3 Vektoren im Koordinatensystem
|
|
- Imke Beate Braun
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Vektoren im Koordinatensystem. Vektoren in Dimensionen Wir verwenden ein orthonormiertes System: Ursprung (Nullpunkt O x- und y-achse stehen senkrecht (orthogonal aufeinander Einheitsvektoren e, e zeigen in die x- und y-richtung und haben die Länge (normiert IB/North America: unit vectors i, j Punkte lassen sich durch Koordinaten darstellen: z.b. P = (/. Jeder Vektor v lässt sich als Linearkombination von e, e darstellen: v = x e + y e = x i + y j Definition 5 (Komponenten. Die Koeffizienten x und y der Linearkombination v = x e + y e Komponenten von v. Man schreibt heissen v = ( x y Die Darstellung heisst Komponentendarstellung. Bemerkung: Die Komponenten bedeuten die Ausdehnungen von v in Richtung der Einheitsvektoren. 6
2 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Das Bild zeigt den Vektor ( v =. Für die Basisvektoren gilt: ( e =, ( e = Aufgaben,, Rhyn. Vektoren in Dimensionen Wir verwenden ein orthonormiertes Rechtssystem: Ursprung (Nullpunkt O x-, y- und z-achse stehen senkrecht (orthogonal aufeinander und bilden ein Rechtssystem Einheitsvektoren e, e, e zeigen in die x-, y- und z-richtung und haben die Länge (normiert Punkte lassen sich durch Koordinaten darstellen: z.b. P = (/5/6. 7
3 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Jeder Vektor v lässt sich als Linearkombination von e, e, e darstellen: v = x e + y e + z e = x i + y j + z k Definition 6 (Komponenten. Die Koeffizienten x, y und z der Linearkombination v = x e + y e + z e heissen Komponenten von v. Man schreibt v = x y z Die Darstellung heisst Komponentendarstellung. Das Bild zeigt den Vektor v =
4 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Bemerkung: Die Komponenten bedeuten die Ausdehnungen von v in Richtung der Einheitsvektoren. Für die Basisvektoren gilt: e =, e =, e = Aufgaben,, Rhyn Aufgaben. Hier geht es darum, die Koordinaten eines eingezeichneten Punktes abzulesen. In der Abbildung ist der Punkt P markiert. Argumentiere: Sind aufgrund der Zeichnung seine Koordinaten eindeutig bestimmt? Wenn du der Ansicht bist, sie sind es, dann lies diese von Auge ab. Wenn du der Ansicht bist, sie sind es nicht, dann sag warum nicht.. Rechnen mit Komponenten Vektoren und Vektoroperationen lassen sich nach der Einführung des Koordinatensystems algebraisch behandeln. Nullvektor: = 9
5 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Gegenvektor: a = a a = a = a Addition und Subtraktion: a b a a ± b b = a a a a ± b a ± b a ± b Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: λ a a = λ a λ a a λ a Aufgaben 5, Rhyn Kollinearität Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn sie parallel zueinander liegen. Dies lässt sich wie folgt ausdrücken b = λ a Aufgaben 6 9, Rhyn Ortsvektoren / Punkte Vektoren sind frei, sie können beliebig im Koordinatensystem verschoben werden. Für einen Punkt P = (x/y/z im Koordinatensystem kann man aber den Vektor x OP = y z angeben. Dieser Vektor, der vom Nullpunkt zum Punkt P zeigt, heisst Ortsvektor von P. In zwei Dimensionen sieht dies wie folgt aus:
6 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Vektor zwischen zwei Punkten Der Vektor zwischen zwei Punkten A und B ergibt sich aus Er berechnet sich wie folgt AB = OB OA Beispiel Der Vektor zwischen A = (/ / und B = ( 5/9/ ist 5 8 AB = 9 = Aufgaben. AUFGABE: Berechne die Vektoren AB, AG und DG.. AUFGABE: Berechne die Punkte, die die Strecke AB halbieren, dritteln bzw. vierteln.. AUFGABE: Berechne einen Punkt P auf der Geraden durch A und B so, dass P A : P B = : gilt und (a P zwischen A und B liegt. (b B zwischen A und P liegt.
