Seiten 3 / 4 Aufgaben Dreiecke

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1 Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck Seiten 3 / 4 Aufgaben Dreiecke 1 a) Skizze: Konstruktionsbericht: 1. c = AB = 60mm. Höhenstreifen h c = 5mm 3. Thaleskreis über AB 4. Thaleskreis schneiden mit Höhenstreifen C 1, C ( Lösungen) b) Skizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen ha = 48mm. C festlegen 3. k (C, r = b = 54mm) 4. k schneiden mit Höhenstreifen A 5. Thaleskreis über AC 6. k (C, r = hc =8mm) 7. Thaleskreis mit k schneiden Fc 8. Fc mit A verbinden, schneiden mit Gerade CB (vom Höhenstreifen) B c) Skizze: Konstruktionsbericht: 1. Winkel β = 60 zeichnen, B markieren. Höhenstreifen hc = 45mm zeichnen 3. Schenkel mit Höhenstr. schneiden C 4. Thaleskreis über BC 5. k (B, r = h a = 47mm) 6. k mit Thaleskreis schneiden Fb 7. CFb verlängern, mit Schenkel schneiden A d) Skizze: Konstruktionsbericht: 1. BC = a = 50mm. Höhenstreifen h a = 19mm 3. Thaleskreis über BC 4. Thaleskreis mit Höhenstr. schneiden A Lösungen LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 1

2 Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck Seiten 3 / 4 Aufgaben Dreiecke a) c) Schritt 1: Die Zeichnung zeigt einen Thaleskreis über 40 AB Winkel = ε ε = 31 Schritt : Winkel ABC = = 50 Schritt 3: Somit ist ε = = 31 ε = ε Schritt 1 / : Die Zeichnung zeigt einen Thaleskreis über AB Winkel ACB = 90 Damit ist Winkel MCB = = 76 Schritt 3: Das Dreieck ACM ist gleichschenklig. Also ist der Winkel MAC = 14 und der Winkel AMC = = 15. Schritt 4: Somit ist der Winkel BMC = = 8 Schritt 5: Somit ist der Winkel ε = = 76 b) d) 4 ε ε ε = 66 Das Dreieck ABC ist rechtwinklig (Thaleskreis über AB) Das Dreieck AMC ist gleichschenklig Das Dreieck MBC ist auch gleichschenklig. Der Winkel CAB ist also 4 (gleichschenkliges Dr. AMC). Und damit ist ε = = 66 Das Dreieck ABD ist gleichseitig. Somit sind alle Innenwinkel = 60 Die Höhe DF halbiert das Dreieck ADB, ist also auch Winkelhalbierende. Winkel ADM = 30 ε = 30 Des Weiteren ist das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei B (Thaleskreis über AC!!) Somit ist der gesuchte Winkel ε = = 30 3 Da ein rechter Winkel gefragt ist, wird über die Seiten AB und BC jeweils ein Thaleskreis konstruiert (M 1 und M sind die Mittelpunkte dieser Strecken und entsprechend auch Mittelpunkte der (Thales-)Kreise k 1 und k. Der Schnittpunkt P ist die Lösung der Teilaufgabe a), dort sieht man beide Seiten gleichzeitig unter einem rechten Winkel. Die Seiten sieht man unter einem stumpfen Winkel, wenn man sich innerhalb des Thaleskreises bewegt. Daher ist die blaue Fläche die Fläche, innerhalb beider Thaleskreise (ohne Kreislinie selber) Die Seiten sieht man unter einem spitzen Winkel, wenn man sich ausserhalb der Thaleskreise bewegt. (auch hier ohne Kreislinie selber) LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite

