Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse
|
|
- Simon Albrecht
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse Volker Diekert Universität Stuttgart Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
2 Bäume sind überall Trees are everywhere ) ( [ [ ( [ [ ) [ [ ) ( [ ) ( [ ( [ [ ) ( [ ) ( [ ( [ [ ) [ [ ) ( [ ) [ [ ) ( [ ) ( [ ( [ [ ) [ [ ) ( [ Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
3 Über die Motivation Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
4 Über die Motivation M. P. Schützenberger, Harvard Medical School (April 1962): In contrast with the more usual approach, the motivation for this study is purely formal. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
5 Dyck-Sprachen Dyck-Gruppe Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
6 Dyck-Sprachen Dyck-Gruppe F 2 = freie Gruppe über zwei Erzeugern a, b mit a = a 1, b = b 1. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
7 Dyck-Sprachen Dyck-Gruppe F 2 = freie Gruppe über zwei Erzeugern a, b mit a = a 1, b = b 1. Andere Darstellung durch Regeln (Dyck 1882): abc = 1 bca = 1 cab = 1 Dies liefert eine Darstellung der F 2 ohne negative Exponenten. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
8 Dyck-Sprachen Chomsky/Schützenberger (1963): We define the Dyck language... D = {w {a, a, b, b} w ergibt die Eins in F 2 } = symmetrische Dyck-Sprache. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
9 Dyck-Sprachen Chomsky/Schützenberger (1963): We define the Dyck language... D = {w {a, a, b, b} w ergibt die Eins in F 2 } = symmetrische Dyck-Sprache. Bsp.: baabbaab D Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
10 Dyck-Sprachen Chomsky/Schützenberger (1963): We define the Dyck language... D = {w {a, a, b, b} w ergibt die Eins in F 2 } = symmetrische Dyck-Sprache. Bsp.: baabbaab D D 2 = Menge der richtig geklammerten Ausdrücke mit zwei Klammerpaaren: a = [ a = ] b = ( b = ) Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
11 Dyck-Sprachen Chomsky/Schützenberger (1963): We define the Dyck language... D = {w {a, a, b, b} w ergibt die Eins in F 2 } = symmetrische Dyck-Sprache. Bsp.: baabbaab D D 2 = Menge der richtig geklammerten Ausdrücke mit zwei Klammerpaaren: a = [ a = ] b = ( b = ) Bsp.: [[([])([])]] D 2 )[[)] D 2 [(]) D 2 Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
12 Chomsky/Schützenberger Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
13 Chomsky/Schützenberger Jede kontextfreie Sprache ist homomorphes Bild des Durchschnitts einer regulären Sprache mit einer Dyck-Sprache. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
14 Syntaxanalyse Grammatik der deutschen Sprache Satz Subjekt Prädikat Objekt Punkt Subjekt Artikel Attribut Substantiv Objekt Artikel Attribut Substantiv Punkt.. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
15 Syntaxanalyse Grammatik der deutschen Sprache Satz Subjekt Prädikat Objekt Punkt Subjekt Artikel Attribut Substantiv Objekt Artikel Attribut Substantiv Punkt. Beispielableitungen. Satz Der große Hund beißt die kleine Katze. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
16 Syntaxanalyse Grammatik der deutschen Sprache Satz Subjekt Prädikat Objekt Punkt Subjekt Artikel Attribut Substantiv Objekt Artikel Attribut Substantiv Punkt. Beispielableitungen. Satz Der große Hund beißt die kleine Katze. Der erfahrene Linguist liebt einen mehrdeutigen Satz. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
17 Syntaxanalyse Grammatik der deutschen Sprache Satz Subjekt Prädikat Objekt Punkt Subjekt Artikel Attribut Substantiv Objekt Artikel Attribut Substantiv Punkt. Beispielableitungen. Satz Der große Hund beißt die kleine Katze. Der erfahrene Linguist liebt einen mehrdeutigen Satz. Ich sah den Mann auf dem Berg mit dem Fernrohr. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
18 Syntaxanalyse Grammatik der deutschen Sprache Satz Subjekt Prädikat Objekt Punkt Subjekt Artikel Attribut Substantiv Objekt Artikel Attribut Substantiv Punkt. Beispielableitungen. Satz Der große Hund beißt die kleine Katze. Der erfahrene Linguist liebt einen mehrdeutigen Satz. Ich sah den Mann auf dem Berg mit dem Fernrohr. I saw the man on the hill with the telescope. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
19 Ich sah den Mann... Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
