5 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit
|
|
- Hella Bieber
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 ME Lineare Algebra HT Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit 5.1 Ein Beispiel zur Motivation Als einfachstes Beispiel eines dynamischen Systems untersuchen wir folgendes Differentialgleichungssystem DGS mit den Anfangsbedingungen AB dv 4v 5w, dt v 8 für t 0 ; dw dt 2v 3w, w 5 für t 0 zusammen ein Anfangswertproblem AWP. In Matrix-Schreibweise lautet AWP kurz wobei ut du dt A u, u u 0 für t 0, vt wt, u 0 8, A Im skalaren Fall du dt au, u u 0 für t 0 kennt man Trennung der Variablen; vgl. spätere Analysis-Vorlesung die Lösung ut e at u 0. Daher machen wir den Ansatz { vt e λt y wt e λt z mit Unbekannten λ, y, z oder kurz mit x ut e λt x. y z Diesen Ansatz setzen wir in das Differentialgleichungssystem DGS ein: λe λt y 4e λt y 5e λt z λe λt z 2e λt y 3e λt z,
2 ME Lineare Algebra HT kürzen durch den gemeinsamen Faktor e λt > 0; es bleibt oder kurz { 4y 5z λy 2y 3z λz Ax λx. Dies ist die grundlegende Gleichung für den Eigenwert λ mit Eigenvektor x. Diese ist nichtlinear wegen des Produktes λx; ist aber ein Eigenwert λ bekannt, bleibt für x ein lineares homogenes Glg.system: A λix 0. Wie bei jedem homogenen linearen Glg.system gibt es die triviale Lösung x 0; diese ist aber nutzlos, denn mit der Nullfunktion können wir die Anfangsbedingungen nicht erfüllen. Also interessieren nur spezielle Werte λ, zu denen es nichttriviale Lösungen 0 gibt, d.h. A λi muss singulär sein. Folgerung: λ ist Eigenwert von A mit einem Eigenvektor deta λi 0, Dies ist die charakteristische Gleichung zum charakteristischen Polynom deta λi Im Beispiel: det 4 λ λ also zwei getrennte Eigenwerte: λ 1 1, λ 2 2 hierzu gehört jeweils ein Unterraum für λ λ 3 λ + 10 λ 2 λ 2 λ + 1λ y A λ 1 I x 2 2 z 0 0 und x ist eine Basis des Nullraums N A λ 1 I, des Eigenraums zu λ 1 1; für λ y A λ 2 I x 2 5 z 0 0 und x 2 5 2
3 ME Lineare Algebra HT ist eine Basis für N A λ 2 I, des Eigenraums zu λ 2 2. Zurück zum AWP! 1 u 1 e λ1t x 1 e t ; 1 5 u 2 e λ2t x 2 e 2t 2 sind zwei spezielle Exponential- Lösungen des DGS. Da das DGS linear und homogen ist, können wir superponieren, d.h. ut γ 1 e λ 1t x 1 + γ 2 e λ 2t x 2 mit freien Parametern γ 1, γ 2 ist auch Lösung. Durch Wahl dieser γ 1, γ 2 lassen sich hoffentlich die Anfangsbedingungen erfüllen: γ 1 u γ 2 u 2 0 γ 1 x 1 + γ 1 x 2 u 0 Im Beispiel γ1 γ inhomogenes lineares Glg.system γ 1 3, γ 2 1. Die Lösung zu obigem Anfangswertproblem ist ut 3e t e 2t 5 2 oder für die einzelnen Komponenten vt 3e t + 5e 2t ; wt 3e t + 2e 2t. Da eine Gleichung n-ten Grades wie die charakteristische Gleichung für n 2 i.a. komplexe Wurzeln besitzt, benötigen wir spätestens jetzt Vektoren in IC n als unitären Vektorraum, insbesondere Definition und Eigenschaften der konjugierten Transponierten Hermiteschen Transponierten.
