Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

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Irmgard Goldschmidt
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1 1. und 2. Vorlesung

2 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich? Ist dies tatsächlich möglich??? Welch ein Zufall!

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Studium der zufälligen Phänomene beschäftigt. zufällig = unvorhersehbar, unbeabsichtigt aleatorius (lat.) = zufällig alea (lat.) = Spielwürfel; Würfelspiel man misst die Chancen für Erfolg oder das Risiko für Misserfolg von Ereignissen

4 Anwendungsgebiete: Glückspiele, Wetten, Loto meteorologische Vorhersagen Meinungsumfragen Versicherungsmathematik (Risikomessungen im Versicherungswesen und im Bankensystem) Kryptographie (Verschlüsselungsverfahren) Verarbeitung von Informationen, Komprimierbarkeit von Daten zufällige Algorithmen (z.b. Monte-Carlo-Methoden, Las-Vegas-Methoden Simulationen, Computerspiele

5 Zufällige Experimente (Versuche) und Ereignisse Das zufällige Experiment ist ein Experiment dessen Ergebnis nicht vorhesehbar ist. Das zufällige Ereignis ist das Ergebnis eines Experiments. Würfeln mit 2 Spielwürfeln beide Spielwürfel zeigen 1 an Wurf einer Münze die Münze zeigt Zahl an Ziehen einer Spielkarte eine 3 wurde gezogen Lottoziehung die Zahl 23 wurde erhalten

6 Grundbegriffe das unmögliche Ereignis, mit bezeichnet, taucht in der Durchführung des Experiments nie auf das sichere Ereignis ist das Ereignis das bei jeder Durchführung des Experiments auftaucht Grundraum (Ergebnismenge), mit Ω bezeichnet, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments der Grundraum kann endlich oder unendlich sein wenn A eine Teilmenge von Ω ist, A Ω, dann wird A zufälliges Ereignis genannt, die Elemente von Ω heissen elementare Ereignisse Analogie zwischen Ereignissen und Mengen!

7 Experiment: Man wirft einen Spielwürfel Grundraum: Ω = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 } e i : die Zahl i (i = 1,..., 6) wurde erhalten e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 elementare Ereignisse A: eine gerade Zahl wurde erhalten A = {e 2, e 4, e 6 } Ā: eine ungerade Zahl wurde erhalten Ā = {e 1, e 3, e 5 }

8 Operationen mit Ereignissen Die Vereinigung der Ereignisse A und B A B = {e Ω : e A oder e B}. Der Durchschnitt der Ereignisse A und B: A B = {e Ω : e A und e B}. Ā ist das Komplement des Ereignisses A, d.h. A enthält alle Elementarereignisse die nicht in A sind. A, B Ω sind disjunkte Ereignisse, wenn A B = Die Differenz der zufälligen Ereignisse A und B A \ B = A B. Es gilt A Ā = Ω, A Ā =.

9 Beziehungen zwischen Ereignissen Aus dem Ereignis A folgt das Ereignis B, wenn jedes Element aus A auch Element aus B ist, d.h. A B. Wenn aus A B folgt und aus B folgt A, dann sind die beiden Ereignisse A und B gleich : A = B.

10 Eigenschaften A, B, C Ω Die Vereinigung und Durchschnitt sind kommutativ A B = B A, A B = B A assoziativ (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) und distributiv (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C); erfüllen die Gesetze von De Morgan A B = Ā B, A B = Ā B. Es gilt Ā = A.

11 Relative und absolute Häufigkeit Sei A ein zufälliges Ereignis das in einem Experiment auftaucht; man wiederholt das Experiment n mal (unter denselben gegebenen Bedingungen) und bezeichnen mit k wie oft das Ereignis A auftaucht; die relative Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl h n (A) = k n k ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses A

12 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Wir betrachten ein Experiment welches endlich viele, gleichwahrscheinliche Ergebnisse hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintretet ist P(A) = Anzahl der günstigen Fälle für das Eintreten von A Anzahl aller möglichen Fälle innerhalb des Experiments. Nach wiederholtem Durchführen des Experiments (n hinreichend gross), unter denselben Bedingungen, ist die relative Häufigkeit h n (A) des Ereignisses A ungefähr gleich mit P(A) h n (A) P(A), wenn n.

13 Experiment: Man wirft 4 Münzen. Das Experiment wird n = 100 mal wiederholt. Ereignis A: die 4 Münzen zeigen 3 mal Zahl an f n (A) =?, P(A) =? f n (A) = = 0.22 Ω = {(K, K, K, K), (K, Z, Z, Z),..., (Z, Z, Z, K), (Z, Z, Z, Z)} A = {(K, Z, Z, Z), (Z, K, Z, Z), (Z, Z, K, Z), (Z, Z, Z, K)} P(A) = = 0.25

Würfelspiel (XVII. Jh.): Der Provinzadelige Chevalier de Méré war ein leidenschaftlicher Spieler. Gerne verführte er am Pariser Hof seine Mitspieler zu folgendem Würfelspiel: A.

