Klausur STATISTIK 2 für Diplom VWL

Transkript

1 Klausur STATISTIK 2 für Diplom VWL Name, Vorname: Matrikel-Nr. Die Klausur enthält zwei Typen von Aufgaben: Teil A besteht aus Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen mindestens eine Antwort richtig ist und von denen mehrere Antworten richtig sein können. Kreuzen Sie alle richtigen Antworten in den Kästchen unterhalb der Aufgabe an. Sind alle Kreuze richtig, erhalten Sie für die Aufgabe 3 Punkte. Jede Abweichung ergibt 1,5 Punkte Abzug. Es werden keine negativen Punktezahlen vergeben, Sie erhalten also für jede Aufgabe mindestens 0 Punkte. Wenn Sie keine Antwort ankreuzen, gilt die Aufgabe als nicht bearbeitet und Sie erhalten 0 Punkte. Teil B enthält ausführlich zu lösende Aufgaben. Nur mit der Darstellung der einzelnen Rechenschritte oder der Begründung Ihrer Vorgehensweise kann die volle Punktzahl erreicht werden. Zulässige Hilfsmittel: Nicht programmierbarer Taschenrechner, Lehrbuch von Schira, gebundene Ausgabe (gelb) des Skriptes Ökonometrie und eine handschriftlich von Ihnen selbst beschriebene Seite im DIN A4 Format ( Spickzettel, kann auf beiden Seiten beschrieben sein). Teil A umfasst 8 Aufgaben und Teil B umfasst 2 Aufgaben. Bitte überprüfen Sie die Vollständigkeit Ihres Exemplars. Die maximal zu erreichende Punktzahl ist 60, davon können maximal 24 Punkte in Teil A und maximal 36 Punkte in Teil B erreicht werden. Studierende im Diplomstudiengang VWL bestehen mit mindestens 24 erreichten Punkten die Klausur. Die Bearbeitungszeit dieser Klausur beträgt 120 Minuten. Auswertung - Teil A Aufgabe Erreichte Punktzahl Auswertung - Teil B Aufgabe 1 2 Erreichte Punktzahl Erreichte Gesamtpunktzahl 1

2 Teil A (24 Punkte) A.1 Welche der folgenden Aussagen zum Zensus 2011 in Deutschland treffen zu? A) Der Zensus 2011 ist eine klassische Volkszählung. Alle in Deutschland lebenden Menschen werden befragt. B) Im Rahmen des Zensus 2011 wird nur eine Teilstichprobe von weniger als 10% der Bevölkerung in der Haushaltsbefragung persönlich befragt. Die Hochrechnung auf die Gesamtbevölkerung erfolgt über einen Abgleich der Melderegister. C) Im Rahmen des Zensus 2011 sollen alle Gebäude und Wohnungen in Deutschland durch eine Befragung der Eigentümer erfasst werden. D) Wenn sich zwischen den Daten aus den Melderegistern und den Befragungsdaten Unterschiede in persönlichen Merkmalen ergeben, meldet dies das Statistische Bundesamt für jeden Einzelfall an die Einwohnermeldeämter zurück, damit diese die Melderegister korrigieren können. A B C D A.2 Eine normalverteilte Zufallsvariable habe den Erwartungswert µ = 5 und die Standardabweichung σ = 3. Die transformierte Variable W sei definiert als W = 2( 5). A) E(W ) = 0 B) Die Wahrscheinlichkeit, dass W zwischen 6 und 6 liegt, beträgt D(2) = 0, 95 (auf zwei Nachkommastellen gerundet). C) V ar(w ) = 18 D) Das untere Dezil (das 10%-Quantil) von W beträgt 9, 9 (auf eine Nachkommastelle gerundet). A B C D 2

