HTBLA VÖCKLABRUCK STET

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1 HTBLA VÖCKLABRUCK STET

2 Trigonometrie INHALTSVERZEICHNIS 1. WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKELIGEN DREIECK BOGENMASS TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN BELIEBIGER WINKEL Einheitskreis (r = 1) Reduktionsformeln: Graph und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen Arkusfunktionen Berechnungen am allgemeinen Dreieck PRAKTISCHE ANWENDUNGEN ( VERMESSUNGSAUFGABEN ) GONIOMETRISCHE BEZIEHUNGEN DIE ALLGEMEINE SINUSFUNKTION Die Funktion f: x A sin x ( A > 0) Die Funktion f: x sin b x ( b > 0 ) Die Funktion f: x sin ( x + c ) Die Funktion f: x A sin (bx +c ) Addition von Sinusfunktionen gleicher Periode GONIOMETRISCHE GLEICHUNGEN...

3 Trigonometrie 3 1. WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKELIGEN DREIECK Def.: sin = H G cos = A H tan = A G cot = G A Bsp.: geg.: Rechtwinkeliges Dreieck a =,4 c = 4,4. BOGENMASS Def.: Ist b die Länge des zum Zentriwinkel gehörenden Bogens des Kreises vom Radius r, so heißt der Quotient r b das Bogenmaß (Arkus) des Winkels.

4 Trigonometrie 4 3. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN BELIEBIGER WINKEL Bis jetzt: sin, cos, tan für < 90 (rechtw. Dreieck!) Frage: sin, cos, tan für > 90? 3.1. Einheitskreis (r = 1) Es gilt: sin x + cos x = 1 Vorzeichen: sin : cos : tan : 3.. Reduktionsformeln: Es gilt: sin = sin (180 - ) = - sin (180 + ) = - sin (360 - ) = - sin (- ) cos = - cos (180 - ) = - cos (180 + ) = cos (360 - ) = cos (- ) tan = - tan (180 - ) = tan (180 + ) = - tan (360 - ) = - tan (- )

5 Trigonometrie 5 Bemerkung: Positiver Winkel: Drehung gegen den Uhrzeigersinn Negativer Winkel: Drehung mit dem Uhrzeigersinn Bsp.: In welchem Quadranten kann der Winkel liegen,wenn sin = 0,734? 3.3. Graph und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen Bsp.: Der Graph der Funktion f: x sin x ist zu zeichnen! Eigenschaften: D = R W = [ -1, 1] Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode π. Die Sinusfunktion hat über D = R unendlich viele Nullstellen N ( kπ., 0) mit k Z. sin (-x) = - sin x (ungerade Funktion)

6 Trigonometrie 6 Bsp.: Der Graph der Funktion f: x cos x ist zu zeichnen! Eigenschaften: D = R W = [ -1, 1] Die Kosinusfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode π. π Die Kosinusfunktion hat über D = R unendlich viele Nullstellen N ( (k+1)., 0) mit k Z. cos x = cos (-x) (gerade Funktion) Bsp.: Der Graph der Funktion f: x tan x ist zu zeichnen!

7 Trigonometrie 7 Eigenschaften: π D = R\{(k+1) } W = R Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode π. Die Tangensfunktion hat über D = R unendlich viele Nullstellen N ( kπ, 0) mit k Z. tan (-x) = - tan x (ungerade Funktion) 3.4. Arkusfunktionen Bemerkung: Funktionen, von denen die eine aus der anderen dadurch entsteht, daß man die Variablen x und y vertauscht, heißen Umkehrfunktionen. Die Graphen gehen durch Spiegelung an der Geraden mit der Gleichung y = x ineinander über. Frage: Ist z. Bsp. x sin x umkehrbar? Also: Es entsteht der Graph einer Relation ( keine Funktion!!!), da es zu jedem x Wert unendlich viele y Werte gibt. Beschränkung der trigonometrischen Funktionen auf Teilintervalle von R

8 Trigonometrie 8 Def.: Die Umkehrfunktion f -1 einer auf Teilintervalle von R beschränkten tigonometrischen Funktion f heißt Arkusfunktion. Trig. Fkt. Arkusfkt. D W sin x arcsin x [-1, 1] π π [-, ] cos x arccos x [-1, 1] [0, π] tan x arctan x R ]- π, π [ Bsp.: Zeichnen Sie die Graphen von arcsin x, arccos x und arctan x!

