10. Elliptische Regularitätstheorie.

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1 10. Elliptisce Regularitätsteorie. Wir disutieren zunäcst die Fragestellung, um die es in diesem Paragrapen get. Sei u 0 scwace Lsg. des elliptiscen RWPs { Lu = f in, u = 0 auf, 10.1) d.., es sei u 0 H 1 ) mit B[u 0,v] = f, v, v H 1 ). 10.2) Frage 1. Unter welcen Voraussetzungen an die Koeffizienten a ij x), b j x), cx) an die RS f ann man u 0 W p,loc ) mit einem > 1 zeigen? Für geeignete Paare,p) würde dann nac Sobolev zb u C 2 ) folgen, u 0 wäre dann evtl. sogar eine lassisce Lsg. der PDGl. Lu = f in.) Frage 1 betrifft die Regularität der scwacen Lsg. im Inneren von. Frage 2. Randregularität) Unter welcen Vorauss. an die Koeff. a ij x), b j x), cx), an die RS f an den Rand ann man u 0 W p ) zeigen? Unter geeigneten Bedingungen ann man dann zb auf u 0 C) oder sogar u 0 C 2 ) scließen auf u 0 x) = 0 für alle x.) Wir beginnen mit der Inneren Regularität. Gegeben sei ein elliptiscer DO L in Divergenzform in R N. Lux) := a ij x)u xi ) xj + b i x)u xi +cx)u, 10.3) Teorem. Es seien a ij C 1 ), b i, c L ), f L 2 ). Weiter sei u H 1 ) eine scwace Lsg. der PDGl. Lu = f in 88 i=1

2 im Sinne von Gl. 10.2). Dann ist u H 2 loc ) = W2 2,loc ), zu jedem gibt es eine Konstante C mit u H 2 ) C f L2 ) + u L2 ) wobei C nur von, den Koeffizienten a ij, b j c abängt. ), 10.4) Bemerungen. a) Die Be. von Tm gilt sogar für alle u H 1 ), die der Gleicung B[u,ϕ] = f, ϕ, ϕ C c ), 10.5) genügen. Der Beweis wird aber etwas omplizierter [Evans]). b) Unter den Voraussetzungen von Tm wird die PDGl. Lu = f im folgenden Sinne puntweise f.ü. erfüllt: Zunäcst ist wegen u Hloc 2 ) a ij C 1 ) das Produt a ij u xi Hloc 1 ); also ann man a ij u xi ) xj als scwace Ableitung bilden. Damit ist der Ausdruc auf der RS von 10.3) als L 2,loc )-Funtion woldefiniert. Weiter folgt für ϕ Cc ) mit partieller Integration a ij x)u xi )ϕ xj dx = a ij x)u xi ) xj ϕx)dx, wir seen, daß B[u,ϕ] = Lu, ϕ, ϕ C c ), wobei Lu durc die RS von 10.3) gegeben ist. Da u scwace Lösung ist, gilt andrerseits 10.5) es folgt Lu f, ϕ = 0, ϕ C c ). = Lu = f f.ü. Definition. Sei a ij W 1,loc ) sei u W2 p,loc ) H 1 ) eine Lösung von Lu = f puntweise fast überall. Dann nennt man u eine stare Lösung. Als wesentlices Hilfsmittel im Beweis benützen wir Differenzenquotienten von Funtionen aus L p bzw. aus W 1 p: Sei V, d := distv, ), u L 1,loc ). Wir definieren dann D i u)x) := 1 ux+e i) ux)), 89

3 für x V R mit 0 < < d Satz. vgl. [Evans]) a) Für 1 p < gilt D u Lp V) u W 1 p ), u W1 p), 0 < < d. b) Sei 1 < p <, sei u L p,loc ) es gebe eine Konstante C mit Dann ist u W 1 p V) es gilt Du L p V) C. Bem.: D u = D 1 u,...,d N u). D u Lp C, 0 < < d/ ) V) Das folgende einface Lemma etabliert eine Formel für partielle Integration für Differenzenquotienten sowie eine Leibniz-Formel Lemma. Seien v,w H 1 ), sei W sei suppv W. Dann gilt für alle 0 < 0 := distw, ) vd wdx = D v)wdx, 10.7) mit v := vx+e ). D vw) = v D w+d v)w, 10.8) Beweis: Einface ÜA. Man beacte, daß Gl. 10.8) nict ganz symmetrisc in v w ist! ZB gilt für inreicend leines ϕ Cc W) vx)d ϕx)dx = 1 = 1 = vx)[ϕx+e ) ϕx)] dx [vx e ) vx)]ϕx)dx D v)ϕdx. Beweis von Satz a) Sei u C ) = 1 ux+e i ) ux) = 0 90 ) u xi x+te i )dt,

