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1 Klausur zur Vorlesung Zahlentheorie 21. Juli Uhr Uhr 00 Ruhr-Universität Bochum PD. Dr. Claus Mokler Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Name, Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: Zur Bearbeitung der Klausur sind neben Schreibsachen und Lineal keine weiteren Hilfsmittel erlaubt. Auf der Rückseite dieses Blatts finden Sie eine Übersicht über alle 6 Aufgaben. Danach werden die Aufgaben nochmals einzeln aufgeführt, mit jeweils 2 oder 3 leeren Seiten zur Bearbeitung. Ganz am Ende befinden sich 2 Seiten Konzeptpapier. Aufgabe: Bonus Gesamt Punkte: Note:

2 Aufgabe 1: (10 Punkte) a) Geben Sie die Primfaktorzerlegung von 660 an und lesen Sie die Anzahl der Teiler von 660 ab. b) Geben Sie die Primfaktorzerlegung von 50 an und lesen Sie die Summe der Teiler von 50 ab. c) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von 50 und 660. Eine mögliche Lösung: Von a): Die Primfaktorzerlegung ist 660 = Daraus liest man die Anzahl der Teiler ab: τ(660) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 24 Von b): Die Primfaktorzerlegung ist 50 = Daraus liest man die Summe der Teiler ab: σ(660) = (1 + 2)( ) = 3 31 = 93 Von c): Mit Hilfe der Primfaktorzerlegungen von 50 und 660 findet man: ggt(50, 660) = = 10 kgv(50, 660) = = 3300 Aufgabe 2: (8 Punkte) Bestimmen Sie die ganzzahligen Lösung der linearen diophantischen Gleichung 51x + 8y = 2. Eine mögliche Lösung: Zuerst bestimmt man durch den euklidischen Algorithmus einen ganzzahligen größten gemeinsamen Teiler von 51 und 8: 51 = = = = Damit ist 1 ein größter gemeinsamer Teiler von 51 und 8 mit Vielfachensummendarstellung 1 = = 3 1 (8 2 3) = = 3 (51 6 8) 1 8 =

3 Multiplikation mit 2 ergibt 2 = Also ist (x, y) = (6, 38) eine spezielle ganzzahlige Lösung. Die allgemeine ganzzahlige Lösung ist (x, y) = (6, 38) + t ( 8 1, 51 ) = (6, 38) + t (8, 51), t Z. 1 Aufgabe 3: a) Warum besitzt die lineare Kongruenz (8 Punkte) Lösungen modulo 55? Wie viele sind es? 11x 22 mod 55 (1) b) Bestimmen Sie die Lösungen modulo 55 dieser Kongruenz. Geben Sie diese bitte an, ohne Lösungen doppelt aufzuführen. Eine mögliche Lösung: Von a): 11 ist der nichtnegative größte gemeinsame Teiler von 11 und 55. Da 22 durch 11 geteilt wird, existieren genau 11 Lösungen modulo 55 von (1). Von b): Für x Z ist nach der Kürzungsregel die Kongruenz äquivalent zur Kongruenz welche die Lösungen 11x 22 mod 55 x 2 mod 5, x = 2 + k 5, k Z, besitzt. Damit erhält man die Lösungen modulo 55 von (1) durch Ausgeschrieben sind das x 2 + k 5 mod 55, k = 0, 1, 2,..., 10. x 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52 mod 55.

4 Aufgabe 4: a) Geben Sie die Einheiten von Z 20 aufzählend an. (11 Punkte) b) Geben Sie die Eulerfunktion φ(20) an und bestimmen Sie die Ordnung von 7 Z 20. c) Geben Sie die Nullteiler von Z 20 aufzählend an. Welche der Nullteiler sind nilpotente Elemente. (Beachten Sie dabei, daß nach Definition die Restklasse 0 kein Nullteiler ist.) Um die Ergebnisse in a) und c) anzugeben, benutzen Sie bitte nur die Symbole 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Eine mögliche Lösung: Von a): Mit 20 = sieht man sofort Z 20 = {a a, 20 teilerfremd } = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Von b): Aus a) folgt φ(20) = Z 20 = 8. Da ord(7) φ(20) folgt ord(7) {1, 2, 4, 8}. Man berechnet: 7 1 = = 49 = = 9 2 = 81 = 1 Daher ist ord(7) = 4. Von c): Da Z 20 = Z 20 {0} Nt(Z 20 ) folgt aus a): Nt(Z 20 ) = {2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18} Es ist 20 = Daher ist Nil(Z 20 ) = Z 20 (2 5) = {0, 10}. Damit ist 10 der einzige Nullteiler, der nilpotent ist. Aufgabe 5: a) Geben Sie eine Primfaktorzerlegung von 225 in Z und eine in Z[i] an. (7 Punkte) b) Bestimmen Sie alle Zerlegungen von 225 in eine Summe von 2 Quadratzahlen. (Die Zahlen n 2, n N 0, werden als Quadratzahlen bezeichnet. Insbesondere ist 0 eine Quadratzahl.)

5 Eine mögliche Lösung: Von a): Eine Primfaktorzerlegung in Z ist 225 = Eine Primfaktorzerlegung in Z[i] ist 225 = 3 2 (2 + i) 2 (2 i) 2. Dabei ist 3 Z[i] prim, da 3 Z prim und 3 3 mod 4. Es sind 2 ± i Z[i] prim, da N(2 ± i) = = 5 Z prim und 5 1 mod 4. Von b): Seien a 1, a 2 N 0. Es gilt 225 = (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2 genau dann, wenn für a := a 1 + ia 2 Z[i] gilt 225 = aa. Es ist einfacher mit ganzen Zahlen zu rechnen: Wir suchen alle b = b 1 + ib 2 Z[i] mit bb = 225. Dabei genügt es die möglichen b Z[i] nur bis auf Konjugation und Assoziiertheit zu bestimmen. (Durch Anwendung der Konjugation und der Multiplikation mit Einheiten geht b 1 + ib 2 in ±b 1 ± ib 2, ±b 2 ± ib 1 über.) Aus der Primfaktorzerlegung von 225 in Z[i] folgt, daß bis auf Konjugation und Assoziiertheit folgende Möglichkeiten für b bestehen: Daher sind 3(2 + i) 2 = 3(3 + 2i) = i 3(2 + i)(2 i) = 3(4 + 1) = = = = = alle Zerlegungen von 225 in eine Summe von 2 Quadratzahlen. Aufgabe 6: Zeigen Sie: 105 = teilt die Zahl Eine mögliche Lösung: Es ist äquivalent zu Nun ist 105 = ( ) 3 ( ) und 5 ( ) und 7 ( ). (6 Punkte) mod 3, (2) ( 1) mod 5, (3) ( 1) mod 7. (4) Da φ(3) = 2 12, φ(5) = 4 12 und φ(7) = 6 12 folgt mit dem Satz von Euler-Fermat, daß die rechte Seite von (2), (3) und (4) jeweils kongruent 0 ist.

6 Notenskala: Punkte Note > 50 0,7 50, < 30 nicht bestanden