7 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 5, Rhyn Vektoren zerlegen (Linearkombinationen In zwei Dimensionen sind zwei nicht kollineare Vektoren a und b gegeben. Jeder Vektor c lässt sich nach a und b zerlegen. Dies zeigt die folgende Figur Solche Zerlegungen sind insbesondere in der Physik sehr wichtig. Als Beispiel betrachten wir die schiefe Ebene. Eine Körper der Masse m auf der schiefen Ebene erfährt die folgenden Kräfte: Die Gewichtskraft F G wird in eine zur schiefen Ebene parallele und eine dazu senkrechte Kraft zerlegt. Die Kraft F G, wird durch die Normalkraft F N der schiefen Ebene aufgehoben. Die Kraft F G, beschleunigt den Körper auf der schiefen Ebene. Mit Hilfe der Trigonometrie folgt F G, = F G cos α F G, = F G sin α
8 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Aufgaben 6, 7, Rhyn Betrag eines Vektors (Länge Der Betrag eines Vektors ist dessen Länge. In zwei Dimensionen ergibt sich für a = ( a a mit Pythagoras a = ( a a = a + a In drei Dimensionen ergibt sich a = a a a = a + a + a
9 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Beispiele: 5 = 5 6 = 7 = 5 = = = = Aufgaben 5. AUFGABE: Bestimme die Längen der Vektoren AB und AG. 8 8, Rhyn Mittelpunkt Für die Berechnung des Mittelpunktes M von AB berechnen wir zunächst den Verbindungsvektor AB = OB OA
10 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Für den Ortsvektor von M folgt OM = OA + AB = ( OA + OB Beispiel: A = (/ und B = (5/. Daraus ergibt sich OM = (( ( ( 5 + = Schwerpunkt Die Berechnung des Schwerpunktes ist sehr ähnlich. Wir betrachten den Schwerpunkt dreier Punkte A, B und C. 5
11 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Berechnung: OS = OM b + M b B = OM b + = ( OB OM b = OM b + OB = ( OA + OC + OB ( OA + OB + OC Aufgaben 9, Rhyn. Mehrdimensionale Vektoren und Anwendungen 6. Geschwindigkeitsvektoren liegen tangential an der Bahnkurve der Geschwindigkeitsvektor zeigt in die momentane Bewegungsrichtung. Die Bahnkurve sei ein Kreis (in der xy-ebene um den Ursprung mit Radius 6 cm. Du startest bei (6/ und fährst den Kreis im Gegenuhrzeigersinn genau einmal ab. (a Du fährst den Kreis mit gleichem Tempo in s ab. Berechne den Geschwindigkeitsvektor nach einem Viertel der Wegstrecke, nach der Hälfte der Wegstrecke und nach fünf Achteln der Wegstrecke. (b Du erhöhst den Betrag der Geschwindigkeit gleichmässig von cm/s auf 6 cm/s. Berechne den Geschwindigkeitsvektor nach einem Viertel der Wegstrecke, nach der Hälfte der Wegstrecke und nach fünf Achteln der Wegstrecke. 7. Ein Quartierladen macht einen Halbjahresabschluss. Aufgeschlüsselt auf die einzelnen Monate ergibt sich folgende Bild (Angaben in CHF: Warenverkauf Wareneinkauf Aufwand Januar Februar März April Mai Juni (a Drücke die Liste des monatlichen Verkaufs, Einkaufs und Aufwands durch einen Vektor mit 6 Komponenten aus. (b Drücke mit den Vektoren aus der vorherigen Aufgabe die Liste der monatlichen Gewinne aus (ein negativer Gewinn entspricht einem Verlust. (c Drücke mit den eingeführten Vektoren die Liste der monatlichen Gewinne aus, wenn der Aufwand monatlich % geringer gewesen wäre. 8. Notenliste: In einer Mathematikprüfung werden fünf Aufgaben gestellt. Dabei erreichen die Schüler/innen einer Klasse folgende Resultate: 6
