SERIES Forum Umwelttechnik und Wasserbau: vol. 14 Series Editors: Markus Aufleger, Wolfgang Rauch

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1 SERIES Forum Umwelttechnik und Wasserbau: vol. 14 Series Editors: Markus Aufleger, Wolfgang Rauch

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3 Roman GABL Numerische und physikalische Untersuchung des Verlustbeiwertes einer asymmetrischen Düse im Wasserschloss Weiterentwicklung der numerischen Bemessungswerkzeuge für Hochdruckanlagen

4 Roman GABL Institut für Infrastruktur, Arbeitsbereich Wasserbau Dissertation, Fakultät für Bauingenieurwissenschaften, Universität Innsbruck Betreuer / Erstbegutachter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Markus AUFLEGER Arbeitsbereich Wasserbau, Institut für Infrastruktur Leopold-Franzens-Universität Innsbruck Zweitbegutachter: Prof. Dr. Robert BOES Versuchsanstalt für Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie (VAW) Eidgenössische Technische Hochschule (ETH) Zürich Die Dissertation wurde im Februar 2012 an der Leopold-Franzens-Universität Innsbruck, Fakultät für Bauingenieurwissenschaften eingereicht. Die vorliegende Version wurde für den Druck angepasst und weist geringe Adaptionen auf. Diese Publikation wurde zusätzlich mit finanzieller Unterstützung des Amtes der Vorarlberger Landesregierung sowie des Vizerektorats für Forschung der Leopold- Franzens-Universität Innsbruck gedruckt. innsbruck university press, 2012 Universität Innsbruck 1. Auflage Alle Rechte vorbehalten. ISBN

5 Danksagung Die vorliegende Arbeit entstand am Arbeitsbereich (AB) Wasserbau, Institut für Infrastruktur der Universität Innsbruck in enger Zusammenarbeit mit der TIWAG- Tiroler Wasserkraft AG und basiert auf zwei gemeinsamen Forschungsprojekten. Der erste Dank gilt dem Leiter des Arbeitsbereiches Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Markus Aufleger, welcher als Hauptbetreuer und Begutachter die Erstellung der Arbeit begleitet hat. Als zweiter Begutachter fungierte Prof. Dr. Robert Boes (Direktor der Versuchsanstalt für Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie (VAW) der Eidgenössischen Technischen Hochschule (ETH) Zürich). Ich schätze sehr, dass beide trotz engem Terminplan Zeit für fachliche Diskussion und Korrekturen gefunden haben. Besonders bedanken möchte ich mich auch bei der TIWAG-Tiroler Wasserkraft AG. Ihre finanzielle Unterstützung und das große Interesse an neuen und innovativen Verfahren machten diese Arbeit überhaupt erst möglich. Stellvertretend möchte ich mich bei Dipl.-Ing. Dr. Bernhard Hofer, Dr.-Ing. Johann Neuner und Dipl.-Ing. Hugo Götsch für die hervorragende Zusammenarbeit und die dadurch sehr praxisorientierte Ausrichtung der Untersuchungen bedanken. Für die fachliche Diskussion und Unterstützung gilt mein Dank den beiden Assistenzprofessoren Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Achleitner, der als zusätzlicher Betreuer von Seiten des Arbeitsbereichs Wasserbau fungiert, und Dipl.-Ing. Dr.techn. Bernhard Gems. Ein herzliches Dankeschön auch an Dipl.-Ing. Andreas Sendlhofer, mit dem ich die Freuden der Studienzeit und ein Büro am Arbeitsbereich teilen durfte. Im Hinblick auf den Modellversuch möchte ich mich besonders bei der Labormannschaft des AB Wasserbau bedanken, die nicht nur mit ihrem fachlichen Wissen und ihren Fertigkeiten zum Gelingen der Untersuchung beigetragen haben, sondern auch ein Höchstmaß an Toleranz gegenüber der Lärmbelastung während der Versuchsdurchführung bewiesen haben. Für ihre vielfältige Unterstützung bin ich meinen Eltern und meinen beiden Brüdern sehr dankbar. In Kombination mit dem breiten Freundeskreis sind sie das Fundament, auf das ich immer zählen kann. Mein ganz besonderer Dank gilt meiner Ehefrau Julia, die mich seit über zehn Jahren auf meinem Lebensweg begleitet. Ihr danke ich für das wertvolle Lektorat meiner Texte und die Geduld, wenn ich mal wieder länger im Büro geblieben bin. Innsbruck, Mai 2012

6 Kurzfassung Ausgehend von einer Variation der Geometrie einer asymmetrischen Düse im Wasserschloss einer Hochdruckwasserkraftanlage wird mit Hilfe von 3D-numerischen Berechnungen der Einfluss auf die beiden richtungsabhängigen Verlustbeiwerte des Drosselorgans untersucht. Die daraus gewonnenen Hypothesen dienen als Grundlage für ein Bemessungskonzept, welches die zukünftige Wahl der Geometrie erleichtern und eine entsprechende Optimierung beschleunigen soll. Zusätzlich wird durch den direkten Vergleich der 3D-numerischen Verfahren (ANSYS-CFX Version 13) mit dem physikalischen Modellversuch (Maßstab 1:25) im Zuge eines Validierungsexperiments das Vertrauen in die numerischen Methoden gestärkt. In Kapitel 1 werden der Untersuchungsgegenstand sowie das Ziel der Arbeit vorgestellt und vergleichbare Untersuchungen exemplarisch aufgelistet. Das Kapitel 2 beinhaltet die grundlegenden Gleichungen und mathematischen Zusammenhänge, sowie die Erläuterung der Wahl der Software. Anhand eines vereinfachten Segmentmodells wird eine breite Variation der Geometrie vorgenommen. Im Zuge dessen kann der Einfluss der einzelnen Parameter der Geometrie auf den Verlustbeiwert bestimmt werden. Um die einzelnen aufgestellten Hypothesen nachzuweisen, werden neun unterschiedliche Düsen definiert (Kapitel 2.4), welche in weiterer Folge im Detail untersucht werden. Die neun ausgewählten Düsen werden zum einen mit Hilfe eines physikalischen Modellversuches im Labor des Arbeitsbereiches Wasserbau der Universität Innsbruck untersucht und zum anderen 3D-numerisch berechnet. Das Kapitel 3 beschreibt den Aufbau der numerischen Untersuchung, wobei an Hand einer Referenzberechnung die Verifikation der Numerik durchgeführt wird. Dies umfasst neben Untersuchungen zu den Randbedinungen und der Netzauflösung auch eine Variation der Auswerteebenen, welche als Grundlage für den Laborversuch dient. Dieser wird in Kapitel 4 detailliert beschrieben. Schwerpunkt dabei ist neben der Verifikation der physikalischen Untersuchung die Bestimmung der Messfehler. Dies dient der Wahl der Messgeräte und zudem werden die Grundgleichungen aus Kapitel 2.1 um den möglichen Fehlerterm für die nachfolgende Auswertung erweitert. Die Ergebnisse beider Modelluntersuchungen werden in Kapitel 5 zusammengefasst und die entsprechenden Verlustbeiwerte mit unterschiedlichen Ansätzen berechnet. Ergänzt wird dieses Kapitel durch eine Zusatzuntersuchung (Kapitel 5.4), welche sich im Detail der Belastung auf den Krümmer und dem Vergleich der hochfrequenten Messung mit der Numerik widmet. Im Zuge einer exemplarischen Sensitivitätsuntersuchung (Kapitel 6) wird der Einfluss der möglichen Messungenauigkeit auf das Ergebnis der berechneten Verlustbeiwerte untersucht. Zusätzlich wird der Einfluss des Geschwindigkeitshöhenausgleichswerts α aufgezeigt, welcher einen deutlichen Einfluss auf den Wert des Verlustes unabhängig von der gewählten Untersuchungsmethode hat (Kapitel 6.3). Ebenfalls in diesem Kapitel enthalten ist eine Untersuchung des Einflusses von Herstellungsungenauigkeiten, wobei hierzu das Hauptaugenmerk auf den Winkel W an der Spitze der Düse gelegt wird.

7 Der direkte Vergleich der numerischen und physikalischen Ergebnisse wird in Kapitel 7 behandelt. Anhand unterschiedlicher Bewertungskriterien wird die Übereinstimmung der beiden Methoden untersucht und die Gleichwertigkeit kontrolliert. Als Resultat können anschließend die aufgestellten Hypothesen für die Wahl der Geometrie einer asymmetrischen Düse untersucht und nachgewiesen werden. In Kapitel 8 wird die Skalierung der Ergebnisse in den Naturmaßstab und eine exemplarische bautechnische Anpassung des Krümmers dargestellt. Die Arbeit wird mit einer Zusammenfassung der Modellannahmen und der Aktualisierung des Bemessungskonzeptes sowie einem Ausblick abgeschlossen (Kapitel 9). Abstract The main part of this investigation is the optimisation of an asymmetric orifice in the surge tank of a high-head power plant in the Austrian Alps. By adding local head losses to the hydraulic system, a new equilibrium state can be reached faster after a change in the flow regime. As a result, the mass oscillation and the effects of the water hammer can be reduced, which leads to lesser construction costs. By using an asymmetric construction, the amount of the local head loss coefficient depends on the flow direction and offers therewith an additional way to optimise the hydraulic behaviour of the whole system. As a first assumption, standardised tabular values are used to quantify the local head losses, which are checked by laboratory tests. The intention of the following work is to strengthen the position of numerical investigations in the design process. Based on a variation of the geometry, hypotheses of the connection between the geometry and the local head loss in each direction are formulated. According to this, a design concept for an asymmetric orifice is developed, which could accelerate the search for the ideal geometry. To prove these theories, nine different orifices were chosen and investigated with the help of two different model concepts. Firstly, the orifice is 3D-numerically simulated with the software ANSYS-CFX. In order to get a good model validation of the numerical results, physical laboratory tests are conducted. The comparison of the investigations in the scale of 1:25 should lead to a higher confidence in the numerical methods. In order to give an overview of the major parts of the work, the objects and the main goals of the investigation are presented in chapter 1. The theoretical background and basic equations are summarised in chapter 2. In addition, the simplified segment model of the orifice and the results, which lead to the choice of the nine different orifices, are shown. In two separate chapters the configuration and verification of the 3D-numerical simulations (chapter 3) and the physical laboratory tests (chapter 4) are presented. Major topics in those parts are the prevention of errors and the minimisation of uncertainties. The results of the investigations based on both model concepts and the comparison of the two approaches are shown separately.

8 In chapter 5, different assumptions are used to calculate the local head loss coefficient based on the numerical and physical data. Furthermore, high frequency measurements are used to investigate the load on the elbow. With the help of sensitivity analyses, the effects of measurement accuracy are tested. In addition, the influence of the kinetic energy flux coefficient α and an exemplary inaccuracy of the angle at the apex of the orifice are investigated (chapter 6). The comparison of both models is carried out in chapter 7. This validation leads to the result that the differences between the two methods are small in comparison to the uncertainties in the calculation of the local head loss coefficient itself. Furthermore, the hypotheses are tested and proved. The scale-up of the results from the model state to the full-scale is shown. In addition, an exemplary adaption of the elbow as a possible improvement in the geometry is presented (chapter 8). In the last chapter, the model assumptions for the numerical and physical model are summarised. Moreover, an actual design concept including the 3D-numerical methods is suggested. Chapter 9 ends with an outlook for future work on the asymmetric orifice and the 3D-numerical investigations in this area in general.

9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Vorbemerkung Definitionen und Begriffsbestimmungen Wasserschloss Wasserschlossschwingung Gegenstand der Untersuchung - Fallbeispiel KW Kaunertal Stand der Technik - Aktuelles Bemessungskonzept Ziel der Untersuchung Grundlagen Gleichungen Ausgangsgleichungen Optimierungsziel Rückrechnung der Druckdifferenz Energieausgleichswerte Wahl der verwendeten Software Abschätzung des Einflusses der Geometrieänderung Übersicht RS1 - kleinster Querschnitt RS2 - nächstgrößerer Durchmesser LS0 - Länge des Totraums LS1 und LS2 - Länge der Düse Wahl der zu untersuchenden Düsen Übersicht Charakteristika der ausgewählten Düsen Tabellenwerte aus der Literatur Konzept Plötzliche Verengung - Abschwingen Plötzliche Erweiterung - Aufschwingen Allmähliche Verengung - Aufschwingen Allmähliche Erweiterung - Abschwingen Auswertung Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Konzept Aufbau der numerischen Untersuchung Physikalische Prozesse Geometrie und Netz Randbedingungen und Modellabgrenzung Turbulenzmodell und Lösungsalgorithmus

10 J Inhaltsverzeichnis Umsetzungen im Pre- und Post-Processing Referenzberechnung Fehler in der Numerik Einleitung Numerische Fehlerarten Best Practice Guidelines Verifikation Grenzschicht Netztest Zeitschritte Auswertungs- und Messebene Allgemein Umsetzung der Auswertung und Variation der Lage Geschwindigkeitshöhenausgleichswert Erhöhte Genauigkeit Wiederholbarkeit Vollmodell Variation der Randbedingung Druck am Austrittsrand Tausch der Randbedingungen Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Konzept Modellmaßstab Aufbau des Modellversuchs Komponenten Versuchsprogramm Messtechnik Übersicht Durchflussmessung Differenzdruckmessung Messfehler physikalisches Modell Einleitung Auswirkung der Ungenauigkeiten im Modellversuch Fehlerfortpflanzung Auswertung Messfehler Konzept Fehleransatz - getrennte Betrachtung Fehlerkombination Verifikation Kontrolle der Lage Schwingungsmessung Langzeitmessung Hochfrequente Messungen Ermittlung der Randbedingung für die Numerik Ergebnisse Konzept

11 Inhaltsverzeichnis K 5.2 Darstellung der Ergebnisse Abschwingen Aufschwingen Berechnung des Verlustbeiwertes Übersicht Analytischer quadratischer Ansatz Erweiterung mit unbekanntem Fehleransatz Additiver Ansatz Relativer Ansatz Einfluss des Startwertes Geschwindigkeitsausgleichswert Bewertung der Anpassung Zusatzuntersuchungen Übersicht Messaufbau Krümmer Messaufbau Schacht Vergleich mit der Numerik Sensitivitätsanalyse Konzept Messwerte Übersicht Charakteristische Werte des Fehlers Variation Geschwindigkeitshöhenausgleichswert Übersicht Charakteristische Werte Variation Geometrie Winkel W Düse D8 Soll-Ist-Vergleich Validierung Konzept Direkter Vergleich zwischen Numerik und Modellversuch Übersicht Kriterien Zusammenfassung Vergleich mit den Literaturwerten Kontrolle der Hypothesen Übersicht Hypothese 1 - DS Hypothese 2 - DS Hypothese 3 - LS Umsetzung im Naturmaßstab Konzept Skalierung

12 L Inhaltsverzeichnis Randbedingungen Berechnungsnetz Ergebnis Anpassung des Schachtdurchmessers Geometrievergleich Theoretische Überlegung Ergebnis Anpassung des Krümmers Geometrieanpassung Ergebnis Belastung auf den Krümmer Zusammenfassung und Ausblick Modellannahmen Schlussfolgerungen Aktualisiertes Bemessungskonzept Ausblick Verzeichnisse 195 Literatur Symbole Abkürzungen Tabellenverzeichnis Abbildungsverzeichnis Anhang 213 Paper IAHR

13 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Vorbemerkung Die Dissertation entstand am Arbeitsbereich (AB) Wasserbau, Institut für Infrastruktur der Universität Innsbruck. Als Grundlage dienen zwei Forschungsprojekte, die von der TIWAG-Tiroler Wasserkraft AG finanziert wurden. Im Zuge des Forschungsprojektes im Jahr 2010 [40] sind zwei Diplomarbeiten entstanden. Diese hatten die Weiterentwicklung der 1D-numerischen Berechnungssoftware [48] und eine Voruntersuchung zu der Computational Fluid Dynamics (CFD)-Software ANSYS-CFX [108] zum Thema. Teile aus dem Forschungsprojekt [40] wurden im Zuge der IAHR-Konferenz 2011 veröffentlicht [35]. Dieser Beitrag ist im Anhang enthalten. Die Übernahme einzelner Textpassagen, Skizzen und Formeln aus den Berichten [40] und [38] erfolgt mit ausdrücklicher Zustimmung aller weiteren Autoren. Alle verwendeten Einheiten beziehen sich auf das SI-Einheitensytem (Système international d unités). Für die numerischen Berechnungen wurden die Workstations des AB Wasserbau verwendet. Als ANSYS-Lizenz stand das akademische Paket der Universität Innsbruck zur Verfügung. 1.2 Definitionen und Begriffsbestimmungen Wasserschloss Ein Wasserkraftwerk erfüllt die Aufgabe der Fassung und gegebenenfalls Speicherung von Wasser, damit die darin gespeicherte potentielle Energie einer Nutzung über Turbinen zugeführt werden kann. Je nach der zur Verfügung stehenden Fallhöhe H wird zwischen Niederdruck- (H 50 m), Mitteldruck- (50 m H 200 m) und Hochdruckwasserkraftanlagen unterschieden. Letztere weisen neben einer Fallhöhe H größer 200 m meist verhältnismäßig geringere Durchflüsse auf ([44], [129]). Eine Hochdruckanlage besteht im Regelfall aus Druckstollen, Wasserschloss, Kraftabstieg (Druckschacht), Turbine und Unterwasserstollen bzw. Unterwasserkanal. Dabei wird ein Speicher über Stollen und Schächte, die der Überwindung von horizontalen und vertikalen Distanzen dienen, mit dem Unterwasser (UW) verbunden [120].

14 2 Kapitel 1 Einleitung Durch eine Veränderung des Betriebszustandes (Anfahren, Anpassungen der Leistung, Abstellen, Notschluss) kommt es zu instationären Strömungszuständen. Abhängig von der Geschwindigkeit und Größe der Änderungen wird eine Druckwelle (Druckstoß) im Stollen- oder Leitungssytem erzeugt [13]. Dies führt zu einer über den reinen statischen Wasserdruck hinausgehenden Belastung des Systems. Um den Einfluss dieser Druckwelle auf das System zu begrenzen, wird ein Wasserschloss (WS) angeordnet. Der Nutzen und die Funktion des WS werden in Kapitel behandelt. Aus bautechnischer Sicht ist das WS ein meist künstlich angelegtes Ausgleichsbecken und trennt den Nieder- und Hochdruckleitungsabschnitt der Wasserkraftanlage [44]. Im Regelfall wird es im Übergangsbereich des Druckschachtes zum Druckstollen angeordnet. Bei besonders guter Felsqualität kann das Konzept der Anlage verändert werden und die Anordnung eines Druckluftwasserschlosses 1 oder eines reinen Unterwasserschlosses ([72],[76]) gewählt werden. Beispiele dazu sind in Norwegen [116] und Schweden [120] umgesetzt worden. Einen weiteren Sonderfall stellt die Anordnung zweier Wasserschlösser im selben Triebwasserweg dar. Dadurch wird eine Erhöhung des gesamten Wasserschlossquerschnitts erreicht. Dies hat den Vorteil, dass zum Beispiel ein zusätzlicher Schachtüberfall oberwasserseitig des Hauptwasserschlosses angeordnet werden kann ([32],[106]). Für Kraftwerke mit langer Unterwasserstrecke kann die Anordnung eines zusätzlichen Unterwasserwasserschlosses notwendig werden ([65],[31]). Die einfachste Form des WS ist das Schachtwasserschloss, welches aus einem zusätzlichen Becken (Schacht, Turm) besteht (Abb. 1.1 (a)). An beiden Seiten ist ein Stollen oder eine Rohrleitung angeschlossen. Im Ruhezustand stellt sich bedingt durch das Prinzip der kommunizierende Gefäße der selbe Wasserspiegel wie im Speicher ein. Bei stationären Durchflüssen (nachdem die instationären Effekte abgeklungen sind) liegt der Wasserspiegel im Wasserschloss bedingt durch die kontinuierlichen Verluste niedriger als der Wasserspiegel im Speicher. Diese Konfiguration wird als Beharrungszustand bezeichnet [130]. Die Anordnung eines Überfalles (Abb. 1.1 (b)) begrenzt die maximale Wasserspiegellage im Schacht durch eine Entlastung. Das einfache Schachtwasserschloss kann durch die Ausformung von Kammern erweitert werden (Abb. 1.1 (c)). Diese aufgelösten Wasserschlösser werden als Kammerwasserschloss bezeichnet und bei sehr hohen Talsperren mit starken Schwankungen im Stausee verwendet [128]. Im alpinen Bereich ist dieser Wasserschlosstyp weit verbreitet und wird erfolgreich eingesetzt [127]. Die gleichzeitige Nutzung eines Steigschachtes und einer Hauptkammer, welche durch eine Drossel und einen Überlauf miteinander verbundenen sind, wird als Differentialwasserschloss (Abb. 1.1 (d)) bezeichnet [51]. Durch die Begrenzung des maximalen Gegendruckes (Überfall in die Hauptkammer) kann dieser erhöhte bauliche Aufwand wirtschaftliche Vorteile bringen [44]. 1 Die Änderungen des Wasserspiegels werden durch ein abgeschlossenes Luftpolster gedämpft. Im kleineren Maßstab wird dies auch als Windkessel (air vessel) bezeichnet und in der Nähe von Pumpen angeordnet [122].

15 1.2 Definitionen und Begriffsbestimmungen 3 Abb. 1.1: Schemaskizze exemplarischer Wasserschlosstypen Wasserschlossschwingung Der Hauptnutzen des Wasseschlosses liegt in der Dämpfung und Beschränkung der Druckstoßentwicklung. Der im WS eintreffende Druckstoß wird an der freien Wasseroberfläche reflektiert und das oberwasserseitige Stollensystem kann entlastet werden [62]. Durch diese Reflexion und Dämpfung des Druckstoßes kann eine schnellere Regelbarkeit der Anlage erreicht werden. Dies wird unter anderem dadurch unterstützt, dass bei Leistungserhöhungen Wasser aus dem Wasserschloss bereitgestellt werden kann (Vermeiden des Abreißens der Wassersäule) und im umgekehrten Lastfall Raum für nachströmendes Wasser vorhanden ist. Es kommt somit bei richtiger Auslegung zu einem beschleunigten Ausgleich der Wasservolumina im System [44]. Das Aufsteigen und Absinken des Wasserspiegels im Wasserschloss wird als Wasserschlossschwingung bezeichnet. Bei Druckmessungen auf der Hochdruckseite vor dem Wasserschoss kommt es zu langwelligen Schwankungen durch die Massenschwingung, welche von den hochfrequenten Oszillationen des Druckstoßes überlagert werden [65]. Die Ermittlung der instationären Vorgänge im Wasserschloss können entweder zeichnerisch [90], analytisch [44] oder numerisch erfolgen. Die Verwendung von entsprechenden Softwareprodukten kann als Stand der Technik bezeichnet werden und bietet breite und schnelle Variationsmöglichkeiten im Entwicklungsprozess der Auslegung. Als Beispiel kann die Software Hydraulic System [20] angeführt werden. Der Forschungspartner Tiroler Wasserkraft AG (TIWAG) verwendet zum Zeitpunkt der Bearbeitung hausinterne Entwicklungen [48]. Die induzierte Schwingung klingt bei einem nicht gedrosselten Wasserschloss rein durch die Reibungseffekte ab. Durch den Einbau von Drosseln kann das Verhalten der Wasserschlossschwingung verbessert und die notwendigen Volumina in den Kammern reduziert werden. Zum Einsatz kommen in der einfachsten Form Kreisblenden, die in beide Strömungsrichtungen den selben Verlustbeiwert aufweisen. Ein exemplarischer Einbau einer solchen Blende ist in Abbildung 1.2 (c) dargestellt.

16 4 Kapitel 1 Einleitung Die asymmetrische Düse stellt eine Weiterentwicklung dar (Abb. 1.2 (b)). Um die Asymmetrie der Verlustbeiwerte weiter zu steigern, kann eine Rückstromdrossel ([47], [59], [108], Abb. 1.2 (a)) eingesetzt werden. Abb. 1.2: Exemplarischer Vergleich: (a) Rückstromdrossel [108], (b) asymmetrische Düse, (c) Kreisblende In dieser Arbeit liegt der Fokus auf der Kombination einer asymmetrischen Düse zwischen der Unterkammer und dem zur Oberkammer führenden Schacht eines Kammerwasserschlosses (Abb. 1.3, Kapitel 1.3). Bei dieser Konfiguration wird ein vergleichbar kleiner Widerstand beim Aufschwingen erzeugt, welcher das in die Unterkammer einströmende Wasser mit relativ geringen Verlusten in Richtung Oberkammer hinlenkt (Abb. 1.4). Diese Situation tritt zum Beispiel beim Schließen des Verschlussorganges auf. Das nachströmende Wasser von der Seite des Speichers kann nicht mehr in den Druckschacht weiterfließen und weicht somit in das Wasserschloss aus. Die Belastung des Druckstollens wird damit reduziert. Abb. 1.3: Schemaskizze Übersicht Kammerwasserschloss

17 1.2 Definitionen und Begriffsbestimmungen 5 Abb. 1.4: Detail zu Abb. 1.3 und Schemaskizze einer asymmetrischen Düse mit Fließrichtungen Als Lastfall Abschwingen wird eine Strömung in die entgegengesetzte Richtung beschrieben (Abb. 1.4). Durch Anfahren der Turbine entsteht ein Wassermangel am Einmündungspunkt des Wasserschlosses in den Triebwasserweg. Dieser ist dadurch bedingt, dass das die Beschleunigung des Wassers im Stollen in Richtung des Speichers durch dessen Trägheit verzögert wird. Als Ersatz strömt Wasser aus der Unterkammer des Wasserschlosses nach. Das Drosselorgan hält bedingt durch den höheren Verlustbeiwert Wasser im Schacht und in der Oberkammer zurück. Das Abreißen der Wassersäule im Wasserschloss wird durch die zusätzliche Belüftung ermöglicht. Der Wechsel vom Vollquerschnitt- auf Freispiegelabfluss geschieht in der Unterkammer. Diese muss ausreichend groß dimensioniert werden, so dass sie nicht leer laufen kann. Die oben beschriebenen Änderungen des Durchflusses können nicht im Zuge eines einzelnen Zyklus abgebaut werden, sondern führen zu einer Schwingung des Wasserspiegels im Wasserschloss (WS). Die Lastfälle stellen nur den exemplarischen Beginn von Schwingungsvorgängen dar, welche bei Pumpspeicherkraftwerken entsprechend erweitert werden. Das grundlegende Konzept bleibt dabei erhalten: Das Wasserschloss gleicht den Überschuß oder Mangel an kinetischer Energie im System aus [130].

18 6 Kapitel 1 Einleitung Für die Bemessung des Wasserschlosses werden in der Regel Mehrfachschaltfälle herangezogen. Dabei wird die Schwingung durch wiederholtes Zu- und Abschalten von Turbinen zum ungünstigsten Zeitpunkt verstärkt. Die Umsetzung der sich daraus ergebenden notwendigen Volumina der Kammern und Drosselungen ermöglichen eine freie Betriebsführung der Anlage ohne Einschränkungen der Steuerung ([121],[50]). Neben der Dimensionierung der Volumina ist der Nachweis der Stabilität der Schwingung ein entscheidender Bemessungsparameter. Die Schwankungen des Wasserspiegels im Wasserschloss können zu einer Rückkoppelung auf die Steuerung der Turbine führen. Um eine konstante Leistung und Drehzahl aufrecht zu erhalten, ist eine Veränderung des Regelorgans bei wechselnden Druckhöhen notwendig. Im ungünstigsten Fall kann dieses Nachregeln zu einer zusätzlichen Anfachung der Wasserschlossschwingung führen. Um eine abklingende Schwingung zu erreichen, wird das Stabilitätskriterium nach Thoma [131] eingeführt. Dieses ist eingehalten, wenn der Querschnitt des Wasserschlosses A W größer ist als der Thoma-Querschnitt A T h. Dieser Thoma-Querschnitt ist in Formel (1.1) von der ursprünglichen Schreibweise [131] (Gleichung 17, Seite 18) aus dem Jahr 1910 der aktuellen Form laut Giesecke [44] gegenübergestellt. Die Dimensionierung des Wasserschlosses erfolgt ausgehend von A T h mit einem Sicherheitsfaktor ν T h von 1,5 bis 1,8 [-] ([44], [65]). F > 2 g k F H n > 1 L f L f T ab.1.1 l S,0 A A W > ν T h S = ν T h A T h (1.1) 2 g k H n ζs,0 h f,0 Tab. 1.1: Variablen für das Stabilitätskriterium [131] [44] Beschreibung Einheit F A W horizontaler Querschnitt des WS [m 2 ] f A S Querschnitt des Stollens [m 2 ] H n h f,0 verfügbare Fallhöhe [m] L l S,0 Länge des Stollens [m] k Konstante, welche mit der Geschwindigkeit v 2 multipliziert den Verlust des Stollens als Druckhöhe ergibt [m s 2 ] 2 g k ζ S,0 Verlustbeiwert im stationären Betrieb [ ]

19 1.3 Gegenstand der Untersuchung - Fallbeispiel KW Kaunertal Gegenstand der Untersuchung - Fallbeispiel KW Kaunertal Ausgehend von der geplanten Sanierung des Wasserschlosses des Kraftwerks (KW) Kaunertal der TIWAG-Tiroler Wasserkraft AG wird die Neuplanung der Drossel im Wasserschloss mit der vorliegenden Arbeit wissenschaftlich begleitet und unterstützt. Entsprechende Informationen zum Kraftwerk selbst finden sich in [79] und [94], sowie auf der Homepage der TIWAG. Aktuell ist im WS des Kraftwerk (KW) Kaunertal eine Rückstromdrossel ([47], [120], [121]) in Betrieb. Diese soll im Zuge der Sanierung durch eine asymmetrische Düse ersetzt werden. Die damit verbundene geringere Drosselung führt zu beträchtlichen Änderungen in der Oberkammer (OK) und Unterkammer (UK) des Wasserschlosses. Die geplante Linienführung und die Dimensionen der Vorbemessung der TIWAG werden als Ausgangspunkt verwendet. Die Ziele der Untersuchung (Kapitel 1.5) gehen aber über eine reine Bemessung hinaus. So sollen zusätzlich verbesserte Grundlagen für zukünftige Projekte geschaffen werden. Der Fokus der Bearbeitung liegt auf dem Übergang der annähernd horizontalen Unterkammer des Wasserschlosses in den Lotschacht, welcher in die Oberkammer mündet. In diesem Bereich soll die asymmetrische Düse angeordnet werden (Abb. 1.3). Im Zuge des Forschungsprojektes [40] wurde eine breite Variation und daraus resultierend eine grundlegende Optimierung der Geometrie vorgenommen. Dabei wurde nicht nur die Form der Düse, sondern auch der Übergang von der Unterkammer in den Schacht untersucht. Der Segmentkrümmer aus vier Teilen mit einem konstruktiven Ausrundungsradius R zwischen den beiden Achsen mit 7 m (N) (28 cm (M) ) hat sich in den numerischen Untersuchungen bewährt. Für die bautechnische Umsetzung ist eine weitere Untergliederung mit höchster Wahrscheinlichkeit wirtschaftlich sinnvoll. Für die Untersuchung wird der vierteilige Segmentkrümmer, wie in Abbildung 1.5 ersichtlich, als erste Annahme verwendet. Innerhalb des Krümmers wird der Querschnitt ausgehend von der Unterkammer reduziert. Die Ausformung der letzten beiden Segmente der Düse ist der hauptsächliche Gegenstand der Untersuchung. Die durch numerische Vorbemessungen ausgewählten neun Düsen (Kapitel 2.4) werden physikalisch (Abb. 1.6 (a)) und numerisch (Abb. 1.6 (b)) untersucht. Abschließend wird im Kapitel 8 exemplarisch eine bautechnische Verbesserungen untersucht. Für den Lastfall Abschwingen erfolgt durch die Düse eine Konzentration des Wasserstrahles, welche zu einer erhöhten Belastung beim Auftreffen auf den Krümmer führt. Beim Aufschwingen bewirkt der Krümmer eine ungleichmäßige Anströmung der Düse. Vergleichbare Effekte treten beim Austritt eines Wasserstrahles in Pelton- Turbinen auf. Dabei kann eine Beeinflussung des Krümmers vor dem Injektor in der Form des frei austretenden Wasserstrahles festgestellt werden. Der damit verbundene erhöhte Tropfenschlag kann zu Beschädigungen der Turbine führen ([141] mit Verweis auf [140]). Basierend auf diesen Überlegungen ist es notwendig, neben der reinen Düse auch die Effekte im Krümmer zu berücksichtigen.

20 8 Kapitel 1 Einleitung Abb. 1.5: Abmessungen im Modell [mm] (a) Modellversuch (b) Numerik Abb. 1.6: Untersuchte Modellkonzepte (Aufschwingen)

21 1.4 Stand der Technik - Aktuelles Bemessungskonzept Stand der Technik - Aktuelles Bemessungskonzept Das aktuell verwendete Bemessungskonzept besteht aus zwei Teilen: Vorbemessung und Kontrolle. Mit Hilfe von Literaturwerten wird der Verlustbeiwert angenähert. Diese theoretisch ermittelte Düse wird danach mit Hilfe eines physikalischen Modellversuches überprüft. Für genormte Drosselorgane wie die Normblende, Normdüse oder die Normventuridüse können die Verlustbeiwerte der entsprechenden Norm (ÖNORM) EN ISO (Durchflussmessung von Fluiden mit Drosselgeräten in voll durchströmten Leitungen mit Kreisquerschnitt) entnommen werden [12]. Diese Bauteile werden unter anderem dazu genutzt, dass aus dem Druckabfall ein Rückschluss auf den Durchfluss erfolgen kann. Für die Drosselung von Wasserschlössern werden in den meisten Fällen keine standardisierten Düsen verwendet. Eine Ausnahme stellt die einfache Kreisblende dar, welche in beide Richtungen den selben Verlustbeiwert aufweist. Aufgrund von unterschiedlichen Rahmenbedingungen der Kraftwerksanlagen und von Anforderungen an die Wasserschlossschwingung (Kapitel 1.2.2) ist eine projektbezogene Anpassung notwendig. Die theoretischen allgemeinen Werte stellen, bedingt durch das Ausnutzen von Sonderformen, meist nur eine starke Näherung dar. Für diese Modellannahme werden Werte für allmähliche und plötzliche Querschnittsänderungen aneinandergereiht und aufsummiert. Der deutlichste Unterschied ergibt sich im vorliegenden Fall der asymmetrischen Düse (Kapitel 1.3), bedingt durch die Vernachlässigung des Totraumes um die Düse herum (Kapitel 2.5). Durch diesen Freiraum oberhalb der Düse wird eine zusätzliche Rückströmung indiziert. Die Aufweitung nach dem engsten Durchmesser hat ebenfalls eine zusätzliche Einschnürung durch die Rückströmung zur Folge. Dadurch kann der gewünschte höhere Verlustbeiwert im Lastfall Abschwingen erzeugt werden. Der zweite Schritt nach der Vorbemessung ist die Kontrolle der mit den Tabellenwerten angenäherten Geometrie mit Hilfe eines physikalischen Modellversuches. Dabei wird die Düse verkleinert im Labor nachgebaut und untersucht. Mit entsprechenden Modellgesetzen werden die Ergebnisse mit der Natur in Verbindung gebracht (Kapitel 4.2). Eine exemplarische Zusammenstellung von vergleichbaren Modellversuchen ist in der Tabelle 1.2 ersichtlich. Diese dient auch als Grundlage für die Wahl des Modellmaßstabes für den in Kapitel 4 beschriebenen Laborversuch. Die Versuche an den Drosseln für die Kraftwerke Sellrain-Silz und KW Amlach wurden an der Anstalt für Strömungsmaschinen (ASTRÖ) in Graz für die TI- WAG durchgeführt. Dabei handelt es sich um einen Luftversuch einer asymmetrischen gekrümmten Düse und einen Wasserversuch für die sich am Abzweiger zum Wasserschloss befindliche Düse im KW Amlach. Bei beiden handelt es sich um nicht veröffentlichte interne Versuchsberichte.

22 10 Kapitel 1 Einleitung Der größte in Tabelle 1.2 angeführte Maßstab und somit verhältnismäßig größte Modellversuch für eine Düse wurde an der Technischen Universität (TU) Graz umgesetzt. Im Zuge dieses Modellversuches wurde die Düse des Wasserschlosses des Kopswerk II der Vorarlberger Illwerke AG [136] untersucht. Für das Projekt Limberg II wurde ein gesonderter Modellversuch für die Düse und einer für das gesamte Wasserschloss erstellt [2]. Das Modell wies einen maximalen Durchfluss von 60 l/s und einen Druck von bis zu 2,5 bar auf [78]. Die am selben Institut untersuchte Düsendrossel wurde im Maßstab M=1:25 errichtet. Im Zuge dessen wurde ein Vergleich der numerischen Berechnung mit einer Particle Image Velocimetry (PIV)-Messung veröffentlicht [109]. Zudem wurden Modelluntersuchungen für die nachfolgend in der Tabelle angeführte Verteilrohrleitung [69] (Kraftwerk Kapichira), das Dreikammerwasserschloss (DKWS) [74], den Trifurcators [88] und den Y- Bifurcator [21] durchgeführt. Tab. 1.2: Literaturzusammenstellung (Haupt-) Autor Jahr Projekt M=1: DN Bemerkung Quelle ASTRÖ 1978 Sellrain-Silz 10,52 k.a. Luftversuch TIWAG ASTRÖ 1986 Amlach 12,69 k.a. Wasserversuch TIWAG Larcher 2006 Düsendrossel /200 Kops II [78] Larcher 2010 Düsendrossel 21,8 k.a. Limberg II [2] Huber 2010 Düsendrossel T-Abzweiger [60],[61] Richter 2011 Düsendrossel 25 k.a. PIV-Messung [109] Huber 1999 Rückstrom [59] -drossel Krüger 1977 Kreisblende k.a. 60 instationär [71] Prenner 1997 Kreisblende k.a. 100 instationär [105] Zhang 1999 Kreisblende k.a. 102 Entlastung [142] Jianhua 2010 Kreisblende k.a. 210 Entlastung [66] Förster 1997 Luftblasen k.a. 100 instationär [34] Knoblauch 1999 Verteilrohr 26,43 307/140 [69] Mayr 2002 Trifurcatoren 13,5 205/150 Grundlagen [11],[88] Joeppen 2008 Trifurkator 21,5 150 instationär [67] Larcher 2008 DKWS 25 Fr-Modell [73],[74], [75],[76] Dobler 2009 Y-Bifurcator 8,13 246/123 PIV-Messung [22],[23], [24] Larcher 2010 WS 30 Fr-Modell [2],[77]

23 1.5 Ziel der Untersuchung 11 Die an der TU Wien untersuchte Düse, welche in einem T-Abzweiger angeordnet ist, wurde mit einem maximalen Durchfluss von 90 l/s betrieben [61]. Vom selben Autor wurde die Untersuchung der Rückstromdrossel im Maßstab M=1:26 veröffentlicht [59]. Dynamische Effekte wurden auch bei der Untersuchung des Trifurkator [67] und der Kreisblenden ([105], [71]) untersucht. Als Drosselorgan in Hochwasserentlastungen und Grundablässen werden die in Jianhua et al. [66] und Zhang und Cai [142] untersuchten Kreisblenden verwendet. Der Einfluss einer Luftblase im Hochpunkt einer Rohrleitung auf das Verhalten bei Druckstößen ist Untersuchungsgegenstand in [34]. Neben den in Tabelle 1.2 aufgelisteten Versuchen zu Düsen finden sich in der Literatur auch mehrfach aneinandergereihte asymmetrische Düsen (Düsendurchmesser d=0,4 mal einem nicht näher beschriebenen Außendurchmesser D, Verhältnis der Verlustbeiwerte 1:5,25) [103]. 1.5 Ziel der Untersuchung Das Ziel der nachfolgend beschriebenen Untersuchung geht über eine rein projektbezogene Bemessung laut dem Bemessungskonzept in Kapitel 1.4 hinaus und soll Impulse für die Integration der numerischen Werkzeuge in den Bemessungsablauf liefern (Kapitel 9.3). Um dies zu erreichen, werden für die Bestimmung des Verlustbeiwertes der asymmetrischen Düse parallel eine numerische Untersuchung (Kapitel 3) und ein physikalischer Modellversuch (Kapitel 4) durchgeführt. Mit Hilfe dieses Validierungsexperiments (direkter Vergleich der numerischen und physikalischen Methoden, [57],[81]) soll die Aussagekraft der numerischen Lösung für die Berechnung asymmetrischer Düsen überprüft werden. Die Untersuchung umfasst in Summe neun unterschiedliche Düsen, welche an einen 90 -Krümmer anschließen. Die Wahl der Geometrie der Düsen basiert dabei auf einer numerischen Voruntersuchung (Kapitel 2.4). Die im Zuge der Variation der Geometrie erstellten Hypothesen für ein Bemessungskonzept vergleichbarer asymmetrischer Düsen werden anhand der gewählten Düsen exemplarisch überprüft (Kapitel 7.4). Durch dieses weiterführende Wissen um den Einfluss der Geometrie auf das Verhalten der Verlustbeiwerte und der zusätzlichen Verwendung von numerischen Verfahren kann eine schnellere und auch wirtschaftliche Optimierung durchgeführt werden. Dadurch kann auf die aktuellen Anforderungen an die Elektrizitätserzeugung [9], wie zum Beispiel die Erhöhung der Schalthäufigkeit [87], reagiert und die Anlage optimal genutzt werden.

