5.3.3 Relaxationsverfahren: das SOR-Verfahren

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1 53 Iteratve Lösungsverfahren für lneare Glechungssysteme 533 Relaxatonsverfahren: das SOR-Verfahren Das vorangehende Bespel zegt, dass Jacob- sowe Gauß-Sedel-Verfahren sehr langsam konvergeren Für de Modellmatrx A R n n stegt de Anzahl der notwendgen Iteratonsschrtte (zum Errechen ener vorgegebenen Genaugket) quadratsch O(n ) Obwohl jeder enzelne Schrtt sehr enfach st und äußerst effzent n O(n) Operatonen durchgeführt werden kann, snd dese Verfahren den drekten ncht überlegen Oft, etwa be Trdagonalsystemen snd drekte Löser mt enem Aufwand von O(n) sogar unschlagbar schneller Das SOR-Verfahren st ene Weterentwcklung der Gauß-Sedel-Iteraton durch de Enführung enes Relaxatonsparameters ω > 0 Das -te Element berechnet sch laut Satz 54 als: x k,gs = b a j x k,gs j a j x k j, =,, n a j< j> Zur Bestmmung der SOR-Lösung verwenden wr ncht unmttelbar dese Approxmaton, sondern führen enen Relaxatonsparameter ω > 0 en und defneren x k,gs x k,sor = ωx k,gs + ( ω)x k, =,, n als enen gewchteten Mttelwert zwschen Gauß-Sedel Iteraton und alter Approxmaton Deser Relaxatonsparameter ω kann nun verwendet werden, um de Konvergenzegenschaften der Iteraton wesentlch zu beenflussen Im Fall ω = ergbt sch gerade das Gauß-Sedel-Verfahren Im Fall ω < sprcht man von Unterrelaxaton, m Fall ω > von Überrelaxaton Das SOR-Verfahren steht für Successve Over Relaxaton, verwendet also Relaxatonsparameter ω > Successve (also schrttwese) bedeutet, dass de Relaxaton für jeden enzelnen Index angewendet wrd De Vorstellung zunächst de komplette Gauß-Sedel Approxmaton x k,gs zu berechnen und x k,sor = ωx k,gs + ( ω)x k zu bestmmen st falsch! Stattdessen defneren wr n Indexschrebwese: x k,sor = ω a In Vektorschrebwese glt: b j< a j x k,sor j a j x k j + ( ω)x k, =,, n j> x k,sor = ωd (b Lx k,sor Rx k ) + ( ω)x k Trennen der Terme nach x k,sor sowe x k ergbt also de Iteraton (D + ωl)x k,sor = ωb + [( ω)d ωr]x k, x k,sor = H ω x k + ω[d + ωl] b, H ω := [D + ωl] [( ω)d ωr] Deses Verfahren, mt der Iteratonsmatrx H ω passt weder n das Schema der allgemenen Fxpunktteratonen und gemäß Satz 5 hängt de Konvergenz des Verfahrens an ρ ω := spr(h ω ) <

