Numerische Strömungssimulation zur Integration eines Turbinen-Luftstrahl-Triebwerks in ein Segelflugzeug als Heimkehrhilfe. DIPLOMARBEIT Nr.

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1 Universität Karlsruhe (TH) Numerische Strömungssimulation zur Integration eines Turbinen-Luftstrahl-Triebwerks in ein Segelflugzeug als Heimkehrhilfe DIPLOMARBEIT Nr vorgelegt am Fachgebiet Strömungsmaschinen von cand.mach. Guillaume Ring Betreuer: Dipl.-Ing. Friedrich Fröhlig Referent : Prof. Dr.-Ing. Martin Gabi Karlsruhe, 28. Juli 2006

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3 Ich versichere, die vorliegende Arbeit selbständig angefertigt und nur die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet zu haben. Karlsruhe, 28. Juli 2006

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5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 6 2 Theoretische Grundlagen SPARC Grundlagen der CFD Grundgleichungen Randbedingungen Raumdiskretisierung SLIP Schema Lösungsalgorithmus Konvergenzbeschleunigung Turbulenzmodellierung Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) Gleichungen Modellierung der turbulenten Viskosität Netz Multiblock Beschränkungen Modellierung des Triebwerks Geometrie Randbedingungen Durchführung Topologie und Netzgenerierung D D Solver Einstellungen und Rechnung Auswertung und Ergebnisse D Simulation D Simulation Fehlerbetrachtung 47 6 Zusammenfassung 50 1

6 Abbildungsverzeichnis 1.1 Drei-Seiten Ansicht der DG-1000 Segelflugzeug Allgemeine Geometrie Kontrollvolumen und die entsprechende Notation für ein 3-D-kartesisches Gitter Prinzip des Mehrgitter-Verfahren Aufspaltung einer Turbulente Strömung Beispiel einer Multiblock Topologie Dummy cells in 1D Geschwindigkeitsprofil in einer turbulente Grenzschicht in Funktion der Abstand senkrecht zur Wand. y + entspricht in der Graphik n Das TJ-100C Triebwerk Geometrisches Modell des Triebwerks Kräftebilanz am Triebwerk Gekoppelte Randbedingungen Geometrie des Fliegers und Triebwerk im 2D Änderung der Nasegeometrie Blocking um den Rumpf Blockenverteilung Netz um der Flugzeugnase Netz vor der Nase Netz um das Triebwerk Netz in der Grenzschicht D Geometrie mit Tragfläche D Geometrie ohne Tragfläche Schnitt der 3D Topologie in Symmetrieebene O-Netz am Triebwerksauslass O-Netz Topologie vorne und hinter das Triebwerk Schnitt der Blöcke in der (Y, Z) Ebene Aussenblöcke des 3D-Modells Vernetzung hinter den Triebwerk (Schnitt in der Symmetrieebene)

7 3.17 Vernetzung am Rumpfende (Schnitt in der der Symmetrieebene) Vernetzung hinter dem Triebwerk (Vernetzung der Symmetrieund Druckauslassfläche ) Triebwerksleistungen Residuenverlauf für eine 3D-Berechnung. Auf der X-Achse ist der Anzahl der Iterationen, auf der Y-Achse sind die Residuendekaden dargestellt Druckgradiente vor der Nase Stromlinien und Blockkanten vor dem Triebwerk Temperaturverteilung im Nachlauf Temperaturverteilung im Nachlauf und Ablenkung des Strahls Beschleunigung zwischen Rumpf und Triebwerk Druckabfall zwischen Rumpf und Triebwerk Stromlinien und Blockkanten in der Symmetrieebene Temperaturverteilung des Strahls im 3D mit ungekoppelten Randbedingung Stromlinien um das Triebwerk Druckverteilung im Symmetrieebene Vergleich der Temperaturverteilung mit und ohne Rumpf Graphik der Temperaturverteilung mit und ohne Rumpf Temperaturverteilung im Strahl mit verschiedenen Randbedingungen Geschwindigkeit des Strahls mit verschiedenen Randbedingungen. Die Geschwindigkeiten unter 70 m.s 1 sind hier nicht angefärbt Dichteverteilung im Strahl mit beiden RB. Hier wurden nur die Dichte unter 1,20 kg.m 3 angefärbt Vernetzung 4,2m hinter das Triebwerk

8 Bezeichnung und Indizes Bezeichnung Formelzeichen Definition Einheit Bezeichnung A m 2 Querschnittsfläche F N Kraft M M = W/ γrt Mach-Zahl n Umdrehungen.min 1 Dreh-Zahl ṁ ṁ = (ρw)/a kg.s 1 Massenstrom p Pa Druck R J.kg 1.K 1 spezifische Gaskonstant T K Temperatur T u Turbulenzgrad t s Zeit u i u i = x i / t m.s 1 Geschwindigkeit W m.s 1 Totalgeschwindigkeit x m Koordinate γ adiabatische Exponent δ i,j Kronecker-Delta λ W.m 1.K 1 Wärmeleitfähigkeit µ N.s.m 2 Dynamische Viskosität ν ν = µ/ρ m 2.s 1 kinematische Viskosität ρ kg.m 3 Dichte τ N.m 2 Schubspannung 4

9 Indizes Indizes A E I i S U t Bedeutung Am Auslass Am Einlass Im Inneren Komponente in die i -Richtung Schub Umgebung total (Temperatur und Druck) oder turbulent (Viskosität) 5

