Theoretische Physik I - Klassische Mechanik -

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1 Skript zur Vorlesung Theoretische Physik I - Klassische Mechanik - Prof. Dr. Ludger Santen Universität des Saarlandes Geb. E 6, Zi l.santen@mx.uni-saarland.de Letzte Aktualisierung: 6. Juli 013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Newtonsche Mechanik Die Newtonschen Gesetze Inertialsysteme Einige einfache Erhaltungssätze Das Zweiteilchensystem N-Teilchensysteme Galileitransformation Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten Variationsrechnung und Funktionale Denition: Funktional Funktionalableitung und -integration Variationsrechnung Prinzipien der kanonischen Mechanik: Die Langrangeschen Gleichungen 17.1 Das d'alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Extremalprinzip Lagrange-Gleichungen und Extremalprinzip Das Hamiltonsche Prinzip für Systeme mit Zwangsbedingungen Symmetrien und Erhaltungsgröÿen Das Noether-Theorem Energieerhaltungssatz Die Hamiltonschen Gleichungen Legendre-Transformation Hamiltonfunktion Hamiltonsche Gleichungen und Hamiltonsches Prinzip Die Poisson-Klammern Kanonische Transformation Allgemeine kanonische Transformationen Kanonische Invarianten Der Satz von Liouville Innitesimale kanonische Transformationen Integrale der Bewegung Die Hamilton-Jacobische Dierentialgleichung 54 I

3 5 Oszillationen Die Bedeutung des Oszillatorpotentials Die Entwicklung periodischer Funktionen in Fourierreihen Symmetrien Funktionen mit endlichem Denitionsbereich Gekoppelte Oszillationen: Eigenwertgleichungen und Hauptkoordinaten Erzwungene Schwingungen und Dämpfung Nichtlineare Schwingungen Übergang zum schwingenden Kontinuum Lösung der Wellengleichung Mechanik des starren Körpers Innitesimale Verrückung eines starren Körpers Eigenschaften des Trägheitstensors Der Satz von Steiner Kräftefreie Bewegung von starren Körpern Die Eulerschen Gleichungen Die Eulerschen Winkel II

4 1 Newtonsche Mechanik 1.1 Die Newtonschen Gesetze Die Newtonschen Gesetze von 1687 lauten in ihrer ursprünglichen Formulierung: 1. Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern. Bemerkung: Ohne äuÿere Kräfte ist also der Geschwindigkeitsvektor konstant und nicht nur sein Betrag.. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. Bemerkung: Die mathematische Formulierung dieses Gesetzes führt auf die klassischen Bewegungsgleichungen. 3. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich. Diese Gesetze führen einige Begrie ein, die wir genauer diskutieren werden. Körper: Hier werden zunächst mathematisch idealisierte Massepunkte betrachtet. Ausgedehnte (starre Körper bzw. kontinuierliche Masseverteilungen werden gesondert diskutiert. Die Bewegung eines Körpers wird durch Bahnkurven r(t im R 3 beschrieben. Beispiele: Kreisförmige Bewegung mit Radius R und Kreisfrequenz ω in der Höhe z 0 : R cos(ωt r(t = R sin(ωt z 0 1

5 Wurfparabel mit Anfangsort r(t = 0 = x 0 0 z 0, Anfangsgeschwindigkeit v(t = 0 = ṙ(t = 0 = v x 0 v z und Erdbeschleunigung g = g e z : r(t = v x t + x 0 0 v z t + z 0 gt / Für eine geradlinig gleichförmige Bewegung gilt: r(t = r 0 + v 0 t mit Anfangsort r 0 und Anfangsgeschwindigkeit v 0. Für die geradlinig gleichförmige Bewegung gilt oensichtlich: v(t = ṙ(t = v 0 und a(t v(t = r(t = Inertialsysteme In einem Inertialsystem hat das zweite Newtonsche Gesetz die Form: F = dp dt ṗ (1 mit dem Impuls p(t und der äuÿeren Kraft F. Für den Impuls gilt: p = mv = mṙ, ( wobei m die Masse des Körpers bezeichnet. Bleibt die Masse während der Bewegung konstant (Gegenbeispiel: Rakete, so gilt: F = ma = m r.

6 In einem Inertialsystem ist die kräftefreie Bewegung eines Körpers geradlinig gleichförmig, da ṗ = 0 gilt (m = const.. In Koordinatensystemen, die selbst beschleunigt sind, treten dagegen sogenannte Scheinkräfte auf (Zentrifugal- & Corioliskraft. Satz: Sei K ein Inertialsystem. Dann ist auch jedes sich mit konstanter Geschwindigkeit w relativ zu K bewegende Koordinatensystem K' ein Inertialsystem. Das Gesetz (1 gilt also auch in K', wie man leicht nachrechnen kann. 1.3 Einige einfache Erhaltungssätze 1. Impulserhaltung Wenn die Summe aller äuÿeren Kräfte F, die auf einen Körper wirken, verschwindet, dann gilt ṗ = 0 und somit die Erhaltung des Impulses.. Drehimpulserhaltung Der Drehimpuls eines Teilchens ist deniert als: L = r p, (3 wobei r den Vektor vom Koordinatenursprung zum Körper bezeichnet. L r p_ Abbildung 1: Denition des Drehimpulses. Für unser Beispiel einer Kreisbewegung in der x-y-ebene gilt: R cos(ωt Rω sin(ωt r(t = R sin(ωt, ṙ(t = Rω cos(ωt 0 0 3

7 und damit: L = mr ṙ = mr ω = mωr e z. 0 0 cos (ωt + sin (ωt Für einen Körper, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω parallel zur x-y-ebene bewegt, ist der Drehimpuls parallel zur z-achse ausgerichtet. Für eine Bewegung im mathematisch positiven Sinne ist das Vorzeichen von L positiv und umgekehrt. Das Drehmoment 1 wird deniert durch: N = r F. (4 Wir betrachten nun die zeitliche Änderung des Drehimpulses, die durch (m = const.: dl dt = d (r mv = ṙ mṙ + r m r = N dt gegeben ist. Durch das Drehmoment wird also die Änderung des Drehimpulses festgelegt: L dl dt = N. (5 Erhaltung des Drehimpulses: Wenn das gesamte Drehmoment N, das auf einen Körper wirkt, verschwindet, ist der Drehimpuls L erhalten. 3. Energieerhaltung Die von einem Körper geleistete Arbeit W ist durch das Wegintegral W 1 = 1 F ds (6 gegeben. Wenn wir wiederum annehmen, dass m = const. gilt, erhalten wir: 1 F ds = m 1 dv dt (v dt = m 1 d dt (v dt 1 Wir passen uns hier der Notation von Goldstein et al an; gebräuchlich ist auch M. 4

8 und damit: W 1 = m (v v 1 T T 1. Die geleistete Arbeit entspricht also der Änderung der kinetischen Energie T = m v. (7 Wenn die Änderung der Energie nicht vom Pfad abhängt, spricht man von einem konservativem Kraftfeld. Es gilt dann auch: F ds = 0. (8 Für konservative Kraftfelder existiert ein Potential, so dass: Damit erhalten wir auch F ds = dv. F = V (r. (9 Oensichtlich ändert sich das Kraftfeld nicht, wenn wir zum Potential eine Konstante hinzuaddieren. Mit dem Potential können wir einen weiteren Erhaltungssatz formulieren: Energieerhaltung: Wenn die Kräfte, die auf einen Körper wirken, konservativ sind, ist die Gesamtenergie T + V des Körpers erhalten, wobei mit V die potentielle Energie bezeichnet wird. Es gilt also T 1 + V 1 = T + V. 1.4 Das Zweiteilchensystem Für ein System aus zwei Körpern mit Massen m 1 und m gilt: m 1 r 1 = F 1 sowie m r = F 1 = F 1. Damit gilt dann auch: m 1 r 1 + m r = 0. Wenn man nun die Schwerpunktkoordinaten einführt, gilt oenbar: r s = r s := 1 m 1 + m (m 1 r 1 + m r 1 m 1 + m (m 1 r 1 + m r = 0. 5

