Mathematik für Ingenieure 2

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1 Mahemaik fü Ingenieue Eemweaufgaben (Opimieung une Nebenbedingungen)

2 Eemweaufgaben - Einfühung In de Pais een häufig Pobleme auf, bei denen es daauf ankomm, einen opimalen We zu besimmen; z. B. den maimalen Gewinn, einen minimalen Maeialaufwand, ein kleinses ode gößes olumen u.v.a. Meisens können solche Aufgaben mi Hilfe de Diffeenialechnung gelös weden, indem man Eema von Funkionen besimm. Nach einem einfühenden Bespiel wid die gundsäzliche ogehensweise eläue und an Beispielen aus uneschiedlichen Anwendungsgebieen gezeig.

3 Einfühendes Beispiel - Maeialminimieung - 3

4 Beispiel epackungsbehäle () Aufgabensellung (Maeialminimieung): Ein DinA4-Bla soll zu einen deckellose Kasen gefale weden. Das olumen des Kaons soll so goß wie möglich (maimal) sein. b Mi andeen Woen: Man möche einen epackungsbehäle hesellen, in den möglichs viel eingeh.. Schi: Noieen Sie, welche Gößen bekann sind und welche gesuch sind. Sellen Sie die Aufgabensellung in eine Skizze da. l9,7 Bekanne/ogegebene Gößen: Beie : b cm Länge : l 9, 7cm Gesuche / Unbekanne Gößen: Höhe des Kasens : 4

5 Beispiel epackungsbehäle (). Schi: (Aufsellen de Haupbedingung) Sellen Sie eine Funkionsgleichung (Zielfunkion) auf, in Abhängigkei von den Ausgangsgößen und Unbekannen. b Im voliegenden Fall soll das olumen eines Quades maimie weden: a b- ( ) a c 3. Schi: (Aufsellen de Nebenbedingung) Ekennen Sie die Nebenbedingungen und fomulieen Sie diese als mahemaischen Ausduck. c l- l9,7 a b 4. Schi: c l 9, 7 Einsezen de Nebenbedingungen in die Haupbedingung. 3 ( ) a c ( ) ( 9, 7 ) 4, , 7 Zwischenegebnis: Wi haben eine Funkion aufgesell, die nu noch von de gesuchen Göße abhäng. 5

6 Beispiel epackungsbehäle (3) 5. Schi: Anwendung de Diffeenialechnung. Die uspüngliche Fagesellung läss sich jez wie folg fomulieen: An welchen Sellen besiz die olumenfunkion ( ) 4 3, , 7 lokale Eemwee? Falls mehee Eema eisieen: Welche We is fü den vogegebenen Paisfall elevan? Die möglichen Kandidaen fü Eemwee liefen die Nullsellen de. Ableiung: '( ), , 7 : ( ) 4 3, , 7 6, 9 + 5, 975 6, 9 6, 9, ± 5, 975 4, 4;, 86 8, 45 ± 4, 4 6

7 Beispiel epackungsbehäle (4) Zwischenegebnis: Es gib nu mögliche Wee, an denen die olumenfunkion einen Eemwe haben kann: 4, 4;, 86 Beache man die obige Kaon-Skizze, so sieh man, dass die Höhe des Kaons kleine als a/,5 cm sein muss. Dahe komm de We, 86 fü unse konkees Poblem nich in Fage. Mi Hilfe de. Ableiung wid nun geese, ob an de in Fage kommenden Selle 4, 4 ein lokales Minimum ode Maimum volieg (Anwendung des hineichenden Kieiums fü lokale Eema): ''( ) 4, 8 ''( ) ''( 4, 4) 4 4, 4, 8 96, 96, 8 5, 84 < ( ) 4 3, , 7 De We von ''( 4, 4) is kleine als Null. Somi besiz () an diese Selle ein lokales Maimum. Das maimale olumen beäg: ( 4, 4) 4 4, 4 3, 4 4, , 7 4, 4 8, 49 cm 3 Endegebnis: Das maimale olumen des Kaons wid fü eine Höhe von 4,4 cm eeich. Das maimale olumen beäg 8,49 cm³. 7