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25 Kapitel 2 Grundlagen 2.1 Gleichungen Ausgangsgleichungen Als Ausgangspunkt der Betrachtung dient die Bernoulli-Gleichung über die Energiehöhe h E in der Schreibweise nach [17]: h E,1 = z 1 + h D,1 + h k,1 = z 2 + h D,2 + h k,2 = h E,2 (2.1) Durch Einsetzen der Druckhöhe h D und Geschwindigkeitshöhe h k in die Formel (2.1) ergibt sich die Formel unter Berücksichtigung der Verlusthöhe h v. h v + z 2 + p2 ρ g + v2 2 p1 = z1 + 2 g ρ g + v2 1 2 g Durch Freistellen der Verlusthöhe h v ergibt sich folgender Bezug: (2.2) h v = z 1 z } {{ 2 + } 0 p1 p2 ρ g } {{ } Druck + v 2 1 v g } {{ } Geschwindigkeit (2.3) Die geodätischen Bezugshöhen kürzen sich heraus, da die Düse liegend untersucht wird und dadurch in einem nächsten Schritt die Erdbeschleunigung g = 9, 81 m/s 2 gekürzt werden kann (Formel (2.6)). Die Verlusthöhe h v ergibt sich aus lokalen h v, ö (örtlich begrenzt) und kontinuierlichen h v, r (Reibungs-)Verlusten. Die zu ermittelnden Verlustbeiwerte der Düse sind jeweils örtliche Verluste und die Reibungsverluste werden gesondert berücksichtigt. Somit ergibt sich die Verlusthöhe laut Formel (2.4). Die Bezugsgeschwindigkeit v entspricht laut Definition der Geschwindigkeit nach dem lokalen Verlust [17]. v2 2 h V = ζ (2.4) 2 g Neben der Bezeichnung ζ für den einheitslosen Verlustbeiwert sind andere Variablennamen gebräuchlich. Dieser Wert wird in der Literatur teilweise als α oder auch als ZET A bezeichnet. In weiterer Folge wird für den einheitslosen Verlustbeiwert die Bezeichnung xi-wert verwendet. Zusätzlich wird der Beiwert ZET A eingeführt. Der Zusammenhang erfolgt über die Verlusthöhe und ist in Formel (2.5) und (2.10) dargestellt.

26 14 Kapitel 2 Grundlagen Der ZET A-Wert dient als Eingangsvariable für die TIWAG-interne Software zur Berechnung von Wasserschlossschwingungen. h V = xi v g = ZET A Q2 (2.5) Mittels Gleichsetzen der Formel (2.5) und (2.3) kann der Verlustbeiwert ermittelt werden. Die Erdbeschleunigung kann unter der Annahme der horizontalen Lage gekürzt werden. v2 2 p1 p2 xi = hv = 2 g ρ g + v2 1 v2 2 (2.6) 2 g ( p1 p 2 xi = ρ + v2 1 v ) 2 v 2 2 (2.7) Die Formel (2.7) ist die Grundlage für die Bestimmung des Verlustbeiwertes, indem die Druckdifferenz p und die Geschwindigkeitsdifferenz v bestimmt werden. Dies kann durch physikalische Modellversuche, aber auch durch numerische Simulationen erfolgen. Entsprechende Ergebnisse aus der Messung und Simulation für die untersuchten Düsen sind in Kapitel 5 zusammengefasst Optimierungsziel Der Zielwert der vorliegenden Untersuchungen ist die Ermittlung der richtungsabhängigen Verlustbeiwerte xi AB und xi AUF für die gewählten Düsen. Die Bestimmung kann als erste Näherung aus Tabellen entnommen werden (Kapitel 2.5). Für die Quantifizierung einer nicht standardisierten Düse ist eine entsprechende Untersuchung empfehlenswert. Dies kann durch einen physikalischen Modellversuch (Kapitel 4) oder durch numerische Simulationen (Kapitel 3) erreicht werden. Der Vergleich der Ergebnisse für die gewählten Düsen ist in Kapitel 5 dargestellt. Für die Wasserschlossschwingung ist als Optimierungswert ein entsprechendes Verhältnis λ AbAuf laut Formel (2.8) einzuhalten. Je nach gewählter Geometrie kann dieser Wert von 1/1 für eine symmetrische Blende bis hin zu einem Verhältnis der einheitslosen Beiwerte von 1/50 (z.b. KW Kaunertal Bestand, [121]) reichen. Diese hohen Werte können nur mit Rückstromdrossel erreicht werden, welche durch starke Wirbelbildungen im Abschwingen einen extremen Verlustbeiwert erzeugen ([47],[59]). Für die Neuplanung der Düse ist ein Wert für λ AbAuf > 2, 5 einzuhalten. Dabei handelt es sich um eine Vorgabe der TIWAG, welche sich aus den Vorbemessungen und den Rahmenbedingungen der zu erweiternden Bestandsanlage ergibt. ZET A AB ZET A AUF = λ AbAuf (2.8) Die Bestimmung dieses Verhältnisses erfolgt durch Umrechnung des xi-wertes aus der Formel (2.7) in den ZET A-Wert unter der Zuhilfenahme der Beziehung in Formel (2.9). Q = v (2.9) A

27 2.1 Gleichungen 15 xi = ZET A 2 g A 2 (2.10) Basierend auf den Formel (2.8) und (2.10) kann das Verhältnis λ AbAuf in Abhängigkeit von xi beschrieben werden. ZET A AB = λ AbAuf ZET A AUF (2.11) xi AB 2 g A 2 UK xi mit : ZET A = 2 g A 2 xi AUF = λ AbAuf 2 g A 2 Schacht xi AB 2 g A 2 UK = λ AbAuf xiab = λ xi AUF 2 g A 2 AbAuf Schacht xi AUF A 2 UK A 2 Schacht (2.12) xi AB xi AUF r4 Schacht r 4 UK = λ AbAuf (2.13) Rückrechnung der Druckdifferenz Auf Grund der fixierten Geometrie und bei bekanntem Durchflusses ist die Geschwindigkeit im Schacht v Schacht und in der Unterkammer v UK durch das Kontinuitätsgesetz bestimmt. Die Druckdifferenz ist somit bei bekanntem Durchfluss die einzige Unbekannte, welche durch die Messung zu bestimmen ist. Diese Größe kann in Abhängigkeit des Durchflusses entweder numerisch (Kapitel 3) oder mit Hilfe eines physikalischen Modellversuches (Kapitel 4) ermittelt werden. Bei einem bekannten Verlustbeiwert kann die Beziehung aus Formel (2.14) für die Rückrechnung auf den zu erwartenden Druckunterschied p herangezogen werden. Dies kann unter anderem für die Prognose des Messbereiches für die Wahl des Messinstrumentes herangezogen werden, wird aber auch in der Auswertung (Kapitel 5) zur Rückrechnung des Verlustbeiwertes verwendet. p = p = (xi A p = p 1 p 2 ) ρ ( xi v2 2 2 v2 1 v2 2 2 A 2 1 A ) ρ Q 2 (2.14)

28 16 Kapitel 2 Grundlagen Energieausgleichswerte Die Bernoulli-Gleichung in Formel (2.1) bezieht sich auf die Stromfadentheorie. Im Zuge der Energiebetrachtung können Abweichungen von dieser Modellannahme zur Realität erkannt werden. Um diese zu korrigieren, werden ausgehend von der Formel (2.1) zwei zusätzliche Beiwerte (Korrektionsfaktoren [33], kinetic energy flux coefficient [135]) in die Gleichung aufgenommen (Formel (2.15)). h E,1 = α h k,1 + β (z 1 + h D,1) ( ) v1 2 h E,1 = α 2 g + β z 1 + p1 ρ g (2.15) Für diese Korrektur wird der Geschwindigkeitshöhenausgleichswert α definiert, welcher sich auf die kinetische Energie bezieht. Den zweiten Wert stellt der Druckhöhenausgleichswert β für die potentielle Energie dar. Letzterer tritt bei gekrümmten Strömungen auf. Ein Beispiel für einen nicht vernachlässigbaren Einfluss des Wertes β ist ein unterströmtes Schütz. Im Regelfall ist diese Abweichung sehr gering und der Beiwert β wird auf 1 gesetzt ([17], [45]). Dem Gedankenmodell des Stromfadens wird eine konstante Verteilung der Geschwindigkeit über den gesamten Querschnitt zu Grunde gelegt. Reale Rohrströmungen weisen hingegen eine Geschwindigkeitsverteilung v(y) auf, die im Idealfall rotationssymmetrisch ist. Über den Vergleich der kinetischen Energien W kin ergibt sich der Beiwert α laut Formel (2.16) [17]. α = W kin real W kinmittel = 1 v 3 A A v 3 (y) da (2.16) Ausgehend von der Formel (2.16) kann die Geschwindigkeitsverteilung v(y) in den Mittelwert v und einen Term v unterteilt werden. Daraus ergeben sich laut [45] die Beziehungen in Formel (2.17). Im Fall der numerischen Berechnung ist die Geschwindigkeitsverteilung je Zelle bekannt und es wird die Formel (2.16) verwendet. v(y) = v + v, mit A v da = 0 α = A v 2 A v 2 da + 1 A v 3 A v 3 da (2.17) Für Freispiegelabflüsse kann der Beiwert auf 1, 03 α 1, 15 [-] gesetzt werden [33]. Im laminaren Fall kann eine quadratische Verteilung angenommen werden, welche vom Abstand zur Achse y abhängig ist. Die Geschwindigkeit in der Rohrmitte y = 0 entspricht dabei v max und nimmt bis zur Außenwand y = r, wie in der Formel (2.18) beschrieben, ab. Bei laminaren Strömungen erreicht der Beiwert sein Maximum α lam = α max = 2 [-] [17]. v(y) ( y ) 2 = 1 (2.18) v max r

29 2.1 Gleichungen 17 Bei der Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Strömungen hat die Wandreibung einen entscheidenden Einfluss auf die Form. Die Verteilung ergibt sich laut Formel (2.19) unter der Berücksichtigung des Reibungsbeiwertes λ [17]. Der Beiwert übersteigt im turbulenten Fall laut [135] nur selten den Wert von 1,2 [-] [135]. Die Grenzen für die turbulente Rohrströmung wird bei anderen Autoren auf 1, 03 α 1, 3 [-] erweitert [93]. Werte in der Größenordnung von 3 [-] [112] oder sogar 4 [-] [135] können im Zusammenhang mit Diffusoren auftreten. v(y) 0, 884 λ = 1 + (1 v max 1 + 1, 326 λ ln y ) (2.19) r Durch Einbauten oder Richtungsänderungen können zusätzliche ungleiche Verteilungen auftreten. Als Beispiel kann der an der TU Graz untersuchte Y-Bifurcator (Tab. 1.2) angeführt werden. Die durch den 42 -Bogen erzeugte Sekundärströmung erhält sich bis zur Aufteilung in die zwei abgehenden Rohrleitungen. Ein weiteres Beispiel ist die Untersuchung der Trennpfeiler im Einlauf von Rohrturbinen (TU München). Dabei wird der Parameter α als Qualitätskriterium für die Anströmung der Rohrturbine verwendet (je kleiner, desto besser) [45]. Das reale Geschwindigkeitsprofil kann experimentell mit Hilfe von Particle Image Velocimetry (PIV)-Messungen ermittelt werden ([24] mit Verweis auf [107]). Neben einer Messung (am Modell) kann die Verteilung numerisch ermittelt werden. Der Vergleich der numerisch und physikalisch ermittelten Beiwerte zeigt eine gute Übereinstimmung [24]. Die Übertragbarkeit des Geschwindigkeitsprofil aus dem Modellversuch in den Naturmaßstab ist gesondert zu betrachten. Die praktischer Erfahrung zeigt, dass es doch zu deutlichen Abweichungen kommen kann. Eine mit dem Labor vergleichbare Messung in der Natur durchzuführen ist aber nur sehr selten möglich. In Kapitel wird der Beiwert α in Abhängigkeit von der Entfernung der Auswerteebene vom Krümmer inklusive Düse für die Referenzberechnung (Kapitel 3.2.6) untersucht. Da für den Modellversuch keine entsprechenden aussagekräftigen Messungen vorliegen, wird beim Vergleich auf die Anwendung des Beiwertes α verzichtet. Für die Anpassung der theoretischen Annahme mit den ermittelten Werten für p und Q wird der Einfluss des Beiwertes α in Kapitel aber berücksichtigt.

30 18 Kapitel 2 Grundlagen 2.2 Wahl der verwendeten Software Die grundlegende Fragestellung vor der Wahl der Software ist die Entscheidung zwischen einem kommerziellen und einem akademischen Code. In die engere Auswahl kamen folgende kommerzielle 3D-numerische Softwarelösungen, welche alle als akademische Version für Lehre und Forschung an der Universität Innsbruck zur Verfügung stehen: ˆ FLOW-3D ˆ ANSYS-CFX Die Software FLOW-3D [30] wird seit Jahren erfolgreich in Lehre und Forschung eingesetzt (z.b. [19], [36], [137]). Neben klassischen Themen, wie der Optimierung von Turbinenanströmungen ([39], [37]), wurden auch komplexere Probleme mit dieser Software gelöst. Zum Beispiel wurden in Speicher einstoßende Lawinen und die dadurch induzierten Impulswellen simuliert([41], [42]). Die Vorteile der Software liegen besonders in der Simulation von Freispiegelabflüssen. Ein deutlicher Nachteil ist aber die Einschränkung auf rechteckige Gitter. Die dadurch fehlende Flexibilität führte zum Ausscheiden der Software. Für die nachfolgend beschriebenen Berechnungen wurde daher die kommerzielle Softwarelösung ANSYS-CFX verwendet. Dabei war neben den vielfältigen Vernetzungsmöglichkeiten und dem stabilen Solver auch die einfache Möglichkeit der Koppelung mit anderen Softwarelösungen - Fluid Structure Interaction (FSI) - maßgebend für die Entscheidung. Zusätzlich wurden erfolgreiche Vergleiche der Software mit Laborexperimenten für ANSYS-CFX veröffentlicht. Beispielhaft finden sich Arbeiten mit Vergleichen an Krümmern [114], einer Sprinklerdüse [49] und kombinierten Rohrund Freispiegelabflüssen (z.b. Vereinigungsschacht von Kanälen [143], getreppte Gerinne [92] mit Verweis auf [104], austretender Wasserstrahl in ein Becken [64]). Neben den vom Hersteller zur Verfügung gestellten Unterlagen (exemplarisch: [5], [6]) findet sich entsprechende Fachliteratur, die sich teilweise sehr intensiv mit ANSYS-CFX beschäftigt ([81], [82], [98]). Im Zuge einer Diplomarbeit [108] wurden drei bestehende Modellversuche von verschiedenen Drosseln der TIWAG mit ANSYS-CFX Version 11 exemplarisch nachgerechnet. Die Ergebnisse für eine untersuchte Rückstromdrossel (KW Kaunertal, Bestand) und zwei Düsendrosseln (KW Sellrain-Silz und KW Strassen-Amlach) konnten die Leistungsfähigkeit der Software unter Beweis stellen. Damit konnte eine grundlegende Validierung, wie in [98] empfohlen, durchgeführt werden. Ausschlaggebend für die Wahl der Software war ab der Version 12 bzw die sehr vielfältige Möglichkeit der automatisierten Berechnung durch die Einbindung in die ANSYS-Workbench (WB). Die dadurch weitestgehend vereinfachte Datenverwaltung ist bei größer angelegten Variationsberechnung von Vorteil. Der Wechsel auf die aktuelle Version 13 (Herbst 2011) brachte eine deutliche Verbesserung der Netzerstellung mit sich, was eine deutliche Steigerung der Netzqualität ermöglicht hat.

31 2.3 Abschätzung des Einflusses der Geometrieänderung Abschätzung des Einflusses der Geometrieänderung Übersicht Der Wahl der zu untersuchenden Düsen (Kapitel 2.4) wird eine Abschätzung des Einflusses der Geometrie auf die Verlustbeiwerte vorangestellt. Der Krümmer wird dabei vernachlässigt und der Anströmbereich begradigt. Dadurch ist es möglich, die Untersuchungen an einem Segmentmodell mit einem Öffnungswinkel von 12 durchzuführen. Dies hat bedingt durch die kurzen Rechenzeiten den Vorteil, dass deutlich mehr Variationen der Geometrie untersucht werden können. Das Vorgehen hat sich im Zuge der Untersuchung 2010 [40] als zielführend erwiesen. Die Ergebnisse wurden in [35] veröffentlicht. Die Variation der maßgebenden Parameter wird für das verkleinerte Modell im Modellmaßstab 2 nochmals untersucht. Folgende Parameter werden variiert (Beschreibung siehe Abbildung 2.9): ˆ RS1 - Radius des kleinsten Durchmessers der Düse (Kapitel 2.3.2) ˆ RS2 - Variation des Öffnungswinkels der beiden Segmente der Düse (Kapitel 2.3.3) ˆ LS0 - Länge des Totraums (Kapitel 2.3.4) ˆ LSges = LS1 + LS2 - Variation des Abstandes zwischen den definierenden Radien (Kapitel 2.3.5) RS1 - kleinster Querschnitt Ausgangspunkt ist die Düsengeometrie D1 (Tab. 2.5). Der kleinste Radius RS1 ist der maßgebende Parameter, welcher bei beiden Strömungsrichtungen einen entscheidenden Einfluss auf den Verlustbeiwert hat. Deshalb wird unabhängig von eventuellen baulichen Rahmenbedingungen und Stabilitätskriterien (z.b. Thoma [131]) der Parameter RS1 variiert (untere und oberer Grenze siehe Abb. 2.1, Ergebnisse Abb. 2.2 und Tab. 2.1). Dabei wird als zweiter Fixpunkt für die lineare Verbindung der Radius RS3 festgehalten. Diese Abmessung ist durch den Krümmer fixiert und wird deshalb nicht variiert. Somit ist die nachfolgende Variation nicht direkt mit der Variation des Parameters aus [40] vergleichbar, da dabei die Abmessung des zweiten Querschnitts fixiert und somit nur das letzte Segment angepasst wurde. Die Variation des kleinsten Durchmessers der Düse wird ausgehend von der Düse D1 mit den Düsen D3 und D4 überprüft. 2 Alle Angaben zu Längen im nachfolgenden Kapitel beziehen sich auf das Modell und sind somit als [mm (M) ] zu verstehen.

32 20 Kapitel 2 Grundlagen (a) Untere Grenze (b) Obere Grenze Abb. 2.1: Visualisierung des Parameters RS1 Abb. 2.2: Variation des Parameters RS1 bei einer geraden Düse, Düsen D1, D3 und D4 siehe Tab. 2.1 Die Auswertung in Abbildung 2.2 zeigt, dass die Verlustbeiwerte beider Fließrichtungen einen ähnlichen Verlauf aufweisen. Durch die unterschiedlichen Bezugsquerschnitte (Schacht oder Unterkammer) ergeben sich bei gleichem Durchfluss unterschiedliche Geschwindigkeiten. Dadurch ergibt sich auch bei annähernd gleich großen Verlustbeiwerten unterschiedliche Verlusthöhen (Formel (2.4)) und somit unterschiedliche λ AbAuf -Verhältnisse.

33 2.3 Abschätzung des Einflusses der Geometrieänderung 21 Tab. 2.1: Tabelle zu Abbildung 2.2 RS1 xi AB xi AUF λ AbAuf Düse RS1 xi AB xi AUF λ AbAuf 50 36,99 38,62 2,34 62,05 11,70 12,06 2, ,83 34,78 2,37 62,25 11,45 11,85 2, ,90 31,50 2,40 62,5 11,25 11,58 2, ,09 28,59 2,40 62,75 10,93 11,35 2, ,46 25,95 2,39 D ,68 11,06 2, ,87 23,43 2,38 63,25 10,43 10,82 2, ,00 21,26 2,41 63,5 10,19 10,58 2, ,04 19,32 2,41 63,75 9,96 10,34 2, ,37 17,62 2, ,70 10,13 2, ,86 16,03 2, ,97 9,25 2, ,17 14,53 2, ,21 8,45 2,37 60,25 13,84 14,30 2, ,47 7,68 2,38 60,5 13,54 14,04 2, ,79 7,05 2,35 60,75 13,23 13,65 2, ,16 6,45 2, ,90 13,39 2,35 D3 70 5,59 5,92 2,31 61,25 12,57 13,03 2, ,08 5,42 2,29 61,5 12,27 12,76 2, ,57 4,94 2,26 61,75 11,99 12,49 2, ,15 4,54 2,23 61,95 11,74 12,18 2, ,75 4,14 2, ,68 12,12 2,35 D1 75 3,37 3,82 2, RS2 - nächstgrößerer Durchmesser In einem weiteren Schritt wird die Abmessung des Parameters RS1 mit 62 mm fixiert und nur der Radius RS2 verändert. Die obere und unterer Grenze ist in Abbildung 2.3 ersichtlich. Die Ergebnisse der Variation werden in Abbildung 2.4 und Tabelle 2.2 dargestellt. Bei den als Düse D1 markierten Werten handelt es sich um eine Näherung (Vermeidung der Vereinigung der beiden Kanten im automatisierten Durchlauf). Die Düse D2 entspricht der Vorbemessung aus [40]. Für die Düsen D5 und D6 wird der Radius verringert bzw. erweitert. Aus den Ergebnissen ist ersichtlich, dass der Radius RS2 einen eher geringen Einfluss auf das Abschwingverhalten hat. Der Aufschwingwiderstand wird im Gegensatz dazu sehr stark beeinflusst. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, über diesen Parameter das Verhältnis λ AbAuf bei einem nahezu fixen Abschwingverhalten anzupassen.

34 22 Kapitel 2 Grundlagen (a) Untere Grenze (b) Obere Grenze Abb. 2.3: Visualisierung des Parameters RS2 Abb. 2.4: Auswertung der Variation des Parameters RS2, Düsen D1, D2, D5 und D6 siehe Tab. 2.2

35 2.3 Abschätzung des Einflusses der Geometrieänderung 23 Tab. 2.2: Tabelle zu Abbildung 2.4 RS2 xi AB xi AUF λ AbAuf Düse RS2 xi AB xi AUF λ AbAuf 62 11,54 10,19 2,77 66,3 11,95 12,52 2,33 62,5 11,61 10,41 2,72 66,4 11,92 12,57 2, ,64 10,72 2,65 66,5 11,93 12,63 2,31 63,5 11,77 10,98 2,62 66,6 11,96 12,68 2, ,77 11,24 2,56 66,7 11,97 12,74 2,29 64,5 11,77 11,53 2,49 66,8 11,98 12,79 2, ,89 11,80 2,46 66,9 12,02 12,86 2,28 65,1 11,90 11,86 2, ,99 12,91 2,27 65,2 11,89 11,91 2,44 67,5 12,05 13,19 2,23 65,3 11,86 11,95 2,42 D ,08 13,54 2,18 65,4 11,87 12,00 2,41 68,5 12,07 13,72 2,15 65,5 11,88 12,07 2, ,13 14,10 2,10 65,59 11,87 12,10 2,40 D1 69,5 12,19 14,32 2,08 65,7 11,95 12,18 2,40 D2 69,99 12,17 14,50 2,05 65,8 11,90 12,25 2,37 70,5 12,16 14,74 2,02 65,9 11,87 12,30 2,36 D ,23 15,45 1, ,96 12,36 2, ,35 16,42 1,84 66,1 11,97 12,41 2, ,30 17,18 1,75 66,2 11,98 12,46 2, ,28 18,24 1, ,37 18,99 1, LS0 - Länge des Totraums Die Untersuchungen im Zuge des Forschungsprojektes [40] haben gezeigt, dass der Parameter LS0 in einem gewissen Bereich einen deutlichen Einfluss auf das Abschwingverhalten der Düse hat. Um diesen Effekt nachzuweisen, wird für die Düsen D7 und D8 Soll 3 der äußere Bereich der Düse verringert. Der Ausgangswert für die Düse D1 liegt bei 20 mm. Die Grenzen der Variation sind in Abbildung 2.5 dargestellt und die Auswertung in Abbildung 2.6 inklusive der Tablle 2.4 zeigen die Ergebnisse der Berechnungen. 3 Bedingt durch einen Fehler in der Herstellung der Düsen für den Modellversuch ergibt sich eine Abweichung der untersuchten von der geplanten Düse D8 Soll (Kapitel 2.4.2).

36 24 Kapitel 2 Grundlagen (a) Untere Grenze (b) Obere Grenze Abb. 2.5: Visualisierung des Parameters LS0 Abb. 2.6: Auswertung der Variation des Parameters LS0, Düsen D1, D7 und D8 siehe Tab. 2.3

37 2.3 Abschätzung des Einflusses der Geometrieänderung 25 Tab. 2.3: Tabelle zu Abbildung 2.6 LS0 xi AB xi AUF λ AbAuf Düse LS0 xi AB xi AUF λ AbAuf 50 11,86 12,12 2,39 5,6 11,68 12,24 2, ,89 12,11 2,40 5,5 11,61 12,24 2, ,94 12,13 2,40 5,4 11,66 12,24 2, ,90 12,11 2,40 5,25 11,70 12,18 2, ,97 12,13 2,41 5,2 11,64 12,17 2, ,99 12,20 2, ,65 12,19 2, ,97 12,13 2,41 D1 4,9 11,65 12,19 2,33 19,5 11,96 12,15 2,40 4,8 11,66 12,19 2, ,88 12,22 2,38 4,75 11,63 12,19 2,33 18,5 11,95 12,12 2,41 4,7 11,62 12,21 2, ,94 12,12 2,41 4,6 11,57 12,21 2,31 17,5 11,90 12,15 2,39 4,5 11,55 12,22 2, ,95 12,13 2,41 4,4 11,59 12,22 2,32 16,5 12,04 12,13 2,42 4,3 11,56 12,23 2, ,03 12,22 2,40 4,25 11,57 12,23 2,31 15,5 11,93 12,17 2,39 4,2 11,55 12,24 2, ,93 12,18 2,39 4,1 11,54 12,24 2,30 14,5 11,90 12,11 2, ,46 12,24 2, ,93 12,15 2,40 3,9 11,44 12,23 2,28 13,5 12,00 12,17 2,41 3,8 11,37 12,24 2, ,97 12,23 2,39 3,75 11,46 12,23 2,29 12,5 11,95 12,16 2,40 3,7 11,34 12,24 2, ,95 12,16 2,40 3,6 11,32 12,24 2,26 11,8 11,93 12,15 2,40 3,5 11,43 12,26 2,28 11,6 11,96 12,19 2,40 3,4 11,41 12,27 2,27 11,5 11,97 12,14 2,41 3,3 11,40 12,24 2,27 11,4 11,85 12,13 2,39 3,25 11,34 12,28 2,25 11,2 11,95 12,13 2,41 3,2 11,39 12,28 2, ,87 12,13 2,39 3,1 11,37 12,28 2,26 10,8 11,87 12,14 2, ,29 12,29 2,24 10,6 11,94 12,13 2,40 2,9 11,27 12,30 2,24 10,5 11,92 12,15 2,40 2,8 11,25 12,31 2,23 10,4 11,94 12,16 2,40 2,7 11,33 12,12 2,28 10,2 11,93 12,20 2,39 2,6 11,28 12,11 2, ,92 12,18 2,39 D7 2,5 11,30 12,12 2,27 9,8 11,95 12,24 2,38 2,4 11,22 12,18 2,25 9,75 11,94 12,21 2,39 2,3 11,24 12,17 2,25 9,6 11,94 12,19 2,39 2,2 11,24 12,17 2,26 9,5 11,91 12,18 2,39 2,1 11,07 12,23 2,21 9,4 11,87 12,20 2, ,13 12,23 2,22 9,25 11,87 12,21 2,37 1,9 11,01 12,19 2,21 9,2 11,87 12,17 2,38 1,8 11,11 12,20 2, ,91 12,21 2,38 1,7 11,01 12,18 2,21 8,8 11,94 12,26 2,38 1,6 10,96 12,33 2,17 8,75 11,86 12,24 2,37 1,5 11,01 12,34 2,18

38 26 Kapitel 2 Grundlagen 8,6 11,82 12,09 2,39 1,4 10,93 12,31 2,17 8,5 11,86 12,10 2,39 1,3 10,84 12,33 2,15 8,4 11,86 12,10 2,39 1,2 10,88 12,36 2,15 8,25 11,82 12,10 2,38 1,1 10,77 12,39 2,12 8,2 11,94 12,11 2, ,72 12,41 2, ,92 12,12 2,40 0,96 10,77 12,44 2,11 7,8 11,77 12,15 2,36 0,9 10,69 12,36 2,11 7,75 11,91 12,16 2,39 0,85 10,73 12,46 2,10 7,6 11,75 12,16 2,36 0,8 10,66 12,48 2,09 7,5 11,81 12,16 2,37 0,75 10,62 12,49 2,08 7,4 11,81 12,16 2,37 0,7 10,61 12,50 2,07 7,25 11,79 12,20 2,36 0,65 10,53 12,43 2,07 7,2 11,78 12,20 2,36 0,6 10,50 12,48 2, ,74 12,20 2,35 0,55 10,46 12,43 2,05 6,8 11,80 12,20 2,36 0,5 10,41 12,54 2,03 6,75 11,78 12,21 2,36 0,45 10,40 12,45 2,04 6,6 11,76 12,22 2,35 0,4 10,35 12,52 2,02 6,5 11,75 12,24 2,34 0,35 10,30 12,53 2,01 6,4 11,75 12,20 2,35 0,3 10,28 12,47 2,01 6,25 11,71 12,27 2,33 0,25 10,21 12,48 2,00 6,2 11,71 12,18 2,35 0,2 10,13 12,55 1, ,76 12,25 2,34 0,15 10,06 12,54 1,96 5,8 11,73 12,24 2,34 D8 Soll 0,1 10,00 12,44 1,96 5,75 11,60 12,21 2,32 LS0 xi AB xi AUF λ AbAuf Düse LS0 xi AB xi AUF λ AbAuf LS1 und LS2 - Länge der Düse Ausgehend von der Düse D1 wird die Länge der Düse LS ges = LS1 + LS2 variiert. Dabei wird der Radius RS1 mit 62 mm fixiert und entsprechend relativ zu RS3 verschoben. RS2 ergibt sich jeweils aus der direkten Verbindung zwischen den beiden anderen Querschnitten. Die untersuchten Grenzen sind in Abbildung 2.7 und die Auswertung in Abbildung 2.8 (Tab. 2.4) dargestellt. Die Düse D9 liegt nahe an der oberen Grenze.

39 2.3 Abschätzung des Einflusses der Geometrieänderung 27 (a) Untere Grenze (b) Obere Grenze Abb. 2.7: Visualisierung des Parameters LS ges Abb. 2.8: Auswertung der Variation von LS ges bei einer geraden Düse Düsen D1 und D9 siehe Tab. 2.4

40 28 Kapitel 2 Grundlagen Tab. 2.4: Tabelle zu Abbildung 2.8 LS ges xi AB xi AUF λ AbAuf Düse LS ges xi AB xi AUF λ AbAuf 60 12,55 13,79 2,22 100,5 11,89 12,13 2, ,38 13,62 2, ,94 12,12 2, ,44 13,51 2,25 101,5 11,93 12,10 2, ,45 13,47 2, ,87 12,07 2, ,42 13,43 2,26 102,5 11,83 12,07 2, ,47 13,35 2, ,84 12,04 2, ,49 13,34 2,29 103,5 11,82 12,09 2, ,40 13,25 2, ,90 12,01 2, ,42 13,21 2,30 104,5 11,93 12,00 2, ,39 13,14 2, ,87 12,01 2, ,34 13,12 2,30 105,5 11,85 12,02 2, ,28 13,11 2, ,79 12,00 2, ,34 13,12 2,30 106,5 11,80 11,97 2, ,35 13,00 2, ,84 12,05 2, ,34 12,94 2,33 107,5 11,77 11,98 2, ,28 12,95 2, ,85 12,00 2, ,20 12,84 2,32 108,5 11,83 11,96 2, ,18 12,88 2, ,74 11,96 2, ,18 12,90 2,31 109,5 11,76 11,93 2, ,21 12,74 2, ,75 11,91 2, ,26 12,70 2,36 110,5 11,70 11,91 2, ,21 12,68 2, ,80 11,98 2, ,21 12,64 2,36 111,5 11,72 11,91 2, ,12 12,60 2, ,72 11,86 2, ,15 12,59 2,36 112,5 11,72 11,87 2, ,13 12,55 2, ,74 12,00 2, ,09 12,48 2,36 113,5 11,72 11,89 2, ,15 12,48 2, ,74 11,87 2, ,06 12,45 2,37 114,5 11,71 11,93 2, ,07 12,45 2, ,72 11,85 2, ,12 12,41 2,38 115,5 11,69 11,86 2, ,00 12,37 2, ,70 11,80 2, ,03 12,37 2,38 116,5 11,70 11,81 2, ,06 12,31 2, ,67 11,79 2, ,98 12,30 2,38 117,5 11,68 11,82 2, ,98 12,27 2, ,63 11,78 2, ,94 12,22 2,39 118,5 11,62 11,77 2, ,95 12,21 2, ,62 11,79 2, ,93 12,21 2,39 119,5 11,65 11,75 2, ,90 12,14 2, ,65 11,74 2, ,86 12,12 2,39 D1 120,5 11,63 11,79 2,41 D ,63 11,76 2,41 121,5 11,60 11,75 2,41

41 2.4 Wahl der zu untersuchenden Düsen Wahl der zu untersuchenden Düsen Übersicht In Summe werden neun unterschiedliche Variationen der Düsengeometrie untersucht. Eine vereinfachte Skizze des Aufbaues ist in Abbildung 2.9 ersichtlich. Die Variation beschränkt sich dabei auf die beiden letzten Segmente. Die grün dargestellten Abmessungen (der Radius des Schachts und der Krümmer inklusive der beiden Enden DS3 und der Radius der Unterkammer) sind fixiert und werden nicht verändert. Die restlichen Längen und Radien beziehen sich auf die im hydraulischen Modell auswechselbare Düse. Diese Zusammenstellung der Abmessungen aller untersuchten Düsen findet sich in der Tabelle 2.5. Die Düse D1 dient als Ausgangsgröße. Abb. 2.9: Schema der Parameter für die Düse (Krümmer vereinfacht)

42 30 Kapitel 2 Grundlagen Tab. 2.5: Zusammenstellung Düsen - Angaben in [mm (M) ] D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 Soll D8 Ist D9 RS RS2 65, ,8 66, ,6 65,6 66,1 68,1 RS LS ,5 41 LS LS (g) (g) (g) (g) (g) (g) (g) Charakteristika der ausgewählten Düsen Bei der Düse D1 handelt es sich um die vereinfachte Form der im Zuge des Forschungsprojektes im Jahr 2010 [40] numerisch optimierten Düse. Bei dieser Düse wurde der Radius DS2 so gewählt, dass sich keine Kante ergibt. Das Segment 1 geht gerade und somit direkt in das Segment 2 über. Dadurch ergeben sich für beide Segmente die selben Öffnungswinkel. Alle Düsen, bei denen die Öffnungswinkel für das erste und zweite Segment übereinstimmen, sind in der Tabelle 2.5 mit der Bemerkung (g) gekennzeichnet. Um die Verlustbeiwerte für die Düse aus der Vorbemessung zu überprüfen, wurde die Düse D2 untersucht. Dabei handelt es sich um eine Form, bei der beide Segmente unterschiedliche Neigungen aufweisen, und somit ein Knick entsteht. Der Parameter DS1 ist der maßgebende Wert für den Aufschwing- und Abschwingwiderstand der Düse. Deshalb wurde ausgehend von der Düse D1 der kleinste Durchmesser untersucht. Für die Düse D3 wird der Radius um 1 mm verringert und für die Düse D4 um den gleichen Wert erhöht. Der Radius DS2 passt sich entsprechend an, so dass keine Neigungsänderung auftritt. Ausgehend von der Düse D2 wird für die Düsen D5 und D6 der Parameter DS2 jeweils um 2 mm verringert bzw. erhöht. Um den Einfluss des Totraums (Abb. 2.9) physikalisch nachweisen zu können, wird für die Düse D7 die Länge LS0 halbiert und in einem zweiten Schritt komplett auf 0 mm verkürzt (Düse D8 Soll ). Bei der letztgenannten Düse bleibt die Ausbildung des Stirnbereiches (Wandstärke normal auf die Richtung des letzten Segmentes, Skizze in Abb. 6.9 (b)) erhalten. Bei der Herstellung der Düse D8 für den Modellversuch kam es zu einem Zahlensturz, wodurch die Düse nicht mit einer Gesamtlänge von 100,4 sondern 104,0 mm hergestellt wurde. Dadurch ergibt sich eine Abweichung der Geometrie D8 Ist zur D8 Soll, welche in Kapitel 6.4 im Detail untersucht wird. Dies geschieht im Zuge der Untersuchung zur Sensitivität. Abschließend wird mit der Düse D9 die Ausgangsdüse D1 bei gleichem kleinsten Durchmesser gerade verlängert. Der Totraum weitet sich dabei entsprechend aus. Im Kapitel 7.4 werden die im Zuge der Wahl der Düsen erstellten Hypothesen mit den Ergebnissen des Modellversuchs und der numerischen Simulationen überprüft.

43 2.5 Tabellenwerte aus der Literatur Tabellenwerte aus der Literatur Konzept Um eine Abschätzung des Verlustbeiwertes zu erhalten, werden Tabellenwerte aus der Literatur herangezogen. Der Einfluss des Krümmers auf den Verlustbeiwert ist relativ gering [40] und wird somit für die Betrachtungen vernachlässigt. Das Konzept der geraden vereinfachten Düse wird auch in Kapitel 2.3 für die numerischen Abschätzungen des Geometrieeinflusses aufgegriffen. Um die Anwendbarkeit der Tabellenwerte zu ermöglichen, muss die Annahme getroffen werden, dass eine plötzliche und eine allmähliche Änderung der Geometrie zusammengefügt werden. Abb. 2.10: Vergleich zwischen (a) theoretischer Annahme und (b) tatsächlicher Geometrie Die Abbildung 2.10 stellt konzeptionell die vereinfachte Annahme (a) der tatsächlichen Geometrie (b) gegenüber. Diese Vereinfachung unterschätzt die Verlustbeiwerte. Die erhöhten Werte in der tatsächlichen Geometrie ergeben sich auf Grund einer Erweiterung der Ablösungen (Totwassergebiet [123]) und einer verstärkten Rückströmung. Diese wird vor der Düse durch die Auskragung und nach dem engsten Durchmesser durch die erneute Aufweitung induziert. Beides führt zu einer zusätzlichen Einschnürung des Querschnittes und damit zu größeren Verlusten ([35], [40]). Nachfolgend werden exemplarisch für die neun untersuchten Düsen einzelne maßgebende Tabellenwerte zusammengestellt. Eine systematische Auflistung der Literaturwerte findet sich im Forschungsbericht [40]. Die Geometrie der Düsen ist in Kapitel 2.4 beschrieben. Der Vergleich wird im Modellmaßstab durchgeführt (Kapitel 4, Abmessungen Tab. 4.4). Als Bezugsquerschnitte für die Verlustbeiwerte werden jeweils die Rohrquerschnitte nach der Düse herangezogen (Kapitel 2.1.1). Dazu ist es notwendig, den in Strömungsrichtung zuerst wirksamen Verlustbeiwert auf die abgehende Rohrleitung umzurechnen (Formel (2.21)).

44 32 Kapitel 2 Grundlagen Plötzliche Verengung - Abschwingen Um den Verlustbeiwert für eine plötzliche Verengung zu berechnen, wird beispielhaft Idelchik [63] herangezogen. Die als sudden contraction bezeichnete Änderung des Querschnittes wird laut Formel (2.20) berechnet. Der hieraus ermittelte Verlustbeiwert ist im Vergleich zu anderen Quellen größer, da neben der Verkleinerung des Querschnittes auch ein herausragendes Rohr ( Inlet edge sharp or thick [63]) berücksichtigt werden kann. Der dazugehörige einheitslose Parameter ζ wird mit maximal 0,5 angenommen. Da bei Kreisquerschnitten der hydraulische Durchmesser dem tatsächlichen Durchmesser entspricht [17], können die Flächen F 0 und F 1 direkt ersetzt werden. ( xi pv = ζ 1 F0 F 1 ) ( ) 0, 5 1 ADüse = 0, 5 A Schacht ( 0, 5 1 A2 [ 1 ( rdüse r Schacht A 1 ) ) 2 ] (2.20) Der Verlustbeiwert laut Formel (2.20) bezieht sich auf die Geschwindigkeit in der Düse v Düse und muss für den Vergleich auf die Geschwindigkeit in der Unterkammer v UK mit Hilfe der Verlusthöhe h V (Formel (2.5)) umgerechnet werden. Unter Berücksichtigung der Kontinuitätsgleichung ergibt sich ein Faktor 4 β UK für die Umrechnung (Formel (2.21)). xi pv = xi pv h V = xi pv v2 Düse 2 g = xipv v2 UK 2 g A 2 UK ruk 4 = xi A 2 pv = xi Düse rdüse 4 pv β UK (2.21) Alternativ zu dem Ansatz aus der Formel (2.20) kann der Borda-Verlust angesetzt werden. Dies entspricht der Wasserentnahme aus einem großen Speicher über eine Rohrleitung. Dabei reicht die Rohrleitung in das Becken hinein, sodass kein Einfluss von den Wänden zu erwarten ist. In der Literatur finden sich unterschiedliche Verlustbeiwerte für die Borda-Mündung, die je nach Ausformung von 0,6 bis 3,0 [-] [124] reichen können. Nachfolgend wird der Beiwert xi Borda =1,0 [-] laut Idelchik [63] für einen scharfkantigen Übergang als zweiter Ansatz verwendet. Dieser Wert muss ebenfalls laut Formel (2.21) auf v UK als Bezugsgeschwindigkeit für das Abschwingen umgerechnet werden. Für die drei unterschiedlichen Düsenradien der neun ausgewählten Düsen (Tab. 2.5) findet sich die Auswertung in Tabelle Plötzliche Erweiterung - Aufschwingen Für die plötzliche Erweiterung konnte eine breite Übereinstimmung der Autoren für die Berechnung des Verlustbeiwertes xi pe mit Hilfe der Formel (2.22) festgestellt werden. Dieser Übergang wird auch als Borda- oder Carnot-Stoß bezeichnet [124]. Die 4 Der Index des Faktors bezieht sich immer auf den Querschnitt, auf den umgerechnet wird.