9 Der Schwerpunkt des Systems bewegt sich also geradlinig gleichförmig. Interessanter ist die Relativbewegung der Körper. Wir führen dazu Relativkoordinaten r = r 1 r ein. m 1 _ r 1 r _ s _ r m z r _ x y Abbildung : Schwerpunkt- und Relativkoordinaten. Die ursprünglichen Koordinaten ergeben sich dann aus: m r 1 = r s + r, r = r s m 1 r. m 1 + m m 1 + m Das Kraftgesetz für die Relativbewegung lautet damit: m 1 r 1 = m 1 r s + m 1m m 1 + m r = m 1m m 1 + m r = F 1. Mit der reduzierten Masse gilt dann: µ = m 1m m 1 + m µ r = F 1. Ein Beispiel für ein solches Kraftgesetz ist das Gravitationsgesetz, das auf das Keplerproblem führt. Explizit gilt für das Gravitationspotential V (r = G m 1m µ r = G m 1m r 6 r r. r :

10 Für das Drehmoment N = dl dt gilt im Gravitationspotential: dl dt = µr r = Gm 1m r 3 (r r = 0. Der Drehimpuls ist also eine Erhaltungsgröÿe für ein Teilchen, das einer Zentralkraft F (r = f(r r (10 ausgesetzt ist. Die Gravitationskraft lässt sich aus dem Potential V (r = A r herleiten, wobei A = Gm 1 m ist. Damit ist auch die Gesamtenergie in dem System erhalten. 1.5 N-Teilchensysteme Wir betrachten N Massenpunkte {m 1, m,..., m N }. Zwischen den Körpern wirken die inneren Kräfte F ik. Ferner wirken die äuÿeren Kräfte K i auf die Massepunkte. Wir nehmen an, dass die F ik Zentralkräfte sind. Damit gilt: F ik = F ik (r ik r k r i r ik mit r ik = r i r k. F ik (r ik sei eine skalare Funktion, die nur vom Abstand zwischen den Massepunkten i und k abhängt. Die Kräfte F ik seien Potentialkräfte, d.h. F ik = k U ik (r ik. Die Bewegungsgleichungen haben dann die Form: m i r i = F ik + K i, k i wobei F ki = F ik gilt und K i die äuÿeren Kräfte bezeichnen. Für N-Teilchensysteme lassen sich verschiedene Erhaltungssätze herleiten: Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt bewegt sich wie ein Massepunkt der Masse M = N m i unter der Wirkung der äuÿeren Kraft K = N K i, also: M r s = K i mit dem Schwerpunkt r s 1 M m i r i. 7

11 Drehimpulssatz: Für die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses gilt: d dt ( N l i = r j K j. j=1 Sie ist also die Summe der Drehmomente der äuÿeren Kräfte. Energiesatz: Die zeitliche Änderung der gesamten Energie ist gleich der Leistung der äuÿeren Kräfte: N d dt (T + U = (ṙ i K i mit T = Beweis: Es gilt: m i v i i m i r i = i ( k i U ik (r ik T i und U = i<k U ik (r ik. + K i (i = 1,,..., N d dt T i = d dt = m i = m i ( mi r i d (ẋ dt i + ẏi + żi [( ( ( ] ẋ i ẍ i + ẏi ÿ i + żi z i ẋ i ẏ i ż i = m i (ẋ i ẍ i + ẏ i ÿ i + ż i z i = m i ṙ i r i ( = ṙ i i U ik (r ik + ṙ i K i k i 8

12 Wenn man nun über alle Teilchen summiert, ergibt sich: ( N d T i = ṙ i i U ik (r ik + ṙ i K i dt k i }{{} = d dt N N k=i+1 U ik(r ik (Kettenregel = d N dt U + ṙ i K i und damit die Behauptung. Einen wichtigen Spezialfall stellen die abgeschlossenen N-Teilchensysteme dar, für die die äuÿeren Kräfte verschwinden. Für abgeschlossene N-Teilchensysteme kann man insgesamt 10 Erhaltungsgröÿen oder Integrationskonstanten angeben: den Gesamtimpuls P = N p i = const., die Gesamtenergie E = T + U = P M + T rel + U, der Schwerpunktsatz r s (t 1 M P t = r s(0, der Gesamtdrehimpuls L = N l i = r P + l rel. 1.6 Galileitransformation Die allgemeine Transformation, die Inertialsysteme wieder auf Inertialsysteme abbildet hat die folgende Form: r r = R r + w + a mit R O(3, det(r = ±1 t t = λt + s mit λ = ±1 R beschreibt eine eigentliche (uneigentliche Drehung, falls det(r = +1 (det(r = 1. w ist ein konstanter Geschwindigkeitsvektor und a eine konstante Verschiebung. Die allgemeine Transformation hängt von 10 Parametern (drei Drehwinkel, jeweils drei Komponenten von a, w und s ab. Dies entspricht der Zahl der Erhaltungsgröÿen im abgeschlossenen n-teilchensystem! Wir werden später den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgröÿen genauer betrachten. Hier halten wir fest, dass aus der Invarianz unter 9

13 Zeittranslation die Erhaltung der Gesamtenergie, räumlicher Translation die Impulserhaltung, und der Invarianz gegenüber Drehungen die Drehimpulserhaltung folgt. Schlieÿlich gilt, dass die Gröÿe r s (0 = r s (t P M t unter der Transformation r r = r + w invariant bleibt. 1.7 Zwangsbedingungen und generalisierte Koordinaten Die Einführung geeigneter Koordinaten ist ein wichtiger Schritt bei der Lösung der Bewegungsgleichungen. Koordinatentransformationen können beispielsweise dazu dienen Freiheitsgrade des Systems zu entkoppeln und damit die Lösung stark zu vereinfachen. Beispiel: Für Zentralkräfte, für die V (r = V (r gilt, ist die Einführung von Kugelkoordinaten sinnvoll. Solche Koordinaten werden generalisierte Koordinaten q i genannt. Es gilt der Zusammenhang r i (t = r i (q 1, q,..., q 3N, t, i = 1,..., N für ein N-Teilchensystem im dreidimensionalen Raum. Bemerkung: Für N ausgedehnte Körper beträgt die Zahl der Freiheitsgrade 6N in 3D, da die Orientierung festgelegt werden muss. Bei den meisten physikalischen Problemen treten Zwangs- oder Nebenbedingungen auf, wie beispielsweise bei einem Zylinder, der auf einer Fläche rollt. Man unterscheidet: Holonome Nebenbedingungen, die in der Form: f i (q 1,..., q 3N, t = 0, i = 1,..., k (11 geschrieben werden können. Durch k holonome Nebenbedingungen reduziert sich die Zahl der Freiheitsgrade auf 3N k. Nicht-holonome Nebenbedingungen lassen sich nicht durch Gleichungen zwischen generalisierten Koordinaten in der Form (11 beschreiben. 10

14 Beispiele: Ebenes Pendel: In Kugelkoordinaten gilt oensichtlich: r L = 0, ϕ ϕ 0 = 0 (holonome Zwangsbedingung θ L Abbildung 3: Ebenes Pendel. Rollende Kreisscheibe: Wir betrachten eine Kreisscheibe die sich in der x-y-ebene bewegt. Die Bewegung der Kreisscheibe wird durch die x-y-koordinate des Mittelpunktes, den Rotationswinkel φ um die Achse der Scheibe und den Winkel θ zwischen Rotations- und x-achse beschrieben. ϕ θ x y Abbildung 4: Rollende Kreisscheibe. 11

