 1,..., n 0 und eine für die restlichen Indizes. Buchholz / Rudolph: MafI 2 80 Buchholz / Rudolph: MafI 2 81

19 Satz 3.35 (Exponentialreihe) Für jedes x R ist die Exponentialreihe absolut konvergent. exp(x) = x k k! Satz 3.35 (Exponentialreihe) Für jedes x R ist die Exponentialreihe absolut konvergent. exp(x) = Mit Hilfe des Quotientenkriteriums. x k k! Buchholz / Rudolph: MafI 2 82 Buchholz / Rudolph: MafI 2 82 Satz 3.36 (Cauchy-Produkt) Seien a k und b k absolut konvergente Reihen. Für n N sei n c n := a k b n k = a 0 b n + a 1 b n a n b 0. Dann ist die Reihe ( ) ( ) c k = a k b k absolut konvergent. Satz 3.36 (Cauchy-Produkt) Seien a k und b k absolut konvergente Reihen. Für n N sei n c n := a k b n k = a 0 b n + a 1 b n a n b 0. Dann ist die Reihe ( ) ( ) c k = a k b k absolut konvergent. Beweis über zwei Indexmengen, von denen eine alle Indizes umfasst und die zweite nur einen Teil der Indizes umfasst. Nachweis, dass die Dierenz der beiden Reihen gegen 0 konvergiert. Buchholz / Rudolph: MafI 2 83 Buchholz / Rudolph: MafI 2 83

20 Satz 3.37 (Eigenschaften der Exponentialreihe) Satz 3.37 (Eigenschaften der Exponentialreihe) Für die Exponentialreihe exp(x) gelten folgende Eigenschaften: i) x, y R. exp(x + y) = exp(x) exp(y) ii) x R. exp( x) = 1 exp(x) iii) x R. exp(x) > 0 iv) n Z. exp(n) = e n Für die Exponentialreihe exp(x) gelten folgende Eigenschaften: i) x, y R. exp(x + y) = exp(x) exp(y) ii) x R. exp( x) = 1 exp(x) iii) x R. exp(x) > 0 iv) n Z. exp(n) = e n i) Nutzung der Ergebnisse für das Cauchy-Produkt. ii) Nutzung von i) und Berechnung von exp(x) exp( x). iii) Einsetzen in die Reihenformel für x > 0 und Nutzung von ii) für x < 0. iv) per Induktion. Buchholz / Rudolph: MafI 2 84 Buchholz / Rudolph: MafI Potenzreihen Denition 3.38 Sei (a k ) k N0 eine Folge und x R, dann ist eine Potenzreihe P(x) wie folgt deniert: P(x) = a k x k = a 0 + a 1 x + a 2 x mit a k R. Buchholz / Rudolph: MafI 2 85 Buchholz / Rudolph: MafI 2 86

21 Denition 3.38 Sei (a k ) k N0 eine Folge und x R, dann ist eine Potenzreihe P(x) wie folgt deniert: P(x) = a k x k = a 0 + a 1 x + a 2 x Satz 3.39 (Konvergenz von Potenzreihen) Konvergiert eine Potenzreihe P(x) in einem Punkt x 0 0, so konvergiert sie in jedem Punkt x mit x < x 0 absolut. mit a k R. Alternative Darstellung: P(x) = a k (x x 0 ) k = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) Buchholz / Rudolph: MafI 2 86 Buchholz / Rudolph: MafI 2 87 Satz 3.39 (Konvergenz von Potenzreihen) Konvergiert eine Potenzreihe P(x) in einem Punkt x 0 0, so konvergiert sie in jedem Punkt x mit x < x 0 absolut. Beweis mit Hilfe des Wurzelkriteriums. Satz 3.39 (Konvergenz von Potenzreihen) Konvergiert eine Potenzreihe P(x) in einem Punkt x 0 0, so konvergiert sie in jedem Punkt x mit x < x 0 absolut. Beweis mit Hilfe des Wurzelkriteriums. Konvergenzradius einer Potenzreihe r = sup {x R P(x) konvergiert}. Buchholz / Rudolph: MafI 2 87 Buchholz / Rudolph: MafI 2 87