45 2.5 Tabellenwerte aus der Literatur 33 Bezugsgeschwindigkeit ist v Schacht und somit ist keine weitere Umrechnung notwendig (exemplarisch: [110]). In Tabelle 2.6 ist die Formel (2.22) für die drei unterschiedlichen Düsenquerschnitte ausgewertet. xi pe = ( ) 2 A2 1 = A 1 [ ( ) ] 2 2 [ ( ) ] 2 2 d2 rschacht 1 1 (2.22) d 1 r Düse Tab. 2.6: Teilauswertung plötzliche Änderung r Düse = RS1 [mm] xi pv xi Borda β UK xi pv xi Borda xi pe 62 0, ,768 2,551 6,768 9, , ,222 2,751 7,222 10, , ,348 2,368 6,348 8, Allmähliche Verengung - Aufschwingen Eine allmähliche Rohrverengung wird auch als Konfusor bezeichnet. Für einen Öffnungswinkel (Formel (2.24)) von über 60 wird die Anwendung der plötzlichen Verengung empfohlen. Von 40 bis 60 findet sich der zugehörige Verlustbeiwer 0,06 [- ] und für unter 15 0,09 [-]. Zwischen 15 und 40 weist die Querschnittsveränderung den geringsten Verlustbeiwert von 0,04 [-] auf [17]. Die Zuordnung und Umrechnung ist in Tabelle 2.7 dargestellt Allmähliche Erweiterung - Abschwingen Die allmähliche Erweiterung wird auch als Übergangsdiffusor [133] bezeichnet. Für die exemplarische Auswertung werden die Angaben von Bohl & Elmendorf [15] verwendet. Die Formel (2.23) benötigt den Winkel ϕ, welcher dem Öffnungswinkel (Formel (2.24)) des Diffusores entspricht. ( ϕ ) xi ae = 3, 2 tan 4 2 ϕ = arctan tan ( ϕ ) ( ) 2 1 A1 (2.23) 2 A 2 [ ] Differenz der Radien 2 (2.24) Segmentlänge In der Tabelle 2.7 wird die Teilauswertung für jede Düse aufgelistet. Die Umrechnung auf die Bezugsebene erfolgt für jedes gesondert betrachtete Segment. Die Ermittlung erfolgt exemplarisch für die allmähliche Verengung der Düse D6 in Formel (2.25). Die Länge zwischen der Unterkammer und dem Beginn der Düse wird näherungsweise

46 34 Kapitel 2 Grundlagen mit 160 mm (M), was 4 m (N) (Kapitel 4.2) entspricht, angenommen. Dieser Bereich entspricht dem Verzug durch den Krümmer und wird in der Tabelle 2.7 in der letzten Zeile berechnet. Dieser Wert ist für alle neun untersuchten Düsen ident. (a) Axonometrie (b) Ansicht Abb. 2.11: Öffnungswinkel Düse D2 Segment 1 + Segment 2 + RS3UK = D6, all. Verengung 0, , , 536 = 2, 345 [ ] (2.25) Tab. 2.7: Teilauswertung allmähliche Änderungen von auf Länge ϕ Faktor xi ae Faktor xi av Düse [mm] [mm] [mm] [ ] β UK [ ] β Schacht [ ] D ,41 2,441 0,146 16,522 1,487 D ,60 4,165 0,197 16,522 0, ,25 2,441 0,032 10,168 0,915 D ,52 2,441 0,172 17,633 0,705 D ,30 2,441 0,123 15,498 0,620 D ,40 4,677 0,095 16,522 0, ,06 2,441 0,056 11,418 0,457 D ,13 3,721 0,335 16,522 0, ,42 2,441 0,016 9,085 0,818 D ,41 2,441 0,146 16,522 0,661 D8 Ist ,5 19,73 2,441 0,140 16,522 0,661 D ,92 2,441 0,115 16,522 0,661 RS3UK ,25 1,000 0,031 5,960 0,536

47 2.5 Tabellenwerte aus der Literatur Auswertung In der Tabelle 2.8 sind die Angaben der Literatur zusammengestellt. Dabei werden die Werte für die plötzlichen Änderungen aus Tabelle 2.6 übernommen. In diesem Zusammenhang sind für die Bestimmung des Verlustbeiwertes der kleinste Querschnitt der Düse und der des Schachtes die bestimmende Größe. Der Schacht ist mit dem Durchmesser von 250 mm fixiert. Der kleinste Radius RS1 der Düse (Abb. 2.9) liegt im Regelfall bei 62 mm und wird für die Düse D3 auf 61 mm und für die Düse D4 auf 62 mm verändert. Für die plötzliche Verengung werden beide Ansätze angeführt. Die Spalten der Tabelle 2.8 für die allmähliche Änderung ergeben sich aus der Summe der einzelnen Werte aus Tabelle 2.7. Beispielhaft für die Düse D6 ergibt sich aus der Summe laut Formel (2.25) der Wert für die allmähliche Verengung dieser Düse. Tab. 2.8: Zusammenstellung der xi-werte [-] aus der Literatur plötzliche Änderung allmähliche Zwischen Verengung Borda Erweiterung Verengung Erweiterung D1 2,551 6,768 9,393 2,023 0,177 D2 2,551 6,768 9,393 2,443 0,260 D3 2,751 7,222 10,234 1,242 0,203 D4 2,368 6,348 8,625 1,156 0,154 D5 2,551 6,768 9,393 1,654 0,182 D6 2,551 6,768 9,393 2,345 0,381 D7 2,551 6,768 9,393 1,197 0,177 D8 Ist 2,551 6,768 9,393 1,197 0,171 D9 2,551 6,768 9,393 1,197 0,146 Gesamt RS1 RS2 xi Ab xi Ab,Borda xi Auf D1 62 (g) 2,728 6,944 11,416 D ,811 7,027 11,836 D3 61 (g) 2,954 7,425 11,476 D4 63 (g) 2,522 6,502 9,781 D ,733 6,949 11,047 D ,933 7,149 11,738 D7 62 (g) 2,728 6,944 10,590 D8 Ist 62 (g) 2,722 6,938 10,590 D9 62 (g) 2,697 6,914 10,590 In Kapitel 7.3 werden die Werte aus der Literatur nochmals aufgegriffen und den numerischen und physikalischen Ergebnissen gegenübergestellt.

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49 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation 3.1 Konzept Der numerische Teil der Untersuchung gliedert sich in drei Bereiche: ˆ Konzeptionelle Berechnungen Druckstoßberechnung für die Bemessung der Rohrleitungen (Hydraulic System) Abschätzungen Materialstärken des Krümmers,... ˆ Voruntersuchungen Abschätzung des Einflusses der Geometrieänderung (Kapitel 2.3) Wahl der untersuchten Düsenform (Kapitel 2.4) ˆ Vergleichsrechnungen (Kapitel 5) ˆ Skalierung Naturmaß (Kapitel 8) Für die konzeptionellen Berechnungen wurde die Software Hydraulic System (HS) der École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) [20] verwendet. Sie werden zur Dimensionierung des Modellversuches (Kapitel 4) herangezogen. In weiterer Folge wird darauf nicht weiter eingegangen. Die numerischen Untersuchungen werden mit der Software ANSYS-CFX (Kapitel 2.2) durchgeführt. Mit der Variation der Geometrie in Kapitel 2.3 wird die Wahl der zu untersuchenden Düsen (Kapitel 2.4) vorbereitet. Diese Berechnungen werden im Modellmaßstab mit dem vereinfachten Segmentmodell durchgeführt. In den nachfolgenden Abschnitten werden die Teilaspekte vom Aufbau bis hin zur Verifikation der numerischen Berechnungen der Düsen inklusive des Krümmers (Kapitel 3.4) behandelt. Die Ergebnisse der Untersuchung werden in Kapitel 5 mit denen des Modellversuches (Kapitel 4) zusammengeführt. Um den Vergleich zu erleichtern, werden alle Berechnungen im Modellmaßstab durchgeführt. Im Kapitel 8 erfolgt nach der Kontrolle eine exemplarische Umlegung auf das Naturmaß.

50 38 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation 3.2 Aufbau der numerischen Untersuchung Physikalische Prozesse Neben dem allgemeinen Literaturstudium bieten Bücher, in denen Strömungen visualisiert sind (z.b. [115],[134]), eine gute Einführung in die zu untersuchende Problemstellung. Die Strömung durch eine Düse und der austretende Strahl sind stark verwirbelt. Eine entsprechende Turbulenzmodellierung ist somit unumgänglich (Kapitel 3.2.4). Als Rahmenbedingung für die Berechnung wird vorausgesetzt, dass das gesamte untersuchte Modell immer komplett gefüllt ist. Teilfüllungen werden auch im physikalischen Modell nicht untersucht. Das Modell wird liegend (horizontal) betrieben. Dadurch vereinfacht sich die zu Grunde liegende Formel (2.7) durch den Wegfall der Erdbeschleunigung g. Es wird für die nachfolgenden Untersuchungen die Annahme getroffen, dass der Einfluss der Gewichtskraft bedingt durch die horizontale Lage des Modellversuches so gering ist, dass sie in der Numerik vernachlässigt werden kann. Eine Teilfüllung des Systems wird nicht untersucht. Dadurch ist es möglich, den Modellversuch auf eine Einphasenströmung (single phase flow) in einer geschlossenen Rohrleitung zu reduzieren. Es wird zusätzlich die Annahme getroffen, dass nur vorher definierte Zustände des Modells (Kapitel 4.5.5) stationär betrachtet werden. Des weiteren wird davon ausgegangen, dass das Wasser inkompressibel ist. Erst ab Drücken über 500 bar hat die Kompressibilität des Wassers einen deutlichen Einfluss [124]. Die in ANSYS-CFX standardmäßig eingestellten Fluideigenschaften für Wasser werden übernommen. Die Dichte ist dabei mit 997 kg/m 3 fixiert. Die Geometrie der untersuchten Düsen ist rotationssymmetrisch. Für das System mit Krümmer kann eine Symmetrieebene definiert werden. Durch Instabilitäten des austretenden Strahls besteht die Möglichkeit, dass sich trotz rotationssymmetrischer Geometrie im Schacht asymmetrische Ablösungsgebiete mit unterschiedlicher Lage ergeben können [25]. Das Anlegen eines Strahls an die Wand wird auch als Coanda- Effekt 5 bezeichnet. Um eine kürzere Rechenzeit zu erreichen, wird dennoch nur ein Halbmodell berechnet. In Kapitel wird dieser Annahme das Vollmodell gegenübergestellt Geometrie und Netz Für die numerische Berechnung wird der Wasserkörper modelliert. Die Rohrleitungen und die Düse (Abb. 3.1 (a)) werden nicht in die CFD-Software übernommen. Die Geometrie des Krümmers wird als Fixkörper aus der CAD-Software Rhinoceros in 5 Der Coanda-Effekt beschreibt den Unterdruck, der sich durch den turbulenten Austausch des Impulses mit der ruhenden Flüssigkeit in Wandnähe ergibt. Dadurch wird der Strahl tendenziell zur Wand hingezogen [28].

51 3.2 Aufbau der numerischen Untersuchung 39 die ANSYS-Workbench (WB) übernommen. Die Düse wird, wie auch die anschließenden Rohrleitungen, im ANSYS-Design Modeller (DM) direkt erstellt. Dadurch kann gewährleistet werden, dass die Düse voll parametrisiert ist und entsprechend einfach angepasst werden kann (Abb. 3.1 (b)). Dieser grundlegende Aufbau entspricht der Umsetzung im Modellversuch (Kapitel 4.3.1). Die Netzerstellung, welche in Abbildung 3.1 (c) exemplarisch dargestellt ist, erfolgt mit dem Meshing-Tool der WB. In Kapitel wird der Aufbau im Detail beschrieben. (a) Geometrie Modellversuch (b) Geometrie Wasserkörper - DM (c) Netz des Wasserkörpers (d) Randbedinungen Pre-Processing Abb. 3.1: Numerische Simulation - Übersicht Randbedingungen und Modellabgrenzung Neben der Wahl der Grundgleichungen ist die Definition des Berechnungsgebietes notwendig. Der Einfluss der außerhalb des berechneten Modells liegenden Bereiche wird mit Hilfe von Randbedingungen erreicht. Dazu ist eine Abgrenzung des Systems notwendig. Eine vollständige Berechnung des Wasserkreislaufes des Modellversuchs (Kapitel 4) ist prinzipiell möglich. Der Aufwand für die Simulation der Pumpe und der gesamten Rohrleitung ist aber extrem hoch und bringt kaum einen Wissensgewinn für das Untersuchungsgebiet.

52 40 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation In beiden Fließrichtungen schließen an den Krümmer mindestens 12 m lange gerade Rohrleitungen an. Dadurch kann angenommen werden, dass die Strömungsverteilung im Ab- und Zulauf sich vergleichmäßigt hat. Eine Reduktion des untersuchten Bereiches ist damit zulässig. Es ist aber darauf zu achten, dass die Ränder so weit von der zu untersuchenden Geometrie entfernt sind, dass sich keine Beeinflussung auf das Untersuchungsgebiet ergibt. Dieser Abstand ist beim Einströmrand notwendig, damit sich das charakteristische Geschwindigkeitsprofil aufbauen kann. Beim Ausströmrand ist darauf zu achten, dass er wiederum so weit entfernt ist, dass keine Strömungseffekte (zum Beispiel Rückströmung nach einer Querschnittsänderung) abgeschnitten werden [25]. Für die nachfolgenden Berechnungen wird für den Lastfall Abschwingen nur ein Ausschnitt von 1,6 m (Anströmen, Schacht) zu 6,4 m (Abströmen, Unterkammer) betrachtet. Für das Aufschwingen (Abb. 3.1 (d)) wird das Modell auf eine Länge von 1,5 m als Entfernung vom Einströmrand (Unterkammer) sowie auf 5 m im Schacht reduziert. Diese Längen wurden im Zuge des Forschungsprojektes [40] optimiert und sind vom Schnittpunkt der beiden Rohrachsen aus definiert. Folgende Randbedingungen werden verwendet: ˆ Einlauf (Inflow - Mass Flow Rate) mit vorgegebenem Durchfluss Q Soll ˆ Auslauf (Outflow - Static Pressure) mit vorgegebenem Druck P Soll ˆ Wand (Wall - Smooth Wall) für alle Übergänge zu Bauteilen ˆ Symmetrie (Symmetry) zur Reduktion des Untersuchungsbereiches Die gewählte Kombination des Ein- und Auslaufes kann hinsichtlich ihres numerischen Verhaltens als sehr stabil bezeichnet werden ( Most Robust [5]). Variationen im Zuge früherer Untersuchungen haben dies bestätigt [40]. In Kapitel wird der Einfluss der Größe des gewählten Druckes am Ausflussrand, sowie ein Tausch der Randbedingungen untersucht. Die Wahl der Größen für den Vergleich der numerischen und physikalischen Ergebnisse werden in Kapitel beschrieben. Die Wahl der Option Free Slip Wall wäre für die Untersuchung eines reinen lokalen Verlustbeiwertes ideal, da kein Einfluss von Wandreibung berücksichtigt werden würde. Diese Reibungsfreiheit kann aber im physikalischen Modellversuch nicht erreicht werden. Deshalb wird die Option Smooth Wall gewählt. Dies entspricht den Gegebenheiten im Modellversuch weitestgehend (Rohrleitungen, glattes CFK und gedrehtes Aluminium - Kapitel 4.3.1). Wenn die Geometrie und die Strömung symmetrisch sind, kann das Rechengebiet durch die Definition von Symmetrieebenen vereinfacht werden [82]. Für die Voruntersuchungen in Kapitel 2.3 wird die Rotationssymmetrie der vereinfachten gerade Düse ausgenutzt. Dadurch vereinfacht sich die Berechnung auf ein Segment, wobei zwei Symmetrieebenen zu definieren sind. Für die Hauptuntersuchungen ist bedingt durch den Krümmer nur eine Halbierung möglich. Im Kapitel wird der Einfluss der Randbedingung durch die Berechnung des Vollmodelles exemplarisch dargestellt.

53 3.2 Aufbau der numerischen Untersuchung Turbulenzmodell und Lösungsalgorithmus Die Grundgleichungen der Strömungsmechanik setzen sich aus den Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie zusammen. Die Impulserhaltungsgleichungen werden als Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet. Die zeitliche Änderung des Impulses wird durch eine Betrachtung der auf die Masse wirkenden Kräfte, der in ein Kontrollvolumen eintretenden und austretenden Impulsströme, sowie der Scherkräfte und Normalspannungen ermittelt [99]. In der Formel (3.1) ist die Navier-Stokes-Gleichung in der Schreibweise laut Oertel et al. [99] dargestellt. Dabei handelt es sich um eine Vektor-Darstellung mit der Zuhilfenahme des Nabla-Operators, um die Divergenz des Geschwindigkeitsvektors v zu berechnen. Die Volumenkräfte k reduzieren sich auf die Schwerkraft, da keine zusätzlichen elektrischen oder magnetische Kräfte auf das untersuchte Volumen wirken. Über den Beiwert µ erfolgt die Berücksichtigung der Reibung im Fluid, wobei das Newtonsche Reibungsgesetz zu Grunde gelegt wird [99]. ( ) v ρ + ( v ) v = t k p + µ v Skalarprodukt: v = u x + v y + w z ( p Druckgradient: p = x, p y, p ) T z angewendeter Laplace-Operator: v = 2 v x + 2 v 2 y + 2 v 2 z 2 Volumenkräfte: k = ρ g (3.1) In Kombination mit dem Kontinuitätsgesetz stehen vier skalare partielle nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung zur Lösung der vier Unbekannten (Geschwindigkeitsvektor v und Druck p) zur Verfügung. Eine analytische Lösung ist allgemein nicht möglich und somit wird für technische Anwendungen die Navier-Stokes- Gleichung mit Hilfe der Reynolds-Mittelung vereinfacht. Diese werden als Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS)-Gleichungen bezeichnet. Berechnungen wie Large Eddy Simulation (LES), Detached Eddy Simulation (DES) und Direct Numerical Simulation (DNS) werden nicht gesondert betrachtet. Für die Ermittlung der RANS-Gleichungen werden die einzelnen unbekannte Größe aus zwei Teilen zusammengesetzt. Der zu berechnende momentane Wert wird durch Addition vom Mittelwert p und einer turbulenten Schwankungsbreite p ersetzt (Bewegungsgleichung oder Reynolds-Gleichung, [124]). Für den Druck ist diese Aufteilung exemplarisch in Formel (3.2) dargestellt. p = p + p (3.2) Als weitere Annahme wird nicht mehr ein einzelner Zeitpunkt betrachtet, sondern eine Zeitspanne. Über dieses Intervall wird der Mittelwert gebildet. Dadurch ergibt sich die turbulente Schwankungsbreite zu Null und der Momentanwert wird durch

54 42 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation den Mittelwert ersetzt. Neben den Normal- und Schubspannungen τ ergeben sich aber zusätzliche Glieder aus der Schwankungsbewegung der Strömung (Formel (3.3)). Diese werden als Reynoldssche-Schubspannung τ t bezeichnet. Sie berücksichtigen die Trägheitskräfte, welche durch die turbulente Schwankungsbreite indiziert werden. Diese Komponenten werden über ein zusätzliches Reibungsglied berücksichtigt [99]. ( ) v ( ) ρ t + v v = k p + τ + τ t (3.3) Durch diese Ergänzung ist es möglich, dass auch turbulente Strömungen näherungsweise berechnet werden können. Im laminaren Fall unterscheiden sich die RANS- Gleichungen und Navier-Stokes-Gleichungen nicht [124]. Die Boussinesq-Annahme ermöglicht eine Beziehung zwischen der in Formel (3.3) ergänzten Reynoldschen-Schubspannung τ t und den mittleren Größen über die turbulente Viskosität µ t laut Formel (3.4) [99]. ( ) ui τ t = µ t + uj (3.4) x j x i Die Berechnung der turbulenten Viskosität erfolgt mit Hilfe von Turbulenzmodellen und wird allgemein als Schließungsproblem bezeichnet. Diese kann durch Null-, Ein-Gleichungs- oder Zwei-Gleichungssysteme erreicht werden. Dabei ist darauf zu achten, dass die Komplexität des Modells auf die zu untersuchende Fragestellung abgestimmt wird [138]. Für ingenieurmäßige Anwendungen wird sehr häufig das k-ɛ-modell verwendet (kinetische Energie k, turbulente Dissipation ɛ). ANSYS-CFX bietet neben dem reinen k-ɛ-modell mit der Wahl des Shear-Stress-Transport (SST)-Modelles eine Erweiterung an. Dabei wird in Wandnähe auf das für diesen Bereich besser geeignete k-ω- Modell (ω = k/ɛ, [138]) umgeschaltet. Der Wechsel erfolgt durch die Muliplikation mit einer Übergangsfunktion (blending function,[102]). Beide Modelle sind als Standard anerkannt ([81],[102],[138]). Das SST-Modell wird in der Fachliteratur als neues Standard-Turbulenzmodell für industrielle Anwendungen [82] bezeichnet und hat sich in entsprechenden Tests bewährt ([83], [84], [125]). Die nachfolgenden Berechnungen werden standardmäßig mit dem SST-Modell durchgeführt. Für die Lösung der Gleichungen stehen unterschiedliche Lösungsverfahren zur Verfügung. ANSYS-CFX ermöglicht die Wahl zwischen drei unterschiedlichen Methoden der Berechnung: ˆ Upwind ˆ High Resolution ˆ Specified Blend Factor Das Upwind Difference Scheme (UDS) [6] (Aufwind-Verfahren [81]) ist eine zentrale räumliche Diskretisierung, welche entsprechend der Strömungsrichtung einseitige

55 3.2 Aufbau der numerischen Untersuchung 43 Vorwärts- oder Rückwärts-Differenzen verwendet [82]. Das Verfahren ist sehr stabil und ist allgemein nur als Gleichung erster Ordnung implementiert [29]. Dadurch besteht die Möglichkeit, dass sich deutliche numerische Fehler bei Gradientenberechnungen ergeben. Die Verfahren zweiter Ordnung können zwar ebenfalls numerische Diffusion aufweisen, doch beschreiben sie den Gradienten in der Regel deutlich besser. ANSYS verwendet eine zusätzliche Übergangsfunktion (Blendfunktion) um den Einfluss der Berechnung zweiter Ordnung zu steuern. Dabei erlaubt die Einstellung der Variablen β eine manuelle Wahl mit der Option Specified Blend Factor (0=Upwind, 1=Second Order). Die Verwendung der Option High Resolution, bei der der Faktor β von der Software selbst optimiert wird [5], ist empfehlenswert. Sämtliche Berechnungen, die in die Auswertungen eingehen, werden deshalb mit der genaueren Option High Resolution berechnet Umsetzungen im Pre- und Post-Processing ANSYS bietet mit der ANSYS-Workbench (WB) ein gute Möglichkeit, komplexe Berechnungsaufgaben gut zu strukturien. Besonders hilfreich ist dies, sobald es zu einer Koppelung zwischen verschiedenen Teil-Programmen kommt (z.b. Fluid Structure Interaction (FSI)-Simulation). Der Datentransfer erfolgt direkt und wird in der WB als Linie dargestellt. Für die vorliegende Arbeit wird wie in Abbildung 3.2 (a) ersichtlich ein zusätzliches Auswertemodul für das automatisierte Post-Processing nachgeschaltet. Dadurch ist es möglich, vorgefertigte Schemen neben einer individuellen Auswertung zu betreiben. Ein weiterer Vorteil der WB ist die Einbindung der Parametersteuerung. Sie wird in drei Bereichen verwendet: ˆ Geometrie ˆ Randbedingung - Durchfluss und Druck ˆ Variation der Auswerteebene Nach der Voruntersuchung und abschließenden Wahl der Düsen (Kapitel 2.3 und 2.4) wird die Geometrie der einzelnen Düsen nicht mehr verändert. Der gesamte Untersuchungsbereich wird in vier 6 Zyklen unterteilt. Ausgehend von den Hauptschritten bei 20, 30, 40 und 50 l/s werden zehn Berechnungen als Restart ausgeführt. Die Übergabe der Randbedingung erfolgt mit Hilfe von Parametern, deren Größe in Kapitel beschrieben ist. Im Zuge des Post-Processing wird für jeden simulierten Design Punkt (DP) eine erneute Parametervariation für die Entfernung der Auswerteebene durchgeführt. 6 Für die Düse D1 wird zusätzlich ein weiterer Berechnungszyklus ergänzt, so dass die Durchflüsse bis 70 l/s berechnet werden können.

56 44 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation (a) Projektschema WB (b) Pre-Processing Abb. 3.2: Implementierung ANSYS-CFX

57 3.2 Aufbau der numerischen Untersuchung 45 Im Pre- und Post-Processing besteht die Möglichkeit, Gleichungen (Expressions) zu definieren. Dies erfolgt in der ANSYS-Programmiersprache CFX Expression Language (CEL). Mit dieser können Werte aus der Numerik übernommen, weiterverarbeitet und übergeben werden. In der Abbildung 3.2 (b) sind die im Pre-Processing eingebundenen Gleichungen dargestellt. Als Eingangsvariablen werden P Soll und Qin der Software übergeben. Für das Halbmodell (Kapitel 3.2.6) wird der Eingangswert halbiert und als QSoll der Einlaufrandbedingung übergeben 7 (Kapitel 3.2.3). Die Berechnung der Verlustbeiwerte xi erfolgt laut Formel (2.7) und ZET A wird entsprechend umgerechnet (Formel (2.10)). Aus ZET A wird die Verlusthöhe hv berechnet. Durch den Abzug der Verlusthöhe, welche mit Hilfe des xi-wertes ermittelt werden kann, ergibt sich eine Kontrolle des verwendeten Formelapperates. Die Verwendung der Zusätze AB und AUF ermöglichen die unveränderte Verwendung für beide Lastfälle. Die Ergebnisse der im Pre-Processing aufgestellten Gleichungen werden dort als Monitor-Punkte [5] definiert und können im Solver während der Berechnung laufend kontrolliert werden. Dies hat den Vorteil, dass nicht nur allgemeine Konvergenzkriterien zur Verfügung stehen, sondern auch die benutzerspezifischen Ausdrücke. Diese Auswertung ist allerdings auf bereits im Pre-Processing definierte Ebenen beschränkt. Für die Kontrolle der Konverenz wird der Verlustbeiwert des gesamten Systems inklusive der Rohrleitung herangezogen. Im Zuge des Post-Processing werden diese Auswerteebenen entsprechend verschoben und der Verlustbeiwert eingegrenzt. Im Zuge des Post-Processing werden zusätzliche Gleichungen (Expressions) definiert, die es ermöglichen, auf die variablen Auswerteebenen zuzugreifen. In Kapitel wird das Post-Processing im Detail untersucht Referenzberechnung Für die Verifikation in Kapitel 3.4 wird eine Referenzberechnung definiert, welche als Ausgangsberechnung für die Untersuchungen herangezogen wird. Dabei wird die Kontrolle mit der Geometrie der Düse D1 als Referenz durchgeführt. Der Durchfluss Q wird mit 45 l/s für das vollständige Modell und die Druckrandbedingung am Ausflussrand P Soll mit 5 bar fixiert. Dabei handelt es sich um charakteristische Werte, welche jeweils im oberen Bereich des physikalischen Modellversuchs (Kapitel 4) angesiedelt sind. In der Abbildung 3.3 werden in den Bildern (a) bis (d) die Geschwindigkeiten ausgewertet. Die oberste Reihe zeigt die Auswertung der Stromlinien und für die zweite Reihe wird ein Volumen definiert, in dem die Geschwindigkeit v die exemplarische Grenze von 2,5 m/s überschreiten. Die Teilauswertung (e) und (f) zeigt die Druckverteilung auf der Symmetrieebene. 7 Die Eingaben in ANSYS-CFX erfolgen mit den entsprechenden Einheiten, wobei die Umrechnung von der Software übernommen wird.

58 46 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation (a) Stromlinien - Abschwingen (b) Stromlinien - Aufschwingen (c) Isovolumen mit v > 2,5 m/s - Abschwingen (d) Isovolumen mit v > 2,5 m/s - Aufschwingen (e) Druck - Abschwingen (f) Druck - Aufschwingen Abb. 3.3: Beispielhafte Auswertung Referenzberechnungen

59 3.3 Fehler in der Numerik Fehler in der Numerik Einleitung Eine Abweichung der numerisch ermittelten Ergebnisse von den realen Prozessen kann im Allgemeinen zwei Ursachen haben, die unterschieden werden können [80]. Diese sind nachfolgend mit den Gegenmaßnahmen laut [99] aufgelistet: 1. Modellfehler (Modell-)Validierung 2. Numerische Fehler (Software-)Verifikation Alternativ kann auch zwischen den folgenden Begriffen unterschieden werden: ˆ Fehler (errors) ˆ Unsicherheiten (uncertainty) Bei den Unsicherheiten ist das vorhandene Wissen um die physikalischen Prozesse (noch) nicht ausreichend. Vereinfachte Modellannahmen und -ansätze (z.b. die Annahme der Inkompressibilität) führen zu inkorrekten Gleichungen, die der Problemstellung zu Grunde gelegt werden. Diese Schwächen der Berechnung können nicht vermieden werden [27]. Für die Simulation werden mathematisch-physikalische Modelle herangezogen (Kapitel und 3.2.4). Der Vergleich der exakten Lösung dieser Gleichungen mit der Realität wird als Modellfehler bezeichnet. Diese Abweichungen können mit Hilfe der Validierung erkannt und quantifiziert werden. Bei der Lösung der dem Problem zu Grunde liegenden Gleichungen kommt es bedingt durch die mathematische Komplexität zu numerischen Fehlern [55]. Die Kontrolle und Quantifizierung dieser Fehler wird allgemein als Verifikation bezeichnet. In weiterer Folge wird diese Kategorie detailliert betrachtet und in Kapitel 3.4 für die vorliegende Problemstellung untersucht. In Zusammenhang mit den Begriffen Validierung und Verifikation steht auch die Kalibrierung. Dabei werden zu Beginn der Berechnung noch unbekannte Parameter (Freiheitsgrade) mit Hilfe von Testrechnungen bestimmt [68]. Beispiele dafür sind die Rauheit von Oberflächen oder auch Turbulenzparameter. Deren Anpassung kann zu einer besseren Übereinstimmung der Ergebnisse mit der Natur führen. Neben den beiden oben genannten Arten von Fehlern kann die falsche Bedienung der zur Verfügung stehenden Software ebenfalls zu teilweise gravierenden Fehlern führen. Um solche Probleme zu vermeiden, wird in der Literatur fast durchgehend empfohlen, sich an Best Practice Guidelines (BPG) zu halten. Dieser Thematik wird in Kapitel erneut aufgegriffen.

60 48 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Numerische Fehlerarten Allgemein werden drei Kategorien unterschieden [26]: ˆ Verfahrensfehler ˆ Eingangsfehler ˆ Rechnungsfehler Bedingt durch die Tatsache, dass die mathematischen Gleichungen nicht allgemein 8 analytisch gelöst werden können, wird ein Ersatzproblem formuliert. Dabei werden unendliche und kontinuierliche mathematische Prozesse zu endlichen und diskreten Zusammenhängen vereinfacht [53]. Der Raum wird mit Hilfe des Netzes und die Zeit mit Zeitschritten δt unterteilt, was als Diskretisierung bezeichnet wird [16]. Dadurch können mit Hilfe von entsprechenden numerischen Näherungsverfahren die Gleichungen hinreichend genau gelöst werden. Die Abweichung zwischen der numerischen und der analytischen Lösung wird Verfahrensfehler [16], Approximationsfehler [53] oder allgemein Diskretisierungsfehler genannt. Damit wird die Differenz zwischen der numerischen und der tatsächlichen Lösung bezeichnet [18]. Sind Anfangswerte zum Beispiel durch fehlerhafte Messungen verfälscht, wird dies als Eingangsfehler [26] oder Datenfehler [119] bezeichnet. Rechnungsfehler ergeben sich durch die beschränkte Anzahl an Nachkommastellen und werden auch als Rundungsfehler bezeichnet. Sie stellen den Wert zwischen der exakten Lösung (z.b. 2/3) und der beschränkten Gleitkommadarstellung (0, ) dar [99]. Dieser Fehler kann bei jeder Berechnungsoperation inklusive Einlesen, Speichern oder Konvertieren auftreten. In diesem Zusammenhang kann eine Maschinengenauigkeit definiert werden [16], [139]. Im Zusammenhang mit Strömungssimulation werden im allgemeinen die nachfolgenden Bezeichnungen verwendet [80]: ˆ Diskretisierungsfehler ɛ D ˆ Rundungsfehler ɛ R Entscheidend für die Qualität der numerischen Berechnung ist die Stabilität der Fehler. Theoretisch sollte der Fehler mit jedem weiteren berechneten Zeitschritt t n+1 kleiner werden oder zumindest gleich bleiben [26]. Wird das Kriterium nach Formel (3.5) eingehalten, kann die Lösung als stabil bezeichnet werden. Eine Fehlerakkumulation kann sich durch Rundungsfehler als Folge von ungünstig gewählten Ein- 8 Nur für Sonderfälle ist eine analytische Lösung möglich. Beispielhaft kann die Strömung über eine ebene Platte unter besonderen Randbedingungen angeführt werden.

61 3.3 Fehler in der Numerik 49 gangsdaten ergeben [53]. Kommt es zu einem Aufschaukeln des Fehlers, ist das numerische Verfahren instabil [99]. ɛ n+1 ɛ n 1 (3.5) Als ein weiteres Kriterium für die Stabilität kann die Courant-Friedrichs-Levy (CFL)- Zahl angeführt werden (Kapitel 3.4.3) Best Practice Guidelines Um die Qualität einer numerischen Berechnung zu gewährleisten, kann als Grundlage auf Best Practice Guidelines (BPG) zurückgegriffen werden. Anwendungsorientierte Dokumente finden sich zum Beispiel von der Nuclear Energy Agency (NEA) ([83], [84], [125]) und der Europäischen Kommission [89]. Diese Dokumente setzen sich unter dem Aspekt der Sicherheitsuntersuchungen für Atomkraftwerke (Nuclear Reactor Safety (NRS)) mit dem Thema BPG auseinander. Beispielhafte Problemstellungen und wichtige Aspekte zu den einzelnen Gebieten dieses Bereiches reichen von Druckstoßuntersuchungen über chemische Reaktionen bis hin zur Bildung von Blasen und Koppelung mit entsprechenden Softwarelösungen zur Ermittlung der durch die Kernspaltung freigesetzten Energie. Die Herausforderung liegt neben der reinen Strömungsberechnung in der Modellierung des Wärmeübergangs zwischen zwei Medien [125]. Alternativ können die BPG von European Research Community of Flow, Turbulence and Combustion (ERCOFTAC) [27] angewendet werden. Im Hinblick auf die BPG findet sich in dem Dokument [84] (Kurzfassung [83]) der NEA folgender prinzipieller Aufbau einer numerischen Untersuchung: ˆ Bestimmung der Problem- bzw. Fragestellung Im Zuge des Kapitels 2.1 wird das Ziel der Optimierung und die zu untersuchenden Größen definiert. Die praktische Umsetzung im Pre- und Post-Processing wird in Kapitel beschrieben. ˆ Wahl des numerischen Werkzeugs (Kapitel 2.2) ˆ Wahl der im Modell implementierten physikalischen Prozesse (Kapitel 3.2.1) ˆ Festlegung der Beurteilungskriterien (Kapitel 3.2.5) ˆ Verifikation und Validierung der Ergebnisse Im Zuge der Verifikation wird kontrolliert, ob die Lösungen der zu Grunde gelegten Gleichungen richtig durchgeführt werden (Kapitel 3.4). Die Validierung stellt dagegen den Vergleich der mathematisch-physikalischen Modelle mit tatsächlichen Messungen dar ([81], [84], [97]). Beides ist für eine kommerzielle Softwarelösung, wie das verwendete ANSYS-CFX, im Allgemeinen gegeben [98],

62 50 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation wobei die Verifikation immer durchgeführt werden sollte [55]. Für den Verlustbeiwert einer asymmetrischen Düse wird mit dem nachfolgend beschriebenen Modellversuch (Kapitel 4 und dem Vergleich in Kapitel 5) eine exemplarische Validierung durchgeführt. ˆ Dokumentation Zusätzlich werden Empfehlungen zur Zeitschrittwahl, Netzgenerierung, Bestimmung der Randbedingungen und Erreichen einer möglichst guten Konvergenz formuliert [27]. Diese sind in der Erstellung der Referenzberechnung (Kapitel 3.2.6), sowie in die Verifikation der numerischen Berechnungen (Kapitel 3.4) berücksichtigt.

63 3.4 Verifikation Verifikation Grenzschicht Bei wandnahen Strömungen bildet sich eine Grenzschicht aus, die auch als dünne Reibungsschicht bezeichnet wird. Außerhalb dieser Schicht können Reibungseffekte in den meisten Fällen vernachlässigt werden [55]. Exemplarisch kann laut Formel (3.6), welche aus Oertel et al. [98] entnommen ist, die Grenzschichtdicke δ berechnet werden. Dabei wird von den Autoren die Länge L ( Lauflänge ) als Abstand zwischen dem Beginn der Wand und der untersuchten Stelle angegeben. Es finden sich in der Literatur auch Formeln, in denen die Abhängigkeit der Reynolds-Zahl Re nicht mit der Potenz von 0,5 vorkommt [25]. Die Abhängigkeit der Grenzschichtdicke von der Reynolds- Zahl ist bei allen untersuchten Literaturquellen vorhanden. Für die Ermittlung der Re-Zahl laut Formel (4.2) wird die Geschwindigkeit außerhalb der Grenzschicht verwendet. δ L 1 (3.6) ReL Die Qualität der numerischen Berechnung hängt unter anderem davon ab, wie gut der Übergang zur Wand berechnet und welcher Anteil von der Wandfunktion übernommen wird. Um den Abstand zwischen der ersten Zelle und der Grenzschichtdicke angeben zu können, wird die Variable y + als Wandschichtvariable ([55], [126]) eingeführt. Sie ergibt sich aus der Relation der y-koordinaten und der Wandschichtdicke δ ν ([102]),[117]). In die Berechnung laut Formel (3.7) gehen die vereinfachte (Wand-)Schubspannungsgeschwindigkeit u τ (mit der Wandschubspannung τ w und der Dichte ρ), die Koordinate y (normal zur Wand) und die Viskusität ν ein. y + = y δ ν = y uτ ν mit u τ = τw ρ (3.7) Zusätzlich wird laut [55] eine universelle Verteilung der Geschwindigkeit u + (y + ), welche unter der Berücksichtigung des linearen Ansatzes des Prandtlschen Mischungsweges und nach der Integration zur Formel (3.8) führt. Die Karman-Konstante κ und die Integrationskonstante C in dieser Gleichung können experimentell ermittelt werden [81]. u + = u u τ u + = 1 κ ln y+ + C (3.8) Bei einem zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsprofil wird der wandnahe Bereich in drei Typen unterteilt. Die unterste Schicht mit 0 < y + < 5 wird als viskose Unterschicht bezeichnet. Im Bereich 5 < y + < 30 liegt die Übergangsschicht. Darüber hinaus bis y + < 350 wird der Bereich als logarithmisch bezeichnet [98]. Andere Autoren fassen die ersten beiden Schichten mit y + < 30 als viskose Schicht zusammen [81]. Bei Werten über y kommt es zu einer deutlichen Abweichung vom logarithmischen Verhalten [54].