4 ME Lineare Algebra HT Das Eigenwertproblem, das charakteristische Polynom, die charakteristische Gleichung Definition 5.1 Sei A IC n n. Dann heißt λ IC ein Eigenwert von A und x IC n ein zugehöriger Eigenvektor, wenn x 0 und die Eigengleichung erfüllt ist. Ax λx Eigenwertproblem : Finde alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A. Geometrische Deutung: A vermittelt lineare Abbildung IC n IC n. Aus Ax λx folgt α IC A α x λ α x, d.h. A bildet die Gerade IC x {αx α IC} in sich selbst ab, IC x ist also eine Fixgerade eine Fixpunktgerade, nur falls λ 1. Eigenwertproblem: Finde alle Fixgeraden von A. Mit anderen Worten: λ IC ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn die Eigengleichung A λix 0 eine nichttriviale Lösung x 0 besitzt. Dies trifft genau dann zu, wenn die quadratische Matrix A λi singulär ist oder wenn λ die charakteristische Gleichung erfüllt: deta λ I Ausführlicher mit A a jk heißt diese charakteristische Gleichung a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n. a n1 a nn λ 0. Die linke Seite der Gleichung 5.1 ist ein Polynom in λ, denn wegen der Summendarstellung 4.3 der Determinante in 4.2 ist jeder Summand ein Polynom in λ. Diese Summe über die Permutationen ν enthält - wählt man gerade die Permutation ν als die Identität - das Produkt der Diagonalglieder n n a 11 λa 22 λ a nn λ 1 n λ n + 1 n 1 a jj λ n a jj, j1 j1
5 ME Lineare Algebra HT ein Polynom n-ten Grades mit Höchstkoeffizienten 1 n ; alle anderen Summanden sind Polynome niedrigeren Grades. Damit folgt: Das charakteristische Polynom χ A λ : deta λ I ist ein Polynom vom Grad n in λ. Jetzt schreiben wir das charakteristische Polynom in Potenzen von λ auf: n χ A λ deta λ I c l λ l, l0 wobei wie bereits oben gesehen, c n 1. Zunächst Fall n 2. Entwicklung nach den Spalten liefert χ A λ a 11 λ 1 a 12 a 21 λ 0 a 22 λ a 11 a 12 a 21 a 22 λ λ 1 a 12 0 a 22 λ { a 11 a 12 a 21 a 22 λ a 11 0 a 21 1 λ 1 a 12 0 a 22 λ } det A a 11 + a 22 λ + λ 2. Zu allgemeinem n schreiben wir mit Spaltenvektoren A a 1,..., a n, I e 1,..., e n und entwickeln in den Spalten deta λi deta 1 λe 1, a 2 λe 2,..., a n λe n deta 1, a 2 λe 2,..., a n λe n λ dete 1, a 2 λe 2,..., a n λe n. n c l λ l. l1 Also ist c l die Summe von Determinanten der Form detz 1,..., z n mit z j a j oder z j e j j 1,..., n. Einziger Term ohne λ ist deta 1,..., a n, damit wird c 0 det A. 5.2 Die Terme zu λ n 1 sind genau n Determinanten, nämlich detz 1,..., z n mit einem z j a j j 1,..., n, alle übrigen z j e j für j j, j