3 Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck Seiten 10 / 11 / 1 / 13 / 14 Berechnungen mit Pythagoras in der Ebene 1 Tipps: a= b= c= a) 15 cm 6 cm 61 =16.16 b) 148 cm = cm c) = cm 19.5 cm d) 16 cm.5 cm =16.16 e) 13 cm cm 173 =13.15 cm f) 3 cm 15.5 cm =7.74 g) = cm cm h) 19.5 cm = cm c ist Hypothenuse. Es gelten also die Formeln: b= c - a a= c - b c= a +b Im rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck ABC ist die Höhe somit 8cm. AB = 16 cm BC = cm Also brauchen wir hier keinen Pythagoras oder ähnliches. Nur das Wissen über rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke. h 3 1. Berechnung von HC im dunkelgelben Dreieck BHC. HC = BC -BH = 6-10 = = 576 = 4cm. Berechnung von HA im weissen Dreieck AHC. AH = AC -CH = 5-4 = = 49 = 7cm 3. Umfang des Dreieckes ABC: u = HB + HA + BC + AC = =68cm 6 cm 5 cm 4 4. Fläche des Dreieckes ABC: Grundseite Höhe A = = AB HC = (10+7) 4 = 17 4 = 04 cm PQ QR PR a) =4.19 b) 5145 = c) = d) 6x 8x 100x =10x 5 Da im gleichschenkligen Dreieck die Basishöhe diese Basis halbiert, können wir im gelben, rechtwinkligen Dreieck rechnen. Dabei misst die Hypothenuse 8cm, die eine Kathete 4cm. Somit gilt: h = 8-4 = = 08 = 14.4 cm 10 cm 8 Hier ist jeweils PR die Hypothenuse, PQ und QR sind Katheten im gelben Dreieck. Entsprechend muss der Satz von Pythagoras angewandt werden. h 48 LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 3

4 Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck 6 Im Rhombus stehen die Diagonalen senkrecht und sie halbieren sich. Somit kann man die Hälfte der gesuchten Diagonalen FH im rechtwinkligen Dreieck berechnen (das Dreieck ist leicht gelb eingefärbt). Die gesuchte Diagonale ist eine der beiden Katheten im rechtwinkligen Dreieck. Es gilt also: HM = FG -GM = -16 = = 8 = cm Diagonale FH = HM = = 30.0 cm M 3cm cm Fläche Rhombus = EG FH : = cm 7 Da sich im Rhomboid die Diagonalen halbieren können wir zuerst einmal festhalten, dass AC = = 44cm. Danach können wir die Höhe des Rhomboid berechnen, denn die Fläche berechnet sich ja als Grundseite Höhe, also gilt: Fläche : Grundseite = Höhe 83 : 6 = 3 cm. Mit Pythagoras können wir jetzt die Länge der Strecke AF berechnen (also der einen Kathete im rechtwinkligen Dreieck AFC). AF = AC -h = 44-3 = = 91 = 30.0 cm Jetzt lässt sich die Strecke BF berechnen, denn AF AB = BF, also = 4.0 cm. Das Streckenstück AE ist genau gleich gross, also können wir jetzt im rechtwinkligen Dreieck BED mit Pythagoras die Strecke DB berechnen. Dazu müssen wir zuerst aber BE herausfinden, das ist aber gerade 6 4. = 1.8 cm. Somit gilt: A=83cm cm E 6 cm F BD = EB +DE = = = = 38.7 cm Die gesuchte Strecke DM entspricht jetzt wiederum der Hälfte der Diagonalen BD, also 38.7 : = cm (jeweils gerundet) 8 1. Wir berechnen als erstes die Deckseite DC. Diese ist nämlich gleich lang wie die Strecke EB, also AB AE = 5 9 = 16cm. Jetzt verwenden wir diese Strecke DC, um mit Hilfe der Fläche die Höhe DE des Trapezes zu berechnen. Wir wissen ja, dass Mittellinie Höhe = Fläche. Und umgekehrt ist die Höhe = Fläche : Mittellinie, in unserem Fall also: A = 16.5 cm DE = 16.5 : ((5 + 16): ) = 16.5 : 0.5 = = 7.93 cm 3. Zuletzt können wir jetzt mit Pythagoras die Strecke AD berechnen. Sie ist nämlich Hypothenuse im rechtwinkligen Dreieck AED, also gilt: 9 cm 5 cm AD = AE +ED = = = =11.99cm LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 4