8 Gundsäzliche ogehensweise bei Eemweaufgaben ogehensweise bei Eemweaufgaben. Schi: Noieen Sie, welche Gößen bekann sind und welche gesuch sind. Sellen Sie die Aufgabensellung ggf. in eine Skizze da.. Schi: (Aufsellen de Haupbedingung/Zielfunkion) Sellen Sie eine Funkionsgleichung (Zielfunkion) auf, in Abhängigkei von den Ausgangsgößen und Unbekannen. 3. Schi: (Aufsellen de Nebenbedingung) Ekennen Sie die Nebenbedingungen und fomulieen die diese als mahemaischen Ausduck. Lösen Sie die Nebenbedingung nach de aiablen auf, bei de das Auflösen am einfachsen geh. 4. Schi: Sezen Sie die Nebenbedingung in die Haupbedingung ein. Daduch enseh eine Funkion mi eine aiablen. 5. Schi: Anwendung de Diffeenialechnung (Emilung de lokalen Eemwee): Besimmen Sie die lokalen Eema de Zielfunkion duch Nullsezen de. Ableiung und Übepüfung des ozeichens de. Ableiung. Beachen Sie dabei den möglicheweise duch die Aufgabensellung implizi eingeschänken Definiionsbeeich (z.b. keine negaiven Längen). Duch egleich diese Wee mi den Funkionsween in den Randpunken des Inevalls ehäl man den gesuchen gößen/kleinsen We de Funkion im elevanen Inevall I. 8

9 Beispiel : Maeialminimieung bei Konsevendosen 9

10 Beispiel Maeialminimieung bei Konsevendosen () Aufgabensellung: Eine Konsevenfabik sell zylindische Konsevendosen uneschiedliche Göße fü divese Lebensmiel he. Zu Kosenminimieung is folgendes Poblem zu lösen:. Wann is de Blechvebauch fü die Dosenhesellung am geingsen, wenn die Inhalsmenge vogegeben is?. Man beechne den minimalen Blechvebauch fü eine Liedose ( cm³).. Schi: (Bekanne und gesuche Gößen) Bekanne/ogegebene Gößen: olumen de Konsevendose : in cm 3 Gesuche / Unbekanne Gößen: h Höhe de Konsevendose : Radius des Gundkeises : h

11 Beispiel Maeialminimieung bei Konsevendosen (). Schi: Aufsellen de Funkionsgleichung (Zielfunkion) Radius de Gundfläche und Höhe de zylindischen Dose sind nun so zu besimmen, dass die Zylindeobefläche minimal wid. Die Zylindeobefläche beechne sich wie folg: h F F (, h) π h + π ( ) Die unbekannen Gößen und h sind nun so zu besimmen, dass de Flächeninhal minimal wid. Die Zielfunkion is von aiablen abhängig. Die im folgenden aufzusellende Nebenbedingung dien dazu, eine de aiablen zu eliminieen. 3. Schi: Aufsellen de Nebenbedingung Das vogegebene, also bekanne olumen de Dose beechne sich wie folg: π h Da h nu in de. Poenz aufi, lösen wi diese Gleichung nach h auf: h ( ) π

12 Beispiel Maeialminimieung bei Konsevendosen (3) 4. Schi: Einsezen de Nebenbedingung in die Haupbedingung F π h + π π π π + + π Duch Einsezen de Nebenbedingung in die Haupbedingung is aus de Funkion mi zwei aiablen eine Funkion mi eine aiablen gewoden, die nu noch vom Radius des Gundkeises abhäng. 5. Schi: Emilung de lokalen Eemwee fü die gefundene Funkion F(). F F ( ) + π Beechnung de esen beiden Ableiungen (man beache: is eine bekanne Konsane): 4 F '( ) + 4 π F ''( ) + 4 π 3 Beechnung de Nullsellen de. Ableiung: F '( ) + 4π 4π 3 Übepüfung des ozeichens de. Ableiung fü den gefundenen We : 4π 3 π F ''( ) 4 4 F '' 3 + 4π + 4π 8 π + 4 π 3 π > π 3 π π

13 Beispiel Maeialminimieung bei Konsevendosen (4) Die zweie Ableiung de Flächenfunkion is fü göße Null. Dami besiz F an de Selle ein lokales Minimum. F ( ) + π 3 π Abschließend is noch de zugehöige We fü die Höhe zu beechnen, sich duch Einsezen von in Gleichung de Nebenbedingung egib (siehe ()): h π 3 π 3 π π ( π ) 3 ( π ) π ( ) π 3 3 ( π ) ( ) ( 4 ) π 3 3 π h 3 π π π 4 Endegebnis: Fü 3 und h 3 is de Blechvebauch minimal. π π Konke egeben sich bei eine Liedose, also cm³, folgende opimalen Wee fü Radius und Höhe: 3 π 3 5 π 3 3,, cm π h 3 4 π 4 3 3,, cm π

