Methodische Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife Gesamtausgabe

Transkript

1 Methodische Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife Gesamtausgabe 1. Aulage Bearbeitet von Lehrern und Ingenieuren an berulichen Schulen (Siehe nächste Seite) VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haan-Gruiten Europa-Nr.: 85337

2 Autoren des Buches Methodische Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife Gesamtband Josef Dillinger Bernhard Grimm Frank-Michael Gumpert Gerhard Mack Thomas Müller Bernd Schiemann München Sindelingen, Leonberg Stuttgart Stuttgart, Esslingen Ulm Durbach Lektorat: Bernd Schiemann Bildentwürfe: Die Autoren Bilderstellung und -bearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel GmbH & Co. KG, Ostildern 1. Aulage 2015 Druck Alle Drucke derselben Aulage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind. ISBN: Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Haan-Gruiten Umschlaggestaltung: Idee Bernd Schiemann, Durbach; Ausführung: Andreas Sonnhüter, Düsseldorf Satz: idus Publikations-Service, Nördlingen Druck: Totem, Inowroclaw (PL) 2

3 Vorwort zur 1. Auflage Vorwort Die Methodischen Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife Gesamtausgabe sind ein didaktisch aufbereiteter Lösungsband. Damit finden Fachbuch und Formelsammlung eine wertvolle Ergänzung, vor allem auch für Phasen des selbstorganisierten Lernens. Für die schnelle, gezielte Orientierung im Buch sind jeweils Kapitel, Teilkapitel sowie spaltenweise die Aufgabennummern angegeben. Um ein Maximum an Übersicht bei der Benutzung zu gewährleisten, wird eine klare Gliederung bei der Darstellung der Lösungswege verwendet und z. B. auch das Ende jeder Aufgabe durch einen Trennstrich markiert. Für zeichnerische Lösungen von Aufgaben, die durch Selbsttätigkeit der Schüler gelöst werden sollen, sind jeweils entsprechend sorgfältig aufbereitete Darstellungen z. B. von räumlichen Projektionen, Vektordarstellungen oder Schaubilder von Funktionen vorhanden. Entsprechend den Hauptabschnitten des Lehrbuchs enthält das Lösungsbuch Lösungswege zu den Kapiteln Algebraische Grundlagen Geometrische Grundlagen Analysis Differenzialrechnung Integralrechnung Komplexe Rechnung Vektorrechnung Stochastik Matrizen Prüfungsaufgaben Musteraufgaben Testen Sie Ihr Wissen zur Prüfung! Anwendungsbezogene Aufgaben Ihre Meinung interessiert uns! Teilen Sie uns Ihre Verbesserungsvorschläge, Ihre Kritik aber auch Ihre Zustimmung zum Buch mit. Schreiben Sie uns an die -Adresse: Herbst 2015 Die Verfasser 3

4 Arbeiten mit dem Buch Arbeiten mit dem Buch Methodische Lösungswege zu Mathematik für die Fachhochschulreife Gesamtband Wie arbeite ich mit dem Buch? Aufbau der methodischen Lösungswege: In der obersten Zeile inden Sie das Kapitel, zu dem die Aufgaben der Seite gehören. 1 Algebraische Grundlagen Hier inden Sie die Angabe der Teilkapitel für die folgenden Lösungen. 1.7 Funktionen und Gleichungssysteme Werden Bilder aus dem Lehrbuch für die Lösung einer Aufgabe benötigt, indet man in der Aufgabenspalte ein entsprechendes Icon: Seite Aufgabennummer 29.1 Ausführliche Lösung zu Beispielaufgabe 1, Ursprungsgeraden auf der Seite 29 im Lehrbuch. Ein Hinweis auf eine Tabelle im Lehrbuch zeigt Wege zur Aufgabenlösung auf Ausführliche Lösung zu der Aufgabe 5 auf der Seite 50 mit der Tabelle 1 im Lehrbuch. Tabelle 1, Seite 45 Benötigt man eine Formel zur Lösung einer Aufgabe, indet man den entsprechenden Formel- hinweis mit der Seitenangabe. A = π r A = π r 2 Ausführliche Lösung zu der Aufgabe 1 auf der Seite 49 im Lehrbuch. Mit der Formel von Seite 46 im Lehrbuch, y = a x 2 + y S zur Lösung der Aufgabe. Seite 46 4

