Gegeben sei folgender Regelkreis mit der Führungsgröße r, dem Regelfehler e und der Ausgangsgröße y: r e R(s) P (s)

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1 1. Teilklausur SS 16 Gruppe A Name: Matr.-Nr.: Für beide Aufgaben gilt: Gegeben sei folgender Regelkreis mit der Führungsgröße r, dem Regelfehler e und der Ausgangsgröße y: r e R(s) P (s) y Aufgabe 1 (6 Punkte) Die Übertragungsfunktion der Strecke hat die Form P (s) = α 1 (s + α 2 ) 2 s 2 (s + α 3 )(s + α 4 ) 2. Die Konstanten α 1,..., α 4 sind dabei positiv. Ihr Frequenzgang P (jω) ist graphisch in Form von Bode-Diagrammen gegeben: P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1 a) Skizzieren Sie anhand der Bode-Diagramme die zugehörige Ortskurve und ermitteln Sie deren Schnittpunkte mit der reellen Achse. b) Als Regler kommt ein Proportionalregler R(s) = K mit dem reellen Parameter K zum Einsatz. Ermitteln Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar, d.h. mit Fallunterscheidung und Ermittlung der stetigen Winkeländerung für jeden Fall, den größtmöglichen Wertebereich des Reglerparameters K, für den der Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.

2 1. Teilklausur SS 16 Gruppe A Aufgabe 2 (4 Punkte) Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke lautet P (s) = 4s + 8 (s + 6)(2s + 3). Dimensionieren Sie mittels der T-Summen Regel einen PI-Regler und geben Sie dessen Übertragungsfunktion R(s) an. Ermitteln Sie die dazu benötigten Größen T Σ und K S analytisch und benutzen Sie die unten angegebene Tabelle. Formeln und Tabellen Nyquist-Kriterium: arg {1 + L(jω)}! = (n a + 2n r ) π 2 Einstellregeln T-Summen-Regel, für einen idealen PID-Regler der Form ( R(s) = K P ) T N s + T Vs Reglertyp K P T N T V P-Regler PI-Regler PD-Regler PID-Regler 1 K S 1 T Σ 2K S 2 1 T Σ K S 3 1 2T Σ T Σ 3 6 K S Nützliche Funktionen: m arctan m m db 6 9, , Hinweis: arctan 1 m = 9 arctan m

3 1. Teilklausur SS 16 Gruppe B Name: Matr.-Nr.: Für beide Aufgaben gilt: Gegeben sei folgender Regelkreis mit der Führungsgröße r, dem Regelfehler e und der Ausgangsgröße y: r e R(s) P (s) y Aufgabe 1 (6 Punkte) Die Übertragungsfunktion der Strecke hat die Form P (s) = α 1 (s + α 2 ) 2 s 2 (s + α 3 )(s + α 4 ) 2. Die Konstanten α 1,..., α 4 sind dabei positiv. Ihr Frequenzgang P (jω) ist graphisch in Form von Bode-Diagrammen gegeben: P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1 a) Skizzieren Sie anhand der Bode-Diagramme die zugehörige Ortskurve und ermitteln Sie deren Schnittpunkte mit der reellen Achse. b) Als Regler kommt ein Proportionalregler R(s) = K mit dem reellen Parameter K zum Einsatz. Ermitteln Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar, d.h. mit Fallunterscheidung und Ermittlung der stetigen Winkeländerung für jeden Fall, den größtmöglichen Wertebereich des Reglerparameters K, für den der Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.

4 1. Teilklausur SS 16 Gruppe B Aufgabe 2 (4 Punkte) Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke lautet P (s) = 2s + 3 (s + 2)(1s + 6). Dimensionieren Sie mittels der T-Summen Regel einen PI-Regler und geben Sie dessen Übertragungsfunktion R(s) an. Ermitteln Sie die dazu benötigten Größen T Σ und K S analytisch und benutzen Sie die unten angegebene Tabelle. Formeln und Tabellen Nyquist-Kriterium: arg {1 + L(jω)}! = (n a + 2n r ) π 2 Einstellregeln T-Summen-Regel, für einen idealen PID-Regler der Form ( R(s) = K P ) T N s + T Vs Reglertyp K P T N T V P-Regler PI-Regler PD-Regler PID-Regler 1 K S 1 T Σ 2K S 2 1 T Σ K S 3 1 2T Σ T Σ 3 6 K S Nützliche Funktionen: m arctan m m db 6 9, , Hinweis: arctan 1 m = 9 arctan m