5 1cm Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck 9 Hier bietet es sich an, eine Subtraktionsmethode anzuwenden. Also die Fläche des Rechteckes minus die Fläche der drei rechtwinkligen Dreiecke rundherum zu rechnen. Dazu braucht es keinen Pythagoras, nur Dreiecksberechnungen! ARechteck = 9 6 = 54 cm ADreieck1 (gelb) = = 13.5 cm ADreieck (blau) = = 6.75 cm ADreieck3 (weiss) = 3 9 = 13.5 cm Somit gilt: Agesuchtes Dreieck = = 0.5 cm 10 Es muss uns gelingen, die Seitenlänge des kleinen, eingeschriebenen Quadrates zu berechnen. Diese ist aber (wie im gelben, rechtwinkligen Dreieck zu sehen, gerade die Hypothenuse dieses Dreiecks. Die beiden Katheten messen dabei 1cm und 7cm (=8cm 1cm). Somit gilt: Seitenlänge kleines Quadrat = 7 +1 = 49+1 = 50 = 7.07cm 6 cm 1cm cm 1cm Die Fläche beträgt also = 7.07 = 50 cm 1cm 8cm 11 In allen vier überlappenden Ecken finden sich dies wegen der Eigenschaft der Symmetrieachsen von Quadrat und Rechteck jeweils ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Somit können wir feststellen, dass die Höhe der grösseren (hier oben und unten) jeweils 5cm, die der kleineren jeweils cm beträgt. So können wir die jeweiligen Schrägstrecken x und y berechnen. Sie sind in den kleinen, farbig markierten Dreiecken (ebenfalls rechtwinklig gleichschenklig) jeweils die Hypothenuse. Also gilt: x= + = 4+4 = 8 =.83cm y x 4cm 10cm y = 5 +5 = 5+5 = 50 = 7.07cm Und so hat das umschriebene Quadrat eine Seitenlänge von = 9.9 cm. Die Fläche des Quadrates beträgt = 9.9 = cm Einfachere Lösung: d Durchmesser d= 14cm; s = = cm Fläche s = 98 cm 1 Durch die Querteilung des Balkens (es ginge auch mittels senkrechter Unterteilung) durch den Mittelpunkt M entsteht das rechtwinklige Dreieck ABM. Dieses hat die Hypothenuse AM, welche gerade der Hälfte des gesuchten Kreisdurchmessers entspricht. Die Strecke AB misst 8cm (wegen Symmetrieeigenschaft), die Strecke BM misst 13cm (ebenfalls wegen Symmetrie). A B 6 cm M 16 cm Somit: AM= BM +AB = 13+8 = = 33 = 15.6cm Demnach ist der Durchmesser d = AM = 15.6 = 30.5 cm (Einfache Lösung: Diagonale im Rechteck berechnen) LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 5

6 Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck 13 Das Quadrat besteht aus 4 gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken, wie hier eines eingezeichnet ist. (Da sich die Diagonalen in einem rechten Winkel schneiden!) Somit ist die Höhe h eines solchen Dreiecks = 4cm. Und damit ist die Hälfte der Diagonalen AM (was der Hypothenuse in der Hälfte eines solchen gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks entspricht) : AM= 4 +4 = = 3 = cm A 8cm h M Der Durchmesser ist also = cm (Auch berechenbar mit d = s = 8 = cm) 14 Mit der Formel der Diagonalen d im Quadrat können wir einfach die Seitenlänge s des eingeschriebenen Quadrates berechnen. Anschliessend berechnen wir die Fläche des grösseren Quadrates und subtrahieren die Fläche des kleineren Quadrates. Und dann teilen wir den Rest durch vier. d Zuerst gilt ja bekanntlich: d = s und entsprechend s =. d 140 Die Seitenlänge s des eing. Quadrates ist also s = = cm. Das grosse Quadrat hat eine Fläche von 10 = 14400cm, das kleine hat eine Fläche von = 9800 cm Die gesuchte Fläche hat also eine Fläche von A= = = 1150 cm s 10 cm 140 cm 15 Das Trapez wird wie abgebildet aufgeteilt in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecke GF ist natürlich auch 1cm lang, somit ist EF = 36 1 = 4 cm. Jetzt lässt sich die Höhe FH des Trapezes berechnen: FH = EH -EF = 8-4 = = 08 = 14.4m 8 m H 1 m I Die Trapezfläche beträgt: ATrapez =Mittellinie Höhe = EG+HI m HF = = Und der Umfang beträgt: u= EG + GI + IH + HE = = 90.4 m E 36 m F G 16 Mit Pythagoras berechnen wir im blauen Dreieck die Länge der Strecke y (welche dort die längere Kathete darstellt). 6 y= = = = Die Strecke v berechnen wir mit x = 13.5 = y x 6 Mit Pythagoras können wir jetzt im gelben Dreieck die Länge der Strecke x (Hypothenuse) ausrechnen: x= = = = v LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 6