2 5 Numersche Iteratonsverfahren De Schwergket be der Realserung des SOR-Verfahrens st de Bestmmung von guten Relaxatonsparametern, so dass de Matrx H ω enen möglchst klenen Spektralradus bestzt Es glt de erste Abschätzung: Satz 53 (Relaxatonsparameter des SOR-Verfahrens) Es se A R n n mt regulärem Dagonaltel D R n n Dann glt: Für spr(h ω ) < muss gelten ω (0, ) spr(h ω ) ω, ω R Bewes: Wr nutzen de Matrx-Darstellung der Iteraton: H ω = [D + ωl] [( ω)d ωr] = (I + w } D {{ L} ) D} {{ D} [( ω)i ω D} {{ R} ] =: L =I =: R De Matrzen L sowe R snd echte Dreecksmatrzen mt Nullen auf der Dagonale Dh, es glt det(i+ω L) = sowe det(( ω)i ω R) = ( ω) n, also Nun glt für de Determnante von H ω det(h ω ) = ( ω) n Für de Egenwerte λ von H ω glt folglch n = λ = det(h ω ) = ( ω) n spr(h ω ) = max n λ ( n λ = ) n = ω De letzte Abschätzung nutzt, dass das geometrsche Mttel von n Zahlen klener st, als das Maxmum Deser Satz lefert ene erste Abschätzung für de Wahl des Relaxatonsparameters, hlft jedoch noch ncht bem Bestmmen enes Optmums Für de wchtge Klasse von postv defnten Matrzen erhalten wr en sehr starkes Konvergenzresultat: Satz 53 (SOR-Verfahren für postv defnte Matrzen) Es se A R n n ene symmetrsch postv defnte Matrx Dann glt: spr(h ω ) < für 0 < ω < SOR-Verfahren und auch Gauß-Sedel-Verfahren snd konvergent Bewes: Sehe [9] Für de oben angegebene Modellmatrx st de Konvergenz von Jacob- sowe Gauß-Sedel- Iteraton auch theoretsch abgeschert Für dese Matrzen (und allgemen für de Klasse der konsstent geordneten Matrzen, sehe [9]) kann für de Jacob- J und Gauß-Sedel- Iteraton H der folgende Zusammenhang gezegt werden: spr(j) = spr(h ) (55)

3 53 Iteratve Lösungsverfahren für lneare Glechungssysteme spr omega Abbldung 5: Bestmmung des optmalen Relaxatonsparameters ω opt En Schrtt der Gauß-Sedel-Iteraton führt zu der glechen Fehlerredukton we zwe Schrtte der Jacob-Iteraton Deses Resultat fndet sch n Bespel 530 exakt weder Weter kann für dese Matrzen en Zusammenhang zwschen Egenwerten der Matrx H ω sowe den Egenwerten der Jacob-Matrx J hergeletet werden Angenommen, es glt ρ J := spr(j) < Dann glt für den Spektralradus der SOR-Matrx: ω ω ω opt, spr(h ω ) = 4 (ρ Jω + ρ J ω 4(ω )) ω ω opt Ist der Spektralradus der Matrx J bekannt, so kann der optmale Parameter ω opt kann als Schnttpunkt deser beden Funktonen gefunden werden, sehe Abbldung 5 Es glt: ω opt = ( ρ J ) (56) Bespel 533 (Modellmatrx mt SOR-Verfahren) Wr betrachten weder de verenfachte Modellmatrx aus Bespel 530 Für de Jacob-Matrx J = D (L + R) glt: J = ρ J Zunächst bestmmen wr de Egenwerte λ und Egenvektoren w für =,, n deser Matrx Herzu machen machen wr den Ansatz: ( ) πk w = (wk) k=,,n, wk = sn n + Dann glt mt dem Addtonstheoremen sn(x ± y) = sn(x) cos(y) ± cos(x) sn(y): (Jw ) k = w k + w k+ = ( ( ) ( )) π(k ) π(k + ) sn + sn n + n + = ( ) ( ( ) ( )) ( ) πk π π π sn cos + cos = wk cos n + n + n + n + 3

