Jordan-Form. Eine komplexe quadratische Matrix A lässt sich durch eine Ähnlichkeitstranformation auf die Blockdiagonalform. = Q 1 AQ 0 J k J =
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- Emil Schumacher
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1 Jordan-Form Eine komplexe quadratische Matrix A lässt sich durch eine Ähnlichkeitstranformation auf die Blockdiagonalform J 1 0 J =... = Q 1 AQ 0 J k transformieren. Jordan-Form 1-1
2 Jordan-Form Eine komplexe quadratische Matrix A lässt sich durch eine Ähnlichkeitstranformation auf die Blockdiagonalform J 1 0 J =... = Q 1 AQ 0 J k transformieren. Dabei haben die Jordanblöcke die Form λ i λ i 1 J i =......, λ i 1 0 λ i mit einem Eigenwert λ i von A. Jordan-Form 1-2
3 Jordan-Form Eine komplexe quadratische Matrix A lässt sich durch eine Ähnlichkeitstranformation auf die Blockdiagonalform J 1 0 J =... = Q 1 AQ 0 J k transformieren. Dabei haben die Jordanblöcke die Form λ i λ i 1 J i =......, λ i 1 0 λ i mit einem Eigenwert λ i von A. Bis auf Permutation der Blöcke ist die Jordan-Form eindeutig. Jordan-Form 1-3
4 Beispiel: A = Jordan-Form 2-1
5 Beispiel: A = charakteristisches Polynom: Jordan-Form 2-2
6 Beispiel: A = charakteristisches Polynom: p A (λ) = ( 1 λ) 3 + 4(4 3( 1 λ)) = λ 3 3λ 2 + 9λ + 27 Jordan-Form 2-3
7 Beispiel: A = charakteristisches Polynom: p A (λ) = ( 1 λ) 3 + 4(4 3( 1 λ)) = λ 3 3λ 2 + 9λ + 27 Nullstellen: doppelt λ = 3, einfach λ = 3 Jordan-Form 2-4
8 Beispiel: A = charakteristisches Polynom: p A (λ) = ( 1 λ) 3 + 4(4 3( 1 λ)) = λ 3 3λ 2 + 9λ + 27 Nullstellen: doppelt λ = 3, einfach λ = Rang(A λe) = Rang = Jordan-Form 2-5
9 Beispiel: A = charakteristisches Polynom: p A (λ) = ( 1 λ) 3 + 4(4 3( 1 λ)) = λ 3 3λ 2 + 9λ + 27 Nullstellen: doppelt λ = 3, einfach λ = Rang(A λe) = Rang = = bis auf Vielfache nur ein Eigenvektor u zu λ = 3 Jordan-Form 2-6
10 Jordan-Form J = Jordan-Form 2-7
11 Jordan-Form J = Bestimmung der Transformationsmatrix Q = (u, v, w) aus der Identität QJ = AQ Jordan-Form 2-8
12 Jordan-Form J = Bestimmung der Transformationsmatrix Q = (u, v, w) aus der Identität QJ = AQ 3u = Au (Spalte 1) u 3v = Aṽ (Spalte 2) 3w = Aw (Spalte 3) Jordan-Form 2-9
13 lineare Gleichungssysteme für die Eigenvektoren u 1 (A λe)u = u 2 = u und (A λe)w = Eigenvektoren u = , w = w 1 w 2 w = Jordan-Form 2-10
14 lineares Gleichungssystem für den Hauptvektor v ṽ 1 u = 2 = ṽ 2 = (A λe)ṽ ṽ 3 = ṽ = ( 3, 4, 1) t Jordan-Form 2-11
15 lineares Gleichungssystem für den Hauptvektor v ṽ 1 u = 2 = ṽ 2 = (A λe)ṽ ṽ 3 = ṽ = ( 3, 4, 1) t Transformationsmatrix Q = (u, v, w) = Jordan-Form 2-12
16 Beispiel: qualitativ verschiedene Jordan-Normalformen J für eine 2 2-Matrix A Jordan-Form 3-1
17 Beispiel: qualitativ verschiedene Jordan-Normalformen J für eine 2 2-Matrix A (i) Zwei einfache Eigenwerte λ und ϱ: Jordan-Form 3-2
18 Beispiel: qualitativ verschiedene Jordan-Normalformen J für eine 2 2-Matrix A (i) Zwei einfache Eigenwerte λ und ϱ: zugehörige Eigenvektoren v und w ( ) λ 0 J = = Q 1 AQ, Q = (v, w) 0 ϱ Jordan-Form 3-3
19 Beispiel: qualitativ verschiedene Jordan-Normalformen J für eine 2 2-Matrix A (i) Zwei einfache Eigenwerte λ und ϱ: zugehörige Eigenvektoren v und w ( ) λ 0 J = = Q 1 AQ, Q = (v, w) 0 ϱ (ii) Doppelter Eigenwert λ mit zwei linear unabhängigen Eigenvektoren v und w: Jordan-Form 3-4
