Name: Vorname(n): Kenn und Matrikelnummer: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte

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1 Johannes Kepler Universität Linz, Institut für Regelungstechnik und elektrische Antriebe Schriftliche Prüfung aus Automatisierungstechnik, Vorlesung am 06. Mai 2005 Name: Vorname(n): Kenn und Matrikelnummer: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Note: Allgemeine Hinweise: Begründen Sie alle Aussagen ausführlich (JA/NEIN-Antworten gelten als nicht begründet!). Der erste Punkt bedeutet insbesondere, dass der Lösungsweg (inklusive aller Nebenrechnungen) eindeutig erkennbar sein muss. Punkte auf den Lösungsweg - auch bei Fehlern in den Berechnungsschritten - können nur gegeben werden, wenn alle Teilschritte nachvollziehbar sind. Beginnen Sie jedes Beispiel auf einem eigenen Zettel und sortieren Sie die Zettel bei der Abgabe. Beschriften Sie alle Diagramme. Beantworten Sie die Fragen in ganzen Sätzen! Als Prüfungsunterlagen sind nur die mathematischen Formelsammlungen [Bartsch], [Bronstein], [Springer] und die Zusammenstellung der Tabellen von unserem Server zugelassen. Es sind demnach keine Ergänzungen (Kopien aus dem Skript, Veränderungen der Tabellen, etc.) erlaubt. [Bartsch] Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln, Fachbuchverlag Leipzig Köln. [Bronstein] Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main. [Springer] Rade und Westergren: Springers mathematische Formeln, Springer Verlag.

2 . Lösen Sie folgende Aufgaben: (a) Gegeben ist das LTI-System ẋ = u, x (0) = x 0. y = x i. Ist das System stabilisierbar? Ist das System detektierbar? Begründen Sie Ihre Aussagen. ii. Geben Sie die Transitionsmatrix an. Wie lautet die zugehörige allgemeine Lösung für x (t)? iii. Entwerfen Sie für obiges System einen optimalen, zeitinvarianten Zustandsregler. Geben Sie das verwendete Gütekriterium an (siehe Hinweis) und benutzen Sie für die Gewichtungsmatrizen Q und R die Einheitsmatrizen mit entsprechender Dimension. Welche Eigenschaften müssen Q und R im Allgemeinen erfüllen? Hinweis: Für ein System ẋ = Ax + Bu, welches stabilisierbar und mit dem Ausgang y = Lx, Q = L T L detektierbar ist, und dem Gütekriterium 2 0 ( x T (τ)qx (τ) + u T (τ)ru (τ) ) dτ, ist der optimale Zustandsregler durch u (x) = Kx, K = R B T P s gegeben, wobei die Matrix P s die einzige, positiv definite Lösung der algebraischen Riccati Gleichung ist. (b) Gegeben ist folgendes System: Q + A T P s + P s A P s BR B T P s = 0 ÿ + ( + ẏ 2) (y + ẏ) = 0, y (0) = ẏ (0) = 0. i. Bringen Sie das System mittels der Wahl x = [x,x 2 ] T = [y, ẏ] T auf die Form ẋ = f (x). ii. Beurteilen Sie mit Hilfe der Funktion die Stabilität der Ruhelage x s = 0. V = x 2 + (x + x 2 ) 2, 2

3 2. Gegeben ist ein Differentialgleichungssystem der Form [ ] [ ṁ m 0 u = T m (m 0γT 0 u γt u 2 (m 0 u )T) ] () mit dem Zustand x = [ m T ] T [ > 0 und der Stellgröße u = u die Ausgangsgleichung [ ] [ ] y y = = V 0 mrt T Die Parameter m 0, γ, T 0, R und V 0 sind positiv und reell. y 2 u 2 ] T > 0 sowie (2) (a) Geben Sie Bedingungen für die Stellgrößen u s so an, dass Sie eine Ruhelage x s > 0 einstellen können, wobei Sie davon ausgehen dürfen, dass T 0 > T s immer gilt. T s ] T gegebene Ruhe- (b) Linearisieren Sie das System um eine durch x s = [ m s lage und schreiben Sie es in der Form an. ẋ = A x + B u (c) Berechnen Sie allgemein für das linearisierte Modell die Dynamikmatrix des geschlossenen Regelkreises für einen Zustandsregler der Form u = K x. (d) Bestimmen Sie allgemein den Zustandsregler u = K x so, dass die Dynamikmatrix des geschlossenen Kreises eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten λ und λ 2 ist, d.h. es gilt [ ] λ 0 A + BK =. 0 λ 2 Hinweis: Die Formel von Ackermann lt. Aut darf in dieser Form nicht für Mehrgrößensysteme angewandt werden! 3

4 3. Lösen Sie folgende Aufgaben (a) Modellbildung Ein Körper mit der Masse m schwimmt in einer Flüssigkeit mit der Dichte ρ. Es wird nur eine vertikale Bewegung (keine Rotation) betrachtet. x bezeichnet die Eintauchtiefe, V (x) das verdrängte Flüssigkeitsvolumen. Die Modellierung des Strömungswiderstands erfolgt mittels eines linearen Dämpfers mit Dämpfungskonstante d. Auf den Körper wirkt außerdem die Gravitation g und eine externe Kraft (Eingang) F. i. Geben Sie ein mathematisches Modell der Form ẋ = f (x,u) mit dem Zustand x = [x,v] T mit v = ẋ an. Hinweis: Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtkraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge (F A = V (x)ρg). ii. Geben Sie eine physikalisch sinnvolle Bedingung für V (x) > 0 so an, dass das System mittels einer geeigneten Verschiebung des Koordinatensystems (z = x ˆx) linear gemacht werden kann, und interpretieren Sie diese Bedingung. Führen Sie die Verschiebung des Koordinatensystems durch und geben Sie das lineare System in der Form ż = Az + bu an. (b) Zustandsbeobachter Ein Feder-Masse-Schwinger wird in geeigneten Koordinaten durch das lineare System beschrieben. ẋ = [ ] 0 x + 4 y = [ 0 ] x [ ] 0 u i. Zeigen Sie, dass diese System vollständig beobachtbar ist. ii. Entwerfen Sie einen vollständigen Beobachter für das System. Legen Sie dabei alle Eigenwerte der Fehlerdynamik auf. 4

5 4. Lösen Sie folgende Aufgaben (a) Ein ungedämpfter Feder-Masse-Schwinger wird in geeigneten Koordinaten durch das lineare System [ ] [ ] [ ] ẋ = x + u, x = 0 beschrieben. y = [ 0 ] x i. Berechnen Sie für dieses System die Eigenwerte und Eigenvektoren. ii. Transformieren Sie das System in Jordanform ż = Ãz + bu y = c T z [ ] α ω mit à =. ω α iii. Berechnen Sie die Transitionsmatrix des Systems. iv. Berechnen Sie die Sprungantwort y (t) des Systems. (b) Gegeben ist eine reelle Matrix A = A s + A a mit dem symmetrischen Anteil A s = A T s und dem schiefsymmetrischen Anteil A a = A T a. Zeigen Sie, dass folgendes gilt: x T Ax = x T A s x 5