15 Oenbar gilt: v = v = a φ, da der Betrag der Geschwindigkeit proportional zur Winkelgeschwindigkeit φ ist. Für die Komponenten von v gilt: ẋ = v sin(θ und ẏ = v cos(θ und mit der obigen Bedingung für v gilt: dx a sin(θdφ = 0 und dy + a cos(θdφ = 0. Die Zwangsbedingungen lassen sich nur in dierentieller Form schreiben und sind daher nicht holonom. Die Gleichungen lassen sich nicht unabhängig integrieren, da der Zusammenhang zwischen θ und φ nicht festgelegt ist. Weitere Beispiele für nicht-holonome Zwangsbedingungen sind Ungleichungen. Man unterscheidet ferner zeitabhängige Zwangsbedingungen, die man rheonom nennt, und zeitunabhängige (skleronom. 1.8 Variationsrechnung und Funktionale In diesem Abschnitt werden einige Prinzipien der Variationsrechung erläutert, die wir im anschlieÿenden Kapitel benötigen Denition: Funktional Ein Funktional ist eine Abbildung aus dem Funktionenraum X in die reellen bzw. komplexen Zahlen, also: φ : f X φ[f] C. (1 Beispiel: Integrale über Funktionen, Normen, Skalarprodukte wie: φ[f] = dx u(xf(x mit der festen Funktion u(x. Für lineare Funktionale gilt: R φ[αf + βg] = αφ[f] + βφ[g]. (13 1

16 Beispiele: φ[f] = b a dxf(x ist ein lineares Funktional, da: φ[αf + βg] = = α b a b dx (αf + βg a dx f(x + β = αφ[f] + βφ[g]. b Explizit ergibt sich für f(x = 1 = const.: und für φ[1] = b a φ[αx n 1 ] = α bn a n n. a dx g(x Umgekehrt ist φ[f] = b a dx f (x nicht linear, da beispielsweise gilt: φ[αf] = α φ[f] Funktionalableitung und -integration Bevor wir die Funktionalableitung einführen, erinnern wir kurz an die Denition der Ableitung von Funktionen einer Variablen. Für gewöhnliche Funktionen kann man die Ableitung über die lineare Näherung einführen: Zu jeder Funktion f(x existiert eine weitere Funktion df(x für die gilt: dx df(x f(x + h f(x dx h = O(h, O(h wobei lim h 0 h = 0 und O die Ordnung angibt. Dieses Konzept wollen wir nun auf Funktionale verallgemeinern. Wir betrachten dazu die Änderung des Arguments von φ[f] um einen additiven Beitrag h(x, also φ[f + h]. Dann ist die lineare Näherung δφ gegeben durch: δf(x φ[f + h] φ[f] dx δφ (x h(x δf = O( h. Bemerkungen: Wir setzen voraus, dass f und h zweimal stetig dierenzierbare Funktionen auf einem Banach-Raum X (vollständiger normierter Raum sind. 13

17 δφ δf X nennt man Funktional- oder Fréchet-Ableitung. O( h beschreibt einen Ausdruck, der schneller als linear in der Norm von h verschwindet. Beispiel: Wir betrachten das Funktional: φ[f] = dx u(x f(x. Dann gilt: φ[f + h] = und somit: φ[h] = R R δφ δf = u(x. Analog ergibt sich: R dx u(x (f(x + h(x = φ[f] + φ[h] dx u(x h(x = R dx δφ (x h(x δf δφ[f] δf(x = 1 für das lineare Funktional und δφ[f] δf(x = f(x für a < x < b und φ[f] = b a dx f (x. Man kann für die Funktionalableitung auch weitere Rechenregeln ableiten, wie zum Beispiel die Produktregel oder die Regel: δ(φ[f] n δf n 1 δφ = n(φ[f] δf. 1.9 Variationsrechnung Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit der Bestimmung von Extremwerten von Funktionalen, wie beispielsweise der Bestimmung des kürzesten Weges auf einer gekrümmten Fläche. Dabei sind die Anfangs- und Endpunkte festgehalten und die Funktion y(t wird variiert. 14

18 A E Abbildung 5: Bestimmung des kürzesten Weges auf einer gekrümmten Fläche. Im Hinblick auf die Anwendung in der Mechanik betrachten wir ein Funktional der Form: Wir betrachten nun: S[y + h] = = b a b a S[y] = b a dt f(y(t, ẏ(t, t. dt f(y(t + h(t, ẏ(t + ḣ(t, t ( dt f(y, ẏ, t + h f y + ḣ f ẏ + O ( h Damit wir einen Ausdruck linear in h(t erhalten, müssen wir partiell integrieren. Wir nutzen dazu aus, dass h(a = h(b = 0 gilt und somit h(t f(y,ẏ,t ẏ am Rand verschwindet. Es gilt also: b ( S[y + h] = dt f(y, ẏ, t + h f y h d f dt ẏ + O ( h. Die Funktionalableitung lautet daher: a. δs[y] δy = f y d f dt ẏ. Das Funktional nimmt einen Extremwert an, wenn δs δy gilt. f y d f dt ẏ = 0, also: = 0 (Euler-Lagrange-Gleichung (14 15

19 Beispiel: Kürzeste Verbindung zwischen (0; 1 und (4; 3 Euler-Lagrange: S[y] = y d y dx d y dx = y y 1 + y = c 0 dx 1 + y ( 1 + y = 0 y y = c 1 c b y = b y = a + bx Durch y(0 = a = 1 und y(4 = 1 + 4b = 3 werden die Konstanten a = 1 und b = 1 festgelegt. 16

20 Prinzipien der kanonischen Mechanik: Die Langrangeschen Gleichungen Die kanonische Formulierung der klassischen Mechanik bietet die Möglichkeit in eleganter Weise die Zwangsbedingungen eines mechanischen Systems zu berücksichtigen und die Bewegungsgleichungen in unabhängigen Koordinaten zu formulieren. Der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgröÿen ergibt sich in einfacher Weise..1 Das d'alembertsche Prinzip Eine sogenannte virtuelle Verrückung ist eine innitesimale Änderung δr i aller Koordinaten r i, die mit den Zwangskräften vereinbar sind. Der Begri virtuell könnte auch durch instantan ersetzt werden, da vorausgesetzt wird, dass sich die Zwangskräfte nicht verändern (was für endliche Zeitintervalle nicht vorausgesetzt werden kann. Wir nehmen an, dass sich das System im Gleichgewicht bendet, das heiÿt, dass die Summe aller Kräfte auf alle beliebigen Teilchen verschwindet: F i = 0 F δr i = 0 und somit trivialerweise: F i δr i = 0. und Zwangs- Wenn man nun die Kräfte in tatsächlich wirkende Kräfte F (a i kräfte f i aufteilt ergibt sich: F i δr i = F (a i δr i + f i δr i = 0. Wir befassen uns nun mit solchen Systemen, in denen die Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit verrichten, also N f i δr i = 0. Damit gilt dann für ein mechanisches System im Gleichgewicht: F (a i δr i = 0. (15 17

21 Bemerkungen: Im Gegensatz zu den Kräften F i gilt nicht, dass die einzelnen Summanden verschwinden, da die δr i mit den Zwangsbedingungen kompatibel sein müssen. Sie sind also nicht zwangsläug unabhängig. Die Arbeit N F i δr i, die durch virtuelle Verrückungen geleistet wird, nennt man auch virtuelle Arbeit. Bislang betrit Gleichung (15 nur die Statik des Systems. Wir wollen nun aber Bewegungsgleichungen herleiten, die wie (15 keine Zwangskräfte enthalten. Dazu formen wir die Gleichung F i = ṗ i in geeigneter Weise um. Wir betrachten den Ausdruck F i ṗ i = 0. Damit haben wir durch die Einfürung der Reaktionskraft ṗ i wieder eine Gleichgewichtsbedingung formuliert. Es gilt oensichtlich: (F i ṗ i δr i = 0. Zerlegen wir wiederum F i in F i = F (a i (F (a i + f i ṗ i δr i = + f i, ergibt sich: (F (a i ṗ i δr i + f i δr i = 0. Da wir wiederum voraussetzen, dass die virtuellen Kräfte keine Arbeit verrichten, ergibt sich: (F (a i ṗ i δr i = 0. (16 Diesen Ausdruck nennt man das d'alembertsche Prinzip. Da wir nun die Zwangskräfte eleminiert haben, müssen wir nicht mehr zwischen F i und F (a i unterscheiden und bezeichnen die wirkenden Kräfte von nun an als F i. Wir betrachten im Weiteren die Gleichung (16 als Ausgangspunkt und führen generalisierte Koordinaten q i mit i = 1,,..., n ein. Aus r i = r i (q 1, q,..., q n, t ergibt sich dann: v i ṙ i = k=1 r i q k q k + r i t. 18