10 Kapitel 1 Einleitung In den letzten Jahren wurden neue Luftstrahltriebwerke für Modellflugzeuge entwickelt. Der Schub diesen Triebwerke liegt im Bereich dan, für ein geringes Gewicht zwischen 1 und 3 kg. Diese hohe Leistungsdichte hat aber nicht nur Modellflugzeugpiloten interessiert, sondern auch Segelflieger, die solche Tiebwerke als Heimkehrhilfe benutzen wollen. Motorsegelflugzeuge benutzen in der Regel einen Kolbenmotor mit Propeller, der für kleine Fluggeschwindigkeiten anpassen. Im Rahmen der Akademischen Fliegergruppe der Universität Karlsruhe wurde auch ein Projekt von Segelflugzeug mit Luftstrahltriebwerk als Heimkehrhilfe entwickelt. Aber in diesem Projekt der Akaflieg Karlsruhe handelt sich nicht um ein ultraleichtes, einsitziges Segelflugzeug, sondern um einen normalen Doppelsitzer: der DG-1000S (Abb. 1.1). Da der DG-1000 deutlich schwerer ist, muss natürlich das Triebwerk auch mehr Schub geben. Deswegen wurde kein Modelltriebwerk ausgewählt, sondern ein Triebwerk, das für echtes Flugzeuge geeignet ist: das TJ-100C mit ca. 85 dan Schub. Um die Flugzeugstruktur zu behalten, wurde das Strahltriebwerk an der gleichen Stelle wo auch der Propeller montiert, das heißt, das die Gasen aus der Düse in die Richtung des Höhen- und Seitenleitwerks strömen. Es ist deswegen notwendig, eine Machbarkeitstudie aus thermischem Sicht über die Strahlströmung durchzuführen. 6

11 Abbildung 1.1: Drei-Seiten Ansicht der DG-1000 Segelflugzeug 7

12 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen 2.1 SPARC SPARC (Structured Parallel Research Code), ist ein CFD-Simulationspaket, das hauptsächlichzu Forschungszwecken entwickelt wurde: Entwicklung schnellerer und genauerer numerischer Schemat, besserer physikalischer Modelle, oder technische Strömungssimulation für Ingenieurarbeit. Es wurde auch für die Ausbildung von Studenten und Ingenieure mit CFD verwendet. Da CFD sehr Berechnungsintensiv ist, sind neue Rechnerarchitekturen, wie vektorisierten oder parallelen Rechner notwendig, um komplexe Strömungen schneller und genauer zu berechnen. Deswegen wurde SPARC besonders für solche Architekturen geeignet. Der Code ist auch so strukturiert, dass zusätzliche Transportgleichungen für chemische Reaktionen, Turbulenzmodelle, Mehrphasenströmung, usw... einfach implementiert werden können. Um komplexe Geometrien zu behandeln, ist der Code blockstrukturiert. Die Finite-Volumen- Methode wurde verwendet, um die Gleichungen im Raum zu diskretisieren. Der Code wurde im FORTRAN 90 geschrieben. Er löst die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen in der Reynoldsgemittelten Form mit statistischen Turbulenzmodellen, wie zum Beispiel algebraische Modelle oder zwei-gleichungsmodelle, oder mit raum- und zeitausgefilterter Subgridscale-Modellen für LES (Large Eddy Simulation). Es kann stationäre und instationäre Strömungen berechnet werden. Instationäre Strömungen können auch mit mobilen Netzen berechnet werden. Der Code wurde kontinuierlich für Mehrphasenströmung, Turbulenzmodellierung, usw... am Fachgebiet Strömungsmaschinen sowie in anderen Forschungzentren Europas weiterentwickelt. 8

13 2.2 Grundlagen der CFD Grundgleichungen Für die Berechnung viskoser Strömungen um komplexe dreidimensionale Geometrien sind die Navier-Stokes Gleichungen zu verwenden. Diese sind ein System von fünf gekoppelten, linearen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung: Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung): ρ t + (ρu i) x i = 0 (2.1) Navier-Stokes Gleichungen (Impulserhaltung): Energiegleichung: (ρe) t (ρu i ) t + (ρu iu j ) x j = ρ x i + T ij x j (2.2) + (ρu ie) = (q i pu i ) + u it ij (2.3) x i x i x j Die Werte q i, T ij und E sind wie folgt definiert: q i = λ T x i E = u2 i 2 + p ρ(γ 1) ( ) u T ij = µ i x j + u j x i 2δ 3 ij u k x k Diese Gleichungen können dann vereinfacht werden, wenn der Strömungsfall es ermöglicht. Da diese Arbeit keine zeitabhängige Strömung enthält, kann man = 0 annehmen. Die Strömungsgleichungen sind dann vereinfacht: t Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung): Navier-Stokes Gleichungen (Impulserhaltung): Energiegleichung: (ρu i u j ) x j (ρu i ) x i = 0 (2.4) = ρ x i + T ij x j (2.5) (ρu i E) = (q i pu i ) + u it ij (2.6) x i x i x j 9

14 2.2.2 Randbedingungen Die Randebdingungen müssen in der numerische Simulation angepasst werden. Für eine Wand gilt die Geschwindigkeitsrandbedingung V. n = 0 für alle Fluide, und zusätzlich V Wand = 0 für viskose Strömungen. 15.L 30.L L Abbildung 2.1: Allgemeine Geometrie Im Falle einer externen Strömung kann man in der numerische Simulation kein unendliches Strömungsfeld mehr annehmen. Die Aussenränder des simulierten Volumens sind deswegen sehr weit vom umströmten Körper entfernt. Eine Daumenregel für diese Entfernung ist ein Abstand von 15 L zwischen dem Körper und den Aussenrändern vor dem Körper, und 30 L zwischen dem umströmten Körper und den Hintenrändern (L ist hier die Länge des umströmten Körpers) Raumdiskretisierung Für die Diskretisierung von Strömungen steht eine Vielzahl von Methoden zur Verfügung: Finite Elemente, Finite Volumen, Spektralmethode, usw... Wie die meisten CFD Codes, nutzt SPARC die Finite- Volumen Methode die integrale Form der Transportgleichungen [5]. Das Strömungsfeld ist in eine finite Anzahl von Kontrolvolumen geschnitten, in der die Transportgleichungen angewendet werden. In jeder Zelle sind diese Gleichungen in folgender Form anwendet: t ρφdv + ρφ v. n ds = 10 Γ φ. n ds + q φ dv (2.7)

