Einführung (1/3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (1) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie.

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1 Einführung (1/3) 3 Wir verfolgen nun das Ziel, Komplexitätsklassen mit Hilfe von charakteristischen Problemen zu beschreiben und zu strukturieren Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (1) Müssen dazu die Beziehungen zwischen den Elementen einer Komplexitätsklasse, also den zu ihr gehörenden Problemen / Sprachen genauer untersuchen Beispiel: Vergleich von Matrizenmultiplikation und Matrizeninversion: Für zwei n x n Matrizen A und B gilt: Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Vorlesungen zur Komplexitätstheorie Einführung (2/3) 2 4 Vorlesungsprogramm Einführung Konzepte der Komplexitätstheorie Probleme und Algorithmen Turing Maschinen Lineares Beschleunigen Raumschranken und Platzsparen Nichtdeterministische Turingmaschinen Komplexitätsklassen Hierarchie-Theoreme Erreichbarkeitsmethode Reduktion und Vollständigkeit (1) Klassen jenseits und innerhalb von NP Mit Hilfe dieser Formel kann das Produkt von zwei n x n Matrizen sehr einfach mit einem Algorithmus zur Invertierung von 3n x 3n Matrizen ermittelt werden T MM (n) bezeichne (Zeit-)Komplexität der Matrizenmultiplikation, und T MI (n) bezeichne (Zeit-)Komplexität der Matrizeninvertierung, dann gilt Haben so das Problem der Matrizenmultiplikation reduziert auf das Problem der Matrizeninversion

2 Einführung (3/3) Logspace-Reduktion (1/3) 5 7 Diskutieren Reduktionsmethode am konkreten Beispiel der Komplexitätsklassen P und NP und lernen so gleichzeitig weitere wichtige Probleme aus diesen wichtigen Klassen kennen... Betrachten zunächst nur Entscheidungsprobleme, die in gewohnter Weise als formale Sprachen aufgefaßt werden Wollen mit dem Reduktionsbegriff ausdrücken, daß sich ein Problem A leichter (genauer nicht schwerer ) lösen läßt, als ein Problem B Bezeichnung: leichter lösbar bezieht sich dabei auf den Ressourcenbedarf Definition: R heißt Logspace-Reduktion von L 1 auf L 2 Bezeichnung: Grundidee der Reduktion Logspace-Reduktion (2/3) 6 8 Transformieren eine Eingabe x für ein Problem A in eine Eingabe y = R(x) für ein Problem B, so daß ein Entscheidungsalgorithmus für B auf y angesetzt A(x) löst Satz: Jede logspace-transformation R kann in polynomialer Zeit berechnet werden. Sei M log n - raumbeschränkte deterministische TM, die R berechnet Dann besitzt M bei Eingabe w mit w =n Konfigurationen viele Da M deterministisch arbeitet, kann jede Konfiguration höchstens einmal durchlaufen werden - ansonsten würde M in einen unendlichen Zyklus geraten M ist polynomial zeitbeschränkt

3 Logspace-Reduktion (3/3) HAMILTON PATH < SAT (2/10) 9 11 Folgerungen: (1) Ist w polynomial lang, dann auch R(w) (2) Gilt A < log B und B P, dann A P (3) Gilt A < log B und B NP, dann gilt auch A NP R ist in (deterministischer) Polynomialzeit berechenbar... Satz: HAMILTON PATH SAT (1) NTM rät einen Weg der Länge n und testet, ob der ein Hamiltonscher Weg ist... (2) NTM rät eine Belegung und testet, ob die erfüllend ist... beide Tests können in Polynomialzeit durchgeführt werden HAMILTON PATH < SAT (1/10) HAMILTON PATH < SAT (3/10) Betrachten die beiden folgenden Probleme: HAMILTON PATH - Hamiltonscher Weg: Eingabe: Graph G = (V,E) Frage: Existiert Weg - Hamiltonscher Weg - durch alle Knoten von G, der jeden Knoten genau einmal durchläuft? SAT - Erfüllbarkeitsproblem (für KNF): Eingabe: Boolescher Ausdruck in KNF (konjunktive Normalform) Frage: Existiert erfüllende Belegung der Booleschen Variablen? Wollen Berechnungs der beiden Probleme vergleichen Können HAMILTON PATH auf SAT reduzieren: Idee: Konstruieren zu vorgegebenem Graphen G einen Booleschen Ausdruck R(G) mit der Eigenschaft: R(G) erfüllbar Reduktion: G besitzt Hamiltonschen Weg Sei G = ({1, 2,...n}, E) beliebiger Graph Bauen R(G) auf aus n 2 Booleschen Variablen x ij, 1 < i,j < n Semantik der x ij : j ist i-ter Knoten auf einem Hamiltonschen Weg durch G

4 HAMILTON PATH < SAT (4/10) HAMILTON PATH < SAT (6/10) R(G) ist eine KNF mit den folgenden Klauseln (1/2): j kommt auf dem Weg vor: j kommt nicht gleichzeitig an i-ter und k-ter Stelle vor: Behauptung: R ist eine Reduktion von HAMILTON PATH auf SAT Müssen die beiden folgenden Aussagen beweisen: (1) R(G) hat erfüllende Belegung G hat Hamiltonschen Weg (2) R(G) kann in Raum log n aus G berechnet werden wenigstens ein Knoten kommt an i-ter Stelle vor: HAMILTON PATH < SAT (5/10) HAMILTON PATH < SAT (7/10) R(G) ist eine KNF mit den folgenden Klauseln (2/2): auf i-ter Position können nicht verschiedene Knoten stehen: ist (i,j) keine Kante in G, dann kann i nicht unmittelbar vor Knoten j stehen Zeigen (1)( ): Besitzt R(G) eine erfüllende Belegung, dann hat G einen Hamiltonschen Weg (1/2): Sei T erfüllende Belegung von R(G) T ist erfüllende Belegung für alle Klauseln (a) für alle j existiert genau ein i mit T(x ij ) = w ansonsten können nicht alle der folgenden Klauseln erfüllt sein: und (b) für alle i existiert genau ein j mit T(x ij ) = w da alle der folgenden Klauseln erfüllt sind: R(G) = (1) (2) (3) (4) (5) und

5 HAMILTON PATH < SAT (8/10) HAMILTON PATH < SAT (10/10) Zeigen (1)( ): Besitzt R(G) eine erfüllende Belegung dann hat G einen Hamiltonschen Weg (2/2): D.h. erfüllende Belegung T repräsentiert eine Permutation mit Klauseln garantieren, daß Zeigen (2): R(G) kann in Raum log n aus G berechnet werden Sei G = (V,E) Eingabe. Wir konstruieren TM M, die R(G) konstruiert: M verschlüsselt zunächst die Knotennamen von G binär Daraus konstruiert M mit Hilfe von 3 Zählern i, j und k alle nicht von G abhängigen Klauseln Die letzte Gruppe von Klauseln wird konstruiert durch sukzessive Generierung von und dem Test, ob gilt d.h. ist ein Hamiltonscher Weg Berechnung von R(G) benötigt Raum O(log n) HAMILTON PATH < SAT (9/10) 18 Zeigen (1)( ): Hat G einen Hamiltonschen Weg dann besitzt R(G) erfüllende Belegung Sei ein Hamiltonscher Weg in G Dann ist eine Permutation mit für alle k Mit können wir die Belegung T konstruieren: T(x ij ) := w Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (1) T repräsentiert die Permutation Belegung für die KNF R(G) und liefert eine erfüllende Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland

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