htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017

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Samuel Kerner
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1 htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT

2 htw saar 2 Gliederung Bedingte Wahrscheinlichkeit: Motivation und Definition Multiplikationssatz Stochastische Unabhängigkeit: Motivation und Definition Übungen Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes Anwendungen: (1) Tests auf Krankheiten (2) Ziegenproblem (3) Simpson Paradoxon Unabhängigkeit bei mehr als zwei Ereignissen

3 htw saar 3 Motivation 1 Ereignis A: Augensumme von zwei Würfeln mindestens 7 Unter den 36 gleichwahrscheinlichen Ausgängen des Zufallsexperimentes Zwei Würfel werfen erfüllen 21 die Bedingung, dass die Augensumme größer als 7 ist. => P(A) = 21/36 = 7/12 Wir bekommen, bevor der zweite Würfel geworfen wird, die Information, dass der erste Würfel eine 5 zeigt. => P(A) = 5/6 Wir bekommen, bevor der zweite Würfel geworfen wird, die Information, dass der erste Würfel eine 1 zeigt. => P(A) = 1/6

4 htw saar 4 Motivation 2 und Formalisierung 1) Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A. 2) Wir bekommen die Information, dass Ereignis B eingetreten ist. 3) Durch das Eintreten des Ereignisses B verändern sich die Wahrscheinlichkeiten für A. Definition: (Ω, P) sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, A und B seien Ereignisse mit P(B) > 0. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B definiert als P(A B) = P(A B) / P(B)

5 htw saar 5 Beispiel Ziehung der Lottozahlen Erste drei gezogene Zahlen richtig getippt. => B: Mindestens erste drei Zahlen richtig. Wie groß ist die Chance auf 6 richtige (A)? 1) Da A eine Teilmenge von B ist, gilt: P(A B) = P(A) = 1 /. 2) P(B) = ( * + * + * +1) / 3) P(A B) / P(B) = 1 / ( * + * + * +1) = 3,84 * 10-6 Die Wahrscheinlichkeit ist ca. 53mal höher als P(A), aber immer noch sehr klein!

6 htw saar 6 Multiplikationssatz Für bedingte Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) gilt: P(A B) = P(A B) * P(B) = P(B A) * P(A) Die erste Gleichung folgt direkt aus der Definition von P(A B). Die zweite Gleichung folgt aus P(B A) = P(B A) / P(A), da P(A B) = P(B A).

htw saar 7 Multiplikationssatz - Beispiel Mit 1%iger Wahrscheinlichkeit rollt einem Autofahrer in einer Wohngegend ein Ball vor sein Fahrzeug.

7 htw saar 7 Multiplikationssatz - Beispiel Mit 1%iger Wahrscheinlichkeit rollt einem Autofahrer in einer Wohngegend ein Ball vor sein Fahrzeug. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass hinter einem Ball ein Kind hinterherläuft, beträgt 99%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball auf die Straße rollt und ein Kind auf die Straße läuft?

8 htw saar 8 Stochastische Unabhängigkeit - Motivation Ereignis A: Zwei Würfel Gleiche Augenzahlen Es gibt 6 Möglichkeiten => P(A) = 6/36 = 1/6 Wir wissen: Der erste Würfel zeigt eine 3 (Ereignis B). Dann ist P(A B) = 1/36 und P(B) = 1/6. => P(A B) = (1/36) / (1/6) = 6/36 = 1/6 In diesem Fall verändert die Information über das Ereignis B die Wahrscheinlichkeit P(A B) gegenüber P(A) nicht. Es gilt: P(A B) = P(A) * P(B)

9 htw saar 9 Stochastische Unabhängigkeit - Definition Zwei Ereignisse A und B in einem Wahrscheinlichkeitsraum heißen (stochastisch) unabhängig, wenn P(A B) = P(A) * P(B) Bemerkungen: (1) Unabhängigkeit ist eine symmetrische Eigenschaft. (2) Die leere Menge und Ω sind von allen anderen Ereignissen unabhängig.

10 htw saar 10 Disjunkte Ereignisse und Unabhängigkeit Seien A und B Ereignisse auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit A B =. Frage: Können A und B unabhängig sein? A gerade Augenzahl bei Würfel B ungerade Augenzahl P(A) = P(B) = ½, aber P(A B ) = 0.

11 htw saar 11 Übungen Für einen Spam-Filter wird damit geworben, dass er in 95% der Fälle korrekt angewandt wird. Sei S das Ereignis, das eine Mail Spam ist und sei B das Ereignis, dass eine Mail blockiert wird. Dann gibt es die folgenden Interpretationen für die Werbeaussage: a) 95% des Spam wird blockiert. b) 95% der gültigen Mails (= Nicht-Spam) werden durchgelassen. c) 95% der durchgelassenen Mails sind gültig. d) 95% der blockierten Mails sind Spam. Formulieren Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Ereignisse S und B und ihrer Komplemente! 2. Aus der folgenden Bevölkerungsverteilung wird zufällig eine Person ausgewählt. Wie groß ist bei einer Frau die Wahrscheinlichkeit, dass sie Jahre ist? 0 25 Jahre Jahre 51 Jahre und älter Frau Mann

12 htw saar 12 Übung 10/1 Spam Für einen Spam-Filter wird damit geworben, dass er in 95% der Fälle korrekt angewandt wird. Sei S das Ereignis, das eine Mail Spam ist und sei B das Ereignis, dass eine Mail blockiert wird. Dann gibt es die folgenden Interpretationen für die Werbeaussage: a) 95% des Spam wird blockiert. b) 95% der gültigen Mails (= Nicht-Spam) werden durchgelassen. c) 95% der durchgelassenen Mails sind gültig. d) 95% der blockierten Mails sind Spam. Formulieren Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Ereignisse S und B und ihrer Komplemente!

13 htw saar 13 Übung 10/2 Bevölkerungsverteilung Aus der folgenden Bevölkerungsverteilung wird zufällig eine Person ausgewählt. Wie groß ist bei einer Frau die Wahrscheinlichkeit, dass sie Jahre ist? 0 25 Jahre Jahre 51 Jahre und älter Frau Mann

14 htw saar 14 Literatur Henze Bedingte Wahrscheinlichkeiten / Stochastische Unabhängigkeit: Kapitel 15 / 16 (zunächst nur jeweils erste Seiten) Behrens Bedingte Wahrscheinlichkeit S

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