22 Ähnlich gilt für die virtuellen Verrückungen: δr i = j=1 r i q j δq j. Und somit: wobei wir mit: F i δr i = j=1 F i r i q j δq j F i r i q j = Q j die generalisierten Kräfte bezeichnen. Q j δq j, Bemerkung: Die generalisierten Koordinaten q j haben nicht zwangsläug die Dimension einer Länge. Damit haben die Q j auch nicht zwangsläug die Dimension einer Kraft. Q j δq i muss aber immer die Dimension einer Arbeit besitzen. (Beispiel: Q j Drehmoment; δq j dierentieller Winkel. j=1 Nun wenden wir uns dem zweiten Ausdruck in (16 zu: ṗ i δr i = m i r i δr i = j=1 m i r i r i q j δq j. Es gilt: m i r i r i q j = ( d m i ṙ i r i dt q j ( d ri m i ṙ i dt q }{{ j } m i ṙ i ṙ q i j (17 und: d dt ( ri q j Weiterhin ergibt sich: = ṙ i q j = v i q j = q j ( k=1 k=1 r i q j q k q k + r i q j t = v i q j. r i q k + r i q k t = r i q j. 19

23 Durch Einsetzen in (17 erhalten wir: m i r i r i q j = [ ( d m i v i v ] i v i m i v i dt q j q j, so dass sich insgesamt für N (ṗ i F (a i δr i ergibt: [ ( N ] ( d 1 dt q j m ivi N 1 q j m ivi }{{}}{{} j=1 N d dt ( m i v i v i q j j=1 m i v i v i q j Q j }{{} i F i r i q j δq j. Mit der kinetischen Energie T = 1 N m ivi ergibt sich dann für das d'alembertsche Prinzip in generalisierten Koordinaten: { ( d T T } Q j δq j = 0. (18 dt q j q j Bemerkung: In kartesischen Koordinaten hängt T nur von den Geschwindigkeiten ab, so dass T x i = 0. Dies ist für generalisierte Koordinaten jedoch nicht immer der Fall. Bislang hatten wir vorausgesetzt, dass die Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit leisten. Für holonome Zwangsbedingungen ist es dagegen immer möglich einen Satz unabhängiger Koordinaten zu nden, die die Zwangsbedingungen implizit berücksichtigen. Dann sind auch die virtuellen Verrückungen unabhängig, so dass für alle Summanden gilt: d dt ( T q j T q j = Q j. Wir betrachten nun Potentialkräfte F i = i V (r 1,..., r N, t. Dann gilt: Q j = F i r i q j = i V r i q j V q j. Damit ergibt sich dann für Potentialkräfte: ( d T (T V = 0. dt q j q j 0

24 Bemerkungen: Da wir auch explizit zeitabhängige Potentiale zugelassen haben, haben wir bislang noch keine Energieerhaltung vorausgesetzt. V hängt nicht von den generalisierten Geschwindigkeiten ab. Daher gilt auch: ( d (T V (T V = 0. dt q j q j Wenn wir nun T und V zur sogenannten Lagrange-Funktion zusammenfassen, ergibt sich: d dt L = T V (19 ( L q j L q j = 0. (0 Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen zweiter Art. Bemerkung: Die Lagrangegleichung gelte für unabhängige generalisierte Koordinaten. Beispiel: Wir betrachten eine Punktmasse auf einer Kugelschale im Gravitationsfeld. Wir legen den Koordinatenursprung nun so, dass die Masse m auf der Kugelschale immer den Abstand r = R hat. z φ θ R y x Abbildung 6: Sphärisches Pendel. 1

25 Die Zwangsbedingung ist also holonom, so dass das Problem in unabhängigen generailisierten Koordinaten beschrieben werden kann. Dann gilt mit: r = R cos(ϕ sin(θ R sin(ϕ sin(θ R cos(θ und F = mge z = F z e z in generalisierten Koordinaten q 1 = θ, q = ϕ: Q 1 = F r q 1 = F z R sin(θ = mgr sin(θ und Q = 0. Die Q i sind Potentialkräfte mit U(q 1, q = mgr(1 + cos(q 1. Weiterhin gilt: cos(ϕ cos(θ θ sin(ϕ ϕ sin θ ṙ = R sin(ϕ cos(θ θ + cos(ϕ ϕ sin(θ, sin(θ θ und somit: [ ( ṙ = R cos(ϕ cos(θ θ sin(ϕ ϕ sin θ + ( sin(ϕ cos(θ θ ] + cos(ϕ ϕ sin(θ + sin (θ θ = R [cos (ϕ cos (θ θ sin(ϕ cos(ϕ ϕ sin(θ cos(θ θ + sin (ϕ ϕ sin (θ + sin (ϕ cos (θ θ + sin(ϕ cos(ϕ ϕ sin(θ cos(θ θ + cos (ϕ ϕ sin (θ + sin (θ θ ] = R [cos (θ θ + sin (θ θ ] + ϕ sin (θ [ ] = R θ + ϕ sin (θ = R [ q 1 + q sin (q 1 ] T = mr [ q 1 + q sin (q 1 ] (folgt aus T = 1 mṙ und einsetzen der generalisierten Koordinaten.

26 Damit erhalten wir: L = 1 mr [ q 1 + q sin (q 1 ] mgr [1 + cos(q 1 ]. Euler-Lagrange: L q 1 = mr q sin(q 1 cos(q 1 + mgr sin(q 1 L q = 0 L q 1 = mr q 1 L q = mr q sin (q 1 Die Bewegungsgleichungen haben daher die Form: [ q 1 q cos(q 1 + g ] sin(q 1 = 0, R q sin (q 1 + q 1 q sin(q 1 cos(q 1 = 0.. Das Hamiltonsche Extremalprinzip Wir haben im vorigen Abschnitt gesehen, dass die Lagrange-Gleichungen und damit die Bewegungsgleichungen aus dem Prinzip folgen, dass die Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit leisten und den Begri der virtuellen Verrückung δr i eingeführt. Das Hamiltonsche Prinzip bietet einen alternativen Zugang. Einem mechanischen System mit n Freiheitsgraden, die durch die unabhängigen generalisierten Koordinaten q 1, q,..., q n beschrieben werden, sei eine C - Funktion der Variablen q i und q i, mit i = 1,,..., n, L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t zugeordnet, die sogenannte Lagrange-Funktion. Weiterhin betrachten wir eine Bahnkurve ϕ(t = {ϕ 1 (t,..., ϕ n (t} im Intervall t 1 t t. Es gilt ϕ(t 1 = a und ϕ(t = b. Für eine solche physikalische Bahnkurve ϕ(t ist das Funktional extremal. I := t t 1 dt L(q(t, q(t, t Bemerkung: Das Funktional hat die Dimension einer Wirkung, also Energie Zeit. Eine C -Funktion ist eine zweimal stetig dierenzierbare Funktion. 3

27 ..1 Lagrange-Gleichungen und Extremalprinzip Satz: Das Funktional I ist dann für ϕ(t extremal, wenn ϕ(t die Euler-Lagrange- Gleichungen: δl = L d ( L, k = 1,,..., n δq k q k dt q k erfüllt. Beweis: Wir nehmen an, dass q(t, α = ϕ(t + αψ(t ist, wobei: 1 α 1 und ψ(t 1 = ψ(t = 0, ψ(t stetig. Falls I für ϕ(t extremal ist gilt: [ ] d dα I(α = 0 mit I(α = Es gilt weiterhin: t d t dα I(α = t 1 α=0 t 1 dt L(q(t, α, q(t, α, t. k=1 ( L dq k q k dα + L d q k q k dα Wenn wir nun den zweiten Term partiell integrieren, erhalten wir: t t 1 dt L q k d q k dα = =0, da[ dqk dα [ ] t L dq k q k dα t }{{} 1 ] t so dass sich insgesamt ergibt: [ ] d t dα I(α = dt α=0 t 1 k=1 t 1 =ψ(t ψ(t 1 =0 0 [ L q k d dt ( L q k. t dt d t 1 dt ( L ] ψ k (t = 0. Da die Funktionen ψ k (t beliebig und unabhängig sind, muss L d ( L = 0 q k dt q k gelten, so dass die Euler-Lagrange-Gleichungen folgen. 4 q k dqk dα,