4 mitin Mit der Hölderscen Ungleicung folgt also V 1 ux+e i ) ux) Dux+te i ) dt. 0 D i ux) 1 p Dux+te i ) p dt, 0 D i ux) 1 p dx Dux+te i ) p dtdx V 0 1 = Fubini Dux+te i ) p dxdt 0 V Duy) p dy. b) Diesen Teil beweisen wir nur für p = 2) Nac 10.6) ist { sup D i u } ; 0 < d/2 L2 < V) daer gibt es eine Ft. v i L 2 V) eine Folge 0 mit D i u w v i in L 2 V). Für ϕ Cc V) gilt nac dem Mittelwertsatz D i ϕ ϕ xi 0 in ) mit 0. Daer seen wir, daß uϕ xi dx = uϕ xi dx V ) = lim u D i ϕ dx ) = 10.7) lim D i u ϕdx = v i ϕdx. V Also ist u scwac diffbar. mit scwacer Ableitung u xi = v i in V, mitin Du V) L 2 V). Mit u L 2 V) folgt u V H 1 V). Die beauptete Abscätzung folgt sofort D wegen v i L2 liminf i u C. L2 Beweis von Teorem ) Wäle V W ζ Cc 2) Da u scw. Lsg. von Lu = f, gilt W) mit ζx) = 1 für x V 0 ζ 1. B[u,v] = f, v, v H 1 ). 91

5 Mit folgt f := f b i x)u xi cx)u L 2 ) 10.9) i=1 a ij x)u xi v xj dx = fvdx, v H 1 ) ) 3) Sei nun 0 < < 1 distw, ) sei {1,...,N}. Wir setzen in 10.10) speziell 2 v := D ζ 2 D u) H 1 ) 10.11) ein, mit D wie in Satz Wir screiben A := B := a ij x)u xi [ D f [ D Gl ) mit v wie in 10.11) ist dann äquivalent mit A = B. ζ 2 D u)] x j dx, 10.12) ζ 2 D u )] dx; 10.13) 4)Abscätzung von A. Da D eine Linearombination erzeugt, vertauscen die Operationen x j D, d.., es gilt in W) Dw xj ) = [ Dw ] x j, w H 1 ) ) = [ D = A = ζ 2 D u )] x j = D = 10.7) N = 10.8) N + a ij x)u xi D [ ζ 2 Du ) xj]. [ ζ 2 Du ) xj] dx D a ij x)u xi ) ) ζ 2 D u ) x j dx a ijd u xi ) ζ 2 D u ) x j dx D a ij )u xi ζ 2 D u ) x j dx. 92

6 Nac Leibniz ist ζ 2 D u ) x j = 2ζζ xj D u+ζ 2[ D u ] x j = 2ζζ xj D u+ζ 2 D u xj, nac 10.14). Daer önnen wir A screiben als mit A 2 := A 1 := A = A 1 +A 2 a ij D u x i D u x j ζ 2 dx, [ a ij D u x i D u2ζζ x j +D a ij)u xi D u x j ζ 2 + D a ij )u xi D u 2ζζ xj ] dx; A 2 entält den ganzen Müll. 5) Wegen der Elliptizitätsbedingung 6.5) gilt für A 1 A 1 m ζ 2 DDu 2 dx ) Bew.: A 1 m N i=1 ζx)d u x i ) 2 dx...) Die Terme aus B A 2 ann man wie folgt abscätzen Bew. später): A 2 m ζ 2 D 2 Du 2 dx+ c Du 2 dx, 10.16) B m 4 ζ 2 D Du 2 dx+c 3 f 2 +c 4 u 2 H 1 ) ) 6) Aus A = B, A = A 1 + A 2 sowie den Abscätzungen 10.16) 10.17) ergibt sic nun A 1 = B A 2, also, mit 10.15), m ζ 2 DDu 2 dx A 1 B + A 2 m 4 ζ 2 DDu 2 dx+c 3 f 2 +c 4 u 2 H 1 ) + m ζ 2 D 2 Du 2 dx+ c Du 2 dx, 93

7 oder = V m 4 DDu 2 dx ζ 2 D Du 2 dx c 3 f 2 +c 5 u 2 H 1 ) 10.18) ζ 2 D Du 2 dx c 6 f 2 +u 2 + Du 2 )dx, für = 1,...,N alle R mit 0 < < 0. Die recte Seite ist unabgg. von. Wir dürfen daer Satz 10.2 b) anwenden erennen, daß Du H 1 V)) N ist mit der Abscätzung u H 2 V) c 7 ) f L2 ) + u H 1 ) ) 7) Die Abscätzung 10.19) ist noc nict ganz das, was wir anstreben. Nac Lemma 6.9, Gl. 6.26), gibt es β > 0, γ R mit β w 2 H 1 B[w,w]+γ w 2, w H 1 ). = u 2 H 1 1 β B[u,u]+ γ β u 2 = 1 β f, u + γ β u 2 c 8 f 2 + u 2 ) c 8 f + u ) 2. Damit önnen wir die RS von 10.19) durc c 9 f + u ) abscätzen. 94