3 A.3 Es sei das logarithmierte Einkommen ln(y ) normalverteilt mit Erwartungswert m = 7, 1 und Varianz s 2 = 6, 76. A) E(Y ) = 2312 (gerundet) B) E(Y ) = (gerundet) C) Der Median von Y ist 1212 (gerundet). D) Das obere Quartil von Y ist 3,5-mal so groß wie das untere Quartil (auf eine Nachkommastelle gerundet). A B C D A.4 Aus Erfahrung in der Produktion von Leuchtdioden wissen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, eine defekte Leuchtdiode zu produzieren, p = 0, 2% beträgt. Zur Qualitätskontrolle testen Sie die Funktionsfähigkeit von n = 100 Leuchtdioden aus der Produktion. Es sei H 100 der Anteil der defekten Leuchtdioden in der Stichprobe. Unterstellen Sie, dass die Funktionsfähigkeit jeder dieser Leuchtdioden unabhängig und identisch verteilt ist. A) Wenn Sie exakt mit der Binomialverteilung rechnen, erhalten Sie P (H 100 1%) = 17, 6% (auf eine Nachkommastelle gerundet). Hinweis: Betrachten Sie das Gegenereignis. B) Wenn Sie die Normalverteilung als Näherungsverteilung ohne Stetigkeitskorrektur verwenden, erhalten Sie P (H 100 1%) = 11, 2% (auf eine Nachkommastelle gerundet). C) Wenn Sie die Normalverteilung als Näherungsverteilung mit Stetigkeitskorrektur verwenden, erhalten Sie P (H %) = 18, 4% (auf eine Nachkommastelle gerundet). D) Die Antworten A) bis C) sind falsch. A B C D 3

4 A.5 Es soll geprüft werden, ob das obere Quartil (das 75%-Quantil) der Benzinpreise in Südbaden e 1,55 pro Liter überschreitet. Eine Stichprobe von 20 Tankstellen erbrachte 9 Beobachtungen, bei denen der Preis oberhalb von e 1,55 pro Liter liegt. V + sei die Anzahl der Tankstellen, für die der Preis oberhalb von e 1,55 liegt. Die Nullhypothese H o besagt, dass das obere Quartil e 1,55 pro Liter entspricht. Hinweis: Beachten Sie zur Beantwortung dieser Frage den Anhang zur Aufgabe A.5 A) Unter H o gilt, dass V + der Verteilung Bi(20 ; 0, 25) folgt. B) Unter H o gilt, dass V + der Verteilung Bi(20 ; 0, 75) folgt. C) Unter H o gilt, dass F Bi (9) = 0, 96 (auf zwei Nachkommastellen gerundet). D) Bei einem Signifikanzniveau von α = 5% liegt das obere Quartil nicht signifikant über e 1,55 pro Liter. A B C D Anhang zu Aufgabe A.5 TSP Programm set n = 20;? Parameter n der Binomialverteilung set p = 0.25;? Parameter p der Binomialverteilung freq n; set np1 = n+1; smpl 1 np1; trend x; x = x-1; fx = fact(n)/(fact(x)*fact(n-x)) * p**x * (1-p)**(n-x); cdf = fx; smpl 2 np1; 4

5 cdf = cdf(-1) + fx; smpl 1 np1; title Binomial Verteilung Bi(n,p) fuer ; print n p; print x fx cdf; TSP Output basierend auf dem obigen Programm Binomial Verteilung Bi(n,p) fuer ================================ N P Value F CDF D D D D D D