20 Ich sah den Mann... und was soll es bedeuten? Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
21 Ich sah den Mann... und was soll es bedeuten? (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) (((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr) (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) 5 Klammerungen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
22 Ich sah den Mann... und was soll es bedeuten? (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) (((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr) (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) 5 Klammerungen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
23 Ich sah den Mann... und was soll es bedeuten? (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) (((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr) (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) 5 Klammerungen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
24 Ich sah den Mann... und was soll es bedeuten? (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) (((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr) (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) 5 Klammerungen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
25 Ich sah den Mann... und was soll es bedeuten? (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) (((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr) (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) 5 Klammerungen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
26 Ich sah den Mann... und was soll es bedeuten? (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) (((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr) (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) 5 Klammerungen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
27 Exponentielle Mehrdeutigkeit 4 Akteure (Ich, Mann, Berg, Fernrohr) Klammerung entspricht vollständigem Binärbaum mit 3 inneren Knoten. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
28 Exponentielle Mehrdeutigkeit 4 Akteure (Ich, Mann, Berg, Fernrohr) Klammerung entspricht vollständigem Binärbaum mit 3 inneren Knoten....,3,4,5,... Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
29 Exponentielle Mehrdeutigkeit 4 Akteure (Ich, Mann, Berg, Fernrohr) Klammerung entspricht vollständigem Binärbaum mit 3 inneren Knoten....,3,4,5,... Anzahl solcher Bäume: C(3) = 5, wobei Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
30 Exponentielle Mehrdeutigkeit 4 Akteure (Ich, Mann, Berg, Fernrohr) Klammerung entspricht vollständigem Binärbaum mit 3 inneren Knoten....,3,4,5,... Anzahl solcher Bäume: C(3) = 5, wobei C(n) = 1 ( ) 2n = n-te Catalansche Zahl n + 1 n 4 n (n + 1) πn Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
31 Exponentielle Mehrdeutigkeit 4 Akteure (Ich, Mann, Berg, Fernrohr) Klammerung entspricht vollständigem Binärbaum mit 3 inneren Knoten....,3,4,5,... Anzahl solcher Bäume: C(3) = 5, wobei C(n) = 1 ( ) 2n = n-te Catalansche Zahl n + 1 n 4 n (n + 1) πn Aufgabe: Finde Satz mit 5 Akteuren ( und 14 verschiedenen Bedeutungen, 14 = C(4) = 1 8 ) 5 4. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
32 Kontextfreie Grammatiken Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
33 Kontextfreie Grammatiken Formalsprachler betrachten Grammatiken G = (V, Σ, S, P ) mit Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
34 Kontextfreie Grammatiken Formalsprachler betrachten Grammatiken G = (V, Σ, S, P ) mit Variablenmenge V = {S, A, B,...} Alphabet Σ = {a, b, c,...} Axiom S V Regelmenge P = {A a,..., A BC,...} Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
35 Kontextfreie Grammatiken Formalsprachler betrachten Grammatiken G = (V, Σ, S, P ) mit Variablenmenge V = {S, A, B,...} Alphabet Σ = {a, b, c,...} Axiom S V Regelmenge P = {A a,..., A BC,...} Dadurch definierte Sprache: L(G) = {w Σ S w} = Wörter, die sich aus S ableiten lassen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
36 Kontextfreie Grammatiken: Beispiel Regelmenge P = {S asa bsb SS ε}. Dann gilt: L(G) = D 2. Ableitung für abbaaa: S a S S a S b S b a S a ε ε Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
37 Syntaxanalyse Es gibt eine schwierigste kontextfreie Sprache: { L 0 = x 1 cy 1 cz 1 d dx n cy n cz n d n 1, y 1 y n /cd 2, x i, z i {a, a, b, b, c, /c} } Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
