Frequenzverhalten eines Hochpass Messgliedes

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1 n zur Zntrlübun dr Vorlsun rundln dr Msstchnik von Prof. Dollinr, niv. dr Bundswhr Münchn, LRT OHNE EWÄHR Frqunzvrhltn ins Hochpss Msslids Abbildun : Schltbild ins Hochpss Msslids ) Frqunzn i. Brchnn Si für di CR Schltun us Abb. dn komplxn Frqunzn n. Als Frqunzn bzichnt mn dn Zusmmnhn zwischn sinusförmin Schwinunn m Ein und Ausn ins linrn zitinvrintn Systms / Übrtrunslids. Für dn komplxn Frqunzn ilt: Für di Ein und Ausnsspnnun ls Wchslspnnun schribt mn llmin in komplxr Drstllun: i t i( t ) ˆ ( ) ˆ i it it t ; t ( ) ( ) ( ) ix (Mit dr Eulrschn Idntität cos xisin xwird somit mthmtisch vollständi in Schwinun bschribn, spätr wird mit dm Fourirthorm zit, dss sich jds blibi Spnnunssinl us solchn Schwinunn zusmmnstzn lässt) Hirbi wißt ds Ausnssinl in ndr Amplitud ls ds Einnssinl sowi in Phsnvrschibun uf. Dis stztn wir in di DL ds Hochpss Msslids in:

2 t t t RC i i RC irc irc irc R irc irc R irc i C i RC Altrntiv (Hochpssschltun ls "Spnnunstilr"): Dr komplx Frqunzn brchnt sich zu: Mit Hilf dr komplxn Widrständ ilt: Z I RI R ZcI ZRI I RI ic R irc irc irc RC R irc irc RC ic ii. Spltn Si dn Frqunzn in sinn Rltil Im uf. Erwitrun mit dm konjuirt komplxn ds Nnnrs: RC Im i i i i i R R und Iminärtil

3 b) Amplitudnn i) bn Si dn Amplitudnn n. Allminr Hinwis zur Nomnkltur: In dr Litrtur wird dr komplx Frqunzn bzw. di Übrtrunsfunktion oftmls ls i ( ) bzichnt, um di Komplxwrtikit dr Funktion zu mrkirn, won dr Amplitudnn mit ( ) ( i) bzichnt wird. m Missvrständniss zu vrmidn, wrdn wir hir dn Frqunzn mit ( ) und dn Amplitudnn mit ( ) bzichnn! Ebnso R Im 4 RC RC ii. Wlchn Wrt ht dr Amplitudnn für dn rnzfll 0s? 0 lim 0 0 iii. Wlchn Wrt ht dr Amplitudnn für hoh FrqunznRC? ; lim iv. Wlchn Wrt ht dr Amplitudnn für nidri FrqunznRC? Bmrkun: Im nstz zu Tilufb ii) ist hir dr "Vrluf" n klin Frqunzn frt: ; lim 3

4 c) rnzfrqunz i. bn Si für ds Systm di rnzfrqunz n. Di rnzfrqunz ins Vrstärkrs ist in üblichr Konvntion jn Frqunz, bi dr di Spnnuns bzw. Stromvrstärkun (lso dr Amplitudnn) uf dn fchn Wrt dr mximln Vrstärkun bsunkn ist (c. 70,7 %). Disr Abfll wird uch ls 3db Abfll bzichnt: 3dB RC ii. bn Si dn Frqunzn und dn Amplitudnn sonnnt bzon Frqunz / n. für di Bmrkun: Es hndlt sich bi disr Aufb nur um di wöhnun n in üblich Nomnkltur. RC wird in dr lichun für bzw. Drstllun i i rstzt, ddurch rhält mn di 4

