Exponentielles Wachstum

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1 Exponenielles Wachsum Teil 1 Prozenuales Wachsum wird mi Exponenialfunkionen berechne Themenhef für die Grundlagen ab Klasse 10 Viel Theorie mi Muserbeispielen Aber auch gründliche Besprechung aller Grundaufgaben Daei Nr Sand: 3. Dezember 2015 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 18810 Exponenielles Wachsum 1 2 Vorwor Zur Beschreibung von Wachsum ha man verschiedene mahemaische Wachsumsmodelle eingeführ, die möglichs gu die Naurvorgänge beschreiben sollen. Man solle dabei klar zwischen seigem und sprunghafem Wachsum unerscheiden. Wenn Wasser einen Behäler füll, nimm sein Volumen seig zu (wobei wir jez nich beachen wollen, dass die Wassermoleküle im Grunde nich eilbar sind und so das Wasser im Grunde auch in Miniporionen in den Behäler komm). Prozenuales Wachsum wird of nich seig vonsaen gehen. Denken wir an die Vermehrung unseres Geldes auf einer Bank. Der Zins fließ nich koninuierlich, er komm nach besimmen Zeiabschnien auf das Kono. Also wird die Konosandsfunkion immer wieder Sprünge machen und dazu konsane Phasen haben. In solchen Fällen wird man of besser mi Wachsumsfolgen arbeien, ansa mi seigen Wachsumsfunkionen. Wir werden sehen, dass prozenuales Wachsum exponenielles Wachsum is, weil es auf der Basis von Exponenialfunkionen geschieh. Dieser Tex zeig ausführlich, wie man auf Wachsumsfolgen und -funkionen komm und welche wichigen Aufgaben es dazu gib, siehe Inhalsverzeichnis. Die Forsezung auf Obersuferniveau, also mi den Hilfsmieln der Analysis, seh im Tex mi der Nummer Hier die Übersich über die Vielfal der Texe zum Wachsum: Niveau Klassensufe 10: Lineares Wachsum Aufgaben dazu Exponenielles Wachsum Finanzmahemaik Didakische Hinweise dazu Aufgaben Exponenielles Wachsum 1a Begrenzes Wachsum Aufgaben Begrenzes Wachsum 1b Niveau Obersufe (mi Hilfsmieln der Analysis) Zenralex mi Übersich Mahemaische Hinergründe Quadraisches Wachsum Exponenielles Wachsum Aufgaben Exponenielles Wachsum 2a Begrenzes Wachsum Aufgaben begrenzes Wachsum 2b Logisisches Wachsum Aufgaben logisisches Wachsum Andere Wachsumsmodelle (fehl noch) (Logisischer Zerfall, vergifees, chaoisches sowie verzögeres Wachsum)

3 18810 Exponenielles Wachsum 1 3 Inhal 1 Prozenuales Wachsum mi Wachsumsfakoren Jede prozenuale Zunahme kann man mi einem Fakor berechnen 4 Beispiele: Preisaufschlag Mehrwerseuer Zins 1.2 Forgesezes prozenuales Wachsum ergib eine Wachsumsfolge 7 Konosand eines Sparkonos Was seck hiner diesem Wachsum. Ein wenig ganz wichige Theorie und Grundwissen 9 Rekursive Berechnung, Geomerische Folge, Differenzengleichung Wachsumsrae Graphische Ermilung der Zunahme mi einem Spinnweb-Diagramm Wichige Fragen zum exponeniellen Wachsum (Beispiel: Bakerien) 14 Beispiel: Bevölkerungswachsum 15 Beispiel: Seiges exponenielles Wachsum bei Pilzen 16 2 Prozenuale Abnahme mi Wachsumsfakoren Jede prozenuale Abnahme kann man mi einem Fakor berechnen 17 Preisabschlag Forgeseze gleichmäßige prozenuale Abnahme 18 Radioakiver Zerfall 18 Bakerienserben 19 und 20 3 Die wichigsen 6 Grundaufgaben beim exponeniellen Wachsum 21 am Beispiel einer Konosandsfolge. 4 Zwei superausführliche Museraufgaben 28 Lösung Aufgabe 1: Nochmals Bakerien 29 Lösung Aufgabe 1: Und nochmals Radioakiviä 31

