Wie hoch kann ein Sandturm werden?

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1 Wie oc kann ein Sandtur werden? Soerspaß it ordsee-sand auf Langeoog Alltäglice inge lassen sic it den Mitteln der Ingenieure beandeln. So wird i folgenden Beitrag der Zusaenalt von Sandtüren erklärt und die erreicbare Höe von Sandtüren aus ordseesand erittelt. Sclagzeilen acen aufwändige Sandskulpturen aus Sand. Z.B. findet alljärlic der Wettbewerb in Budjardingen statt. abei werden it oe tecniscen Aufwand ware Kunstwerke aus Sand gescaffen. oc wie oc können Sandtüre one Hilfsittel werden? Was ist it reine ordseesand und Meerwasser öglic? er folgende Beitrag beantwortet diese Frage. abei wird die teoretisce Grundlage für den Halt oer Sandburgen dargestellt. ie Ergebnisse werden it tatsäclicen Sandtüren verglicen. Vielleict spornt Sie dieser Beitrag an, den teoretiscen Wert von 1,4 zu toppen. Viel Spaß bei Turbau an der ordsee oder anderswo. Autor Prof. r.-ing. Carsten Fräger Facocscule Hannover

2 Was ält Sandtüre zusaen? Bei aufgescütteten Sandügeln werden die Sandkörner durc die Gewictskraft und die Haftreibung zwiscen den Körnern gealten, so dass sic Hügel aus trockene und feucte Sand it eine eigungswinkel von 5 6 aufscütten lassen. oc wie alten die i Bild gezeigten steilen Türe? Wie oc können Sie gebaut werden? Innerer Aufbau des Sandturs ie Sandkörner werden durc die Adäsion des Salzwassers zusaengealten. Hoe Sandtüre lassen sic durc sorgfältiges Scicten des Sandes bauen. Für steile Türe üssen sic die Sandkörner zu einer öglicst dicten Packung zusaenlegen. ann können die Körner durc die Adäsion des Wassers aneinander aften. Sind alle Körner rund und gleic groß, liegen die Sandkörner in einer exagonal dictesten Kugelpackung (Abbildung 1). Bei dieser Anordnung bilden die Mittelpunkte von jeweils 4 benacbarten Sandkörnern die Ecken eines Tetraeders. Abbildung 1 Kugelanordnung iese Art der Kornanordnung fürt auf eine it 5 6 geneigte Brucfläce, wenn ein Sandtur zusaenbrict. ies wird durc reale Brucbilder bestätigt (Abbildung ).

3 Abbildung Brucbild as Wasser ält die Körner it seiner Oberfläcenspannung zusaen. ie Kraftwirkung entstet dadurc, dass das Wasser versuct, seine Oberfläce zu iniieren. ie Oberfläce des Wassers zwiscen zwei Sandkörnern nit ab, wenn der Abstand der Körner verringert wird (Abbildung 3). Folglic entstet eine Kraft, die die Sandkörner aneinander ält. r R Abbildung 3 Wasserscict zwiscen zwei Körnern ie Kraft F zwiscen zwei Sandkörnern errecnet sic aus der Oberfläcenspannung σ O des Wassers und der Änderung der Oberfläce A bei Versciebung der Sandkörner: da F = σ O ds ie Oberfläcenänderung da ds errecnet sic bei Kontakt zweier Kugeln it den Radien R und de Radius r der dazwiscen liegenden Wasserscict etwa zu da π r ( R r + l ( R l)) it l = R R r. ds r + l ( R l) ie Zugspannung σ Z kennzeicnet die Festigkeit einer Scict in einer solcen Anordnung der Sandkörner. Sie berecnet sic aus der Kraft F zwiscen den Sandkörnern und der zugeörigen Fläce Q.

4 σ Z = F Q = F 4 3 R ie Kraft zwiscen den Körnern in fürt dazu, dass der Verband aus Körnern in senkrecter Rictung belastet werden kann. abei ergibt sic das Verältnis aus übertragbarer senkrecter Kraft und Anzieungskraft zwiscen den Körnern zu: F 1 b = 3 3, für Tetraeder: =, ruckwinkel α = tan 1 = 35 F b b Entsprecend berecnet sic die zulässige ruckspannung σ : 1 σ σ = 3 3 Z b Abbildung 4 zeigt die zulässige ruckspannung für Wasser it einer Oberfläcenspannung von σ O =, 75 für Scicten aus Tetraedern it eineitlicer Korngröße relativer Kontaktdurcesser,1 ruckspannung in / relativer Kontaktdurcesser,3 relativer Kontaktdurcesser,5 4,,,4,6,8,1 Korndurcesser in Abbildung 4 Abängigkeit der ruckspannung von der Korngröße und de relativen Kontaktdurcesser r R Festigkeit für realen Sand Realer Sand at weder eine eineitlice Korngröße, noc sind die Körner kugelförig. ie Sandkörner aben einen urcesser zwiscen, und,8, der ittlere urcesser beträgt etwa,4 (Abbildung 5). ie For der Körner ist deutlic abgeflact. ies at zwei Effekte: Zu einen lagern sic zwiscen den großen Körnern kleine Körner ein, so dass sic zusätzlice Kontaktfläcen bilden, die die