64 52 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Im Fall, dass ein Wärmeübergang simuliert wird, ist der Anspruch an die Größe der ersten Schicht extrem hoch (y + < 1). Bei reinen Strömungsproblemen ist eine dickere Schicht zulässig. Beispielhaft wurde für die Berechnungen eines T-Abzweigers [61] der Randbereich des Netzes auf 2 < y + < 10 verfeinert. Laut ANSYS-CFX Manual ist ein Wert für y + unter 11,06 anzustreben. Bei einer erhöhten Rauheit kann diese Forderung verschärft werden [6]. Als Vorbemessung kann die Formel (3.9) verwendet werden, mit der die Dicke der ersten Gitterschicht y bestimmt werden kann. Zusätzlich ist dazu die Reynolds- Zahl und die angenommene Länge L, sowie ein Startwert für y + anzunehmen [5]. y = L y + 74 Re L (3.9) (a) Abschwingen - Übersicht (b) Aufschwingen - Übersicht (c) Abschwingen - Detail (d) Aufschwingen - Detail Abb. 3.4: Kontrolle der Variable y +

65 3.4 Verifikation 53 Um solche Verfeinerungen des Netzes im Randbereich zu ermöglichen, bietet ANSYS- Meshing die Option an, dass eine Prismenschicht an den ausgesuchten Flächen erzeugt wird (Inflation). Für die Referenzberechnung (Kapitel 3.2.6) wird die erste Schicht mit 0, 015 mm definiert. Der Übergang zum restlichen Gitter erfolgt über zehn Schichten mit einer maximalen Wachstumsrate von 1,2. Diese Wahl ist ein Resultat aus den Voruntersuchungen in Kombination mit dem gewählten Netz (Kapitel 3.4.2). Nachfolgend wird der Nachweis erbracht, dass y + innerhalb des gewünschten Bereiches liegt. Die Auswertung für die Referenzberechnung (Kapitel 3.2.6) der Variable y + ist in den Abbildungen 3.4 dargestellt. Beim Abschwingen (Abb. 3.4 (a) und (c)) treten hohe Geschwindigkeiten im Krümmerbereich auf. Das Netz in diesem Bereich ist maßgebend für den maximalen y + -Wert von knapp über 4,8 [-]. Der Krümmer wird im Gegensatz dazu beim Aufschwingen sehr gleichmäßig durchströmt und das letzte Segment der Düse weist einen Wert für y + von knapp unter 3,65 [-] auf (Abb. 3.4 (b) und (d)). Damit ist eine ausreichende Netzqualität im Hinblick auf den Wandübergang in beiden Lastfällen gewährleistet. Auf eine zusätzliche Verfeinerung kann somit verzichtet werden Netztest Das für die Berechnungen in Kapitel 5 verwendete Netz ist eine Weiterentwicklung des im Forschungsberichtes [40] verwendeten Netzes. Die Bearbeitung erfolgt mit dem Meshing-Werkzeug der ANSYS-Workbench (WB) [8]. Alternativ ist eine Vermaschung mit der eigenständigen Vernetzungssoftware ICEM [7] möglich, die immer mehr in die WB integriert werden wird. Das Vermaschungskonzept umfasst drei Bauteile: Zulauf und Ablauf und eine Kombination aus Krümmer inklusive Düse und zusätzlicher Verfeinerungsstrecke (Abb. 3.5 (a)). Der Bereich der Düse wird in zwei Schritten verfeinert. Dazu werden Einflusskörper im ANSYS-Design Modeller (DM) definiert. Dies sind zum einen eine Kugel um den Schnittpunkt der Achsen (Abb. 3.5 (b)) und zum anderen ein weiterer, welcher die beiden letzten Düsensegmente umfasst (Abb. 3.5 (c)). Die Abbildung 3.5 (d) zeigt einen Ausschnitt des verwendeten Netzes. Für den Nachweis der Unabhängigkeit des Ergebnisses von dem gewählten Netz werden ausgehend vom Bemessungskonzept unterschiedliche Variationen berechnet. Diese Netzflussstudie beginnt mit groben Gittern und wird stetig weiter verfeinert. Dabei sollte ein Niveau des Zielwertes erreicht werden, ab dem eine Verfeinerung der Auflösung des Netzes keinen Einfluss mehr hat [82]. Im Zuge des Netztestes wird der Zeitschritt t (Kapitel 3.4.3) konstant gehalten und angepasst. In der Tabelle 3.1 findet sich eine Übersicht der für den Netztest veränderten Einstellungen. Die weiteren Einstellungen bleiben unverändert. Bei der default-option wird dem Programm die Wahl des Wertes überlassen. Es werden acht gröbere und zwei feinere Netze berechnet.

66 54 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation (a) U bersicht (b) Einflussko rper groß (c) Einflussko rper klein (eingeblendet) (d) Detail Netz Abb. 3.5: Konzept der Netzerstellung - Aufschwingen Tab. 3.1: U bersicht untersuchte Netze - Angaben in [mm] Netz max. Gro ße (global) Einflussko rper (EK) groß EK klein Kru mmer Ref. N01 N02 N03 N04 N05 N06 N07 N08 N09 N10 16 default default default default ,

67 3.4 Verifikation 55 Die Eigenschaften der einzelnen Netze sind in Tabelle 3.2 dargestellt. In dieser Tabelle werden neben der Anzahl der Knoten und Elemente des Netzes auch die sogenannte Skewness angegeben. Dabei handelt es sich um einen Qualitätsfaktor, welcher die Schiefe der Elemente angibt. Ein Quadrat bzw. ein gleichseitiges Dreieck hat den minimalen Wert von 0 und die Obergrenze liegt bei 1 (degenerierte Form). Der Bereich von 0,5 bis 0,75 wird als fair, darunter als good und darüber bis 0,9 als poor bezeichnet. Über 0,9 sollte vermieden werden [8]. Die Netze ab N06 weisen maximal Elemente mit der Eigenschaft poor auf. Dies sind aber nur sehr wenige Elemente (z.b. unter 100 Elemente bei der Referenzberechnung Abschwingen). Tab. 3.2: Eigenschaften der untersuchten Netze Abschwingen Aufschwingen Skewness Skewness Netz Knoten Elemente max Knoten Elemente max Ref , ,80 N , ,80 N , ,00 N , ,00 N , ,00 N , ,92 N , ,82 N , ,80 N , ,91 N , ,80 N , ,80 Das Ergebnis des Netztests wird in Tabelle 3.3 dargestellt. Die groben Netze N01 und N02 können für den Lastfall Abschwingen nicht berechnet werden. Zum Vergleich wird eine Normierung mit den Referenzwerten für das Auf- und Abschwingen durchgeführt. Dies ist in der Abbildung 3.6 graphisch dargestellt. Es zeigt sich, dass die zwei Netze jeweils vor und nach der Referenzberechnung eine Abweichung von ±0, 5% aufweisen.

68 56 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Tab. 3.3: Auswertung des Netztests xi-werte normiert Netz Abschwingen Aufschwingen Abschwingen Aufschwingen Referenz 12, , ,000% 100,000% N01-11, ,484% N02-12, ,280% N03 11, , ,978% 103,422% N04 11, , ,340% 101,585% N05 12, , ,151% 102,278% N06 12, , ,861% 101,819% N07 12, , ,743% 100,307% N08 12, , ,854% 100,335% N09 12, , ,445% 99,872% N10 12, , ,456% 99,730% Abb. 3.6: Auswertung des Netztests

69 3.4 Verifikation Zeitschritte Neben der räumlichen (Berechnungsnetz) ist eine zeitliche Diskretisierung für die numerische Lösbarkeit notwendig. Die Wahl des Zeitschrittes t ist abhängig vom Berechnungsgitter und der untersuchten Strömung. Allgemein wird die CFL-Zahl als Anhaltspunkt für die Wahl des Zeitschrittes verwendet. In die Berechnung dieser einheitslosen Größe laut Formel (3.11) geht die Rechennetzmaschenweite x, der gewählte Zeitschritt t und die Schallgeschwindigkeit a ein. Besonders bei expliziten Verfahren ist aus Stabilitätsgründen auf eine CFL-Zahl kleiner 1 zu achten [82]. CFL = a t x Courant = u t x (3.10) (3.11) Vergleichbar mit der CFL-Zahl wird in ANSYS-CFX der Wert Courant -Zahl berechnet (Formel (3.11)). Dabei wird statt der Schallgeschwindigkeit a die Fluidgeschwindigkeit u für die Berechnung herangezogen. Da ANSYS-CFX die Gleichungen implizit löst, hat dieser Wert eine untergeordnete Bedeutung [6]. ANSYS-CFX bietet drei unterschiedliche Optionen für die Wahl des Zeitschritts t [5]: ˆ Automatische Wahl (Auto Timescale) ˆ Lokale Skalierungsfaktoren (Local Time Scale Factor) ˆ Fester Wert (Physical Time Scale) Für die nachfolgend beschriebenen Berechnungen wird anfangs die automatische Wahl des Zeitschrittes verwendet. Die der Auswertung in Kapitel 5 zu Grunde gelegten Berechnung erfolgten mit einem fixierten Wert für den Zeitschritt. Die Wahl des Zeitschrittes t von 0,005 sec für das Abschwingen und 0,001 sec für das Aufschwingen zeigten ein gutes Konvergenzverhalten für das verwendete Berechnungsnetz (Kapitel 3.4.2). Diese Option wird vom Hersteller für stationäre Berechnungen empfohlen [5] und hat den Vorteil, dass eine Wiederholung der Berechnungen einfacher möglich ist. Die Anpassung des Zeitschrittes erfolgt während des Berechnungsprozesses über die Option Dynamically edit the settings of the run in progress im Solver [4] und wird anschließend im Pre-Processing fixiert.

70 58 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Auswertungs- und Messebene Allgemein Zur Ermittlung der Auswertungsquerschnitte für den Vergleich mit dem Modellversuch standen die Ergebnisse des Forschungsberichtes [40] im Naturmaßstab und numerische Voruntersuchungen im Modellmaßstab (Umrechnung in Kapitel 4.2) zur Verfügung. Die acht Messquerschnitte werden unter der Berücksichtigung der modellbautechnischen Gegebenheiten (Kapitel ) und der numerischen Ergebnisse gewählt. Dabei ist zu beachten, dass die Messquerschnitte für beide Strömungsrichtungen aussagekräftige Ergebnisse liefern. Nachfolgend wird die Auswirkung der Entfernung zwischen Auswerteebene und dem Achsenschnittpunkt an Hand der Referenzberechnung (Kapitel 3.2.6) im Detail beschrieben. Abb. 3.7: Detail Messquerschnitte - Abstände in [mm]

71 3.4 Verifikation 59 In Abbildung 3.7 ist ein Ausschnitt der gesamten Messquerschnitte (Abb. 4.2) dargestellt. Es handelt sich dabei um die Querschnitte, welche für die Auswertung in Kapitel 5 herangezogen werden. Die Hauptauswertung erfolgt zwischen den Messquerschnitten M3 und M7. Die Nummerierung erfolgt in Fließrichtung, somit ist der Druck in M7 geringer als in M3. Diese Auswerteebenen sind für den Lastfall Abschwingen weiter von der Düse entfernt als für das Aufschwingen. Der Ursprung des lokalen Koordinatensystems liegt in der Symmetrieebene im Schnittpunkt der beiden Rohrachsen. Die Unterkammer (DN 200) ist in Richtung der x-achse orientiert, der Schacht (DN 250) orthogonal dazu. Nachfolgend wird jeweils eine Koordinate fixiert und der Einfluss der Verschiebung der Auswerteebene in Richtung der anderen Achse untersucht Umsetzung der Auswertung und Variation der Lage Für die Bewertung werden die Geschwindigkeit und der Druck aus der Numerik an den Auswerteebenen übernommen. Dies erfolgt für den gesamten Geschwindigkeitsvektor mit Hilfe der Variable vel [3]. Die Druckvariable kann entweder mit p oder Pressure bezeichnet werden. Der dabei ausgegebene statische Druck entspricht im vorliegenden Fall dem absoluten Druck, da als Referenzdruck 0 P a gewählt wird [6]. Die Variable Total Pressure entspricht dem Gesamtdruck und ist jenem an der Spitze eines Sondenkopfes vergleichbar [95]. Zieht man davon den statischen Druck ab, errechnet sich der Staudruck. Dieser enthält den Anteil der Geschwindigkeitshöhe [6]. Für die Verarbeitung der Werte stehen unterschiedliche Funktionen zur Verfügung. Der maximale Wert kann mit maxval und der Mittelwert (arithmetisches Mittel) mit ave ermittelt werden. Zusätzlich steht eine flächengewichteter Mittelwert areaave und das Flächenintegral areaint zur Verfügung. Der Aufbau der Funktion in der internen Programmiersprache erfolgt jeweils nach dem Schema F unktion(w [3]. Exemplarisch werden die genannten Möglichkeiten für die Auswerteebene in der Unterkammer (UK) in der Abbildung 3.8 ermittelt. Die x-achse der Diagramme entspricht in diesem Fall der des Modells. Um vergleichbare Einheiten zu erhalten, wird das Intergral 9 durch die Fläche der Auswerteebene (0, 2 2 /4 π 0, 5 [m 2 ]) dividiert. Zusätzlich erfolgt die Umrechnung von [P a] auf [bar] für Abbildung 3.8 (b). Der Vergleich der Geschwindigkeiten in Abbildung 3.8 (a) zeigt, dass die flächengewichtete Auswertung und die angepasste Integralauswertung sich kurz nach dem Krümmerbereich an die theoretischen Wert der Geschwindigkeit vuk angleicht. Das arithmetische Mittel liegt deutlich unter dem theoretischen Wert, was sich durch die nicht gleichförmige Verteilung im realen durchströmten Querschnitt ergibt (Kapitel 2.1.4). Die maximalen Werte im Querschnitt nehmen kontinuierlich in Richtung Ausströmrand ab. 9 Die Einheiten des Integrals sind [N] und [m 3 /s].

72 60 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Die Druckauswertung in Abbildung 3.8 (b) wird um den Gesamtdruck ergänzt, der bedingt durch die Berücksichtigung des Geschwindigkeitsanteiles über den anderen Druckauswertungen liegt. Der Unterschied zwischen den flächengemittelten und arithmetisch gemittelten Werten ist relativ gering. Dies kann dadurch begründet werden, dass auch der maximale Druck nicht stark abweicht. Die umgerechnete Integralauswertung für den Druck und den Gesamtdruck liefert im Auslaufbereich eine stark streuende Auswertung. Ein ähnliches Bild ergibt sich bei der Auswertung des Lastfalles Aufschwingen in der Oberkammer. In beiden Fällen liegt der Übergang in der Nähe des Wechsels zum gröberen Auslaufgitter. Um ausschließen zu können, dass ein fehlerhaftes Post-Processing vorliegt, wird die Integration mit Hilfe von MATLAB [86] kontrolliert. Dafür wird an den Schnittebenen x = 0, 5 m, 2 m, 4 m die Geschwindigkeit und der Druck exportiert. Mit Hilfe einer Delaunay-Triangulation wird dazu die Teilfläche jeder Zelle 10 ermittelt. Durch Multiplikation mit der Höhe (Druck oder Geschwindigkeit) wird das Integral mit Hilfe von Säulen angenähert [18]. Die Kontrolle anhand der Ergebnisse aus dem ANSYS-Post-Processing ergeben eine Abweichung im Druck kleiner 0,5 P a. Somit kann davon ausgegangen werden, dass es sich hier um einen vom Berechnungsnetz abhängigen Effekt handelt. Dabei kommt es beim Übergang vom feineren zum gröberen Netz zu einem Impulsverlust, wobei die Gradienten durch unphysikalische Diffusion abgeschwächt werden [80]. Bei der Geschwindigkeitskomponente tritt dieser Effekt nicht auf, da sie durch die inkompressible Berechnung (Kapitel 3.2.1) tendenziell stabiler bzw. vom Solver angepasst wird. Weil dies nur bei der Auswertung des reinen Flächenintegrals auftritt, ist ein komplettes Verlängern des feinen Netzes nicht verhältnismäßig. Für die nachfolgenden Auswertungen werden die mit der Funktion areaave ermittelten Werte verwendet. 10 Grundzüge der Berechnung sind aus der MATLAB-Newsgroup mit Stand vom August 2011 unter der nachfolgenden Adresse entnommen: thread/303683

73 3.4 Verifikation 61 (a) Geschwindigkeiten (vuk entspricht der theoretischen Verteilung der Unterkammer; P OST vuk bezieht sich auf die Auswerteebene) (b) Druck (puk entspricht der Randbedingung P Soll am Ende der Unterkammer; P OST puk bezieht sich auf die Auswerteebene) Abb. 3.8: Exemplarische Auswertung der Auswerteebene UK - Abschwingen

74 62 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Ausgehend von der Betrachtung der einzelnen Auswerteebene ist der nächste Schritt, dass die jeweiligen Differenzen in Abhängigkeit von der Entfernung zum Ursprung des lokalen Koordinatensystem ermittelt werden. Dazu wird ausgehend von der Formel (2.7) die Druckdifferenz p und die Geschwindigkeitshöhendifferenz v laut Formel (3.13) berechnet. Der Index 1 bezieht sich dabei auf die in Fließrichtung erste Ebene. Da die Geschwindigkeit in der kleineren Unterkammer immer größer ist als die Geschwindigkeit im Schacht, wechselt v das Vorzeichen. Laut Formel (3.13) kann für einen Durchfluss von 45 l/s (Referenzberchnung) die Geschwindigkeitsdifferenz v theo = ± 1, 423 [m 2 /s 2 ] berechnet werden. ( v theo = Q2 Q2 = ±Q 2 A 2 1 A 2 2 p = p 1 p 2 v = v1 2 v2 2 (3.12) 1 1 ) (3.13) A 2 UK A 2 Schacht In den Abbildungen 3.9 (Druckdifferenz), 3.10 (Geschwindigkeitsdifferenz) und 3.11 (xi-wert) ist die Verschiebung einer Auswerteebene dargestellt (siehe auch Abb. 3.7). Für die Abbildung (a) wird jeweils die Ebene im Zulaufbereich fixiert 11 und die Auswerteebene im Rohr verschoben, welches der Düse nachgeordnet ist. Dadurch ist erkennbar, ab welchem Abstand nach der Düse ein konstantes Ergebnis zu erwarten ist. Für die Auswertung mit der Bezeichnung (b) wird die Abströmseite fixiert und die Anströmung variiert. Dabei ist ersichtlich, dass eine Verschiebung dieser Auswerteebene nur einen geringen Einfluss auf die Werte hat. Der Anstieg lässt sich über kontinuierliche Verluste erklären, welche bedingt durch die Randbedingung am Rohr auftreten (Kapitel 3.2.3). Die Entwicklung des Verlustbeiwertes xi (Abb. 3.11) ist das Resultat der Überlagerung der beiden einzelnen Differenzauswertungen in den Abbildungen 3.9 und 3.10 laut Formel (2.7). Die Auswertung in der Abbildung 3.11 zeigt, dass die Größe des Verlustbeiwertes sehr deutlich von der Wahl der Lage der Auswerteebene abhängt. In der jeweiligen Zulaufstrecke beeinflussen hauptsächlich kontinuierliche Verluste die Auswertung. Bei der Variation der Ebene nach der Düse ist hingegen ein deutlicher Einfluss erkennbar. Nach einem lokalen Hochpunkt kommt es zu einem Abfall, der wiederum in einen leichten Anstieg durch die kontinuierlichen Verluste mündet. Die Form und Ausdehnung ist abhängig vom Durchfluss. Beim physikalischen Modellversuch müssen endlich viele Messquerschnitte definiert werden. Dadurch ergibt sich aber das Problem, dass diese Verteilung nicht zwangsläufig ein lokales Minimum an dieser Stelle hat. Für den Vergleich Numerik und Modellversuch ist es aber notwendig, dass die selben Ebenen miteinander verglichen werden. Für die reine numerische Ermittlung des Verlustbeiwertes empfiehlt sich eine entsprechende umfangreiche Auswertung. 11 Die fixierte Koordinate ist in der Legende angegeben.

75 3.4 Verifikation 63 (a) nach der Düse (b) vor der Düse Abb. 3.9: Auswertung der Differenzdrücke p

76 64 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation (a) nach der Düse (b) vor der Düse Abb. 3.10: Auswertung der Geschwindigkeitsdifferenz v

77 3.4 Verifikation 65 (a) nach der Düse (b) vor der Düse Abb. 3.11: Auswertung der Verlustbeiwertes xi

78 66 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Geschwindigkeitshöhenausgleichswert Mit den oben genannten Operatoren ist es möglich, den Geschwindigkeitshöhenausgleichswert α laut Formel (2.16) im Post-Processing zu implementieren. In Formel (3.14) ist dies exemplarisch für die Unterkammer (UK) dargestellt 12. AlphaUK = areaint(vel 3 ostuk ostuk) 3 ostuk (3.14) In den Abbildungen 3.12 (a) und (b) ist die Auswertung des Beiwertes α entlang der abgehenden Rohrleitung dargestellt. Die unteren beiden Diagramme in Abbildung 3.12 zeigen die Auswertung der Rohrleitung vor der Düse. Als Richtgrößen werden die Werte 1,15 [-] laut [45] und [33], sowie der höhere Wert von 1,3 [-] [93] eingezeichnet. Bei allen Auswertungen zeigt sich ein deutlich asymptotisches Verhalten. Die erhöhten Werte im Fall des Abschwingens im Bereich vor der Düse lassen sich durch die Rückströmung erklären, welche durch die Düse angeregt wird. Bedingt durch den nachfolgend angeordneten Krümmer weist die Auswertung des selben Lastfalles nach der Düse einen erhöhten Wert auf. Die Auslenkung des Beiwertes ist im Lastfall Aufschwingen vergleichsweise gering. Die geringen Abweichungen im Zulauf ergeben sich für diesen Lastfall durch den Krümmer. Der austretende Wasserstrahl homogenisiert sich im Vergleich zum Lastfall Abschwingen relativ schnell. Dies ergibt sich neben der unterschiedlichen Höhe des lokalen Verlustes auch aus der Anordnung des Krümmers. Die Anpassung des theoretischen Ansatzes an die gewonnenen numerischen und physikalischen Werte und der Einfluss des Geschwindigkeitshöhenausgleichswerts darauf wird in Kapitel untersucht Erhöhte Genauigkeit Eventuell auftretende Rundungsfehler (Kapitel 3.3.2) können mit Hilfe der Berechnung mit erhöhter Berechnungsgenauigkeit erkannt und quantifiziert werden. Der Solver von ANSYS-CFX bietet die Möglichkeit neben der Standardeinstellung die Option Double Precision auszuwählen. Wird diese Option aktiviert, erfolgt die Verarbeitung der Werte im 64-Bit-Format. Dadurch erhöht sich der Speicherbedarf und verlangsamt sich die Rechenkapazität. Besonders bei Mehrphasenströmungen, wie die Berechnung von freien Wasseroberflächen, wird empfohlen, dass die Berechnung mit dieser Option durchgeführt wird. Der Wechsel kann unter gewissen Umständen zu einem besseren Konvergenzverhalten führen [5]. Die Kontrolle erfolgt im Rahmen der Überprüfung der Wiederholbarkeit (Kapitel 3.4.6). Dabei werden die Berechnungen erneut von Beginn gestartet, wobei die Option Double Precision im Solver gewählt wird. Der Vergleich in Abbildung 3.13 zeigt, dass die Differenz bei der Betrachtung sehr gering ist. Damit ist es zulässig, dass die Berechnungen ohne die erhöhte Genauigkeit durchgeführt werden. 12 Anmerkung: Der /-Operator und die Klammern werden durch die Darstellung mit Bruchstrich ersetzt.

79 3.4 Verifikation 67 (a) Übersicht nach der Düse (b) Übersicht vor der Düse (c) Detail nach der Düse (d) Detail vor der Düse Abb. 3.12: Auswertung des Beiwertes α

80 68 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Wiederholbarkeit Für die Qualität der Ergebnisse ist es unter anderem ausschlaggebend, ob sie reproduzierbar sind. Dazu wird die Referenzberechnung ein weiteres Mal auf einem anderen Rechner gestartet. Dabei wird die selbe Anzahl an Iterationsschritten berechnet. Mit dem Vergleich wird die Wiederholbarkeit der Simulation getestet und nachgewiesen. Für die Auswertung in Abbildung 3.13 werden die Monitor-Punkte des Solvers (Kapitel 3.2.5) exportiert. Der zeitliche Verlauf der Referenzberechnung (R) wird von den Monitor-Punkten für die erneute Berechnung (W 01) und für die Berechnung mit Double-Precision (W 02) subtrahiert. Auf der x-achse wird bei dieser Auswertung die Anzahl der Iterationen verwendet. Das Ergebnis wird über die gesamten Iterationsschritte im oberen Bild dargestellt. Für die letzten 1000 Schritte wird zusätzlich eine Detailauswertung in Abbildung 3.13 (a) und (b) ergänzt. Bei der Berechnung mit erhöhter Genauigkeit (W 02) ist eine größere Differenz ersichtlich, wobei sich die Differenz auf geringem Niveau bewegt. Im Hinblick auf den direkten Vergleich ist nahezu kein Unterschied erkennbar. (a) Abschwingen (b) Aufschwingen Abb. 3.13: Differenzen Gesamtübersicht und Detail

81 3.4 Verifikation 69 (a) Abschwingen (b) Aufschwingen (c) Abschwingen - Detail (d) Aufschwingen - Detail Abb. 3.14: Differenzen xi-wert entlang der Achse nach der Düse

82 70 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation Der Unterschied des Ergebnisses zwischen der Referenzberechnung und den beiden Wiederholungen wird getestet. Dazu wird die Differenz der ermittelten Verlustbeiwerte in Abbildung 3.14 dargestellt. Dieser Vergleich erfolgt in Abhängigkeit von der Entfernung der zweiten Auswerteebene, welche sich in Fließrichtung nach der Düse befindet (Kapitel 3.4.4). Im Bereich nach der Düse kann die größte Abweichung festgestellt werden. In diesem Bereich weist der Verlustbeiwert einen sehr starken Gradienten auf, wodurch kleine Änderungen einen relativ großen Einfluss haben. Bis zum gewählten Auswertequerschnitt sind die Abweichungen so gering, dass sie vernachlässigt werden können Vollmodell Die Berechnungen werden mit Hilfe eines Halbmodells durchgeführt. Die zweite Hälfte des Modells wird dabei durch eine Symmetrierandbedingung ersetzt. An einer solchen Symmetry Plane werden die Geschwindigkeiten normal zu der Ebene Null gesetzt [6]. Dies hat den Vorteil, dass die zu berechnenden Zellen deutlich abnehmen. Die Auswertung der Anzahl der Knoten und Elemente in Tabelle 8.3 zeigt, dass das Vollmodell nicht doppelt so viele Zellen wie das Halbmodell hat. Dies lässt sich dadurch erklären, dass durch den Wegfall der Ebene die Vermaschung weniger fixe Ebenen einhalten muss. Das Netz des Vollmodells ermöglicht ein besseres Konvergenzverhalten als das Halbmodell, doch benötigt dessen Berechnung mehr als doppelt so viel Zeit. Um den Einfluss der Modellannahme der ausgenutzten Symmetrie zu überprüfen, werden vergleichbare Vollmodelle berechnet. Exemplarische Auswertungen sind in der Abbildung 3.15 dargestellt. Das Ergebnis der Berechnung wird anhand der xi-werte verglichen. Dazu wird die Auswerteebene entlang der nach der Düse angeordneten Rohrleitung verschoben (Kapitel 3.4.4). Tab. 3.4: Vergleich der Netze - Halb- und Vollmodell Abschwingen Aufschwingen Netz Knoten Elemente Knoten Elemente Halbmodell (H) , Vollmodell (V) V/H % 196% 198% 196% 198% In Abbildung 3.16 (a) sind die xi-werte in Abhängigkeit von der Entfernung zur Düse dargestellt. Durch die Differenzbildung (Halbmodell-Vollmodell) ist in Abbildung 3.16 (b) erkennbar, dass das Aufschwingen eine sehr gute Übereinstimmung zeigt. Leicht höhere Differenzen sind im Zuge des Lastfalles Abschwingen zu erkennen. Die geringfügig höheren Werte lassen sich dadurch erklären, dass im Krümmer eine stärkere Sekundärströmung auftritt. Durch das Nullsetzen der normal auf die Symmetrieebene gerichteten Geschwindigkeitskomponente wird Energie aus dem System genommen. Als Resultat ergibt sich aus der Berechnung des Halbmodelles ein höherer Verlustbeiwert. Die Differenz der xi-werte liegt im Bereich von ±0,05 [-].

83 3.4 Verifikation 71 (a) Abschwingen (b) Aufschwingen (c) Detail Düse - Abschwingen (d) Detail Düse - Aufschwingen (e) Ansicht - Abschwingen (f) Ansicht - Aufschwingen Abb. 3.15: Stromlinien - Vollmodell

84 72 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation (a) xi-werte (b) Differenzen Abb. 3.16: Vergleich Halb- und Vollmodell

85 3.4 Verifikation Variation der Randbedingung Druck am Austrittsrand Ausgehend von der Referenzberechnung in Kapitel wird die Randbedingung variiert. Die Anpassung des Durchflusses ist Teil der Hauptuntersuchung und wird in Kapitel 5 abgehandelt. Die zweite Randbedingung ist der Druck am Austrittsrand der untersuchten Geometrie (Kapitel 3.2.3). Wie schon in Kapitel beschrieben, geht nur der Differenzdruck (DD) in die Berechnung des Verlustbeiwertes ein. Somit ist das Ergebnis unabhängig von dem gewählten Druck am Ausflussrand. Dies wird mit einer Variation des eingegebenen Drucks P Soll für die Düse D1 kontrolliert. Dazu wird exemplarisch der Druck der Randbedingung in den Grenzen von 0,5 bis 7 bar variiert (Tab. 3.5). Die Ergebnisse der Variation sind gesammelt in der Abbildung 3.17 dargestellt. Dabei wird nur jeweils die Differenz zur Referenzberechnung entlang der Rohrleitung nach der Düse aufgetragen. Der Detailauschnitt veranschaulicht, dass die Differenzen der xi-werte deutlich innerhalb der Grenzen ±0,1 [-] liegen. Die größeren Differenzen werden bei dieser Auswertung beim Lastfall Aufschwingen festgestellt. Für das Abschwingen alleine ergibt sich eine Schwankungsbreite von ±0,02 [-] ab einer Entfernung von 1 m vom Achsenschnittpunkt. Tab. 3.5: Werte der Variation von P Soll Referenz DP1 DP2 DP3 DP4 DP5 DP6 DP7 P Soll in [bar] Es besteht somit die Möglichkeit, alle numerischen Berechnungen mit einem konstanten Druck am Ausflußrand zu betreiben. Da die Ergebnisse der Numerik aber möglichst nahe an jenen des Modellversuchs liegen sollten, wird eine exemplarische Q-P Soll -Beziehung in Kapitel ermittelt, die den numerischen Ergebnissen zu Grunde gelegt wird Tausch der Randbedingungen Die Wahl der verwendeten Randbedingungen wird in Kapitel beschrieben. Für die Berechnungen wird dabei ein Durchfluss Q Soll am Einströmrand und ein Druck P Soll am Ausströmrand verwendet. Abweichend von dieser Most Robust -Anordnung [5] wird die Randbedingung vertauscht. Dabei wird nicht der statische Druck am Einlauf sondern der Totaldruck angegeben. Die Auswertung in Abbildung 3.18 stellt die Differenzen der xi-werte abhängig von der Entfernung von der Düse dar. Die Differenzen sind für den untersuchten Fall so klein, dass ein Einfluss des Tausches der Randbedingungen auf das Ergebnis nahezu ausgeschlossen werden kann.

86 74 Kapitel 3 Numerische Simulation - Aufbau und Verifikation (a) Übersicht (b) Detail Abb. 3.17: Vergleich für die Variation der Randbedinungen

87 3.4 Verifikation 75 (a) Übersicht (b) Detail Abb. 3.18: Vergleich für den Tausch der Randbedingungen

88

89 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation 4.1 Konzept Vergleichbar mit der numerischen Untersuchung (Kapitel 3) wird im nachfolgenden Kapitel der Aufbau und die Kontrolle des Modellversuches behandelt. Besonderes Augenmerk gilt der Minimierung des Messfehlers. Die Wahl der verwendeten Messinstrumente wird mittels der theoretischen Ansätze begründet und kontrolliert (Kapitel 4.4.4). Nachfolgend werden in Kapitel 5 die Ergebnisse des physikalischen Modellversuches denen der Numerik gegenübergestellt und die Einflüsse der Genauigkeit der Messsysteme in Kapitel 6 im Zuge einer Sensitivitätsbetrachtung überprüft. Neben den Hauptuntersuchungen (Kapitel 5) werden zusätzliche Versuche durchgeführt, die ergänzende Fragestellungen abdecken: ˆ Voruntersuchung Druckrandbedingung für die numerischen Vergleichsberechnungen (Kapitel 4.5.5) ˆ Hauptuntersuchung und Vergleich mit den numerischen Ergebnissen (Kapitel 5) ˆ Zusatzuntersuchung mit hochfrequenten Messungen (Kapitel 4.5.4) Krümmer (Kapitel 5.4.2) Schacht (Kapitel 5.4.3)

90 78 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation 4.2 Modellmaßstab Einer jeden Modellbildung liegen in der Regel entsprechende Annahmen und/oder Vereinfachungen zu Grunde. Im Fall des physikalischen Modellversuches handelt es sich um eine maßstäbliche (in der Regel verkleinerte) Abbildung der Wirklichkeit. Der Laborversuch stellt eine erprobte Möglichkeit dar, um komplexe wasserbauliche Problemstellungen zu lösen [70]. Im vorliegenden Fall der Untersuchung des Verlustbeiwertes wird folgender Maßstab gewählt: M=1:25 Somit ergibt sich für den vorliegenden Fall der Maßstabsfaktor λ M exemplarisch für die Längenskalierung laut der Formel (4.1). λ M = lnatur l Modell = 25 (4.1) Je nach zu untersuchender Fragestellung dominieren gewisse Effekte und Kräfte, die nicht im selben Maßstab verkleinert werden können. Mit entsprechenden Gesetzen wird gewährleistet, dass nicht nur eine geometrische, sondern auch eine kinematische und dynamische Ähnlichkeit erhalten bleibt [52]. Im wasserbaulichen Versuchswesen kommen hauptsächlich zwei Modellgesetze 13 zur Anwendung: ˆ Reynolds sches Modell - Re (N) = Re (M) ˆ Froudesches Modell -F r (N) = F r (M) Die entsprechenden Kennzahlen berechnen sich laut den Formeln (4.2) [17]. Dabei sind die jeweils charakteristischen Größen (v=geschwindigkeit und l=länge) einzusetzen. Die zusätzlichen Konstanten in den Formeln (4.2) bezeichnen die Erdbeschleunigung g und die Viskosität des Fluides ν. Re = v l ν = Trägheitskraft Zähigkeit F r 2 = v2 g l = Trägheitskraft Schwerkraft (4.2) Bei freien Wasseroberflächen, wo die Schwere- und Trägheitskräfte dominieren, wird in der Regel das Froudesche Ähnlichkeitsgesetz herangezogen. Für die Untersuchung von Rohrströmungen ist normalerweise die Beziehung nach Reynolds zu wählen. Dies sollte dann erfolgen, wenn der Einfluss der Reynoldszahl nicht mehr vernachlässigbar ist [85]. Beim Vergleich der Maßstäbe des Durchflusses in Tabelle 4.1 ist ersichtlich, dass für ein Reynoldsmodell deutlich höhere Durchflüsse benötigt werden als bei der Skalierung nach Froude. 13 Der Index (N) bezieht sich auf die Naturgröße und (M) auf das Modell.

91 4.2 Modellmaßstab 79 Für die Untersuchung von lokalen Verlusten, welche unabhängig von der Reynoldszahl sind, kann laut Kobus [70] von dieser Forderung abgegangen werden. Eine Variation der Reynoldszahlen im Modell gefolgt von einer nachfolgenden Extrapolation kann als Ersatz für ein komplettes Reynoldsches Modell für diese Fragestellung verwendet werden [70]. Tab. 4.1: Umrechungsfaktoren [85] Maßstabsfaktoren Physikalische Größe Einheit Froude Reynolds Länge, Breite, Höhe [m] λ M λ M Druckhöhen [m] λ M λ M Flächen [m 2 ] λ 2 M λ 2 M Volumen [m 3 ] λ 3 M λ 3 M Versuchszeit [s] λ 1/2 M Geschwindigkeit [m/s] λ 1/2 M Abfluss [m 3 /s] λ 5/2 M λ 2 M λ 1 M λ M Eine Extrapolation der Werte in einen höheren Reynoldszahlbereich ist nur zulässig, wenn sowohl im Modell als auch in der Natur turbulente Verhältnisse herrschen [70]. Die kritische Reynoldszahl Re krit liegt bei 2320 [-] [17]. Kobus empfiehlt als Untergrenze für die Maßstabswahl eine Re-Zahl von 10 4 [-] im Modellversuch [70]. Für die Ermittlung der Reynoldszahlen im physikalischen Versuch werden charakteristische Durchflusswerte herangezogen (Tab. 4.2). Dies sind zum einen 20, 45 und 70 l/s, welche die Hochdruckpumpe liefert und zum anderen als Vergleich die maximalen 250 l/s (Niederdruckpumpen). Die maximale Leistung der Hochdruckpumpe liegt bei 180 m 3 /h = 50 l/s bei einer Förderhöhe von 70 m (entspricht knapp unter 7 bar). Dabei wird als Längenmaß, wie für Rohrleitungen üblich, der Durchmesser d der jeweiligen Rohrleitung verwendet (Tab. 4.4). Dabei vereinfacht sich die Formel (4.2) entsprechend Formel (4.3). Re = v l ν = Q d Aν = Q 4 d d 2 π ν = Q 4 d π ν (4.3) Alle Werte im gewählten Durchflussbereich liefern turbulente Verhältnisse, wodurch die Forderung der Überschreitung der kritischen Reynoldszahl Re krit für eine nachfolgende Extrapolation erfüllt wird. In den allermeisten Fällen wird eine Re-Zahl größer 10 5 [-] erreicht (Tab 4.2).

92 80 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Tab. 4.2: Kontrolle der Reynoldszahlen und der Prandtl-Dicke δ l [mm] Durchfluss Re-Zahl [-] δ l [mm] [m 3 /s] Schacht UK Düse Schacht UK Düse 140 2,18E+07 2,72E+07 4,39E+07 0,149 0,098 0, ,56E+07 1,94E+07 3,14E+07 0,200 0,131 0, ,09E+07 1,36E+07 2,19E+07 0,273 0,180 0, ,56E+06 1,94E+06 3,14E+06 1,498 0,986 0,402 [l/s] Schacht UK Düse Schacht UK Düse 250 9,72E+05 1,21E+06 1,96E+06 0,090 0,059 0, ,72E+05 3,40E+05 5,49E+05 0,275 0,181 0, ,75E+05 2,19E+05 3,53E+05 0,405 0,267 0, ,78E+04 9,72E+04 1,57E+05 0,824 0,542 0,221 Zusätzlich wird die Prandtl-Dicke δ l laut Formel (4.4) [17] ausgewertet. Diese wird mit der hydraulischen Rauheit k in [mm] verglichen, welche für unterschiedliche Materialien in der Tabelle 4.3 exemplarisch angeführt ist. Da die Unterkammer sowie der Bereich der Düse gepanzert ausgeführt wird, können verhältnismäßig geringe Rauheiten angesetzt werden. Hydraulisch raues Verhalten (δ l < k/4) kann somit sowohl für den Modellversuch als auch für die Natur eher ausgeschlossen werden. Der Übergangsbereich ist mit δ l > k/4 definiert. Übersteigt die Prandtl-Dicke die hydraulische Rauheit (δ l k) minimiert sich der Einfluss der Rauheit auf die Bestimmung des kontinuierlichen Verlustes. Dies wird allgemein als hydraulisch glattes Verhalten bezeichnet [17]. Der Vergleich der Ergebnisse aus der Tabelle 4.2 mit den Materialkennwerten in der Tabelle 4.3 lässt den Schluss zu, dass die Strömung in den Rohrleitungen im Übergangsbereich liegt. Für den Bereich der Düse kann von hydraulisch glattem Verhalten ausgegangen werden. δ l = 34, 2 d (0, 5 Re) 7/8 (4.4) Tab. 4.3: Hydraulische Rauheiten k [mm] Material Stahlrohr Aluminium gezogen nahtlos geschweißt von 0,01 0,01 0,04 0,0015 bis 0,05 0,1 0,1 Für das Forschungsprojekt [38] wurde das Modell auf die geplante Düse des neu zu errichtenden KW Kaunertal abgestimmt (Tab. 4.4). Für den Durchmesser der Unterkammer von 5 m (N) ergibt sich ein Rohrdurchmesser im Modellmaßstab von 20 cm (M). Dabei handelt es sich um die im Labor übliche Dimension.

93 4.2 Modellmaßstab 81 Um möglichst standardisierte Rohrleitungen auch für den Lotschacht verwenden zu können, wurde dieser Durchmesser von 25,2 cm (M) (6,3 m/25) auf 25 cm (M) reduziert. Dies entspricht einer Anpassung des Durchmessers in der Natur um 5 cm (N). Für die vorliegende Arbeit haben die Einschränkungen durch die Skalierung aber nur einen untergeordneten Stellenwert, da das Hauptaugenmerk auf dem direkten Vergleich der Ergebnisse auf der Modellebene liegt. Die Skalierung in den Naturmaßstab wird nachfolgend im Kapitel 8 gesondert betrachtet. Anmerkungen zur Tabelle 4.4: Die maximale Leistungsfähigkeit der Hochdruckpumpe liegt bei ca. 7 bar und ca. 50 l/s. Die Messungen decken einen Bereich von 20 bis 70 l/s ab. Der Mittelwert von 45 l/s wird als Vergleich herangezogen. Durch Überlastung der Pumpe sind höhere Durchflüsse und Drücke möglich. Als Obergrenze für den Druck werden 7 bar eingehalten. Die Rohrleitungen und der Krümmer sind zwar prinzipiell auf 10 bar ausgelegt, doch wurde ein entsprechender Sicherheitszuschlag für die Schweißungen (Kapitel 4.3.3) und für eventuell unerwartet auftretende Druckstöße eingehalten.

