13. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss

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1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. H.-D. Alber Dr. N. Kraynyukova Dipl.-Ing. A. Böttcher WS / 3. Januar 3. Übungsblatt zur Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Gruppenübung Aufgabe G (Komplexe Funktionen) Was ist die Bildmenge des Bereichs unter der Abbildung z z? A {z C : (Re z)(im z) > ), und Re z>, Im z>} Lösung: Wir bestimmen die Bildmenge von der Kurve xy. w z u + iv, also u x y,vxy. Daraus schließen wir, dass das Bild von der Kurve xy die Kurve v ist. Nehmen wir jetzt einen beliebigen Punkt in A, z.b. z + i, dann ist f( + i) ( + i) 4 + 8i 4 8i, d.h. die Bildmenge vom A ist {z C : Im(z) > }. Aufgabe G (Komplexe Funktionen) Sei f(z) (z + z ), z C/{}. a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil dieser Funktion. b) Bestimmen Sie die Bildmenge des Kreises z. c) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion. Lösung: a) Mit erhalten wir f(z) ( ( x + z z z z x iy x + y ) ( x + y + iy )) x + y. Mit x r cos ϕ und y r sin ϕ sowie x + y r ergeben sich die Real- und Imaginärteile der Bildmenge u ( r + ) cos ϕ, v ( r ) sin ϕ. r r

2 3. Übung Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss b) Der in irgendeiner Richtung durchlaufene Kreis z r < geht in die Kurve u ) (r + r cos, v ( ) r sin ϕ, r ) ( ) also in eine Ellipse mit den Halbachsen a (r +, b r r r über. Für r geht diese Ellipse in die Strecke [, ] der u-achse über, für r wird sie unendlich gross. c) ( z + ) z oder z z ±i. z Aufgabe G3 (Differentiation komplexer Funktionen) Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen f (z) z3 +z + z 3 + f (z) Re z (z + z), f 3 (z) Im z (z z) i holomorph sind. Wenn ja, berechnen Sie die Ableitungen. Lösung: f ist regulär auf der Menge M {z C : z 3 + } C/{e πi/3 ; e πi ; e 5πi/3 }. f (z) (z3 + )(3z + ) (z 3 +z + )(3z ) (z 3 + ) ( 4z3 ) (z 3 + ) f ist nicht regulär. Die Funktion f (z) hat den Realteil u(x, y) x und Imaginärteil v. Die Ableitungen lauten u x (x, y),u y (x, y),v x (x, y),v y (x, y) Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind nicht erfüllt. Die analoge Rechnung ergibt f 3 ist ebenfalls nicht regulär. Aufgabe G4 (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen) (a) Wir betrachten die Funktion u: C R, u(x, y) : x 3 6xy + x y y für x, y R. Bestimme alle Funktionen v : C R derart, dass u + iv : C C holomorph ist. (b) Verfahre analog für u: C R, u(x + iy) : x y + e y sin x e y cos x., Lösung: (a) Es sei v : C R eine differenzierbare Funktion. Damit u + iv holomorph ist, müssen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen v v (x, y) u (x, y) 6x 6y +x () (x, y) u(x, y) xy +y + ()

3 3. Übung Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss erfüllt sein, aufgrund derer v übrigens stetig differenzierbar sein muss. Betrachten wir für festes x die stetig differenzierbare Funktion y v(x, y), so ist aufgrund des Hauptsatzes der Differentialund Integralrechnung () genau dann erfüllt, wenn Es muss also v(x, y) v(x, ) + y v (x, t) dt v(x, ) + 6x y y 3 +xy. v(x, y) w(x)+6x y y 3 +xy gelten, wobei w(x) : v(x, ) stetig differenzierbar ist. Nun ist Gleichung () erfüllt genau dann, wenn w (x) + xy +y xy +y + für alle x, y R. Dies ist äquivalent zu w (x) für alle x R, also w(x) x + C mit einer Konstanten C R. Die möglichen Funktionen v sind also genau diejenigen der Gestalt wobei C R beliebig ist. v(x, y) x +6x y y 3 +xy + C für alle x, y R, (b) Analog erhält man in der Situation von (b) v(x, y) xy e y cos x e y sin x + C. 3

4 3. Übung Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Hausübung Aufgabe H (Komplexe Funktionen) Sei die Abbildung z sin(z) gegeben. Zeigen Sie, dass die Linien, die parallel zur realen Achse sind, auf Ellipsen und dass die Linien, die parallel zur imaginären Achse sind, auf Hyperbeln abgebildet werden. Skizzieren Sie diese Ellipsen und Hyperbeln. Hinweis: sin z sin(x + iy) sin x cos(iy) + sin(iy) cos x sin x cosh y + i sinh y cos x, Lösung: Nehmen wir an, dass y y konstant ist. Sei sin z u + iv. Dann erhalten wir mit u(x, y ) sin x cosh y und v(x, y ) cos x sinh y und sin x + cos x die Ellipse u cosh + v y sinh. y v sinh y. cosh y u Jetzt setzen wir x x. Aus cosh y sinh y folgt die Hyperbel u sin v x cos. x. v. sin x sin x u 4