5 I n h a lt s v e rz e i c h n i s Inhaltsverzeichnis 1 Algebraische Grundlagen Terme und Gleichungen...7 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Deinitions- und Lösungsmenge...10 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Potenzen...16 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Basisumrechnung beim Logarithmus Funktionen und Gleichungssysteme...20 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Rechtwinkliges Koordinatensystem Ursprungsgeraden Allgemeine Gerade...21 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Allgemeine Geraden...22 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Lösungsverfahren für LGS Sarrus-Regel Graische Lösung eines LGS...29 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Betragsfunktion Ungleichungen Quadratische Funktionen...47 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Geometrische Grundlagen 2.1 Flächeninhalt geradlinig begrenzter Flächen...53 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Kreisförmig begrenzte Flächen...54 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Körper gleicher Querschnittsläche Spitze Körper Abgestumpfte Körper Kugelförmige Körper...57 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Einheitskreis Winkelberechnung Analysis 3.1 Potenzfunktionen Wurzelfunktionen Arten von quadratischen Wurzelfunktionen...69 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Funktion dritten Grades Nullstellenberechnung bei biquadratischen Funktionen Nullstellenberechnung mit dem Nullprodukt Nullstellenberechnung durch Abspalten von Linearfaktoren...74 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Arten von Nullstellen...80 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Symmetrie bei Funktionen Umkehrfunktionen Stetigkeit von Funktionen...88 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Grenzwerte Grenzwertsätze...90 Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Exponentialfunktion, e-funktion Exponentialfunktion und ihre Umkehrfunktion Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Sinusfunktion und Kosinusfunktion Allgemeine Sinusfunktion und Kosinusfunktion Übungsaufgaben Differenzialrechnung 4.1 Erste Ableitung f (x) Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Differenzialquotient Änderungsraten Ableitungsregeln Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Regel von de l Hospital Höhere Ableitungen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Extremwerte und Wendepunkte Extremwerte und Wendepunkte für die Sinusfunktion und e-funktion Überprüfen Sie Ihr Wissen! Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Tangenten und Normalen in einem Kurvenpunkt Tangenten parallel zu einer Geraden Zusammenfassung Tangentenberechnung Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Von der Funktion zur Ableitungsfunktion Von Ableitungsfunktion zur Funktion Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Relatives Maximum, relatives Minimum Randextremwerte Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Relative Extremwerte bei gebrochen-rationalen Funktionen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Einparametrige Funktionenschar Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Integralrechnung 5.1 Einführung in die Integralrechnung Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Stammfunktionen Krummlinig begrenzte Fläche Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Flächen für Schaubilder mit Nullstellen Vermischte Aufgaben zur Flächenberechnung Geliftete Schaubilder Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Flächenberechnung mit Näherungsverfahren Rotation um die x-achse Rotation um die y-achse Zeitintegral der Geschwindigkeit Komplexe Rechnung Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Darstellung komplexer Zahlen Grundrechenarten mit komplexen Zahlen Rechnen mit konjugiert komplexen Zahlen Vektorrechnung Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Der Vektorbegriff Darstellung von Vektoren im Raum Vektoraddition Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Verbindungsvektor, Vektorsubtraktion Skalare Multiplikation, S-Multiplikation Überprüfen Sie Ihr Wissen! Einheitsvektor