94 82 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Tab. 4.4: Charakteristische Größen in Natur und Modell für M=1:25 Natur Modell Längen Durchmesser 6,3 [m] 25,20 [cm] 6,25 [m] 25 [cm] 3,1 [m] 12,40 [cm] 3,5 [m] 14,00 [cm] 4 [m] 16,00 [cm] 4,5 [m] 18,00 [cm] 5 [m] 20,00 [cm] Krümmer 7 [m] 28,00 [cm] Beruhigungslängen 10 [m] 40,00 [cm] 50 [m] 200,00 [cm] max. Länge Labor 450 [m] 18 [m] Froude Reynolds Durchflüsse [l/s] [m 3 /s] 140 [m 3 /s] 44,80 5,6 70 [m 3 /s] 22,40 2,8 10 [m 3 /s] 3,20 0,4 Labor (Hochdruck) 140,625 [m 3 /s] 45 [l/s] Differenzdrücke bei Q = 140 [m 3 /s] Q = 45 [l/s] Abschwingen xi = [mbar] [mbar] ,52 210, ,93 149, ,07 133, ,20 108,32 Aufschwingen xi= [mbar] [mbar] ,10 77, ,81 52, ,71 46, ,61 35,86 Druck mittlerer Wert 125 [bar] 5 [bar] maximaler Wert 175 [bar] 7 [bar]

95 4.3 Aufbau des Modellversuchs Aufbau des Modellversuchs Komponenten Der physikalische Modellversuch gliedert sich für die Untersuchung in folgende Baugruppen (Auflistung in Fließrichtung des Abschwingens): ˆ Zuleitung (DN 200, im Labor teilweise fix verbaut) und Aufweitung auf DN 250 ˆ Schacht (DN 250) ˆ Düse (Wahl der zu untersuchenden Düse Kapitel 2.4) ˆ Krümmer ˆ Unterkammer (DN 200) ˆ Klappe und Ableitung (beides DN 200) Im Fall des Aufschwingens dreht sich die Anordnung der Modellelemente um. Der Aufbau des Modells verändert sich je nach zu untersuchenden Lastfall, da die Pumpe und das Unterwasser bedingt durch die Gegebenheiten im Labor fixiert sind. Der Ausgangspunkt des Wasserkreislaufes ist die Hochdruckpumpe, welche direkt aus dem Unterwasserkanal des Labors das Wasser entnimmt. Sämtliche Rohrleitungen bis hin zur Steuerungsklappe sind aus Niro (WST EN 10217). Abgehend von der Klappe werden Kunststoffrohre verwendet, die das Wasser in die große Glasrinne des Labors leiten. Von dort fließt das Wasser über ein Messwehr (V-Wehr) zurück in den Unterwasserkanal. Der Krümmer besteht aus zwei Halbschalen, welche aus kohlenstofffaserverstärktem Kunststoff (Carbon-faserverstärkter Kunststoff (CFK)) gefertigt sind. Die neun untersuchten Düsen wurden aus Aluminium (Abb. 4.1 (a), Material AlCu4PbMgMn, Durchmesser außen 270 mm) gedreht. Bei der Konzeptionierung des Modells wurde in besonderer Weise auf die Möglichkeit eines raschen und einfachen Austausches der Düsen geachtet. Deshalb wird die Rohrleitung auf der Seite der Düse (Schacht) mit Hilfe eines zusätzlichen Kunstoffflansches (Abb. 4.1 (b), rot) aufgepresst. Die Düsen sind so gefertigt, dass sie in das Niro-Rohr (Schacht) hineinreichen. Mit dem passgenauen Flansch auf dem Krümmer kann die Düse formschlüssig fixiert werden. Auf der Seite der Unterkammer wird der Krümmer auf den Fixflansch aufgeschraubt. Für den Wechsel der Düsen wird die Verschraubung gelöst und die Seite der Unterkammer mit fixiertem Krümmer abgerückt (Abb. 4.1 (b)). Die Lagerung des Modells auf Holz ermöglicht die entsprechende Verschiebung, so dass die Düse entnommen werden kann, ohne dass eine weitere Verbindung gelöst werden muss. Die Abdichtung erfolgt über Dichtungsringe, welche sich auch bei sehr hohen Drücken bewährt haben.

96 84 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Versuchsprogramm Die Untersuchungen wurden mit dem Lastfall Abschwingen begonnen und nach dem Umbau mit dem Lastfall Aufschwingen fortgesetzt. Die Untersuchung der auf Grund der numerischen Voruntersuchungen gewählten neun Düsen (Kapitel 2.4) dauerte knappe zwei Monate. (a) Drehen einer Düse (b) Geöffneter Modellversuch - Düsenwechsel (c) Modellaufbau Abschwingen (Strömungsrichtung von links nach rechts) inklusive aller weiteren untersuchten Düsen Abb. 4.1: Modellaufbau - Komponenten

97 4.3 Aufbau des Modellversuchs 85 Der untersuchte Durchflussbereich reicht von knapp über 20 l/s bis 65 l/s. Nach unten wird die Messung durch den maximalen Druck von 7 bar beschränkt und nach oben hin durch die Leistungsfähigkeit der Pumpe. Durch die unterschiedlichen Verlustbeiwerte und damit verbundenen Druckdifferenzen der Düsen kann der Bereich variieren. Die Messung erfolgte kontinuierlich, wobei der Abfluss in möglichst regelmäßigen Abständen durch die Klappenstellung verändert wird. Je nach Düse ergibt sich dabei eine unterschiedliche Schrittweite. Daraus resultiert die charakteristische Verteilung der Messpunkte in Kapitel Messtechnik Übersicht Die im Zuge der Messungen gewonnenen Daten gliedern sich in zwei Gruppen: Durchfluss und Druckverhältnisse. Der Durchfluss wird ermittelt, um über die Kontinuitätsgleichung auf die Geschwindigkeiten schließen zu können. Zusätzlich wird der Druck auf beiden Seiten der Düse bestimmt. Die Druckmessung untergliedert sich wiederum in die Messung des Relativdrucks (RD) und des Differenzdrucks (DD) Durchflussmessung Die Messung des Durchflusses erfolgt mit Hilfe einer magnetisch-induktiven Durchflussmessung (MID). Dies wird auch als induktive Durchflussmessung (IDM) bezeichnet. Bei dieser Messung wird die Veränderung der durch ein Magnetfeld induzierten Spannung in dem Fluid ausgewertet [58]. Für die Messungen wird ein IDM der Firma Siemens mit dem Sensor 5100 W und dem Signalumformer MAG 6000 verwendet (Abb. 4.3 (c)). Als zusätzliche Absicherung ist nach der Klappe für die Regelung ein Messwehr eingebaut (Abb. 4.3 (d)). Der Wasserstand wird anhand eines Echolotmessgeräts laufend erfasst und stichprobenartig mit einem Stechpegel überprüft. Mit Hilfe der bekannten Wasserstands-Abflussbeziehung kann eine zusätzliche Kontrolle des Durchflusses durchgeführt werden. Die Schlüsselkurve und die notwendige Entfernung der Messgeräte vom Wehr sind im Zuge der Diplomarbeit [101] für die große Glasrinne im Wasserbaulabor der Universität Innsbruck untersucht worden Differenzdruckmessung Ein ähnliches Konzept wird für die Druckmessung verwendet. Für die Hauptmessung des Differenzdrucks (DD) wird das Gerät SITRANS P DS III der Firma SIE- MENS verwendet. Zusätzlich werden im Schacht und der Unterkammer je ein Relativdruckmessgerät (RDM) zur Ermittlung des Relativdrucks RD 14 (SITRANS P 14 Beim Relativdruck (RD) wird der Unterschied zum Atmosphärendruck gemessen. Der Wert entspricht somit dem Unterschied zwischen dem Inneren und dem Äußeren der Rohrleitung. Im

98 86 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Serie Z, SIEMENS) verbaut (Abb. 4.3 (a)). Die Messgeräte dienen zum einen zur Bestimmung des Druckniveaus in beiden Rohrleitungen und können zum anderen auch zur Plausibilitätskontrolle für die ermittelten Druckdifferenzen herangezogen werden (Kapitel 4.4.4). Die Aufnahme des Druckes am Modell erfolgt in den Rohrleitungen über vier Bohrungen. Die Anordnung entspricht den Quadranten des Querschnittes. Dies ermöglicht eine gesonderte Auswertung jedes Punktes (Kapitel 5.4.3). Im Regelbetrieb wird durch die Verbindung mit einer Ringleitung eine Mittelung über alle Punkte vorgenommen. Bei der Festlegung der Messquerschnitte werden neben den numerischen Überlegungen (Kapitel 3.4.4) unter anderem auch modelbautechnische Aspekte berücksichtigt. Zum Beispiel bedarf es ausreichend Platz für das Aufschweißen der Zylinder mit dem Gewinde. Im Bereich des Krümmers werden die Rohrleitungen zur Druckmessung bei der Herstellung der CFK-Schalen mit einlaminiert. Der Innendurchmesser der Leitungen liegt bei 2 mm. Der in der Literatur angegeben Richtwert für den Durchmesser liegt bei 0,3 bis 1 mm [95] bzw. 1,5 mm ([96],[69]). Der etwas größere Wert wurde aus fertigungstechnischen Gründen gewählt. Eine Anordnung der Messpunkte in der Symmetrieebene des Krümmers ist bedingt durch den Stoß der beiden Hälften nur mit einem erhöhten Aufwand umsetzbar. Deshalb werden die Messpunkte auf beide Seiten der Symmetrieebene abgerückt (Drehung um ±10 um die Achse des Segments). Für die Messung werden die Ober- und Unterseite miteinander verbunden. Ausgehend von den Entnahmepunkten für die Druckmessung wird der Druck über je einen Schlauch zum Schaltschrank mit den Ventilen geführt (Abb. 4.3 (b)). Durch die Wahl eines steifen Schlauches (Durchmesser: 6 mm/4 mm) und die sehr geringe Geschwindigkeit (nach dem Spülen und Entlasten reine Druckausbreitung) in den Rohrleitungen werden die Einflüsse des Schlauches auf die Messung minimiert. Alle Verbindungen zu den Messquerschnitten weisen die selbe Schlauchlänge auf, welche sich nach der maximal notwendigen Länge richtet. Für die Punkte des Krümmers wird ebenfalls eine etwas kürzere einheitliche Länge verwendet. Dadurch treten annähernd gleiche Abweichungen auf beiden Seiten der Druckmessung auf, welche durch die Differenzbildung das Ergebnis nicht beeinflussen sollten. Durch die Wahl eines transparenten ( natur ) Schlauches sind im Leitungssystem auftretende Luftblasen gut erkennbar. Durch die systematische Spülung der Leitung bei ca. 6,5 bar in der Rohrleitung kann die Luft relativ schnell aus dem System abgelassen werden. Dies ist besonders beim Lastfall Abschwingen von Bedeutung, da sich bei diesem Lastfall beim Füllen des Modells eine Luftblase vor der Düse bildet. Zur Reinigung wird eine Rückspülung des Systems über die Wasserleitung durchgeführt. Gegensatz dazu wird bei einer Absolutdruckmessung als Referenzdruck das Vakuum verwendet.

99 4.3 Aufbau des Modellversuchs 87 Abb. 4.2: Messquerschnitte

100 88 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation (a) Relativdruckmessung (b) Differenzdruckmessung inkl. der Ventile (c) IDM (d) V-Wehr Abb. 4.3: Messgeräte

101 4.4 Messfehler physikalisches Modell Messfehler physikalisches Modell Einleitung Bei industriellen Prozessen gilt in der Regel der Grundsatz für die Wahl des verwendeten Messgerätes: So genau wie nötig und nicht so genau wie möglich [58]. Bei wissenschaftlichen Anwendungen sollten aber höhere Ansprüche an die Genauigkeit gestellt werden. Zusätzlich stellt sich die Frage Wie genau ist die Messung?, welche für die Bewertung der Aussagekraft der gewonnenen Ergebnisse entscheidend ist. Im nachfolgenden Kapitel wird der Einfluss von Messfehlern auf die Zielgröße(n) untersucht und die Wahl der Messgeräte überprüft. Einzelne Fehleransätze werden nachfolgend in Kapitel 5.3 für die Auswertung herangezogen. Der Fehler ɛ wird allgemein als Differenz zwischen Messergebnis (Y) und Messgröße (X) beschrieben. Dieser Wert kann absolut oder relativ von der Messgröße angegeben werden. Fünf Fehlertypen werden laut [58] unterschieden: 1. Quantisierungsfehler - Übertragung eines analogen Wertes in eine digitale Stufenfunktion 2. Dynamische Fehler - Erfassung von zeitlich veränderlichen Messwerten 3. Statische Fehler - Abweichungen von der angestrebten Übertragungsfunktion 15 im zeitlich konstanten Zustand 4. Systematische Fehler - reproduzierbare und vorhersehbare Abweichungen 5. Zufällige Fehler - nicht vorhersehbar, aber statistisch beschreibbar Um die Auswirkungen der vorhersehbaren Fehler auf das Ergebnis zu ermitteln, werden zwei unterschiedliche Ansätze verfolgt. Zum einen wird ein Fehleransatz in die Grundgleichung (Kapitel 4.4.2) eingeführt und zum anderen wird die Fehlerfortpflanzung (Kapitel 4.4.3) ermittelt. Für den vorliegenden Fall werden in Kapitel die Fehler quantifiziert und mit Hilfe der unterschiedlichen Ansätze ausgewertet. Um die Auswirkung von zufälligen Fehlern auf die Auswertung zu erkennen, wird im Zuge des Kapitels 6 eine Sensitivitätsanalyse durchgeführt. 15 Ausgehend von einer linearen Übertragungsfunktion Y = m X +n wird ein Erreichen von m = 1 und n = 0 angestrebt. Dadurch ergibt sich ɛ = Y X = 0.

102 90 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Auswirkung der Ungenauigkeiten im Modellversuch Im Hinblick auf eine umfassende Qualitätssicherung ist es notwendig, die möglichen Auswirkungen der zu erwartenden Messfehler auf das Ergebnis abzuschätzen. Für die Quantifizierung des Fehlers wird auf die Angaben des Herstellers des jeweiligen Messgerätes zurückgegriffen (Kapitel 4.4.4, Tab. 4.5), die die Genauigkeit der Messeinrichtung unabhängig vom Einbau und dem Messprogramm angeben. Für die Bestimmung des Verlustbeiwertes sind die Messung des Druckes und des Durchflusses durch solche Abweichungen betroffen. Dabei wird die Annahme getroffen, dass die geometrischen Genauigkeitsunterschiede in den Rohrleitungen und den anderen durchströmten Bauteilen entsprechend klein gehalten werden kann, sodass eine Vernachlässigung zulässig ist. Exemplarisch wird der Einfluss einer Ungenauigkeit in der Herstellung in Kapitel 6.4 für die Düse D8 untersucht. Ziel der nachfolgenden Abschätzung ist es, ein xi aus den Abweichungen der Messgrößen zu ermitteln. Als Ausgang dient die Formel (2.7), wobei die Geschwindigkeiten durch den Ansatz aus der Kontinuitätsgleichung ersetzt werden. xi = ( p 1 p 2 ρ xi = ( + Q2 p ρ Q 2 + (A ) 2 1 A ( A 2 1 A ) ) ) 2 A2 2 Q 2 xi = p 2 A2 2 + A2 2 1 ρ Q 2 A A 2 2 (4.5) Ausgehend von der Annahme, dass der Fehler konstant ist, wird für die Berechnung des Verlustbeiwertes xi f,p unter Berücksichtigung einer Druckabweichung die Größe f p zum Ausgangswert p addiert. Bildet man die Differenz zwischen diesen beiden xi-werten ergibt sich das xi f,p (Formel (4.7)). Fehleransatz: xi f,p = p + f p + ρ Q 2 ( p + fp xi f,p = ρ Q 2 ) + β 2 A 2 2 ( A 2 1 A } {{ } β ) 2 A2 2 (4.6) xi f,p = xi f,p xi ( ) p ρ Q + β 2 A xi f,p = 2 A2 2 fp (4.7) ρ Q2 Ein ähnlicher Ansatz wird für die Messung des Durchflusses durchgeführt. Für die Ermittlung des verfälschten Verlustbeiwertes xi f,q und des daraus resultierenden xi f,q wird der Durchfluss um die Abweichung f Q ausgelenkt.

103 4.4 Messfehler physikalisches Modell 91 Fehleransatz: xi f,q = p ρ (Q + f Q) 2 + ( A 2 1 A } {{ } β ) 2 A2 2 (4.8) xi f,q = xi f,q xi ( ) ( ) p xi f,q = ρ (Q + f Q) 2 + β 2 A 2 p 2 ρ Q + β 2 A xi f,q = 2 ( A2 2 p 1 ρ (Q + f Q) 2 1 ) Q 2 (4.9) Durch Umformen der Formel (4.7) nach f p und der Formel (4.9) nach f Q kann aus bekannten Abweichungen der Fehler rückgerechnet werden. f Q = Q ± A 2 Q f p = ρ Q2 xi 2 A 2 f,p (4.10) 2 2 p 2 p A ρ xi f,q Q 2 (4.11) Da die beiden Messsysteme unabhängig voneinander sind, können die Fehler gleichzeitig auftreten und die beiden Ansätze von Formel (4.7) und (4.9) werden gemeinsam für die Differenz xi f,p,q angewendet. Fehleransatz: xi f,p,q = p + f p ρ (Q + f Q) 2 + ( A 2 1 A } {{ } β xi f,p,q = xi f,p,q xi ( ) ( ) p + fp xi f,p,q = ρ (Q + f Q) 2 + β 2 A 2 p 2 ρ Q + β 2 A xi f,p,q = 2 ( A2 2 p + fp ρ (Q + f Q) 2 p ) Q 2 ) 2 A2 2 (4.12) (4.13) Bei einer bekannten Abweichung des Verlustbeiwertes xi f,p,q ist eine Rückrechnung laut Formel (4.15) auf die Fehler f Q und f p unter der Annahme, dass der jeweils andere bekannt ist, möglich. f p = 2 p f Q Q p f Q + ρ xi f,p,q (Q + f Q) 2 (4.14) 2 Q 2 2 A p + 2 f p f Q = Q ± A 2 Q 2 p A ρ xi (4.15) f,p,q Q 2

104 92 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Fehlerfortpflanzung Um den Einfluss der Messfehler auf die Genauigkeit des Ergebnisses abzuschätzen, wird die Fortpflanzung unter der nicht exakten Annahme 16 der mittleren zu erwartenden Fehler des Gesamtergebnisses Y laut der Formel (4.16) berechnet [58]. Y = k ( ) 2 f x j (4.16) x j j=1 Ausgehend von der Formel (4.6) ergeben sich die partiellen Ableitungen nach den beiden Größen p und Q wie folgt: f δp = 2 A2 2 Q 2 ρ f Q = 4 A2 2 p Q 3 ρ (4.17) Aus der Formel (4.16) unter der Berücksichtigung der Formeln (4.7) und (4.9) ergibt sich die Fehlerabschätzung zu: 4 A 4 2 Y = f p A4 2 p2 fq 2 4 A 4 2 = (Q ) 2 fp p 2 fq 2 (4.18) Q 4 ρ 2 Q 6 ρ 2 Q 6 ρ Auswertung Messfehler Konzept Für die Quantifizierung des Messfehlers des jeweiligen Gerätes werden die Angaben des Herstellers herangezogen. In Tabelle 4.5 sind entsprechende Angaben zusammengefasst. Die Auswertung der durch Herstellerangaben definierten Messfehler wird in zwei Schritten durchgeführt. Zuerst erfolgt die Ermittlung laut den einzelnen Fehleransätzen aus Formel (4.7) für den Differenzdruck und Formel (4.9) für den Durchfluss. Nachfolgend wird die Kombination laut Formel (4.13) und die Fehlerfortpflanzung (Formel (4.18)) ermittelt. Dazu ist es notwendig, gewisse Annahmen zu treffen, die in Tabelle 4.6 (Flächen laut Formel (4.20)) zusammengefasst sind. Für die beiden unterschiedlichen Lastfälle (Auf- und Abschwingen) ändert sich der Bezugsquerschnitt (Kapitel 2.1). 16 Für eine exakte Berechnung ist die Bestimmung der Standardabweichung jedes einzelnen Fehlers notwendig. Dies wird jedoch in der Praxis selten angewandt [58].

105 4.4 Messfehler physikalisches Modell 93 Tab. 4.5: Herstellerangaben Messgenauigkeit Bezeichnung Wert Einheit Relativdruckmessgerät f p,rd ± 0,25 [%] vom Endwert 10 bar (max 0,5%) Differenzdruckmessgerät f p,dd Formel (4.19) [%] von der eingestellten Messspanne Durchflussmessung IDM f Q,IDM ± 0,5 [%] vom Messwert Durchflussmessung IDM f Q,IDM,h ± 0,2 [%] von v +1 [mm/s] Durchflussmessung Pegel f Q,h ± 0,7 [mm] r 10 f p (0, 0029 r + 0, 071) [%] 10 r 30 f p (0, 0045 r + 0, 071) [%] für r = 30 r 100 f p (0, 005 r + 0, 05) [%] max. Messspanne eingestellte Messspanne (4.19) 0, 202 A UK = π [m 2 ] 4 0, 252 A Schacht = π [m 2 ] (4.20) 4 Tab. 4.6: Annahmen für (*exemplarische) Auswertung Bezeichnung Wert Kommentar A 2,Ab A UK Bezugsquerschnitt Abschwingen A 2,Auf A Schacht Bezugsquerschnitt Aufschwingen p einge,ab *150 [mbar] eingestellter Messbereich DD p einge,auf *100 [mbar] eingestellter Messbereich DD Fehleransatz - getrennte Betrachtung Für die Relativdruckmessung (RD) wird vom Hersteller ein Fehler von 0,25% des Endwertes angegeben. Somit ergibt sich der Fehler f p,rd laut Formel (4.21). f p,rd = 10 [bar] 0, 25% = 0, 025 [bar] = 2500 [Pa] (4.21) Die Auswertung der Abweichung xi f,p,rd für den Fall, dass der Fehler nur einfach in die Differenzbildung eingeht, zeigt, dass die Genauigkeit dieses Messsystems für die Differenzdruckmessung eindeutig nicht ausreicht (Abb. 4.4 (a)). Dadurch wird auf eine Fehlerakkumulation bedingt durch die Notwendigkeit von zwei Messgeräten (je eines im Schacht und der Unterkammer) verzichtet. In der weiteren Fehlerbetrachtung für den Verlustbeiwert xi wird die Relativdruckmessung bedingt durch die große Ungenauigkeit in der Differenzbildung ausgeklammert.

106 94 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Für die Bestimmung des Druckniveaus in der Rohrleitung relativ zum Umgebungsdruck ist die Genauigkeit aber ausreichend. Daher dienen diese Messungen zum einen der prinzipiellen Kontrolle der Ergebnisse und zum anderen der Dokumentation der Druckverhältnisse in den Rohrleitungen. Die Messgeräte für den Differenzdruck (DD) weisen einen deutlich kleineren Fehler auf als jene für die Relativdruckmessung. Aus der Beziehung laut Formel (4.19) kann das Verhältnis r mit den Werten 1600 mbar für die maximale Messspanne (Geräteeigenschaft) und der Annahme 17 des eingestellten Messbereiches (p einge) berechnet werden. Dadurch ergibt sich ein relativer Fehler des Messgerätes bezogen auf die eingestellte Messspanne. Der Fehler f p,dd wird in der Formel (4.22) ausgewertet. Da der Fehler f p,dd deutlich kleiner als f p,rd ist und als Multiplikator in die Berechnung eingeht, skaliert sich die Kurve entsprechend (Abb. 4.4 (b)). p einge,ab = 150 [mbar] r = 10, 6 6 f p,dd,ab,rel = 0, 1190% f p,dd,ab = 150 [ ] P a [bar] 0, 1190% 105 = 17, 85 [Pa] 1000 bar p einge,auf = 100 [mbar] r = 16 f p,dd,auf,rel = 0, 1430% f p,dd,auf = 100 [ ] P a [bar] 0, 1430% 105 = 14, 3 [Pa] (4.22) 1000 bar (a) Relativdruckmessung (b) Differenzdruckmessung Abb. 4.4: Auswertung Fehleransatz Druck 17 Der Messbereich wird für jede einzelne Düse entsprechend der zu erwartenden Differenzdrücke angepasst. Dies kann auch mehrfach und durchflussabhängig verändert werden. Eine Auflistung der tatsächlich verwendeten Messbereiche findet sich in Tabelle 6.1.

107 4.4 Messfehler physikalisches Modell 95 (a) bezogen auf Q (xi = 12) (b) bezogen auf xi (Q=35 l/s) Abb. 4.5: Auswertung Fehleransatz IDM - Genauigkeit 0,5% (a) bezogen auf Q (xi = 12) (b) bezogen auf xi (Q=35 l/s) Abb. 4.6: Auswertung Fehleransatz IDM - Genauigkeit 0,2% + 1 mm/s

108 96 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Für den zweiten Messwert werden ebenfalls zwei unterschiedliche Messverfahren angewendet: IDM und Messwehr. Die Herstellerangaben für die induktive Durchflussmessung (IDM) beträgt für f Q,IDM,rel = 0, 5% vom Messwert (Standardgerät, Tab. 4.5). Somit kann die Berechnung des Fehleransatzes laut Formel (4.9) wie in Formel (4.23) dargestellt vereinfacht werden. Durch das Ersetzen der Druckdifferenz p (Formel (2.14)) ergibt sich anhand des relativen Ansatzes eine Unabhängigkeit vom Durchfluss Q, aber eine Abhängigkeit vom Verlustbeiwert xi (Abb. 4.5). Dabei wird die Vereinfachung getroffen, dass für die Ermittlung des p eine genaue Messung vorliegt, und deshalb auf den zusätzlichen Fehleransatz verzichtet wird. xi f,q = 2 ( A2 2 p 1 ρ (Q + Q f Q,IDM,rel ) 2 1 ) Q 2 xi f,q = ( 2 A 2 2 xi A 2 xi f,q = xi f,q = 2 A2 2 p ((1 + f ρ Q 2 Q,IDM,rel ) 2 1 ) ) ρ Q 2 ((1 + f ρ Q 2 Q,IDM,rel ) 2 1 ) 2 2 A 2 1 A ( xi ( A2 A 1 ) 2 + 1) ((1 + f Q,IDM,rel ) 2 1 ) (4.23) Der hochgenaue IDM weist eine Abweichung f Q,IDM,h von ± 0, 2% + 1 mm/s von der zu messenden Geschwindigkeit auf 18. Durch den konstanten Fehlerzusatz von 1 mm/s ist die Vereinfachung nach Formel (4.23) nicht mehr möglich und es wird auf die ursprüngliche Formel (4.9) zurückgegriffen. Der Vergleich zeigt, dass der Wechsel auf den hochgenauen IDM einen deutlichen Genauigkeitsgewinn bringt (Abb. 4.6). In weiterer Folge wird auf die Anwendung des Standardgerätes verzichtet, da der hochgenaue IDM im Modellversuch verbaut wird. Neben der induktiven Durchflussmessung wird zusätzlich der Abfluss über ein Messwehr kontrolliert. Auf Grund des relativ kleinen Abflusses von bis zu ca. 70 l/s wird ein V-Wehr verwendet. Der Winkel α entspricht 90 und somit vereinfacht sich die allgemeine Formel nach [100], wie in Formel (4.24) beschrieben. Q = 8 ( α ) 15 µ tan 2 ( g h 5 2 mit α = 90 α ) tan = B h < h max = 2 tan ( ) = B α 2 2 Q = 8 15 µ 2 g h 5 2 (4.24) Die Wasserstandshöhe wird mit Hilfe eines Ultraschallsensors fortlaufend gemessen und stichprobenartig mit Hilfe eines Stechpegels überwacht. Die Lage der Messgeräte wurde im Zuge der Diplomarbeit [101] kontrolliert und optimiert. Der in Tabelle 4.5 angegebene Fehler für die Wasserstandsmessung muss entsprechend angepasst werden (Formel (4.27)). 18 Diese Angaben beziehen sich auf eine Durchflussgeschwindigkeit v 0, 1 m/s, was 3, 14 l/s entspricht. Unter diesem Wert erhöht sich der Fehler deutlich.

109 4.4 Messfehler physikalisches Modell 97 (a) Auswertung Schlüsselkurve - Formel (4.26) (b) relativer Fehler des Messwehres (f Q,h /Q) Abb. 4.7: Auswertung Messwehr Der Abfluss Q ergibt sich in Abhängigkeit des Überfallbeiwertes µ (Formel (4.25)), der Erdbeschleunigung g, der Breite B des Gerinnes (in diesem Fall die Glasrinne) und der Überfallhöhe h [100], [91]. Der Einfluss der Sohllage vor dem Wehr (w 0 entspricht der Höhe der Unterkante des Wehres von der oberwasserseitigen Sohle gemessen) wurde im Zuge von [101] detailliert untersucht. ( [ µ = 1 h2 tan ( ) ] α 2 ) ( ) 2 0, B (h + w 0) 1000 h 2 3 tan ( ) α 2 ( α = 90 α ) tan = 1 2 ( µ = 1 [ h 2 3 B (h + w 0) ] 2 ) ( 1 + 0, h 3 2 ) (4.25) Wird der Ansatz für den Überfallbeiwert µ aus Formel (4.25) in die Gleichung für den Abfluss (Formel (4.24)) übernommen, so ergibt sich die Abflussbestimmung wie in Formel (4.26) beschrieben und in Abbildung 4.7 (a) (mit B = 0, 8 m, w 0 = 0, 447 m) ausgewertet. Q = 8 ( 45 h h 3 2 ) ( ) h B 2 (h + w + 1 0) 2 6 g (4.26) Für den Fehleransatz wird die Messabweichung auf die Formel (4.26) aufgebracht und somit errechnet sich der Fehler f Q,h laut Formel (4.27). Dieser kann als f Q in die Berechnung der Abweichung des Verlustbeiwertes übernommen werden (Formel (4.9) und (4.11)).

110 98 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation ( ) Fehleransatz: Q f,q,h = 8 45 (h + f h) (h + f h ) 3 2 ( (h + f h ) 4 )... 9 B 2 ((h + f h ) + w g 0) 2 f Q,h = Q f,q,h Q [ ( ) ( f Q,h = (h + f h ) 5 33 (h + f h ) 4 ) (h + f h ) B 2 ((h + f h ) + w ) 2 ( ) ( )] 33 h h B 2 (h + w ) g (4.27) Die Genauigkeit des Echolotpegels kann allgemein mit ±0, 7 mm angegeben werden. Dies wird durch die zusätzliche stichprobenartige Messung mittels Stechpegel kontrolliert. Die Auswertung des umgelegten relativen Fehlers findet sich in der Abbildung 4.7 (b). Die entsprechende Auswertung des Wertes xi f,q,h ist in den Abbildungen 4.8 (a) und (b) dargestellt. Der Vergleich der Auswertungen der Durchflussmessungen zeigt, dass die Messung mit dem IDM deutlich genauer ist. (a) bezogen auf Q (xi = 12, 6) (b) bezogen auf xi (h=0,1 m) Abb. 4.8: Auswertung Fehleransatz Messwehr

111 4.4 Messfehler physikalisches Modell Fehlerkombination Aufbauend auf den einzelnen Auswertungen werden für die weitere Betrachtung nur die beiden genaueren Messungen Differenzdruck und hochgenauer IDM herangezogen. Die Kombination erfolgt nach den beiden in Kapitel und beschriebenen Ansätzen. Auf eine zusätzliche Kombination mit den Kontrollmessgeräten (Relativdruck, Messwehr) wird verzichtet. Sie weisen entsprechend höhere Fehlerwerte auf, werden aber nur für die Plausibilitätsprüfung der Ergebnisse herangezogen. Vergleichbar mit der Einzelauswertung des vorherigen Abschnittes kann mittels gleichzeitiger Anwendung eines Fehlerterms der Einfluss auf die Verlustbeiwerte laut Formel (4.13) berechnet werden. Um den maximalen Wert des gesamten Fehlers zu ermitteln ist es notwendig, dass die jeweiligen Fehleransätze jeweils ± eingesetzt werden. Die Auswertungen in den Abbildungen 4.10 (a) bis (d) sind exemplarisch für die zu untersuchenden Düsen und werden mit den in den vorherigen Kapiteln erwähnten Rahmenbedingungen durchgeführt. Die Auflistung der im Zuge der Messungen verwendeten Grenzen für die Kombination der Messquerschnitte M3 M7 findet sich in Tabelle 6.1. Die Kombinationen von Fehlern mit unterschiedlichen Vorzeichen liefern die größten Werte für die Abweichung der Verlustbeiwerte in beide Strömungsrichtungen. In die Fehlerfortpflanzung (Kapitel 4.4.3, Formel (4.18)) werden die selben Angaben wie für die nachfolgende Auswertung eingesetzt und das Ergebnis in Abbildung 4.9 dargestellt. Da die Fehler jeweils als Quadrat in die Formel eingehen, ist eine Anpassung der jeweiligen Vorzeichen wie beim Fehleransatz nicht notwendig. Abb. 4.9: Auswertung Fehlerfortpflanzung

112 100 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation (a) f Q ; +f p (b) +f Q ; +f p (c) f Q ; f p (d) +f Q ; f p Abb. 4.10: Auswertung Kombination der einzelnen Fehleransätze (xi = 12, 6)

113 4.5 Verifikation Verifikation Kontrolle der Lage Das Modell ist auf einen Holzunterbau gebettet. Dies soll als eine Dämpfung eventuell auftretende Eigenschwingungen des Systems (Kapitel 4.5.2) verhindern. Der Abstand vom Boden wird möglichst minimal gehalten. Dabei ist aber ein Aufliegen der Flansche zu verhindern. Die Ableitung nach der Klappe wird in die Glasrinne eingehängt. Die Ausrichtung der Rohrleitungen in der Horizontalen erfolgte mit einer elektronischen Wasserwaage. Für die Positionierung in der Halle wird unter anderem ein Theodolit verwendet. Die Rohrleitungen werden durch Keile in den Holzauflagepunkten fixiert. Durch das Gewicht der Rohrleitungen, welche an den Krümmer anschließen, ist eine zusätzliche Fixierung im Hinblick auf Umlenkkräfte im Krümmer nicht notwendig. Ein unerwünschtes Verschieben während des Wechsels der Düse wird durch eine Lagesicherung verhindert Schwingungsmessung Der Aufbau des Modells sieht nur einen festen Fixierungspunkt beim Anschluss an die Versorgungsleitung des Labors vor. Alle Bauteile des Modellversuchs werden mit einer Lagesicherung versehen (Kapitel 4.5.1). Deshalb wird die Stabilität des Modellversuchs auf Schwingungen kontrolliert. Eine Schwingungsanregung könnte durch ungünstige Betriebszustände induziert werden und das Messergebnis beeinflussen. Um die relative Verschiebung des Krümmers und der Düse zu untersuchen wurde in Zusammenarbeit mit dem Arbeitsbereich der Stahl- und Mischbautechnologie eine PONTOS-Messung durchgeführt. Dabei wurden Messmarken auf dem Modell befestigt. Mit Hilfe von zwei Hochgeschwindigkeitskameras wurde die relative Verschiebung dieser Punkte aufgezeichnet (Abb. 4.11). Gemessen wurde die Düse D3 (Kapitel 2.4, Aufschwingen) bei sechs unterschiedlichen Durchflüssen (im Bereich von 20 bis 60 l/s). Ein Einfluss der Aufnahmefrequenz des Messsytems wurde nicht festgestellt. Die Auswertung ergab kein charakteristisches Schwingungsmuster. Die maximalen relativen Verschiebungen lagen im Bereich von 0, 1 mm. Die Masse der aufgezeichneten Vektoren lag knapp über der Messgenauigkeit des Systems von ±0, 04 mm. Die Ergebnisse der Messung lassen somit darauf schließen, dass Aufbau und Bettung des Modells keinen Einfluss auf die Messergebnisse haben [132].

114 102 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation (a) Lagerung (b) PONTOS Messung (c) Lagekontrolle Abb. 4.11: Lagerung des Modellversuches und Kontrolle

115 4.5 Verifikation Langzeitmessung Für die Kontrolle der Langzeitstabilität der Messung und des Messaufbaues wird exemplarisch ein Abschnitt der Messreihen für die Düse D3 Aufschwingen herangezogen. Bedingt durch die Vorbereitungen zur Schwingungsmessung (Kapitel 4.5.2) wurden die Daten über einen längeren Zeitraum mit unveränderter Klappenstellung erfasst. Der Zeitraum von ungefähr 30 Minuten bei einem Durchfluss um die 50 l/s wird nachfolgend im Detail untersucht. Dazu werden 500 aufeinander folgende Messpunkte herangezogen. Die Nummer der Messung wird als x-achse verwendet, welche somit als Zeitachse fungiert. Die Abbildung 4.12 zeigt die Auswertung des Verlustbeiwertes gemäß dem allgemeinen qudratischen Ansatz laut Kapitel in diesem Zeitraum. Die Auswertung des xi-wertes zeigt eine deutliche Schwankung um den Mittelwert. Um die Einflüsse quantifizieren zu können werden die beiden Hauptmesswerte Durchfluss (Abb. 4.13) und Differenzdruck (Abb. 4.14) untersucht. Abb. 4.12: Exemplarische Auswertung des Verlustbeiwertes Für die Auswertung der Messgrößen wird neben dem Mittelwert (mean(messwert), rote Linie) der Datenpunkte die Spanne der Standardabweichung (mean(messwert) ± std(messwert), rote strichpunktierte Linie) in den beiden Diagrammen eingetragen [10]. Zusätzlich wird für beide Messwerte der Fehler laut den Herstellerangeben (Kapitel 4.4.4) berechnet. Durch Addition und Subtraktion der Fehler vom Mittelwert ergibt sich die grüne strichpunktierte Linie (mean(messwert) ± Messfehler). Für die Durchflussmessung (Abb. 4.13) liegen die gemessenen Werte (bis auf einzelne Ausreißer) innerhalb dieser Grenzen. Dies lässt den Schluss zu, dass der Durchfluss annähernd konstant ist und innerhalb der angenommenen Messgenauigkeit liegt.