14 Beispiel 3 Übung Einzäunung eine maimalen Flächen () Beispiel 3 - Übung: Einzäunung eine maimalen Fläche Aufgabensellung: Mi eine vohandenen Rolle Zaun von 5m Länge soll ein möglichs goßes Sück Land echeckig eingezäun weden. Wie müssen die Abmessungen ausfallen? Lösung und Lösungsweg: siehe Skipende 4

15 Beispiel 4: Minimieung de Hesellungskosen eines Wassekoches 5

16 Beispiel 4 Wassekoche () Aufgabensellung: Ein Unenehmen sell elekische Wassekoche in zylindische Fom he. Die Quadamee-Peise fü das Deckelmaeial, das Bodenmaeial und das Maeial de Manelfläche des Zylindes bezeichnen wi mi p, p, p. D B M Wie goß müssen Radius und Höhe h des Wassekoches gewähl weden, dami die Hesellungskosen bei vogegebenem olumen minimal sind?. Schi: (Bekanne und gesuche Gößen) Bekanne/ogegebene Gößen: olumen des Wassekoches Quadameepeise: pd, pb, pm Unbekanne/aiable Gößen: Duchmesse und Höhe h des Wassekoches h 6

17 Beispiel 4 Wassekoche (). Schi: Aufsellen de Funkionsgleichung (Zielfunkion) Die Hesellungskosen des Wassekoches sezen sich wie folg zusammen: K (, h ) π pd + π pb + π h pm h π ( p + p ) + π h p D B M 3. Schi: Aufsellen de Nebenbedingung Mi Hilfe des gegebenen olumens ehalen wi wiede die Höhe h in Abhängigkei vom olumen und vom Duchmesse: π h h ( ) π 7

18 Beispiel 4 Wassekoche (3) K (, h) π ( p + p ) + π h p D B M h π 4. Schi: Einsezen de Nebenbedingung in die Haupbedingung Duch Einsezen de Nebenbedingung in die Haupbedingung ehalen wi die Hesellungskosen in Abhängigkei vom Duchmesse d allein: K (, h) π ( p + p ) + π p π D B M K ( ) π ( p + p ) + p D B M h 5. Schi: Emilung de lokalen Eemwee fü die gefundene Kosenfunkion K(). Beechnung de esen beiden Ableiungen : 4 K '( ) π ( pd + pb ) p K ''( ) π ( p + p ) + p M 3 D B M Zwischenegebnis: Die. Ableiung enhäl nu posiive Konsanen und is dami fü posiive Wee göße als Null. 8

19 Beispiel 4 Wassekoche (4) Beechnung de Nullsellen de. Ableiung: pm K '( ) π ( pd + pb ) K ( ) π ( p + p ) + p D B M pm π ( pd + pb ) h π pm π ( p + p ) 3 M 3 D B π pd + p p B Egebnis: Da K () fü posiive Wee d ses posiiv is, lieg an ein Minimum vo. Um auch zugehöige Höhe zu ehalen, sezen wi diesen Duchmesse in die Gleichung () fü die Nebenbedingung ein (schöne Umfomungsübung fü Poenzen und Wuzeln): h π π π p p + p M 3 M D B 3 3 π pd + p B 3 π pm p π π pd + p 3 B 3 π 3 π pd + p B 3 π pm p M π pd + pb 3 p + p D B 3 π pm 3 9

20 Beispiel 4: Opimale Nuzungsdaue eines Teckes

21 Beispiel 5 Opimale Nuzungsdaue eines Teckes () Aufgabensellung: Man unesuche die opimalen Nuzungsdaue eines Teckes. Die Anschaffungskosen beagen 5,-. Es wid angenommen, dass die Beiebskosen B() bei Nuzungseinheien (z. B. Jahe) duch eine quadaische Funkion beschieben wid. Aus Efahungsween des Unenehmens sind folgende Wee fü die Beiebskosen bekann: Fikosen:,- Beiebskosen nach einem Jah: 49,- Beiebskosen nach fünf Jahen: 45,- Nach wie vielen Jahen solle de Tecke esez weden, um die duchschnilichen Kosen minimal zu halen?. Schi: (Bekanne und gesuche Gößen) Bekanne/ogegebene Gößen: siehe Aufgabensellung Gesuche / Unbekanne Gößen: Kosenfunkion de duchschnilichen Kosen po Jah Beiebskosenfunkion : B( ) a + b + c : K ( )