6 ME Lineare Algebra HT {1,..., n}, also mit Entwickeln nach der jten Zeile detz 1,..., z n a jj. Folglich erhalten wir die Spur von A, n c n 1 a jj : Spur A. 5.3 j1 Andererseits gibt es nach dem Fundamentalsatz der Algebra zu dem charakteristischen Polynom χ A λ n-ten Grades r paarweise verschiedene Wurzeln oder Nullstellen, wobei 1 r n, also r paarweise verschiedene Eigenwerte λ j, j 1,..., r und es gilt χ A λ 1 n λ λ 1 k 1 λ λ 2 k2... λ λ r kr 5.4 mit k 1 + k k r n und λ j k j -facher Eigenwert von A. Hierbei heißt k j IN algebraische Vielfachheit von λ j. Etwas ausführlicher und jeweils -1 hineinmultipliziert schreibt sich χ A λ λ 1 λ... λ 1 λ... λ r λ... λ r λ. }{{}}{{} k 1 F aktoren k r F aktoren Koeffizientenvergleich mit χ A λ c 0 + c 1 λ + + c n 1 λ n 1 + λ n Mit 5.2 und 5.3 folgt: c n 1 k 1 λ k r λ r c 0 λ k λ kr r det A λ k 1 1 λk λkr r ; 5.5 Spur A k 1 λ 1 + k 2 λ k r λ r. 5.6 Invarianz bei Ähnlichkeitstransformationen Jede Matrix A IC n n vermittelt bekanntlich die lineare Abbildung x IC n y Ax IC n. Transformieren wir die Koordinaten x, y zu z T x, w T y mit einer invertierbaren Transformationsmatrix T IC n n und führen somit einen Basiswechsel durch, vgl. Beispiel zu Def. 2.8, S. 42 und Bemerkung zu Korollar 2.2, S. 46 in 2.3, dann stellt sich dieselbe lineare Abbildung in den neuen Koordinaten dar als z IC n w T y T Ax T AT 1 z IC n, d.h. als z IC n w Bz mit der Matrix B T AT 1. Dies motiviert folgende Begriffsbildung.
7 ME Lineare Algebra HT Definition 5.2 Seien A, B IC n n. A und B heißen ähnlich oder B ist aus A durch eine Ähnlichkeitstransformation hervorgegangen, falls es eine nichtsinguläre Matrix M IC n n gibt, so dass B M 1 AM. Satz 5.1 Bei ähnlichen Matrizen A und B gilt χ A χ B. Beweis: detb λ I detm 1 AM λ M 1 M detm 1 A λ IM det M 1 deta λ I det M deta λ I Folgerung Bei Ähnlichkeitstransformationen bleiben unverändert: i alle Eigenwerte samt algebraischer Vielfachheiten, ii Determinante der Matrix, iii Spur der Matrix. Im Fall n 3 sind die Hauptinvarianten von χ A λ λ 3 +c 2 λ 2 c 1 λ+c 0 c 2 Spur A c 1 1 [ Spur A 2 Spur A 2] 2 c 0 det A 1 [ Spur A 3 3 Spur ASpur A Spur A 3] Der Eigenraum, Diagonalisierbarkeit Definition 5.3 Sei A IC n n und λ ein Eigenwert zu A. Dann heißt der Nullraum N A λ I der Eigenraum zu λ, seine Dimension die geometrische Vielfachheit g von λ. Es gilt vgl. 2.4 g dim N A λ I n Rang A λ I 5.7
8 ME Lineare Algebra HT Bemerkungen zum Fall A IR n n 1 Ist auch λ reell, so liefert Gaußsche Elimination reelle Eigenvektoren aus der Eigengleichung A λ I x 0 und eine Basis des Eigenraums zu λ lässt sich aus g reellen Vektoren bilden. 