Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2
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- Theodor Kerner
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1 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2
2 Überblick Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen Eulersche Φ-Funktion RSA Quellen Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 2
3 Modulare Arithmetik
4 Modulare Arithmetik (1) - Motivation Motivation Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 4
5 Modulare Arithmetik (1) - Motivation Motivation Rechnen mit Integern: Rest der Division Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 5
6 Modulare Arithmetik (1) - Motivation Motivation Rechnen mit Integern: Rest der Division Große Zahlen, bei denen n letzte Stellen interessieren Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 6
7 Modulare Arithmetik (1) - Motivation Motivation Rechnen mit Integern: Rest der Division Große Zahlen, bei denen n letzte Stellen interessieren zum Beispiel ISBN-Nummern Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 7
8 Modulare Arithmetik (1) - Motivation Motivation Rechnen mit Integern: Rest der Division Große Zahlen, bei denen n letzte Stellen interessieren zum Beispiel ISBN-Nummern Kalenderrechnung Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 8
9 Modulare Arithmetik (1) - Motivation Motivation Rechnen mit Integern: Rest der Division Große Zahlen, bei denen n letzte Stellen interessieren zum Beispiel ISBN-Nummern Kalenderrechnung Viele kryptographische Verfahren benötigen Modulo Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 9
10 Modulare Arithmetik (2) - Rechenregeln Rechenregeln (1) Für Zahlen x, y, m Z, c N, c m
11 Modulare Arithmetik (2) - Rechenregeln Rechenregeln (1) Für Zahlen x, y, m Z, c N, c m (x + y) mod m = (x mod m + y mod m) mod m
12 Modulare Arithmetik (2) - Rechenregeln Rechenregeln (1) Für Zahlen x, y, m Z, c N, c m (x + y) mod m = (x mod m + y mod m) mod m (x y) mod m = (x mod m y mod m) mod m
13 Modulare Arithmetik (2) - Rechenregeln Rechenregeln (1) Für Zahlen x, y, m Z, c N, c m (x + y) mod m = (x mod m + y mod m) mod m (x y) mod m = (x mod m y mod m) mod m (x y) mod m = ((x mod m) (y mod m)) mod m
14 Modulare Arithmetik (2) - Rechenregeln Rechenregeln (1) Für Zahlen x, y, m Z, c N, c m (x + y) mod m = (x mod m + y mod m) mod m (x y) mod m = (x mod m y mod m) mod m (x y) mod m = ((x mod m) (y mod m)) mod m x y mod m = ((x mod m) y ) mod m
15 Modulare Arithmetik (2) - Rechenregeln Rechenregeln (1) Für Zahlen x, y, m Z, c N, c m (x + y) mod m = (x mod m + y mod m) mod m (x y) mod m = (x mod m y mod m) mod m (x y) mod m = ((x mod m) (y mod m)) mod m x y mod m = ((x mod m) y ) mod m ((x c) (y c)) mod (m c) = (x y) mod m Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 15
16 Modulare Arithmetik (3)- Rechenregeln Achtung bei Division Division funktioniert mittels Multiplikation des Inversen. Dementsprechend ist eine Division nur möglich, wenn dieses auch existiert. Durch 0 teilen geht hier natürlich auch nicht Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 16
17 Modulare Arithmetik (3)- Rechenregeln Achtung bei Division Division funktioniert mittels Multiplikation des Inversen. Dementsprechend ist eine Division nur möglich, wenn dieses auch existiert. Durch 0 teilen geht hier natürlich auch nicht. Rechenregeln (2) y y -1 1 mod m (x y) mod m = (x y -1 ) mod m Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 17