6 A.6 Das Zuckerunternehmen ZU verwendet bisher die Zuckerabfüllmaschine des Typs ZA1. ZU erwägt, eine neue Zuckerabfüllmaschine des Typs ZA2 zu kaufen, da der Hersteller von ZA2 verspricht, dass die neue Maschine die Abfüllung der 1kg-Zuckerpakete mit geringerer Streuung vornimmt. Bevor ZU eine Entscheidung fällt, lässt es jeweils 100 Zuckerpakete mit ZA1 und mit dem Prototyp von ZA2 abfüllen und wiegen. Bei ZA1 ergibt sich eine Stichprobenvarianz von s 2 1 = 0, 24g 2 und bei ZA2 ergibt sich eine Stichprobenvarianz von s 2 2 = 0, 21g 2. Es seien σ 2 1 und σ 2 2 die wahren Varianzen von ZA1 und ZA2. Unterstellen Sie weiter, dass die Abfüllmengen bei beiden Maschinen unabhängig und identisch normalverteilt sind. A) Um die Behauptung des Herstellers von ZA2 zu überprüfen, muss ZU folgende Hypothese testen: H 0 : σ 2 1 σ 2 2 gegen H 1 : σ 2 1 < σ 2 2. B) Um die Behauptung des Herstellers von ZA2 zu überprüfen, muss ZU folgende Hypothese testen: H 0 : σ 2 1 σ 2 2 gegen H 1 : σ 2 1 > σ 2 2. C) Die Prüfgröße entspricht 1,14 (auf zwei Nachkommastellen gerundet). Dies ist kleiner als der kritische Wert der F-Verteilung F99 99 [0, 95] = 1, 4 (auf eine Nachkommastelle gerundet). Bei einem Signifikanzniveau von α = 5% gibt es keine signifikante Verkleinerung der Varianz durch den Einsatz von ZA2. D) Die Prüfgröße entspricht 1,14 (auf zwei Nachkommastellen gerundet). Dies ist größer als der kritische Wert der F-Verteilung F99 99 [0, 05] = 0, 7 (auf eine Nachkommastelle gerundet). Bei einem Signifikanzniveau von α = 5% gibt es eine signifikante Abweichung von der Nullhypothese. A B C D A.7 Aus den 100 Beobachtungen zum Modell Y = α + β + U, in dem Störvariablen unabhängig mit Erwartungswert E(U ) = 0 und gleicher Varianz normalverteilt sind, wurden folgende Werte berechnet: yi = 130, 54 ; x i = 0, 2129 ; x 2 i = 114, 37 ; x i y i = 33, 174 Berechnen Sie die Kleinste-Quadrate-Schätzungen für α und β. A) ˆβ = 0, 29 (auf zwei Nachkommastellen gerundet) B) ˆβ = 0, 25 (auf zwei Nachkommastellen gerundet) C) ˆα = 1, 3 (auf eine Nachkommastellen gerundet) D) ˆα = 1, 4 (auf eine Nachkommastellen gerundet) A B C D 6

7 A.8 Im Anhang zu Aufgabe A.8 finden Sie ein TSP-Programm zur Analyse der Konjunkturlage und der Konjunkturerwartungen in West- und Ostdeutschland. Die Daten stammen aus der in den Vorlesungen Ökonometrie und Einführung in die Empirische Wirtschaftsforschung zu Semesterbeginn durchgeführten Umfrage, die Sie im PC-Pool analysiert haben. Variablenbeschreibung: F2 F3 F5 F6 gesamtwirtschaftliche Situation zur Zeit, Ostdeutschland gesamtwirtschaftliche Situation zur Zeit, Westdeutschland gesamtwirtschaftliche Situation mittelfristig, Ostdeutschland gesamtwirtschaftliche Situation mittelfristig, Westdeutschland A) Bei der Frage zu den Konjunkturerwartungen in Ostdeutschland haben 228 Studierende eine Einschätzung abgegeben. B) Die Konjunkturlage in Westdeutschland wird von den Studierenden besser als die Konjunkturerwartungen in Westdeutschland eingeschätzt (kein Hypothesentest). C) Die Konjunkturlage in Westdeutschland wird von den Studierenden signifikant schlechter (auf einem Signifikanzniveau von 5%) als die Konjunkturerwartungen in Westdeutschland eingeschätzt. D) Die Konjunkturlage in Ostdeutschland wird von den Studierenden signifikant schlechter (auf einem Signifikanzniveau von 5%) als die Konjunkturerwartungen in Ostdeutschland eingeschätzt. A B C D 7