38 Syntaxanalyse Es gibt eine schwierigste kontextfreie Sprache: { L 0 = x 1 cy 1 cz 1 d dx n cy n cz n d n 1, y 1 y n /cd 2, x i, z i {a, a, b, b, c, /c} } Satz (Sheila Greibach, 1973): Sei ε L und L kontextfrei. Dann gibt es einen Homomorphismus h mit h 1 (L 0 ) = L. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
39 Wortproblem kontextfreier Sprachen Sei G eine kontextfreie Grammatik. Eingabe: w = a 1 a n Σ Frage: w L(G)? Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
40 Wortproblem kontextfreier Sprachen Sei G eine kontextfreie Grammatik. Eingabe: w = a 1 a n Σ Frage: w L(G)? Eingabe: Himmi Herrgott - lu - uuu - iah. Frage: Deutsch? Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
41 Wortproblem kontextfreier Sprachen Sei G eine kontextfreie Grammatik. Eingabe: w = a 1 a n Σ Frage: w L(G)? Eingabe: Himmi Herrgott - lu - uuu - iah. Frage: Deutsch? Lösung: Berechne w 0 = h(w) = h(a 1 ) h(a n ) parallel (oder in linearer Zeit). Dann löse, ob w 0 L 0. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
42 Wortproblem kontextfreier Sprachen Sei G eine kontextfreie Grammatik. Eingabe: w = a 1 a n Σ Frage: w L(G)? Eingabe: Himmi Herrgott - lu - uuu - iah. Frage: Deutsch? Lösung: Berechne w 0 = h(w) = h(a 1 ) h(a n ) parallel (oder in linearer Zeit). Dann löse, ob w 0 L 0. Bemerkung: Kann das Wortproblem für L 0 in Zeit O(n r ) gelöst werden, so auch das Wortproblem für L. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
43 Wortproblem kontextfreier Sprachen Sei G eine kontextfreie Grammatik. Eingabe: w = a 1 a n Σ Frage: w L(G)? Eingabe: Himmi Herrgott - lu - uuu - iah. Frage: Deutsch? Lösung: Berechne w 0 = h(w) = h(a 1 ) h(a n ) parallel (oder in linearer Zeit). Dann löse, ob w 0 L 0. Bemerkung: Kann das Wortproblem für L 0 in Zeit O(n r ) gelöst werden, so auch das Wortproblem für L. Valiant, Strassen: r = log 2 7 2, 81 ist möglich. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
44 Grundidee zum Beweis von Greibach Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
45 Grundidee zum Beweis von Greibach Analyse mit einem Kellerautomaten Samelson/Bauer (1956) Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
46 Grundidee zum Beweis von Greibach Analyse mit einem Kellerautomaten Samelson/Bauer (1956) Greibach-Normalform Greibach (1965) Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
47 Grundidee zum Beweis von Greibach Analyse mit einem Kellerautomaten Samelson/Bauer (1956) Greibach-Normalform Greibach (1965) A a ˆ= read a; pop A h(a) = A A ab ˆ= read a; pop A; push B h(a) = AB A abc ˆ= read a; pop A; push C; push B h(a) = ACB Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
48 abcdef: Ein Beispiel S read a; pop S; push B; push A a A B b C d E F c e f S $ A B $ Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
49 abcdef: Ein Beispiel S a A B read a; pop S; push B; push A read b; pop A; push C b C d E F c e f S $ A B $ C B $ Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
50 abcdef: Ein Beispiel S a A B b C d E F c e f read a; pop S; push B; push A read b; pop A; push C read c; pop C S $ A B $ C B $ B $ Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
51 abcdef: Ein Beispiel S a A B b C d E F c e f read a; pop S; push B; push A read b; pop A; push C read c; pop C read d; pop B; push F ; push E S $ A B $ C B $ B $ E F $ Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
52 abcdef: Ein Beispiel S a A B b C d E F c e f read a; pop S; push B; push A read b; pop A; push C read c; pop C read d; pop B; push F ; push E read e; pop E S $ A B $ C B $ B $ E F $ F $ Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
53 abcdef: Ein Beispiel S a A B b C d E F c e f read a; pop S; push B; push A read b; pop A; push C read c; pop C read d; pop B; push F ; push E read e; pop E read f; pop F S $ A B $ C B $ B $ E F $ F $ $ Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
54 abcdef: Ein Beispiel S a A B b C d E F c e f read a; pop S; push B; push A read b; pop A; push C read c; pop C read d; pop B; push F ; push E read e; pop E read f; pop F S $ A B $ C B $ B $ E F $ F $ $ SBA }{{} a AC }{{} b C }{{} c BF E }{{} d E }{{} e F }{{} f SD 2 (nach Codierung) Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
55 Äquivalenz determ. Kellerautomaten Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
56 Äquivalenz determ. Kellerautomaten In der Praxis benötigen wir schnellere Verfahren Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