9 Trigonometrie Berechnungen am allgemeinen Dreieck Bsp.: geg.: b, c, ges.: A für spitzwinkeliges Dreieck stumpfwinkeliges Dreieck Es gilt: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt zweier Seitenlängen und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. d. h. A = ab * sinγ = ac * sin β = bc * sinα Es gilt : Sinussatz a b c = = sinα sin β sinγ

10 Trigonometrie 10 Beweis: Bsp.: geg.: Dreieck: a = b = 19 = 60,18 ges.: c, ß,γ Es gilt: In jedem Dreieck ist eine Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten, größer als die Differenz der beiden anderen Seiten ( Dreiecksungleichungen). Bsp.: geg.: Dreieck: a = 11 b = 1 c= 18 ges.: α, β, γ

11 Trigonometrie 11 Bemerkung: Sind von einem Dreieck die Seitenlängen a, b und c gegeben, ist es vorteilhaft, mit der Berechnung des größten Winkels zu beginnen. Bemerkung: Ein allgemeines Dreieck ist durch drei voneinander unabhängige Stücke bestimmt. Wir beschränken uns auf die Umfangsstücke 4 verschiedene Grundaufgaben 1. Grundaufgabe: SSS. Grundaufgabe: SWS 3. Grundaufgabe: SSW 4. Grundaufgabe: WSW Wiederholung : Kongruenzsätze!!! Bemerkung: Alle Grundaufgaben legen mit Ausnahme der 3. Grundaufgabe eindeutig ein Dreieck fest. Die Lösung der 3. Grundaufgabe ist eindeutig, wenn der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt. Frage: Wie verhält es sich aber, wenn von einem Dreieck zwei Seiten und ein der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind? Bsp.: Konstruiere ein Dreieck a) a = b) a = 3.5 c) a =4 b = 5 b = 5 b =5 α = 45 α = 45 α = 45

12 Trigonometrie 1 Es gilt: Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel α gegeben sind, dann besitzt das Dreieck keine Lösung für: (größere Seite)*sin α > kleinere Seite genau eine Lösung für: (größere Seite)*sin α = kleinere Seite genau zwei Lösungen für: (größere Seite)*sin α < kleinere Seite Bemerkung: Die 3. Grundaufgabe ist die einzige, die zwei Lösungen haben kann! Bsp.: geg.: Dreieck a = 10 b = 15 α = 37,3 Es gilt: Kosinussatz a = b + c -bc*cosα b = a + c -ac*cosβ c = a + b -ab*cosγ

13 Trigonometrie 13 Beweis: für spitzwinkelige Dreiecke für stumpfwinkelige Dreiecke

14 Trigonometrie 14 Bsp.: geg.: Dreieck a = 36 b = 5 γ = 53,1 4. Praktische Anwendungen ( Vermessungsaufgaben ) Def.: Höhenwinkel... Abweichung von der Horizontalen nach oben. Def.: Tiefenwinkel... Abweichung von der Horizontalen nach unten Def.: Sehwinkel... Winkel, den die von den Enden eines Gegenstandes zu der Pupille des Auges oder des Objektivs eines optischen Instrumentes gezogenen Geraden einschließen.

15 Trigonometrie 15 Bsp.: Das Innsbrucker Rathaus ( 0,1 m hoch ) erscheint unter dem Höhenwinkel 38,. Um welche Strecke muß man sich ihm nähern, damit es unter dem doppelten Höhenwinkel zu sehen ist? 5. Goniometrische Beziehungen Es gilt: sin x + cos x = 1 sin x tan x = cos x 1 + tan 1 x = cos x sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y sin(x-y) = sin x * cos y - cos x * sin y cos(x+y) = cos x * cos y - sin x * sin y cos(x-y) = cos x * cos y + sin x *sin y