15 Abbildung 2.2: Kontrollvolumen und die entsprechende Notation für ein 3-D-kartesisches Gitter Γ ist das Dissipationsterm und q φ das Quellterm ist. Der Fluss durch die Ränder ist berechnet als die Summe der Integrale über die sechs Oberflächen: fds = fds k S Jedes Oberflächenintegral wurde approximiert: dafür gibt es mehrere Methoden. Die einfachste ist die Mittelpunktsregel: F e = fds = f e S e f e S e S e Diese Regel ist 2. Ordnung genau, was für die meisten Rechnungen ausreicht. Für das Volumenintegral wird auch eine Approximation mit der Mittelpunktsregel durchgeführt: Q p = qdω = qω q p Ω Ω Um die Flüsse an den Rändern zu berechnen, werden die Berechnungsgrößen (f e ) durch die Knotenpunktwerte angenähert. Dafür stehen mehrere Methoden zur Verfügung: falls f e nur mit Punkten aus einer bestimmten Richtung interpoliert wurde, heißt es Upwind-Schema. Mit Punkten aus beiden Richtungen heißt es Zentralen-Differenzen Schema. 11 S k

16 Das Upwind-Schema mit nur einen Punkt ist 1. Ordnung genau und wird wie folgt verwendet: { ΦE, wenn( u. n ) Φ e = e > 0 Φ P, wenn( u. n ) e < 0 Die Taylor-Reihenentwicklung um den Punkt P gibt: ( ) φ φ e = φ P + (x e x P ) + (x ( ) e x P ) 2 φ x 2 x 2 P P + H Der Abbruchfehler ist proportional zur 1. Ableitung; das nennt man die numerische Dissipation. Um trotz dieser künstlichen Dissipation eine genaue Lösung zu produzieren, muss man ein feines Netz verwenden. Das Zentrales-Differenzen-Schema mit nur zwei Punkten ist eine lineare Interpolation der Werte der beiden Nachbarzellen: φ e = φ E λ e + φ P (1 λ e ), wo λ e = x e x P x E x P Bei einem solchen Zentralen-Differenzen-Schema ist der Abbruchfehler 2. Ordnung genau: φ e = φ E λ e + φ P (1 λ e ) (x ( ) e x P )(x E x e ) 2 φ + H 2 x 2 Bei der Finite-Volumen Methode muss mann für die physikalische Randbedingungen Flüsse vorgeben. Wenn diese bekannt sind, kann man direkt diese Werte vorgeben; falls nicht, müssen die Flüsse mit Hilfe der Randwerten und inneren Strömungswerten berechnet werden. Für die meistbenutzte Fälle sind folgende Randbedingugen vorgeben: adiabate Wand: Massenflüsse und Temperaturflüsse Null Einströmränder: Geschwindigkeit, Temperatur und Druck Ausströmränder: Druck Symmetrieränder: alle Flüsse normal zum Rand Null Das führt zu einer algebraische Gleichung: A Φ = Q (2.8) wobei A, Φ und Q die Strömunsgleichungmatrix; die Strömungswertematrix und die Randbedingungsmatrix ist. P 12

17 2.2.4 SLIP Schema Die physikalische Dissipation viskoser Strömungen ist meistens nicht genug in Simulationen, um die Berechnungen stabil zu behalten, besonders im Grenzschichtnetze. Um die Stabilität der numerische Simulation zu verbessern, wurde deswegen eine künstliche Dissipation zusätzlich betrachtet. Ein Zentralen-Differenzen-Schema wurde Stabil wenn die TVD (Total Variation Diminishing) Eigenschaft erfüllt ist [7]. Dafür muss ein Flussbegrenzungsfunktion, die das Zentralen-Differenzen- Dissipationsmodell anpasst, angewendet werden. In den hier durchgeführten Berechnungen wurde das SLIP (Symmetric Limited Positive) Schema benutzt. Im Gegenteil zu anderen Schematen wie der JST Schema, ist das SLIP Schema nicht nur auf Druck basiert; es wurde auf jede Variabel in alle Richtungen angewendet. Im Vergleich zur Upwind-Schemate ist der SLIP-Schema ungenauer, aber dieser Effekt findet am meisten mit groben Netzen statt Lösungsalgorithmus Direkte Lösungsmethoden sind für solche Fälle nicht geeignet, weil die Matrix A zu groß ist. Deswegen werden Strömungsprobleme mit iterativen Methoden gelöst. In dieser Methode wurde eine angenährte Anfangslösung durch eine verbesserte Zwischenlösung ersetzt, bis der Fehler klein genug ist. Der Unterschied zwischen der Lösung Φ und der Zwischenlösung Φ n wurde Konvergenzfehler genannt: Φ Φ n = ǫ n. Das Residuum ρ n wurde definiert als der Unterschied zwischen der Ergebnisse der realen Gleichung A Φ und der Zwischengleichung A Φ n. Das führt zu: A Φ n = Q ρ n A ǫ n = ρ n (2.9) Am Ende des Iterationsprozesses muss das Residuum gegen Null gehen. Das iteratives Schema kann dann so beschrieben werden: M Φ n+1 = N Φ n + B (2.10) Wenn die Konvergenz erreicht ist, stimmt Φ = Φ n = Φ n+1. Es folgt A = M N und B = Q. Die Anwendung von in 2.10 führt zu: N Φ n = M Φ n (M N) Φ n M(Φ n+1 Φ n ) = B (M N)Φ n Ein iteratives Schema wird effektiv, wenn die Invertierung der Matrix M und die Berechnung von N Φ n einfach ist. Das bedeutet: die 13