28 .. Das Hamiltonsche Prinzip für Systeme mit Zwangsbedingungen Wir betrachten nun ein System mit m Zwangsbedingungen f α und den zugehörigen Lagrange-Multiplikatoren λ α (siehe Anhang. Dann ergibt sich: ( t m I = dt L + λ α f α. t 1 Wir variieren q α und λ α unabhängig voneinander, so dass wir n + m Gleichungen erhalten. Es gilt: ( t d L δi = dt L m f α + λ α δq k = 0. dt q k q k q k t 1 k=1 Durch die Zwangsbedingungen sind die δ k nicht unabhängig. Wir betrachten nun m Gleichungen der Form: d L L + dt q k q k m α=1 α=1 α=1 λ α f α q k = 0. In den übrigen n m Gleichungen kommen die Zwangskräfte nicht vor. Wir können die obige Gleichung als Einführung verallgemeinerter Kräfte verstehen, die die Zwangsbedingungen realisieren. Beispiel: Wir betrachten wiederum ein Teilchen mit der Masse m auf einer Halbkugel im Schwerefeld g. Es gilt: L = T U = 1 m(ẋ + ẏ + ż mgz, y(t = 0 und x + z = a. Mit r = x + z und x z = cos(θ ergibt sich: ma θ mg cos(θ + λ = 0 und Ma θ + mga sin(θ = 0 θ = g a cos(θ + g a und λ = mg(3 cos(θ. λ ist die Stärke der Zwangskraft. Für λ = 0 verlässt das Teilchen die Sphäre bei θ = cos 1 ( 3. 5

29 .3 Symmetrien und Erhaltungsgröÿen Die Symmetrien und Erhaltungsgröÿen eines Problems vereinfachen einerseits die Lösung der Bewegungsgleichung, liefern aber gleichzeitig wichtige Informationen über das System. In vielen Systemen gelten Gleichungen der Form: f(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t = const. Dies sind Dierentialgleichungen erster Ordnung für die Koordinaten und Geschwindigkeiten. Die Gleichungen geben wichtige physikalische Informationen über die mechanischen Systeme. Beispiel: System aus N Massenpunkten in einem Potential, das nur von den Koordinaten r i = (x i, y i, z i abhängt: L = T V = ẋ i ẋ i ẋ }{{} i ẋ i =0 3 1 m i(ẋ i + ẏ i + ż i = m i ẋ i = p ix Diese Beziehung zwischen Lagrange-Funktion und Impuls kann für generalisierte Koordinaten verallgemeinert werden. Dazu führen wir den kanonischen Impuls ein. p j = L q j (1 Bemerkung: p j ist für generalisierte Koordinaten nicht automatisch identisch mit dem Impuls des Teilchens. Dies gilt insbesondere für geschwindigkeitsabhängige Potentiale. Das Konzept der kanonischen Impulse erlaubt die einfache Identikation von Erhaltungsgröÿen: Wenn die Lagrangefunktion nicht von q j (aber von q j abhängt, dann nennt man die Koordinate q j zyklisch. In diesem Fall gilt: d L L = 0 dt q j q j d L = 0 = d dt q j dt p j. Damit ist der zu einer zyklischen Koordinate konjugierte Impuls erhalten, also: p j = const. 6

30 Beispiel: Wir betrachten ein Teilchen im Zenralpotential V (x, sodass der Drehimpuls erhalten ist. Daher verläuft die Bewegung in der Ebene. In Polarkoordinaten gilt: x = r cos(ϕ ẋ = (ṙ cos(ϕ r sin(ϕ ϕ = ṙ cos (ϕ rṙ sin(ϕ cos(ϕ ϕ + r sin (ϕ ϕ y = r sin(ϕ ẏ = (ṙ sin(ϕ + r cos(ϕ ϕ = ṙ sin (ϕ + rṙ sin(ϕ cos(ϕ ϕ + r cos (ϕ ϕ L = T V = 1 m(ṙ + r ϕ V (r ϕ ist eine zyklische Koordinate p ϕ = L ϕ = mr ϕ ist eine Erhaltungsgröÿe. Wenn ein mechanisches System unter der Verschiebung einer Koordinate q j invariant ist, kann diese Koordinate nicht in der Lagrangefunktion auftreten und ist daher zyklisch. Damit ist p j eine Erhaltungsgröÿe. In dieser Weise liefern Symmetrien zyklische Koordinaten und somit die Erhaltung der entsprechenden Impulse..3.1 Das Noether-Theorem Wir hatten gesehen, dass Koordinaten, deren Verschiebung q i q i = q i + a die Lagrangefunktion invariant lassen, zyklisch sind und die entsprechenden kanonischen Impulse Erhaltungsgröÿen sind. Nun: allgemeiner Zusammenhang zwischen Erhaltungsgröÿen und Transformationen. Wir betrachten die Koordinatentransformation: die invertierbar q i q i = q i(q 1,..., q n, t, α. q i = q i (q 1,..., q n, t, α = q i (q, t, α und in α stetig dierenzierbar sein muss. Es gilt ferner: q i(q 1,..., q n, t, α = 0 = q i, i = 1,..., n. 7

31 Beispiele: Translation: r r = r + αa Rotation um die z-achse mit Drehwinkel α: cos(α sin(α 0 r r = sin(α cos(α 0 r = x cos(α y sin(α x sin(α + y cos(α z Die Lagrangefunktion in den neuen Koordinaten q i lautet: ( L(q, q, t = L q(q, t, α, d dt q(q, t, α, t := L (q, q, t, α. Wir betrachten nun die Abhängigkeit von L vom Parameter α: L [ L α = q k (q, t, α + L ] q k (q, t, α q k α q k α k=1 [( d L qk (q, t, α = + L ( ] d q k (q, t, α dt q k α q k dt α k=1 [ ] = d L q k (q, t, α dt q k α k=1 Dies gilt für beliebige Werte von α und insbesondere auch für α = 0 : [ ] [ L = d [ ] ] L qk (q, t, α. α α=0 dt q k α α=0 k=1 Wir betrachten nun solche Transformationen, die die Lagrangefunktion invariant lassen, für die also gilt: L(q, q, t = L (q, q, t, α Invarianz = L(q, q, t. Die Invarianz impliziert, dass die neue Lagrangefunktion nicht von α abhängt, also: [ ] L = 0. ( α α=0 Diese Eigenschaft führt auf das Noether-Theorem. Die Funktion I(q, q, t mit: [ ] L qk (q, t, α I(q, q, t = q k α k=1 8 α=0

32 ist eine Erhaltungsgröÿe, wenn die Lagrangefunktion unter der kontinuierlichen, stetig dierenzierbaren Koordinatentransformation invariant ist. Das bedeutet insbesondere, dass zu jeder Transformation, die die Lagrangefunktion nicht ändert, eine Erhaltungsgröÿe gehört. Bemerkung: Die Erhaltung der kanonischen Impulse zu zyklischen Koordinaten ist ein Spezialfall des Noether-Theorems. Beispiel: L(r, ṙ = m ṙ V (x + y, z ist invariant unter Rotation um die z-achse. In Zylinderkoordinaten lautet die Lagrangefunktion: L = m (ṙ + r ϕ + ż V (r, z. L ist invariant gegenüber der Transformation ϕ ϕ = ϕ + α. Damit ist I = L [ ] (ϕ α = mr ϕ = L z ϕ α eine Erhaltungsgröÿe. α=0 Man erhält auch dann noch eine Erhaltungsgröÿe, wenn gilt: L (q, q, t, α = L(q, q, t + d dt F (q, t, α, wobei F eine beliebige Funktion der Variablen q, t, α ist. L ist dann symmetrisch unter der Transformation. Dann gilt: [ L (q, q ] [ ], t, α d F (q, t, α =. α dt α Die Funktion J(q, q, t = α=0 [ ] L qk (q, t, α q k α k=1 ist dann eine Erhaltungsgröÿe. α=0 α=0 [ ] F (q, t, α α Die Lagrangefunktion besitzt die Eigenschaft der Eichinvarianz, das heiÿt die beiden Lagrangefunktionen: d L(q, q, t und ˆL(q, q, t = L(q, q, t + F (q, t dt 9 α=0