5 3. Übung Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Aufgabe H (Komplexe Differenzierbarkeit) (4 Punkte) Satz: Sei f(x + iy) u(x, y) +iv(x, y) eine komplexe Funktion. Die Funktionen u und v seien in einer Umgebung des Punktes (x,y ) partiell differenzierbar, und die partiellen Ableitungen seien im Punkt (x.y ) stetig. Ausserdem seien die Cauchy-Riemannschen Dgln. im Punkt (x,y ) erfüllt. Dann ist f im Punkt z x + iy komplex differenzierbar. Bestimmen Sie alle Punkte in C, in denen die folgenden Funktionen von C nach C komplex differenzierbar sind: f : x + iy xy + ixy f : x + iy x 4 y 3 + ix 3 y 4 f 3 : x + iy y sin x + iy f 4 : x + iy sin (x + y)+i cos (x + y). Lösung: Schreibe f k u k + iv k mit u k,v k : C R. f : Wir haben u (x, y) xy, v (x, y) xy. Die partiellen Ableitungen sind stetig und die Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen verlangen y u was lediglich für (x, y) (, ) gilt. v x, x u v y, f : Die partiellen Ableitungen sind stetig und die erste der Cauchy-Riemannschen DGLn, 4x 3 y 3 u ist stets erfüllt. Die zweite erfordert 3x 4 y u v 4x3 y 3, v 3x y 4 x y (x + y ) x oder y. f 3 : Die partiellen Ableitungen sind stetig und die Cauchy-Riemannschen DGLn erfordern y cos x u 3 v 3 und y sin x u 3 v 3. Die erste Gleichung liefert y, so dass zweitere sin x erfordert, also x πz. Gehen wir mit x nπ in die erste Gleichung ein, so erhalten wir die Bedingung y ( ) n, die nur für gerades n zu erfüllen ist, mit y ±. Somit ist f 3 in x + iy komplex differenzierbar genau dann, wenn (x, y) πz {, } {(, ±), (±π, ±),...}. f 4 : Wir berechnen u 5 u 5 sin(x + y) cos(x + y) v 5 v 5. Die partiellen Ableitungen sind stetig und die zweite der Cauchy-Riemannschen DGLn ist in jedem Punkt (x, y) erfüllt, während u 5 (x, y) v 5 (x, y) x + y π Z. 5

6 3. Übung Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Aufgabe H3 (Integration komplexer Funktionen) Wir betrachten die Ellipse mit Mittelpunkt und Halbachsen a>, b>. Sei γ(t) der Weg, der die obere Hälfte der Ellipse von a nach a durchläuft. Berechnen Sie das Integral γ Re z dz. Lösung: Der Weg der die obere Hälfte der Ellipse beschreibt kann beschrieben werden durch γ(t) a cos t + ib sin t, t [,π]. Mit Definition 7.: W f(z)dz b a f(z(t))ż(t) dt und γ(t) z(t) f(z(t)) Re (z(t)) Re (γ(t)) a cos t und ż(t) γ(t) bekommen wir γ Re z dz a cos t ( a sin t + ib cos t)dt a sin t cos tdt + i ab a sin td(sin t)+iab cos t dt + cos t dt a sin π t + i ab π + π sin t 4 π ab i }{{}}{{} ; Aufgabe H4 (Cauchysche Integralformeln) Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel: wenn a) C {z(t) + e it,t [, π]} b) C {z(t) + 3e it,t [, π]} c) C 3 {z(t) + 5e it,t [, π]} Lösung: a) Die Funktion ez z 6z Ci z dz, i,, 3, 6z ist holomorph für {z : z }. Nach Satz 7.3 (Cauchyscher Integralsatz) ist c dz. z 6z b) Im Inneren von {z : z 3} liegt nur eine Nullstelle des Nenners z. Satz 8. (Cauchyscher Integralsatz) liefert f(z) πif(z ) z z C 6

7 3. Übung Mathematik III für ETiT, WI(ET), IST, CE, LaB-ET, Sport-Wiss Wir schreiben z 6z C C z 6 z so dass f(z) ez z 6 und berechnen f(z ) 6. Damit ergibt sich C f(z) z z πi 6 πi 3. c) Im Inneren von {z : z 5} liegen zwei Nullstellen des Nenners z und z 6. In diesem Fall betrachten wir zunächst die Partialbruchzerlegung des Ausdrucks z 6z. z 6z A z 6 + B z Az + B(z 6) z(z 6) A + B A B z(a + B) 6B z(z 6) z 6z Jetzt können wir das Integral berechnen: 6B B 6 A 6. 6 z 6 6 z. c3 c3 c3 z 6z dz 6 z 6 dz 6 z dz ( πi ) z6 6 ez z 6 ez πi 3 (e36 ). 7

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