5 d) Phsnn i. Ermittln Si dn Phsnn ( ) Für dn Phsnn ilt: Im rctn R rctn rctn Drus folt uch: 0rctn 90 rctn 45 4 rctn ) Zhlnbispil Für zwi Snsorn sind di Erstzschltunn nch Abb. mit dn Komponntn R und C, bzw. R und C bn. Di Komponntn hbn folnd Dimnsionn: R R 60 kω, C μf und C 00 nf. Di ntsprchndn Frqunzän sind. und i. Wlchn Wrt hbn di rnzfrqunzn und? RC R C 60ms 3ms 6, 5 Hz ; f Hz Hz 3,5 ; 5 f Hz 5

6 ii. Zichnn Si di Amplitudnän bidr Snsorn für dn Frqunzbruch 0. bis 0 in inm dopplt lorithmischn Dirmm., 0 0 / / f Asymptot für f f 0 f Hz f 5 Hz f Hz 6

7 iii. Skizzirn Si dn Phsnn dr bidn Schltunn für dnslbn Frqunzbrich Wndpunkt nur bi Phsnn in lo Drstllun f Hz Hinwis: Als "Phsnn" bzichnt mn üblichrwis di lorithmisch Drstllun, di übr inn shr roßn Frqunzbrich rlubt. Nur in Btrchtun dr Funktion dis ht inn Wndpunkt in dr rfischn Drstllun. Di Funktion ht slbst kinn Wndpunkt, wi mn durch nlysirn dr. Ablitun licht shn knn. Zum Bwis, dss di lorithmisch Drstllun rfisch inn Wndpunkt ht, muss mn ttsächlich di. Ablitun d x d x 0 rctn(0 ) dx dx btrchtn mit x lo für Tifpss bzw. lo x für Hochpss! Dnn bi dr lo Drstllun wird di Funktion in Ihrr Wrtikit nicht ändrt, lso lo lo rctn rctn(0 ) 0 Di Nullstll dr. Ablitun ist dnn x 0, d.h. lo 0 lso. Dis ist lso Wndpunkt in dr rfischn lo Drstllun. 7

8 Di linr Drstllun siht so us: Linr Drstllun f Hz t sin( f t) sin( f t) cos( f t) mit iv. bn Si für 0 I I II II f 5Hz, fii 0Hz und f 00Hz ds Ausnssinl I blibi Spnnunswrt. t n. 0,I,II, sin dbi Für dn Hochpss ilt (s. vornnn Aufbn): ( ) und ( ) rctn Dr Frqunzn ibt dn Zusmmnhn zwischn Ein und Ausnssinl n. Mit dm Amplitudnn und dm Phsnn ( ) ilt: i ( ) ( ) ( ) ( ) i ( ) i( ) i ( ) ( ) ( ) ( ) i ( ) ( ) ( ) nd ußrdm: it t ( ) ; t ( ) it 8

9 Bi dr bnn Einnsspnnun t trtn nur bi 4 diskrtn Frqunzn Amplitudn unlich 0 uf, bi f0 0, fi 5Hz, fii 0 Hz, f 00 Hz. Zu jdr Frqunz und Phs ( ) mit dr bnn Einns lässt sich lso di Ausns Amplitud Amplitud f brchnn 0-0- Für di zitbhäni Ausnsspnnun knn mn somit in komplxr odr rlr Schribwis nbn ls t (0) ( ) ( ) i (0) i( It( I )) i( IIt( II )) 0 I I II II i( ) t90( )) ( ) t 0 (0) sin( ( 0)) I ( I) sin( It( I)) II ( II) sin( IIt( II)) ( ) cos( t( )) Einstzn in Amplitudn und Phsnn (s.o.) ribt Für RC 60ms : t t 00 sin(90 ) 0.98I sin( fit.5 ) sin( f t5.7 ) cos( f t0.57 ) i90 i( It.5 ) i( It5.7 ) i( It90.57 ) I II II II Für RC 3ms: t i90 i( It44.8 ) i( It6.4 ) i( It9.85 ) I II t 0 sin( 90) 0.70 sin( f t44.8 )... II II I sin( f t6.4 ) cos( f t. 85 ) I 9