18 Matrix M sollte diagonal, tridiagonal, block-tridiagonal oder eine Dreiecksform haben. Für gute Konvergenzeigenschaften sollte M eine gute Approximation von A und N verhältnismäßig klein sein. Wenn die Konvergenz erreicht ist, gilt Φ = Φ n = Φ n+1. Das führt zu M Φ = N Φ + B (2.11) Dis Substraktion dieser Gleichung von der Gleichung 2.10 gibt M ǫ n+1 = N ǫ n oder ǫ n+1 = M 1 Nǫ n (2.12) Ein iteratives Verfahren konvergiert wenn der Konvergenzfehler gegen Null geht, das heisst lim ǫ n = 0. Bei linearen Gleichungsysteme hängt n das von den Eigenwerte λ k und den Eigenvektoren Ψ k der Iterationsmatrix M 1 N ab. Wenn K ist der anzahl der Gleichung sind sie wie folgt definiert: M 1 N Ψ k = λ k Ψ k mit k = 1...K (2.13) Der Anfangsfehler sei ǫ 0 = K a k Ψ k k=1 Der Iterationsprozess liefert dann: ǫ 1 = M 1 Nǫ 0 = M 1 N K a k Ψ k = k=1 K a k λ k Ψ k k=1 Durch vollständige Induktion kann man leicht zeigen, dass ǫ n = K a k (λ k ) n Ψ k k=1 Damit der Iterationsprozess konvergiert, müssen alle Eigenwerte λ k kleiner eins sein. Der Konvergenzfehler wird nach einer Anzahl von Iterationen durch den größten Eigenwert dominiert, der Spektralradius λ 1 : ǫ n a 1 (λ 1 ) n Ψ 1 Die Konvergenz ist erreicht, wenn der Konvergenzfehler ǫ n kleiner ist als eine Schranke δ, dass heißt wenn a 1 (λ 1 ) n δ Nach der benötigten Anzahl von Iterationen gilt n ln δ a 1 ln λ 1 Die Konvergenzrate 1/n wird kleiner für λ

19 2.2.6 Konvergenzbeschleunigung Ein strukturierter Code ermöglicht die Benutzung der Mehrgitter-Methode [7]. Die Berechnung wurde zuerst mit einem sehr groben Netz durchgeführt. Wenn diese Berechnung konvergiert ist, wird die Lösung vom ersten Gitter auf das zweite (und feinere) Gitter interpoliert und als Anfangslösung genommen. Man kann soviel Zwischengitter benutzen wie man möchte. In den hier durchgeführten Berechnungen wurden in der Regel vier verschiedene Gitter verwendet. Anfangslösung ( uniform) 1. Gitter (grob) Zwischenlösung 2. Gitter (feiner) Zwischenlösung letzte Zwischenlösung letztes Gitter (feinste) Endlösung Abbildung 2.3: Prinzip des Mehrgitter-Verfahren Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass auf dem feinsten Netz viel weniger Iterationen durchgeführt werden müssen, was natürlich zu einem kleineren CPU-Aufwand führt. Ein weiterer Vorteil der Mehrgittermethode ist, dass die Überprüfungen des Netzes und der Randbedingungen auf dem gröbsten Netz schneller gehen. Da bei Mehrgitter-Methode das feinste Netz vergröbert wurde, muss es ein bestimmten Anzahl von Zellen enthalten. Bei einr Berechnung mit m Multigridebenen, muss an jeder Blockkante die Punkteanzahl p die folgende Regel erfüllen: p = m n + 1, wobei n eine ganze Zahl ist. Das ist einen großen Nachteil, weil man viel weniger Freiheit bei der Punktenverteilung hat. Überdies wird dadurch die Anzahl der Punkte vergrößert. 2.3 Turbulenzmodellierung Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) Gleichungen Bei den meisten Strömungsfällen ist die Strömung turbulent. Das heißt, dass die Strömung einen schwankenden, chaotischen Anteil enthält. Die Turbulenz hat folgende Eigenschaften: 15

20 immer dreidimensional immer instationär besteht aus Wirbeln, die unterschiedliche Zeit- und Längeskalen beinhalten u momentane Wert u zeitliche Mittelwert u schwankende Anteil u Abbildung 2.4: Aufspaltung einer Turbulente Strömung t Eine turbulente Strömung kann einfach beschrieben werden, wenn man den turbulente (schwankende) und den gemittelte (regelmässigen) Anteil für alle Strömungsgrößen trennt. Alle Strömungsvariable sind wie folgt geteilt: u i = u i + u i ρ = ρ + ρ T = T + T wobei u i, ρ und T die momentane Werte sind; u i, ρ und T die zeitliche Mittelwerte sind, definiert als Ȳ = t 2 t 1 Y (t)dt; u i, ρ und T die schwankenden Anteile sind. Das Zeitfenster (t 1 t 2 ) muss kurz gegenüber der zeitliche Änderungen in der Gesamtströmung Ū, aber lang gegenüber der turbulenter Änderungen sein. Das zeitlich gemittelte Produkt von den Geschwindigkeiten ergibt: u i u j = (u i + u i )(u j + u j ) = u iu j + u iu j + u i u j + u ju i Nach der zeitlichen Integration ergibt sich: u i u j = u i u j + u i u j 16

