Inhalt. Endliche Automaten. Automaten und Formale Sprachen. Franz Binder. Endliche Automaten. Deterministische Automaten

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1 Formle Inhlt Reguläre Reguläre

2 Formle Zustndsdigrmm Reguläre δ: Σ (Q Q Ω) Beispiel δ 0 δ δ

3 Formle Automt Reguläre Definition Ein nicht-deterministischer, endlicher Automt esteht us einer endlichen Menge Σ, dem Eingelphet; einer endlichen Menge Q von Zuständen (sttes); einer entscheidren Zustndsüerführungsreltion δ: Σ (Q Q B); einer Teilmenge I Q von Initilzuständen; einer Teilmenge F Q von Finlzuständen. Diese Konstruktion wird dnn uch mit dem Quintupel (Σ, Q,δ, I,F) ezeichnet.

4 Formle Erknnte Wörter Der Automt Reguläre erkennt die Wörter:,,,, ; nicht er:,.

5 Formle Reguläre Sprche eines (Q Q Ω) ildet mit dem Reltionenprodukt ein Monoid. δ: Σ (Q Q Ω) wird fortgesetzt zu einem Homomorphismus: δ : Σ (Q Q Ω) Definition Die Sprche eines L(A ) := { u : Σ i : I u i δ j } j : J esteht us llen Wörtern, die einen Üergng von einem Initilzustnd in einen Finlzustnd erluen. Mn sgt uch, der Automt erkennt oder kzeptiert die Sprche L(A ), zw. jedes Wort in dieser Sprche.

6 Formle Beispiel Der Automt Reguläre kzeptiert die Sprche, die durch den folgenden regulären Ausdruck ( ) eschrieen wird. Dieser Automt reitet nicht-deterministisch.

7 Formle Automt Reguläre Definition Ein deterministischer, endlicher Automt esteht us einer endlichen Menge Q von Zuständen; einer endlichen Menge Σ, dem Eingelphet; einer Zustndsüerführungsfunktion δ: Σ (Q Q); einem Initilzustnd q 0 : Q; einer Teilmenge F Q von Finlzuständen. Diese Konstruktion wird dnn uch mit dem Quintupel (Σ, Q,δ, q 0, F) ezeichnet.

8 Formle r Automt Reguläre Exmple Der Automt 0 gg ug gu uu 0 ist deterministisch und kzeptiert die Sprche estehend llen 0-1-Folgen, welche eine gerde Anzhl von Nullern oder Einsern ufweisen.

9 Formle Reguläre Prtieller Automt Definition Ein prtieller (deterministischer) Automt ht zu jedem Input höchstens einen Folgezustnd. Ein prtieller Automt knn leicht vervollständigt werden, indem mn einen neuen Zustnd ω (weder initil noch finl), der immer dnn ls Folgezustnd verwendet wird, wenn sonst keiner zur Verfügung steht. Beispiel Ein ptieller deterministischer Automt üer dem Alphet {, o, u }: 1 2 u o o, u 3, u, o

10 Formle Reguläre Deterministisch äquivlent zu Nicht-deterministisch Stz Zu jedem nicht-deterministischen git es einen deterministischen, der diesele Sprche erkennt. Beweis. Mn etrchte die Teilmengen von Q ls Zustände: δ: Σ P(Q) P(Q) Beispiel δ Initilzustnd: I. Finlzustände: Alle, die ein Element von J enthlten. Betrchte nur erreichre Zustndsmengen

11 Formle Verindung von Reguläre Definition Seien A 1,A 2 zwei üer demselen Eingelphet. Prllelschltung : A 1 + A 2 Serienschltung : A 1 A 2 Rückkoppelung : A Stz Seinen A 1,A 2 endliche. Dnn gilt L(A 1 A 2 ) = L(A 1 )L(A 2 ) L(A 1 + A 2 ) = L(A 1 ) L(A 2 ) L(A 1 ) = L(A 1 ). Folgerung Zu jeder regulären Sprche git es einen erkennenden.

12 Formle Vom zum regulären Ausdruck Reguläre Stz Jede von einen endlichen erknnte Sprche ist regulär. Beweis. Ri,j Y estehe us ll jenen Wörtern, die vom Zustnd i in den Zustnd j führen, und dei zwischendurch nur in Zustände us der Menge Y führen. Dnn gilt L(A ) = R Q 0,j. j F Es reicht lso zu zeigen, dß jedes Ri,j Y Rekursion: regulär ist. R Y { k } i,j = R Y i,j R Y i,k(r Y k,k) R Y k,j, Und die R i,j sind endliche Teilmengen von Σ.

13 Formle Beispiel 1 Reguläre , 1 r { 1,2,3 } 1,2 = r { 1,2 } 1,2 r { 1,2 } 1,3 (r { 1,2 } 3,3 ) r { 1,2 } 3,2 r { 1,2 } 1,2 = r { 1 } 1,2 r { 1 } 1,2 (r { 1 } 2,2 ) r { 1 } 2,2 = r { 1 } 1,2 (r { 1 } 2,2 ) = 0(ǫ 00) = 0(00) r { 1,2 } 1,3 = r { 1 } 1,3 r { 1 } 1,2 (r { 1 } 2,2 ) r { 1 } 2,3 = 1 0(00) (1 01) = 0 1 r { 1,2 } 3,3 = r { 1 } 3,3 r { 1 } 3,2 (r { 1 } 2,2 ) r { 1 } 2,3 = ǫ (0 1)(00) (1 01) = ǫ (0 1)0 1 r { 1,2 } 3,2 = r { 1 } 3,2 (r { 1 } 2,2 ) = (0 1)(00) r { 1,2,3 } 1,2 = 0(00) 0 1((0 1)0 1) (0 1)(00)