20 Beispiel: qualitativ verschiedene Jordan-Normalformen J für eine 2 2-Matrix A (i) Zwei einfache Eigenwerte λ und ϱ: zugehörige Eigenvektoren v und w ( ) λ 0 J = = Q 1 AQ, Q = (v, w) 0 ϱ (ii) Doppelter Eigenwert λ mit zwei linear unabhängigen Eigenvektoren v und w: ( ) λ 0 J = = A, 0 λ denn mit Q = (v, w) ist A = QJQ 1 = Q(λE)Q 1 = λe Jordan-Form 3-5
21 (ii) Doppelter Eigenwert λ mit nur einem, bis auf Vielfache eindeutig bestimmten Eigenvektor v: Jordan-Form 3-6
22 (ii) Doppelter Eigenwert λ mit nur einem, bis auf Vielfache eindeutig bestimmten Eigenvektor v: J = Q 1 AQ = mit einem Hauptvektor w ( λ 1 0 λ ), Q = (v, w), Jordan-Form 3-7
23 (ii) Doppelter Eigenwert λ mit nur einem, bis auf Vielfache eindeutig bestimmten Eigenvektor v: J = Q 1 AQ = ( λ 1 0 λ ), Q = (v, w), mit einem Hauptvektor w Rang(A λe) = 1 v mit einer nicht-trivialen Gleichung des homogenen Systems (A λe)v = 0 bestimmbar; andere Gleichung redundant Jordan-Form 3-8
24 (ii) Doppelter Eigenwert λ mit nur einem, bis auf Vielfache eindeutig bestimmten Eigenvektor v: J = Q 1 AQ = ( λ 1 0 λ ), Q = (v, w), mit einem Hauptvektor w Rang(A λe) = 1 v mit einer nicht-trivialen Gleichung des homogenen Systems (A λe)v = 0 bestimmbar; andere Gleichung redundant Bestimmung von w aus der zweiten Spalte der Identität d.h. v = (A λe)w QJ = AQ (λv, v + λw) = (Av, Aw), Jordan-Form 3-9
25 Beispiel: A = ( ) = charakteristisches Polynom λ 2 4λ + 4 = 0 Jordan-Form 4-1
26 Beispiel: A = ( ) doppelte Nullstelle λ = 2 = charakteristisches Polynom λ 2 4λ + 4 = 0 Jordan-Form 4-2
27 Beispiel: A = ( ) = charakteristisches Polynom λ 2 4λ + 4 = 0 doppelte Nullstelle λ = 2 lineares Gleichungssystem für den Eigenvektor ( ) ( ) 6 4 v1 (A λe)v = = 9 6 = v = (2, 3) t v 2 ( 0 0 ) Jordan-Form 4-3
28 Beispiel: A = ( ) = charakteristisches Polynom λ 2 4λ + 4 = 0 doppelte Nullstelle λ = 2 lineares Gleichungssystem für den Eigenvektor ( ) ( ) 6 4 v1 (A λe)v = = 9 6 v 2 ( 0 0 = v = (2, 3) t lineares Gleichungssystem für den Hauptvektor ( ) ( ) ( ) w1 v = = = (A λe)w = w = (1, 2) t w 2 ) Jordan-Form 4-4
29 Beispiel: A = ( ) = charakteristisches Polynom λ 2 4λ + 4 = 0 doppelte Nullstelle λ = 2 lineares Gleichungssystem für den Eigenvektor ( ) ( ) 6 4 v1 (A λe)v = = 9 6 v 2 ( 0 0 = v = (2, 3) t lineares Gleichungssystem für den Hauptvektor ( ) ( ) ( ) w1 v = = = (A λe)w = w = (1, 2) t Probe: ( ) ( ) ( ) A = QJQ = w 2 ) Jordan-Form 4-5
30 Beispiel: verschiedene Jordan-Normalformen J = QAQ 1 A = Q 1 JQ für eine 3 3-Matrix A Jordan-Form 5-1
31 Beispiel: verschiedene Jordan-Normalformen J = QAQ 1 A = Q 1 JQ für eine 3 3-Matrix A (i) Paarweise verschiedene Eigenwerte λ, ϱ, σ: J = λ ϱ σ Jordan-Form 5-2
32 Beispiel: verschiedene Jordan-Normalformen J = QAQ 1 A = Q 1 JQ für eine 3 3-Matrix A (i) Paarweise verschiedene Eigenwerte λ, ϱ, σ: J = λ ϱ σ (ii) Doppelter Eigenwert λ: λ λ ϱ, λ λ ϱ Jordan-Form 5-3
33 zweiter Fall: Jordan-Form 5-4
34 zweiter Fall: Rang(A λe) = 2 Jordan-Form 5-5
35 zweiter Fall: Rang(A λe) = 2 Q = (u, v, w) mit Eigenvektoren u und w und einem Hauptvektor v Jordan-Form 5-6