22 Beispiel 5 Opimale Nuzungsdaue eines Teckes (). Schi: Aufsellen de Funkionsgleichung (Zielfunkion) Die Kosenfunkion, die die duchschnilichen (mileen) Kosen po Nuzungseinhei wiedegib, laue: + B( ) K ( ) 5 ( ) 3. Schi: Aufsellen de Nebenbedingung Je länge de Tecke im Einsaz is, deso höhe sind die Beiebskosen (eschleißeile/esazeile, Repaaukosen, Waungskosen). Dahe wid die Beiebskosenfunkion B() als quadaische Funkion angesez: B( ) a + b + c Die unbekannen Paamee a, b, c weden aus den Efahungsween des Unenehmens emiel, die in de Aufgabensellung genann sind: B( ) a + b + c B( ) a + b + c 49 B( 5) a 5 + b 5 + c 45 Das Gleichungssysem besiz die folgende eindeuige Lösung: a 4; b 5; c Zwischenegebnis: Die Beiebskosenfunkion laue: B( )

23 Beispiel 5 Opimale Nuzungsdaue eines Teckes (3) + B( ) K ( ) 5 B( ) Schi: Einsezen de Nebenbedingung in die Haupbedingung + B( ) K ( ) K ( ) Die opimale Nuzungsdaue is de Zeiwe, fü den die Kosenfunkion K() minimal wid. 5. Schi: Emilung de lokalen Eemwee fü die gefundene Kosenfunkion K(). Beechnung de esen beiden Ableiungen : K '( ) 5 4 K ''( ) 4 3 3

24 Beispiel 5 Opimale Nuzungsdaue eines Teckes (4) K ( ) K '( ) 5 4 K ''( ) 4 3 Beechnung de Nullsellen de. Ableiung: K '( ) , ± 3 ±, 4 Da fü die Zei nu posiive Wee in Fage kommen, komm nu, 4 in Beach. Übepüfung des ozeichens de. Ableiung fü den gefundenen We : K ''( ) K ''(, 4) 4 > 3, 4 Dami lieg fü asächlich ein Minimum vo. Endegebnis: De Tecke solle somi nach,4 Jahen duch einen neuen esez weden, um die Kosen minimal zu halen. Anmekung: Die Beechnung liefe eine Pognose, zu welchem Zeipunk man im Geschäfsplan die Kosen zu Anschaffung eines neuen Teckes einplanen muss. 4

25 Beispiel 6: Opimale Nuzungsdaue eine Maschine (Allgemeine Lösung) 5

26 Beispiel 6 Opimale Nuzungsdaue eine Maschine () Aufgabensellung: Man unesuche die opimalen Nuzungsdaue eine Maschine. Die Anschaffungskosen beagen S. Fü die Beiebskosen B() bei Nuzungseinheien (z. B. Jahe) wid eine quadaische Funkion zugunde geleg. Nach wie vielen Jahen solle die Maschine esez weden, um die duchschnilichen Kosen minimal zu halen?. Schi: (Bekanne und gesuche Gößen) Bekanne/Unbekanne Gößen: siehe Beispiel Tecke. Schi: Aufsellen de Funkionsgleichung (Zielfunkion) Die Kosenfunkion, die die duchschnilichen (mileen) Kosen po Nuzungseinhei wiedegib, laue: S + B( ) K ( ) ( ) 6

27 Beispiel 6 Opimale Nuzungsdaue eine Maschine () K ( ) S + B( ) 3. Schi: Aufsellen de Nebenbedingung Je länge die Maschine im Einsaz is, deso höhe sind die Beiebskosen (eschleißeile/esazeile, Repaaukosen, Waungskosen). Dahe wid die Beiebskosenfunkion B() als quadaische Funkion angesez: B( ) a + b + c mi a; b; c > 4. Schi: Einsezen de Nebenbedingung in die Haupbedingung K ( ) S + B( ) S + a + b + c K ( ) a + b + S + c 5. Schi: Emilung de lokalen Eemwee fü die gefundene Kosenfunkion K(). Beechnung de esen beiden Ableiungen : ( S + c) S + c K '( ) a K ''( ) 3 7

