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1 PDDr.S.Mertens Theoretische Physik I Mechanik J. Unterhinninghofen, M. Hummel Blatt WS 8/ Phasenraumportrait eines Fadenpendels. Eine Masse m sei an einer masselosen Stange der Länge l aufgehängt, so dass sie unter dem Einfluss des homogenen Gravitationsfeldes in der x-y-ebene Schwingungen vollführen kann. (a) (b) Stellen Sie Lagrange- und Hamilton-Funktion des Fadenpendels auf. Wählen Sie den Auslenkungswinkel gegenüber der Ruhelage als verallgemeinerte Koordinate. Zeichnen und diskutieren Sie die möglichen Phasenraumtrajektorien des Fadenpendels in Abhängigkeit von der Gesamtenergie E. Unterscheiden Sie insbesondere die Fälle i. E =, ii. E mgl, iii. E <mgl, iv. E >mglund v. E =mgl. Gibt es Punkte im Phasenraum, in denen sich Trajektorien schneiden? (Pkt.) (3Pkt.) (insgesamt 4 Pkt.) Lösung: (a) Mit der potentiellen bzw. kinetischen Energie T = ml ϕ, V =mgl( cos ϕ) folgen die Lagrange-Funktion zu L = ml ϕ mgl( cos ϕ). Daraus leiten wir den verallgemeinerten Impuls p ϕ = L ϕ =ml ϕ und die Hamilton-Funktion ab. H =p ϕ ϕ L = p ϕ +mgl( cos ϕ) ml (b) Wegen H/ t =istdiegesamtenergieh =EeineErhaltungsgröße.Ausdem Energiesatz E = p ϕ +mgl( cos ϕ) ml folgt die Form der Phasenraumtrajektorien zu p ϕ m gl = ± 3 E +cos ϕ. mgl Seitevon7

2 i. FallsE =kannderauslenkungswinkelnureinvielfachesvon πsein.das Pendel befindet sich also in seiner stabilen oder instabilen Ruhelage. ii. Für eine positive Gesamtenergie, die aber noch immer sehr viel kleiner als mgl ist, sind nur Schwingungen mit der kleiner Amplitude möglich. Wir verwendendarumcos ϕ ϕ /underhaltenellipsenalsphasenraumtrajektorien. p ϕ ml E +mglϕ E = Das Pendel schwingt annähernd harmonisch. iii. Mit wachsender Energie, werden die Schwingungen des Pendels immer anharmonischer. Die Phasenraumtrajektorien sind aber zunächst noch geschlossen. Man spricht auch von Libration. iv. Ist die Gesamtenergie größer als mgl, so überschlägt sich das Pendel und die Phasenraumtrajektorien sind nicht mehr geschlossen. Man spricht auch von Rotation. v. ImGrenzfallE =mgl,derrotationundlibrationtrennt,hatdiephasenraumtrajektorie die Gestalt p ϕ ml E = ± cos ϕ. (Halbwinkelformelcos (ϕ/) = ( +cosϕ)/verwendet)diesekurveheißt auch Seperatrix, da sie das Phasenraumgebiet der Rotation von dem der Libration trennt. p /(m gl 3 ) / φ π π/ φ π/ π Abbildung : Phasenraumtrajektorien des Fadenpendels für verschiedene Werte der Gesamtenergie E. Seitevon7

