Prüfungsfragen und Prüfungsaufgaben

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1 Mathematische Modelle in der Technik WS 3/4 Prüfungsfragen und Prüfungsaufgaben Fragen - 9:. Modellieren Sie ein örtlich eindimensionales, stationäres Wärmeleitproblem (Integralbilanzformulierung, differentielle Form, Randbedingungen, Interfacebedingungen)!. Modellieren Sie ein örtlich dreidimensionales, stationäres Wärmeleitproblem (Integralbilanzformulierung, differentielle Form, Randbedingungen, Interfacebedingungen)! 3. Modellieren Sie ein örtlich eindimensionales, instationäres Wärmeleitproblem (Integralbilanzformulierung, differentielle Form, Anfangs- und Randbedingungen, Interfacebedingungen)! 4. Modellieren Sie ein örtlich dreidimensionales, instationäres Wärmeleitproblem (Integralbilanzformulierung, differentielle Form, Anfangs- und Randbedingungen, Interfacebedingungen)! 5. Modellieren Sie ein örtlich dreidimensionales, instationäres Wärmeleit-Wärmetransport- Problem (Integralbilanzformulierung, differentielle Form, Anfangs- und Randbedingungen, Interfacebedingungen)! 6. Modellieren Sie den Zugstab im statischen und im dynamischen Fall! 7. Beschreiben Sie den Spannungszustand in einem belasteten Körper im Gleichgewicht (totale Spannung, Spannungstensor, Kugeltensor, Deviator, Transformationsformel, Normalund Tangentialspannung, Hauptspannungen, Invarianten des Spannungstensors)! 8. Leiten Sie die beschreibenden Gleichungen des statischen und dynamischen Kräfte- und Momentengleichgewichts her! 9. Beschreiben Sie den Verzerrungszustand (Greenscher Verzerrungstensor, Cauchyscher Verzerrungstensor)! Welche geometrische Interpretation kann man den Komponenten des Verzerrungstensors geben?. Leiten Sie die LAMÉschen Gleichungen aus dem Kräfte- und Momentengleichgewicht (Kinetik), den geometrischen Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen (Kinematik) und dem HOOKEschen Gesetz (σ ij = λε kk δ ij + µε ij ) für isotrope, homogene Materialien im statischen Fall her! Welche Randbedingungen sind möglich und was bedeuten sie mechanisch?. Leiten Sie die NAVIER-LAMÉschen Gleichungen aus dem dynamischen Kräfte- und Momentengleichgewicht (Kinetik), den geometrischen Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen (Kinematik) und dem HOOKEschen Gesetz (σ ij = λε kk δ ij + µε ij ) für isotrope, homogene Materialien im dynamischen Fall her! Welche Rand- und Anfangsbedingungen sind möglich und was bedeuten sie mechanisch?

2 . Was verstehen Sie unter einem ebenen Verzerrungszustand und unter einem ebenen Spannungszustand? Leiten Sie die beschreibenden Gleichungen für isotrope, homogene Materialien im statischen Fall her! 3. Was verstehen Sie unter der Lagrangeschen und Eulerschen Beschreibungsweise? 4. Geben Sie das Transport-Theorem an und beweisen Sie es im örtlich eindimensionalen (d = ) Fall! Welche Anwendungen des Transport-Theorems haben Sie in der Vorlesung kennengelernt? 5. Leiten Sie die Kontinuitätsgleichung und Bewegungsgleichungen aus dem Massenerhaltungssatz und dem Impulserhaltungssatz her! 6. Leiten Sie die Navier-Stokes-Gleichungen zur Beschreibung von inkompressiblen Newtonschen Fluiden her! Welche Rand- und Anfangsbedingungen können Sie vorschreiben? 7. Was versteht man unter der Dimensionsanalyse und wie hängt diese mit der Ähnlichkeitstheorie zusammen? Erläutern Sie die Ähnlichkeitstheorie an einem Beispiel! 8. Elektromagnetische Felder werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die konstitutiven Beziehungen curlh = J + D () divb = () curle = B (3) divd = ϱ (4) B = µh + µ M (5) D = εe + P (6) J = σe + J i (7) beschrieben. Geben Sie die integralen Formulierungen der Maxwellschen Gleichungen an! Leiten Sie die Vektorpotentialformulierung und die E-Feld-basierte Formulierung her! 9. Welche speziellen elektromagnetischen Regime kennen Sie? Leiten Sie die beschreibenden Gleichungen für diese speziellen elektromagnetischen Regime aus den vollen Maxwell-Gleichungen her!