12 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Name A A A A A5 Punktsumme Maximalpunktzahl Für jeden Teilnehmenden i an der Prüfung werden die Punkte pro Aufgabe in einem Vektor s i zusammen gefasst und für jede Aufgabe j werden die Punktzahlen aller Teilnehmenden in einem Vektor a j zusammengefasst. Beispielsweise: s =, a =. (a Interpretiere die Komponenten des Vektors ( s + s s. (b Wie kann der Punktsummenvektor mithilfe der Aufgabenvektoren berechnet werden? (c Die Note wird durch die Formel Note= 5 Punktsumme + berechnet. Drücke den Notenvektor durch eine Gleichung mit dem Punktsummenvektor aus. (d Wie heissen die Lösungen zu den beiden vorherigen Aufgaben, wenn die Punktzahl von Aufgabe verdoppelt wird und die Note 6 für 5 Punkte gegeben wird? 9. Iris-Daten: 95 Hat E. Anderson 5 Blüten der Iris (Schwertlilie vermessen. Sein Datensatz hat in de Entwicklung der Statistik eine grosse Rolle gespielt und wird auch heute noch in vielen Büchern als Beispiel verwendet. Die Irisblüten sind aus Kronblättern (Petalen und Kelchblättern (Sepalen aufgebaut. Anderson mass für jede Blüte die Länge und die Breite dieser Blätter. Jeder Blüte ist daher ein vierdimensionaler Vektor zugeordnet. Dieser hat die vier Komponenten (Merkmale Sepal-Länge, Sepal-Breite, Petal-Länge, Petal-Breite. Die Vektorkomponenten für die ersten drei Blüten lauten wie folgt (Einheit in cm: Blüte Blüte Blüte... W=Sepal-Länge X=Sepal-Breite Y=Petal-Länge Z=Petal-Breite Aufgefasst als Ortsvektoren ergeben sich also 5 Punkte im vierdimensionalen Raum. Um ein visuelles Bild dieser Punktwolke zu erhalten, werden die zweidimensionalen Projektionen der Punkte betrachtet. Das heisst, es werden jeweils zwei der vier Komponenten ausgewählt und die entsprechenden Punkte in ein zweidimensionales Koordinatensystem eingezeichnet. Dies ist in der Abbildung zu sehen. (a Lies aus der Abbildung den kleinsten auftretenden Wert der Sepal-Breite ab. Wie gross sind die anderen drei Abmessungen der Blüte mit der kleinsten Sepal-Breite? (b Warum sind in den meisten Figuren weniger als 5 Punkte? (c Es scheint zwei Gruppen von Blüten zu geben, die ziemlich klar getrennt sind. Was wäre eine plausible botanische Erklärung dafür? (d Welche Bedeutung hat der Ausdruck.5(W + X + Y + Z? 7
13 Stiftsschule Engelberg PAM 8 Schuljahr 7/8
14 Stiftsschule Engelberg PAM 9 Schuljahr 7/8
15 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8
16 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8
17 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8
18 Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Lösungen. Nicht eindeutig bestimmt.. AB = 6 5, AG = 7. 9,. (a 7 (b, und DG = 5. AB = AB = 6 und AG = AG = (a ( π ( cm/s, π cm/s, ( π π cm/s (b ( 9 ( cm/s, 8 cm/s, (.5.5 cm/s 7. (a Die Vektoren v, e und a werden direkt aus der Tabelle gebildet. (b Die monatlichen Gewinne: g = v ( e + a. (c g = v ( e +.98 a 8. (a Jede Komponente gibt die durchschnittliche Punktzahl an, welche die Schüler/innen in der jeweiligen Aufgabe erzielt haben. (b p = a a 5 (c n =.5 p +. (d p = a a 5, n =. p (a. und (5.,.,.5,. (b Einige Punkte liegen übereinander. (c Die beiden Gruppen entsprechen zwei verschiedenen Unterarten der Iris-Pflanze.