116 104 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Abb. 4.13: Exemplarische Auswertung - Durchflussmessung Abb. 4.14: Exemplarische Auswertung - Differenzdruckmessung Abb. 4.15: Exemplarische normierte Auswertung In Abbildung 4.14 erfolgt die selbe Auswertung für den Differenzdruck mit der Fehlerberechnung laut Formel (4.19). Für die Messung war der Messbereich auf p einge,auf = 90 mbar limitiert. Im Fall des Differenzdruckes liegt die Genauigkeit des Messgeräts eindeutig innerhalb der Standardabweichung der gemessen Werte. Im vorliegenden Fall unterscheiden sich die beiden Werte jeweils um den Faktor std(dd1)/f P = 4,98 [-]. Dies lässt sich durch zwei Ursachen begründen. Zum einen könnte ein höherer Messfehler vorliegen, als vom Hersteller angegeben. Zum anderen ist die Annahme

117 4.5 Verifikation 105 einer konstanten zu messenden Druckdifferenz zu hinterfragen. Tatsächlich werden durch die instationäre Wirbelbildungen ebenfalls Druckschwankungen induziert, die entsprechend mitgemessen werden. Dadurch wird der Rückschluss auf die Messgenauigkeit erschwert. Die Differenzdruckmessung ist somit von instationären Vorgängen verhältnismäßig stärker beeinflusst als die Durchflussmessung. Eine vergleichbare Aussage kann durch die Normierung der einzelnen Messwerte durch den jeweiligen Mittelwert gewonnen werden. Dieser ist in Abbildung 4.15 dargestellt. Die Abweichungen im Bereich der Differenzdruckmessungen werden im Zuge des Kapitels mit Hilfe des hochfrequenten Messaufbaus weiter untersucht. Um den Einfluss der Schwankungen auf den Mittelwert zu überprüfen, wird für die 500 Messpunkte eine lineare Regressionsanalyse durchgeführt. Dabei werden die Koeffizienten c 1 und c 0 in Formel (4.28) bestimmt. Als x-wert wird dabei die Anzahl der Messungen verwendet. Als Funktion kommt dabei robustfit [86] zur Anwendung. Diese verwendet einen iterativen Algorithmus zur Berechnung der kleinsten Quadrate der Abweichungen und ist somit im Verhältnis zur regress-funktion [86] deutlich stabiler gegenüber Ausreißern [14]. y = c 1 x + c 0 (4.28) In Tabelle 4.7 finden sich die entsprechenden Werte. Die Werte für die Variable c 0 liegen sehr nahe am Mittelwert und der Koeffizient c 1 lässt bedingt durch den geringen Wert nicht auf eine klar abweichende Tendenz in der Messung schließen. Die Durch- Tab. 4.7: Auswertung der Langzeitmessung mean min max max-min std c 1 c 0 DD1 [mbar] 58,134 55,95 59,83 3,872 0,678-0, ,18 IDM [l/s] 50,029 49,89 50,19 0,3052 0,050 0, ,01 xi-wert [-] 12,669 12,26 13,00 0,7395 0,132-0, ,69 flussmessung erfolgt im Lastfall Aufschwingen in Fließrichtung vor dem Krümmer. Um eine Verfälschung der Ergebnisse durch die räumliche Entfernung zwischen der Differenzdruckmessung und dem Messwert des IDM ausschließen zu können, wird eine relative Verschiebung untersucht. Dazu wird als erstes die mittlere Geschwindigkeit, wie in Formel (4.29), dargestellt abgeschätzt. Ausgehend von einer Rohrlänge von 12 m (zwei Rohre) kann die Fließdauer mit 7,5 sec berechnet werden. Dies stellt nur eine sehr grobe Abschätzung dar, da zwischen den beiden Aufnahmepunkten für die Differenzdruckmessung die Düse sowie eine Aufweitung liegt. Q mean A UK = 50, 029 l/s 0, 1 2 π m m = 1, 59 m l s (4.29) Beim Standardaufbau wird ca. alle 4 bis 5 Sekunden ( t M ) ein Messwert abgespeichert (Kapitel 4.5.4). Vergleicht man diesen Wert mit der ermittelten Fließdauer ist diese ca. doppelt so groß wie der zeitliche Abstand zwischen zwei aufgezeichneten

118 106 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Messungen. Um einen zeitlichen Versatz zu überprüfen wird die frühere Messung des Durchflusses verzögert mit der Messung des Differenzdruckes verglichen. Dazu wird der erste Wert der IDM-Messung gelöscht, der Vektor nachgerückt und der letzte Wert mit dem Mittelwert über die gesamte Reihe angefüllt. Somit stehen sich wieder gleich viele Messungen gegenüber. Dieser Vorgang wird drei Mal wiederholt und in Tabelle 4.8 werden die Ergebnisse mit den Referenzwerten aus der ursprünglichen Auswertung in Tabelle 4.7 verglichen. Tab. 4.8: Relative Verschiebung der Durchluß- und DD-Messung mean min max max-min std c 1 c 0 Referenz 12,669 13,004 0,7395 0,1318-0, ,685 t M 1 12,669 12,264 13,013 0,7490 0,1319-0, ,686 t M 2 12,669 12,220 12,976 0,7560 0,1323-0, ,686 t M 3 12,669 12,255 12,976 0,7209 0,1327-0, ,686 Die Auswertung zeigt, dass das relative Verschieben der beiden beispielhaften Datenreihen der Langzeitmessung keinen signifikanten Einfluss auf das Ergebnis hat Hochfrequente Messungen Im Regelbetrieb werden alle Messwerte nacheinander abgefragt, beginnend mit den Differenzdrücken. Danach erfolgt die Erfassung des Wertes der Relativdruckmessungen, des Durchflussmessgerätes (IDM) und abschließend der Pegelmessung (Echolot). Dabei arbeiten zwei Messkarten parallel und nach dem Abschluss der gesamten Abfrage wird ein Zeitschritt in die Datei abgespeichert. Dieser Prozess ermöglicht die Generierung eines Datensatzes alle 4 bis 5 Sekunden. Dies entspricht einer Messfrequenz von 0,25 bzw. 0,2 Hertz (Hz). Um hochfrequente Effekte zu messen, reicht diese Auflösung nicht aus. Deshalb wird ein Differenzdruckmessgerät (DD1) aus dem normalen Messaufbau entnommen und gesondert angesteuert. Die Differenzdruckmessgeräte sind bei allen anderen Messungen mit einer internen Mittelung von 1 Sekunde in Verwendung. Für diesen Versuch wird die zusätzliche Mittelung für das Messgerät DD1 ausgeschaltet. In der schnellstmöglichen Zeit liest die Software 1001 Werte des DD1 über eine Messkarte aus und ruft danach einmal die gesamten anderen Messinstrumente ab. Das Schreiben des 1002-ten Wertes erfolgt ungefähr alle 93 Sekunden. Dadurch kann die Messfrequenz auf 10,8 Hz gesteigert werden. Für die Auswertungen in Kapitel und wird zusätzlich eine möglichst kurze Schlauchverbindungen zwischen dem Messgerät und dem Modell verwendet. Die Ergebnisse der Langzeituntersuchung in Kapitel werden mit Hilfe des hochfrequenten Messaufbaues untersucht. Dabei wird die Düse D1 (Kapitel 2.4, Lastfall Aufschwingen) untersucht. Für die Messung des Differenzdruckes zwischen den Messquerschnitten M3 und M7 wird die Verschlauchung im Vergleich zur allgemeinen

119 4.5 Verifikation 107 Messung nicht verändert. In den Abbildungen 4.16 und 4.17 sind zwei exemplarische Auswertungen von hochfrequenten Differenzdruckmessungen dargestellt. Bei beiden Messungen liegt wie auch bei der Langzeitsimulation (Abb. 4.14) die theoretische Messgenauigkeit innerhalb der Standardabweichung der Messung. Die Auswertung der Messwerte ist für beide Durchflüsse in Tabelle 4.9 dargestellt. Die Parameter der Reggresionsgeraden (Formel (4.28)) sind vergleichbar mit denen aus Tabelle 4.7 für die standardmäßige Messung. Die Differenz zwischen Maximum und Minimum ist bei der hochfrequenten Messung größer. Durch die interne Mittelung über 1 Sekunde im Normalbetrieb werden extremere Ausreißer ausgeglichen. Tab. 4.9: Auswertung der hochfrequenten Messung M3 M7 Aufschwingen bei Differenzdruckmessung Q [l/s] mean min max max-min std c 1 c 0 38,366 36,369 34,045 39,767 5,722 0,6888-0, , ,603 46,367 43,304 49,977 6,673 0,7972 0, ,2168 Abb. 4.16: Exemplarische hochfrequente Auswertung - Q = 38,4 l/s Abb. 4.17: Exemplarische hochfrequente Auswertung - Q = 44,6 l/s

120 108 Kapitel 4 Physikalische Modelluntersuchung - Aufbau und Verifikation Ermittlung der Randbedingung für die Numerik Als Testlauf wird bei jedem Lastfall die Bestimmung der Druckrandbedingung am Ausflussrand (Kapitel 3.2.3) für die numerischen Berechnungen vorangestellt. Hierzu wird die Annahme P RDM2 = P Soll [bar] getroffen. Für die Ermittlung wird der Messbereich möglichst komplett einmal abgefahren und die Werte für die Relativdruckmessung nach der Düse in Verbindung mit dem Durchfluss Q in l/s gesetzt. Als Referenz dient dabei die Düse D1. Aus diesen Werten werden mittels der MATLAB- Funktion polyfit [86] die Konstanten für eine Polynominalfunktion zweiten Grades laut Formel (4.30) berechnet (Tab. 4.10, Abb. 4.18). Durch Überlastung der Pumpe können höhere Durchflüsse als 60 l/s erzieht werden. Tritt dieser Fall in der Numerik ebenfalls ein, muss von dem Bezug in Formel (4.30) abgegangen werden, da sich sonst negative Drücke am Rand ergeben würden. Der Wert der Randbedingung wird in diesem Fall dem des physikalischen Modellversuches entsprechend angenähert. Diese ermittelte Beziehung zwischen den beiden Messwerten wird als repräsentativ für alle numerischen Berechnungen verwendet. Sie stellt näherungsweise für alle untersuchten Düsen eine möglichst modellnahe Randbedingung dar. Mit dieser Annahme ist eine weitestgehende Entkopplung der numerischen und physikalischen Untersuchungen möglich. Zusätzlich ist die Vergleichbarkeit der numerischen Ergebnisse untereinander verbessert, da immer die selben Randbedingungen verwendet werden. Die gewählte Größe der Druckrandbedingung hat keinen signifikanten Einfluss auf den Vergleich zwischen physikalischem Modellversuch und numerischer Berechnung. Die Begründung ergibt sich aus den theoretischen Gleichungen (Kapitel 2.1.1, es geht nur der Differenzdruck p in die Ermittlung ein) und wird in Kapitel numerisch nachgewiesen. P Soll = c 2 Q 2 + c 1 Q + c 0 (4.30) Tab. 4.10: Koeffizienten für die Ermittlung der Randbedingung c 2 c 1 c 0 Abschwingen -0, , ,65254 Aufschwingen -0, , ,20468

121 4.5 Verifikation 109 (a) Abschwingen (b) Aufschwingen Abb. 4.18: Randbedingungen Numerik

122

123 Kapitel 5 Ergebnisse 5.1 Konzept Die Auswertung der numerischen Berechnungen (Kapitel 3) und der Messungen des physikalischen Modellversuchs (Kapitel 4) erfolgt im nachfolgenden Kapitel parallel zueinander. In Kapitel 5.2 werden die Auswertungen des Differenzdrucks (jeweils die Abbildung (a)) und des Verlustbeiwertes xi (Abbildungen (b)) grafisch dargestellt. Eine detaillierte Auswertung der Ergebnisse erfolgt in Kapitel 5.3. Dabei liegt der Fokus auf dem Zusammenhang zwischen dem berechneten bzw. gemessenen Differenzdruck p und dem Durchfluss Q. Dies ist unter anderem die Grundlage für die Sensitivitätsuntersuchung in Kapitel 6. Anschließend werden die Werte der Numerik direkt mit dem Ergebnis des Modellversuchs in Kapitel 7 verglichen und die Hypothesen des aktualisierten Bemessungskonzeptes überprüft. Die Auswertung konzentriert sich in beiden Lastfällen auf die Hauptmessquerschnitte M3 zu M7 (Abb. 4.2). Die Bezugsebene für die Ermittlung des Verlustbeiwertes ist jeweils der Querschnitt nach der Düse. Durch den kleineren Querschnitt der Unterkammer ergibt sich eine höhere Geschwindigkeit v UK als im Schacht (v Schacht ). Somit ist ein gleicher xi-wert nicht gleichbedeutend mit einer identen Verlusthöhe. 5.2 Darstellung der Ergebnisse Abschwingen Nachfolgend sind für den Lastfall Abschwingen (Strömungsrichtung aus dem Schacht durch die Düse in die Unterkammer) in den Abbildungen 5.1 bis 5.9 die Ergebnisse der numerischen Berechnung als dunkelgrüne Linie mit Kreismarkern und jene der physikalischen Untersuchung mit Hilfe von blauen Punkten dargestellt. In der jeweils linken Abbildung (a) wird der Differenzdruck in Abhängigkeit vom Durchfluss aufgetragen. Rechts davon wird der daraus laut Formel (2.7) berechnete Verlustbeiwert xi eingezeichnet.

124 112 Kapitel 5 Ergebnisse Nach der Umrechnung auf den xi-wert ist eine deutlich größere Schwankungsbreite der Ergebnisse aus dem physikalischen Modellversuch ersichtlich. Dies lässt sich damit begründen, dass die Messwerte in der ursprünglichen Form ohne zusätzliche Filterung (Rohdaten) dargestellt werden. Bei den numerischen Ergebnissen treten Abweichungen einzelner Rechnungen auf. Auch diese werden in der Auswertung nicht gesondert behandelt. Durch die große Anzahl an Punkten ergibt sich in der Auswertung in Kapitel 5.3 eine Vergleichmäßigung der Ergebnisse. (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.1: Auswertung Düse D1 Abschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.2: Auswertung Düse D2 Abschwingen

125 5.2 Darstellung der Ergebnisse 113 (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.3: Auswertung Düse D3 Abschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.4: Auswertung Düse D4 Abschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.5: Auswertung Düse D5 Abschwingen

126 114 Kapitel 5 Ergebnisse (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.6: Auswertung Düse D6 Abschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.7: Auswertung Düse D7 Abschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.8: Auswertung Düse D8 Abschwingen

127 5.2 Darstellung der Ergebnisse 115 (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.9: Auswertung Düse D9 Abschwingen Aufschwingen Vergleichbar mit Kapitel werden in den Abbildungen 5.10 bis 5.18 die Ergebnisse für den Lastfall Aufschwingen dargestellt. (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.10: Auswertung Düse D1 Aufschwingen

128 116 Kapitel 5 Ergebnisse (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.11: Auswertung Düse D2 Aufschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.12: Auswertung Düse D3 Aufschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.13: Auswertung Düse D4 Aufschwingen

129 5.2 Darstellung der Ergebnisse 117 (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.14: Auswertung Düse D5 Aufschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.15: Auswertung Düse D6 Aufschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.16: Auswertung Düse D7 Aufschwingen

130 118 Kapitel 5 Ergebnisse (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.17: Auswertung Düse D8 Aufschwingen (a) Differenzdruck (b) xi-werte Abb. 5.18: Auswertung Düse D9 Aufschwingen

131 5.3 Berechnung des Verlustbeiwertes Berechnung des Verlustbeiwertes Übersicht Neben den grafischen Auswertungen in Kapitel 5.2 wird nachfolgend für die numerischen und physikalischen Ergebnisse die Berechnung des Verlustbeiwertes durchgeführt. Dabei wird die Annahme zu Grunde gelegt, dass je Düse und Lastfall nur ein Wert den Verlust beschreibt. Die Ermittlung dieses Wertes kann basierend auf drei unterschiedlichen Paaren erfolgen: ˆ Verlustbeiwert xi Durchfluss Q (Grafik (b) in den Abbildungen 5.1 bis 5.18) ˆ Verlustbeiwert xi Differenzdruck p ˆ Differenzdruck p Durchfluss Q (Grafik (a) in den Abbildungen 5.1 bis 5.18) Die ersten beiden Punkte können zusammengefasst werden. Bei beiden Vergleichen werden die jeweiligen Ziel- und Optimierungswerte (Verlustbeiwerte, Verhältnis ZETA, Kapitel 2.1.2) aus der Numerik und dem physikalischen Modellversuch einer Messgröße gegenübergestellt. Dies führt zu einem linearen Ausgleichsproblem mit einem überbestimmten Gleichungssystem [18]. Das Ergebnis entspricht einer horizontalen Ausgleichsgeraden durch die Punkte der Auswertung der Grafiken (b) in den Abbildungen 5.1 bis Der Nachteil dieser Auswertung ist, dass der Verlustbeiwert dabei zuerst aus den beiden Messwerten errechnet werden muss. Der in weiterer Folge gewählte Ansatz konzentriert sich direkt auf die Beziehung zwischen den beiden Mess- und Auswertegrößen. Dabei werden die ermittelten Werte für den Differenzdruck p und den Durchfluss Q durch eine nichtlineare Funktion in Zusammenhang gebracht. Auf dieser Ebene erfolgt die Anwendung der Fehleransätze (Kapitel 4.4). Deshalb wird nachfolgend die Anpassung zwischen den beiden Messwerten durchgeführt. Das jeweilige Ergebnis wird anschließend auf den zu ermittelnden Verlustbeiwert xi umgelegt. Folgende Ansätze werden beim Vergleich von p und Q untersucht: ˆ Analytischer quadratischer Ansatz (Kapitel 5.3.2) ˆ Erweiterung mit einem unbekannten Fehlerwert (Kapitel 5.3.3) Additiver Ansatz Relativer Ansatz ˆ Geschwindigkeitshöhenausgleichswert α (Kapitel 5.3.4)

132 120 Kapitel 5 Ergebnisse Der Zusammenhang zwischen p und Q wird jeweils getrennt für alle Düsen und Lastfälle auf die physikalischen und numerischen Ergebnisse parallel angewandt. Die Auswertung wird mit einem Vergleich der Werte ergänzt. Die Validierung (Vergleich zwischen Numerik und Modellversuch) erfolgt aber gesondert in Kapitel 7. In Kapitel werden die einzelnen Ansätze zusammengestellt und über eine Bewertungsfunktion verglichen. Damit kann eine Aussage über die Qualität jedes einzelnen Ansatzes getroffen werden. Basierend auf diesen Untersuchungen wird in Kapitel 6 eine Sensitivitätsuntersuchung durchgeführt Analytischer quadratischer Ansatz Entsprechend der Rückrechnung der Druckdifferenz laut Formel (2.14) besteht ein quadratischer Ansatz zwischen dem Durchfluss Q und dem Differenzdruck p. Dabei wird vorausgesetzt, dass der unbekannte Verlustbeiwert xi konstant ist. In Formel (5.1) wird die Formel (2.14) mit der allgemeinen quadratischen Form verglichen. Damit können die Konstanten c 0, c 1 und c 2 definiert werden. p = (xi A A 2 1 A 2 ) 2 ρ Q 2 2 Ausgangsgleichung: p = c 2 Q 2 + c 1 Q + c 0 c 2 = (xi A 2 2 A 2 1 A 2 ) 2 ρ ; c 1 = c 0 = Ansatz: p = c 2 Q 2 (5.1) Die in Formel (5.1) eingeführte Funktion kann bestmöglich an die Daten angepasst werden. Dies wird mit Hilfe der MATLAB-Funktion fit [86] erreicht, wobei als Startwert der Koeffizient der polyfit [86] verwendet wird (Standardwert liegt zwischen 0 und 1, wobei der Koeffizient bedingt durch die Berechnung in SI-Einheiten eine Größenordnung von 10 6 erreicht). Basierend auf der Ermittlung der Koeffizienten erfolgt eine Rückrechnung auf den konstant angenommenen Verlustbeiwert xi entsprechend der Formel (5.2). In der nachfolgenden Tabelle 5.1 werden die Ergebnisse der numerischen und physikalischen Werte für diesen Ansatz dargestellt und miteinander verglichen. xi = c 2 A2 2 2 ρ + A2 2 1 (5.2) A 2 1

133 5.3 Berechnung des Verlustbeiwertes 121 Tab. 5.1: Auswertung quadratischer Ansatz - Verlustbeiwerte xi [-] Ab xi Numerik(N) xi Modell(M) xi N xi M xi N xi M xi M [%] D1 12,510 12,232 0,278 2,269 D2 12,524 12,040 0,484 4,023 D3 13,693 13,616 0,077 0,565 D4 11,395 11,268 0,127 1,130 D5 12,527 12,233 0,294 2,405 D6 12,503 12,357 0,146 1,184 D7 12,407 12,416-0,009-0,073 D8 9,683 10,026-0,343-3,423 D9 11,908 11,522 0,386 3,352 Auf xi Numerik(N) xi Modell(M) xi N xi M xi N xi M xi M [%] D1 11,708 11,902-0,195-1,637 D2 13,890 14,062-0,172-1,222 D3 12,893 12,708 0,185 1,456 D4 10,773 10,690 0,082 0,768 D5 12,929 12,992-0,063-0,485 D6 14,766 15,006-0,240-1,597 D7 11,713 11,729-0,016-0,139 D8 11,628 11,701-0,072-0,618 D9 11,462 11,395 0,066 0, Erweiterung mit unbekanntem Fehleransatz Additiver Ansatz Basierend auf den Ansätzen aus Kapitel wird der additive Fehleransatz aus der Formel (4.13) so umgestellt, dass die Druckdifferenz p in Abhängigkeit vom Durchfluss Q ermittelt wird (Formel (5.3)). ( ) xi f,p,q = p + f p A 2 ρ (Q + f Q) A 2 2 } {{ 2 2 A2 2 } ( xif,p,q ) p = β ρ (Q + f Q) 2 f 2 A 2 p 2 } {{ } c 2 β p = c 2 (Q Q f Q + f 2 Q) fp (5.3) Dieser Zusammenhang kann ebenfalls durch die Erweiterung der Formel (5.1) mit den Fehlern f p und f Q ermittelt werden (Formel (5.4)). p + f p = c 2 (Q + f Q) 2 (5.4)

134 122 Kapitel 5 Ergebnisse Somit sind neben der Konstanten c 2, aus der laut Formel (5.2) der xi-wert berechenbar ist, die beiden Fehleransätze unbekannt. Mit Hilfe der MATLAB-Funktion fit [86] besteht die Möglichkeit, diese direkt anpassen zu lassen. Alternativ können durch den Vergleich der Formel (5.3) mit dem allgemeinen quadratischen Ansatz in Formel (5.5) die entsprechenden Konstanten ermittelt werden. Die Koeffizienten sind in Formel (5.5) beschrieben. c 2 = ( ( xi f,p,q A 2 2 A 2 2 c 1 = 2 c 2 f Q, 1 A ) ) ρ c 0 = c 2 f 2 Q f p Ansatz: p = c 2 Q 2 + c 1 Q + c 0 (5.5) Die in Formel (5.5) berechnete Konstante c 2 ist identisch mit dem analytischen quadratischen Ansatz. Aus dem Wert c 1 kann, wenn c 2 bekannt ist, ein Rückschluss auf die Größe des Fehleransatzes f Q gezogen werden. Wurde dieser bestimmt, kann mit Hilfe der Gleichung für den Koeffizienten c 0 der Fehler f p rückgerechnet werden. xi f,p,q = c 2 A2 2 2 ρ f Q = + A2 2 1 A 2 1 c1 2 c 2, f p = c 2 f 2 Q c 0 (5.6) Tab. 5.2: Auswertung mit Fehleransatz Formel (5.3) - Verlustbeiwerte xi [-] xi NF xi N xi M Ab xi NF xi MF xi MF xi NF xi MF xi MF [%] xi NF xi MF D1 12,560 12,330 0,230 1,868-0,051-0,098 D2 12,543 11,976 0,567 4,736-0,020 0,063 D3 13,696 13,206 0,490 3,707-0,003 0,410 D4 11,440 11,137 0,302 2,715-0,045 0,131 D5 12,549 11,867 0,683 5,753-0,023 0,366 D6 12,560 12,001 0,560 4,665-0,058 0,356 D7 12,423 12,099 0,324 2,675-0,016 0,317 D8 9,631 9,783-0,151-1,547 0,052 0,244 D9 12,339 11,589 0,750 6,467-0,431-0,067 xi NF xi N xi M Auf xi NF xi MF xi MF xi NF xi MF xi MF [%] xi NF xi MF D1 11,591 11,843-0,252-2,129 0,117 0,060 D2 13,807 14,052-0,245-1,741 0,083 0,010 D3 12,739 12,595 0,144 1,146 0,154 0,114 D4 10,692 10,481 0,211 2,009 0,081 0,209 D5 12,703 12,585 0,118 0,933 0,226 0,406 D6 14,788 14,747 0,041 0,279-0,022 0,259 D7 11,695 11,536 0,158 1,372 0,018 0,193 D8 11,549 11,478 0,071 0,615 0,079 0,222 D9 10,871 11,003-0,132-1,199 0,591 0,392

135 5.3 Berechnung des Verlustbeiwertes 123 Die direkte Ermittlung der Komponenten und der Umweg über den allgemeinen quadratischen Ansatz liefern in der Regel die selben Werte für die zu berechnenden Variablen. Im Hinblick auf die Stabilität des gewählten Startwertes zeigt sich, dass der Umweg über die quadratische Funktion unter den untersuchten Gegebenheiten stabiler ist (Kapitel , Abb. 5.19). In Tabelle 5.2 sind die Ergebnisse für den xi-wert dargestellt und mit jenem aus Tabelle 5.1 ohne Fehleransatz verglichen. Der berechnete konstante Fehleransatz ist in Tabelle 5.3 dargestellt. Die Differenz zwischen dem über die quadratische Funktion zurückgerechneten Fehler und dem direkt mit der Funktion fit [86] berechneten ist kleiner 10 3 [l/s] bzw. [mbar]. Tab. 5.3: Berechneter konstanter Fehler in [l/s] und [mbar] Ab f Q,N f Q,M f p,n f p,m D1 0,0002-0,4868 0,7789-1,8861 D2 0,1332 0,0122 1,0492-0,5542 D3 0,1802 1,1325 1,2474 2,9648 D4 0,0685 0,2559 0,8780 0,0188 D5 0,1277 0,7929 1,0497 0,7889 D6 0,0185 0,9510 0,7765 1,7712 D7 0,1354 0,6704 1,0154 0,6656 D8 0,2332 0,7088 0,5284 0,5359 D9-1,2702-0,4959-2,6756-2,1889 Auf f Q,N f Q,M f p,n f p,m D1 0,2107-0,2850-0,2611-0,9369 D2 0,2045-0,4532 0,0985-1,1687 D3 0,4397-0,3374 0,2368-1,2816 D4 0,0513 0,1565-0,2874-0,7038 D5 0,6175 0,8245 0,2862-0,1556 D6-0,1871 0,1846-0,3769-0,7252 D7-0,2540 0,0712-0,5856-0,8419 D8-0,1588 0,0358-0,6826-0,9900 D9 1,9988 0,8658 0,9319-0,2902

136 124 Kapitel 5 Ergebnisse Relativer Ansatz In Tabelle 4.5 sind die Angaben der Hersteller zur Genauigkeit der Messgeräte aufgelistet. Für das Durchflussmessgerät wird dieser relativ zum Messwert angegeben. Beim Differenzdruckmessgerät bezieht sich der relative Fehler auf die eingestellte Messspanne. Deshalb wird der Fehleransatz aus Formel (5.4) auf relative Fehler f p,rel und f Q,rel erweitert. p = ( ( xi f,p,q,rel A 2 2 A 2 2 p + f p = c 2 (Q + f Q) 2 p (1 + f p,rel ) = c 2 Q 2 (1 + f Q,rel ) 2 1 A p = c 2 Q 2 (1 + f Q,rel) f p,rel ) ) ρ Q 2 (1 + f Q,rel) f p,rel (5.7) In den Formeln (5.5) und (5.6) wird für den additiven Fehler auf die allgemeine quadratische Form zurückgegriffen. Für den Zusammenhang zwischen p und Q unter Berücksichtigung eines unbekannten relativen Fehlers ist dies nicht möglich. Daher wird der Ansatz laut Formel (5.7) mit drei Unbekannten mit Hilfe der MATLAB- Funktion fit [86] angepasst. Zu berechnen sind dabei drei Unbekannte xi f,p,q,rel, f p,rel und f Q,rel. Der Einfluss des Startwertes bei dieser Auswertung wird in Kapitel im Detail untersucht. Eine Variation des Startwertes für diese Anpassung (Abb. 5.19, Werte NFrel und MFrel) zeigt, dass eine sehr deutliche Abhängigkeit von der Wahl dieser Werte besteht. Die Ergebnisse der Anpassung sind nicht unabhängig von den anfangs gewählten Werten. Auf Grund dessen wird kein Ergebnis für diese Anpassung angeführt Einfluss des Startwertes Für die Düse D1 (Lastfall Abschwingen) wird exemplarisch der Startwert für die MATLAB-Funktion fit (Option: StartPoint, [86]) verändert. Die Ausgangswerte sind in Tabelle 5.4 zusammengefasst. Die Anpassung wird 500 Mal wiederholt, wobei der Startwert mit einem zufälligen Faktor zwischen -0,5 und 0,5 multipliziert wird. Anhand des Ergebnisses in Abbildung 5.19 ist ersichtlich, dass die mit der fit-funktion berechneten Anpassungen deutlich empfindlicher auf eine Veränderung des Startwertes reagieren. Dieser Unterschied in der Stabilität lässt sich durch die unterschiedlichen Algorithmen der Berechnung erklären. Bei der Funktion polyfit löst MATLAB die Vandermonde- Matrix [86]. Dieses Gleichungssystem ist lösbar, wenn die Stützwerte paarweise verschieden sind und somit die Determinante ungleich 0 ist ([18], [26]).

137 5.3 Berechnung des Verlustbeiwertes 125 Tab. 5.4: Startwerte für die MATLAB-Funktion fit Bezeichnung Beschreibung Startwert N,M analytischer Ansatz polyfit erster Wert NFq,MFq analytischer inkl. Fehler polyfit (quadratischer Ansatz) NF,MF analytischer inkl. Fehler (direkt) NFq,MFq fq = fp = 0 NFrel,MFrel analytischer inkl. relativer Fehler NFq,MFq fq = fp = 0 Eine detaillierte Abhandlung der Vandermonde-Matrix findet sich in [56]. Die darin beschriebenen Algorithmen zur Lösung werden generell als stabil bezeichnet, doch in Ausnahmefällen kann es zu interesting stability properties [56] kommen. Im Gegensatz dazu wird bei der fit-funktion der Startwert verwendet, um zu den gegebenen x-werten ein ŷ 1 zu berechnen. Im Anschluss werden die Parameter angepasst und ŷ 2 berechnet. Je nachdem, welches Ergebnis näher an den Daten liegt, wird die nächste Anpassung der Parameter gesteuert [86]. Somit ist der Startwert ein essenzieller Ausgangswert für die Ermittlung der Lösung. MATLAB bietet entsprechende weiterführende Optionen im Lösungsalgorithmus, welche die Anpassung verbessern. Auf Grund des höheren Rechenaufwandes ist aber eine Lösung mit der polyfit-funktion der allgemeinen Anpassungsfunktion vorzuziehen. Abb. 5.19: exemplarische Variation der Startbedingung für die Anpassung Numerik (N), Modellversuch (M)

138 126 Kapitel 5 Ergebnisse Geschwindigkeitsausgleichswert Ausgehend von Kapitel wird der quadratische Ansatz aus Formel (5.1) um den Geschwindigkeitsausgleichswert α pro Querschnitt ergänzt. Es wird dabei die Annahme getroffen, dass keine Abhängigkeit vom Durchfluss besteht. Die Beiwerte α 1 und α 2 werden in einer ersten Annahme entsprechend der Ergebnisse aus der Auswertung der numerischen Berechnungen aus Kapitel herangezogen. Die Formel (5.8) dient als Ausgangspunkt für die nachfolgende Auswertung in der Tabelle 5.5. Dabei wird der Anströmungsbereich mit α 1 = 1, 03 [-] relativ gering und α 2 = 1, 15 [-] gewählt. p = (xi α A α1 A 2 1 α 2 A 2 ) 2 ρ Q 2 (5.8) 2 Tab. 5.5: Auswertung mit Fehleransatz Formel (5.8) - Verlustbeiwerte xi [-] xi α,n xi N xi M xi Ab xi α,n xi α,m xi α,n xi α,m α,m xi α,m [%] xi α,n xi α,m D1 12,372 12,095 0,278 2,295 0,1377 0,1377 D2 12,386 11,902 0,484 4,069 0,1377 0,1377 D3 13,555 13,478 0,077 0,571 0,1377 0,1377 D4 11,257 11,130 0,127 1,144 0,1377 0,1377 D5 12,389 12,095 0,294 2,433 0,1377 0,1377 D6 12,365 12,219 0,146 1,197 0,1377 0,1377 D7 12,269 12,278-0,009-0,074 0,1377 0,1377 D8 9,545 9,889-0,343-3,471 0,1377 0,1377 D9 11,770 11,384 0,386 3,392 0,1377 0,1377 xi α,n xi N xi M xi Auf xi α,n xi α,m xi α,n xi α,m α,m xi α,m [%] xi α,n xi α,m D1 11,631 11,826-0,195-1,647 0,0768 0,0768 D2 13,813 13,985-0,172-1,229 0,0768 0,0768 D3 12,816 12,631 0,185 1,465 0,0768 0,0768 D4 10,696 10,614 0,082 0,773 0,0768 0,0768 D5 12,852 12,915-0,063-0,487 0,0768 0,0768 D6 14,689 14,929-0,240-1,605 0,0768 0,0768 D7 11,636 11,652-0,016-0,140 0,0768 0,0768 D8 11,552 11,624-0,072-0,623 0,0768 0,0768 D9 11,385 11,319 0,066 0,587 0,0768 0,0768 Eine direkte Berechnung der Beiwerte α 1 und α 2 über die Funktion fit [86] ergibt die selben Probleme mit der Instabilität gegenüber der Startwertwahl wie beim relativen Ansatz (Kapitel ) und kann somit nicht durchgeführt werden. Diese Problemstellung ist in Kapitel beschrieben. Die Ergebnisse der Auswertung mit den gewählten Beiwerten sind in Tabelle 5.5 aufgelistet. Unter der Berücksichtigung von

139 5.3 Berechnung des Verlustbeiwertes 127 konstanten Beiwerten α 1 und α 2 führt die Differenz zwischen dieser Annahme und dem reinen quadratischen Ansatz zu einer konstanten Abweichung. Die Düsengeometrie hat somit keinen Einfluss auf die Differenz. Diese exemplarische Berechnung wird in Kapitel 6.3 im Zuge der Sensitivitätsuntersuchung variiert Bewertung der Anpassung Um ein Maß für die Qualität der Anpassung des Ansatzes an die gemessenen bzw. gerechneten Daten zu erhalten, wird das Root mean square error (RMSE)-Bewertungskriterium verwendet. Eine Zusammenstellung alternativer Funktionen ist im Appendix von Gamerith [43] enthalten. Die Formel (5.9) beschreibt die RMSE-Ermittlung, mit O i als gemessenem und P i als berechnetem bzw. geschätztem Wert. Die Grenzen des ermittelten Wertes liegt zwischen 0 (berechnetes Ergebnis stimmt mit den Messungen überein) und, wobei das Ziel eine Minimierung des Wertes ist [43]. RMSE = 1 n n (O i P i) 2 (5.9) In der Tabelle 5.6 sind die RMSE-Werte für die neun Düsen dargestellt. Die Spalte N bzw. M bezieht sich auf die Auswertung der numerischen bzw. physikalischen Werte mit dem quadratischen Ansatz laut Kapitel Der Index F bezeichnet die Auswertung mit dem additiven Fehler und α jene laut Kapitel i=0 Tab. 5.6: Auswertung des RMSE-Bewertungskriteriums - DD [mbar] Ab N M N F M F N α M α N F /N[%] M F /M[%] D1 0,401 1,769 0,069 1,748 0,401 1,769 17,22 98,86 D2 0,345 1,067 0,062 1,043 0,345 1,067 17,98 97,70 D3 0,366 2,308 0,068 2,309 0,366 2,308 18,57 100,03 D4 0,384 1,095 0,083 1,062 0,384 1,095 21,59 96,99 D5 0,352 1,450 0,064 1,346 0,352 1,450 18,12 92,86 D6 0,356 0,968 0,082 0,940 0,356 0,968 23,01 97,15 D7 0,339 1,207 0,106 1,137 0,339 1,207 31,37 94,19 D8 0,064 1,315 0,043 1,225 0,064 1,315 67,03 93,18 D9 0,724 2,260 0,677 2,230 0,724 2,260 93,45 98,64 Auf N M N F M F N α M α N F /N[%] M F /M[%] D1 0,246 0,685 0,092 0,610 0,246 0,685 37,64 88,97 D2 0,097 0,736 0,085 0,673 0,097 0,736 87,51 91,35 D3 0,089 0,734 0,039 0,611 0,089 0,734 43,53 83,32 D4 0,181 0,563 0,097 0,456 0,181 0,563 53,50 81,08 D5 0,172 0,725 0,110 0,595 0,172 0,725 64,09 82,08 D6 0,121 0,797 0,086 0,721 0,121 0,797 70,60 90,39 D7 0,220 0,740 0,126 0,603 0,220 0,740 57,19 81,46 D8 0,323 0,684 0,191 0,545 0,323 0,684 58,97 79,62 D9 0,340 0,664 0,123 0,465 0,340 0,664 36,28 70,03

140 128 Kapitel 5 Ergebnisse Tab. 5.7: Auswertung des Konfidenzintervalls - xi-wert [-] 95%-Intervall 50%-Intervall Ab N M N F M F N M N F M F D1 0,0171 0,0101 0,0417 0,1826 0,0058 0,0035 0,0141 0,0628 D2 0,0218 0,0124 0,0662 0,3292 0,0073 0,0043 0,0223 0,1132 D3 0,0231 0,0522 0,0723 1,2646 0,0078 0,0179 0,0243 0,4343 D4 0,024 0,013 0,0799 0,2386 0,0081 0,0045 0,027 0,0821 D5 0,0222 0,0141 0,0679 0,286 0,0075 0,0048 0,0228 0,0984 D6 0,0224 0,0076 0,0872 0,225 0,0076 0,0026 0,0293 0,0774 D7 0,0214 0,0136 0,1132 0,3011 0,0072 0,0047 0,0381 0,1036 D8 0,004 0,0066 0,0457 0,117 0,0014 0,0023 0,0154 0,0403 D9 0,0457 0,0157 0,721 0,3294 0,0154 0,0054 0,2424 0,1133 Auf N M N F M F N M N F M F D1 0,0256 0,0091 0,1365 0,1533 0,0087 0,0031 0,0461 0,0528 D2 0,0149 0,0147 0,2206 0,3035 0,005 0,005 0,0742 0,1044 D3 0,0137 0,0119 0,1006 0,206 0,0046 0,0041 0,0338 0,0709 D4 0,0279 0,0108 0,2523 0,1966 0,0094 0,0037 0,0848 0,0676 D5 0,0265 0,0134 0,287 0,2195 0,0089 0,0046 0,0965 0,0755 D6 0,0186 0,0151 0,2224 0,3027 0,0063 0,0052 0,0748 0,1041 D7 0,0338 0,0141 0,3267 0,2112 0,0114 0,0048 0,1098 0,0726 D8 0,0498 0,0122 0,4961 0,204 0,0168 0,0042 0,1668 0,0702 D9 0,0523 0,0108 0,3207 0,1378 0,0176 0,0037 0,1078 0,0474 MATLAB bietet die Möglichkeit, bei Funktionen, welche mit fit [86] an die entsprechenden Daten angepasst werden, mit dem Befehl confint [86] die Konfidenzintervalle der berechneten Variablen (Confidence Bounds on Coefficients) auswerten zu lassen. Diese Vertrauenskoeffizienten [111] geben Grenzen an, so dass zu einem festgelegten Prozentsatz die Ergebnisse innerhalb dieser Schranken liegen. Für die Ergebnisse in Tabelle 5.7 werden die 95%- und 50%-Intervalle ausgewertet und jeweils die Differenz zwischen dem oberen und unteren Wert dargestellt. Die Auswertungen der Messung von Düse D3 Abschwingen weist, bedingt durch die Anpassungen an die parallele PONTOS-Messung (Kapitel 4.5.2), die schlechteste Übereinstimmung bei der Auswertungen des RMSE-Bewertungskriterium und dem Konfidenzintervall auf. Die beste Übereinstimmung wird bei der Düse D8 Abschwingen festgestellt. Das Bewertungskriterium ergibt für den Lastfall Aufschwingen deutlich bessere Werte als für die umgekehrte Strömungsrichtung. Beim Vergleich der Auswertung mit und ohne Fehleransatz kann in den meisten Fällen eine Verbesserung durch den zusätzlichen additiven Fehleransatz (Kapitel 5.3.3) festgestellt werden. Für die numerischen Werte kann mit dem additiven Fehleransatz eine deutlichere Verbesserung erzielt werden als für die Messungen (Tab. 5.6, Bezeichnung N F /N[%]). Die Berücksichtigung des α-wertes hat im vorliegenden Fall keinen Einfluss auf das Bewertungskriterium. Der detaillierte Vergleich zwischen dem numerischen und physikalischen Modellversuch wird in Kapitel 7.2 durchgeführt. Im Zuge dessen werden beide Ansätze (mit und ohne additiven Fehlerterm) untersucht.

141 5.4 Zusatzuntersuchungen Zusatzuntersuchungen Übersicht Die vorangestellten Untersuchungen konzentrieren sich auf die Messebenen (Kapitel 4.3.3). Für den Bereich des Krümmers wurden besonders für die Düse D1 ergänzende Messungen durchgeführt. Exemplarisch werden die hochfrequenten Messungen für die Düse D1 Aufschwingen im Detail untersucht. In den nachfolgenden Kapiteln wird der Messaufbau für die Untersuchung des letzten Krümmersegments vor der Düse (Kapitel 5.4.2) und für die Belastung im Schacht (Kapitel 5.4.3) erläutert. Das grundlegende Messkonzept findet sich in Kapitel Basierend auf den mittleren Werten der Messungen werden zusätzliche numerische Berechnungen durchgeführt. Die Ergebnisse werden in Kapitel miteinander verglichen Messaufbau Krümmer Das letzte Segment des Krümmers, welches direkt an die Düse anschließt, wird als Segment A bezeichnet. Für den Lastfall Aufschwingen wird mit relativ geringem Systemdruck von ca. 0,5 bar und ca. 40 l/s Durchfluss ein zusätzliches Messprogramm absolviert (Tab. 5.8). An das hochfrequent auswertende Differenzdruckmessgerät DD1 (Kapitel 4.5.4) wird an der PLUS-Seite der Messpunkt 19 A1o (Abb. 5.20) angeschlossen. Auf der MINUS-Seite wird als Vergleichswert der innen liegende Messpunkt A3o angeschlossen. Positive Messwerte bedeuten somit, dass A1o einen höheren Druck aufweist als A3o. Dies ist im Regelfall zu erwarten, da der Punkt im Außenbogen liegt. Tab. 5.8: Auswertung der Messungen A-Segment Q RDM1 RDM2 [l/s] [bar] [bar] DD1 [mbar] Mittelwert mean median min max var std 33,27 0,4674 0,3915 7,0827 7,097 2,692 11,892 1,8635 1, ,96 0,5504 0,4678 9,6033 9,614 4,338 16,122 2,6793 1, ,63 0,5743 0, , ,402 4,843 16,793 2,9691 1, ,57 0,609 0, , ,324 5,894 17,679 3,0927 1, ,64 0,6343 0, , ,025 6,418 19,266 3,2244 1,7957 Das Messgerät DD2 misst die Differenz zwischen dem zweiten Messpunktepaar A2 an der Außenseite des Segments A zum Messquerschnitt M7. Die Ergebnisse der fünf untersuchten Durchflüsse sind in Tabelle 5.8 dargestellt. Der Durchfluss Q und die Werte jedes Relativdruckmessgerätes (RDM) sind dabei als Mittelwert dargestellt. 19 Anmerkung: o bezeichnet den oben liegenden Messpunkt; bei allen anderen Messungen im Krümmerbereich werden jeweils eine Zusammenführung des oberen und unteren Messpunktes durchgeführt.