33 besitzen für dieselben q, t dieselben Bewegungsgleichungen. Transformationen, die die Lagrangefunktion bis auf eine Umeichung invariant lassen, also: L(q, q, t L(q, q, t + d dt F (q, t, α heiÿen Symmetrietransformationen..3. Energieerhaltungssatz Wir betrachten die Transformation der Zeit t t = t + α und skleronome Zwangsbedingungen. Es gelte: Damit muss L t L(q, q, t = L(q, q, t + α mit α = const. = 0 gelten und dl dt = = = H := ( L q k + L q k q k q k ( d L q k + L q k dt q k q k ( d L q k dt q k k=1 k=1 k=1 k=1 L q k q k L = const. Für Systeme mit Potentialkräften V = V (q gilt: L q k = T q k (skleronome Zwangsbedingungen. Für ruhende Bezugssysteme erhält man dann: Damit ergibt sich: H = T L = T + V = E. (3 Mit H haben wir die sogenannte Hamiltonfunktion eingeführt. Sie ist eine Erhaltungsgröÿe, wenn L nicht explizit von der Zeit abhängt. Für skleronome, holonome Zwangsbedingungen, konservative Kräfte und ruhende Bezugssysteme entspricht H der Gesamtenergie. 30

34 3 Die Hamiltonschen Gleichungen Im Rahmen der Energieerhaltung hatten wir bereits die Hamiltonfunktion eingeführt. Sie ist im Gegensatz zur Lagrangefunktion eine Funktion der generalisierten Koordinaten q k und Impulse p k = L q k. Der Übergang von der Lagrange- zur Hamiltonfunktion entspricht einem Übergang von den Variablen (q, q, t zu den Variblen (q, p, t. Ein solcher Übergang wird durch eine sogenannte Legendre-Transformation beschrieben, die wir nun kurz diskutieren möchten. 3.1 Legendre-Transformation Zur Einführung in die Methode der Legendre-Transformation betrachten wir zunächst den Fall einer Variablen: Ziel der Legendre-Transformation ist es, die Funktion f(x eindeutig in eine Funktion (L f(z zu überführen, die von der Variablen z = df dx abhängt. Es sei f(x eine zweimal stetig dierenzierbare Funktion (C -Funktion. Weiterhin sei y = f(x und d f 0. Damit ist die Funktion z(x umkehrbar; es existiert also x = g(z. In diesem Fall existiert auch die Legendredx Transformierte (L f(x, die durch: (L f(x := x df f(x = g(zz f(g(z (L f(z dx gegeben ist. Wenn wir die Legendre-Transformation auf (L f(z anwenden, erhalten wir mit: und: d dg(z (L f(z = g(z + z dz dz d dz (L f(z = d dz x = ( 1 dz = dx df dg dg dz = g(z = x }{{} = df dx =z 1 d y/dx 0 die Legendre-Transformation von (L f(z =: φ(z = xz f(x: L (L f(z = (L φ(z = z dφ dz Damit ist für d f dx φ(z = zx xz + f(x = f(x. 0 die Legendre-Transformation eindeutig umkehrbar. 31

35 Beispiel: Wir betrachten f(v = 1 mv f (v = m 0 und z = mv = p. Weiterhin ist v = g(z = z m. Die Legendre-Transformation lautet dann: (L f(v = g(zz 1 m ( z m = p m = (L f(p. = z m 1 z m f(v 1_ m v 4 Tangente - - = - ( f( v Abbildung 7: Geometrische Interpretation der Legendre-Transformation für den Fall m = 1. Man kann die Legendre-Transformation leicht auf mehrere Variablen verallgemeinern: Es sei F (x 1,..., x n ; u 1,..., u n eine in allen Variablen x i zweimal stetig dierenzierbare Funktion und ( F det 0. x i x j Dann sind die Gleichungen: lokal eindeutig auösbar, so dass : y k = F x k, mit k = 1,..., m x i = ϕ i (y 1,..., y m ; u 1,..., u m. 3

36 Die Legendre-Transformation lautet dann: G(y 1,..., y m ; u 1,..., u m = (L F = m y k ϕ k F. k=1 Es gilt: G y k = ϕ k, G = F ( ( G F und det det = 1. u i u i y k y l x i x j 3. Hamiltonfunktion Wir wollen nun die Legendre-Transformation auf die Lagrangefunktion anwenden. Die Hamiltonfunktion für ein System mit n = 3N k Freiheitsgraden (wobei k die Anzahl der holonomen Zwangsbedingungen angibt lautet: H(q, p, t := q i p i L(q, q(p, t, (4 wobei: ( L det 0 und p k = L. q k q l q k Aus der Diskussion der Legendre-Transformation ergibt sich sofort: q k = H ( d(l f(z analog zu x = p k dz ( H H det 0, = L = ṗ k. p j p i q k q k Oensichtlich gilt auch: H t = L t. Wir haben damit einen neuen Satz von Bewegungsgleichungen erhalten: q i = H p i und ṗ i = H q i, i = 1,..., n (5 die sogenannten Hamiltonschen Gleichungen. Die Hamiltonschen Gleichungen sind n Dierentialgleichungen 1. Ordnung und zu den Lagrangegleichungen äquivalent. Sie werden auch kanonische Gleichungen genannt. 33

37 Bemerkungen: Die Hamiltonfunktion hängt nur von den Koordinaten, Impulsen und der Zeit ab. Sie hängt dagegen nicht von den Geschwindigkeiten ab, wie man leicht am totalen Dierential von H verizieren kann: dh = q idp i + p i d q i L dq i L d q i q i q }{{} i L t dt p i = ( q i dp i ṗ i dq i L t dt. Zur Aufstellung der gültigen Bewegungsgleichungen ist es daher wichtig alle Geschwindigkeiten q i durch die kanonischen Impulse zu ersetzen. Für skleronome, holonome Zwangsbedingungen und Potentialkräfte gilt in Inertialsystemen: H = T + V = kinetische Energie + potentielle Energie = E. Dies gilt jedoch nicht allgemein. Es ist sogar möglich, dass dh = 0 gilt dt und H trotzdem nicht mit der Gesamtenergie identisch ist. H ist genau dann eine Erhaltungsgröÿe, wenn H nicht explizit von der Zeit abhängt: dh ( H dt = q i + H ṗ i + H q i p i t ( H H = H H + H q i p i p i q i t = 0. Beispiel: Gekoppelte Oszillatoren Es treten keine Zwangsbedingungen auf, so dass H = E = T + V und damit: H = 1 ( p m 1 + p p + k ( (q1 + q + (q 3 + q. 1 m Dies führt auf die Bewegungsgleichungen: q 1 = H p 1 = p 1 m 1, ṗ 1 = H q 1 = k (q 1 q = m 1 q 1. 34

38 und entsprechend für die übrigen Koordinaten: q = p m, ṗ = k [(q q 1 + (q q 3 ] q = k m (q q 1 q 3 und q 3 = k (q 3 q. Zusammenfassung: Hamilton-Funktion: H(p, q, t = n q ip i L(q, q, t Bewegungsgleichungen: q i = H p i ṗ i = H q i Merkhilfe: Gleichung gilt oenbar für die Form H = p V + V (q mit F = m q. Beispiel: Übergang von der Lagrange-Funktion zur Hamilton-Funktion für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld. Die Lagrange-Funktion für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld lautet (q = r: L(r, ṙ = m ṙ q (φ 1c Aṙ mit dem Coulombpotential φ, der Ladung q und dem Vektorpotential A(r. 1. Schritt: Berechnung der kanonischen Impulse bzw. p i = L ṙ i = mṙ i + q c A i p = mṙ + q c A. Schritt: Berechnung der Hamilton-Funktion H = ṙp L(r, ṙ = mṙ + q cṙa m ṙ q Aṙ + qφ c = m ṙ + qφ 35