21 Dieser letzter Term enthält insgesamt neun Unbekannte, die die Turbulenz beschreiben. Um das Gleichungsystem zu lösen wurde ein Schliessungsansatz für diese zusätzliche Terme verwendet. Man nimmt den Boussinesq Ansatz, der zu einem isotropen Modell für die Turbulenz führt: u i u j = ν t ( ui x j + u j x i Die Turbulenz verhält sich mit diesem Modell wie eine zusätzliche Viskosität, deswegen wird die neue Variable ν t Wirbelviskosität gennant. Zu dem Spannungstensor addiert sich der Reynolds-Spannungstensor τ ij, der sich wie folgt definiert: ( τ ij = ρu i u j = ρν ui t + u ) ( j ui = µ t + u ) j x j x i x j x i Die zeitintegrierte Grundgleichungen (Reynolds-Gleichungen) werden dann so geschrieben: ) (ρu i u j ) x j = ρ x i + T ij x j + τ ij x j (2.14) Modellierung der turbulenten Viskosität Die Wirbelviskosität muss jetzt modelliert werden. Dafür stehen viele verschiedene Modelle zu Verfügung: Nullgleichungsmodell (Prandtl sche Mischungsweg), Eingleichungsmodell (Kolmogorov Modell), Zweigleichungsmodell (k-ǫ Modell). In unserer Simulation wurde das verbreiteste Ein- Gleichungsmodell, das aus einer Transportgleichung für die Wirbelviskosität besteht: das Spalart-Allmaras Modell [6]. Für dieses Modell muss man einen neuen Term ν einführen. ν ist gleich ν t, außer in der viskosen Grenzschicht. Zusätzlich wurde das Verhältnis χ als χ ν/ν definiert. Die Transportgleichung wurde für ν geschrieben, was für numerische Berechnung einfacher ist. Diese neue Variable ν ist wie folgt definiert: ν t = νf v1 mit f v1 = χ 3 χ 3 + c v1 3 Der Wert c v1 wurde von Spalart und Allmaras auf c v1 = 7, 1 gesetzt. Der Produktionsterm S wurde definiert als die skalar Norm des Verformungstensors u i x j. Wie die Wirbelviskosität ν t muss diesesr Produktionsterm durch ein neuen Term S ersetzt werden. Er wird definiert als S S + ν χ κ 2 d 2f v2 mit f v2 = χf v1 17

22 wobei κ die Karman sche Konstante (κ 0, 4), und d die Wandabstand ist. Am Ende wird die Transportgleichung für die Wirbelviskosität folgendermaßen beschrieben: ν t t + u ν t i = 1 [.((ν + ν) ν) + cb2 ( ν) 2] ] 2 [ ν c w1 f w + c b1 x i σ d S ν wobei c b1, σ,c b2 und c w Konstanten sind, und f w eine zusätzliche Kalibrierungsfunktion ist. Die beiden Terme hinter der eckigen Klammer beschreiben die Turbulenzdestruktion und die Turbulenzproduktion. 2.4 Netz Multiblock Da SPARC für parallele Rechnungen geeignet ist, muss die Netztopologie in mehrere Blöcke geteilt werden. Das ist als Multiblock-Topologie, oder auch als blockstrukturiertes Netz, bekannt. Für eine parallele Rechnung heisst dies, dass das Berechnugnsfeld ohne Überlappung auf die verschiedene Prozessoren verteilt werden kann (Abb. 2.5). Die Blockstruktur ist auch eine große Hilfe bei komplizierte, dreidimensionale Netze. Abbildung 2.5: Beispiel einer Multiblock Topologie Die Blöcke können entweder Verbindungsränder, dass heißt Ränder die mit einem anderen Block verbindet sind, oder physikalischen Randbedingungen enthalten. Bis auf den Datenumtausch mit den anderen angrenzende Blöcke, muss jeder Block unabhangig von den anderen sein. Im SPARC ist diese Datenumtausch durch zwei dummy cells Schichten um den Blöcke durchgeführt (Abb. 2.6). 18

23 Block mit Block Rand Physikalische Ranbedingung Feste Randbedingungswerte Datenumtausch zwischen den Blöcken Abbildung 2.6: Dummy cells in 1D Beschränkungen Der Aufbau des Netzes muss verschiedene Bedingungen erfüllen; Das Verfahren selbst setzt Bedingungen für die Topologie: Für eine Multigrid-Rechnung mit 4 Ebenen muss die Punkteanzahl p an den Blockenkanten die Gleichung p = 4n + 1 erfüllen, wobei n eine ganze Zahl ist (siehe Jede Fläche eines Blockes darf nur an eine andere Blockfläche angrenzend sein Andere Bedingungen müssen für die Konvergenz und die Genauigkeit erfüllt werden, besonders wenn große Gradienten auftreten: Die Zellewachstumrate darf nicht grösser als 10-15% sein Die Zellenkanteverhältnis darf nicht 1:100 überschritten Der Winkel an den Seitenecke muss im Bereich [70 ;110 ] bleiben Da turbulente Strömungen stark von der Wand beeinflusst werden, muss die Zellenverteilung in Wandnähe geeignet sein. Dafür muss man die Entfernung von der Wand, wo das logarithmischen Wandgesetz gültig ist, kennen. Dieser Abstand ist ungefähr 30 y +, wobei y + der dimensionslose Wandabstand ist. Es wird definiert als u(y) u τ = yu τ ν = y+ wobei u τ = τw ρ In den Zellen, die direkt an der Wand liegen, muss y+ in der Größenordnung von eins sein, um eine genaue Grenzschichtauflösung zu schaffen. 19

24 Abbildung 2.7: Geschwindigkeitsprofil in einer turbulente Grenzschicht in Funktion der Abstand senkrecht zur Wand. y + entspricht in der Graphik n + Die Höhe der erste Zelle wird dann wie folgt berechnet: ρ ds = ν Die Wandschubspannung τ w = (µ l + µ t ) u muss für eine erste Berechnung geschätzt werden, zum Beispiel in dem Fall einer einfachen y Strömung über eine ebene Platte. Die Punkteverteilung in der Grenzschicht muss dann geprüft und eventuell korrigiert werden, falls zu viele oder zu wenige Punkte in der Grenzschicht sind. 2.5 Modellierung des Triebwerks Geometrie Das Triebwerk, das für das Projekt vorgesehen ist, ist ein TJ-100C (Abb. 2.8), gebaut von der Firma PBS in Tschechien. Um eine wirksame Umströmung zu erreichen muss um das Triebwerk ein Gehäuse gebaut werden. Zur Zeit dieser Arbeit ist noch keinen definiert, deswegen wurde eine sehr vereinfachte Geometrie (Abb. 2.9) verwendet, um die Netzgenerierung zu erleichtern. τ w 20