5 Festigkeit des Verbandes etwa u den Faktor vergrößern. Zu anderen verringert sic der ruckwinkel durc die flace For der Körner. Abbildung 5 Sandkörner Insel Langeoog ie Abflacung der Körner fürt zu einer Reduzierung des ruckwinkels. Abbildung 6 zeigt den Einfluss des ruckwinkels auf die Festigkeit. urc die Reduzierung des ruckwinkels steigt die Festigkeit für den ittleren Korndurcesser,4 von 7 /² auf 1 /² an. abei wurden für die Oberfläcenspannung des Wassers σ O =, 75 und für den relativen Kontaktdurcesser der Wasserscict r =,3 angesetzt. R

6 35 ruckspannung in /² ruckwinkel 18,4 ruckwinkel 6,6 ruckwinkel 35,5 1 5,1,,3,4,5,6,7,8,9 Korndurcesser in Abbildung 6 Einfluss des ruckwinkels auf die ruckfestigkeit urc die Haftreibung zwiscen den Sandkörnern findet eine weitere Eröung der Festigkeit u den Faktor K µ statt: K µ = b b 1+ µ µ b ie Festigkeitseröung in Abängigkeit vo ruckwinkel zeigt Abbildung 7. Für den ier relevanten ruckwinkel zwiscen 15 und und den Reibwert von µ =, 15 ergibt sic ein Eröungsfaktor von etwa 1,5.

7 Reibwert µ =,1 Reibwert µ =,15 Reibwert µ =, Reibungsfaktor ruckwinkel Abbildung 7 Eröung der Festigkeit durc die Haftreibung Insgesat ergibt sic für ordseesand die ruckfestigkeit σ zu σ 1,5 1 3 = unter Berücksictigung der Abflacung, der Füllung durc kleine Körner (Faktor ) und der Haftreibung (Faktor 1,5). Überprüfung der Festigkeit anand der Höe eines zylindriscen Tures ie Festigkeit lässt sic auc aus der erreicbaren Höe eines zylindriscen Tures eritteln. Reale zylindrisce Türe erreicen eine Höe von ca. c oberalb der Bruckante. Aus der Höe und der icte ρ errecnet sic die ruckspannung σ zu G ρ V g ρ A g σ = = = = ρ g A A A ies ergibt für den realen Sandtur σ 3. ieser Wert stit it de recneriscen Wert überein. Erreicbare Höe eines Sandturs er Sandtur soll ier der Teil sein, der eine größere Steileit als die eines aufgescütteten Hügels at. Für den ier betracteten feucten Sand ist dies ein eigungswinkel größer als 6. Für diesen Teil des Tures sind die Adäsion aufgrund des Wassers und der Aufbau als dicte Packung bestiend.

8 Für jeden Querscnitt des Tures gilt, dass die ruckspannung durc das Gewict des oberalb liegenden Tures und den Querscnitt den Grenzwert nict überscreiten darf. Für einen kreisrunden Querscnitt ergibt sic die Fläce abängig von der Höe x zu A( x) = π r( x) as Voluen V (x) des darüber befindlicen Turs errecnet sic aus der Integration der Querscnitte x V ( x) = A( y) dy = π r( y) dy x Aus der Bedingung für die ruckspannung ergibt sic die ifferentialgleicung, die den Tur bescreibt: V ( x) ρ g σ = = konst σ π r( x) = π ρ g A( x) r( y) dy ie Lösung der ifferentialgleicung fürt auf eine e-funktion, wenn zur Vereinfacung der Tur in der Berecnung als unendlic oc unterstellt wird, natürlic bei verscwindend kleine urcesser. iese Vereinfacung liefert als Lösung für die Funktion des Radius K x ρ g r( x) = r e it K = σ ie Steileit von 6 ist bei der Turöe erreict, wenn gilt r K 1 K e = 1 1 = ln K K r Für einen realen Tur ist der oberste Radius aus den genannten aten zu,6 1 K x r 5. ie Konstante errecnet sic. ies fürt auf eine Turöe von 1 1 = ln = 1, 4. er Radius R Fuß a Fuß des Tures ist dann,5,5,5 K,6 1,4 R = r e =,5 e,. Fuß iese aten werden it eine realen Tur verglicen (Abbildung 8). er Tur von 1, Höe weist i groben den Verlauf einer e-funktion auf, wenngleic i ittleren Bereic eine deutlice Abweicung von der Idealkurve zu seen ist. Mit der realisierten Höen von 1, erreict der Tur trotzde fast den teoretisc errecneten Wert von 1,4.

9 -,,,,4,6,8 1 1, 1,4 Abbildung 8 Sandtur Zusaenfassung Steile Sandtüre one Hilfsittel sind it ordseesand bis etwa 1,4 Höe oberalb des aufgescütteten Kegels öglic. er Zusaenalt basiert auf de Zusaenalt der Sandkörner durc die Oberfläcenspannung des Wassers. Haftreibung, For der Sandkörner und Größenverteilung eröen die Festigkeit. ie teoretiscen Überlegungen passen zu den praktisc gebauten steilen Sandtüren. Viel Spaß bei Turbau an der ordsee oder anderswo u den teoretiscen Wert von 1,4 zu toppen.

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