18 Modulare Arithmetik (4) - Programmierung Achtung: %!= mod Modulo ist definiert als Rest der Division. % dagegen kann je nach Programmmiersprache auch negative Werte liefern Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 18
19 Modulare Arithmetik (4) - Programmierung Achtung: %!= mod Modulo ist definiert als Rest der Division. % dagegen kann je nach Programmmiersprache auch negative Werte liefern. Beispiel In Java,C,..: 15 mod 4 = 3 Python: 15 mod 4 = Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 19
20 Modulare Arithmetik (4) - Programmierung Achtung: %!= mod Modulo ist definiert als Rest der Division. % dagegen kann je nach Programmmiersprache auch negative Werte liefern. Beispiel In Java,C,..: 15 mod 4 = 3 Python: 15 mod 4 = 1 Tipp Um positive Werte zu garantieren funktioniert: (x%y) (x%y + y)%y Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 20
21 Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 21
22 Modulare Arithmetik (5) - Fast Exponentiation von x y Naive Exponentiation hat eine Laufzeit von O(y) Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 22
23 Modulare Arithmetik (5) - Fast Exponentiation von x y Naive Exponentiation hat eine Laufzeit von O(y) Idee: Mit Quadrieren eine Laufzeit von O(log y) erreichen Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 23
24 Modulare Arithmetik (5) - Fast Exponentiation von x y Naive Exponentiation hat eine Laufzeit von O(y) Idee: Mit Quadrieren eine Laufzeit von O(log y) erreichen. Formel Fast Exp 1, y = 0 x y = x y-1 x, y%2 = 1 x y/2 x y/2, sonst Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 24
25 Modulare Arithmetik (6) - Fast Exponentiation mod m 1 long fast_exp_mod(long x, long y, long mod){ 2 if(y==0){ 3 return 1; 4 } 5 if(y % 2==1){ 6 return ( x * fast_exp_mod(x,y-1,mod)) % mod; 7 } 8 else{ 9 return ( fast_exp_mod(x,y/2,mod) * fast_exp_mod(x,y/2,mod)) % mod; 10 } 11 } Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 25
26 Modulare Arithmetik (7) - Modulare Inverse Fermat s kleiner Satz Mit Primzahl p und a Z muss a p a Vielfaches von p sein: a p a mod p Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 26
27 Modulare Arithmetik (7) - Modulare Inverse Fermat s kleiner Satz Mit Primzahl p und a Z muss a p a Vielfaches von p sein: a p a mod p 1 public static long mod_inv(long x, long prime){ 2 return fast_exp_mod(x,prime-2,prime) 3 } Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 27
28 Größter gemeinsamer Teiler
29 Größter gemeinsamer Teiler (1) - ggt Euklid Idee Euklid s Algorithmus Der Algorithmus beruht darauf, dass sich der ggt zweier Zahlen nicht ändert, wenn man die Kleinere von der Größeren subtrahiert. Die Modulo-Operation liefert uns die kleinste Zahl > 0 nach n Subtraktionen Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 29
30 Größter gemeinsamer Teiler (1) - ggt Euklid Idee Euklid s Algorithmus Der Algorithmus beruht darauf, dass sich der ggt zweier Zahlen nicht ändert, wenn man die Kleinere von der Größeren subtrahiert. Die Modulo-Operation liefert uns die kleinste Zahl > 0 nach n Subtraktionen. PseudoCode Euklid setze n = 0, a 0 = a, b 0 = b if b n == 0 return a n berechne q n und r n anhand: a n = b n q n + r n und 0 r n b n setze a n+1 = b n, b n+1 = r n setze n = n + 1 goto if Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 30
31 Größter gemeinsamer Teiler (2) Code ggt 1 public static long gcd(long a, long b){ 2 while(b > 0){ 3 long tmp = a % b; 4 a = b; 5 b = tmp; 6 } 7 return a; 8 } Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 31