25 Abbildung 2.8: Das TJ-100C Triebwerk Abbildung 2.9: Geometrisches Modell des Triebwerks Randbedingungen Die Ausströmung eines Triebwerks ist ziemlich komplex: der Druck und die Temperatur sind abhängig von den Flugbedingungen und Triebwerkseinstellungen, und die Strömung selbst ist hoch turbulent und beinhaltet eine Drallkomponente. Der Drall wurde in diese Arbeit vernachlässigt, weil es keine quantitative Angabe für diese Triebwerk gibt. Für den Turbulenzgrad der Ausströmung wurde ein Wert von 10% genommen. Das Verhältnis µ t /µ l wurde dann mit Hilfe folgende Relation berechnet: µ t µ l 0, 054Tu Tu = 11, 3 Um den Druck und die Temperatur in den Randbedigungen ein- 21

26 zufügen wurden zwei Methode verwendet: Totaldruck und Totaltemperatur wurden mit Hilfe der Triebwerksdaten und Flugbedingungen berechnet, und eine gekoppelte Randbedingung wurde von Dipl.-Ing. Fröhlig entwickelt. Für die Modellierung des Triebwerks wurden folgende Vereinfachungen angenommen: der Treibstoffmassenstrom ist viel kleiner als der Luftmassenstrom: ṁ = ṁ Luft + ṁ Treibstoff ṁ Luft Die Geschwindigkeit der Luft am Triebwerkseinlass entspricht ungefähr der Fluggeschwindigkeit: W Einlass W Flug Da die Strömung sich im Unterschallberich findet, ist der statische Druck am Auslass ungefähr gleich den statischen Druck am Einlass: p Einlass = p Auslass Der Totalschub des Triebwerks wird durch der Kräftebilanz berechnet: F = FS + p E A E + p U (A A E ) p A A A p U (A A A ) F I ṁ Br W E A E A A WA ṁ L ṁ L + ṁ Br F s Abbildung 2.10: Kräftebilanz am Triebwerk Die innere Kraft F I ist der Unterschied zwischen des Bruttoschubs und des Einlasswiderstandes: F I = ρ E W E 2 A E + ρ A W A 2 A A = ṁ Luft W E + (ṁ Luft + ṁ Treibstoff )W A 22

27 Durch die Anwendung der obenstehende Vereinfachungen wird der Nettoschub wie folgt berechnet: F S = (ṁ Luft + ṁ Treibstoff )W A ṁ Luft W E = ṁ Luft (W A W E ) Die Austrittsgeschwindigkeit des Gases ist dann gegeben durch: W A = F S ṁ + W E (2.15) Für die Berechnung des Totaldrucks wurde die Machzahl gebraucht, es wird gerechnet mit M = W γrt Für die Luft gilt γ = 1, 4 und R = 287J.kg 1.K 1. Der Totaldruck und die Totaltemperatur ergeben sich dann aus: ( p ta = p A 1 + γ 1 2 ( T ta = T A 1 + γ 1 2 ) γ γ 1 2 M A ) 2 M A Der Triebwerkseinlass wurde mit einem Druckauslass modelliert, der Triebwerksauslass mit einem Totaldruckeinlass. Die Berechnungen wurden auch mit gekoppelten Randbedingungen durchgeführt. Das heißt, es wurde zusätzlich eine Druck- und Temperaturkupplung zwischen Einlass und Auslass entwickelt (Abb. 2.11). P t T t P stat P t T stat T t P t + P t T t + T t P stat Abbildung 2.11: Gekoppelte Randbedingungen 23

28 Am Druckauslass wurde der statische Druck und die statische Temperatur vorgegeben, und der Totaldruck und die Totaltemperatur wurden mit den Gleichungen 2.16 berechnet. Es wurde danach eine Druck- und Temperaturerhöhung hinzugefügt, um der Totaldruck und die Totaltemperatur für den Totaldruckeinlass zu erhalten. Um die Riemann sche Invariantenregel zu erfüllen muss auch zusätzlich der statische Druck am Totaldruckeinlass mit einem gewissen Faktor als statischer Druck für den Druckauslass zurückgeführt werden (Abb. 2.11). 24

29 Kapitel 3 Durchführung 3.1 Topologie und Netzgenerierung D Geometrie Obwohl der 2D-Fall eine starke Vereinfachung ist, wurde sie aus mehreren Gründen nötig, da die Entwicklung einer Blocktopologie in 2D einfacher ist und die Berechnung viel schneller läuft. Des Weiteren war es eine gute Übung, um das Softwareprogramme besser kennen zu lernen und die Topologie sowie die Randbedingungen zu prüfen. Die Arbeit für den dreidimensionellen Fall wurde damit erheblich erleichtert. Für die 2D Rechnung muss zuerst die Geometrie angepasst werden. Die Geometrie wurde im 3D mit Hilfe der CAD-Software Pro/Engineer hergestellt, und dann in die Netz-Software ICEMCFD importiert. Die 3D Geometrie wurde durch der Symmetrieebene geschnitten, und das Seitenleitwerk wurde entfernt, da es im 2D die Strömung fälschlicherweiseblockieren würde (siehe Abb. 3.1). Abbildung 3.1: Geometrie des Fliegers und Triebwerk im 2D Die Geometrie der Nase wurde auch geändert, da an der Unterseite eine Ablösung auftratt. Da die Ablösung ein instationäres Phänomen ist, behindert sie die Konvergenz für eine stationäre Berechnung. Es wurde entschieden, die Krümmung des Rumpfes an dieser Stelle zu vergrößern (Abb. 3.2), um die Ablösung zu vermeiden. Diese Ablösung findet nur im 25