39 3. Schritt: Ersetzen der Variable ṙ ṙ = 1 (p q m c A H = 1 ( p q m c A + qφ Damit haben wir, wie gefordert, die Hamiltonfunktion als Funktion der Variablen p und r ausgedrückt (die Ortsabhängigkeit ergibt sich aus den Potentialen φ, A. Wir wollen nun noch die Bewegungsgleichungen für den Fall herleiten, dass φ = 0 und B = A = Be z gilt. Das geladene Teilchen bewegt sich also in einem homogenen Magnetfeld, das in z-richtung ausgerichtet ist. Eine Wahl für A, die auf A = Be z führt ist: A ist wegen: A = 0 xb 0. A = (A + ψ = A nicht eindeutig. Wenn wir nun A in H einsetzen, ergibt sich: H = 1 ( p m x + pz 1 ( + p y q m c Bx. Für die kanonischen Gleichungen erhalten wir: ẋ = H = p x p x m, ẏ = 1 (p y q m c Bx, ż = p z m ṗ x = H x = 1 m ṗ y = ṗ z = 0. ( p y q c Bx q c B, 36

40 Mit der Zyklotronfrequenz: ω = qb mc ergeben sich dann die Bewegungsgleichungen: ẍ = 1 = ω mṗx m (p y ωmx = ω (mẏ + ωmx ωmx = ωẏ, m ÿ = 1 m (ṗ y ωmẋ = ωẋ, z = ṗz m = 0. Die Lösung entspricht einer Schraubenlinie mit: x(t = r cos(ωt + ϕ + x 0, y(t = r sin(ωt + ϕ + y 0, z(t = żt + z 0. Wenn wir die Bewegungsgleichungen aus der Lagrange-Funktion: L = m ṙ + q c Bxẏ bestimmen wollen, müssen wir die Euler-Lagrange-Gleichungen heranziehen. Es gilt: d L dt ẋ = d dt mẋ = mẍ, L x = qb c ẏ = mωẏ ẍ = ωẏ d L dt ẏ = d dt (mẏ + ωmx = m (ÿ + ωẋ, L y = 0 ÿ = ωẋ d L dt ż L z = m z = 0. Wie erwartet führen beide Formalismen auf identische Bewegungsgleichungen. 37

41 3.3 Hamiltonsche Gleichungen und Hamiltonsches Prinzip Das Wirkungsintegral S, das wir minimieren, hat die Form: S = t t 1 L(q, q, t dt. Das Hamiltonsche Prinzip besagte, dass diejenigen Trajektorien q(t zwischen q(t 1 und q(t realisiert werden, für die S extremal wird. Wir fassen L nun als Funktion von q, p, q, t auf und drücken L durch H aus. Dann gilt: t t S = L(q, q, p, t dt = q i p i H(q, p, t dt. t 1 Wir halten die p i und q i an den Grenzen fest: t [ δs = q i δp i + p i δ q i H δq i H ] δp i dt = 0. q i p i Es gilt: t t 1 t 1 t p i δ q i dt = [p i δq i ] t t 1 ṗ i δq i dt. t 1 }{{} t 1 =0,da δq i (t 1 =δq i (t =0 Damit erhalten wir: [ t ( δs = q i H ( δp i ṗ i + H ] δq i p i q i t 1 dt = 0. Woraus wegen der Unabhängigkeit der kanonischen Variablen die Hamiltonschen Gleichungen: folgen. q i = H p i und ṗ i = H q i 3.4 Die Poisson-Klammern Eine physikalische Messgröÿe oder Observable sei eine dierenzierbare Funktion f(q, p, t der Variablen q, p, t. Die zeitliche Änderung einer solchen Observablen lautet: df dt = ( f q i q i + f p i ṗ i 38 + f t.

42 Die zeitlichen Ableitungen q i und ṗ i kann man mit Hilfe der kanonischen Gleichungen ersetzen. Damit ergibt sich: df dt = ( f H f H + f q i p i p i q i t. Zur Ersetzung der Reihensumme führen wir nun die sogenannte Poisson- Klammer ein: ( f g [f, g] q,p = f g, (6 q i p i p i q i wobei f = f(q, p, t und g = g(q, p, t. Mit der Poisson-Klammer vereinfacht sich die Darstellung von df dt df dt erheblich: = [f, H] + f t. (7 Nicht explizit zeitabhängige Observablen f sind oenbar dann Erhaltungsgröÿen, falls [f, H] = 0 (8 gilt. Die kanonischen Gleichungen lassen sich ebenfalls durch Poisson-Klammern ausdrücken: Für f = q i gilt: Für f = p i gilt: [q i, H] = H p i = q i q i = [q i, H]. (9 [p i, H] = H q i = ṗ i ṗ i = [p i, H]. (30 Wie man aus der Denition der Poisson-Klammer direkt sieht. Eigenschaften der Poisson-Klammer: 1. Linearität:. Antisymmetrie: [c 1 f + c g, h] = c 1 [f, h] + c [g, h] [f, g] = [g, f] 3. Existenz eines Nullelements: [c, f] = 0 mit c = const. 39

43 4. Produktregel: [fg, h] = f [g, h] + g [f, h] 5. Jacobi-Identität: 6. Fundamentale Poissonklammern: [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0 Bemerkungen: [q i, q j ] = 0 ; [q i, p j ] = δ ij Die Kommutatoren, das heiÿt die quantenmechanische Verallgemeinerung der Poisson-Klammern, sind in der Quantenmechanik von entscheidender Bedeutung. Auch Kommutatoren besitzen die Eigenschaften Die Poisson-Klammer aus zwei Erhaltungsgröÿen f, g ist wieder eine Erhaltungsgröÿe (Poissonsches Theorem. Beweis: Es sei w = [f, g], dann gilt: d dt w = w + [w, H]. t Den Ausdruck [w, H] = [[f, g], H] kann man mit der Jacobi-Identität zu: [w, H] = [[g, H], f] [[H, f], g] umformen, so dass: [ ] [ dw f dt = t, g + f, g ] [[g, H], f] [[H, f], g] t [ ] [ f = [H, f], g + f, g ] + [g, H] = 0, t t da: f t df + [f, H] = dt = 0 und g dg + [g, H] = t dt = 0. 40

44 3.5 Kanonische Transformation Die Wahl geeigneter Koordinaten ist ein wichtiger Beitrag zur Lösung der klassischen Bewegungsgleichungen. Von besonderem Interesse sind solche verallgemeinerten Koordinaten Q, die die Zahl der zyklischen Koordinaten optimiert, da für eine zyklische Koordinate Q k gilt: P k = H = 0, Q k so dass P k = α k = const. Im Idealfall sind alle Koordinaten zyklisch, so dass: P i = 0 bzw. P i = α i = const., i = 1,..., n gilt. Wir betrachten hier zunächst die sogenannten Punkttransformationen, die die Form: q i Q i (q 1,..., q n, t = Q i (q, t, i = 1,..., n besitzen. In den neuen Koordinaten lautet die Lagrangefunktion: L(Q, Q, [ t = L q(q, t, q(q, Q, ] t, t. Falls die Transformation q i Q i (q, t ein Dieomorphismus (eine umkehrbar eindeutige Abbildung f, für die f und f 1 dierenzierbar sind, ist bleiben die Lagrange-Gleichungen unverändert, das heiÿt es gilt: d L dt Q L = 0. i Q i Bemerkung: Die resultierenden Bewegungsgleichungen haben natürlich eine andere Gestalt. Die Impulse und damit die Hamiltonfunktion ändern sich ebenfalls unter Punkttransformationen: p i P i = L Q i = L q j q }{{} j Q. i =p j j=1 41

45 Mit: folgt sofort, dass: ist und damit insgesamt: P i = q j = dq j dt = k=1 k=1 q j Q k Q k + q j t, q j Q i = q j Q i p k q k Q i, i = 1,..., n. Die Hamiltonfunktion transformiert sich dann wie: H(q, p, t H(Q, P, t = P i Q i L. Auch die kanonischen Gleichungen sind unter Punkttransformationen invariant, es gilt also: Q i = H P i und P i = H Q i. Beispiel: Bewegung eines Punktteilchens in der Ebene. Die Lagrangefunktion in Polarkoordinaten lautet: L(r, ϕ, ṙ, ϕ = m (ṙ + r ϕ. Wir führen nun die Punkttransformation: R = r und φ = ϕ + ωt durch. Damit ergibt sich: ( ṙ Q, Q, ( t = Ṙ und ϕ Q, Q, t = φ ω und somit für L: L = m ( (Ṙ + R φ ω P R = L Ṙ = mṙ und P φ = L φ = mr ( φ ω 4

