Runge-Kutta-Theorie: Adjungierte Verfahren, A-Stabilität, Steife Systeme

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1 Runge-Kutta-Teore: Adjungerte Verfaren, A-Stabltät, Stefe Systeme Andre Neubert Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete

2 Glederung : - Adjungerte Verfaren / Symmetrsce Verfaren - A-Stabltät - Stefe Systeme Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 2

3 Adjungerte Verfaren () Zur Umker der Zet glt für den exakten Fluß: ( ) Für unseren numerscen Fluß I st des so.a. nct möglc. F = F Defnton: * I ( I ) Das enem Verfaren adjungerte Verfaren st = I. En Verfaren mt * I = I eßt symmetrsc (selbstadjungert, reflexv, reversbel). Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 3

4 Adjungerte Verfaren (2) Satz: a) Wr können aus enem besteenden s-stufgem RK-Verfaren mt den Butcer-Parametern ( c ) ( a ), ( b ), folgendermaßen das ebenfalls s-stufge j j zugeörge adjungerte RK-Verfaren mt den Butcer-Parametern * * * ( ) ( a ), ( b ) c konstrueren:, j c = a = b a * * c, j j b = *, für j b j, j =, K, s b) En konsstentes s-stufges RK-Verfaren, dessen Butcer-Parameter de Symmetre c = c a = b a (), π () ( ), π, π j j ( j ) j mt ener belebgen Permutaton :{, K, s } {, K, s} symmetrsc. Es st notwendgerwese mplzt. b = b für, j =, K, s π π aufwesen, st Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 4

5 Adjungerte Verfaren (3) Zur Ordnung von adjungerten Verfaren: Satz: * Für de Adjungerte I enes RK-Verfarens I der Ordnung mt F p+ p+2 ( y) I ( y) = e( y) + Ο( ) p glt * p p+ p+ 2 ( y) I ( y) = ( ) e( y) + Ο( ) F. * Des bedeutet, dass das adjungerte Verfaren de Ordnung von übernmmt. I p I Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 5

6 Adjungerte Verfaren (4) Zur Ordnung von symmetrscen Verfaren: Satz: En symmetrsces RK-Verfaren at de Ordnung, wenn de Ordnungsglecungen ( ρτ ) = γ ( ρτ ) p Φ für alle Bäume mt ungerader Knotenzal ρτ p erfüllt snd. De Ordnung st stets gerade. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 6

7 Adjungerte Verfaren (5) Bemerkung: Möcte man also mplzerte Verfaren konstrueren und berücksctgt dabe de Symmetreforderungen (Sete 4), brauct man de Ordnungsglecungen für Bäume mt gerader Knotenzal nct zu betracten um auf de gewünscte Ordnungszal zu kommen. Satz: De Gauß-Legendre-Verfaren snd symmetrsc. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 7

8 A-Stabltät () Motvaton: Es gbt spezelle Systeme mt gewssen qualtatven Egenscaften. So laufen etwa be asymptotsc stablen dynamscen Systemen alle Lösungskurven für große Zeten gegen enen Grenzpunkt. Der Prototyp enes solcen Systems st das Skalare Testproblem, das gegeben st durc das DGL dy dt λ ( t t ) 0 dessen Lösungen ( ) ( ) von λ negatv st. y t = y t 0 e λy =, y ( t) λ C/,, gegen 0 konvergeren falls der Realtel Wr wollen nun untersucen, unter welcen Vorraussetzungen en numersces Verfaren deses Veralten mt belebger Scrttwete erält. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 8

9 A-Stabltät (2) Satz: Se en s-tufges RK-Verfaren gegeben durc de Butcer-Parameter ( c ), ( a ), ( b ) mt A = ( ), ( ) j j a j b =. Der Zetscrtt ( y) p( λ)y I b j = des Verfarens angewendet auf das Testproblem st de Multplkaton mt enem skalaren Faktor p( λ ) Stabltätsfunkton des Verfarens. Mt dem eukldscen Skalarprodukt p ( z) = + z b, ( za) ene ratonale Funkton des Parameters z de Stabltätsfunkton en Polynom. S R/ e = (,, ) T R/ S, auf und e * det = det T ( z( A eb )) ( za), der K st = λ. Für explzte Verfaren st Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 9

10 A-Stabltät (3) Beobactung: Für en lneares System Zetscrtt dy = By auf dem N R/ dt lefert das RK-Verfaren den I ( y) = p( B)y durc Multplkaton mt der Matrx p ( B) B = T dag λ, K, λ T durc dagonalserbares ( ) p N ( B) = T dag( p( λ ), K, p( λ ) ) T gegeben st. Damt bescrebt de Wrkung des Integrators auf das Testproblem dy dt = λy (mt komplexem λ ) vollständg de Wrkung auf belebge lneare Systeme. Der exakte Fluß st durc gegeben. F N λ λ ( e, K, e N ) B = e = T dag T, de für Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 0