30 2D Fall statt, weil in dieser Fall die Luft nicht in der Z-Achse strömen kann. Abbildung 3.2: Änderung der Nasegeometrie Blocktopologie Aus folgende Grunden wurde um den Rumpf (bzw. Triebwerk) eine C- Netz (bzw. O-Netz) Topologie verwendet (Abb. 3.3): Die erste Zelle über der Wand muss auf einen ganzen Fläche Kontakt mit der Wand haben (nicht nur eine Kante), um die Wandrandbedingung zu erfassen Das Netz in Wandnähe muss so senkrecht wie möglich zur Wand sein Die Verfeinerung in Wandnähe soll nicht zu einer großen Punktezahl weit von den Wänden führen Abbildung 3.3: Blocking um den Rumpf 26

31 Die Blocktopologie wurde dann in einer Art Zwiebelschale um den Rumpf gebaut, um sich der Geometrie besser anzupassen. Um das Blocking für parallele Berechnung zu optimieren, wurden die Blöcke senkrecht zu den Wänden in mehrere Teile geschnitten. Die Blöcken wurden über dem Außenrand verteilt (Abb. 3.4). Netz Abbildung 3.4: Blockenverteilung Die Topologie beträgt 69 Blöcke insgesamt. Das Netz wurde dann mit den obengenannten Beschränkungen gebaut (siehe ). Die besonderen Schwerpunkte befinden sich an der Nase, und weiter vorne, wo die Krümmung am starkste ist. Abbildung 3.5: Netz um der Flugzeugnase Da es praktish unmöglich ist, alle Beschränkungen zu erfüllen, gibt es noch Stellen an denen zum Beispiel das Zellwachstum größer als 1,2 ist. 27

32 Ziel ist es, die schlechten Netzbereiche nicht im Bereich großer Gradienten zu haben. Direkt vor der Nase, wo die Geschwindigkeitsgradiente am stärksten sind (wegen des Staupunktes), ist das Netz ganz regelmässig gebaut (Abb. 3.5). Weiter stromaufwärts sind die Gradienten niedriger, und das Netz enthält Zellen, die die Wachstumregel von 10% nicht beachten (Abb. 3.6). Abbildung 3.6: Netz vor der Nase Stromabwärts vom Triebwerk soll das Netz auch verfeinert werden, um die grosse Temperatur- und Geschwindigkeitsgradiente um den Strahl genau zu berechnen (Abb. 3.7). Abbildung 3.7: Netz um das Triebwerk Die Höhe der ersten Grenzschichtzelle wurde zwischen 0,02 mm und 0,11 mm gesetzt; es wurde nach die Berechnung geprüft, dass y + immer in der Grössnordnung um ein ist (Abb. 3.8). 28

33 Abbildung 3.8: Netz in der Grenzschicht Das Netz beträgt insgesamt Zellen D Geometrie Da die Berechnung in zwei Dimension zu große Fehler enthält (siehe 4.1), ist es notwendig eine dreidimensionelle Berechnung durchzuführen. Es wurde zuerst angedacht, dass die Tragfläche und insbesondere den Rumpf-Flügel Übergang, die Strahlströmung beinflussen können. Die 3D- Geometrie wurde also mit der Tragfläche entwickelt. Abbildung 3.9: 3D Geometrie mit Tragfläche Es wurde nicht die ganze Tragfläche hinzugefügt, sondern nur die erste 8m der Spannweite (Abb. 3.9). Am Rumpf-Flächen-Übergang befinden sich grosse Schwierigkeiten: die komplexe Geometrie der Flügelwurzel und die Beschränkungen der 29

34 Vernetzung führen zu einer sehr hohen Punkteanzahl. Zusätzlich kommen die starke Krümmung und die sehr kleinen Zellen an der Vorderkante hinzu. Um all diese Schwierigkeiten zu vermeiden wurde entschieden, die Geometrie weiter zu vereinfachen: die Fläche wurde aus dem geometrisches Modell entfernt (Abb. 3.10). Abbildung 3.10: 3D Geometrie ohne Tragfläche Blocktopologie Wie bei der zweidimensionalen Berechnung sind die Blöcke in Schichten um den Rumpf aufgeteilt. Der Schnitt in Symmetrieebene ähnelt der 2D Topologie (Abb. 3.11). Abbildung 3.11: Schnitt der 3D Topologie in Symmetrieebene Um das Triebwerk wurde ebenfalls ein O-Netz gebaut, aber einen anderes O-Netz muss senkrecht zum Ein- und Auslass auch verwendet werden. Dies ist notwendig um das Netz an die Krümmung anzupassen, und führt auch zu einer gewünschte Verfeinerung im Strahlgebiet (Abb. 3.12). 30

35 Abbildung 3.12: O-Netz am Triebwerksauslass Um die gesamte Punktezahl gering zu halten und die Topologie zu erleichtern, sind diese beiden O-Netze geschlossen und laufen nicht bis zur Aussenfläche (Abb. 3.13). Abbildung 3.13: O-Netz Topologie vorne und hinter das Triebwerk In der dritten Richtung sind die Blöcke auf einem Halbkreis um den Rumpf verteilt. Das führt zu einen einfachen und homogenen Netz. Die einzige schwierige Stelle befindet sich zwischen dem Triebwerk und dem Rumpf, an dem die Blöcke stark verformt sind (Abb. 3.14). Die Aussenblöcke sind dann um die Innerenblöcke angeordnet. Wie im zweidimensionalen Fall, sind die Blockecken so verteilt, dass das Netz 31

