Wiederholung. Lemma 16 Ist A symmetrisch, so gibt eine eine orthogonale Matrix O, s.d. O 1 AO diagonal ist.

Transkript

1 Wiederholung Lemma 6 Ist A smmetrisch, so gibt eine eine orthogonale Matrix O, sd O AO diagonal ist

2 Wiederholung Lemma 6 Ist A smmetrisch, so gibt eine eine orthogonale Matrix O, sd O AO diagonal ist (Smmetrische Matrizen über R sind diagonalisierbar mit Hilfe von ortogonalen Transformationen) Folgerung (Spektralsatz) Sei A smmetrisch Dann gibt es eine orthonormale Basis, die aus Eigenvektoren besteht Beweis Betrachte O aus Lemma 6, und die Basisvektoren b = Oe,,b n = Oe n Da O orthogonal und deswegen nichtausgeartet ist, ist {b,,b n } eine Basis Es gilt: Ab i = OO }{{} Id

3 Wiederholung Lemma 6 Ist A smmetrisch, so gibt eine eine orthogonale Matrix O, sd O AO diagonal ist (Smmetrische Matrizen über R sind diagonalisierbar mit Hilfe von ortogonalen Transformationen) Folgerung (Spektralsatz) Sei A smmetrisch Dann gibt es eine orthonormale Basis, die aus Eigenvektoren besteht Beweis Betrachte O aus Lemma 6, und die Basisvektoren b = Oe,,b n = Oe n Da O orthogonal und deswegen nichtausgeartet ist, ist {b,,b n } eine Basis Es gilt: Ab i = OO }{{} Id AOe i = O O } {{ AO } e i = λ i Oe i = λ i b i, diagonla also b i ist ein Eigenvektor Nach Definition von orthogonalen { Matrizen gilt, falls i = j (Oe i,oej) = (e i,e j ) = Dann ist die Basis {b, sonst,,b n } orthogonal

4 Wiederholung: Bilinerformen Def 35 LAAG Smmetrische Bilinearform auf V

5 Wiederholung: Bilinerformen Def 35 LAAG Smmetrische Bilinearform auf V ist eine Abbildung σ : V V R mit den Eigenschaften

6 Wiederholung: Bilinerformen Def 35 LAAG Smmetrische Bilinearform auf V ist eine Abbildung σ : V V R mit den Eigenschaften (Smmetrie) σ(u,v) = σ(v,u)

7 Wiederholung: Bilinerformen Def 35 LAAG Smmetrische Bilinearform auf V ist eine Abbildung σ : V V R mit den Eigenschaften (Smmetrie) σ(u,v) = σ(v,u) (Bilinearität)

8 Wiederholung: Bilinerformen Def 35 LAAG Smmetrische Bilinearform auf V ist eine Abbildung σ : V V R mit den Eigenschaften (Smmetrie) σ(u,v) = σ(v,u) (Bilinearität) σ(λ u + λ u,v) = λ σ(u,v) + λ σ(u,v) Satz 29 LAAG Jede smmetrische Bilinearform auf R n ist gegeben durch σ A (v,u) = v t Au, wobei A eine smmetrische Matrix ist Ferner gilt: a ij = σ(e i,e j )

9 Wiederholung: Bilinerformen Def 35 LAAG Smmetrische Bilinearform auf V ist eine Abbildung σ : V V R mit den Eigenschaften (Smmetrie) σ(u,v) = σ(v,u) (Bilinearität) σ(λ u + λ u,v) = λ σ(u,v) + λ σ(u,v) Satz 29 LAAG Jede smmetrische Bilinearform auf R n ist gegeben durch σ A (v,u) = v t Au, wobei A eine smmetrische Matrix ist Ferner gilt: a ij = σ(e i,e j ) (Gramm sche Matrix) Frage: Was passiert mit der Matrix der Form, falls wir die Basis ändern? Nach Basiswecksel Lemma 7 A B t AB, wobei b i = Be i Beweis: Nach Satz 6 sind die Koordinaten des Vektors {b,,b n } gleich B x x n x x n in der Basis Dann muss die Matrix A von σ in der neuen Basis die Gleichung (B x) t A B x = x t Ax für alle x R n erfüllen Dann ist x t Ax = x t (B ) t A B x Nach Satz 29 LAAG ist (B ) t A B = A, und deswegen ist A = B t AB

10 Folgerung A aus Lemmata 6,7 Man kann die Matrix jeder smmetrischen Bilinearform mit Hilfe vom ortonormierten Basiswecksel in Diagonalform bringen Tatsächlich, Lemma 6 sagt dass jede smmetrische A kann man mit Hilfe A O AO in eine Diagonalform bringen Wegen O = O t kann man jede smmetrische A man mit Hilfe A O t AO in eine Diagonalform bringen, und dies ist (nach Lemma 7) die Matrix der smmetrischen Bilinearform σ A in der Basis {Oe,,Oe n }, die orthonormiert ist (weil O das Standart-Skalarprodukt enthält)

11 Folgerung B aus Lemmata 6,7 Man kann die Matrix jeder smmetrischen Bilinearform mit Hilfe vom Basiswecksel in die Form ± ± bringen Beweis Sei A die Matrix der Bilinearform Nach Folgerung A (Eigentlich, nach Lemma 6) gibt es eine (orthogonale) Matrix O sd O t AO = λ λk, wobei λ i ist Betrachte C := λ Õ λ k, und B := OC

12 Da die beide Matrizen nichtausgeartet sind, ist B auch nichtausgeartet, und b i := Be i bilden deswegen eine Basis Nach Lemma 7 hat die Bilinearform in der Basis {b,,b n } die Matrix B t AB = (OC) t AOC = C t O t AO }{{} Lemma 6 C = λ Õ λ k λ λk λ Õ λ k = λ λ λ k λ k = ± ±