4 18810 Exponenielles Wachsum Prozenuales Wachsum mi Wachsumsfakoren 1.1 Jede prozenuale Zunahme kann man mi einem Fakor berechnen Beispiel 1: Preisaufschlag Ein Compuerchip kose 120. Durch einen vorübergehenden Lieferengpass erhöhen die Herseller den Preis um 15%. Wie viel kose er dann? Lösung: Merke: Neuer Preis = Aler Preis + Preiszunahme Die folgende Überlegung muss man einmal versanden haben und dann immer wissen: Die Berechnung der Preiszunahme is eine Grundaufgabe der Prozenrechnung: Preiszunahme = 15% von 120 d. h. Preiszunahme = 15% mal also: Preiszunahme = mal Das is alles das gleiche! d. h. Preiszunahme = 0, Ergebnis: Neuer Preis = , Jez klammer man den in beiden Summanden seckenden alen Preis 120 aus. Dann enseh diese Gleichung: Neuer Preis = 10, d. h. Neuer Preis = 1, Ergebnis: Neuer Preis = Wachsumsfakor 120 Dem Fakor 1,15 ennimm man diese Informaion: Die darin enhalene Zahl 1 heiß 1-mal der ale Preis Die die nach dem Komma folgende 15 heiß plus 15% des alen Preises. MERKE: Eine Erhöhung des Preises um p = 15% kann man dadurch berechnen, dass man den alen Preis mi dem Wachsumsfakor q = 1,15 muliplizier. Er wird so gebilde: q 1 p (Man addier den Zahlenwer 0,15 = 15% zu 1.) Ergebnis: Umsändliche Rechnung: Kurze Rechnung: Neuer Preis 120 0, Neuer Preis = 120 1,

5 18810 Exponenielles Wachsum 1 5 Beispiel 2: Mehrwerseuer Ein Compuerchip kose neo 120. Zum Verkaufspreis kommen noch 19% Mehrwerseuer. Berechne den Bruopreis (Verkaufspreis). Lösung: Bruopreis = Neopreis + Mehrwerseuer Mehrwerseuer = 19% vom Neopreis d. h. Mehrwerseuer 19% von 120 also: Mehrwerseuer 0,19 mal 120 Bruopreis NPr NPr 0,19 NPr 10,19 NPr 1,19 Bruopreis = Neopreis mal Seuerfakor 1,19 Umsändliche Rechnung: Kurze Rechnung: Verkaufspreis 120 0, Verkaufspreis = 120 1,19 142,80. = 142,80 Der hier verwendee Wachsumsfakor is q 1p 10,19 1,19. Beispiel 3: Zins Eine Bank belohn ihre Kunden dafür dass man sein Geld auf ein Kono leg. Wenn sie beispielsweise einen Zinssaz von 2,5% (p.a.) anwende, dann heiß dies, dass sie dem Kunden jährlich 2,5% seines Guhabens als Zins guschreib. (p.a. heiß per anno = jährlich) Neuer Konosand = Aler Konosand + Zins Berechnung des Zinses für G = 3400 : Zins = 2,5% von 3400 d. h. Zins = 2,5 mal also: Zins = 0, Neuer Konosand = AKS + AKS p AKS 1p AKS q Neuer Konosand = Aler Konosand mal Zinsfakor Verzinses Guhaben nach 1 Jahr: Umsändliche Rechnung: Kurze Rechnung: G' ,025 G' , G' Hier wurde aus dem Zinssaz p = 2,5% der Zinsfakor q 1p 10,025 1,025.