28 Beispiel 6 Opimale Nuzungsdaue eine Maschine (3) K ( ) S + B( ) ( S + c) K '( ) a S + c K ''( ) 3 Beechnung de Nullsellen de. Ableiung: ( S + c) S + c K '( ) a a ± S + c Mögliche Eemwee liegen somi bei ±. a Nach Aufgabensellung ineessieen jedoch nu die Wee fü >. Dami is nu de posiive Lösungswe von Ineesse: S + c a Übepüfung des ozeichens de. Ableiung fü den gefundenen We : Da die beiden konsanen Wee S und c posiiv sind, is die. Ableiung fü alle > ebenfalls göße als Null. Somi lieg ein Minimum bei vo. Endegebnis: Die opimale Nuzungsdaue de Maschine beäg S + a c S + a c 8

29 Beispiel 7: Maimale Auslenkung eines Soßdämpfes 9

30 Beispiel 7 Auslenkung Soßdämpfe () Aufgabensellung: Ein Soßdämpfe befinde sich zu Zei < in Ruhelage. Im Zeipunk wid ihm ein Soß vesez. Seine Auslenkung f() gehoch fü dem Gesez: f ( ) c e k Dabei häng die Konsane c von de Säke des Soßes und k von de Baua des Soßdämpfes ab. Beide Konsanen sind göße Null: c, k > a) Zu welchem Zeipunk is die Auslenkung maimal? b) Wie goß is die maimale Auslenkung? c) Wenn man f() in cm und in Sekunden miss, welche Einheien haben dann die Konsanen c und k?. Schi: (Bekanne und gesuche Gößen) Bekanne/ogegebene Gößen: siehe Aufgabensellung Unbekanne/Gesuche Gößen: Das Maimum ma de Funkion f() 3

31 Beispiel 7 Auslenkung Soßdämpfe () Schi: Zielfunkion / Nebenbedingungen / Einsezen Die Zielfunkion mi den Nebenbedingungen sind ebenfalls in de Aufgabensellung genann: f ( ) c e k Die Nebenbedingungen secken in den beeis vogegebenen Konsanen c und k. f ( ) e, 75 Beispiel fü den Funkionsvelauf von f() mi Konsanen c und k,5. 3

32 Beispiel 7 Auslenkung Soßdämpfe (3) 5. Schi: Emilung de lokalen Eemwee fü die Funkion f() Beechnung de esen beiden Ableiungen : (Jeweils mi Poduk- und Keenegel): ( k k ) f '( ) c e + ( k) e ( ) k f '( ) c e k f ( ) e, 75 ( ), 75 f '( ) e, 75 ( ), 75 f ''( ) e (, 75), 5 ( k k ) f ''( ) c ( k) e ( k ) + e ( k) (( ) ( ) ( )) + k c e k k k ( ) k f ''( ) c e k k Beispiel fü den Funkionsvelauf von f(), f () und f () mi Konsanen c und k,5. 3

33 Beispiel 7 Auslenkung Soßdämpfe (4) Beechnung de Nullsellen de. Ableiung: ( ) k f '( ) c e k k E k, f ( ) e 75, 75 f '( ) e, 75 ( ) ( ), 75 f ''( ) e (, 75), 5 Die einzige Nullselle von f () lieg bei E /k. Dami kann f() nu an diese Selle einen Eemwe haben. Übepüfung des ozeichens de. Ableiung fü den gefundenen We E : k f ''( E ) f ''( ) c e k k k k k c, k > c e ( k k ) Wegen is f (/k) ses kleine Null. Somi lieg bei E Beispiel fü den Funkionsvelauf von f(), f () und f () mi Konsanen c und k,5. k c < e ein lokales Maimum vo. 33

34 Beispiel 7 Auslenkung Soßdämpfe (5) Maimum bei E Beechnung de maimalen Auslenkung duch Einsezen von E in f():, f ( ) e 75, 75 k f '( ) e, 75 ( ) ( ), 75 f ''( ) e (, 75), 5, 75 f ( E ) f ( ) e k k c e k c k e k Endegebnis: Die maimale Auslenkung des Soßdämpfe mi den Konsanen c und k beäg y ma c e k Das Maimum wid zum Zeipunk eeich. k Beispiel fü den Funkionsvelauf von f(), f () und f () mi Konsanen c und k,5. Das Maimum lieg fü diese konkeen Wee bei. y 4, 95 cm ma e, 75, 783, 75 Einheien de Konsanen: Aus dem Endegebnis egib sich fü die Einheien de Konsanen: Einhei von k : s s Einhei von c : cm s 34