2 Ist dagegen Im λ 0, dann sind auch alle Eigenvektoren echt komplex. Mit λ ist auch λ Eigenwert, denn aus χ A λ 0 folgt 0 χ A λ χ A λ, da χ A ein reelles Polynom ist. Satz 5.2 Für die geometrische Vielfachheit g j und die algebraische Vielfachheit k j eines Eigenwertes λ j von A IC n n gilt Beweis: 1 g j k j. Sei µ ein Eigenwert von A. Dann ist A µi singulär und dazu äquivalent Rang A µi n 1. Also ergibt sich die geometrische Vielfachheit als Defekt von A µi, d.h. g n Rang A µi 1. Um die zweite Ungleichung zu beweisen, gehen wir in zwei Schritten vor. Zunächst ergänzen wir eine Basis {x 1,..., x g } des g-dimensionalen Eigenraumes N A µi zu einer Basis {x 1,..., x g, x g+1,..., x n } des IC n. Dann konstruieren wir eine zu A ähnliche Matrix B derart, dass µ mindestens ein g-facher Eigenwert von B und damit auch von A ist. 1. Schritt: Konstruiere eine Basis des orthogonalen Komplements U zu dem Unterraum U : N A λi; denn IC n U N A λi. Dazu löse in y IC n die homogenen Gleichungen y x j 0 x j y 0 j 1,..., g. Mit anderen Worten: Bilde die Matrix S x 1,..., x g IC n g mit Rang S g, löse das homogene LGS S y 0 und finde eine Basis des n g- dimensionalen linken Nullraums N S, wobei ja S IC g n und dim N S n - Rang S n - Rang S n g. 2. Schritt: Wir gehen aus von einer Basis {x 1,..., x g, x g+1,..., x n } des IC n mit Ax j µx j ; j 1,..., g. Dann hat die Matrix T : x 1,..., x n IC n n vollen Rang und die Inverse T 1 t 1. t n
9 ME Lineare Algebra HT mit den Zeilen t k ; k 1,..., n. Es gilt T 1 T kl t k xl δ kl { 1 k l, 0 k l. Andererseits schreibt sich das Matrizenprodukt AT Darum schließen wir Ax 1,..., x g, x g+1,..., x n Ax 1,..., Ax g, Ax g+1,..., Ax n µx 1,..., µx g,,...,. B : T 1 AT t 1. t n µ µ 0 C µx1,..., µx g,,...,. Die zu A ähnliche Matrix B besteht also aus einer g g-diagonalmatrix links oben und einer n g n g-matrix C rechts unten. Da wegen Satz 5.1 die charakteristischen Polynome von A und B übereinstimmen, erhalten wir nach Entwicklung in den ersten g Spalten χ A λ χ B λ det B λi µ λ g det C λi. Also ist µ mindestens g-facher Eigenwert von A. Beispiel: q.e.d. A 3 1 α 3 χ A λ 3 λ 2 α 0 λ 1,2 3 ± α, falls α 0 λ 1,2 3 ± i α, falls α < 0
10 ME Lineare Algebra HT Fall α 0 λ 3; r 1; k 1 2. Der Nullraum 3 λ 1 N N 0 3 λ wird z.b. aufgespannt von ; 0 aber: g 1 dim N A λi n-rang < k 1! Fall α 4 bereitet Ähnlichkeitstrafo auf Diagonalgestalt vor r 2; λ 1 5, λ N A λ 1 I N N wird z.b. aufgespannt von 1 : x 1 2 N A λ 2 I N wird z.b. aufgespannt von : x 2. 2 Damit klar Setze Damit ist N Ax j λ j x j j 1, 2; A x 1, x 2 λ 1 x 1, λ 2 x 2 S : x 1, x 2 AS λ 1 x 1, λ 2 x 2 S λ1 0 0 λ 2 Weil x 1 und x 2 linear unabhängig, ist S invertierbar. Daher äquivalente Darstellung: S 1 λ AS 0 λ Der Fall α 1 führt auf eine symmetrische Matrix A; hier sind die Eigenvektoren zu den Eigenwerten 2, 4 orthogonal.