142 130 Kapitel 5 Ergebnisse Für die Auswertung werden die ersten Werte herangezogen. Die Außenseite ist bei allen untersuchten Durchflüssen mit einem höheren Druck beaufschlagt. Es konnte in keinem Fall ein negativer Wert festgestellt werden, welcher auf eine Umkehrung der Belastung auf den Krümmerbereich schließen ließe. In den Abbildungen 5.21 und 5.22 sind für zwei unterschiedliche Abflüsse eine Gesamtübersicht und jeweils zwei Detailausschnitte dargestellt. (a) Ansicht (b) Grundriss (c) Messung Abb. 5.20: Messpunkte A-Segment

143 5.4 Zusatzuntersuchungen 131 Abb. 5.21: exemplarische Auswertung inklusive Ausschnitt bei einem mittleren Durchfluss von 33,27 l/s Abb. 5.22: exemplarische Auswertung inklusive Ausschnitt bei einem mittleren Durchfluss von 40,63 l/s

144 132 Kapitel 5 Ergebnisse Messaufbau Schacht Für die zusätzlichen Messungen im Schacht werden die einzelnen Messpunkte der Querschnitte M5 und M6 gesondert angeschlossen. Die Nummerierung der Messpunkte erfolgte im Uhrzeigersinn. Die Blickrichtung ist dabei in Fließrichtung und der Scheitelpunkt wird mit 1 bezeichnet (Abb. 5.23). Die Auswertung des Vergleichs zwischen den beiden horizontalen Punkten für beide Querschnitte ist in der Tabelle 5.9 dargestellt. Zusätzlich ist darin die Differenzdruckmessung zwischen der rechten horizontalen Außenseite und dem Scheitelpunkt dargestellt. Die zu erwartende Abminderung konnte im physikalischen Modell quantifiziert werden. Tab. 5.9: Auswertung der Messungen Schacht Q RDM1 RDM2 DD1 [mbar] Mittelwert mean median min max var std M5 2 - M5 4 38,77 0,406 0,3256 1,0787 1,07-8,02 10,035 4,6653 2,160 44,09 0,459 0,3675 1,2294 1,247-7,923 9,308 5,0027 2,237 48,35 0,5046 0,402 1,4517 1,47-12,82 13,66 9,747 3,12 M6 2 - M6 4 38,51 0,4066 0,3249-0,0101-0,032-8,068 8,236 4,4885 2,119 51,74 0,545 0,4325-0,3566-0,343-11,74 14,34 7,5188 2,742 M5 2 - M5 1 38,66 0,4064 0,3247-2,3823-2,419-16,56 16,33 36,434 6,036 M6 2 - M6 1 38,55 0,4077 0,3261-1,2167-1,128-9,42 7,951 5,4115 2, Vergleich mit der Numerik Die Mittelwerte des Durchflusses und des Relativdruckes am Messgerät RDM2 aus den Tabellen 5.8 (Krümmer) und 5.9 (Schacht) dienen als Grundlage für die zusätzlichen numerischen Berechnungen (Tab. 5.10; RDM2 = P Soll). Dabei wird, vergleichbar mit den restlichen Berechnungen, ein Halbmodell berechnet. Für die nachfolgende Auswertung werden neben den Punktkoordinaten (Tab. 5.11) zusätzliche Ebenen für die Auswertung des Druckes in der Strömung definiert. In einem ersten Schritt werden diese beiden Auswerteverfahren miteinander verglichen und nachfolgend den Ergebnissen der Messung gegenübergestellt. In Abbildung 5.24 (a) sind neben den Messpunkten die gewählten Auswerteebenen eingeblendet. Die drei im Krümmerbereich definierten vertikalen Teilebenen A1, A2 und A3 (Abb (b)) weisen die gleiche Flächengröße von 38,92 cm 2 auf. Diese entspricht ca. 35% der Gesamtfläche des Schnittes durch das Halbmodell. Die Orientierung der Ebenen A1 und A3 (im Innenbereich des Krümmers) erfolgt über die zugehörigen Punkte. Für die Ebene A2 wird der P unkta1 durch P unkta2 ersetzt (vergleichbar mit einer Drehung um den P unkta3).

145 5.4 Zusatzuntersuchungen 133 (a) Krümmer und Düse (blau) (b) Drahtgitterdarstellung inklusive Rohrleitung Abb. 5.23: Messpunkte Schacht - Aufschwingen

146 134 Kapitel 5 Ergebnisse (a) Übersicht (b) Detail Krümmer Abb. 5.24: Auswertung Punkte und Auswerteebenen Tab. 5.10: Randbedingungen für die zusätzlichen Berechnungen Krümmer Nummer DP 1 DP 2 DP 3 DP 4 DP 5 QSoll [l/s] 33,27 38,96 40,63 42,57 43,64 PSoll [bar] 0,3915 0,4678 0,4918 0,5213 0,5363 Schacht Nummer DP 6 DP 7 DP 8 DP 9 DP 10 DP 11 DP 12 QSoll [l/s] 38,77 44,09 48,35 38,51 51,74 38,66 38,55 PSoll [bar] 0,3256 0,3675 0,402 0,3249 0,4325 0,3247 0,3261 Tab. 5.11: Koordinaten der Punkte in [cm] Bezeichnung x y z Bezeichnung x y z P unkta1-7, ,2977 1,4471 M6 2-12, P unkta2-6, ,5953 1,5050 M ,5 P unkta3 9, ,3383 1,4760 M6 4 12, M5 2-12, M7 2-12, M ,5 M ,5 M5 4 12, M7 4 12, Die Auswertung der Werte als Punkt und als Flächen ermöglicht einen Vergleich zwischen den beiden Verfahren zur Ermittlung der Werte. Für die Darstellung wird in den beiden Diagrammen in Abbildung 5.25 eine Normierung vorgenommen und das Ergebnis der beiden Methoden verglichen. Zu jedem x-wert sind alle Auswertungen einer Berechnung laut Tabelle 5.10 als Nummer für den Designpunkt (DP) dargestellt. Für den Schachtbereich werden die einzelnen Punkte (z.b. M5 2, M5 3 und M5 4) durch das gewichtete Mittel (areaave, Kapitel 3.4.4) der dazugehörigen Fläche normiert.

147 5.4 Zusatzuntersuchungen 135 (a) Schacht (b) Krümmer Abb. 5.25: Vergleich Punkt- und Flächenauswertung Die in Abbildung 5.25 (a) dargestellten Werte veranschaulichen die Abweichung der drei Punkte. Ein Wert 1,0 bedeutet, dass der Punkt den selben Druck aufweist wie das gewichtete Mittel der Fläche. Je weiter die Ebene dabei von der Düse entfernt ist, desto näher liegen die Werte um 1. Als Wert für die Normierung in Abbildung 5.25 (b) wird der Wert des Punktes herangezogen. Der Faktor zwischen dem Punktwert am Rand zum Minimum, Maximum und gewichteten Mittelwert der Teilfläche wird da-

148 136 Kapitel 5 Ergebnisse durch ermittelt. Die maximalen Drücke liegen dabei tendenziell im Außenbereich und werden deshalb durch den P unkta3 verhältnismäßig schlechter dargestellt. Der Unterschied zwischen Punkt und Flächenauswertung ist in den untersuchten Fällen relativ gering. Für die weitere Auswertung werden somit nur die Punktwerte herangezogen. In Tabelle 5.12 werden die Ergebnisse der numerischen Berechnung jenen der Messung gegenübergestellt. Für die numerischen Berechnungen werden alle Werte dargestellt. Die fett unterlegten Ergebnisse entsprechen den Vergleichswerten für die Messung. Tab. 5.12: Vergleich Krümmer und Schacht - Druck in [mbar] numerische Berechnung Q M5 M6 M5 M6 Messung [l/s] DD min mean max 33,27 6,283 1,320 0,197 1,334 0,025 2,69 7,083 11,89 38,96 8,688 1,567 0,181 1,794-0,071 4,34 9,603 16,12 40,63 9,462 1,554 0,162 1,793-0,105 4,84 10,407 16,79 42,57 10,40 1,523 0,153 1,896-0,118 5,89 11,335 17,68 43,64 10,94 1,526 0,180 1,679-0,100 6,42 12,046 19,27 38,77 8,600 1,565 0,186 1,795-0,065-8,02 1,079 10,04 44,09 11,17 1,532 0,207 1,525-0,087-7,92 1,229 9,31 48,35 13,43 1,468 0,947 1,260 0,158-12,82 1,452 13,66 38,51 8,484 1,562 0,188 1,795-0,059-8,07-0,010 8,24 51,74 15,37 0,660 0,434 1,454-0,469-11,74-0,357 14,34 38,66 8,551 1,564 0,187 1,795-0,062-16,56-2,382 16,33 38,55 8,502 1,563 0,188 1,795-0,059-9,42-1,217 7,95 Die Auswertung zeigt, dass die numerischen Werte sehr nahe am Mittelwert der Messungen liegen. Die Abweichung liegt dabei in der Größenordnung von bis ca. 1 mbar. Eine Ausnahme stellt nur die Auswertung der Messpunkte M5 2-3 und M6 2-3 (Tab. 5.12, Vergleich in den letzten beiden Zeilen) dar. Dabei werden jeweils zwei Messpunkte miteinander verglichen, die unterschiedliche Höhenlagen aufweisen. Da in der Numerik die Erdbeschleunigung vernachlässigt wird, ist der Druck an den beiden unteren Punkten M5 3 und M6 3 im Vergleich kleiner als in der Natur. Dadurch ergibt sich für diese Auswertung eine in Relation schlechtere Übereinstimmung als bei den Betrachtungen in der horizontalen Ebene. Da die numerische Berechnung auf dem RANS-(Reynolds Averaged Navier-Stokes- )Ansatz basiert, können zeitliche Schwankungen nicht dargestellt werden. Dazu wäre ein Ansatz mit geringerem Modellierungsgrad der Turbulenz (z.b.: Large Eddy Simulation) notwendig. Im Hinblick auf die stationäre Betrachtung kann zusammenfassend eine gute bis sehr gute Übereinstimmung festgestellt werden.

149 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse 6.1 Konzept Im nachfolgenden Kapitel wird der Einfluss von Unsicherheiten der Eingangswerte auf das Ergebnis untersucht. Es erfolgt insofern eine Vereinfachung, als nur exemplarische Einzelparameter untersucht werden [113]. Nachfolgend werden drei Eingangsgrößen untersucht: ˆ Messwert (Kapitel 6.2) ˆ Geschwindigkeitshöhenausgleichswert α (Kapitel 6.3) ˆ Geometrie (Kapitel 6.4) Allgemein kann die Größe der Abweichungen der Eingangswerte entweder zufällig variiert oder innerhalb definierter Bereiche verändert werden [113]. Letztere Option wird für die Untersuchung der Geometrie herangezogen. Dazu werden definierte Veränderungen der Geometrie ergänzend zu den Variationen am Segmentmodell (Kapitel 2.3) untersucht. Bei den anderen beiden Eingangsgrößen werden zuerst charakteristische Werte für Abweichungen definiert und im Anschluss wird eine Variation dieser Werte durchgeführt. 6.2 Messwerte Übersicht In der nachfolgenden Untersuchung wird die Sensitivität der gewonnenen Ergebnisse auf Fehler in der Messung 20 systematisch ermittelt. Insbesondere sollen die theoretischen Berechnungen aus Kapitel 4.4.4, welche zur Wahl der verwendeten Messgeräte geführt haben, kontrolliert werden. Ausgangspunkt ist der analytische quadratische Ansatz aus Formel (5.1) inklusive der Rückrechnung des Verlustbeiwertes in Formel (5.2) aus Kapitel Anmerkung: die Ergebnisse der numerischen Berechnungen werden für diese Untersuchung nicht herangezogen.

150 138 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse In Kapitel wird eine Bestimmung des Fehlers aus der Gesamtheit der Messpunkte angestrebt, wobei die Annahme getroffen wird, dass die Obergrenze des Fehlers pro Gerät über die gesamte Messdauer konstant ist. Dies entspricht einer konstanten Auslenkung der Messung. In der Realität treten neben den statischen und systematischen Fehlern zufällige Fehler auf, die weder reproduzierbar noch vorhersagbar sind [58]. Bei jedem Schritt der Sensitivitätsuntersuchung wird ausgehend von den gemessenen Werten (M) ein neuer Datensatz (M) erzeugt. Der neue Datensatz wird durch das Aufbringen von zusätzlichen Fehlergrößen (f Q,i und f p,i) generiert. Dieser wird pro Durchlauf durch die Multiplikation des charakteristischen Fehlerwerts mit einem Zufallsvektor (zwischen 0 und 1) erzeugt. Dadurch wird jeder einzelne Punkt gesondert innerhalb der gewählten charakteristischen Werte ausgelenkt. Abb. 6.1: Skizze - Aufbringen der Verschiebungen auf die Messpunkte für einen Durchlauf der Sensitivitätsbetrachtung Der Zusammenhang zwischen den beiden Datenreihen ist in Abbildung 6.1 skizziert. Durch die neue Datenreihe wird ebenfalls mit Hilfe des analytischen quadratischen Ansatzes eine Kurve angepasst und daraus der Verlustbeiwert berechnet. Dieser Vorgang wird mehrfach wiederholt. Somit ergibt sich eine Kurvenschar, welche sich bedingt durch die gewählte Grundform im Punkt Ursprung (0,00 P a Differenzdruck, 0,00 l/s Durchfluss) schneiden. Aus diesen Anpassungen lässt sich eine Verteilung für den zu Grunde gelegten Verlustbeiwert xi unter der Annahme der charakteristischen Werte für den Fehler (Kapitel 6.2.2) beschreiben.

151 6.2 Messwerte Charakteristische Werte des Fehlers In Kapitel erfolgt eine Abschätzung des Fehlers jedes einzelnen Messgeräts und dessen Einfluss auf die Aussagekraft der gemessenen Werte. In weiterer Folge werden die beiden maßgebenden Geräte betrachtet. Dies sind zum einen das hochgenaue Durchflussmessgerät (f Q,IDM,h vereinfacht f Q, Genauigkeit von ± 0, 2% + 1 mm/s) und zum anderen das Differenzdruckmessgerät (f p,dd vereinfacht f p, Formel (4.19)). Für die theoretische Fehlerkombination in Kapitel werden exemplarische Annahmen für den Messbereich des Differenzdruckmessgerätes verwendet. Im Zuge der Messung wurde dieser Bereich entsprechend angepasst. Eine Auflistung der für die Messung verwendeten Obergrenzen p einge für das Differenzdruckmessgerät findet sich in Tabelle 6.1. Je nach Düse können diese Werte variieren. Zum Beispiel sind die Messdaten für Düse D1 sehr breit verteilt, da es sich dabei um die Hauptdüse handelt. Bei den Düsen D3 und D4 wurde die Dichte der Messung verringert. Je nach im Messgerät eingestellter Obergrenze wird der Fehlervektor für den Messbereich erstellt. Tab. 6.1: Eingestellte Obergrenzen p einge in [mbar] Düse D1 D2 D3 D4 D5 Ab 300/200/ / /100 Auf Düse D6 D7 D8 D9 Ab 200/ / /200/ /200/100 Auf Als erster Schritt werden diese Angaben als charakteristische Werte des Fehlers angenommen, welche nachfolgend erhöht werden. In Tabelle 6.2 sind diese theoretischen Werte des Fehlers für die vier extremen Auslenkungen ausgewertet. Als Referenz für die Bewertung wird der Verlustbeiwert xi herangezogen, der sich aus den ursprünglichen Messwerten ergibt. Die Auswertung zeigt, dass der Fehler des Durchflusses einen größeren Einfluss auf das Ergebnis hat ( f Q verglichen mit +f Q, horizontaler Vergleich), als jener des Differenzdruckes ( f p verglichen mit +f p, vertikaler Vergleich). Die durch das konstante Aufbringen der charakteristischen theoretischen Größen erzielte maximale absolute Abweichung wird bei der Düse D3 festgestellt (xi Referenz - Wert: +0,099 und -0,098 [-]). Die maximale relative Abweichung wird bei der Düse D4 erreicht (xi Referenz -Wert: +0,74% und -0,73%). Die Maxima treten beim Lastfall Abschwingen auf, da dies den größeren Verlust zur Folge hat. Die Abweichungen bleiben gesamthaft unter 1%. Dadurch kann die Wahl der Messgeräte und deren Genauigkeit bestätigt werden.

152 140 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse In einem zweiten Schritt wird für beide charakteristischen Fehlergrößen ein Faktor 2 [-] angenommen und somit werden die Fehler jeweils verdoppelt. Auf Grund der Auswertung der Langzeitmessungen (beispielhafte Auswertung in Kapitel 4.5.3) weist die Differenzdruckmessung eine deutlich höhere Abweichung vom Mittelwert auf als nur die theoretischen Werte. Um diesen Aspekt ebenfalls zu berücksichtigen, wird in einem weiteren Durchlauf nur der Fehler des Differenzdruckes mit dem Faktor 5 [-] multipliziert. Die Auswertung der maximalen Auslenkung für den letzteren Fall wird in Tabelle 6.3 dargestellt. Dabei werden relative Abweichungen vom Referenzwert von bis zu 2% ermittelt Variation Für die Auswertung werden jeweils und Wiederholungen berechnet. Dabei wird für jeden Durchgang jeder einzelne Messwert mit einem unterschiedlichen Fehler beaufschlagt. Die Änderung der daraus berechneten Verlustbeiwerte xi wird als Differenz zu der nicht veränderten Messreihe in einem boxplot [86]-Diagramm dargestellt. Dabei wird neben dem Median die 25% und 75% Verteilung als Box dargestellt. Die Kreuze markieren Extrempunkte. (a) Abschwingen Wiederholungen (b) Aufschwingen Wiederholungen (c) Abschwingen Wiederholungen (d) Aufschwingen Wiederholungen Abb. 6.2: Differenzen xi-wert [-]

153 6.2 Messwerte 141 Die Auswertungen in Abbildung 6.2 zeigen, dass die Verdoppelung der Wiederholungen nur geringe Auswirkungen auf das Ergebnis haben (Vergleich erste und zweite Zeile). Der zweite Durchlauf mit den verdoppelten charakteristischen Fehlerwerten ist in Abbildung 6.3 dargestellt. Abbildung 6.4 stellt die Auswertung der um den Faktor 5 [-] erhöhten charakteristischen Wert für die Differenzdruckmessung dar. In allen drei Fällen werden die Grenzen aus Tabelle 6.2 nicht erreicht. Alle untersuchten zusätzlichen aufgebrachten Fehler im Bereich der gewählten charakteristischen Werte ergeben keine signifikante Abweichung des Ergebnisses. Die Auswertung der Messdaten ist somit stabil. (a) Abschwingen Wiederholungen (b) Aufschwingen Wiederholungen (c) Abschwingen Wiederholungen (d) Aufschwingen Wiederholungen Abb. 6.3: Differenzen xi-wert [-] - doppelte Werte

154 142 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse Tab. 6.2: Maximale Auslenkung der Messwerte - Referenz R, Wert W xi [-] f Q + f p +f Q + f p Ab R W W-R W/R % W W-R W/R % D1 12,232 12,314 0, ,67% 12,181-0,051 99,58% D2 12,040 12,126 0, ,72% 11,989-0,050 99,58% D3 13,616 13,715 0, ,73% 13,559-0,057 99,58% D4 11,268 11,351 0, ,74% 11,223-0,044 99,61% D5 12,233 12,320 0, ,72% 12,181-0,052 99,58% D6 12,357 12,443 0, ,70% 12,304-0,052 99,58% D7 12,416 12,505 0, ,72% 12,364-0,052 99,58% D8 10,026 10,096 0, ,69% 9,985-0,041 99,59% D9 11,522 11,599 0, ,67% 11,474-0,048 99,59% Auf D1 11,902 11,983 0, ,68% 11,874-0,028 99,76% D2 14,062 14,158 0, ,68% 14,025-0,037 99,74% D3 12,708 12,796 0, ,69% 12,677-0,031 99,76% D4 10,690 10,766 0, ,70% 10,668-0,023 99,79% D5 12,992 13,081 0, ,69% 12,959-0,033 99,75% D6 15,006 15,109 0, ,69% 14,965-0,041 99,73% D7 11,729 11,811 0, ,70% 11,703-0,026 99,78% D8 11,701 11,785 0, ,72% 11,677-0,024 99,79% D9 11,395 11,474 0, ,69% 11,369-0,026 99,77% f Q f p +f Q f p Ab W W-R W/R % W W-R W/R % D1 12,284 0, ,42% 12,151-0,081 99,34% D2 12,090 0, ,42% 11,954-0,085 99,29% D3 13,673 0, ,42% 13,518-0,098 99,28% D4 11,313 0, ,40% 11,185-0,083 99,27% D5 12,285 0, ,42% 12,146-0,087 99,29% D6 12,409 0, ,42% 12,270-0,086 99,30% D7 12,469 0, ,42% 12,328-0,088 99,29% D8 10,068 0, ,41% 9,957-0,069 99,31% D9 11,570 0, ,42% 11,445-0,077 99,33% Auf D1 11,930 0, ,24% 11,822-0,080 99,33% D2 14,099 0, ,27% 13,967-0,095 99,32% D3 12,740 0, ,25% 12,621-0,087 99,31% D4 10,713 0, ,22% 10,616-0,075 99,30% D5 13,025 0, ,25% 12,903-0,088 99,32% D6 15,047 0, ,28% 14,903-0,102 99,32% D7 11,755 0, ,22% 11,648-0,081 99,31% D8 11,725 0, ,21% 11,617-0,084 99,28% D9 11,422 0, ,23% 11,317-0,078 99,32%

155 6.2 Messwerte 143 Tab. 6.3: Max. Auslenkung der Messwerte mit f p 5 - Referenz R, Wert W xi [-] f Q + f p 5 +f Q + f p 5 Ab R W W-R W/R % W W-R W/R % D1 12,232 12,374 0, ,16% 12,240 0, ,06% D2 12,040 12,196 0, ,30% 12,059 0, ,16% D3 13,616 13,799 0, ,34% 13,642 0, ,19% D4 11,268 11,428 0, ,42% 11,300 0, ,28% D5 12,233 12,392 0, ,30% 12,252 0, ,16% D6 12,357 12,512 0, ,26% 12,372 0, ,13% D7 12,416 12,578 0, ,30% 12,436 0, ,16% D8 10,026 10,152 0, ,26% 10,041 0, ,15% D9 11,522 11,659 0, ,19% 11,533 0, ,10% Auf D1 11,902 12,089 0, ,57% 11,979 0, ,64% D2 14,062 14,276 0, ,52% 14,141 0, ,56% D3 12,708 12,910 0, ,59% 12,789 0, ,64% D4 10,690 10,870 0, ,68% 10,771 0, ,75% D5 12,992 13,193 0, ,55% 13,070 0, ,60% D6 15,006 15,233 0, ,51% 15,087 0, ,54% D7 11,729 11,923 0, ,66% 11,814 0, ,73% D8 11,701 11,906 0, ,75% 11,796 0, ,81% D9 11,395 11,579 0, ,61% 11,473 0, ,68% f Q f p 5 +f Q f p 5 Ab W W-R W/R % W W-R W/R % D1 12,224-0,008 99,93% 12,092-0,140 98,85% D2 12,020-0,020 99,84% 11,884-0,155 98,71% D3 13,589-0,027 99,80% 13,435-0,181 98,67% D4 11,236-0,032 99,71% 11,109-0,159 98,59% D5 12,213-0,019 99,84% 12,075-0,157 98,71% D6 12,340-0,016 99,87% 12,202-0,154 98,75% D7 12,396-0,020 99,84% 12,256-0,160 98,71% D8 10,011-0,015 99,85% 9,901-0,125 98,75% D9 11,510-0,011 99,90% 11,386-0,136 98,82% Auf D1 11,825-0,078 99,35% 11,718-0,185 98,45% D2 13,982-0,080 99,43% 13,850-0,212 98,49% D3 12,626-0,082 99,35% 12,509-0,200 98,43% D4 10,609-0,082 99,24% 10,512-0,178 98,33% D5 12,912-0,079 99,39% 12,792-0,200 98,46% D6 14,923-0,083 99,45% 14,781-0,225 98,50% D7 11,643-0,086 99,27% 11,536-0,192 98,36% D8 11,604-0,096 99,18% 11,498-0,203 98,26% D9 11,317-0,079 99,31% 11,213-0,182 98,40%

156 144 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse (a) Abschwingen Wiederholungen (b) Aufschwingen Wiederholungen (c) Abschwingen Wiederholungen (d) Aufschwingen Wiederholungen Abb. 6.4: Differenzen xi-wert [-] - f p Geschwindigkeitshöhenausgleichswert Übersicht Die theoretische Grundlage für die Berücksichtigung des Geschwindigkeitshöhenausgleichswerts wird in Kapitel beschrieben. Für die nachfolgende Auswertung der Anpassung werden exemplarische Werte für α 1 (Verteilung vor der Düse) und α 2 gewählt. Dies basiert auf der numerischen Untersuchung in Kapitel Um den Einfluss des Parameters auf das Ergebnis aufzuzeigen, wird nachfolgend eine Variation dieser Beiwerte durchgeführt. Diese Untersuchung wird sowohl für die physikalischen als auch für die numerischen Werte durchgeführt.

157 6.3 Geschwindigkeitshöhenausgleichswert Charakteristische Werte Ausgehend von der Formel (5.8) werden in Tabelle 6.4 die Beiwerte α 1 und α 2 an charakteristischen Stellen ausgewertet. Als untere Grenze wird der Wert 1 angenommen, was gleichbedeutend mit einer Vernachlässigung des Beiwertes ist. Der obere chrakteristische Wert wird mit dem theoretischen Wert von 1,3 [-] angenommen (Maximalwert für turbulente Rohrströmung laut Nalluri [93]). Als Vergleich wird in den letzten drei Spalten die prozentuelle Auswertung mit der Obergrenze 2 [-] durchgeführt. Dies stellt den Fall laminaren Strömens dar (Kapitel 2.1.4). Die größte prozentuelle Abweichung wird bei α 1 = 1 [-] und α 2 = 1,3 [-] (in der Tab. 6.4 als 1/1,3 bezeichnet) für den Lastfall Abschwingen erreicht. Beim Aufschwingen liefert wiederum die Variante mit dem höheren Beiwert auf der Seite der Unterkammer die größere Auslenkung. Diese Dominanz lässt sich aus v UK > v Schacht erklären Variation Für die Variation wird der Geschwindigkeitshöhenausgleichswert α innerhalb der Grenzen basierend auf der Zufallsfunktion rand [86] verändert, um den gesamten Bereich abzudecken. Dabei wird die Annahme getroffen, dass die Beiwerte α 1 und α 2 für die Auswertung eines Datensatzes jeweils konstant bleiben. Die Variation wird mit Durchläufen durchgeführt und mit den Ergebnissen von Wiederholungen verglichen. Das Ergebnis der erhöhten Anzahl führt zu einer Verbesserung der Abdeckung der Randbereiche, hat aber weiter keine nennenswerte Auswirkung. Die konstante Wahl von zwei Parametern ermöglicht die Darstellung der Ergebnisse in einem contour-diagramm. Dabei bezeichnen die gewählten Beiwerte die Entfernung auf den Achsen und das Ergebnis wird als zusätzliche Information über Schichtenlinien dargestellt. Exemplarisch für die Düse D1 ist dies in Abbildung 6.5 dargestellt. Die Auswertung laut Kapitel mit α 1=1,03 [-] und α 2 = 1,15 [-] ist mit einem Stern gekennzeichnet. Dieser Wert wird als Ausgangswert für die Differenzbildung herangezogen und in Abbildung 6.6 für die numerisch ermittelten Werte dargestellt. Zur Orientierung ist die Gerade α 1 = α 2 eingezeichnet. Das Verhalten der Auswertung bei den anderen Düsen ist sehr ähnlich, was auch durch die Auswertung der Grenzen (Tab. 6.4) zu erwarten ist. Für die weitere Bearbeitung und die Schlussfolgerungen ist entscheidend, dass der Beiwert einen beträchtlichen Einfluss auf das Endergebnis hat.

158 146 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse Tab. 6.4: Ausgewertete charakteristische Werte für die Beiwerte α 1 und α 2 physikalische Untersuchung xi-wert mit α 1/α 2 % von 1/1 % von 1/1 Ab 1/1 1/1,3 1,3/1,3 1,3/1 1/1,3 1,3/1,3 1,3/1 1/2 2/2 2/1 D1 12,23 11,93 12,06 12, D2 12,04 11,74 11,86 12, D3 13,62 13,32 13,44 13, D4 11,27 10,97 11,09 11, D5 12,23 11,93 12,06 12, D6 12,36 12,06 12,18 12, D7 12,42 12,12 12,24 12, D8 10,03 9,73 9,85 10, D9 11,52 11,22 11,34 11, Auf D1 11,90 11,60 12,33 12, D2 14,06 13,76 14,49 14, D3 12,71 12,41 13,14 13, D4 10,69 10,39 11,12 11, D5 12,99 12,69 13,42 13, D6 15,01 14,71 15,44 15, D7 11,73 11,43 12,16 12, D8 11,70 11,40 12,13 12, D9 11,40 11,10 11,83 12, numerische Berechnung xi-wert mit α 1/α 2 % von 1/1 % von 1/1 Ab 1/1 1/1,3 1,3/1,3 1,3/1 1/1,3 1,3/1,3 1,3/1 1/2 2/2 2/1 D1 12,51 12,21 12,33 12, D2 12,52 12,22 12,35 12, D3 13,69 13,39 13,52 13, D4 11,40 11,10 11,22 11, D5 12,53 12,23 12,35 12, D6 12,50 12,20 12,33 12, D7 12,41 12,11 12,23 12, D8 9,68 9,38 9,51 9, D9 11,91 11,61 11,73 12, Auf D1 11,71 11,41 12,14 12, D2 13,89 13,59 14,32 14, D3 12,89 12,59 13,33 13, D4 10,77 10,47 11,20 11, D5 12,93 12,63 13,36 13, D6 14,77 14,47 15,20 15, D7 11,71 11,41 12,15 12, D8 11,63 11,33 12,06 12, D9 11,46 11,16 11,89 12,

159 6.3 Geschwindigkeitshöhenausgleichswert 147 (a) Abschwingen Modellversuch (b) Aufschwingen Modellversuch (c) Abschwingen Numerik (d) Aufschwingen Numerik Abb. 6.5: Exemplarische Auswertung des Einflusses der Beiwerte α 1 und α 2 auf den xi-wert [-] für die Düse D1

160 148 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse (a) Abschwingen Modellversuch (b) Aufschwingen Modellversuch (c) Abschwingen Numerik (d) Aufschwingen Numerik Abb. 6.6: Exemplarische Auswertung der Differenzen xi-wert [-] für die Düse D1

161 6.4 Geometrie Geometrie Winkel W Ergänzend zur Untersuchung der Geometrie am Segmentmodell in Kapitel 2.3 wird nachfolgend für drei Düsen exemplarisch der Winkel W an der Spitze der Düse variiert. Dieser Parameter beschreibt die Ausformung des Übergangs von der Innenfläche der Düse zur Materialstärke. Der Ausgangswert für die Untersuchungen ist immer 90. Für die Düse D1 und D8 ist der Winkel in Abbildung 6.7 (b) skizziert. Die zusätzlich untersuchte Düse D2 entspricht annähernd den Gegebenheiten bei Düse D1, wobei der Winkel der Innenfläche sich verändert. Die Größe des Winkels bezieht sich bei allen nachfolgenden Untersuchungen auf die Innenfläche des letzten Segments. (a) Düse D1 (b) Skizze Winkel W Abb. 6.7: Beschreibung Winkel W In Tabelle 6.5 sind die Ergebnisse der Variation für alle drei Düsen dargestellt. Die Differenzen zum Ausgangswert mit einem Winkel von 90 sind in Abbildung 6.8 dargestellt. Der Winkel von 80,13 entspricht bei der Düse D8 einem direkten Übergang der Materialstärke in die horizontale Außenfläche. Ein größerer Winkel führt im Lastfall Aufschwingen bei allen drei Düsen zu einem geringeren Widerstand (Abb. 6.8 (b)). Die Berechnung der Düse D2 erweist sich in diesem Zusammenhang sehr sensibel. Schon kleinste Änderungen führen zu einer Abweichung von der Referenz. In der anderen Strömungsrichtung weist die Änderung für die Düse D8 ein anderes Verhalten auf als die Düsen D1 und D2 (Abb. 6.8 (a)). Ausgehend von einer scharfen Kante wird bei der Düse D8 der Übergang bei steigendem Winkel abgefast. Bei den beiden anderen Düsen erfolgt eine doppelte Umlenkung, wodurch die Zunahme des Winkels ein ungünstigeres Verhältnis der beiden Winkel zur Folge hat.

162 150 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse Als Resultat dieser exemplarischen numerischen Untersuchung kann festgestellt werden, dass erst eine Ungenauigkeit von ca. ± 5 eine Abweichung in der Größenordnung von xi = ± 0,1 [-] aufweist. Die Genauigkeit bei der Herstellung liegt deutlich unter ± 1 und hat somit keinen Einfluss auf die Ergebnisse. Tab. 6.5: Verlustbeiwerte xi [-] Variation Winkel W [ ] W xi D1,Ab xi D1,Auf xi D2,Ab xi D2,Auf W xi D8,Ab xi D8,Auf 80 12,466 11,829 12,470 13,950 80,134 9,832 11, ,452 11,778 12,474 13, ,773 11, ,458 11,736 12,488 13, ,675 11,596 89,5 12,458 11,733 12,498 13,879 89,5 9,663 11,551 89,9 12,461 11,731 12,488 13,849 89,9 9,654 11, ,462 11,734 12,486 13, ,650 11,611 90,1 12,473 11,725 12,476 13,848 90,1 9,659 11,561 90,5 12,447 11,721 12,491 13,868 90,5 9,652 11, ,465 11,728 12,489 13, ,631 11, ,452 11,697 12,509 13, ,544 11, ,501 11,644 12,539 13, ,432 11, ,529 11,625 12,611 13, ,323 11, Düse D8 Soll-Ist-Vergleich Bedingt durch einen Übertragungsfehler weist die im Modellversuch untersuchte Düse D8 Ist nicht die gewünschte Geometrie D8 Soll auf (Kapitel 2.4). Die Düse hat statt der geplanten Gesamtlänge von 100,4 mm eine Länge von 104,0 mm. Diese Änderung führt zu einer Anpassung des Öffnungswinkels der Düse. Damit verbunden ist eine Verringerung des Verlustbeiwertes xi in beiden Lastfällen. Die Unterschiede zwischen den beiden Formen ist im Abschwingfall (Abb. 6.9 (a)) so gering, dass die Düse trotzdem für die Überprüfung der Hypothesen in Kapitel 7.4 herangezogen werden kann. Die Abweichungen im Lastfall Aufschwingen können durch das Berechnungskonzept der Restartberechnungen erklärt werden. Dabei wird ausgehend von den Hauptschritten jeweils der Durchfluss angepasst, bis der nächste Hauptschritt erreicht ist (Kapitel 3.2.5). Dabei kann es zu Überlagerungen von numerischen Abweichungen kommen. Werden die beiden Düsen D8 Ist und D8 Soll gegenübergestellt zeigt sich, dass der Unterschied zwischen ihnen für die grundlegenden Aussagen zu den Hypothesen in Kapitel 7.4 im Verhältnis vernachlässigbar klein ist. Für alle anderen Auswertungen, wie der Vergleich der numerischen und physikalischen Ergebnisse, wird jeweils die Düse D8 Ist herangezogen.

163 6.4 Geometrie 151 (a) Abschwingen (b) Aufschwingen Abb. 6.8: Variation Winkel W mit xi = xi(w ) xi(90 )

164 152 Kapitel 6 Sensitivitätsanalyse (a) Abschwingen (b) Aufschwingen Abb. 6.9: Vergleich der numerischen Ergebnisse - Düse D8 Soll und D8 Ist

165 Kapitel 7 Validierung 7.1 Konzept Die Validierung erfolgt in drei Schritten. In Kapitel 7.2 werden die gemessenen und berechneten Werte gegenübergestellt. Dazu wird die Übereinstimmung des Differenzdrucks p in Abhängigkeit vom Durchfluss Q untersucht. Basierend auf den gewonnenen Erkenntnissen des Vergleiches werden in Kapitel 7.4 die aufgestellten Hypothesen für die Geometrieabhängigkeit kontrolliert. Für die praktische Anwendung ist die Bestimmung des Verlustbeiwertes xi von entscheidender Bedeutung. Diese wird gesondert in Kapitel 9.2 kritisch betrachtet und die Vor- und Nachteile der numerischen und physikalischen Ermittlung zusammengestellt. 7.2 Direkter Vergleich zwischen Numerik und Modellversuch Übersicht In Kapitel 5.3 wird der Verlustbeiwert xi aus den numerisch ermittelten und gemessenen Daten berechnet. Die Ergebnisse der einzelnen Ansätze werden dabei gegenüber gestellt. Durch den Vergleich der Ergebnisse kann eine entsprechende Übereinstimmung erkannt werden. Dieser Vergleich erfolgt aber erst nach einer Umrechnung auf den Verlustbeiwert xi. Dadurch hat der gewählte Ansatz und die Annahme, dass der xi-wert konstant ist, einen Einfluss auf die zu vergleichenden Werte. Um einen direkten Vergleich der numerischen und physikalischen Ergebnisse durchzuführen, werden die gemessenen und berechneten Daten (Q und p) möglichst unabhängig von Ansatz und Annahmen herangezogen. Je nach gewähltem Kriterium ist ein Wechsel zur Beurteilung der jeweils zu berechnenden Verlustbeiwerte sinnvoll. Die bewertenden Vergleiche werden nachfolgend durchgeführt. Wie in den Abbildungen in Kapitel 5.2 ersichtlich, steht jeweils ein numerischer Wert pro Durchflussschritt einer Vielzahl an gemessenen Werten gegenüber. Zum Beispiel können bei der Düse D1 Lastfall Abschwingen knapp 3200 Messwerte für den Vergleich mit 50 Werten aus der Numerik herangezogen werden (Abb. 5.1). Um den Vergleich durchführen zu können, ist es aber notwendig, dass übereinstimmende Wertepaare vorhanden sind.

166 154 Kapitel 7 Validierung Als Näherung wird nachfolgend aus den numerischen Ergebnissen (Q N und p N ) eine Funktion f N ermittelt. Diese wird an den vorhandenen Messpunkten Q M ausgewertet. Der dadurch ermittelte Vektor ˆp N wird mit der gemessenen Druckdifferenz p M verglichen (Formel (7.1)). ˆp N = f N (Q M ) p M (7.1) Kriterien Für den Vergleich werden folgenden Ansätze verwendet, die nachfolgend beschrieben sind: ˆ Gegenüberstellung der Differenzdrücke (DD) ˆ RMSE-Kriterium ˆ Nash-Sutcliff Efficiency ˆ Index of agreement ˆ Verzerrung (bias) In Abbildung 7.1 ist für die Düse D1 eine exemplarische Gegenüberstellung der Differenzdrücke dargestellt. Dabei wird für die Ermittlung der Funktion f N der Ansatz laut Formel (5.1) verwendet. Neben dem Optimum ( ˆp N = p M ) sind die Linien für eine Abweichung von ± 5% und ± 10% zur Orientierung dargestellt. Die Abweichung liegt in den überwiegenden Fällen innerhalb von ± 5% und ist somit gut bis sehr gut. Um die Auswertung vergleichen zu können, wird durch die Punkte ( ˆp N, p M ) eine lineare Regression mit der MATLAB Funktion robustfit [86] gelegt [14]. Dabei werden die Koeffizienten der allgemeinen Geradengleichung (Formel (4.28)) bestimmt. Die Konstante c 0 beschreibt eine Verschiebung (offset) in Richtung der y-achse und c 1 eine Verdrehung (linear deviation) [1]. Für die Bestimmung der Funktion f N werden der quadratische Ansatz laut Kapitel (exemplarisch in Abb. 7.1 dargestellt) und als Vergleich die Beziehung mit additiven Fehlertermen laut Kapitel herangezogen. Eine komplette Übereinstimmung würde c 0=0 und c 1=1 (45 -Gerade) bedeuten. Die Auswertung der ermittelten Koeffizienten in Tabelle 7.1 zeigt, dass bei diesem Vergleich die Berücksichtigung von Fehlertermen keine bessere Übereinstimmung im Abschwingen bringt. Hingegen können bei entgegengesetzter Strömungsrichtung leicht bessere Übereinstimmungen festgestellt werden. Die Düsen D5 und D2 weisen die entsprechend größten Abweichungen auf.