3 Phasenraumtrajektorien schneiden sich nie, auch nicht die des Fadenpendels. BewegtsicheinPendelaufderSeperatrix,sonähertessichdenbeidenPunkten (ϕ,p ϕ / m gl 3 ) = (±π,)nurasymptotisch.diesepunktesindalsonichtteil der Seperatrix selbst.. Dreiatomiges Molekül. Betrachten Sie ein einfaches Modell eines Kohlenstoffdioxid-Moleküls (Skizze). Die Atome sollen sich hierbei nur in einer Dimension bewegen können. Der Gleichgewichtsabstand der Sauerstoffatome zum Kohlenstoffatom sei a. (a) (b) (c) Schreiben Sie die Lagrangefunktion in der Form L(x,ẋ) = 3 ( ) Tij ẋ i ẋ j V ij x i x j i,j= undbestimmensiediekoeffizientent ij undv ij. Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenfrequenzen und Eigenvektoren. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung. (Pkt.) (Pkt.) (Pkt.) (insgesamt 4 Pkt.) Lösung: (a) Die Positionen der Atome des Moleküls kennzeichnen wir mit den Koordinaten x,x,x 3.DerGleicgewichtsabstandzwischenbenachbartenAtomenseia,also: x x =a x 3 x =a DamitsindlediglichzweiderdreiGrößenx,x,x 3 festgelegt,damitführenwir ein:y i =y i,mity i-gleichgewichtszustand.fürdaspotentialgilt: V(x,x,x 3 ) = k [ (x [ x a) + (x 3 x a) ] (y y ) + (y 3 y ) ] = k Die kinetische Energie lautet: T(ẋ,ẋ,ẋ 3 ) = m (ẋ +ẋ 3) + M (ẋ ) = m Damit ist die Lagrangefunktion von der Form: L(y,ẏ) = 3 ( ) Tij ẏ i ẏ j V ij y i y j i,j= (ẏ +ẏ M 3) + ẏ DieKoeffizientenT ij undv ij könnenhierausabgelesenwerden. T = ( ) m T ij = M, V = ( ) k k V ij = k k k m k k Seite3von7

4 (b) Die Bedingung für die Eigenfrequenzen lautet: det ( V ω T ) k ω m k = k k ω M k k k ω m = x(t) = Dies ergibt: = (k ω m) (k ω M) k (k ω m) = ω (k ω m) ( ω Mm k(m +M) ) mit den Lösungen ω =, ω = ( k m, ω k 3 = + m ) m M DieEigenvektorenfolgenaus(V ω k T)Ak =: A =, A =, A 3 = m/m Die Allgemeine Lösung ergibt sich als Superposition der Lösungen: (b t+a )+ B cos (ω t + α )+ m/m B 3 cos (ω 3 t + α 3 ) 3. Eindimensionales Kristallmodell. Betrachten Sie eine unendlich lange, eindimensionale (Pkt.) KettealseineinfachesModelleinesKristalls.DieMassenm j mmitj =, ±, ±,... könnensichlängsderx-achsebewegen.federnmitdenfederkonstantend j Dsorgen für rücktreibende Kräfte zwischen benachbarten Massen; dies definiert Gleichgewichtslagenr j =ja. (a) BestimmenSieBewegungsgleichungenfürdieAuslenkungenu j ausdiesengleichgewichtslagen. Begründen Sie den Ansatz u j (t) =Ae i(ωt qr j), und lösen Sie damit die Bewegungsgleichungen. Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen ωundq( Dispersionsrelation ),undbegründensie,warumesgenügt,q ( π/a, π/a](.brillouin-zone )zubetrachten. (b) Wasändertsich,wenndieFederkonstantenalternierenddieWerteD undd =D haben? Ändern Sie den Lösungsansatz aus(a) entsprechend ab, und diskutieren Sie auch hier ω(q). Lösung: (a) Wirsetzenu j = x j r j,wobeix j diepositiondesj-tenmassenpunktsist.die Seite4von7

5 Bewegungsgleichung des j-ten Massenpunkts ist dann mü j = (KraftvomMassenpunktj +) + (KraftvomMassenpunktj ) =D(u j+ u j ) +D(u j u j ) =D(u j+ u j +u j ). Der Ansatz beschreibt in exponentieller Form den üblichen Ansatz A cos(ωt + α), wobei lediglich die Phase durch eine Größe q charakterisiert wurde. Einsetzen liefert ( ) mω Ae i(ωt qrj) =DAe iωt e iqr j+ e iqr j +e iqr j ω = D ( cos(qa)). m Esistalso ω = ω(q) = D m ( cos(qa)).dadercosinusperiodischist,istdiese Funktion periodisch mit der Persiode π/a, und es genügt, q ( π/a, π/a] zu betrachten. (b) NunsinddiePositionenx j undx j± nichtmehräquivalent(wohlaberx j undx j± usw.). Für beide Arten vom Plätzen gibt es unterschiedliche Bewegungsgleichungen: mü j =D (u j+ u j ) +D (u j u j ) mü j =D (u j u j ) +D (u j u j ). Wir machen also auch einen Ansatz, der Schwingungen mit verschiedenen Amplituden berücksichtigt: U j (t) =Ae i(ωt qr j),u j+ (t) =Be i(ωt qr j+). Es folgt das Gleichungssystem A( mω +D +D ) +B( D e iqa D e iqa ) = A( D e iqa D e iqa ) +B( mω +D D ) =. Die Eigenfrequenzen ergeben sich aus den Nullstellen der Koeffizientendeterminante: zu = ( mω +D +D ) (D +D +D D cos(qa)) ω ± = m ( ) D +D ± D +D +D D cos(qa). In der Dispersionsrelation ω(q) gibt es zwei Zweige, sie lassen sich durch das Verhalten bei q charakterisieren: ω + (q =) = (D +D )/m =( optischerzweig ), ω (q =) =( akustischerzweig ). Die Dispersionsrelation ist jetzt π/a-periodisch, die. Brillouinzone gegenüber Teil(a) halbiert: Es genügt, q ( π/a, π/a] zu betrachten.(das spiegelt ein allgemeines Resultat wieder: Die Einheitszelle im Realraum ist bei(a) doppelt so groß wie bei(b), und entsprechend die. Brillouinzone halb so groß). Seite5von7