57 Äquivalenz determ. Kellerautomaten In der Praxis benötigen wir schnellere Verfahren Analyse mit deterministischen Kellerautomaten. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
58 Äquivalenz determ. Kellerautomaten In der Praxis benötigen wir schnellere Verfahren Analyse mit deterministischen Kellerautomaten. Sei A ein C-Compiler und B eine optimierte Version. Problem: Entscheide, ob L(A) = L(B) gilt. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
59 Äquivalenz determ. Kellerautomaten In der Praxis benötigen wir schnellere Verfahren Analyse mit deterministischen Kellerautomaten. Sei A ein C-Compiler und B eine optimierte Version. Problem: Entscheide, ob L(A) = L(B) gilt. DPDA-Problem: Eingabe: Deterministische Kellerautomaten A und B. Frage: L(A) = L(B)? Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
60 Äquivalenz determ. Kellerautomaten In der Praxis benötigen wir schnellere Verfahren Analyse mit deterministischen Kellerautomaten. Sei A ein C-Compiler und B eine optimierte Version. Problem: Entscheide, ob L(A) = L(B) gilt. DPDA-Problem: Eingabe: Deterministische Kellerautomaten A und B. Frage: L(A) = L(B)? Satz (Géraud Sénizergues, 1997): Das DPDA-Problem ist entscheidbar. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
61 Äquivalenz determ. Kellerautomaten In der Praxis benötigen wir schnellere Verfahren Analyse mit deterministischen Kellerautomaten. Sei A ein C-Compiler und B eine optimierte Version. Problem: Entscheide, ob L(A) = L(B) gilt. DPDA-Problem: Eingabe: Deterministische Kellerautomaten A und B. Frage: L(A) = L(B)? Satz (Géraud Sénizergues, 1997): Das DPDA-Problem ist entscheidbar. Satz (Colin Stirling, 2002): Das DPDA-Problem ist primitiv rekursiv. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
62 Äquivalenz determ. Kellerautomaten In der Praxis benötigen wir schnellere Verfahren Analyse mit deterministischen Kellerautomaten. Sei A ein C-Compiler und B eine optimierte Version. Problem: Entscheide, ob L(A) = L(B) gilt. DPDA-Problem: Eingabe: Deterministische Kellerautomaten A und B. Frage: L(A) = L(B)? Satz (Géraud Sénizergues, 1997): Das DPDA-Problem ist entscheidbar. Satz (Colin Stirling, 2002): Das DPDA-Problem ist primitiv rekursiv. Es reichen also for-schleifen. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
63 Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
64 Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen am Beispiel von Dyck-Sprachen Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
65 Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen am Beispiel von Dyck-Sprachen Mayr/Werchner (1993) Optimal Routing of Parentheses on the Hypercube Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
66 Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen am Beispiel von Dyck-Sprachen Mayr/Werchner (1993) Optimal Routing of Parentheses on the Hypercube Barrington/Corbet (1989): On the relative complexity of some languages in NC 1 Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
67 Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen am Beispiel von Dyck-Sprachen Mayr/Werchner (1993) Optimal Routing of Parentheses on the Hypercube Barrington/Corbet (1989): On the relative complexity of some languages in NC 1 D 2 = Dyck-Sprache mit zwei Klammerpaaren. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
68 Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen Parallele Erkennung kontextfreier Sprachen am Beispiel von Dyck-Sprachen Mayr/Werchner (1993) Optimal Routing of Parentheses on the Hypercube Barrington/Corbet (1989): On the relative complexity of some languages in NC 1 D 2 = Dyck-Sprache mit zwei Klammerpaaren. Ein Dyck-Wort kann als Klammergebirge dargestellt werden: [ ( [ ] ) [ ] ( ) ] Rutishauser s Klammergebirge Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
69 TC 0 -Algorithmus für D 2 Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
70 TC 0 -Algorithmus für D 2 Eine Beschreibung der Wörter in einer Logik. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
71 TC 0 -Algorithmus für D 2 Eine Beschreibung der Wörter in einer Logik. level(i) = Zahl der öffnenden Klammern bis Position i Zahl der schließenden Klammern bis Position i + i {], )}. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