36 Abbildung 3.14: Schnitt der Blöcke in der (Y, Z) Ebene möglichst gleichmäßig bleibt (Abb. 3.15). Die ganze Topologie setzt sich aus insgesamt 171 Blöcke zusammen. Abbildung 3.15: Aussenblöcke des 3D-Modells Netz Das Netz wurde mit den üblichen Beschränkungen entwickelt. Die Wandverfeinerung um das Triebwerk führt zu eine Verfeinerung im Strahlgebiet, die für die genaue Auflösung des Strahls notwendig ist (Abb. 3.16). 32

37 Abbildung 3.16: Vernetzung hinter den Triebwerk (Schnitt in der Symmetrieebene) An einigen Stellen bleibt das Netz sehr weit von den Beschränkungen (zum Beispiel um das Rumpfende des Fliegers in Abb. 3.17). Unter Berücksichtigung der komplexe Geometrie und Topologie, kann man an dieser Stelle kaum etwas verbessern. Soweit diese Schwachstellen weit genug vom Strahlgebiet entfernt sind, und die Konvergenz nicht behindert, wurde sie so gelassen. Abbildung 3.17: Vernetzung am Rumpfende (Schnitt in der der Symmetrieebene) Weit vom Runpf wurden die Zellen so homogen wie möglich verteilt, aber es bleibt im Nachlauf verfeinert, um keine große Verformung der Zelle zu erzeugen (Abb. 3.18). 33

38 Abbildung 3.18: Vernetzung hinter dem Triebwerk (Vernetzung der Symmetrie- und Druckauslassfläche ) Das dreidimensionale Netz beträgt ca. 9 Millionen Zellen. 3.2 Solver Einstellungen und Rechnung Randbedingungen Für alle Berechnungen wurde folgende Randbedingungen für das Fernfeld und Druckauslass genommen: Fernfeld: Geschwindigkeit 27 m.s 1, Dichte 1,25 kg.m 3, Anstellwinkel 0, Temperatur 292 K, Turbulenzgrad 0,3 %, Viskositätsverhältnis 1 Druckauslass: statische Druck Pa, Rückströmtotaldruck ,3 Pa, Rückströmtotaltemperatur 292,36 K Sie sollen Reiseflugbedingungen in niedriger Höhe (Fluggeschwindigkeit ca. 100km.h 1) modelliert werden [1]. Falls nicht anders angeben, wurden diese Bedingungen immer angewendet. 34

39 Das Triebwerk wurde nicht mit maximalen Schubeinstellungen (1000 N Schub), sondern mit Einstellungen für 200 N (n=36000 U.min 1 =60% der maximalen Umdrehungsgeschwindigkeit) (Abb. 3.19) modelliert. Die numerische Werte für die Triebwerksrandbedingungen wurde mit Hilfe der Gleichungen 2.16 und der Herstellerangaben [4] berechnet: p E = Pa T E = 272 K p ta = Pa (oder P = 5000 Pa) T ta = 712 K (oder T t = 440 K ) Abbildung 3.19: Triebwerksleistungen Die Anfangsbedingung für das Strömungsfeld wurde genau mit den gleichen Werten wie das Fernfeldranbedingung gesetzt. Physikalische und numerische Modellierung Das physikalisches Modell wurde für 2D und 3D Berechnungen gleich eingestellt: Turbulenzmodell: Spalart-Allmaras 1-Gleichungsmodell. 35

40 Stationäre Berechnung Kompressible Luftströmung. Das Flugzeug fliegt mit einer Machzahl von ca. 0,1, aber die Abgasströmung hat eine viel höhere Machzahl und eine andere Dichte als die Umgebungsluft. Deswegen muss die Strömung als kompressibel modelliert werden. Das Erdschwerefeld wurde nicht berücksichigt. Für das numerisches Modell wurde die Einstellungen immer geändert, um die Konvergenz und/oder die Stabilität zu verbessern, und auch um eine hinreichende Genauigkeit zu erreichen. SLIP Schema Runge-Kutta Schema mit CFL-Zahl = 2,2, 3 Schritte. Genauigkeit 2. Ordnung im Raum. Die 1. Ordnung konvergiert viel besser und schneller, die Ergebnisse sind aber nicht genau genug. Geringe numerische Dissipation Multigrid-Einstellungen Alle Berechnungen sind mit vier Multigrid-Schritte ausgeführt. Um eine Optimale Konvergenz zu erreichen, müssen die Residuen der Dichte, Geschwingkeitskomponente und Temperatur die folgende Grenze erreichen: 1. (grobes) Netz: unter 5 Dekaden 2. Netz: unter 4,5 Dekaden 3. Netz: unter 4 Dekaden 4. Netz (feinstes) Netz: unter 3,5 Dekaden Da die turbulente kinetische Energie im Turbulenzmodell im Nenner steht, wurde sie im Code nach unten begrenzt, um eine Division durch Null zu vermeiden. Deswegen kann das Residuum der turbulenten Viskosität diesen Grenzen nicht erreichen. Dieses Residuum wurde deswegen für die Konvergenz der Lösung nicht berücksichtigt. Wenn die Grenzen für alle Residuen in einem bestimmten Netz erreicht sind, kann man die Berechnung in den nächsten Netz anfangen (Abb. 3.20). Bei jeder Netzänderung erreichen die Residuen eine sehr großen Wert, was die Konsequenz aus der Interpolation auf das feinere Netz ist. 36

41 Abbildung 3.20: Residuenverlauf für eine 3D-Berechnung. Auf der X- Achse ist der Anzahl der Iterationen, auf der Y-Achse sind die Residuendekaden dargestellt. 37

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