das Konzept der Gleichung in der Algebra Robert Recorde Spielsemantik Semantik-Spiel FO mit oder ohne =? Abschnitt 2.5

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1 Teil 2: FO Syntax und Semantik FO 2 Spielsemantik Semantik-Spiel Satz: A = ψ[a] V hat Gewinnstrategie in Position (ψ, a. Teil 2: FO Syntax und Semantik FO 2 das Konzept der Gleichung in der Algebra Robert Recorde Arzt und früher Popularisierer der Algebra reduziert Auswertung auf Spielanalyse oft mit algorithmisch optimaler Komplexität Frage: Spiel für ϕ, das nicht in NNF ist? der Erfinder des Gleichheitszeichens! FGdI II Sommer 21 M Otto 69/15 FGdI II Sommer 21 M Otto 7/15 Teil 2: FO Syntax und Semantik FO 2 FO mit oder ohne =? Abschnitt 2.5 FO und FO Gleichheit ist Bestandteil der Logik in FO; anders als interpretierte Relationen R S. natürliche Formalisierungen brauchen oft =, z.b.: Injektivität, algebraische Identitäten,... dennoch möglich: Reduktion von FO auf FO ; Idee: modelliere = durch interpretierte Relation. Ŝ := S { Verträglichkeitsbedingungen: Kongruenzrelation bzgl. aller R, f S erhalte Modelle A mit echter Gleichheit als -Quotientien: A = A / A = ( A/ A,..., [c A ] A,..., f A / A,..., R A / A -Äquivalenzklassen als Elemente FGdI II Sommer 21 M Otto 71/15 Teil 2: FO PNF FO 3.1 Pränexe Normalform Abschnitt 3.1 ϕ FO(S in pränexer Normalform (PNF: ϕ = Q 1 x i1... Q k x ik ψ, Q i {,, k N, ψ quantorenfrei. Beispiele y(exy x(eyx x = y y z ( Exy (Eyz z = y Satz über PNF y xexy yexy y 1 y 2 y 3 ( Ey2 y 1 Exy 3 Jede FO-Formel ist logisch äquivalent zu einer Formel in PNF. Beweis durch Induktion über ϕ FO(S. FGdI II Sommer 21 M Otto 72/15

2 Teil 2: FO Substitution FO 3.2 Substitution Abschnitt 3.2 das semantisch korrekte Einsetzen von Termen gesucht: für t T (S und ϕ(x FO(S, ϕ := ϕ(t/x FO(S so, dass: Thoralf Skolem ( Logik, Modelltheorie, Mengenlehre I = ϕ I[x t I ] = ϕ. Vorsicht! Naives Ersetzen von x durch t tut s nicht! beachte, dass x frei und gebunden auftreten kann. beachte, dass Variablen in t nicht fälschlich gebunden werden. Methode Induktive Definition, die intern gebundene Variablen so umbenennt, dass Konflikte vermieden werden. Beispiel: ϕ(x = y ( Exy x Exy ϕ(fy/x =? FGdI II Sommer 21 M Otto 73/15 FGdI II Sommer 21 M Otto 74/15 Skolemisierung: alles universell? Abschnitt 3.3 universell-pränexe Formeln: x i1... x ik ψ, nicht jede Formel ist logisch äquivalent zu universell-pränexer Formel, z.b. ϕ = x y Exy aber jede Formel ist erfüllbarkeitsäquivalent zu universell-pränexer Formel. ψ quantorenfrei Idee: neue Funktionen, die ggf. Existenzbeispiele liefern [vgl. -Züge für V im Semantik Spiel] Beispiel ϕ = x y Exy ϕ = x Exfx (für neues f dann gilt: (i A = (A, E A,..., f A = ϕ A = (A, E A,... = ϕ (ii A = (A, E A,... = ϕ es gibt f A über A, sodass A = (A, E A,..., f A = ϕ FGdI II Sommer 21 M Otto 75/15 Skolemnormalform (Satz 3.6 Satz über die Skolemnormalform Jedes ϕ FO ist erfüllbarkeitsäquivalent zu einer universell-pränexen Formel ϕ (in einer erweiterten Signatur. Man erhält ϕ aus einer zu ϕ logisch äquivalenten Formel in PNF durch Substitution von Skolemfunktionstermen für existentiell abquantifizierte Variablen. Zur Erfüllbarkeitsäquivalenz gilt sogar: ϕ = ϕ. jedes Modell von ϕ lässt sich zu Modell von ϕ erweitern. FGdI II Sommer 21 M Otto 76/15

3 Jacques Herbrand ( Logiker und Algebraiker Satz von Herbrand Abschnitt 3.4 S enthalte mindestens ein Konstantensymbol zur Erfüllbarkeit von universellen FO -Sätzen in Herbrand-Modellen geg. Φ FO (S: Satzmenge, universell & gleichheitsfrei Herbrand-Struktur (Erinnerung: die S F -Termstruktur T (S über T (S (variablenfreie S-Terme Herbrand-Modell: Expansion der Termstruktur T (S zu S-Struktur, durch Interpretation von R (n-st. als Teilmenge von T (S n zu einem Modell von Φ Gleichheitsfreiheit notwendig! FGdI II Sommer 21 M Otto 77/15 FGdI II Sommer 21 M Otto 78/15 Satz von Herbrand (Satz 3.1 Satz von Herbrand Sei Φ FO (S Menge von universellen, gleichheitsfreien Sätzen; S habe mindestens ein Konstantensymbol. Dann gilt: Beweis Φ erfüllbar es existiert ein Herbrand-Modell H = ( T (S, (R H R S = Φ. : offensichtlich. : geeignete Interpretationen R H aus geg. Modell A = Φ. Abschnitt 3.5 Reduktions-Idee: Φ FO(S (bel. Formelmenge Φ FO (S 1 (Satzmenge Φ FO (S 2 (gleichheitsfrei Φ FO (S 3 (universell(-pränex FGdI II Sommer 21 M Otto 79/15 Φ erfüllbar Φ erfüllbar Φ in Herbrand-Modell erfüllbar und Bedingungen an Herbrand-Modell lassen sich in AL kodieren! FGdI II Sommer 21 M Otto 8/15