6 Inhaltsverzeichnis Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Strecke, Mittelpunkt Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Skalarprodukt Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Zwei Vektoren im Raum Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Drei Vektoren im Raum Vier Vektoren im Raum Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Orthogonale Projektion Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Lotvektoren einer Ebene Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Vektorprodukt Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Vektorgleichung einer Geraden im Raum Orthogonale Projektion von Punkten und Geraden auf eine Koordinatenebene Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Gegenseitige Lage von Geraden Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Abstand Punkt Gerade und Lotfußpunkt Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Abstand zwischen parallelen Geraden Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Vektorielle Parameterform der Ebene Vektorielle Dreipunkteform der Ebene Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Abstand eines Punktes P zur Ebene E Gerade parallel zur Ebene Lagebezeichnung von Ebenen Stochastik Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Anwendungen der Stochastik Einstuige Zufallsexperimente Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Ereignisarten Logische Verknüpfung von Ereignissen Häuigkeiten Statistische Wahrscheinlichkeit Klassische Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit von verknüpften Ereignissen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Baumdiagramm Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Bedingte Wahrscheinlichkeit Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Unabhängige und abhängige Ereignisse Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Zusammenhang zwischen Baumdiagramm und der Vierfeldertafel Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Stichproben Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Ungeordnete Stichproben Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Zufallsvariable Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsfunktion Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Erwartungswert einer Zufallsvariablen Faires und unfaires Gewinnspiel Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Varianz und Standardabweichung Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Bernoulli-Ketten Matrizenrechnung Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Matrizen erstellen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Transponierte Matrizen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Matrizenaddition Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Multiplikation eines Zeilenvektors mit Spaltenvektor, Matrix Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Multiplikation zweier Matrizen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Matrizengleichungen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Einstuige und zweistuige Produktionsprozesse Überprüfen Sie Ihr Wissen! Übungsaufgaben Das Leontief-Modell Prüfungsaufgaben 10.2 Testen Sie Ihr Wissen zur Prüfung! Aufgaben mit ganzrationalen Funktionen Funktionsterme und Schaubilder Gebrochenrationale Funktionen Aufgaben mit e-funktionen e-funktion und ln-funktion verknüpft mit rationaler Funktion Vektorrechnung Schaubilder ganzrationaler Funktionen Schaubilder von e-funktionen Schaubilder von Kreisfunktionen Anwendungsbezogene Aufgaben 11.1 Kostenrechnung Optimierung einer Oberläche Optimierung einer Fläche Flächenmoment Sammellinse einer Kamera Abkühlvorgang Entladevorgang Gebirgsmassiv Bolzplatz für die Jugend Berechnung von elektrischer Arbeit und Leistung Sinusförmige Wechselgrößen Effektivwertberechnung Wintergarten Bauvorhaben Kirche Aushub Freibad Pyramide Kugelfangtrichter für Luftgewehre Anwendungen der Differenzialrechnung Arbeiten mit dem GTR 1.1 GTR CASIO FX Flächenintegrale mit dem GTR berechnen Programmerstellung mit dem GTR Werte eines Schaubildes graisch ermitteln Tangenten das Schaubild an K f Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS) mit dem GTR Flächenintegrale berechnen Komplexe Rechnung mit dem TI-84 Plus Übungsaufgaben zum GTR Casio fx Übungsaufgaben zum GTR TI-84 Plus...421

7 1 Algebraische Grundlagen Terme und Gleichungen Überprüfen Sie Ihr Wissen! 14.1 Lösungsmenge a) 4 (2x 6 ) = 2x (x + 4 ) Terme ausmultiplizieren, zusammenfassen und dann nach x auflösen 8x 24 = 2x x 4 8x 24 = x 4 x x = 20 : 7 x = 20_ 7 b) (2x 1 ) (3x 2 ) = 6 (x + 2 ) (x 4 ) Terme ausmultiplizieren, zusammenfassen und dann nach x auflösen 6x 2 7x + 2 = 6x 2 12x 48 6x x 2 5x = 50 : 5 x = 10 c) _ x = 4 5 Gleichung mit 5 multiplizieren, 5 um den Nenner wegzubringen x = x = 28 d) 2 _ x + a = 1 2 Gleichung mit 2 multiplizieren, 2 um den Nenner wegzubringen 2 x + 2a = 2 + x 2 x = 2a 14.2 Lösen von Gleichungen a) Auflösen nach g: h = 1_ 2 g t2 2 : t 2 g = 2h_ t 2 Auflösen nach t: h = 1_ 2 g t2 2 : g t 2 = 2h_ g t = 6 Î w2h_ g Îã b) Auflösen nach R 1_ R = 1_ + _ R 1 1 R 2 gemeinsamen Nenner bilden 1_ R = R 2 + R 1 Bruch stürzen R = R 1 R 2 R 1 R 2 R 1 + R 2 Auflösen nach R 1_ 1 = 1_ R 1 R 1_ gemeinsamen Nenner bilden R 2 1_ R = _ 2 R Bruch stürzen R R 1 R R 1 = _ R R 2 2 R 2 R Auflösen nach R 1_ 2 = 1_ R 2 R 1_ gemeinsamen Nenner bilden R 1 1_ R = _ 1 R Bruch stürzen R R 2 R R 2 = _ R R 1 1 R 1 R 7