11 A-Stabltät (4) Defnton: Der Stabltätsberec enes Integrators mt Stabltätsfunkton { ; < } st = z C/ p( z) S. p : C/ C/ Der Integrator eßt A-stabl, wenn der Stabltätsberec de lnke Halbebene umfasst: p ( z) < z C/ mt Re ( ) < 0 z. Beobactung: Für explzte Verfaren st de Stabltätsfunkton en Polynom. Se st damt n der lnken komplexen Halbebene unbescränkt, und daer können explzte Verfaren nct A-stabl sen. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete

12 A-Stabltät (5) Bespel : dy dt Für das skalare Testproblem f ( y) y I ( y) y + f ( y) = ( + λ)y = = λ lefert das Euler-Verfaren =. De Stabltätsfunkton st also gegeben durc ( z) z p = +. Der Stabltätsberec S st der Enetskres n der komplexen Ebene mt dem Zentrum (,0). Das Euler-Verfaren st also nct A-stabl. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 2

13 A-Stabltät (6) Bespel 2: Für de durc Y y + f (( y + Y )/ 2) = y + ( y + Y )/ 2 Mttelpunktsregel glt: De Forderung = λ defnerte mplzte I + λ / 2 λ / 2 ( y) = Y = y = p( λ)y, p( z) p 2 ( z) = p( z) p( z) st äquvalent zu Re ( ) = ( z + z) / 2 < 0 + = z. ( z + z) ( z + z) / 2 + / z / 2 =. z / 2 zz / 4 < zz / 4 Der Stabltätsberec st de offene lnke komplexe Halbebene, d.. de mplzte Mttelpunktsregel st A-stabl. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 3

14 A-Stabltät (7) Interpretaton des Stabltätsberecs: Betracte en lneares AWP mt dagonalserbarer Matrx B we auf Sete 0. Mt dem tererten Zetscrtt I I 4243 o Ko n n (, ) T y 0 n n ( y ) = p( B) y = T dag p( λ ) K, p( λ ) 0 0 enes Integrators mt konstanter Scrttwete wrd das Abklngen der exakten Lösung numersc genau dann bescreben, wenn für alle Egenwerte glt: ( ) < p λ, d.. S λ. Be A-stablen Verfaren st dese Forderung scon wegen der Defnton gegeben. Be nct A-stablen Verfaren muss der Wal der Scrttwete besondere Aufmerksamket gescenkt werden. N Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 4

15 A-Stabltät (8) Bespel: Das AWP = y y y y dt d, ( ) ( ) = y y at de exakte Lösung ( ) ( ) t t e e t y =, ( ) t e t y = 2. (weter auf der Tafel) Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 5

16 A-Stabltät (9) Beobactung: Zur Integraton lnearer Systeme muss de Scrttwete so klen gewält werden, dass für alle Egenwerte mt negatvem Realtel glt: S λ. Andernfalls wrd n der numerscen Lösung en mt n anwacsender Term erzeugt, der n der exakten Lösung exponentell abklngt. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 6

17 Stefe Systeme () Zum Erkennen solcer numersc problematscen Systeme soll nun en Maß engefürt werden: Defnton: En lneares System B glt: ( B) dy = By eßt stef, wenn mt den Egenwerten dt ( λ ) max Re : = >> max Re σ. ( λ ) Für nctlneare Systeme f ( y) Stefetsmaß ( y) = ( ) f f / y. ( f ( y) ) dy = auf dem N R/ dt betracte als lokales λ von σ mt der Jacob-Matrx erster parteller Abletungen Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 7

18 Stefe Systeme (2) Beacte: Es gbt n der Lteratur ken allgemen akzeptertes Stefetsmaß. Erklärung: De Egenwerte seen n der Form Re( λ ) Re( ) K geordnet. Durc λ st der fürende Term der exakten Lösung gegeben. Für n muss gelten: Re( λ ) <<. Um das Problem aus dem vorangegangenen Bespel zu vermeden, muss wetern gelten: N S λ. Des zwngt be klenem Stabltätsberec S dazu, de Scrttweten extrem klen zu wälen. λ N Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 8

19 Stefe Systeme (3) Faustregel: Zum Integreren stefer Systeme A-stable Verfaren verwenden, um nct zu klene Scrttweten wälen zu müssen. Her spelen mplzte Verfaren weder ene wctge Rolle, denn dese können trotz Meraufwand n enem Scrtt aufgrund der größeren Scrttwete enen gerngeren Gesamtaufwand errecen als explzte Verfaren. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 9

20 Stefe Systeme (4) Satz: En RK-Verfaren gegeben durc de Butcer-Parameter ( c ) ( a ), ( b ),, für j j das de Symplektztätsegenscaft Symp b a + b a = b b : und > 0 glt j j j j b für, j, K, s =, st A-stabl. Folgerung: De Gauß-Legendre Verfaren snd A-stabl. Semnar Numerk für Informatker, SS2004: Runge-Kutta-Teore Sete 20