4 5 Numersche Iteratonsverfahren Man beachte, dass dese Glechung wegen w0 = w n+ = 0 auch für de erste und letzte Zele, dh für = sowe = n gültg st Es glt λ = cos(π/(n+)) und der betragsmäßg größte Egenwert von J wrd für = sowe = n angenommen Her glt mt der Rehenentwcklung des Kosnus: ( ) π π ( λ max = λ = cos = n + (n + ) + O (n + ) 4 Der größte Egenwert geht mt n quadratsch gegen Heraus bestmmen wr mt (56) für enge Schrttweten aus Bespel 530 de optmalen Relaxatonsparameter: ) n λ max (J) ω opt Schleßlch führen wr für dese Parameter das SOR-Verfahren mt optmalem Relaxatonsparameter durch und fassen de Ergebnsse n folgender Tabelle zusammen: Matrxgröße Jacob Gauß-Sedel SOR Schrtte Zet (sec) Schrtte Zet (sec) Schrtte Zet (sec) zu aufwendg De Anzahl der notwendgen Schrtte stegt bem SOR-Verfahren nur lnear n der Problemgröße Des st m Gegensatz zum quadratschen Ansteg bem Jacob- sowe bem Gauß- Sedel-Verfahren en wesentlcher Fortschrtt Da der Aufwand enes Schrttes des SOR- Verfahrens mt dem von Jacob- und Gauß-Sedel verglechbar st für das SOR-Verfahren zu enem Gesamtaufwand von nur O(n ) Operatonen Deses postve Resultat glt jedoch nur dann, wenn der optmale SOR-Parameter bekannt st 534 Praktsche Aspekte Wr fassen zunächst de bsher vorgestellten Verfahren zusammen: Bespel 534 (Enfache Iteratonsverfahren) Es glt n allgemener Darstellung x k+ = x k + C (b Ax k ) = (I C A) x k + C b }{{} =B 4

5 53 Iteratve Lösungsverfahren für lneare Glechungssysteme Ausgehend von der natürlchen Aufspaltung A = L + D + R sowe mt enem Relaxatonsparameter ω snd Rchardson-, Jacob-, Gauß-Sedel- sowe SOR-Verfahren gegeben als als: Gedämpftes Rchardson Verfahren: C = ωi, B = I ωa, Jacob-Verfahren: x k = ωb + x k ω C = D, x k = b a Gauß-Sedel-Verfahren n j=,j n j= a j x k j, =,, n B = D (L + R), a j x k, =,, n j C = [D + L], B = (D + L) R x k = b a j x k j a j x k j, =,, n a j< j> SOR-Verfahren (englsch Successve Over-Relaxaton): C = [D + ωl], B = [D + ωl] [( ω)d ωr], ω = ω opt (0, ), x k = ω b a j x k j a j x k j + ( ω)x k, =,, n a j< j> Zur enfachen Durchführung der Verfahren egnet sch stets de Index-Schrebwese De Matrx-Form dent nsbesondere der enfachen Charakterserung sowe zum Herleten von Konvergenzaussagen Als teratve Verfahren werden de Glechungssysteme nur m (praktsch rrelevanten) Fall n ) wrklch gelöst Üblcherwese muss de Iteraton nach ener bestmmten Anzahl von Schrtten abgebrochen werden Als Krterum für en Abbrechnen kann zunächst de 5

6 5 Numersche Iteratonsverfahren asymptotsche Konvergenzaussage aus Satz 5 herangezogen werden Mt ρ := spr(b) glt m Grenzfall: x k x ρ k x 0 x Und be vorgegebener Toleranz T OL kann de notwendge Zahl an Iteratonsschrtten abgeschätzt werden: ( ) x k x < TOL k = log T OL x 0 x log(ρ) De Toleranz TOL gbt her an, um welchen Faktor der Anfänglche Fehler x 0 x reduzert wrd Deses Vorgehen st n der praktschen Anwendung weng hlfrech, da der Spektralradus ρ der Iteratonsmatrx B m Allgemenen ncht bekannt st En alternatves allgemenes Krterum lefert de Abschätzung aus Satz 444 für den Defekt d k := b Ax k : x k x x cond(a) b Axk b Her entsteht jedoch en ähnlches Problem: de Kondtonszahl der Matrx A st m Allgemenen ncht bekannt, so kann auch kene quanttatv korrekte Abschätzung hergeletet werden Deser enfache Zusammenhang zwschen Defekt und Fehler kann jedoch genutzt werden um ene relatve Toleranz zu errechen: Bemerkung 535 (Relatve Toleranz) Be der Durchführung von teratven Lösungsverfahren werden als Abbruchskrterum oft relatve Toleranzen engesetzt De Iteraton wrd gestoppt, falls glt: x k x TOL x 0 x Als praktsch durchführbares Krterum werden de unbekannten Fehler durch de Defekte ersetzt: b Ax k TOL b Ax 0 6