5 2. Teilklausur SS 16 Gruppe A Name: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (4 Punkte) Gegeben sei folgender Regelkreis mit der Führungsgröße r, dem Regelfehler e und der Ausgangsgröße y: r e R(s) P (s) y Die Übertragungsfunktion P (s) ist vom einfachen Typ. Ihr Frequenzgang P (jω) liegt in Form von Bode-Diagrammen vor: P (jω) in db arg P (jω) in ω in rad s 1 Die Sprungantwort des geschlossenen Kreises soll eine Anstiegszeit von t r 3,75 s = 15 4 s und eine Überschwingweite von M p 1,8 aufweisen. a) Dimensionieren Sie eine Reglerübertragungsfunktion der Form R(s) = K 1 + s /ω Z 1 + s /ω N mit den reellen Reglerparametern K, ω Z und ω N mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens so, dass obige Anforderungen näherungsweise erfüllt werden. Hinweis: Benutzen Sie dazu gegebenenfalls die umseitig angegebene Tabelle. b) Berechnen Sie die bleibende Regelabweichung e für folgende Führungsgrößen: i) r(t) = 1t, ii) r(t) = 27t 2

6 2. Teilklausur SS 16 Gruppe A Aufgabe 2 (3 Punkte) Es sei folgendes System zweiter Ordnung mit der Eingangsgröße u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y gegeben: [ ] [ ] dx dt = x + u 2 2 Ermitteln Sie ein Regelgesetz der Form u = k T x so, dass die beiden Eigenwerte des geregelten Systems bei λ 1,2 = 2 liegen. Aufgabe 3 (3 Punkte) Gegeben sei eine Strecke mit der Übertragungsfunktion P (s) = s + 3 s 2 s + 1. Ermitteln Sie für diese Strecke eine implementierbare Übertragungsfunktion T (s) so, dass für r(t) = σ(t) das Integral [r(t) y(t)] 2 + δ [u(t) u ] 2 dt für δ = 1 minimiert wird. Dabei steht die Abkürzung u für Hinweis: j = 1 + j 2. u = lim t u(t). Formeln und Tabellen Optimierung: (s) = ν(s)ν( s) + 1 δ µ(s)µ( s) Frequenzkennlinienverfahren: Φ r + ü 7, ω c t r 1,5 Mitunter nützliche Funktionen: m arcsin m m + 1 arctan m m db 6 9, ,5 18 2

7 Nachklausur SS 16 Name: Matr.-Nr.: Für beide Aufgaben gilt: Gegeben sei folgender Regelkreis mit der Führungsgröße r, dem Regelfehler e und der Ausgangsgröße y: r e R(s) P (s) y Aufgabe 1 (6 Punkte) Die Regelstrecke ist durch gegeben. Als Regler wird ein PI-Regler P (s) = 1 s + 1 R(s) = K ( ) st N verwendet. Für dessen Nachstellzeit wird T N = 1 gewählt, während K ein freier reeller Parameter ist. a) Ermitteln Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar, d.h. mit Fallunterscheidung und Ermittlung der stetigen Winkeländerung für jeden Fall, den größtmöglichen Wertebereich des Reglerparameters K, für den der Regelkreis die BIBO- Eigenschaft besitzt. b) Als Führungsgröße wird r(t) = cos t gewählt. Ermitteln Sie den Verlauf der Ausgangsgröße y(t) im eingeschwungenen Zustand für folgende Werte des Reglerparameters: i) K = 1, ii) K = 1. c) Ermitteln Sie mit der Methode von Tustin eine zeitdiskrete Approximation R(z) des Reglers für die Abtastzeit T d = 2 und geben Sie das zeitdiskrete Regelgesetz in Form einer Differenzengleichung an. Aufgabe 2 (4 Punkte) Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke lautet P (s) = 2 s 2. Bestimmen Sie die Reglerübertragungsfunktion R(s) durch eine Polvorgabe so, dass alle Pole der Führungsübertragungsfunktion T (s) an der Stelle s = 2 liegen. Welche Führungsübertragungsfunktion T (s) ergibt sich auf diese Weise?

8 Nachklausur SS 16 Formeln Nyquist-Kriterium: arg {1 + L(jω)}! = (n a + 2n r ) π 2 Tustin-Formel: s = 2 T d z 1 z + 1 Binomische Formeln: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s)

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s) Aufgabe : LAPLACE-Transformation Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist: Y (s) = 0.5 s + (s + 3).5 (s + 4) Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: w(t) = σ(t) W (s) = s Die

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