35 Beispiel 3 Übung Einzäunung eine maimalen Flächen () Beispiel 3 - Übung: Einzäunung eine maimalen Fläche Aufgabensellung: Mi eine vohandenen Rolle Zaun von 5m Länge soll ein möglichs goßes Sück Land echeckig eingezäun weden. Wie müssen die Abmessungen ausfallen?. Schi: (Bekanne und gesuche Gößen) Bekanne/ogegebene Gößen: Umfang des einzuzäunenden Rechecks: U 5m Gesuche / Unbekanne Gößen: y Kanenlängen des einzuzäunenden Rechecks: und y 35

36 Beispiel 3 Übung Einzäunung eine maimalen Flächen (). Schi: Aufsellen de Funkionsgleichung (Zielfunkion) De Flächeninhal des einzuzäunenden Rechecks soll maimal sein. De Flächeninhal is F F (, y) y ( ) y F y y Die unbekannen Gößen und y sind nun so zu besimmen, dass de Flächeninhal minimal wid. 3. Schi: Aufsellen de Nebenbedingung Aus de Aufgabensellung is bekann, dass de Umfang des einzuzäunenden Rechecks 5m beagen soll. Diese Nebenbedingung wid nach eine aiablen aufgelös. U + y 5 ( ) + y 5 y 5 4. Schi: Einsezen de Nebenbedingung in die Haupbedingung F F (, y) y ( 5 ) 5 F ( ) Duch Einsezen de Nebenbedingung in die Haupbedingung is aus de Funkion mi zwei aiablen eine Funkion mi eine aiablen gewoden, die nu noch vom eine Kanenlänge des Rechecks abhäng. 36

37 Beispiel 3 Übung Einzäunung eine maimalen Flächen (3) 5. Schi: Emilung de lokalen Eemwee fü die gefundene Flächeninhalsfunkion F(). Beechnung de esen beiden Ableiungen (man beache: is eine bekanne Konsane): F( ) 5 F '( ) 5 F ''( ) Beechnung de Nullsellen de. Ableiung: F '( ) 5, 5 Übepüfung des ozeichens de. Ableiung fü den gefundenen We : F ''( ) F ''(, 5) < Die. Ableiung is an de Selle kleine Null, also lieg ein lokales Maimum vo. Duch Einsezen von in die Gleichung () de Nebenbedingung beechne sich de zugehöige y-we: y 5 5, 5, 5 y,5 F 56, 5 m Endegebnis: De Flächeninhal des einzuzäunenden Rechecks wid maimal, wenn beide Kanenlängen,5 m sind, also ein Quada volieg. Die maimal einzäunbae Fläche beäg F,5*,5 m 56,5 m².,5 37

38 Zusammenfassung Eemweaufgaben ogehensweise bei Eemweaufgaben. Schi: Noieen Sie, welche Gößen bekann sind und welche gesuch sind. Sellen Sie die Aufgabensellung ggf. in eine Skizze da.. Schi: (Aufsellen de Haupbedingung/Zielfunkion) Sellen Sie eine Funkionsgleichung (Zielfunkion) auf, in Abhängigkei von den Ausgangsgößen und Unbekannen. 3. Schi: (Aufsellen de Nebenbedingung) Ekennen Sie die Nebenbedingungen und fomulieen die diese als mahemaischen Ausduck. Lösen Sie die Nebenbedingung nach de aiablen auf, bei de das Auflösen am einfachsen geh. 4. Schi: Sezen Sie die Nebenbedingung in die Haupbedingung ein. Daduch enseh eine Funkion mi eine aiablen. 5. Schi: Anwendung de Diffeenialechnung (Emilung de lokalen Eemwee): Besimmen Sie die lokalen Eema de Zielfunkion duch Nullsezen de. Ableiung und Übepüfung des ozeichens de. Ableiung. Beachen Sie dabei den möglicheweise duch die Aufgabensellung implizi eingeschänken Definiionsbeeich (z.b. keine negaiven Längen). Duch egleich diese Wee mi den Funkionsween in den Randpunken des Inevalls ehäl man den gesuchen gößen/kleinsen We de Funkion im elevanen Inevall I. 38