11 ME Lineare Algebra HT Betrachte jetzt Summe vgl. 2.5 aller Eigenräume Wann gilt? Dazu benötigen wir r N A λ j I IC n j1 Satz 5.3 Gehören die Eigenvektoren x 1,..., x s 1 s r zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,..., λ s der Matrix A IC n n, dann sind sie linear unabhängig. Beweis: s Zu zeigen: Aus * α k x k 0 α k IC folgt, dass alle α k 0. k1 Dazu verwenden wir die Gleichung A λ j Ix k { λk λ j x k falls j k 0 j k j, k 1,..., s. Fixiere Index l {1,..., s} und multipliziere * von links mit A λ 1 I... A λ l 1 IA λ l+1 I... A λ s I. Bleibt nur α l λ l λ 1... λ l λ l 1 λ l λ l+1... λ l λ s x l 0 Alle Klammern 0, da EWe paarweise verschieden, und x l 0 EVektor! α l 0. q.e.d. Satz 5.4 A IC n n habe n linear unabhängige Eigenvektoren x 1,..., x n. Setzt man S x 1,..., x n IC n n, folgt λ 1 S 1 λ 2 AS Λ :... λ n Beweis: Sei Ax j λ j x j j 1,..., n. Da {x 1,..., x n } linear unabhängig, ist S nichtsingulär. Berechne Produkt AS spaltenweise:
12 ME Lineare Algebra HT Ax 1, x 2,..., x n λ 1 x 1, λ 2 x 2,..., λ n x n λ 1 λ 2 x 1, x 2,..., x n... λ n Also AS SΛ oder S 1 AS Λ oder A SΛS 1 q.e.d. Definition 5.4 A IC n n heißt diagonalisierbar, falls A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Prozess: diagonalisieren, auf Diagonalgestalt transformieren, d.h. gesucht ist: Diagonalmatrix Λ und Ähnlichkeitstransformation S. Bemerkungen: Die Spalten von S müssen Eigenvektoren von A sein, andere Matrizen transformieren nicht auf eine Diagonalmatrix Λ; denn aus AS SΛ folgt für die j-te Spalte y j von S, dass j-te Spalte von SΛ λ j y j und j-te Spalte von AS Ay j, also Ay j λ j y j. Transformations-Matrix S ist nicht eindeutig. Eigenvektoren sind es ja auch nicht! Folgerung: Eine Matrix A IC n n mit genau n paarweise verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar. Beweis: Zu EWerten λ 1,..., λ n gehören EVektoren x 1,..., x n, die nach obigem Satz linear unabhängig sind. Allgemeiner folgt aus Obigem das Diagonalisierbarkeitskriterium: Eine Matrix ist diagonalisierbar für jeden Eigenwert der Matrix gilt algebraische Vielfachheit geometrische Vielfachheit. Bemerkung: Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar! Obiges Beispiel g 1 1 < 2 k 1. Jedoch ist jede symmetrische Matrix siehe später in 6.3 diagonalisierbar.
klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s
Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrLINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow
LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
MehrA Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen
A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne
MehrLineare Algebra - alles was man wissen muß
Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger
MehrMathematik III für Ingenieure
Mathematik III für Ingenieure im Bachelor-Studiengang Maschinenbau Vorlesung Wintersemester 21/211 B. Schuster aktualisert am 27. Januar 211 Inhalt I. Eigenwerte und Eigenvektoren 1 1. Komplexe Matrizen
MehrLineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme
Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie
MehrAufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).
Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
MehrLösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
MehrBerechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Kapitel 5 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5.1 Einführung Bemerkung 5.1 Aufgabenstellung. Diese Kapitel behandelt numerische Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Gegeben sei A R n n.
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
MehrLeitfaden Lineare Algebra: Determinanten
Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv
Mehr11 Normalformen von Matrizen
11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
MehrVorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel
Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3
Mehr2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :
Mehr7 Die Determinante einer Matrix
7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
MehrStatistische Methoden
Statistische Methoden Dr CJ Luchsinger 6 Repetition: Rechnen mit Matrizen für die Statistik Matrizen sind aus zwei Gründen für die Statistik sehr wichtig: Sie ermöglichen uns einerseits eine sehr elegante
Mehrx 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt
- 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrKochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf
Kochen mit Jordan Vorbereitungen Man nehme eine Matrix A R n n und bestimme ihr charakteristisches Polynom p(λ) = (λ c ) r (λ c j ) rj C[X] Dabei gilt: algebraische Vielfachheit r j ˆ= Länge des Jordanblocks
MehrMathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.
Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen
MehrMusterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung
Musterlösungen zu n über gewöhnliche Differentialgleichungen a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y + - y = e - ln, > 0 Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an Wie lautet
MehrLineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung
Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Artur Trzewik sw562@uni-essen.de v1., 26.3.1998 korrigiert 16. Februar 2 Zusammenfassung Warnung: für die Richtigkeit der Definitionnen
Mehr7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme
7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 Lineare Abbildungen 7 Abbildungen: Eine Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs Bemerkung:
MehrComputer Vision SS 2011. Skript
Computer Vision SS 211 Skript (Work in Progress) Simon Hawe & Martin Kleinsteuber Skript: Manuel Wolf Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Was ist ein Bild?................................. 1 1.2 Wie
MehrNumerische Behandlung des Eigenwertproblems
Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 8 Projektive Invarianz und das kanonische Kamerapaar Kanonisches Kamerapaar aus gegebener Fundamentalmatrix Freiheitsgrade
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrMatrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen.
Matrixalgebra mit einer Einführung in lineare Modelle Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@statuni-muenchende 25 August 24 Vielen Dank an Christiane Belitz, Manuela Hummel und
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
MehrVorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter
Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser
Mehr6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte
Numerik I Version: 240608 40 6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte Die zwei wichtigsten Aufgaben der linearen Algebra: Lösung linearer Gleichungssysteme: Ax = b, wobei die n
Mehr(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu
Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische
Mehru + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
MehrKapitel IR:III (Fortsetzung)
Kapitel IR:III (Fortsetzung) III. Retrieval-Modelle Modelle und Prozesse im IR Klassische Retrieval-Modelle Bool sches Modell Vektorraummodell Retrieval-Modelle mit verborgenen Variablen Algebraisches
MehrVorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems
MehrAusgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in Mathematik. Lineare Algebra. zusammengestellt von
Ausgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in Mathematik Lineare Algebra zusammengestellt von Sabine Giese, Josef Heringlehner, Birgit Mielke, Hans Mielke und Ralph-Hardo Schulz 98 Aufgaben,
MehrLineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 2011 Dozent: Christian Pötzsche
Lineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 20 Dozent: Christian Pötzsche Janosch Maier 3. Juli 20 Herzlichen Dank an Lucas Westermann, Florian Scheibner (https://github. com/lswest/lamitschrift)
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrKapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme
Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren
MehrSkalare Differentialgleichungen
Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen
Mehr2.1 Codes: einige Grundbegriffe
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 2. Mai 2009 51 2.1 Codes: einige Grundbegriffe Wir stellen die wichtigsten Grundbegriffe für Codes über dem Alphabet F q, also über einem endlichen Körper mit q Elementen
MehrSeminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie
Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
MehrBeispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0.
Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 5 0 6 5 2 x + 3 y 3 z = 5 2 3 3 5 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 z2 /3 z : 3 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 4 x + y z = 5 4 5 6 y + z = 5 0 6 5 z2 + 2 z 2 x 3 y = 4 2
MehrFakultät für Mathematik und Informatik. Seminar über angewandte Analysis. Sommersemester 2007. Der Kreissatz von Gerschgorin
Fakultät für Mathematik und Informatik Lehrgebiet angewandte Mathematik Prof. Dr. H. Linden Dipl.-Math. H.-J. Schäfer Seminar über angewandte Analysis Sommersemester 2007 Der Kreissatz von Gerschgorin
MehrLösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band 2, 2.Aufl. (Version 2010), Kapitel 5
Lösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band,.Aufl. Version, Kapitel 5 Bilinear-und Sesquilinearformen Abschnitt.A, Aufg., p. 6.6. : Man bestimme die
MehrGrundlagen der Mathematik II
Wintersemester 204/205 - Aufgabenblatt I Abgabe: bis Donnerstag, den 6. November 204, 9:00 Uhr Aufgabe : Untersuchen Sie, für welche 2 C die folgende Matrix c diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie für
MehrInhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme I
Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme I 3 1.1 Mengen und Abbildungen....................................... 3 1.1.1 Mengen und ihre Operationen.............................. 3 1.1.2 Summen- und
MehrHöhere Mathematik I. 1. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel. Winter 2007/08
Dr. A. App Dr. M. Pfeil. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik I Winter 7/8 Aufgabe P. Binomialkoeffizienten Berechnen Sie ohne Taschenrechner: ( ) (a) x = 5 ( ) ( ) ( ) (b)
MehrEinführung in die Tensorrechnung
1. Definition eines Tensors Tensoren sind Grössen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Grössen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer
MehrLineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen
Wir betrachten in diesem Abschnitt das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2 = min! (1) Heinrich Voss voss@tu-harburgde Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation mit gegebenem A R
MehrÜbungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS
Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage
Mehr0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
MehrComputer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17
Computer Vision: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),
MehrKapitel 15: Differentialgleichungen
FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen
MehrII. Klein Gordon-Gleichung
II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
Mehr1 Lineare Gleichungssysteme
MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden
MehrKlausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth
Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung Mathematik Klausuraufgaben zur Mathematik - von Wolfgang Langguth Aufgabenstellungen
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrKlausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth
Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes University of Applied Sciences Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
Mehr11. Primfaktorzerlegungen
78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung
MehrSkript zur Vorlesung Höhere Mathematik für Bachelorstudiengänge. Prof. Dr. R. Herzog. gehalten im SS2013 Technische Universität Chemnitz
Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik für Bachelorstudiengänge Prof. Dr. R. Herzog gehalten im SS2013 Technische Universität Chemnitz Auszug aus den Studienordnungen zu den Ausbildungszielen der mit dieser
MehrWie Google Webseiten bewertet. François Bry
Wie Google Webseiten bewertet François Bry Heu6ge Vorlesung 1. Einleitung 2. Graphen und Matrizen 3. Erste Idee: Ranking als Eigenvektor 4. Fragen: Exisi6ert der Eigenvektor? Usw. 5. Zweite Idee: Die Google
MehrMatrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.
Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen
MehrLineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)
Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst
MehrHamilton-Formalismus
KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
MehrDirk Hachenberger Mathematik für Informatiker
Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam Inhaltsverzeichnis Vorwort
MehrHauptkomponentenanalyse PCA
Hauptkoponentenanalyse PCA Die Hauptkoponentenanalyse (Principal Coponent Analysis, PCA) ist eine Methode zur linearen Transforation der Variablen, so dass: öglichst wenige neue Variablen die relevante
MehrDer Golay-Code und das Leech-Gitter
Der Golay-Code und das Leech-Gitter Vortrag zum Seminar Gitter und Codes Nils Malte Pawelzik.5.5 Inhaltsverzeichnis Designs 3. Elementare Eigenschaften eines Designs und die Eindeutigkeit eines - (, 5,
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrEntwurf robuster Regelungen
Entwurf robuster Regelungen Kai Müller Hochschule Bremerhaven Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik z P v K Juni 25 76 5 OPTIMALE ZUSTANDSREGELUNG 5 Optimale Zustandsregelung Ein optimaler
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 7 Projektionen und Rückprojektionen Der Punkt Die Gerade Die Quadrik Die Ebene Zusammenhang Kalibriermatrix - Bild des absoluten
MehrInvariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 5 Invariantenringe zu Untergruppen Proposition 5.1. Es sei R G R eine Operation einer Gruppe G auf einem kommutativen Ring durch
MehrKapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete
Kapitel 0 Einführung 0.1 Was ist Computergrafik? Software, die einen Computer dazu bringt, eine grafische Ausgabe (oder kurz gesagt: Bilder) zu produzieren. Bilder können sein: Fotos, Schaltpläne, Veranschaulichung
MehrGleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien
Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 18. Juli 2006 1 Einleitung
Mehr