6 18810 Exponenielles Wachsum 1 6 Beispiel 4 Ich schreibe jez verschiedene Gleichungen an, die jeweils eine prozenuale Zunahme darsellen. Sie werden alle mi einem Wachsumsfakor berechne: a) Verzinser Konosand: G , ,50 Hier wurden 1890 mi einem Zinssaz von p =5 % verzins. Zinsfakor: q = 1,05. b) Bakerienwachsum: m 450 1,2 540 Hier ha sich ein Bakeriensamm von 450 Individuen in einer besimmen Zei um p = 20% vermehr zu nunmehr 540 Individuen. Wachsumsfakor: q = 1,2. c) Schimmelpilz: 2 2 A 24 cm 1,08 25,92 cm Die Oberfläche einer Schimmelpilzkulur ha sich in einer besimmen Zeispanne um p = 8% vermehr. Wachsumsfakor: q = 1,08. d) DAX-Index: Index , ,18 Der Index der Akien der im DAX geliseen Firmen ha sich innerhalb (z.b.) eines Tages um p = 1,5% vermehr. Wachsumsfakor: q = 1,015. e) Wahlumfrage: 320 1, Uner 1000 befragen Personen wollen zuers 320 die Parei CDU wählen. Nach einem halben Jahr wurden dieselben Personen befrag. Man verzeichnee eine Zunahme um p = 15 %. Wachsumsfakor q = 1,15. Und darauf komm es an: Achung: Der Fakor 1,15 bedeue q = 1 + 0,15, also eine Zunahme um 15 %. Der Fakor 1,015 bedeue q = 1 + 0,015, also eine Zunahme um 1,5 %. Der Fakor 1,8 bedeue q = 1 + 0,80, also eine Zunahme um 80%. Der Fakor 1,08 bedeue q = 1 + 0,08, also ein Wachsum um 8%. Die Beispiele a) Konosand, b) Bakerienwachsum und e) Wahlumfrage gehören zum sprunghafen Wachsum, während c) Schimmelpilz und näherungsweise auch e) DAX zum seigen Wachsum gehören (weil dabei auch alle Zwischenwere aufreen können).

7 18810 Exponenielles Wachsum Forgesezes prozenuales Wachsum ergib eine Wachsumsfolge Beispiel 1: Konosandsfolge eines Sparkonos Ein anfängliches Guhaben von 2500 wird mi einem Jahreszinssaz von 3% verzins. Berechne den Konosand K(n) nach 1, 2, 3, 6 und n Jahren, wobei keine zusäzlichen Einzahlungen zwischendurch erfolgen sollen. Lösung: Gemäß den Überlegungen aus 1.1 bedeue dies, dass nach Ablauf eines Jahres der neue Konosand durch Muliplikaion mi dem Zinsfakor q 1p 10, 03 1, 03 aus dem alen Konosand enseh. Es sei K(n) der Konosand in nach n Jahren. Dann gil: Anfänglicher Konosand: K Konosand nach 1 Jahr: K1 K0 q d. h. K , Konosand nach 2 Jahren: K2 K1 q d. h. K , ,25 Man kann K(2) direk aus K(0) berechnen, ohne zuers K(1) zu ermieln: K1 K 2 K 0 qq K 0 q Konosand nach 3 Jahren: K3 K2 q 2 2 K , ,25 : 2 3 bzw. so: K3 K0q q K0 q 6 Konosand nach 6 Jahren: K6 K0 q Es wurde zu Gunsen der Bank abgerunde. n Konosands-Funkion: Kn K0 q d. h. 3 K , ,81 6 K , ,13 K n ,03 n Ergebnis: Gleichmäßiges prozenuales Wachsum führ zu einer Exponenialfunkion: K n a q n Dabei is a = K(0) der Sarwer (zur Zei n = 0) und q 1 p der Wachsumsfakor, wenn K(n) pro Zeieinhei um den Prozensaz p zunimm. Diese Konosandsfunkion K(n) is eine Zahlenfolge, denn ihr Definiionsbereich is D 0;1 2; 3,.... Es werden also nur Zahlen aus N O eingesez, Zwischenwere nich. Hinweis: Zahlenfolgen schreib man sehr of auch so: K,K, 0 1 usw. Die iefgeseze Nummer gib hier dann das Jahr der Verzinsung an, gerechne ab der Einzahlung des Sparberags. Man nenn diese Zahl auch den Index der Zahlenfolge.

8 18810 Exponenielles Wachsum 1 8 Zahlenfolgen werden im Schaubild nur als Punke dargesell: K Dies is das Schaubild der Zahlenfolge K(n) bzw. K n. Berache man die Siuaion wirklichkeisnäher, muss man bedenken, dass die Geldberäge K(n) bei dieser ewas unrealisischen jährlichen Verzinsung ein Jahr lang den Konosand bilden. Dann ergib das Schaubild eine Treppenkurve: Die Punke am linken Rand einer Sufe geben den jeweiligen Funkionswer an. Verbinde man die Punke durch das Schaubild der seigen (d. h. keine Sprünge machenden) Funkion K x ,03 x, bei der für x alle reellen Zwischenwere x zugelassen sind, dann enseh eine nach oben gekrümme Kurve, die aber hier nich fehl am Plaz is, weil kein seiges Wachsum vorlieg. Um diese Krümmung besser zu erkennen, halbiere ich den Maßsab auf der Zeiachse und rage im Sarpunk die Tangene ein:

9 18810 Exponenielles Wachsum Was seck hiner diesem Wachsum? Ein wenig ganz wichige Theorie und Grundwissen. Einen Besand (z. B.: Geld), nehme in gleichen Zeiabschnien um ses den gleichen Prozensaz zu. Die Besandswere bilden eine Zahlenfolge, deren Zunahme man durch eine Differenzengleichung beschreiben kann. Sie is charakerisisch für die Ar der Zahlenfolge und liefer zudem eine rekursive Berechnungsmehode, bei der man Schri für Schri aus B(0) heraus alle weieren Were B(1), B(2) usw. berechnen kann. Es sei Bder Besand zum Zeipunk. Dann is B 1 Die Zunahme des Besandes wird durch die Differenz dieser Were beschrieben: B 1 B der Besand zum nächsen Zeipunk.. Beispiel: Allgemein: B() nimm pro Zeieinhei um p = 5% zu: B() nimm pro Zeieinhei um p = k% zu: Dann is B1 B0,05 B Dann is B1 Bp B Die Zunahme is dann die Differenz Die Zunahme is dann die Differenz B1B 0,05 B B 1 B p B B 1 B B() (1) Dividier man durch B(), erhäl man die relaive Zunahme: 0,05 B 1 B B() p (= konsan) Das heiß: Die Zunahme is proporional zum akuellen Besand B(). Das muss man versehen: Ha der Besand in einer besimmen Zeispanne um das 1,3-fache zugenommen, dann is auch die Zunahme 1,3-mal so groß geworden. Ha der Besand sich in einer besimmen Zeipanne verdoppel, dann is auch die Zunahme doppel so groß geworden. Das heiß, dass sogar die Zunahme zunimm! Aber: Die relaive Zunahme is konsan. Dazu schauen wir uns auf Seie 11 am Beispiel an. So funkionier die rekursive Berechnung von Besandsweren: B1B 0,05 B B1 Bp B Rechs B() ausklammern: B1 10,05 B B1 1p B Den Klammerfakor nenn man Zinsfakor (oder Wachsumsfakor) q: q 10,05 1,05 q 1 p B1 1,05 B B 1 q B (2) Wenn ein Besand in gleichen Zeispannen ses um denselben Fakor p zunimm, dann lieg prozenuales Wachsum vor. Dies wird durch die Gleichung Gleichung (1) ausgedrück. Daraus folg die rekursive Berechnungsformel (2). Zahlenfolgen, die dieses Bildungsgesez haben, nenn man geomerische Folgen.

10 18810 Exponenielles Wachsum 1 10 Diese forgeseze Muliplikaion mi dem Wachsumsfakor führ zur absoluen Berechnungsformel: B1 B0 q, Allgemein: 2 q q B1 q B B0q B 2 B 1 B 0 q B (3) B2 q B0 q q B0 q z. B. B B0 1,05 Erkennnis: Prozenuales Wachsum führ zu einer Exponenialfunkion, Prozenuales Wachsum heiß daher auch exponenielles Wachsum. WISSEN: Die Differenzengleichung B1B p B ha die Funkion B B0q als Lösung, wobei q = 1+p is. Kleine Aufgaben dazu: a) Inerpreiere die Gleichung der Wachsumsfolge B 20 1,3 mi No. Gib ihre Differenzengleichung an. Lösung: 0 Den Sarwer erhäl man durch B0 201,3 20, denn 0 1, 3 = 1. Die Basis 1,3 is der Wachsumsfakor q. Wegen qp 1 folg p q 1 0,3 30%. Also nimm jeder Besandswer pro Zeieinhei um 30% zu. Man erhäl also jeden neuen Wer durch Muliplikaion mi q = 1,3: B1 B 1,3 Die zugehörige Differenzengleichung is also: B1B B 1,3B B 0,3 b) Besimme die Funkion B zur Differenzengleichung B1B 0,2 B, wenn bekann is, dass B Lösung: (1) Aus der Differenzengleichung kann man ablesen, dass es sich um prozenuales Wachsum mi p = 0,2 = 20% handel. r (2) Dami laue die Wachsumsfunkion (bzw. -folge): B B 0 1, , 2. Wenn jemand dieses Ergebnis ausführlich herleien soll, dann brauch er dazu nur wenige Zeilen: Aus der Differenzengleichung folg: Wir beginnen mi dem Sarwer B1 B10,2 B 1,2 B0 100 und berechnen der Reihe nach (also rekursiv): 2 B1 B0 1,2 4 B 1 B 0 1, ,2 120 B 2 1,2 1,2 B 0 1, ,