16 Trigonometrie 16 tan x + tan y tan( x + y) = 1 tan x * tan y tan x tan y tan( x y) = 1+ tan x * tan y sin x = sin x cos x cos x = cos x - sin x tan x = tan x 1 tan x sin x + sin y = sin x - sin y = cos x + cos y = cos x - cos y = x + y x y sin cos x + y x y cos sin x + y x y cos cos x + y x y sin sin Es gilt: sin x 0 cos x 1 tan x Es gilt: sin ( 90 - x ) = cos x cos ( 90 - x ) = sin x sin ( 70 - x ) = - cos x cos (70 - x ) = - sin x sin (90 + x ) = cos x cos ( 90 - x ) = - sinx sin (70 + x ) = - cosx cos (70 + x ) = sin x

17 Trigonometrie 17 d.h. Sind zwei Winkel komplementär, so ist der Sinuswert des einen gleich dem Kosinuswert des anderen. 6. Die allgemeine Sinusfunktion 6.1. Die Funktion f: x A sin x ( A > 0) Bsp.: y = sin x; y = 1,5 sin x Eigenschaften: Die Funktion x A sin x hat dieselbe Periode wie die Funktion x sin x ( nämlich π ). A > 1 : Streckung der Grundsinuskurve auf das A-fache in Richtung der y -Achse A < 1 : Stauchung Bemerkung: Der größte Wert, den die Funktion f: x A sin x annehmen kann, ist A. Man nennt A die Amplitude der Funktion.

18 Trigonometrie 18 Beachte: x sin x D = R W = [-1, 1] x sin x D = R W = [-, ] x A sin x D = R W = [-A, A] 6.. Die Funktion f: x sin b x ( b > 0 ) Bspe.: y = sin x ; y = sin 0.5 x Eigenschaften: Die Graphen von x sin bx haben die gleiche Amplitude (nämlich 1). b > 1: Stauchung in Richtung der x - Achse b < 1 : Streckung in Richtung der x - Achse Die kleinste Periode ist π b

19 Trigonometrie Die Funktion f: x sin ( x + c ) Bsp.: y = sin (x + 3 π ) Eigenschaften: Amplitude ist 1 und die Periode ist π x sin ( x + c ) ist gegenüber x sin x um c phasenverschoben: für c > 0 nach links für c < 0 nach rechts Bemerkung: Die Kosinuskurve eilt der Sinuskurve um π vor bzw. die Sinuskurve hinkt der Kosinuskurve um π nach.

20 Trigonometrie Die Funktion f: x A sin (bx +c ) Bsp.: y = 1,5 sin ( x + 4 π ) Eigenschaften: Amplitude ist A Kleinste Periode: Nullstellen: kπ c b π b da: A sin (bx + c) = 0 bx +c = k*π (k Z) x = kπ c b Die Phasenverschiebung von x A sin (bx +c ) gegenüber x A sin (bx) ist b c

21 Trigonometrie 1 Bemerkung: In der Physik tritt diese Funktion in der Form y(t) = r sin (ω t + ϕ ) bei der harmonischen Schwingung auf. y... Elongation r... Amplitude ω... Kreisfrequenz ; Anzahl der Schwingungen in π Sekunden t... Zeit π ω = πf = T... Schwingungsdauer T ϕ... Phasenverschiebung ( gegenüber y = r sin (ωt) ) 6.5. Addition von Sinusfunktionen gleicher Periode Es gilt: Die Summenfunktion zweier Sinusfunktionen gleicher Perioden ist eine Sinusfunktion derselben Periode. Allgemein: Die Überlagerung zweier gleichfrequenter Sinusschwingungen y 1 = A 1 sin (ωt + ϕ 1 ) y = A sin (ωt + ϕ ) ist die Sinusschwingung y = A sin (ωt + ϕ) 1 1 ϕ1 mit A = A + A + A A cos( ϕ ) und tanϕ = A1 sinϕ1 A cosϕ A sinϕ A cosϕ Bsp.: y 1 = 6 sinx y = 3 sin (x + 3 π )

22 Trigonometrie 7. Goniometrische Gleichungen Def.: Eine Gleichung, in der die Variable mindestens einmal im Argument einer trigonometrischen Funktion auftritt, heißt goniometrische Gleichung. Bsp1: cos 3x = 0,5 G = [ 0 ; 360 ] Bsp : Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit der Gleichung y = sin x - cos x in [0, π]. Bsp 3: sin x - cos x = 1 G = [ 0 ; 360 [ Bsp 4: cos x = 1 - cos x G = R