32 Größter gemeinsamer Teiler (3) - Erweiterung ggt Euklid Lemma von Bėzout Der ggt zweier Zahlen a,b Z lässt sich als Linearkombination von a und b mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 32
33 Größter gemeinsamer Teiler (3) - Erweiterung ggt Euklid Lemma von Bėzout Der ggt zweier Zahlen a,b Z lässt sich als Linearkombination von a und b mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen. Damit folgt ggt(a,b)=s a + t b mit s,t Z Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 33
34 Größter gemeinsamer Teiler (3) - Erweiterung ggt Euklid Lemma von Bėzout Der ggt zweier Zahlen a,b Z lässt sich als Linearkombination von a und b mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen. Damit folgt ggt(a,b)=s a + t b mit s,t Z Berechnung der Linearkombination Diese Linearkombination lässt sich mit Hilfe des erweiterten Euklids berechnen: Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 34
35 Größter gemeinsamer Teiler (4) PseudoCode Erweiterung ggt PseudoCode erweiterter Euklid setze n = 0, a 0 = a, b 0 = b setze neue Variablen s 0 = 1, t 0 = 0, u 0 = 0 v 0 = 1 if b n == 0 return (a n ) berechne q n und r n anhand: a n = b n q n + r n und 0 r n b n setze a n+1 = b n, b n+1 = r n, s n+1 = u n, t n+1 = v n berechne u n+1 = s n u n q n berechne v n+1 = t n v n q n setze n = n + 1 goto if Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 35
36 Größter gemeinsamer Teiler (5) Code Erweiterung ggt 1 public static long gcd_extended(long a, long b){ 2 long q,r,s,t,saves,savet; 3 long u=t=1; 4 long v=s=0; 5 while(b > 0){ 6 q=a/b; 7 r= a-q*b; 8 a=b; 9 b=r; 10 saves=s; 11 savet=t; 12 s=u; 13 t=v; 14 u=saves-u*q; 15 v=savet-v*q; 16 } 17 return a; 18 } Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 36
37 Größter gemeinsamer Teiler (6) Beispiel Beispiel erweiterter Euklid gcd_extended(48, 18) q 0 = 2, r 0 = 12, a 1 = 18, b 1 = 12, s 1 = 0, t 1 = 1, u 1 = 1, v 1 = 2 q 1 = 1, r 1 = 6, a 2 = 12, b 2 = 6, s 2 = 1, t 2 = 2, u 2 = 1, v 2 = 3 q 2 = 2, r 2 = 0, a 3 = 6, b 3 = 0, s 3 = 1, t 3 = 3, u 3 = 3, v 3 = 8 return a 3 Ergebnis der Linearkombination also: gcd_extended(48, 18) = = Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 37
38 Größter gemeinsamer Teiler (7) - Nachbetrachtung Weitere Betrachtung Lemma von Bėzout Für a,b teilerfremd ggt(a,b)=1.
39 Größter gemeinsamer Teiler (7) - Nachbetrachtung Weitere Betrachtung Lemma von Bėzout Für a,b teilerfremd ggt(a,b)=1. Damit ist offensichtlich, dass mit ggt(a,b)=s a + t b s das multiplikativ Inverse zu a mod b und t das multiplikativ Inverse zu b mod a ist Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 39
40 Primzahlen
41 Primzahlen (1) Definition Eine Zahl n N, n > 1 heißt Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Ansonsten nennt man n zusammengesetzt Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 41
42 Primzahlen (1) Definition Eine Zahl n N, n > 1 heißt Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Ansonsten nennt man n zusammengesetzt. Achtung Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 42
43 Primzahlen (1) Definition Eine Zahl n N, n > 1 heißt Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Ansonsten nennt man n zusammengesetzt. Achtung Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. ICPC-Tipp Da 2 die einzige gerade Primzahl ist, lohnt es sich oft diese gesondert zu betrachten Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 43