14 Würfelspiel (XVII. Jh.): Der Provinzadelige Chevalier de Méré war ein leidenschaftlicher Spieler. Gerne verführte er am Pariser Hof seine Mitspieler zu folgendem Würfelspiel: A. Wir werfen einen Würfel viermal. Wenn eine oder mehrere Sechsen dabei sind, gewinne ich. Wenn keine Sechs dabei ist, gewinnen Sie. Tatsächlich gewann der Chevalier mit diesem Spiel regelmäßig Geld. Er dachte sich eine neue Variante aus, die ebenso lukrativ sein sollte: B. Wir werfen ein Paar von Würfeln 24 mal. Wenn dabei eine Doppel-Sechs oder mehrere sind, gewinne ich. Wenn keine Doppel-Sechs dabei ist, gewinnen Sie.

15 Man kann zeigen, dass P(A) und P(B) Obwohl die Differenz zwischen den beiden Wahrscheinlichkeiten klein ist, gewinnt der Spieler der Variante A öfter als der Spieler der Variante B.

16 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit 1933 hat der russische Mathematiker Andrei Nikolaevici Kolmogorov im Buch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit eingeführt. Die Wahrscheinlichkeit ist eine Funktion P : K R so dass: jedem zufälligen Ereignis A K der Wert P(A) zugeordnet wird K hat die Struktur einer σ-algebra (siehe Definition 1) P erfüllt bestimmte Axiome (siehe Definition 2)

17 σ-algebra Definition 1 Eine Familie K von Ereignissen aus der Grundmenge Ω wird σ-algebra genannt, wenn: (i) K = ; (ii) wenn A K, dann A K; (iii) wenn A n K, n N, dann A n K. n=1 Das Paar (Ω, K) nennt man messbarer Raum. Beispiele: A Ω K = {, A, Ā, Ω} ist eine σ-algebra. Die Menge aller Teilmengen aus Ω ist eine σ-algebra und wird mit P(Ω) bezeichnet. Wenn Ω endlich ist, wie viele Elemente hat P(Ω)?

18 Eigenschaften einer σ-algebra Mit Hilfe von Definition 1 und den Gesetzen von De Morgan kann man beweisen: Satz 1 Wenn K eine σ-algebra in Ω ist, so gelten folgende Eigenschaften: (1), Ω K; (2) A, B K = A B, A \ B K; (3) A n K, n N = A n K. n=1

19 σ-algebra Satz 2 Sei A eine Familie von Teilmengen aus Ω. Man definiert σ(a) := {F : A F, F ist eine σ-algebra}. (1) σ(a) ist die kleinste σ-algebra in P(Ω), die A enthält. Beweisidee: σ(a), weil F := P(Ω) eine σ-algebra ist welche A enthält σ(a) ist eine σ-algebra (anhand Def. 1) A σ(a) und σ(a) is minimal, laut (1). Definition 2 σ(a) heisst die von der Menge A erzeugte σ-algebra

20 Spezielle σ-algebren: Borel-σ-Algebren Seien Ω := [a, b] (mit a < b) A=die Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus [a, b] B([a, b]) := σ(a) heisst Borel-σ-Algebra auf [a, b] und ist die kleinste σ-algebra, die die Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus [a, b] enthält ( ) [a, b], B([a, b]) ist ein messbarer Raum Seien Ω := R A=die Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus R B(R) := σ(a) heisst Borel-σ-Algebra auf R und ist die kleinste σ-algebra, die die Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus R enthält ( ) R, B(R) ist ein messbarer Raum

21 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Definition 3 Sei K eine σ-algebra in Ω. Eine Funktion P : K R wird Wahrscheinlichkeitsmaß genannt, wenn folgende Axiome gelten: (i) P(Ω) = 1 (ii) P(A) 0 für alle A K; (iii) jede Folge (A n ) n N von paarweise disjunkten Ereignissen (d.h. A i A j = für alle i j) aus K gilt ( P n=1 A n ) = P(A n ) n=1 Das Tripel (Ω, K, P) heisst Wahrscheinlichkeitsraum.

22 Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes Satz 3 Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es gilt: (1) P(A) = 1 P(A) şi 0 P(A) 1 (2) P( ) = 0 (3) P(A \ B) = P(A) P(A B) (4) A B = P(A) P(B), d.h. P ist monoton. (5) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Übung: P(A B C) =???

23 Folgen von Ereignissen aus der σ-algebra K (A n ) n ist eine wachsende Folge von Ereignissen, wenn A n K und A n A n+1 (B n ) n ist eine fallende Folge von Ereignissen, wenn B n K und B n+1 B n Beispiele: 1. Seien Ω := [0, 1], K := B([0, 1]) Borel-σ-Algebra auf [0, 1] [ 1 A n = n, ], n 4 A n =? n n=4 2. Seien Ω = [ 1, 2], K := B([ 1, 2]) Borel-σ-Algebra auf [ 1, 2] [ A n = 1 n, ], n 1 A n =? n n=2

24 Satz 4 Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es gelten folgende Eigenschaften: (1) Wenn (A n ) n eine wachsende Folge von Ereignissen aus K ist, dann ( lim P(A n) = P A n ). n n=1 (2) Wenn (B n ) n eine fallende Folge von Ereignissen aus K ist, dann ( lim P(B n) = P B n ). n n=1

25 Beispiel 1. Ω := [0, 1] Grundraum, K := B([0, 1]) Borel-σ-Algebra auf [0, 1]; sei P das Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0, 1], d.h. für jede α < β aus [0, 1] berechnet man P ( [α, β] ) ( ) ( ) ( ) = P [α, β) = P (α, β] = P (α, β) := β α P entspricht dem Lebesgue Maß [ 1 für A n = n, ], n 4 P(A n ) =? n ( ) P A n =? n=4

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