3 Aufgaben - :. Man zeige, dass a) lim x, x, x 3 x x x 3 x + x x x x + x x x gilt, falls f C(Ω), x = (x, x, x 3 ) Ω, b) lim x, x, x 3 x x x 3 gilt, falls σ C (Ω). x + x x x x 3 + x 3 x 3 x 3 x 3 + x 3 x 3 x 3 f(ξ, ξ, ξ 3 ) dξ 3 dξ dξ = f(x, x, x 3 ) [ σ(ξ, x + x, ξ 3) σ(ξ, x x ], ξ 3) dξ 3 dξ = σ(x) x. Berechnen Sie analytisch das Temperaturfeld u( ) gemäss der Wärmeleitgleichung (.5) V aus der Vorlesung für die Daten: a =, b =, η (, ) fix, q =, f =, g a =, g b = und { } λ = const > für x < η λ(x) := λ = const > für x > η mit < λ < λ! Führen Sie Parameterstudien mit dem Wärmeleitkoeffizienten durch: a) λ b) λ c) λ = λ d) η =, η = 3. Bestimmen Sie die von einem (fixierten) Parameter y (, ) abhängige Lösung u y ( ) der Randwertaufgabe (Wärmeleitproblem mit Punktquelle) und zeigen Sie, dass u (x) = δ(x y), x (, ) (f y = ), u() = u() =, u(x) = mit G(x, y) := u y (x) die Randwertaufgabe G(x, y)f(y)dy, x [, ] u (x) = f(x), x (, ), u() = u() =.

4 4. Die Bestimmung der Temperaturverteilung u(y) in einem homogenen (c, ρ, λ = const.), mantelisolierten, wärmequellenfreien, dünnen Draht der Länge l, der mit der Geschwindigkeit v bewegt wird, am linken Rand auf o C und rechten Rand auf o C gehalten wird, führt nach Skalierung x = y/l auf das Randwertproblem (siehe Vorlesung) u (x) + pu (x) =, x (, ), u() =, u() =. (8) Bestimmen Sie p = p(c, ρ, λ, v, l) =?, lösen Sie dann das Randwertproblem (8) analytisch und diskutieren Sie das Verhalten der Lösung für v! 5. Sei u C (Q T ), f C(Q T ), E C (, l) und ϱ C(, l) mit Q T = (, l) (, T ). Man zeige, dass dann x, x, x (x, x ) und t, t, t (t, t ) existieren, sodass die integrale Form (.8) aus der Vorlesung zur Gleichung u (x, t )ϱ(x ) t x = x (E(x ) u x (x, t )) t x + f(x, t ) t x (9) äquivalent ist. 6. Ein homogener Zugstab (ρ, E = const. >, u(, t) =, E u x (l, t) = g l(t)) werde zeitharmonisch erregt, d.h. f(t) = f exp(iωt) und g l (t) = g l exp(iωt) mit gegebenen Amplituden f und g l aus R und gegebener Erregerfrequenz ω. Man suche die periodischen Lösungen und bestimme die kritischen Frequenzen (siehe auch Folie, Ü. )! 7. Schneiden Sie virtuell einen Würfel x := [x x, x + x ] [x x, x + x ] [x 3 x 3, x 3 + x 3 ] aus einem im Gleichgewicht befindlichen Körper heraus und schreiben Sie das Kräftegleichgewicht (z.b. in x Richtung) auf (siehe auch Folie, Ü.4 )! 8. Man zeige, dass aus dem dynamischen Momentengleichgewicht x f(x, t) dx + Ω x t (n) (x, t) ds x = Ω x a(x, t) ρ dx Ω Ω t und aus dem dynamischen Kräftegleichgewicht ρa div σ = f in Q T = Ω (, T ) in differentieller Form die Symmetrie des Spannungstensors, d.h. σ ij (x, t) = σ ji (x, t) i, j =,, 3 (x, t) Q T folgt, wobei a(x, t) = u (x, t) die Beschleunigung bezeichnet! 9. Man zeige, dass die linearisierten Verzerrungen ε(v) = (ε ij (v)), i, j =,, 3, einer Verschiebungsfunktion v = (v, v, v 3 ) T [C (Ω)] 3 genau dann verschwinden (also ε(v) = ), wenn v R eine (linearisierte) Starrkörperverschiebung ist, wobei der Unterraum R := {v(x) = a x + b : a, b R 3 } durch die Vektoren x x x 3 x x 3 x

5 aufgespannt wird. Hinweis: Zeigen, und verwenden Sie v i x j x k (x) = ε(v) ij x k (x) + ε(v) ki x j (x) ε(v) jk x i (x).. Beweisen Sie das Transport-Theorem (Satz 3.) für den Fall d =, d.h. die Formel df dt (t) = ω(t) [ F ] (F v) (x, t) + (x, t) dx! x