14 Formle Aschlußeigenschften Reguläre Stz Die Klsse der regulären ist gegenüer llen oolschen Mengenopertionen (lso uch Durchschnitt und Komplement) Beweis. Es ist nicht offensichtlich, wie ein regulärer Ausdruck für ds Komplement einer regulärer Sprche usschuen soll. Dfür knn mn zu jedem A gnz einfch jenen konstruieren, der lle Wörter erkennt, die A nicht erkennt: mn verwendet einfch Q \ F ls Finlzustände. Für den Durchschnitt knn mn dnn etw ein De Morgn Gesetz verwenden: L 1 L 2 = ( L 1 L 2 ). Ferner ist die Klsse der regulären gegenüer Spiegelung, homomorphen Bildern und Sustitutionen geschlossen. Für die Spiegelung muß mn lediglich den regulären Ausdruck spiegeln.

15 Formle Minimierung endlicher Reguläre Definition Ein vollständiger deterministischer endlicher Automt A heißt miniml wenn jeder ndere Automt, der diesele Sprche erkennt, mindestens soviel Zustände wie A ht. Definition Äquivlente Zustände: i j ( δ u (i) F δu(j) F ) u : Σ Stz Zu jeder regulären Sprche git es, is uf Isomorphie, genu einen diese erkennenden minimlen. Beweis. Äquivlente Zustände lssen sich identifizieren. Zu jedem erreichren Zustnd k git es einen Inputstring u k : Σ, sodß δu k (q 0 ) = k. Ist ein A ein weiterer Automt, der diesele Sprche erkennt, dnn entspricht der Zustnd δ u k (q 0) in A dem Zustnd k in A. Gilt δu(q 0 ) = δv(q 0 ), dnn ist δ u (q 0) δ v (q 0).

16 Formle Entscheidungsproleme für reguläre Reguläre Stz Alle folgenden Proleme sind für reguläre entscheidr: 1. L = ; 2. L ist endlich; 3. w L; 4. L 1 = L 2 ; 5. L 1 L 2. Beweis. 3 Festzustellen, o ein Wort zu einer Sprche gehört oder nicht, ist gerde die Aufge, die ein erkennender Automt (optiml) eherrscht. 4 Mn knn von eiden einen minimlen erechnen und feststellen, o diese isomorph sind. Alterntive: Zurückführung uf Durchschnittserechnung und Punkt 1. 5 L 1 L 2 gilt genu dnn wenn L 1 L 2 = L 2 (oder wenn L 1 L 2 = ).

17 Formle Vervielfchen von Wortteilen Reguläre Pumping Lemm Sei L eine reguläre Sprche. Dnn git es n N, sodß jedes z L mit z n derrt in z = uvw zerlegt werden knn, dß gilt: v 1; uv n; uv k w L, für lle k N. Jedes usreichend lnge Wort einer regulären Sprche läßt sich ufpumpen. Beweis. r endlicher Automt. Sei n = Q. Wenn z n, werden mindestens n + 1 Zustände durchlufen. Sei j der erste wiederholte Zustnd. Zerlege z = uvw gemäß: u v i j j w f. Dnn gilt: v 1 ; uv n; Jedes uv k w führt nch f.

18 Formle Vervielfchen von Wortteilen Reguläre Pumping Lemm Sei L eine reguläre Sprche. Dnn git es n N, sodß jedes z L mit z n derrt in z = uvw zerlegt werden knn, dß gilt: v 1; uv n; uv k w L, für lle k N. Jedes usreichend lnge Wort einer regulären Sprche läßt sich ufpumpen. Folgerung Sei L eine formle Sprche. Knn zu jedem n N ein z L mit z n gefunden werden, sodß für jede Zerlegung z = uvw mit v 1; uv n; ein k existiert, sodß uv k w L, dnn ist L nicht regulär.

19 Formle Grmmtik Reguläre Definition Eine Grmmtik G = (T, N,S, P) esteht us einem Alphet Σ von Terminlzeichen; einem Alphet N von Nicht-Terminlzeichen; einem Strtsymol S N ; einer Menge von Produktionsregeln der Form l r, mit l (N Σ) \ Σ und r (N Σ). Definition Sei G = (Σ, N,S, P) eine Grmmtik, und u, w (N Σ). Dnn ist w us u leitr (Schreiweise: u w) wenn es Zerlegungen u = le und w = re git, sodß l r eine Produktionsregel der Grmmtik ist. Die von G erzeugte Sprche ist definiert durch L(G) = {u Σ S u}.

20 Formle Reguläre Kontextfreie Grmmtik Definition Eine Grmmtik heißt kontextfrei wenn jede Produktionsregel die Form ht, woei A ein Nichtterminlsymol; r elieig. A r Sie heißt rechtsliner wenn drüerhinus r die Form x oder xb ht, woei x terminl und B nichtterminl ist. Definition Eine Sprche heißt kontextfrei zw rechtliner wenn sie durch eine kontextfreie zw. rechtslinere Grmmtik definierr ist. Stz Kontextfreie werden durch Kellerutomten erknnt.

21 Formle Turingmschine Beispiel Reguläre /o/ / / / 1 / 2 _/ /_/ 3 4 o/ _/0 /0 _/1 _/ o// 6 /0 5 o/ erkennt { n 2n n : N}

22 Formle Aschluß- und Entscheidrkeitseigenschften Reguläre Opertion reg ktf kts rek r Verkettung j j j j j Itertion j j j j j Vereinigung j j j j j Durchschnitt j nein j j j Komplement j nein j j nein w L j j j j nein L = j j nein nein nein L endlich j j nein nein nein L 1 = L 2 j nein nein nein nein L 1 L 2 j nein nein nein nein

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