11 18810 Exponenielles Wachsum B3 B0 1, , ,8 5 B5 B0 1,2 248,8 Das reich dann schon um die Gesezmäßigkei dahiner zu erkennen: Es gil also allgemein: B B 0 1, , 2 c) Zeige an Hand des Beispiels b), wie die Differenzen, also die Zunahmen proporional zu den Besandsweren sind. B2B 1 B 1 1,2B 1 B 1 1,21 B1 0,2 d. h. B6B5 B51,2 B5 B5 1,2 1 B5 0,2 d. h. Allgemein: B1B B1,2B B 1,21 B 0,2 d. h. B1 B1 B4 B4 B2 B5 B B 1 B Inerpreaion: B1B 0,2 B Die Größe B() nimm zu, weil sie exponeniell wächs. In gleichem Maße nimm die Differenz B B1 B zu, denn sie is immer 20% des B()-Weres. Is also B(2) = 144, dann is B B1 B 0,2 144 Is B5 248,8, dann is B B1 B 0,2 248,8 Man sieh also, wie die Zunahme proporional zum Besandswer B() wächs. B1 B Die relaive Zunahme is genau der Fakor 0,2: 0, 2, B also immer 20% (bei diesem Beispiel.) 0,2. 0,2 0,2 Oder kurz ein andere Beispiel dazu: Wenn sich Bakerien in 3 Sunden um 8 % vermehren, und es sind nach 10 Sunden B vorhanden, dann sind es nach 13 Sunden B13 B10 1, , Die Zunahme beräg dann 0,8 B10 0, Bakerien. Nach 100 Sunden sind 90 Sunden vergangen, also 30 3-Sundeninervalle, in denen jedes Mal der Fakor 1,08 greif. Daher rechne man so: B100 B101, , In den nächsen 3 Sunden wächs der Besand wioeder um das 1,08-fache an auf B , , oder so: B103 B101, , Man muss sich hier ses auf 3-Sundeninervalle beziehen, weil ja auch die 8% Zunahme sich darauf beziehen. Man kann naürlich auch auf das 1-Sunden-Inervall umrechnen: Dann is der Wachsumsfakor 3 1, 08 1, 026. Beispiel: B , usw. Oder man kann auf B(0) zurückrechnen: B Dann is B10 B0 1,026 B Daraus folg dann z.b.: 1,026 1, , was man auch so erreich: B 1 B 0 1, , denn von = 1 bis = 10 sind es 3 3-Sunden-Inzrevalle.. B B , 08 1, 08

12 18810 Exponenielles Wachsum 1 12 Ein weierer wichiger Begriff is die Wachsumsrae: Dami beschreib man die Särke des Wachsums. Man kann aus zwei Weren B 1 und 2 B einer Wachsumsfolge die durchschniliche Zunahme pro Zeieinhei zwischen diesen Besandsweren berechnen. Diese Größe heiß milere Wachsumsrae R. Sie is nichs anderes als die Seigung m der zugehörenden Srecke. y y2 y1 m. x x x Ausführlicher heiß dies: B2 B1 R oder B B R, abgekürz: B R P 1 B y B P Muserbeispiel: Gegeben is ein exponenielles Wachsum durch B 20 1,3, in Minuen. Berechne die mileren Wachsumsraen für die Zeiinervalle 0;1, 0;2 und 6;10. Lösung: Für 0;1 is Aus B und B1 101,3 26 folg B B 1 B(0) Die milere Wachsumsrae is daher B 6 R 6. 1 Für 0;2 is 2 2 B 33, ,8 Aus B0 20und B2 201,3 33,8folg: R 6, Für 6;10 is Aus B6 20 1,3 96,54 und Inerpreaion des lezen Ergebnisses: B ,3 275,72 folg B 275,72 96,54 179,18 R 44, In die Zeispanne 6min;10min 45 Einheien zu. nehmen die Were pro Minue um durchschnilich ewa