19 Stiftsschule Engelberg PAM (d Mittelwert der vier Messungen bei einer Blu te. Schuljahr 7/8
& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors
Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen
MehrRechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene
Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander
Mehr3.6 Einführung in die Vektorrechnung
3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................
MehrLineare Algebra: Theorie und Anwendungen
Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
Mehr2. Vorlesung Wintersemester
2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung
MehrGeometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrVektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrGrundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
Mehr3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
MehrVorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
MehrLineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch
MehrVektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren
Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Komplexe Zahlen Kapitel 3 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.0/29 Motivation Für die
MehrRechnen mit Vektoren
() Der Ortsvektor Definition: Der Ortsvektor beginnt im Koordinatenursprung und endet in einem beliebigen Punkt P. Die Koordinaten des Punktes stimmen mit den Koordinaten des Ortsvektors überein. Schreibweise:
MehrVektorgeometrie Layout: Tibor Stolz
Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Niedersachsen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der Gleichung zur Kurve... 9 Aufstellen
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
Mehr1 Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung
Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung www.mathebaustelle.de. Einführungsbeispiel Archäologen untersuchen eine neu entdeckte Grabanlage aus der ägyptischen Frühgeschichte. Damit jeder
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
Mehr1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )
Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition
Mehr1 Fraktale Eigenschaften der Koch-Kurve
Anhang Inhaltsverzeichnis Fraktale Eigenschaften der Koch-Kurve iii. Einführung.................................. iii.2 Defintion.................................... iii.3 Gesamtlänge der Koch-Kurve........................
Mehrein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
MehrMathematik Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,
MehrFormelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt
Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches
MehrVektorrechnung Raumgeometrie
Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (*1882 1935) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen
MehrAnalytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung
Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?
MehrAnalytische Geometrie I
Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend
MehrVektoren - Basiswechsel
Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug
MehrArbeitsblatt 1. ORTSVEKTOREN. "Ortsvektoren.ggb" Zahlenpaar (seine "Koordinaten") beschrieben werden.
Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Personen Mathematik Modul 5 Einführung in VEKTOREN 5f und Alfred Dominik Arbeitsblatt Einführung in "Vektoren" mit GeoGebra Unterlagen von www.geogebra.org
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrInhaltsverzeichnis. I Planimetrie.
Inhaltsverzeichnis I Planimetrie. Winkel 1.1 Einführung 1.1.1 Definition eines Winkels 1 1.1.2 Messung von Winkeln in Grad (Altgrad) 1 1.1.3 Orientierte Winkel 2 1.1.4 Winkelkategorien 2 1.2 Winkel an
MehrLernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
MehrSollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans
Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen
MehrVIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme
V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot
Mehr1 Analytische Geometrie
Analytische Geometrie. Grundlagen, Begriffe, Schreibweisen Achsenkreuz Die Achsen heißen in dieser Darstellung x und -Achse. Punkte Punkte werden weiterhin mit großen, lateinischen Buchstaben bezeichnet
MehrVektoren. Hinführung: Vektorielle Größen
Vektoren Dieser Anhang enthält eine Kurzeinführung in den für einfache Anwendungen erforderlichen Teil der Vektorrechnung. Er geht nicht primär davon aus, die zugehörige mathematische Struktur zu beschreiben
Mehr2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Massenpunkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort im Raum zu bestimmen. Es muss ein Ortsvektor angegeben werden. Prof.
MehrLänge, Skalarprodukt, Vektorprodukt
Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 20. April 2009, 19:39 1 Überblick Ein Vektorraum muss nur eine Minimalausstattung an Rechenoperationen besitzen: die Addition zweier Vektoren
MehrVorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch
Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ
MehrMathematik für Chemische Technologie 2
Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters
MehrKOMPLEXE ZAHLEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
KOMPLEXE ZHLEN UND LINERE GLEICHUNGSSYSTEME Vektoren Definition: Parallelverschiebung, Pfeil(e) mit Länge und Richtung. Darstellung Eigenschaften Komponenten Graphisch Länge, Betrag Zwischenwinkel Vektorarten
Mehr2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort
MehrDas Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer".