13 Quadriken Wir arbeiten in R n mit Standard-Skalarprodukt und Standartkoorinaten x x n Def 33 Die Lösungsmenge der Gleichung n n a ij x i x j + a i x i + a = i,j= i= heißt Quadrik (a ij,a i,a R ) Fragen: In welche beste Form kann man die Gleichung der Quadrik mit Hilfe einer Isometrie bzw affiner Transformation bringen? Gegeben eine Quadrik, wie kann man die Form der Quadrik finden, onhe die Transformation explizit einzugeben

14 Analogie: Jordan-Normalform: In welche beste Form kann man die Gleichung der Quadrik mit Hilfe einer Isometrie bzw affiner Transformation bringen? Gegeben eine Quadrik, wie kann man die Form der Quadrik finden, ohne die Transformation explizit einzugeben Man kann einer Matrix in Jordan-Normalform bringen Für kleinere Dimensionen, braucht man nur ℵ A, Min A und deren Nullstellen auszurechnen, um Jordan-Normalform zu finden

15 Gleichung der Quadrik in Matrix-Form Die Gleichung n n a ij x i x j + a i x i + a = i,j= i= kann man in der Matrix-Form a a n x x (x x n) + (a a n) a n a nn x n x n + a = schreiben In den fall kann mann immer Voraussetzen, dass die Matrix A := (a ij ) smmetrisch ist Tatsächlich, wenn wir die Matrix A mit der Matrix 2 (A + At ) ersetzen (die offensichtlich smmetrisch ist), wird die Gleichung und deswegen die Lösungsmenge nicht geändert: x t Das ist Matrix Ax = (x t Ax) t Rechenregeln = x t A t x, und deswegen die ursprungliche Gleihung is diesselbe wie a a n a a t n x x (x x n) (a a n) a n a nn a n a nn x n x n + a =

16 Erweiterte Matrix der Gleichung Man kann die Gleichung der Quadrik auch in der Form (x x n ) a a n a /2 x a n a nn a n/2 x n a /2 a n/2 a ßÞ Ð Erweiterte (smmetrische) Matrix Erw Q = Beweis: Einfach nachrechnen und die Gleichung a a n x x (x x n) + (a a n) a n a nn x n x n + a = bekommen

17 Bsp in dim 2: Ausgeartete Quadriken: ist eine Quadrik: die entsprechende Gleichung x = (x ) + = (x ) x x = Ein Punkt is eine Quadrik: zb (,2) ist die Lösungsmenge der Gleichung (x ) 2 + ( 2) 2 = Und diese Gleichung ist x x = (x ) +( 2 4) +5 = (x ) 2 x 2 5 = x { x } Gerade ist eine Quadrik: zb ist die Gerade sd x= die Lösungsmenge der Gleichung (x ) 2 = Und diese Gleichung ist x 2 2x + 2 = (x ) = (x ) x x x = (Vereinigung { von) Zwei Geraden ist eine Quadrik: zb ist die x } { x } sd x= sd x=- die Lösungsmenge der Gleichung (x )(x + ) = Und diese Gleichung ist x 2 2 = (x ) = (x ) x x =

18 Nichtausgeartete Quadriken: Bsp Ellips: ax 2 + b 2 = c, wobei a >, b >, c > (x ) c = (x ) a b x = a b x c Hperbel: ax 2 b 2 = c, wobei a >, b > c (x ) c = (x ) a b x = a b x c Parabel: ax 2 + b =, wobei a, b +b = (x ) (x ) a x a b/2 x b/2 =

19 Was machen affine Isomorphismen mit Quadriken? Sei F eine affine Isomorphismus, sei Q eine Quadrik Frage Was ist Bild F (Q) einer Quadrik Q? Anwort (Lemma 8) Es ist eine Quadrik Beweis Nach Vorlesung 7 LAAG ist die Umkehrabbildung F auch ein affine Isomophismus, und hat deswegen die Form F(x) = b + f B ( x) := b + Bx ( ) für einen b R n und eine nichtausgeartete n n Matrix B Ist x Bilf F (Q), so ist F (x) Q, also (b b n) + (x x n)b t a a n x b B + + ßÞ Ð (F (x)) t =(Bx+b) t a n a nn x n b n ßÞ Ð x b (a a n) B + x n b n ßÞ Ð F (x)=bx+b + a =, und deswegen F (x)=bx+b x t B t AB x + 2B t Ab + B t t t t a x + a b + b Ab + a = ( ), ßÞ Ð A ßÞ Ð ßÞ Ð a a Bemerkung Dies ist die Formel für die Gleichung der Quadrik Bild F (Q)

20 Formel ( ) für erweiterte Matirzen Erw Q = B t b b n a a n a n a nn a /2 a n/2 a /2 a n/2 a B B B b b n t Beweis: Auszurechnen

21 Hauptsatz der Theorie der Quadriken Satz 28 Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer Isometrie in eine Quadrik der Form λ x x (x x n) λ k + ( a ßÞ Ð k+ a n) + a = überführen x n k x n Ferner gilt: ist k n und mind ein von a k+,, a n, so kann man a = machen Satz 29 Man kann jede Quadrik mit Hilfe eines affinen Isomorphismus in eine Quadrik der Form ± x x (x x n) ± + ( a ßÞ Ð k+ a n) + a = überführen x n k x n Ferner gilt: man kann alle a k+,, a n gleich ± oder machen Ferner gilt: ist k n und mind ein von a k+,, a n, so kann man a = machen