44 Primzahlen (2) - Primzahltests 1 private static boolean isprime(int n) { 2 if(n==1){ 3 return false; 4 } 5 if(n==2){ 6 return true; 7 } 8 if (n% 2==0){ 9 return false; 10 } 11 for (int i=3; i*i <=n; i+=2){ 12 if (n%i==0){ 13 return false; 14 } 15 } 16 return true; 17 } Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 44
45 Primzahlen (3) - Sieb des Erathostenes 1 boolean noprime [] = new boolean [var_end_interval]; 2 private static boolean sieberathostenes(int n){ 3 noprime[0]=true; 4 noprime[1]=true; 5 for(int i=2;i*i<=noprime.length;i++){ 6 if(noprime[i]){ 7 continue; 8 } 9 for(int j=i*i;j<noprime.length;j+=i){ 10 noprime[j]=true; 11 } 12 } 13 } Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 45
46 Primzahlen (4) - Faktorisierung Fundamentalsatz der Artihmetik Jede Zahl n N besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Das heißt es gibt eindeutig bestimmte Exponenten v p (n) N 0 mit folgender Produktdarstellung: n = p v p(n) p Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 46
47 Primzahlen (5) - Faktorisierung PseudoCode 1 privat leer primfaktorisierung(lang n){ 2 solange(n durch 2 teilbar){ 3 faktorenliste.add(2); 4 teile n durch 2; 5 } 6 lang iter=3; 7 solange(iter<=wurzel(n+1)){ 8 wenn(n durch iter teilbar){ 9 faktorenliste.add(iter); 10 teile n durch iter; 11 } 12 sonst{ 13 erhohe iter um 2; 14 } 15 } 16 wenn(n>1){ 17 faktorenliste.add(n); 18 } 19 } Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 47
48 Primzahlen (6) - Faktorisierung Laufzeit Laufzeit Faktorisierung Die Laufzeit liegt offensichtlich in O( n) Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 48
49 Primzahlen (7) - Pollardρ-Methode Ziel Finden eines Teilers p einer zusammengesetzten Zahl n Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 49
50 Primzahlen (7) - Pollardρ-Methode Ziel Finden eines Teilers p einer zusammengesetzten Zahl n Vorgehen Erzeuge mit beliebiger Funktion eine Zahlenfolge mod n
51 Primzahlen (7) - Pollardρ-Methode Ziel Finden eines Teilers p einer zusammengesetzten Zahl n Vorgehen Erzeuge mit beliebiger Funktion eine Zahlenfolge mod n Damit wiederholen sich die Funktionswerte nach spätestens n Iterationen = Zyklus.
52 Primzahlen (7) - Pollardρ-Methode Ziel Finden eines Teilers p einer zusammengesetzten Zahl n Vorgehen Erzeuge mit beliebiger Funktion eine Zahlenfolge mod n Damit wiederholen sich die Funktionswerte nach spätestens n Iterationen = Zyklus. Wenn x i x j mod p folgt x i x j muss Vielfaches von p sein.
53 Primzahlen (7) - Pollardρ-Methode Ziel Finden eines Teilers p einer zusammengesetzten Zahl n Vorgehen Erzeuge mit beliebiger Funktion eine Zahlenfolge mod n Damit wiederholen sich die Funktionswerte nach spätestens n Iterationen = Zyklus. Wenn x i x j mod p folgt x i x j muss Vielfaches von p sein. Dann folgt: p ggt ( x i x j, n) ist Teiler von n Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 53
54 Primzahlen (8) - Pollardρ-Methode Code 1 private static long pollrho(long n){ 2 long runner1 = (long)(math.random() * (n-1)); 3 long runner2 = runner1; 4 long p=1; 5 while(p==1){ 6 runner1 = myfunc(runner1); 7 runner2 = myfunc(myfunc(runner2)); 8 if(runner1==runner2){ //ALARM,ALARM: ZYKLUS 9 return-1; 10 } 11 p=ggt(math.abs(runner1-runner2),n); 12 } 13 return p; //natuerlich noch eine myfunc definieren 16 //beliebige Funktion mit mod n 17 //zb f(x)=(x*x+3)%n Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 54
55 Primzahlen (9) - Pollardρ-Methode Terminierung Terminiert offensichtlich mit gefundenem Teiler p oder mit Abbruch wenn Zyklus erkannt Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 55