Was ist ein Vektor? Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer". Vektoren sind Listen von Zahlen. Man kann einen Vektor darstellen, indem man seine Komponenten
MehrProf. Dr. K. Melzer IWB 1 Blatt 1 Vektorrechnung Aufgaben
Prof. Dr. K. Melzer IWB Blatt Vektorrechnung Aufgaben Aufgabe : Ermitteln Sie die Koordinatendarstellung der skizzierten Vektoren a und b. Aufgabe 2: Ein Vektor r mit r = 7 und dem Anfangspunkt (2 ) hat
MehrVektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 11. April 2009, 23:42
Vektoren Jörn Loviscach Versionsstand:. April 29, 23:42 Rechnen mit Pfeilen Bei den komplexen Zahlen haben wir das Rechnen mit Pfeilen schon kennen gelernt. Addition und Subtraktion klappen in drei wie
Mehr2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt
2 Geradengleichungen in Parameterform. Länge und Skalarprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 19. März 2011, 15:33 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrLektionen zur Vektorrechnung
Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Lektionen zur Vektorrechnung in Aufgaben Diese Datei kann auch als PDF-Datei heruntergeladen werden. Download... Es handelt sich um " Basisaufgaben " der
MehrArbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren)
Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften Arbeitsblatt Mathematik (Vektoren Dozent: - Brückenkurs Mathematik / Physik 6. Aufgabe Gegeben
MehrVektoren: Grundbegriffe. 6-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Vektoren: Grundbegriffe 6-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Parallele Vektoren Abb. 6-1: Vektoren a, b, c und d liegen auf drei zueinander parallelen Linien l, l' und l'' und haben gleiche Richtung Linien l,
MehrPrüfungsteil 2, Aufgabe 5 Analytische Geometrie
Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 1GK Abitur Mathematik: Prüfungsteil, Aufgabe 5 Analytische Geometrie Nordrhein-Westfalen 1 GK Aufgabe a (1) 1. SCHRITT: DIE VEKTOREN, UND BERECHNEN 1 3 5 3 5 1. SCHRITT:
MehrZusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
MehrAnalytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen.
Analytische Geometrie Seite 1 von 6 1. Wichtige Formeln AB bezeichnet den Vektor, der die Verschiebung beschreibt, durch die der Punkt A auf den Punkt B verschoben wird. Der Vektor, durch den die Verschiebung
MehrKapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume
Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume a) Vektoren: Definition und Grundlagen Größen, die sich durch Angabe eines Zahlenwertes und einer Einheit vollständig beschreiben lassen, nennt man Skalare
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
Mehrd 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1
2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach
Mehr++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen dx+ey+f = 0 1.1
Hauptachsentransformation. Einleitung Schneidet man den geraden Kreiskegel mit der Gleichung = + und die Ebene ++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen +2 + +dx+ey+f = 0. Die
MehrOktaeder. Bernhard Möller. 22. Dezember 2010
Oktaeder Bernhard Möller. Dezember 00 Ein Oktaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen Oberfläche aus acht kongruenten, gleichseitigen Dreiecken besteht. Jedes Oktaeder kann einem Würfel so einbeschrieben
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MehrLösungen der Übungsaufgaben III
Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion
MehrSkalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)
Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +
MehrKapitel 2: Mathematische Grundlagen
[ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen
MehrÜbungsaufgaben Vektoren
Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Vektoren 1. Gegeben sind die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ und e z = 0 0 0 0 1 und Kugelkoordinaten: sin ϑ cos
MehrVektorgeometrie - Teil 1
Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der
Mehr2) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 +bx 2 +c mit a, b, c R.
Übung 6 1) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 + bx 2 + c mit a, b, c R und nennen diesen V. Die Vektoren f 1 (x) = 2x 4 + 2x 2 + 2 und f 2 (x) = 3x 4 + x 2 + 4 sind in diesem Vektorraum
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
MehrDamit haben wir schon die Koeffizienten der Gleichung gefunden, in dem wir n noch durch 6 teilen. 5x 2y + 13z = C. (2) = 36 = C.