7 Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck 17 Zuerst berechnen wir im gelben Dreieck die Länge der Strecke x (Kathete). x = = = = m Nun können wir im grünen Dreieck die Länge der Strecke y berechnen (Kathete): y = = = = m Somit können wir die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks (unterer Teil der gegebenen Figur) berechnen: ADreieck = Grundseite Höhe = ( ) = m 86 m Nun brauchen wir noch die Länge der Strecke w, um die Trapezfläche oben zu berechnen. Das Trapez ist gleichschenklig, das bedeutet, dass die Strecke zwischen den Höhenfusspunkten gleich 36m ist und somit die Strecke v = ( ) : = 1.181m lang ist. 34 m y 90 m x w 34 m v m 64 m Damit ist die Kathete w im kleinen rechtwinkligen Dreieck: w = = = = m Jetzt können wir die Trapezfläche ausrechnen: ATrapez = Mittellinie Höhe = = = m Und die Fläche des ganzen Grundstücks ist somit: AGrundstück = m m = m LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 7

8 6 cm 6 cm Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck 1 Seiten 16 / 17 Berechnungen mit Pythagoras im Raum Allgemeine Lösung für a) und b): 1. Die Berechnung erfolgt schrittweise: Q, P, R sind Kantenmittelpunkte! 1. Berechnung von BQ (Hypothenuse im gelben Dreieck BCQ): BQ = BC +CQ. Berechnung von PB (Hypothenuse im grünen Dreieck BQP): PB = BQ +QP.. 3. Berechnung von AC (Hypothenuse im blauen Dreieck ABC): AC = AB +BC 4. Berechnung von AG (Hypothenuse im roten Dreieck ACG): AG = AC +CG Mit den gegebenen Zahlen erfolgen die Ergebnisse: a) PB = 181 =13.45 cm AG = 89 = 17 cm 3. b) PB = 138 = cm AG = 330 = cm Möglich wäre die Zusammenfassung der Pythagoras-Schritte in die einfache Formel: Raumdiagonale e = a +b +c 4. a) Für die Volumenberechnung ist es am Einfachsten, wenn man den Quader minus dem dreiseitigen Prisma (mit den gelben Grund und Deckseiten rechnet. Dies ist besonders einfach, denn es braucht keinen Pythagoras dazu. VQuader = = 576 cm 3 VPrisma = Grundfläche Höhe = = 144 cm3 Somit: VRestkörper = VQuader - VPrisma = = 43 cm 3 b) Für die Oberfäche brauchen wir die Länge der rot markierten Strecke, damit wir die Fläche der Schräge berechnen können. Die gesuchte Strecke findet sich aber einfach mit Pythagoras im grauen rechten Dreieck: Rote Strecke = 8 +6 = = 100 = 10 cm Somit ist die Oberfläche: Von rechts: 6 8 = 48cm (die grauen Dreiecke bilden ein Rechteck) Von links: 6 8 = 48cm Von unten: 1 8 = 96cm Von hinten: 6 1 = 7cm Von vorne: 6 6 = 36cm (Nur das Rechteck links von MM3) Von oben: 6 8 = 48cm Schräge: 10 6 = 60cm Total beträgt die Oberfläche also: 408 cm M M3 M M3 1 cm M1 1 cm M1 8 cm 8 cm LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 8

9 Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck 3 a) Zuerst müssen wir die rote Strecke EA berechnen, dann können wir die Schräg-Seiten des übrig bleibenden Prismas berechnen (Länge Breite) Mit Pythagoras können wir herausfinden, dass EA = 4 +3 = 16+9 = 5 = 5 cm Die Grundfläche des Prismas setzt sich aus dem Rechteck EFJI und dem Trapez ABFE zusammen. Rechteck = 6 (3+4+3) = 6 10 = 60cm Trapez = Mittelline Höhe = = 7 4 = 8 cm Die Grundfläche hat also die Fläche = 88cm Der Mantel des Prismas berechnet sich wie folgt: M = u h, also ( ) 10 = = 360cm 6 cm 4 cm 3 cm 4 cm 3 cm 4 cm Somit beträgt die Oberfläche S = G+M = = 536 cm b) Für die Berechnung der Strecke DJ brauchen wir zweimal Pythagoras, einmal im blauen rechtwinkligen Dreieck PQD, danach im rechtwinkligen Dreieck DPJ. Zuerst also gilt mit Hilfe von QD = 7cm (=3+4) PD = PQ +QD = = = 149 (= 1.1 cm) DJ = DP +PJ = ( 149) = 49 = cm Q c) Konstruktionsbericht: 1. Mitte von IL P. PK verbinden 3. PK parallel durch A verschieben S, Q (parallele Flächen!!!) 4. QK verbinden R 5. QK parallel durch P verschieben T (parallele Flächen) 6. TA verbinden 7. AS verbinden 8. SR verbinden 9. RK verbinden, fertig. LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 9