4 für universell-pränexes Φ FO (S über S mit Konstanten Φ erfüllbar Φ hat ein Herbrand-Modell H = ( T (S, (R H R S = Φ für alle R S (n-st. existieren R H T (S n, sodass H = ( T (S, (R H R S = Φ V := { p α : α relationales Atom über T (S α = Rt 1... t n ; R S; t 1,..., t n T (S, R S (n-stellig V-Interpretationen I beschreiben dann mögliche H: bijektive Korrepondenz H I: von I zu H = H(I: R H = { (t 1,..., t n T (S n : I(p Rt1...tn = 1 von H zu I = I(H: I: V B { 1 falls H = α, p α falls H = α. FGdI II Sommer 21 M Otto 81/15 für ϕ = x 1... x n ξ(x 1,..., x n = x ξ(x, und H = H(I gilt: ξ quantorenfrei H = ϕ gdw. H = ξ[t] für alle t = (t 1,..., t n T (S n gdw. für [[Φ]] AL := I = ξ(t AL für alle t = (t 1,..., t n T (S n dabei erhält man ξ(t AL AL(V aus ξ(t durch Ersetzen von Atomen α = R... durch AL-Variablen p α xξ Φ {ξ(t AL : t in T (S gilt: Φ erfüllbar gdw. [[Φ]] AL erfüllbar FGdI II Sommer 21 M Otto 82/15 Beispiel ξ(t AL AL(V ξ = Rxfy (Ufx Wxyfz liefert t = (c, fc, d für (x, y, z ξ(c, fc, d AL = p Rcffc (p Ufc p Wcfcfd ξ = Rxy (Qx Qy t = (f n c, f m c für (x, y liefert ξ(f n c, f m c AL = p Rf n f m c (p Qf n c p Qf m c Beispiel S = {R, Q, f R (2-st., Q (1-st., Relationssymbole f (1-st., Funktionssymbol ϕ 1 = x y ( Rxy (Qx Qy Behauptung: Φ : ϕ 2 = x(rxfx Rfxx ϕ 3 = x y ( Rxy Rxffy ist unerfüllbar S c := S {c T (S c = {c, fc, ffc, fffc,... = {f n c : n N AL-Variablen für die Reduktion: q n (= p Qf n c für die Atome Qf n c, (n N, r l,m (= p Rf l cf m c für die Atome Rf l cf m c, (l, m N. wir erhalten z.b. für ϕ 1 die AL-Formelmenge [[ϕ 1 ]] AL = { r l,m (q l q m : l, m N FGdI II Sommer 21 M Otto 83/15 FGdI II Sommer 21 M Otto 84/15

5 Beispiel (fortges. zugeh. AL-Formelmenegen zu ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 : [[ϕ 1 ]] AL = { r l,m (q l q m : l, m N [[ϕ 2 ]] AL = { r l,l+1 r l+1,l : l N [[ϕ 3 ]] AL = { r l,m r l,m+2 : l, m N Unerfüllbarkeit von Φ folgt daher z.b. aus AL-Unerfüllbarkeit von r, (q q, r,1 (q q 1, r 1, (q 1 q, r,2 (q q 2, r 1,2 (q 1 q 2, r 2,1 (q 2 q 1, {{ [ϕ 1 ] AL r,1 r 1,, r 1,2 r 2,1, {{ r {{,2 [ϕ 2 ] AL [ϕ 3 ] AL FGdI II Sommer 21 M Otto 85/15 FO Kompaktheit (Satz 4.1 Kompaktheitssatz (Endlichkeitssatz Version 1: (Erfüllbarkeit Für Φ FO sind äquivalent: (i (ii Φ erfüllbar. Jede endliche Teilmenge Φ Φ ist erfüllbar. Version 2: (Folgerungsbeziehung Für Φ FO, ϕ FO sind äquivalent: (i Φ = ϕ. (ii Φ = ϕ für eine endliche Teilmenge Φ Φ. Version 1 Version 2 (zur Übung! Version 1 für universell-pränexes Φ FO : Reduktion auf AL FGdI II Sommer 21 M Otto 86/15 FO Kompaktheit Abschnitt 4 Konsequenzen: mit Kompaktheit findet man: die Stärken des Endlichkeitssatzes die Schwächen von FO beliebig große endliche Modelle unendliche Modelle zu Φ betrachte Φ { x 1... x n 1 i<j n x i = x j : n 1 unendliche Modelle beliebig große unendliche Modelle zu Φ betrachte Φ { c i = c j : i j; i, j I für neue Konstanten (c i i I keine unendliche Struktur in FO bis auf Isomorphie charakterisierbar FO Kompaktheit Konsequenzen: die Stärken des Endlichkeitssatzes die Schwächen von FO mit Kompaktheitsargumenten findet man: Nichtstandardmodelle von (unendlichen Standardmodellen in FO ununterscheidbare Strukturen z.b. N zu N = (N, +,,, 1, < Nichtstandardmodell der Arithmetik mit unendlich großen natürlichen Zahlen zur vollständigen FO-Theorie von N, Φ := {ϕ FO: N = ϕ betrachte Φ {1 + {{ + 1 < c : n 2 für neue Konstante c n FGdI II Sommer 21 M Otto 87/15 FGdI II Sommer 21 M Otto 88/15