6 (a) (b) ω + (q) ω(q) ω(q) ω - (q) -π -π/ q a π/ π -π/ q a π/ 4. Kraftstoß auf Oszillator. Ein Oszillator ruht in seiner Gleichgewichtslage. Dann bekommt er einen Kraftstoß { v /T, t T f(t) =, sonst (Pkt.) BestimmenSiedieAuslenkungx(t).DiskutierenSiedieGrenzfälleT undt λ, und skizzieren Sie hierfür die Lösungen Lösung: Im Zeitintervall t T lösen wir die inhomogene Schwingungsgleichung ẍ +λẋ + ω x =v T DiesGleichunghatdiepartikuläreLösungx part = v. Mit der homogenen Lösung: Tω x hom (t) = (A sin ω t +A cos ω t)e λt,wirddieallgemeinelösungx =x hom +x part zu x(t) = (A sinw t +A cosw t)e λt + v Tω ( t T) Dabeiistw = ω λ.dieanfangsbedingungenlautenx() =A +v /(Tω ) = undẋ() =w A λa =.Damiterhaltenwir x(t) = v ω T ( [ cosw t + λ w sinw t ]e λt ) ( t T) Diese Lösung beginnt mit einer waagerechten Tangente, schwingt über die neue Gleichgewichtslagebeiv /(ω T)hinausundwirddanngedämpft.Fürt >Tverschwindet die äußere Kraft: ẍ +λẋ + ω x = (t >T) Seite6von7

7 Hierfür gilt die homogene Lösung x(t) = (B sin ω t +B cos(ω t))e λt. MitderKraftmachtẍbeit =TeinenSprung.Damitsindẋ(t)undx(t)beit =Tstetig. Diese beiden Bedingungen legen die Konstanten fest: B = v ω T ([ ] cosw T λ w sinw T B = v ω T ([ sinw T + λ w cosw T ) e λt ] e λt λ w ) DamitistdieLösungfürt Tfestgelegt: x(t) = v ([ w T cos(w (t T)) + λ ] sin (w (t T)) e λ(t T) w [ cos (w t) + λ ) sin (w t) ]e λt. w Dies ist eine gedämpfte Schwingung, die für große Zeiten wieder in ihre ursprüngliche Ruhelage zurückkehrt. Für einen extrem kurzen Kraftstoß, T, geht das Zeitintervall t Tgegennull,unddieLösungspieltkeineRolleindemBereich. DieLösungerhaltenwirausderLösungfürt T;fürT erhaltenwirdann: x(t) = v w sin(w t)e λt Während eines lang anhdauernden Kraftstoßes gilt zunächst die Lösung(??). Nach dieser konvergiert die Auslenkung gegen die neue Gleichgewichtslage bei Fürt >Tgilt(??),wobeiderzweiteTermwegenT >>/λwegfällt: x(t) = v ([ w T cos (w (t T)) + λ ) sin (w (t T)) ]e λ(t T). w v ω T. DieserTeilderLösungstartetbeit = TinderneuenGleichgewichtslagemiteiner waagerechten Tangente und wird dann rasch gedämpft; der Oszillator kehrt in seine ursprüngliche Ruhelage zurück. Auf diesem Übungsblatt sind maximal Punkte zu erreichen, Abgabe erfolgt am.. 9. Seite7von7