10 Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck 4 Der Streckenzug bewegt sich ausschliesslich im Quader und jede einzelne Teilstrecke des Streckenzuges lässt sich mit Pythagoras berechnen:.1. RG als Hypothenuse im gelben Dreieck RGH RG = RH +HG = 4 +1 = = 160 = cm. PG als Hypothenuse im grünen Dreieck PCG. Dabei muss zuerst im weissen Dreieck PBC die Länge der Strecke PC berechnet werden. PC = PB +BC = 6 +8 = = 100 = 10 cm PG = PC +CG = = = 136 = cm 3. RQ als Hypothenuse im blauen Dreieck RQH RQ = RH +HQ = 4 +3 = 16+9 = 5 = 5 cm 4. QP als Hypothenuse im roten Dreieck PQD. Dabei muss zuerst im weissen Dreieck APD die Länge der Strecke DP berechnet werden. DP = AP +AD = 6 +8 = = 100 = 10 cm AB = 1cm, BC = 8cm, CG = 6cm PQ = PD +DQ = = = 109 = cm Der gesamte Streckenzug misst also: Streckenzug PGRQP = PG + GR + RQ + QP = = cm Die Länge des Streckenzuges beträgt also cm LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 10

11 4cm Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck Seiten 0/1/ Berechnungen und Konstruktion von Strecken und Flächen in wahrer Grösse 1 Die Berechnung der gesuchten Grössen erfolgt nach dem Schema von oben. Der Flächeninhalt von ABGH berechnet sich aus AB BG, wobei BG mit Pythagoras als Diagonale im Quadrat BCGF berechnen lässt (d = s ). BG misst somit 4. Der Flächeninhalt der Schnittfläche ABGH beträgt also Fläche = 4 4 = 16 cm =.63 cm 4cm Die Strecke AM dagegen kann als Hypothenuse im Dreieck AHM betrachtet werden, ihre Länge misst also: AM = AH +HM = (4 ) + = = 36 = 6 cm 1. Rechtwinkliges Dreieck AEH AH. Rechteck AHCG (mit jeweils rechten Winkeln auf AH!) 3. HG halbieren M 4. MH verbinden. M 4cm 4cm Die Berechnung der gesuchten Grössen erfolgt nach dem Schema von oben. Der Flächeninhalt von DM1MH berechnet sich aus DM1 MM1, wobei DM1 mit Pythagoras als Hypothenuse im Dreieck DAM1 berechnet wird. DM1 = AM1 +AD = = = 15.5 = cm Der Flächeninhalt der Schnittfläche ABGH beträgt also Fläche = = 15.6 cm Die Strecke DM dagegen kann als Hypothenuse im Dreieck DM1M betrachtet werden, ihre Länge misst also: DM = DM 1 +M 1M = = = 31.5 = 5.59 cm 1. Rechtwinkliges Dreieck ADM1 DM1. Rechteck DM1MH (mit jeweils rechten Winkeln auf DM1!) 3. MD verbinden. 5cm 3cm LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 11

12 cm Lösungen Geometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck 3 Die gesuchte Strecke M1M lässt sich in das Dreieck M1EM einbetten. Dort ist M1M die Hypothenuse. Allerdings müssen wir vorher noch die Strecke ME berechnen, dies im Dreieck HEM. EM = EH +HM = 3 + = 9+4 = 13 cm = cm Die Hypothenuse M1M ist nun also im gelben Dreieck: M1M = EM +EM1 = ( 13) + 1 = 13+1 = 14 = 3.74 cm Die gesuchte Strecke M1M misst also 3.74 cm 1. Rechtwinkliges Dreieck EHM EM. EM1 senkrecht zur Strecke EM abtragen M1 3. M1M verbinden. 4 cm 3 cm LoesungenGeometrie-Dossier - Aussagen am rechtwinkligen Dreieck.docx A. Räz / Seite 1

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