56 Primzahlen (9) - Pollardρ-Methode Terminierung Terminiert offensichtlich mit gefundenem Teiler p oder mit Abbruch wenn Zyklus erkannt. Laufzeit Laufzeit, sofern p gefunden, liegt in O( p) Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 56
57 Primzahlen (9) - Pollardρ-Methode Terminierung Terminiert offensichtlich mit gefundenem Teiler p oder mit Abbruch wenn Zyklus erkannt. Laufzeit Laufzeit, sofern p gefunden, liegt in O( p). Terminierung Kein Ergebnis wenn Zyklus erkannt. Dann myfunc(x) ändern bis Ergebnis erhalten Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 57
58 Eulersche Φ-Funktion
59 Eulersche Φ-Funktion (1) Definition eulersche Φ-Funktion Gibt an, wie viele zu n teilerfremde natürliche Zahlen es gibt. Φ(n) : {a N 1 a n ggt (a, n) = 1} Als allgemeine Berechnungsformel: Φ(n) = n (1 1 p ) p n Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 59
60 Eulersche Φ-Funktion (1) Definition eulersche Φ-Funktion Gibt an, wie viele zu n teilerfremde natürliche Zahlen es gibt. Φ(n) : {a N 1 a n ggt (a, n) = 1} Als allgemeine Berechnungsformel: Φ(n) = n (1 1 p ) Hint p n Da Primzahlen per Definition nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, folgt trivial für Primzahl p: Φ(p) = p 1 Dies ist Grundlage für den eulerschen Satz: a Φ(n) 1 mod n Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 60
61 Eulersche Φ-Funktion (2) - Code 1 public static int phi_eule(int n){ 2 int a=0; 3 int ggta; 4 for(int i=1;i<n;i++){ 5 ggta=gcd(n,i); 6 if(ggta==1){ 7 a++; 8 } 9 } 10 return a; 11 } Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 61
62 RSA
63 RSA Algorithmus (1) - Schlüsselerzeugung Algorithmus Schlüsselerzeugung Public key (e,n) und private key (d,n) mit RSA-modul N, Verschlüsselungsexponent e, Entschlüsselungsexponent d
64 RSA Algorithmus (1) - Schlüsselerzeugung Algorithmus Schlüsselerzeugung Public key (e,n) und private key (d,n) mit RSA-modul N, Verschlüsselungsexponent e, Entschlüsselungsexponent d Wähle stochastisch unabhängig zwei zufällige Primzahlen p, q mit p q
65 RSA Algorithmus (1) - Schlüsselerzeugung Algorithmus Schlüsselerzeugung Public key (e,n) und private key (d,n) mit RSA-modul N, Verschlüsselungsexponent e, Entschlüsselungsexponent d Wähle stochastisch unabhängig zwei zufällige Primzahlen p, q mit p q N = p q
66 RSA Algorithmus (1) - Schlüsselerzeugung Algorithmus Schlüsselerzeugung Public key (e,n) und private key (d,n) mit RSA-modul N, Verschlüsselungsexponent e, Entschlüsselungsexponent d Wähle stochastisch unabhängig zwei zufällige Primzahlen p, q mit p q N = p q Φ(N) = (p 1) (q 1)
67 RSA Algorithmus (1) - Schlüsselerzeugung Algorithmus Schlüsselerzeugung Public key (e,n) und private key (d,n) mit RSA-modul N, Verschlüsselungsexponent e, Entschlüsselungsexponent d Wähle stochastisch unabhängig zwei zufällige Primzahlen p, q mit p q N = p q Φ(N) = (p 1) (q 1) Wähle zu Φ(N) eine teilerfremde Zahl e, mit 1 < e < Φ(N)
68 RSA Algorithmus (1) - Schlüsselerzeugung Algorithmus Schlüsselerzeugung Public key (e,n) und private key (d,n) mit RSA-modul N, Verschlüsselungsexponent e, Entschlüsselungsexponent d Wähle stochastisch unabhängig zwei zufällige Primzahlen p, q mit p q N = p q Φ(N) = (p 1) (q 1) Wähle zu Φ(N) eine teilerfremde Zahl e, mit 1 < e < Φ(N) Berechne d anhand der Kongruenzbedingung : e d 1 mod Φ(N) Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 68