8 Anhang zu Aufgabe A.8 TSP Programm dblist(doc) ku2010;? Infos zur TSP-Datenbank ku2010.tlb anzeigen lassen smpl 1 228; in ku2010; msd(terse,byvar) F2 F3 F5 F6; diffost = F5-F2; msd(terse,byvar) diffost; set tstat1 = abs(@mean)/(@stddev); print tstat1; set tstat2 = abs(@mean)/(@stddev/sqrt(@nobmsd)); print tstat2; diffwest = F6-F3; msd(terse,byvar) diffwest; set tstat3 = abs(@mean)/(@stddev); print tstat3; set tstat4 = abs(@mean)/(@stddev/sqrt(@nobmsd)); print tstat4; 8

9 TSP Output basierend auf dem obigen Programm Contents of Databank KU2010.TLB Class Name Description SERIES F1 260 obs., 1-260, N gesamtwirtschaftl. Situation z.zt. D-Gesamt F2 260 obs., 1-260, N gesamtwirtschaftl. Situation z.zt. Ost-D F3 260 obs., 1-260, N gesamtwirtschaftl. Situation z.zt. West-D F4 260 obs., 1-260, N gesamtwirtschaftl. Situation mittelfr. D-Gesamt F5 260 obs., 1-260, N gesamtwirtschaftl. Situation mittelfr. Ost-D F6 260 obs., 1-260, N gesamtwirtschaftl. Situation mittelfr. West-D... Univariate statistics ===================== *** WARNING in command 7 Procedure MSD: Missing values for series ====> F2: 31, F3: 11, F5: 22, F6: 10 Number of Observations: 228 Num.Obs Mean Std Dev Minimum Maximum F F F F *** WARNING in command 8 Procedure GENR: Missing values for series ====> F5: 22, F2: 31 9

10 Univariate statistics ===================== *** WARNING in command 9 Procedure MSD: Missing values for series ====> DIFFOST: 39 Number of Observations: 228 Num.Obs Mean Std Dev Minimum Maximum DIFFOST TSTAT1 = TSTAT2 = *** WARNING in command 14 Procedure GENR: Missing values for series ====> F6: 10, F3: 11 Univariate statistics ===================== *** WARNING in command 15 Procedure MSD: Missing values for series ====> DIFFWEST: 14 Number of Observations: 228 Num.Obs Mean Std Dev Minimum Maximum DIFFWEST TSTAT3 = TSTAT4 =

11 Teil B (36 Punkte) B.1 Ihnen liegt eine Stichprobe vom Umfang n der Zufallsvariablen i vor (i = 1,..., n). Die Zufallsvariablen i sind unabhängig und identisch Poisson-verteilt mit unbekanntem Parameter λ. Leiten Sie im Folgenden den Maximum-Likelihood-Schätzer für λ schrittweise ab. A) Schreiben Sie die Wahrscheinlichkeit, dass i einen Wert x i annimmt (also P ( i = x i )), als Funktion des unbekannten Parameters λ. Logarithmieren Sie P ( i = x i ) und bestätigen Sie, dass ln(p ( i = x i )) = x i ln(λ) λ ln(x i!) gilt. Beachten Sie, dass x i nur nicht negative ganze Zahlen annehmen kann. [1 Punkt] B) Schreiben Sie den Logarithmus der Likelihood-Funktion ln(l) als Summe der ln(p ( i = x i )). Erläutern Sie, dass ln(l i ) = ln(p ( i = x i )) den Beitrag der Beobachtung i zur logarithmierten Likelihood-Funktion darstellt. Interpretieren Sie kurz in eigenen Worten den mathematischen Ausdruck für ln(l) als Funktion des unbekannten Parameters λ. [2,5 Punkte] C) Bestimmen Sie den Wert von λ als Maximum-Likelihood-Schätzer, der ln(l) maximiert. Leiten Sie hierzu ln(l) nach λ ab und lösen Sie die Bedingung erster Ordnung nach λ auf. Welchen bekannten Schätzer für λ erhalten Sie? [2,5 Punkte] [6 Punkte] B.2 Die Schokoladenindustrie möchte die Bestimmungsfaktoren der Schokoladennachfrage wissen. Hierzu führt das Institut zur Erforschung der Schokoladennachfrage (ISN) eine repräsentative Befragung von 1111 Konsumenten in Südbaden durch. Auf Basis dieser Daten werden Regressionen zur Analyse der Schokoladennachfrage durchgeführt. Im Anhang zu Aufgabe B.2 werden deskriptive Statistiken und Kleinste-Quadrate-Regressionen aufgeführt, die mit TSP berechnet wurden. Die Variablen im zugrundeliegenden Datensatz sind wie folgt definiert: qschoko age p eink Schokoladenkonsum in kg während eines Jahres Alter in Jahren Preis für Schokolade (pro 100g) in e Monatseinkommen in e Im TSP Programm werden weitere Variablen definiert. 11