46 H ( = mṙ + mr m ( φ ω φ (Ṙ + R φ ω = P ( R m + P φ φ 1 ( φ ω = P R m + P φ mr + P φω Wichtig: H entspricht nicht einfach dem Einsetzen der neuen Variablen in die Hamiltonfunktion, wie man leicht nachrechnen kann: Oenbar lautet die Hamiltonfunktion in Zylinderkoordinaten mit p r = mṙ und p ϕ = mr ϕ: H = p r m + p ϕ mr. Mit den Ersetzungen r = R, ṙ = Ṙ und ϕ = φ ω erhält man: ( φ ω Ĥ = P R m = P R m + + m R4 P φ mr mr H Allgemeine kanonische Transformationen Wir hatten am Beispiel von Punkttransformationen gesehen, dass die kanonischen Gleichungen beim Übergang von q i Q i (q, t invariant bleiben. In diesem Abschnitt soll die allgemeine Struktur von kanonischen Transformationen, also dieomorphen Transformationen der Variablen q, p, die die kanonischen Gleichungen invariant lassen, diskutiert werden. Dazu müssen wir fordern, dass sowohl in den alten Koordinaten q, p als auch in den neuen Koordinaten Q, P das Extremalprinzip erfüllt ist. Nutzen wir noch die Eichinvarianz der Lagrangefunktion aus, so ergibt sich für die Hamiltonfunktion die Bedingung: p i q i H (q, p, t = Q i P i H (Q, P, t + d dt F (31 Die Funktion F fassen wir nun als Erzeugende der kanonischen Transformation auf: Durch die Wahl der Erzeugendenfunktion wird die kanonische Transformation festgelegt. 43

47 1. F = F (q, Q, t = φ (q, Q, t dφ dt = φ [ φ t + q j + φ q j Q j j=1 Damit ist die Gleichung (31 erfüllt, falls: Q j p j = φ q j und P j = φ Q j und H = H + φ t. Bemerkung: Die Gleichungen für die p j undp j sind auösbar, falls: ( ( φ φ det 0 und det. q i q j Q k Q j. F (q, P, t = ρ(q, P, t n k=1 Q k(q, P, tp K mit ρ q i = p i, ρ P k = Q k und ρ t + H = H. 3. F (Q, p, t = U(Q, p, t + n k=1 q k(q, p, tp k mit q k = U p k, P k = U Q k ] und H = H + U t. 4. F (P, p, t = V (P, p, t n k=1 Q k(q(p, p, t, P, tp k + n k=1 q k(p, p, t, so dass q k = V p k, Q k = V P k Beispiel: Harmonischer Oszillator und H = H + V t. H(q, p = p m + 1 mω q mit der Wahl für φ = φ(q, Q = 1 mωq cot(q mit q = p = φ q = mωq cot(q, P = φ Q = 1 mωq 1 sin (Q, H = H + φ t = H P sin(q und p = P mω cos(q ergibt sich: mω H = P mω m cos (Q + 1 P mω mω sin (Q = ωp. 44

48 Oenbar ist Q zyklisch und damit: P = H Q = 0 P = α = const. Q = H P = ω Q = ωt + β α q(t = sin(ωt + β, mω p(t = mωα cos(ωt + β Die Bewegung des Oszillators kann man in einem Phasenportrait veranschaulichen. Dabei werden die Trajektorien im n-dimensionalen Phasenraum abgebildet. Für m = ω = α = 1 ergibt sich Abbildung 8. Die Kurven ergeben sich aus der Eliminierung von t. Beachten Sie, dass die Schnittstellen mit der x-achse die Umkehrpunkte des Oszillators sind. Das schraerte Volumen, das einem Ensemble von Anfangsbedingungen entspricht, bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um den Ursprung. Abbildung 8: Phasenraumportrait des harmonischen Oszillators. 45

49 Man kann die kanonischen Gleichungen auch in kompakter Notation schreiben. Mit: x := (q 1,..., q n, p 1,..., p n t, ( H H, x :=,...; H, H,..., H q 1 q n p 1 p n und der Matrix: ( 0n n 1 J := n n gilt: 1 n n 0 n n t, J 1 = J ẋ = J H, x. (3 Diese Gleichung fasst die kanonischen Gleichungen zusammen. In ähnlicher Weise lassen sich auch die kanonischen Transformationen umschreiben. Mit: M αβ := x α y α, (α, β = 1,..., n x := ( q p, = ( M 1 y β x αβ β ( Q, y := P erhalten wir für die kanonischen Transformationen die Identität: M T J M = J. (33 Die Jacobi-Matrix M der Transformation ist nichts anderes als die Matrix der zweiten Ableitungen von Erzeugenden kanonischer Transformationen. J stellt eine Metrik im Phasenraum dar, die invariant unter kanonischen Transformationen ist. Die Menge aller Matrizen M, die die Gleichung (33 erfüllen, bilden eine Gruppe, die sogenannte reelle symplektische Gruppe G = Sp n (R. (Übung Interpretation: Für n = 1 gilt: M = = ( x1 x 1 y 1 y x x y 1 y ( U Q p φ Q q = V P p ρ P q ( q Q p Q q P p P M ist also die Matrix der zweiten Ableitungen der Erzeugenden. 46

50 3.5. Kanonische Invarianten Die Gruppeneigenschaften der kanonischen Transformation implizieren: 1. Die identische Transformation ist kanonisch.. Die Inverse einer kanonischen Transformation ist kanonisch. 3. Eine Transformation, die die Hintereinanderausführung zweier kanonischer Transformationen ist, ist ebenfalls kanonisch (Produktoperation. 4. Die Produktoperation ist assoziativ. Poissonklammern: Die Poissonklammer zweier Funktionen u, v: [u, v] q,p = u q i v p i u p i v q i hat eine typische symplektische Struktur, das heiÿt q und p sind miteinander verknüpft. Wir können die Poissonklammer in der Form: v q 1 ( u [u, v] x =,..., u, u,..., u (... v 0 1 q n v q 1 q n p 1 p n 1 0 p 1... v p n ( t u =: J v x x schreiben. Die fundamentalen Poissonklammern: [q i, q k ] q,p = 0 = [p i, p k ] q,p und [q j, p k ] q,p = δ jk kann man ebenfalls kompakter schreiben: [x, x] x = J. Wir diskutieren nun, wie sich die fundamentalen Poissonklammern unter kanonischen Transformationen verhalten. Dazu führen wir den Vektor ( Q y = P 47

51 ein, der die kanonisch transformierten Variablen Q j, P k enthält. Die Poissonklammer lautet dann: ( y [y, y] x = x t }{{} M t J y = M t J M = J. }{{} x M Oensichtlich gilt auch: [y, y] y = J, so dass wir die Invarianz der fundamentalen Poissonklammern unter kanonischen Transformationen bestätigt haben. Man kann in analoger Weise zeigen, dass die Invarianz unter kanonischen Transformationen eine generelle Eigenschaft der Poissonklammern ist. Beispiel: Wir betrachten die Transformation: Q = q a cos(bp und P = q a sin(bp. Für welche Werte von a, b ist die Transformation kanonisch? Wir bestimmen dazu die Poissonklammer: [Q, P ] q,p = Q P q p Q P p q = aq a 1 cos(bpq a b cos(bp + q a b sin(bpaq a 1 sin(bp = abq a 1! = 1 a = 1, b =. Kanonische Invarianz des Phasenraumvolumens Das Volumenelement dv x = dq 1...dq n dp 1...dp n transformiert sich in ein Volumenelement in den transformierten Variablen: dv y = dq 1...dQ n dp 1...dP n. Der Zusammenhang zwischen den Variablen wird durch die Jacobi-Determinante hergestellt. Es gilt dann: dv y = M dv x. Da für die Matrix M gilt, dass det M = 1 ist, bleibt das Volumenelement unter kanonischen Transformationen erhalten. 48