36 zweiter Fall: Rang(A λe) = 2 Q = (u, v, w) mit Eigenvektoren u und w und einem Hauptvektor v Bestimmung durch Lösen der Gleichungssysteme (A λe)u = 0, u = (A λe)v, (A ϱe)w = 0 Jordan-Form 5-7
37 zweiter Fall: Rang(A λe) = 2 Q = (u, v, w) mit Eigenvektoren u und w und einem Hauptvektor v Bestimmung durch Lösen der Gleichungssysteme (A λe)u = 0, u = (A λe)v, (A ϱe)w = 0 (iii) Dreifacher Eigenwert λ: λ λ λ, λ λ λ, λ λ λ Jordan-Form 5-8
38 zweiter Fall: Rang(A λe) = 1 Jordan-Form 5-9
39 zweiter Fall: Rang(A λe) = 1 erhalte einen Hauptvektor v durch Lösen von (A λe) 2 v = 0, (A λe)v 0 Jordan-Form 5-10
40 zweiter Fall: Rang(A λe) = 1 erhalte einen Hauptvektor v durch Lösen von (A λe) 2 v = 0, (A λe)v 0 zugehöriger Eigenvektor: u = (A λe)v Jordan-Form 5-11
41 zweiter Fall: Rang(A λe) = 1 erhalte einen Hauptvektor v durch Lösen von (A λe) 2 v = 0, (A λe)v 0 zugehöriger Eigenvektor: u = (A λe)v weiterer linear unabhängiger Eigenvektor w erfüllt Jordan-Form 5-12
42 zweiter Fall: Rang(A λe) = 1 erhalte einen Hauptvektor v durch Lösen von (A λe) 2 v = 0, (A λe)v 0 zugehöriger Eigenvektor: u = (A λe)v weiterer linear unabhängiger Eigenvektor w erfüllt (A λe)w = 0, w u Jordan-Form 5-13
43 zweiter Fall: Rang(A λe) = 1 erhalte einen Hauptvektor v durch Lösen von (A λe) 2 v = 0, (A λe)v 0 zugehöriger Eigenvektor: u = (A λe)v weiterer linear unabhängiger Eigenvektor w erfüllt Q = (u, v, w) (A λe)w = 0, w u Jordan-Form 5-14
44 zweiter Fall: Rang(A λe) = 1 erhalte einen Hauptvektor v durch Lösen von (A λe) 2 v = 0, (A λe)v 0 zugehöriger Eigenvektor: u = (A λe)v weiterer linear unabhängiger Eigenvektor w erfüllt (A λe)w = 0, w u Q = (u, v, w) dritter Fall: Rang(A λe) = 2 Jordan-Form 5-15
45 zweiter Fall: Rang(A λe) = 1 erhalte einen Hauptvektor v durch Lösen von (A λe) 2 v = 0, (A λe)v 0 zugehöriger Eigenvektor: u = (A λe)v weiterer linear unabhängiger Eigenvektor w erfüllt (A λe)w = 0, w u Q = (u, v, w) dritter Fall: Q = (u, v, w) mit Rang(A λe) = 2 (A λe)u = 0, u = (A λe)v, v = (A λe)w Jordan-Form 5-16
46 Beispiel: 14 mögliche Belegunsstrukturen für Jordan-Normalformen von 4 4-Matrizen Jordan-Form 6-1
47 Beispiel: 14 mögliche Belegunsstrukturen für Jordan-Normalformen von 4 4-Matrizen (i) vier verschiedene Eigenwerte λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 λ λ λ λ 4 Jordan-Form 6-2
48 Beispiel: 14 mögliche Belegunsstrukturen für Jordan-Normalformen von 4 4-Matrizen (i) vier verschiedene Eigenwerte λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 λ λ λ λ 4 (ii) ein zweifacher Eigenwert λ 1 und zwei einfache Eigenwerte λ 2, λ 3 λ λ λ λ 2 0, 0 λ λ λ λ 3 Jordan-Form 6-3
49 (iii) zwei zweifache Eigenwerte λ 1, λ 2 λ λ λ 2 0, λ 2 λ λ λ λ 2, λ λ λ λ 2 Jordan-Form 6-4
50 (iii) zwei zweifache Eigenwerte λ 1, λ 2 λ λ λ 2 0, λ 2 λ λ λ λ 2, λ λ λ λ 2 (iv) ein dreifacher Eigenwert λ 1 und ein einfacher Eigenwert λ 2 λ λ λ λ 1 0, 0 λ λ 1 0, λ λ 2 λ λ λ λ 2 Jordan-Form 6-5
51 (v) ein vierfacher Eigenwert λ 1 λ λ λ 1 0, λ 1 λ λ λ λ 1, λ λ λ λ 1 Jordan-Form 6-6
52 (v) ein vierfacher Eigenwert λ 1 λ λ λ 1 0, λ 1 λ λ λ λ 1 λ λ λ λ 1,, λ λ λ λ 1 λ λ λ λ 1 Jordan-Form 6-7
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