12 Beantworten Sie die folgenden Fragen unter Bezugnahme auf die Schätzergebnisse im Anhang zu Aufgabe B.2. Begründen Sie Ihre Antwort, bspw. indem Sie geeignete Tests durchführen. Ohne Begründung können keine Punkte erzielt werden. Erläutern Sie gegebenenfalls in Ihrer Antwort, welche zusätzlichen Annahmen notwendig sind bzw. welche zusätzlichen Informationen Sie benötigen. A) Wie hoch ist der durchschnittliche Schokoladenkonsum? Wie hoch sind jeweils der minimale und der maximale Schokoladenkonsum? Wie hoch ist der durchschnittliche Schokoladenpreis? Wie hoch ist das durchschnittliche Einkommen? Hinweis: Geben Sie präzise die Einheiten an. [ 2,5 Punkte] B) Interpretieren Sie ausführlich die in Equation 1 geschätzte Gleichung. Welche Koeffizienten sind signifikant? Was ist die ökonomische Interpretation der geschätzten Koeffizienten? Geben Sie für jeden Koeffizienten an, ob es sich um eine Elastizität oder um eine Semielastizität handelt? Beeinflusst der Preis den Schokoladenkonsum? Hängt der Schokoladenkonsum vom Einkommen ab? Hinweis: Befassen Sie sich erst in der folgenden Teilaufgabe C) ausführlich mit dem Einfluss des Alters. [ 7 Punkte] C) Beschreiben Sie den Einfluss des Alters auf den Schokoladenkonsum in Equation 1. Beschreiben und interpretieren Sie in diesem Zusammenhang die Ergebnisse der Hypothesentests zum Einfluss des Alters. [ 2,5 Punkte] D) Interpretieren Sie nun kurz die in Equation 2 geschätzte Gleichung. Ist es sinnvoll, Equation 2 anstelle von Equation 1 zu schätzen? Gibt es wesentliche Unterschiede in den Schätzergebnissen zwischen Equation 2 und Equation 1? [ 6 Punkte] E) Wie hoch ist der auf Basis von Equation 2 geschätzte durchschnittliche partielle Effekt des Alters auf den Schokoladenkonsum? Unterscheidet sich der geschätzte durchschnittliche partielle Effekt des Alters signifikant von Null? Wie hoch ist der geschätzte partielle Effekt des Alters auf den Schokoladenkonsum für eine Person im Alter von 18 Jahren? Hinweis: Geben Sie präzise die Einheiten der geschätzten partiellen Effekte an. [ 5 Punkte] F) Ein Schokoladenexperte am ISN möchte nicht die Effekte auf den Schokoladenkonsum in Logarithmen sondern die Effekte in kg wissen. Er sagt, dass die Schätzung der Effekte in kg die ökonomische Interpretation der Ergebnisse für die Schokoladenproduzenten erleichtert. Deshalb schätzt er Equation 3. Interpretieren Sie kurz die in Equation 3 geschätzte Gleichung. Wie hoch ist der auf Basis von Equation 3 geschätzte durchschnittliche partielle Effekt des Alters auf den Schokoladenkonsum? Stimmen Sie dem Schokoladenexperten am ISN dahin gehend zu, dass sich Equation 3 ökonomisch leichter interpretieren lässt? Hinweis: Geben Sie präzise die Einheiten der geschätzten partiellen Effekte an. [7 Punkte] [30 Punkte] 12