167 7.2 Direkter Vergleich zwischen Numerik und Modellversuch 155 (a) Abschwingen (b) Aufschwingen Abb. 7.1: exemplarische Auswertung - Düse D1 Tab. 7.1: Auswertung der Koeffizienten der Gegenüberstellung der DD c 0,quad c 0,F c 1,quad c 1,F c 1,quad 1 c 1,F 1 Ab [mbar] [mbar] [-] [-] [%] [%] D1-0,5153-1,2956 1,0242 1,0281 2,42 2,81 D2-0,5667-1,2821 1,0422 1,0473 4,22 4,73 D3 0,6757-0,11 0,9977 1,0027-0,23 0,27 D4-0,4534-1,1854 1,0135 1,0191 1,35 1,91 D5-1,3334-2,0762 1,0359 1,041 3,59 4,10 D6-0,5468-1,2789 1,0151 1,02 1,51 2,00 D7-0,8562-1,5497 1,0057 1,0105 0,57 1,05 D8-0,9148-0,9336 0,9734 0,9735-2,66-2,65 D9-0,6429-1,4484 1,0342 1,0404 3,42 4,04 c 0,quad c 0,F c 1,quad c 1,F c 1,quad 1 c 1,F 1 Auf [mbar] [mbar] [-] [-] [%] [%] D1-0,6128-0,1606 0,991 0,9843-0,90-1,57 D2-0,6638-0,5497 0,9967 0,9948-0,33-0,52 D3-0,979-0,8141 1,0339 1,031 3,39 3,10 D4-0,7825-0,4504 1,0261 1,0185 2,61 1,85 D5-0,8773-0,585 1,0095 1,0042 0,95 0,42 D6-0,8615-0,6819 0,9957 0,9927-0,43-0,73 D7-0,86-0,4747 1,0136 1,0057 1,36 0,57 D8-0,9735-0,4104 1,0117 1,0001 1,17 0,01 D9-0,9798-0,2902 1,0261 1,0113 2,61 1,13

168 156 Kapitel 7 Validierung In Kapitel wird das Root mean square error (RMSE)-Kriterium für die Bewertung der Anpassung der untersuchten Ansätze an die numerisch berechneten bzw. gemessenen Daten herangezogen. In Tabelle 7.2 sind die Ergebnisse der Auswertung des selben Kriteriums zwischen den Messungen und den Ergebnissen der Funktion f N dargestellt. Im Vergleich zu Tabelle 5.6 sind die Werte in Tabelle 7.2 bedingt durch den Vergleich von Numerik und Modellversuch größer. Beim Vergleich der beiden Ansätze für die Funktion f N ergibt sich das selbe Bild wie für die Gegenüberstellung der Differenzdrücke. Tab. 7.2: Auswertung des RMSE-Kriteriums [mbar] Ab RMSE quad RMSE F Auf RMSE quad RMSE F D1 3,830 3,798 D1 1,163 1,075 D2 4,500 4,443 D2 1,056 1,046 D3 2,394 2,377 D3 1,093 1,069 D4 1,542 1,596 D4 0,664 0,611 D5 2,833 2,823 D5 0,775 0,716 D6 1,747 1,746 D6 1,305 1,292 D7 1,210 1,336 D7 0,744 0,660 D8 4,296 4,299 D8 0,753 0,661 D9 5,385 5,640 D9 0,724 0,544 Die Auswertung der Nash-Sutcliff Efficiency E laut Formel (7.2) ([1] mit Verweis auf [46]) wird als Qualitätskriterium für die Anpassung von zeitlich veränderlichen Vorgängen verwendet (Vergleich von vorhergesagten und beobachteten Daten; im Fall von [46] Radardaten und Niederschlag). Dieser Wert wird auch als Coefficient of efficiency (CE) bezeichnet [43]. Das Optimum des Kriteriums wird mit dem Wert 1 erreicht und das Kriterium ist nach unten offen (Grenzen [, 1]). Liegt der Wert unter 0 ist der Mittelwert aussagekräftiger als die vorhergesagten Werte. Für die nachfolgende Betrachtung wird die zeitliche Achse durch die fortlaufende Nummer der Messung verwendet. M i bezeichnet die Messwerte und N i die Auswertung der Funktion f N. Somit wird die Numerik als Vorhersage interpretiert. Die Verknüpfung zwischen beiden Wertepaaren erfolgt über den gemessenen Durchfluss. E = 1 n (M i N i) 2 i=0 n ( ) (7.2) 2 Mi M i i=0 Für den Vergleich der Drücke ist die Auswertung sehr gut, da die Werte E p,quad und E p,f nahe beim Optimum 1 liegen (Tab. 7.3). Erweitert man dieses Kriterium auf die Verlustbeiwerte xi (Tab. 7.3 Werte E xi,quad und E xi,f ) zeigt sich ein konträres Bild. Die Auswertung des Ansatzes aus der Numerik ist zwar nahe an der aber doch

169 7.2 Direkter Vergleich zwischen Numerik und Modellversuch 157 schlechter als die Vorhersage über den Mittelwert M i. Dies lässt sich dadurch erklären, dass die zugehörige Kurve für den Verlustbeiwert eine horizontale Gerade und damit ident mit dem Mittelwert ist. Deshalb ist die Mittelwertvorhersage immer besser als eine vom Mittelwert abweichende Numerik (Vorhersage). Tab. 7.3: Auswertung Nash-Sutcliff [-] Abschwingen Aufschwingen E p,quad E p,f E xi,quad E xi,f E p,quad E p,f E xi,quad E xi,f D1 0,997 0,997-2,453-2,071 0,998 0,998-2,324-0,965 D2 0,990 0,990-11,28-9,65 0,998 0,998-1,375-1,167 D3 0,997 0,997-0,059-0,049 0,997 0,997-0,060 0,036 D4 0,999 0,999-0,323-0,565 0,998 0,999-0,001 0,317 D5 0,997 0,997-1,321-1,045 0,999 0,999-0,589-0,160 D6 0,998 0,998-1,344-1,207 0,996 0,996-1,589-1,283 D7 0,999 0,999-0,132-0,836 0,999 0,999-0,363 0,213 D8 0,993 0,993-9,452-9,550 0,998 0,999-0,555 0,189 D9 0,993 0,993-2,928-2,818 0,999 0,999-0,129 0,469 Eine Erweiterung des Nash-Sutcliff Kriteriums stellt die Berechnung des Wertes des Index of agreement d laut Formel (7.3) dar. Der Bereich wird durch den zusätzlichen Term im Nenner auf die Grenzen [0, 1] reduziert ([1],[46]). d = 1 n (M i N i) 2 i=0 n ( Mi M i + N i M ) 2 i i=0 (7.3) Die Auswertung des Kriteriums in Tabelle 7.4 liefert eine vergleichbare Aussage wie bei der Auswertung der Nash-Sutcliff Efficiency und unterstreicht die obigen Aussagen. Tab. 7.4: Auswertung Index of agreement [-] Abschwingen Aufschwingen d p,quad d p,f d xi,quad d xi,f d p,quad d p,f d xi,quad d xi,f D1 0,9992 0,9993 0,4064 0,3243 0,9994 0,9995 0,4079 0,5144 D2 0,9976 0,9977 0,2717 0,2661 0,9995 0,9995 0,4316 0,4502 D3 0,9993 0,9993 0,2253 0,2012 0,9993 0,9993 0,2596 0,4135 D4 0,9998 0,9998 0,3810 0,1829 0,9996 0,9996 0,0387 0,5788 D5 0,9992 0,9992 0,4362 0,3231 0,9997 0,9997 0,4212 0,4938 D6 0,9996 0,9996 0,4029 0,3084 0,9991 0,9991 0,4155 0,4437 D7 0,9998 0,9998 0,3238 0,2956 0,9997 0,9998 0,4025 0,5822 D8 0,9983 0,9983 0,3076 0,3056 0,9996 0,9997 0,4077 0,6384 D9 0,9984 0,9983 0,4048 0,3913 0,9997 0,9998 0,3254 0,7268

170 158 Kapitel 7 Validierung Ein für die Beurteilung des Verlustbeiwertes xi entscheidendes Kriterium ist die Verzerrung (bias) laut Formel (7.4). Der Wert B kann im Bereich [, ] liegen und das Ziel liegt bei einem Wert von 1. Dieser Wert wird erreicht, wenn beide Mittelwerte (sowohl der Messung als auch der Vorhersage) identisch sind ([1],[46]). Dieser Ansatz ist für die Bewertung des Differenzdruckes nur bedingt sinnvoll, da in diesem Fall der Mittelwert abhängig von der Messung ist. Deshalb wird in weiterer Folge das Kriterium nur noch auf die jeweiligen xi-werte angewendet (Tab. 7.7). B = N j M i (7.4) Tab. 7.5: Auswertung Verzerrung [-] Abschwingen Aufschwingen B p,quad B p,f B xi,quad B xi,f B p,quad B p,f B xi,quad B xi,f D1 1,021 1,019 1,020 1,016 0,978 0,982 0,976 0,982 D2 1,037 1,036 1,038 1,035 0,984 0,984 0,982 0,983 D3 1,006 1,004 1,006 1,002 1,013 1,013 1,005 1,006 D4 1,009 1,007 1,007 1,001 1,005 1,007 1,000 1,003 D5 1,020 1,017 1,018 1,013 0,991 0,992 0,986 0,989 D6 1,011 1,010 1,010 1,008 0,980 0,981 0,978 0,979 D7 0,998 0,996 0,995 0,992 0,993 0,995 0,986 0,991 D8 0,966 0,966 0,962 0,961 0,989 0,991 0,984 0,989 D9 1,031 1,031 1,030 1,029 1,001 1,004 0,992 1,000 Bei diesem Kriterium ist es nicht zwingend notwendig, dass beide Messreihen die selbe Anzahl an Elementen aufweisen. Deshalb werden neben der Auswertung der aus den Ansätzen gewonnenen Funktion f N (Tab 7.5) nachfolgend auch die originalen numerischen Daten verwendet. Das Kriterium B für den kompletten ursprünglichen Bereich der numerischen und physikalischen Werte ist in Tabelle 7.7 in der Spalte B ges als Vergleichswert dargestellt. Die Auswertung beschränkt sich dabei auf die Bewertung des Verlustbeiwertes xi, da in diesem Fall die Mittelwertbildung von besonderer Bedeutung ist. Für die Umrechnung wird der quadratische Ansatz laut Kapitel verwendet. Wie die Abbildungen in Kapitel 5.2 zeigen, weisen die Messungen und numerischen Berechnungen unterschiedliche untersuchte Durchflussbereiche auf. Der gemeinsame Bereich, in dem beide Arten von Daten vorhanden sind, wird durch die Grenzen Q min und Q max laut Tabelle 7.6 eingeschränkt. Limitiert man den Bewertungsbereich auf diese Grenzen ergibt sich die Auswertung B Qmin in Tabelle 7.7.

171 7.2 Direkter Vergleich zwischen Numerik und Modellversuch 159 Tab. 7.6: Auswertebereich [l/s] Ab D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Q min 24,07 22,71 21,25 21,00 22,63 23,55 22,08 24,03 25,29 Q max 68,05 55,65 52,39 56,70 54,14 55,08 54,49 60,00 60,00 Auf D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Q min 23,40 24,50 22,18 23,81 23,18 23,56 22,10 22,20 22,57 Q max 68,16 59,77 60,00 59,92 60,00 59,29 60,00 60,00 60,00 Neben den schon genannten Einschränkungen wird die untere Grenze Q u des in der Bewertung berücksichtigten Bereiches entsprechend angehoben. Dies erfolgt in 5 [l/s]- Schritten und wird in Tabelle 7.7 als Index bezeichnet. Tab. 7.7: Auswertung Verzerrung [-] mit variablen Q u Ab B ges B Qmin B Qmin -1 B 25 B 30 B 35 B 40 B 45 B 50 D1 1,015 1,016 0,016 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 D2 1,034 1,034 0,034 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 D3 1,002 1,001 0,001 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 D4 1,001 1,001 0,001 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 D5 1,013 1,013 0,013 1,02 1,02 1,02 1,03 1,03 1,03 D6 1,006 1,007 0,006 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,02 D7 0,991 0,991-0,009 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 D8 0,961 0,961-0,039 0,96 0,96 0,96 0,96 0,97 0,97 D9 1,028 1,028 0,028 NaN 1,03 1,03 1,03 1,03 1,04 Auf B ges B Qmin B Qmin -1 B 25 B 30 B 35 B 40 B 45 B 50 D1 0,983 0,982-0,018 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 D2 0,983 0,983-0,017 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 D3 1,007 1,006 0,006 1,01 1,01 1,01 1,01 1,02 1,01 D4 1,005 1,004 0,004 1,00 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 D5 0,989 0,988-0,012 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 D6 0,981 0,980-0,020 0,98 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 D7 0,992 0,990-0,010 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 D8 0,992 0,991-0,009 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 D9 1,000 0,999-0,001 1,00 1,00 1,00 1,01 1,01 1,01 Die Einschränkung des Bereiches verschlechtert das Kriterium und ist deshalb nicht sinnvoll. Für die Bewertung wird somit der maximale gemeinsame Bereich (Tab. 7.6) herangezogen. Das Optimum liegt bei 1. Die Auswertung der Abweichung (Spalte B Qmin -1 in Prozent) ergibt somit laut Tabelle 7.7 in der Regel eine Abweichung des numerischen Wertes von ±1% des physikalischen Verlustbeiwertes. Ausreißer können bis zu 4% Abweichung verursachen.

172 160 Kapitel 7 Validierung Zusammenfassung In den direkten Vergleich gehen neben den Messdaten abhängig von dem gewählten Bewertungskriterium auch teilweise die berechneten Verlustbeiwerte ein. Schlechte Übereinstimmungen liefert die Bewertung der jeweiligen xi-werte mit Hilfe der Nash- Sutcliff Efficiency (Tab. 7.3) und des vergleichbaren Kriterium Index of agreement (Tab. 7.4). In diesen beiden Fällen ist eine Beurteilung mit dem Kriterium nur bedingt sinnvoll, da hier der Mittelwert auch der idealen Verteilung entspricht. Bei allen anderen Kriterien konnte eine gute bis sehr gute Übereinstimmung des gemessenen und berechneten Differenzdruckes bzw. xi-wertes erzielt werden. Im Hinblick auf die den beiden Modellen zu Grunde gelegten Annahmen und die zusätzlichen Bestimmungen von Unsicherheiten, wie beispielsweise die Größe des Geschwindigkeitshöhenausgleichswerts α (Kapitel 6.3) und die Wahl der Auswerteebene (Kapitel 3.4.4), kann eine gute Übereinstimmung der numerischen Ergebnisse mit denen des physikalischen Versuches nachgewiesen werden. In Kapitel 9.2 wird nochmals auf die allgemeine Bewertung und Bestimmung des Verlustbeiwertes eingegangen. 7.3 Vergleich mit den Literaturwerten In Kapitel 2.5 werden die theoretischen Ansätze für die Bestimmung des Verlustbeiwertes aus der Literatur zusammengestellt und in Tabelle 2.8 für die ausgewählten Düsen (Kapitel 2.4) angewandt. Für die nachfolgende Betrachtung wird nur die plötzliche Verengung (Lastfall Abschwingen) laut dem Borda-Verlust (xi Borda =1,0 [-] [63]) verwendet. Die Ergebnisse der Formel (2.20) liefern deutlich zu geringe Verlustbeiwerte. Den theoretischen Werten (T) werden die Auswertungen der Numerik (N) und des Modellversuches (M) mit dem analytisch quadratischen Ansatz (Kapitel 5.3.2, Tab. 5.1) gegenübergestellt. In Tabelle 7.8 werden dazu neben den charakteristischen Parameter der Düsen (Radius RS1 und RS2 in [mm]) in den letzten Spalten die Differenz und die Prozentanteile ermittelt. Für den Lastfall Abschwingen kann die beste Übereinstimmung zu den Tabellenwerten für die Düse D8 festgestellt werden. In diesem Fall ist der Totraum um die Düse herum aufgefüllt und die zusätzliche Rückströmung minimal. Für die Düsen D1 bis D7 liegt die prozentuelle Bewertung relativ nahe zusammen. Dies lässt den Schluss zu, dass der gewählte Wert für xi Borda annähernd konstant zu gering ist. In der Tabelle 7.9 ist das Ergebnis der Rückrechnung des Parameters xi Borda für den Lastfall dargestellt. Der berechnete Beiwert liegt ca. 80 Prozent über dem zuerst gewählten Wert 1,0 [-] aber noch in dem von Sigloch [124] definierten Bereich. In der entgegengesetzten Strömungsrichtung ist eine deutlich bessere Übereinstimmung der theoretisch ermittelten Werte zu erkennen. Bei den drei Düsen, welche einen Knick im Übergang zwischen dem Segment 1 und 2 aufweisen (D2, D5 und D6), sind die größten Abweichungen beim Aufschwingen (Tab. 7.8) ersichtlich. Dies erklärt sich dadurch, dass in diesem Lastfall die zusätzliche Einschnürung durch die Richtungsänderung in der theoretischen Betrachtung nicht berücksichtigt wird.

173 7.3 Vergleich mit den Literaturwerten 161 Tab. 7.8: Vergleich der theoretischen (T), numerischen (N) und physikalischen (M) Werte für den xi-wert [-] (relative Werte in [%]) T Ab RS1 RS2 T Bor N M N-T Bor M-T Bor Bor N D1 62 (g) 6,94 12,51 12,23 5,565 5,288 55,51 56,77 D ,03 12,52 12,04 5,497 5,012 56,11 58,37 D3 61 (g) 7,43 13,69 13,62 6,268 6,191 54,22 54,53 D4 63 (g) 6,50 11,40 11,27 4,893 4,766 57,06 57,70 D ,94 12,53 12,23 5,578 5,284 55,47 56,81 D ,15 12,50 12,36 5,354 5,208 57,18 57,85 D7 62 (g) 6,94 12,41 12,42 5,462 5,472 55,97 55,93 D8 Ist 62 (g) 6,94 9,68 10,03 2,745 3,088 71,65 69,20 D9 62 (g) 6,91 11,91 11,52 4,994 4,608 58,06 60,00 Auf RS1 RS2 T N M N-T M-T T/N T/M D1 62 (g) 11,42 11,71 11,90 0,291 0,486 97,51 95,92 D ,84 13,89 14,06 2,054 2,226 85,21 84,17 D3 61 (g) 11,48 12,89 12,71 1,417 1,232 89,01 90,31 D4 63 (g) 9,78 10,77 10,69 0,992 0,909 90,80 91,49 D ,05 12,93 12,99 1,882 1,945 85,44 85,03 D ,74 14,77 15,00 3,028 3,267 79,50 78,23 D7 62 (g) 10,59 11,71 11,73 1,122 1,139 90,42 90,29 D8 Ist 62 (g) 10,59 11,63 11,70 1,038 1,111 91,07 90,51 D9 62 (g) 10,59 11,46 11,40 0,872 0,805 92,40 92,93 T Bor M Tab. 7.9: Rückrechnung xi Bor,N und xi Bor,M [-] RS1 Faktor allmäh. gesamt [mm] xi Bor,N xi Bor,M β UK Erweit. xi Ab,Bor,N xi Ab,Bor,M D1 62 1,8224 1,7813 6,768 0,177 12,510 12,232 D2 62 1,8122 1,7406 6,768 0,260 12,524 12,040 D3 61 1,8679 1,8572 7,222 0,203 13,693 13,616 D4 63 1,7708 1,7508 6,348 0,154 11,395 11,268 D5 62 1,8242 1,7807 6,768 0,182 12,527 12,233 D6 62 1,7911 1,7695 6,768 0,381 12,503 12,357 D7 62 1,8071 1,8085 6,768 0,177 12,407 12,416 D8 62 1,4056 1,4563 6,768 0,171 9,683 10,026 D9 62 1,7380 1,6809 6,768 0,146 11,908 11,522 Zusammenfassend kann für den Lastfall Aufschwingen eine relativ gute Übereinstimmung der Tabellenwerte mit den Ergebnissen aus der Numerik und dem Modellversuch festgestellt werden. Die Abweichungen lassen sich durch die fehlende Interaktion der beiden aneinander gereihten Tabellenwerte erklären. Beim Abschwingen ist die Wahl des anzusetzenden Verlustbeiwertes für die plötzliche Verengung ein deutlicher Schwachpunkt der Bestimmung mit Hilfe von Literaturwerten. Eine erste Abschätzung mit den Tabellenwerten ist aber auf jeden Fall sinnvoll.

174 162 Kapitel 7 Validierung 7.4 Kontrolle der Hypothesen Übersicht Ziel der Untersuchung ist neben dem Vergleich des physikalischen und numerischen Modells auch, die aufgestellten Hypothesen zu verifizieren. Dabei wird auf die Ergebnisse des Forschungsberichts [40] und der Voruntersuchung am Segmentmodell zurückgegriffen, welche in Kapitel 2.3 für die Modellgeometrie adaptiert wird. Die Wahl der untersuchten Düsen (Tab. 2.5) ist auf die nachfolgend beschriebenen Hypothesen abgestimmt und wird im Zuge von Kapitel entsprechend erläutert. Auf diesen Resultaten basiert das aktualisierte Bemessungskonzept für asymmetrische Düsen, welches in Kapitel 9.3 beschrieben wird. Folgende Hypothesen werden untersucht: ˆ Hypothese 1: Der kleinste Durchmesser DS1 ist maßgebend für den Verlustbeiwert der Düse in beide Strömungsrichtungen. ˆ Hypothese 2: Durch die Wahl des nächstgrößeren Durchmessers DS2 wird hauptsächlich das Aufschwingverhalten beeinflusst. ˆ Hypothese 3: Die Größe des Totraums um die Düse führt zu einem erhöhten Verlustbeiwert im Lastfall Abschwingen. Für die nachfolgende Untersuchung wird auf den analytischen quadratischen Ansatz laut Formel (5.1) (Kapitel 5.3.2, Tab. 5.1) zurückgegriffen. Aus der Tatsache, dass A UK < A Schacht ist, folgt v UK > v Schacht. Somit bedeutet ein gleicher Beiwert eine deutlich größere Verlusthöhe im Abschwingen als im Aufschwingen. Abb. 7.2: Parameter für die Düse - Abb. 2.9

175 7.4 Kontrolle der Hypothesen Hypothese 1 - DS1 Ausgehend von der geraden Düse D1 wird der Parameter DS1 (Abb. 2.9) von 62 mm für die Düse D3 um 1 mm reduziert und für D4 um den selben Betrag erweitert. In Abbildung 7.3 sind die Ergebnisse der Rückrechnung auf den Verlustbeiwert für Numerik und Modellversuch dargestellt. Dabei sind für den Vergleich die Referenzwerte der Düse D1 als horizontaler Strich eingezeichnet. Der Verlustbeiwert xi ist im Abschwingfall (Abb. 7.3) sehr deutlich von Parameter DS1 dominiert. Die Düsen D2, D5, D6 und D7 weisen kaum eine Abweichung des zugehörigen Beiwerts der Referenz D1 auf. Durch die Verengung erhöht sich der Verlustbeiwert für die Düse D3. Bei Düse D4 verringert sich der Verlustbeiwert durch die Aufweitung des kleinsten Querschnittes. Im Lastfall Aufschwingen übersteigt der Einfluss des zweitgrößten Querschnitts in den gewählten Grenzen jenen der Anpassung des kleinsten Durchmessers Hypothese 2 - DS2 Der Parameter DS2 hat als Ausformung des Überganges vom vorletzten zum letzten Segment einen dominanten Einfluss im Aufschwingverhalten. Durch ungleiche Öffnungswinkel und den daraus resultierenden Knick in der Düse wird ein höherer Verlustbeiwert im Gegensatz zu den geraden Düsen D1, D3, D4, D7, D8 und D9 erzeugt. Für Abbildung 7.4 wird als Referenz die Düse D2 herangezogen. Bei nahezu gleichem Abschwingen wird mit der Reduktion des Parameters DS2 bei der Düse D5 eine Abnahme des Verlustbeiwertes im Aufschwingen erreicht. Durch eine Verstärkung des Knicks, wie bei der Düse D6, wird der Verlust erhöht. Durch eine Verlängerung, wie bei der Düse D9, reduzieren sich die Verlustbeiwerte in beiden Richtungen Hypothese 3 - LS0 Wie in der Auswertung des Segmentmodells in Abbildung 2.6 ersichtlich, ist der Verlustbeiwert im Lastfall Abschwingen von der Größe des Totraums um die Düse bestimmt. Mit der Zunahme des Raumes nimmt der Verlustbeiwert relativ schnell zu und erreicht einen nahezu konstanten Wert. Ab einer gewissen Größe steigt der Verlustbeiwert nicht mehr weiter an. Im Segmentmodell wird dieser Wert annähernd bei dem halben Totraum der Düse D1 erreicht. Bei der Düse D7 wird der Bereich halbiert, indem die Länge LS0 von 20 mm auf 10 mm reduziert wird. Der Verlustbeiwert für beide Strömungsrichtungen wird dadurch nur äußerst gering beeinflusst (Abb. 7.3). Somit besteht durch die Reduktion des Totraums von der Düse D1 zu D7 ein gewisses Einsparpotential, das genutzt werden kann. Der komplette Verzicht auf den Totraum, wie in der Düse D8 durchgeführt, führt zu einem geringeren Abschwingwiderstand. Das Verhalten beim Aufschwingen wird nicht beeinflusst. Dieser Effekt ist eher nicht erwünscht.

176 164 Kapitel 7 Validierung (a) Abschwingen (b) Aufschwingen Abb. 7.3: Auswertung der Düsen - Referenz Düse D1

177 7.4 Kontrolle der Hypothesen 165 (a) Abschwingen (b) Aufschwingen Abb. 7.4: Auswertung der Düsen - Referenz Düse D2

178

179 Kapitel 8 Umsetzung im Naturmaßstab 8.1 Konzept In den vorherigen Kapiteln liegt der Fokus der Untersuchung auf dem Vergleich der numerischen Berechnung und des physikalischen Laborversuchs auf der verkleinerten Modellebene. Im Hinblick auf die praktische Anwendung der Erkenntnisse ist eine Skalierung der Ergebnisse notwendig. Dabei werden ausgehend von der Vergleichbarkeit der numerischen Berechnung mit dem Modellversuch im Maßstab M=1:25 (Kapitel 7) Rückschlüsse auf die Natur über eine zusätzliche 1:1-Numerik getroffen. Diese Anpassung erfolgt in mehreren Schritten: ˆ Vergleichende Skalierung von der Modellebene auf das Naturmaß (Kapitel 8.2) ˆ Anpassung der Geometrie des Schachts (Kapitel 8.3) ˆ Anpassungen der Geometrie des Krümmers bedingt durch bautechnische Gegebenheiten (Kapitel 8.4) Alle Anpassungen und Berechnungen erfolgen dabei exemplarisch und sollen die praktische Relevanz der Untersuchung unterstreichen. Für die Berechnungen im Naturmaßstab wird der Krümmer aus der xy-ebene in die xz-ebene gedreht. Somit ist eine leichtere Unterscheidung der beiden Varianten auch bei den numerischen Auswertungen möglich. Auf die Berechnung selbst hat dies keinen Einfluss, da die Gewichtskraft auch weiterhin nicht berücksichtigt wird.

180 168 Kapitel 8 Umsetzung im Naturmaßstab 8.2 Skalierung Randbedingungen Bei dem nachfolgenden Vergleich werden die Berechnungen im Modellmaßstab hochskaliert und auf der Ebene der Naturgrößen mit den numerischen Ergebnissen im Naturmaßstab verglichen 21. Dies wird nicht für den gesamten untersuchten Durchflussund Druckbereich durchgeführt, sondern nur für charakteristische Werte. Ausgangspunkt der nachfolgenden Skalierung sind die Referenzberechnungen im Modellmaßstab (Kapitel 3.2.6). Die Skalierung der Größen unterscheidet sich je nach Modellgesetz. Die Maßstabsfaktoren λ M sind in Tabelle 4.1 zusammengestellt. Die Umrechnung unterscheidet sich im vorliegenden Fall hauptsächlich durch die Bestimmung des Durchflusses (Kapitel 4.2). Die dabei gewählten Randbedingungen des Durchflusses Q und des Druckes P Soll sind in Tabelle 8.1 angeführt. Tab. 8.1: Umrechnung und Wahl der Randbedingung Randbedingung Modell Natur (Froude) Natur (Reynolds) Natur (gewählt) Q 45 [l/s] 140,625 [m 3 /s] 1,125 [m 3 /s] 140 [m 3 /s] P Soll 5 [bar] 125 [bar] 125 [bar] 5 [bar] Für Rohrströmungen ist normalerweise das Reynolds sche Modell anzuwenden. Der Tabelle 8.1 kann entnommen werden, dass sich bei dieser Skalierung für den Durchfluss im Naturmaßstab ein entsprechend kleiner Wert ergibt. Wie in Kapitel 4.2 ausgeführt, kann aber von der Forderung gleicher Reynoldszahlen bei der Bestimmung von lokalen Verlusten abgewichen werden [70]. Da der zu ermittelnde Verlustbeiwert xi somit unabhängig vom Druckniveau und dem Durchfluss angenommen wird, werden für die Randbedingungen charakteristische Zustände gewählt, welche in der Natur auftreten können. Deshalb wird für die Rückrechnung ebenfalls die Annahme getroffen, dass für die Skalierung als Näherung das Froudesche Ähnlichkeitsgesetz herangezogen wird. Für die weiteren Berechnungen wird der Durchfluss von 140 m 3 /s verwendet. Die Skalierung der Druckrandbedingung von 5 auf 125 bar (gilt für beide Modellgesetze) ist aus praktischer Sicht nicht sinnvoll. In der Realität liegt der maximale Wasserspiegel ca. 160 m über der Unterkammer, was einem statischen Druck von 15,65 bar 22 entspricht. Die skalierten 125 bar entsprechen knapp 1280 mw S und übersteigen somit den tatsächlichen Druck an der Düse. Als Näherung wird die Druckrandbedingung mit 5 bar beibehalten, da dieser Wert eine Teilfüllung des Schachts repräsentiert. Dieser Wert wird nachfolgend für den angepassten Krümmer variiert (Kapitel 8.4). 21 Der Index (N) bezieht sich auf die Naturgröße und (M) auf das Modell , 65 bar = 997 kg/m 3 9, 81 m/s m 10 5 bar/p a

181 8.2 Skalierung Berechnungsnetz Auf die Ausnutzung der Symmetrie wird für die nachfolgenden Berechnungen verzichtet und ein Vollmodell vergleichbar zu Kapitel berechnet. Dadurch müssen zwar mehr Zellen berechnet werden, doch kann ein besseres Konvergenzverhalten festgestellt und Unsicherheiten bei der Bestimmung der Belastung auf den Krümmer können vermieden werden. Das Konzept für die Berechnungsnetzerstellung (Kapitel 3.4.2) bleibt erhalten. Die Eingangsgrößen für die Netzerstellung werden entsprechend im Maßstab M=1:25 vergrößert (Tab. 8.2). Die Kontrolle des Parameters y + (Kapitel 3.4.1) führte dazu, dass die erste Schichtdicke nicht skaliert wird. Eine Erhöhung auf 0,375 mm (= 0,015 mm 25) führt zu einer Überschreitung des y + -Wertes im Bereich des Krümmers. Durch die Erhöhung der Geschwindigkeit ist eine Verfeinerung notwendig, welche zu einer ersten Schichtdicke von mm führt. Die Erhöhung der Wachstumsrate führt zu einem schnelleren Übergang zwischen der Grenzschicht und dem restlichen Netz. In Abbildung 8.1 sind die Auswertungen des Parameters mit den Netzeinstellungen laut Tabelle 8.2 dargestellt. Der Vergleich der beiden Netze der Tab. 8.2: Eingangsparameter für die Netzerstellung - Angaben in [mm] max. Größe Einflusskörper EK erste Wachs- Netz (global) (EK) groß klein Krümmer Sicht tumsrate Referenz ,015 1,2 Skaliert ,005 1,25 Vollmodelle im Modell- und Naturmaßstab in Tabelle 8.3 zeigt, dass die Skalierung eine deutliche Erhöhung der Knoten und Elemente des Netzes zur Folge hat. Auf zusätzliche Kontrollen der skalierten Berechnung vergleichbar mit Kapitel 3.4 wird in weiterer Folge verzichtet, da nachfolgend nur beispielhafte Berechnungen durchgeführt werden. Tab. 8.3: Vergleich der Netze - Vollmodell im Modell- und Naturmaßstab Abschwingen Aufschwingen Netz Knoten Elemente Knoten Elemente Modell [-] Natur [-] N/M in [%] 197% 168% 207% 175%

182 170 Kapitel 8 Umsetzung im Naturmaßstab (a) Abschwingen (b) Aufschwingen Abb. 8.1: Kontrolle y + - skalierte Geometrie (a) Abschwingen (b) Aufschwingen (c) Abschwingen Detail (d) Aufschwingen Detail Abb. 8.2: Vergleich der Verlustbeiwerte

183 8.2 Skalierung Ergebnis Für den Vergleich der numerischen Berechnung des Verlustbeiwertes im Modellund Naturmaßstab ist es notwendig, dass annähernd die selben Positionen der Auswerteebene miteinander verglichen werden. Als Näherung werden die entsprechenden Abstände der Ebenen vom Schnittpunkt der Achsen laut dem Verhältnis aus Tabelle 4.1 skaliert. Dadurch ergibt sich für die Entfernung des Messquerschnitts M3 (Bezugsquerschnitt im Zulauf, Abb. 4.2) ein Wert im Naturmaßstab laut Formel (8.1). Für die nachfolgenden Auswertungen werden die Koordinaten der Auswerteebenen im Modellversuch jeweils mit der Maßstabsfaktor λ M 25 [-] multipliziert. x (N) Ab z (N) Ab = 29 m y (M) Ab l (N) = l (M) λ M = 1, 16 m = 34, 5 m x(m) Auf = 1, 38 m (8.1) In Abbildung 8.2 sind die Verlustbeiwerte dargestellt. Es zeigt sich, dass für beide Lastfälle die Berechnung im Naturmaß geringere Verlustbeiwerte ergibt. Die Abweichungen des xi-wertes für das Aufschwingen weisen eine Differenz von ca. 0,2 [-] auf. Beim Lastfall Abschwingen erhöht sich dieser Wert (Abb. 8.2 (c)). Um die Ursachen der Abweichungen zu erkennen werden die Anteile der Geschwindigkeit und der des Druckes nachfolgend getrennt betrachtet. Dabei ist jeweils eine Skalierung der Ergebnisse im Modellmaßstab notwendig. Der Umrechnungsfaktor laut dem Froudeschen Ähnlichkeitsgesetz (Kapitel 4.2) für die Geschwindigkeiten kann entweder aus Tabelle 4.1 entnommen oder laut Formel (8.2) (spezialisiert für den Fall eines Kreisquerschnittes) hergeleitet und ausgewertet werden. Die Geschwindigkeit geht in die Bestimmung des xi-wertes im Quadrat ein (Formel (2.7)), wodurch die Größe v laut Formel (3.13) mit dem Faktor 5 2 = 25 multipliziert werden muss. Der Druck wird direkt mit dem Maßstabsfaktor skaliert (Tab. 4.1), wodurch sich ebenfalls ein Faktor von 25 ergibt. In der Abbildung 8.3 sind beide Anteile getrennt nach Lastfall skaliert auf die Naturebene dargestellt. v (N) = A(M) A (N) v(m) λ 5/2 M = v (N) = Q (N) = Q (M) λ 5/2 M A (N) v (N) = A (M) v (M) λ 5/2 M ( ) 2 r (M) π (r (N) ) 2 π v(m) λ 5/2 M ( ) 2 r (M) π (r (M) λ M ) 2 π v(m) λ 5/2 M v (N) = v (M) λ 1/2 M = v(m) 25 1/2 = v (M) 5 (8.2)

184 172 Kapitel 8 Umsetzung im Naturmaßstab (a) Abschwingen Geschwindigkeit (b) Aufschwingen Geschwindigkeit (c) Abschwingen Druck (d) Aufschwingen Druck Abb. 8.3: Vergleich der Anteile des Druckes und der Geschwindigkeit Abb. 8.4: Exemplarische Auswertung der Geschwindigkeit in der Symmetrieebene - Abschwingen Naturmaßstab Die in der Berechnung des Lastfalls Abschwingen im Naturmaßstab auftretenden Sprünge der Auswertegrößen (Abb. 8.2 und 8.3, jeweils (a) und (c)) weisen auf ein unphysikalisches Verhalten hin. Es lässt sich daraus schließen, dass eine zusätzliche Netzabhängkeit der Lösung gegeben ist. Dies kann durch die Auswertung der Geschwindigkeiten in der Symmetrieebene bestätigt werden (Abb. 8.4). Am Ende der Verdichtungszone wird die Strömung unphysikalisch abgelenkt und es kommt zu einer

185 8.2 Skalierung 173 Pendelbewegung. In diesem Fall wäre ein Wechsel des Gitters empfehlenswert. Dies wäre aber ein Abgang von der möglichst direkten Skalierung des Berechnungsnetzes des Modellversuches. Zusätzlich wird das Verhältnis zwischen den maximalen Geschwindigkeiten für beide Lastfälle (v Ab,max und v Auf,max ) entsprechend der Abbildung 8.5 ausgewertet. Es ergibt sich dabei annähernd das selbe Verhältnis zwischen den maximalen Geschwindigkeiten, als es die Herleitung bzw. das Modellgesetz ausweist. Der Vergleich zwischen Modell und Natur laut dem für Rohrströmung maßgebenden Reynolds schen Modell ist nicht möglich, da die Maßstäbe der Längen und Durchflüsse nicht übereinstimmen. v (N) Ab,max 32, 16 = v (M) Ab,max 6, 401 = 5, 0242 [ ], v (N) Auf,max v (M) Auf,max = 20, 62 = 4, 9663 [ ] (8.3) 4, 152 (a) Abschwingen Modell (b) Aufschwingen Modell (c) Abschwingen Natur (d) Aufschwingen Natur Abb. 8.5: Geschwindigkeiten Zusammenfassend können die theoretischen Umrechnungsfaktoren mit der Berechnung im Naturmaßstab nachgewiesen werden. Eine direkte Skalierung des Netzes ist aber in diesem Fall nur bedingt sinnvoll, da die Auswertung der Geschwindigkeit auf eine unerwünschte Netzabhängigkeit schließen lässt.

186 174 Kapitel 8 Umsetzung im Naturmaßstab 8.3 Anpassung des Schachtdurchmessers Geometrievergleich Um standardisierte Rohrleitungen für den Modellversuch verwenden zu können, wird der Lotschacht im Modellversuch nicht mit einem Durchmesser von 25,2 cm (M) sondern mit 25 cm (M) untersucht. Dies entspricht der Reduktion des Durchmessers im Naturmaßstab um 5 cm (N) (Kapitel 4.2, Tab. 4.4). Im Hinblick auf die Vergleichbarkeit der numerischen und physikalischen Untersuchung hat dies keinen Einfluss, da der Vergleich in Kapitel 7 auf der Modellebene durchgeführt wird. Für die Bestimmung des Verlustbeiwertes der geplanten Umsetzung ist aber eine Erweiterung des Lotschachtes notwendig. Dazu wird in der 1:1-Numerik der Schacht entsprechend erweitert. Die beiden Modelle werden nachfolgend miteinander verglichen Theoretische Überlegung Der anzupassende Schachtdurchmesser 23 d Schacht geht jeweils nur in die plötzlichen Querschnittsänderungen ein. In Kapitel 2.5 sind die theoretischen Zusammenhänge zusammengestellt. Für die nachfolgenden Betrachtungen werden nur die plötzlichen Querschnittsänderungen herangezogen. Für die Verengung werden in Kapitel 2.5 zwei theoretische Ansätze angeführt. Der Vergleich mit den Ergebnissen in Kapitel 7.3 zeigt, dass der Ansatz eines Borda- Verlustes die besseren Ergebnisse liefert als der laut der Formel (2.20). Dies weist darauf hin, dass der Schachtquerschnitt einen verhältnismäßig geringen Einfluss auf das Abschwingverhalten hat. Für den Ansatz laut Idelchik [63] wird eine Erweiterung des Schachtdurchmessers um d = 5 cm untersucht. Dazu wird in Formel (8.5) eine Differenz des in Formel (8.4) erweiterten Ansatzes ausgewertet. Dafür wird d Düse = 3,1 m, d Schacht = 6,25 m und d UK = 5,0 m gesetzt (Tab. 4.4). [ ( ) ] 2 ddüse d 4 UK xi pv = 0, 5 1 d Schacht d 4 Düse [ ( xi pv + d = 0, 5 1 d Düse d Schacht + d ) 2 ] d 4 UK d 4 Düse (8.4) 23 In der nachfolgenden Betrachtung wird immer der Durchmesser herangezogen und werden referenzierte Formeln entsprechend umgeschrieben.

187 8.3 Anpassung des Schachtdurchmessers 175 = 0, 5 = 0, 5 d4 UK d 4 Düse xi pv + d = xi pv + d xi pv = ( ( ) [ 2 ( ) ]) 2 d Düse ddüse 1 1 = d Schacht + d d Schacht ( ) = 0, 5 d4 UK 1 1 d 2 Düse (d Schacht + d) 2 = ( , 1 2 6, (6, , 05) 2 d 2 Schacht ) = 0,0263 [ ] = xi pv + d (8.5) Das Ergebnis xi pv + d bezieht sich auf den Querschnitt der Unterkammer und bleibt somit konstant. Beim Aufschwingen erweitert sich auch die Bezugsfläche für den Verlustbeiwert. Deshalb wird im nachfolgenden Ansatz für die plötzliche Erweiterung (Formel (2.22)) eine Rückrechnung mit dem Faktor β Schacht auf den ursprünglichen Querschnitt durchgeführt. Die Differenz der in Formel (8.6) aufgestellten Verlustbeiwerte wird in Formel (8.7) ausgewertet. [ ( ) 2 2 dschacht xi pe = 1] d Düse [ ( ) ] 2 2 dschacht + d d 4 Schacht xi pe+ d = 1 d Düse (d Schacht + d) 4 } {{ } β Schacht (8.6) xi pe+ d = xi pe+ d xi pe = [ ( ) ] 2 2 [ ( ) ] 2 2 dschacht + d dschacht 1 β Schacht 1 = d Düse [ ( ) ] 2 2 ( ) 4 6, , 05 6, 25 = 1 3, 1 6, , 05 d Düse [ ( ) 2 6, , 1 ] 2 = = 0,0972 [ ] = xi pe+ d (8.7) Somit ergibt eine Erweiterung eine Erweiterung des Schachts um d = 5 cm für das Aufschwingen einen um den Faktor 3,695 [-] (0,0972/0,0263) höheren Verlustbeiwert. Dabei beziehen sich die Werte immer auf den ursprünglichen Querschnitt und die theoretischen Annahmen. Bei einem Vergleich wie in der Abbildung 8.6 (b) und (c) mit veränderten Querschnitten, muss der Faktor β Schacht zu 1,0 [-] gesetzt werden. Für diesen Fall ist die Differenz xi pe+ d in Formel (8.8) berechnet. Durch den größeren Bezugsquerschnitt verringert sich bei gleichem Durchfluss die Geschwindgikeit und somit muss bei gleicher Verlusthöhe auch der Verlustbeiwert deutlich steigen. β Schacht = 1 0,4045 [ ] = xi pe+ d (8.8)

188 176 Kapitel 8 Umsetzung im Naturmaßstab Ergebnis Für den nachfolgenden Vergleich der Verlustbeiwerte wird von den skalierten Auswerteebenen des Modellversuches abgegangen. Für die Auswertung werden die Ebenen für die Bestimmung der Geschwindigkeit und des Druckes angepasst. Dabei wird auf die im Zuge des Forschungsberichts [40] angepassten Abstände im Anströmungsbereich zurückgegriffen. Für den Lastfall Abschwingen wird die Ebene im Lotschacht 12 m vom Schnittpunkt der Achsen entfernt fixiert und der Verlustbeiwert entlang der Unterkammer ausgewertet (Abb. 8.6 (a)). Beim Aufschwingen wird die Entfernung der Auswerteebene vor der Düse mit 7 m in der Unterkammer als fixe Ebene verwendet. Die x-achse der Abbildung 8.6 (b) bezieht sich somit auf die Entfernung der zweiten veränderlichen Auswerteeben im Lotschacht. (a) Abschwingen (b) Aufschwingen (c) Differenzen xi = xi 6,3m xi 6,25 m und Grenzen aus Kapitel Abb. 8.6: Vergleich der Verlustbeiwerte in Abhängigkeit vom Durchmesser des Lotschachtes d Schacht

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