69 RSA Algorithmus (2) - Ver- und Entschlüsselung Algorithmus Verschlüsselung Zu verschlüsselnder Text t und Geheimtext g Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 69
70 RSA Algorithmus (2) - Ver- und Entschlüsselung Algorithmus Verschlüsselung Zu verschlüsselnder Text t und Geheimtext g Konvertiere t mittels ASCII-Code in Zahlenfolge z Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 70
71 RSA Algorithmus (2) - Ver- und Entschlüsselung Algorithmus Verschlüsselung Zu verschlüsselnder Text t und Geheimtext g Konvertiere t mittels ASCII-Code in Zahlenfolge z Konvertiere z in Binärcode b Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 71
72 RSA Algorithmus (2) - Ver- und Entschlüsselung Algorithmus Verschlüsselung Zu verschlüsselnder Text t und Geheimtext g Konvertiere t mittels ASCII-Code in Zahlenfolge z Konvertiere z in Binärcode b Teile b in Blöcke gleicher Größe ein Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 72
73 RSA Algorithmus (2) - Ver- und Entschlüsselung Algorithmus Verschlüsselung Zu verschlüsselnder Text t und Geheimtext g Konvertiere t mittels ASCII-Code in Zahlenfolge z Konvertiere z in Binärcode b Teile b in Blöcke gleicher Größe ein g = bblock e mod N Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 73
74 RSA Algorithmus (2) - Ver- und Entschlüsselung Algorithmus Verschlüsselung Zu verschlüsselnder Text t und Geheimtext g Konvertiere t mittels ASCII-Code in Zahlenfolge z Konvertiere z in Binärcode b Teile b in Blöcke gleicher Größe ein g = bblock e mod N Algorithmus Entschlüsselung bblock = g d mod N Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 74
75 RSA Algorithmus (2) - Ver- und Entschlüsselung Algorithmus Verschlüsselung Zu verschlüsselnder Text t und Geheimtext g Konvertiere t mittels ASCII-Code in Zahlenfolge z Konvertiere z in Binärcode b Teile b in Blöcke gleicher Größe ein g = bblock e mod N Algorithmus Entschlüsselung bblock = g d mod N Konvertiere in Binärcode b in Zahlenfolge z Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 75
76 RSA Algorithmus (2) - Ver- und Entschlüsselung Algorithmus Verschlüsselung Zu verschlüsselnder Text t und Geheimtext g Konvertiere t mittels ASCII-Code in Zahlenfolge z Konvertiere z in Binärcode b Teile b in Blöcke gleicher Größe ein g = bblock e mod N Algorithmus Entschlüsselung bblock = g d mod N Konvertiere in Binärcode b in Zahlenfolge z Konvertiere Zahlenfolge z mittels ASCII-Code in Text Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 76
77 Quellen
78 Quellen I Alle Webseiten aufgerufen am : moduloarithmetik: http: // prof-wolfgang-m-ruppert/kryptographie-ii-ss-2017/ moduloarithmetik2: http: // prof-wolfgang-m-ruppert/kryptographie-ss-2016/ modinv : Thread&threadID=642253&start=0&mc=10 gcd Code : common_divisor#iterative_euclid.27s_algorithm Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 78
79 Quellen II gcd extended Code : teaching/ss2008/elegantealgorithmen/skript.pdf Pseudocode gcd,gcdextended : uni-bayreuth.de/stoll/teaching/dioph/skript.pdf RSA : https: // Code aus Wikitemplates Vortrag aus dem SS16 : teaching/ss2016/hallowelt/zaa1_2016.pdf Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 79
80 Quellen III Vortrag aus dem SS15 : teaching/ss2015/hallowelt/zaa1_2015.pdf Vortrag aus dem SS14 : teaching/ss2014/hallowelt/zaa1_2014.pdf be smart : imgflip.com Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 80
81 Noch Fragen?...aber bitte keine schweren ;) Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 81
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