13 Anhang zu Aufgabe B.2 TSP-Programm... smpl ; msd(terse) age qschoko p eink; lqschoko = log(qschoko); lp = log(p); leink = log(eink); age2 = age**2; age3 = age**3; title Schätzung mit Logarithmen ; ols lqschoko c lp leink age age2 age3; title Tests zum Einfluss des Alters ; frml fage age; frml fage2 age2; frml fage3 age3; analyz(noconstr) fage fage2 fage3; analyz(noconstr) fage2 fage3; title Restriktives Modell ; ols lqschoko c lp age age2; title Geschaetzter partieller Effekt des Alters ; title fuer jede Beobachtung ; pe_age + 2*@coef(4)*age; msd(terse) pe_age; title Schätzung ohne Logarithmen ; ols qschoko c p eink age age2 age3; 13

14 title Geschaetzter partieller Effekt des Alters ; title fuer jede Beobachtung ; pe_age + 2*@coef(5)*age + 3*@coef(6)*age2; msd(terse) pe_age; 14

15 TSP-Output basierend auf dem obigen Programm Number of Observations: 1111 Univariate statistics ===================== Mean Std Dev Minimum Maximum AGE QSCHOKO P EINK Schätzung mit Logarithmen ========================= Equation 1 ============ Dependent variable: LQSCHOKO Number of observations: 1111 Method of estimation = Ordinary Least Squares Mean of dep. var. = LM het. test = [.021] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.414] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.758] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.130] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.000] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.041] LP [.000] LEINK [.646] AGE E [.000] AGE E E [.001] AGE E E [.557] 15

16 Tests zum Einfluss des Alters ============================= Results of Parameter Analysis ============================= Standard Parameter Estimate Error t-statistic P-value FAGE E [.000] FAGE E E [.001] FAGE E E [.557] Wald Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero: CHISQ(3) = ; P-value = F Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero: F(3,1105) = ; P-value = Results of Parameter Analysis ============================= Standard Parameter Estimate Error t-statistic P-value FAGE E E [.001] FAGE E E [.557] Wald Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero: CHISQ(2) = ; P-value = F Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero: F(2,1105) = ; P-value =

17 Dependent variable: LQSCHOKO Number of observations: 1111 Restriktives Modell =================== Equation 2 ============ Method of estimation = Ordinary Least Squares Mean of dep. var. = LM het. test = [.021] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.376] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.748] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.229] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.000] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.000] LP [.000] AGE E [.000] AGE E E D D D D D D-10 Geschaetzter partieller Effekt des Alters fuer jede Beobachtung =============================================================== Univariate statistics ===================== Number of Observations: 1111 Mean Std Dev Minimum Maximum PE_AGE

18 Dependent variable: QSCHOKO Number of observations: 1111 Schätzung ohne Logarithmen ========================== Equation 3 ============ Method of estimation = Ordinary Least Squares Mean of dep. var. = LM het. test = [.000] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.344] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.000] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.190] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.000] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.000] P [.000] EINK E E [.430] AGE E [.000] AGE E E [.000] AGE E E [.000] Geschaetzter partieller Effekt des Alters fuer jede Beobachtung =============================================================== Number of Observations: 1111 Univariate statistics ===================== Mean Std Dev Minimum Maximum PE_AGE ENDE DER KLAUSUR 18