Aufgabenblatt 6 0 Punkte Aufgabe 1 (Pyramide) Gegeben ist eine Pyramide P mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und Spitze D. Es sei A(2 0 2), B(10 7 0), C(0 8 ) und D(8 1 10). a) Gib eine (möglichst einfache)
Mehr3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen
MehrWS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch
Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch WS 2010/2011 14. Januar 2011 Geometrie mit Übungen Übungsblatt 9, Musterlösungen Aufgabe 33. Es werden Kreise in der Euklidischen
MehrSkalarprodukt und Orthogonalität
Skalarprodukt und Orthogonalität Skalarprodukt und Orthogonalität in R n Wir erinnern an das euklidische Skalarprodukt im R 2 : Wir erinnern an das euklidische Skalarprodukt im R 2 : < a, b >:= α 1 β 1
MehrFallender Stein auf rotierender Erde
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen
MehrTeil 1 Grundlagen. Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium. und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!)
Vektor-Geometrie für die Mittelstufe (Sekundarstufe 1) Teil 1 Grundlagen Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!) Auch in der Oberstufe zur Ergänzung einzusetzen,
MehrGruppenarbeit Federn, Kräfte und Vektoren
1 Gruppenarbeit Federn, Kräfte und Vektoren Abzugeben bis Woche 10. Oktober Der geschätzte Zeitaufwand wird bei jeder Teilaufgabe mit Sternen angegeben. Je mehr Sterne eine Aufgabe besitzt, desto grösser
MehrC orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =
1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
MehrSkript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
Mehr(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
MehrWiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis
Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis Wenn wir z.b. ein Objekt in unserer Umgebung (Raum eigentlich Raumzeit) beschreiben wollen, können wir mehrere Informationen zusammenfassen. Ein Freund
MehrEinführung in das Skalarprodukt
Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Einführung in das Skalarprodukt in Aufgaben Alle Lektionen und Texte der Delphi-Ecke sind in der gepackten Zip-Datei Delphi-Ecke (ohne Urlaubsbilder) (Stand:
Mehr13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01
. Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:
Mehr2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
MehrÜbung Elementarmathematik im WS 2012/13. Lösung zum Klausurvorbereitung IV
Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Dr. Uwe Streit Jan Blechschmidt Aufgabenkomplex 7 - Vektoren Übung Elementarmathematik im WS 202/3 Lösung zum Klausurvorbereitung IV. (5 Punkte -
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +
MehrVerbundstudium TBW Teil 1 Grundlagen 3. Semester
Verbundstudium TBW Teil 1 Grundlagen 3. Semester 1.1 Internationales Einheitensystem System (SI) Größe Symbol Einheit Zeichen Länge x Meter m Zeit t Sekunde s Masse m Kilogramm kg Elektr. Stromstärke I
MehrAnalytische Geometrie
Analytische Geometrie 1 Punkte und Vektoren im Raum G 1.1 Gegeben sind die Vektoren in nebenstehender Abbildung. Drücke die Vektoren AC durch a und b AB durch z und w BC durch c und d DB durch b und u
Mehr1.2 Das kartesische Koordinatensystem
Kapitel 1 Vektoralgebra 1.1 Einführung Am ersten Kapitel widmen wir uns den Grundlagen der Vektoralgebra, wobei wir speziell auf die Definitionen von Skalaren und Vektoren eingehen und Produkte zwischen
MehrVektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)
fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................
MehrKapitel 3. Transformationen
Oyun Namdag Am 08.11.2007 WS 07/08 Proseminar Numerik: Mathematics for 3D game programming & computer graphics Dozenten: Prof. Dr. V. Schulz, C. Schillings Universität Trier Kapitel 3 Transformationen
MehrMathematik. Lernbaustein 6
BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Modellieren von Realsituationen mit Hilfe der Vektorrechnung www.p-merkelbach.de/bos/mathe/matheskript-bos- Lernbaustein
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
Mehr