72 TC 0 -Algorithmus für D 2 Eine Beschreibung der Wörter in einer Logik. level(i) = Zahl der öffnenden Klammern bis Position i Zahl der schließenden Klammern bis Position i + i {], )}. w D 2 genau dann, wenn 1. i : level(i) 1 2. level(n) = 1 3. i < j : falls j eine schließende Klammer ist, muss i zu j passen, sofern i und j auf dem selben Level liegen und dazwischen das Level stets höher war. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
73 Komplexitätsklassen AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
74 Komplexitätsklassen AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP D 2 D L 0 Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
75 Komplexitätsklassen AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP D 2 D L 0 Satz: Das Wortproblem für freie Gruppen liegt in LOGSPACE und ist NC 1 -schwierig. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
76 Komplexitätsklassen AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP D 2 D L 0 Satz: Das Wortproblem für freie Gruppen liegt in LOGSPACE und ist NC 1 -schwierig. Methode: F 2 SL(2, Z) GL(n, Q). Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
77 Komplexitätsklassen AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP D 2 D L 0 Satz: Das Wortproblem für freie Gruppen liegt in LOGSPACE und ist NC 1 -schwierig. Methode: F 2 SL(2, Z) GL(n, Q). Satz: Das Wortproblem für die GL(n, Q) kann in LOGSPACE gelöst werden. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
78 Aktuelle Forschung Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
79 Aktuelle Forschung AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP D 2 D L 0 Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
80 Aktuelle Forschung AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP Phase 1: D 2 D L 0 Zeige D NC 1. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
81 Aktuelle Forschung AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP Phase 1: D 2 D L 0 Zeige D NC 1. Phase 2: Zeige D T C 0. Konsequenz: T C 0 = NC 1 Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
82 Aktuelle Forschung AC 0 TC 0 NC 1 LOGSPACE NL SAC 1 NC P NP Phase 1: D 2 D L 0 Zeige D NC 1. Phase 2: Zeige D T C 0. Konsequenz: T C 0 = NC 1 oder alternativ: Zeige D T C 0. Konsequenz: T C 0 NC 1 Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
83 Gruppentheorie und kontextfreie Sprachen D = {w {a, a, b, b} w = 1 in F 2 } Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
84 Gruppentheorie und kontextfreie Sprachen D = {w {a, a, b, b} w = 1 in F 2 } Satz (Muller/Schupp, Dunwoody): Sei h : Σ G ein surjektiver Homomorphismus auf eine Gruppe G. Äquivalent sind: 1. G ist virtuell frei, d.h. G enthält eine freie Untergruppe von endlichem Index. 2. Die Menge der Wörter, die unter h auf die 1 abgebildet werden, ist kontextfrei. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
85 Gruppentheorie und kontextfreie Sprachen D = {w {a, a, b, b} w = 1 in F 2 } Satz (Muller/Schupp, Dunwoody): Sei h : Σ G ein surjektiver Homomorphismus auf eine Gruppe G. Äquivalent sind: 1. G ist virtuell frei, d.h. G enthält eine freie Untergruppe von endlichem Index. 2. Die Menge der Wörter, die unter h auf die 1 abgebildet werden, ist kontextfrei. Satz (Hotz,Valkema): Sei L = L(G) Σ kontextfrei und G reduziert. Dann induziert die Inklusion Σ Σ V einen kanonischen Isomorphismus F (Σ)/(L L) F (Σ V )/P. Insbesondere ist F (Σ)/(L L) endlich präsentiert. Dyck-Sprachen & Syntax-Analyse, TUM, 25. Juni /??
Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive
Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L(G ). Beweis im Beispiel (2.): G = (V,Σ, P, S) : P = {S asbc, S abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc}. (i) G
MehrAlphabet, formale Sprache
n Alphabet Alphabet, formale Sprache l nichtleere endliche Menge von Zeichen ( Buchstaben, Symbole) n Wort über einem Alphabet l endliche Folge von Buchstaben, die auch leer sein kann ( ε leere Wort) l
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 22.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
Mehr2.1 Allgemeines. Was ist eine Sprache? Beispiele:
Was ist eine Sprache? Beispiele: (a) Deutsch, Japanisch, Latein, Esperanto,...: Natürliche Sprachen (b) Pascal, C, Java, Aussagenlogik,...: Formale Sprachen Wie beschreibt man eine Sprache? (i) Syntax
MehrUmformung NTM DTM. Charakterisierung rek. aufz. Spr. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz.
Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz. Satz T5.2.2: Wenn L durch eine Chomsky-0- Grammatik G beschrieben wird, gibt es eine NTM M, die L akzeptiert. Beweis: Algo von M: Schreibe S auf freie Spur. Iteriere: Führe
MehrFormale Sprachen. Script, Kapitel 4. Grammatiken
Formale Sprachen Grammatiken Script, Kapitel 4 erzeugen Sprachen eingeführt von Chomsky zur Beschreibung natürlicher Sprache bedeutend für die Syntaxdefinition und -analyse von Programmiersprachen Automaten
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 23.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 17. Januar 2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 18.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (I) 3.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches 1. Teilklausur: Mittwoch,
MehrEinführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie
Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 07.11.2005 5. Vorlesung 1 Überblick: Kontextfreie Sprachen Formale Grammatik Einführung, Beispiele Formale
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2016 20.04.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
MehrDefinition 4 (Operationen auf Sprachen) Beispiel 5. Seien A, B Σ zwei (formale) Sprachen. Konkatenation: AB = {uv ; u A, v B} A + = n 1 An
Definition 4 (Operationen auf Sprachen) Seien A, B Σ zwei (formale) Sprachen. Konkatenation: AB = {uv ; u A, v B} A 0 = {ɛ}, A n+1 = AA n A = n 0 An A + = n 1 An Beispiel 5 {ab, b}{a, bb} = {aba, abbb,
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 15.01.2015 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 15.01.2015 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik
MehrWas bisher geschah: Formale Sprachen
Was bisher geschah: Formale Sprachen Alphabet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen Darstellung unendlicher Sprachen durch reguläre Ausdrücke (Syntax, Semantik, Äquivalenz)
MehrAutomatentheorie und formale Sprachen
Automatentheorie und formale Sprachen VL 8 Chomsky-Grammatiken Kathrin Hoffmann 23. Mai 2012 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen 23.5. 2012 250 Wortproblem Wortproblem ist das
MehrGrundbegriffe. Grammatiken
Grammatiken Grammatiken in der Informatik sind ähnlich wie Grammatiken für natürliche Sprachen ein Mittel, um alle syntaktisch korrekten Sätze (hier: Wörter) einer Sprache zu erzeugen. Beispiel: Eine vereinfachte
MehrInformatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 5. Vorlesung
Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 5. Vorlesung 09.11.2006 schindel@informatik.uni-freiburg.de 1 Äquivalenzklassen Definition und Beispiel Definition Für eine Sprache L Σ* bezeichnen
MehrTheoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I)
Theoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I) Literatur: Buch zur Vorlesung: Uwe Schöning, Theoretische Informatik - kurzgefasst. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin, 4. Auflage, 2001.
MehrKontextfreie Sprachen
Kontextfreie Sprachen besitzen große Bedeutung im Compilerbau Chomsky-Normalform effiziente Lösung des Wortproblems (CYK-Algorithmus) Grenzen kontextfreier Sprachen (Pumping Lemma) Charakterisierung durch
MehrKontextfreie Sprachen
Kontextfreie Sprachen Bedeutung: Programmiersprachen (Compilerbau) Syntaxbäume Chomsky-Normalform effiziente Lösung des Wortproblems (CYK-Algorithmus) Grenzen kontextfreier Sprachen (Pumping Lemma) Charakterisierung
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (II) 11.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrAutomaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung
Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung Rami Swailem Mathematik Naturwissenschaften und Informatik FH-Gießen-Friedberg Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 2 Altklausur Jäger 2006 8 1 1 Definitionen
MehrFormale Sprachen, Automaten, Compiler
Formale Sprachen, Automaten, Compiler Berufsakademie Lörrach, TIT06-3. Semester Übung 1 -> LÖSUNGSVORSCHLAG ÜA1.1. Die "normalen" Dezimalziffern, also Σ = { 0, 1,..., 9, ist sicher ein Alphabet, aber auch
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (III) 17.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrTheoretische Informatik Mitschrift
Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 139 Unentscheidbarkeit Überblick Zunächst einmal definieren wir formal
MehrInformatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 6. Vorlesung
Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 6. Vorlesung 10.11.2006 schindel@informatik.uni-freiburg.de 1 Kapitel IV Kontextfreie Sprachen Kontextfreie Grammatik Informatik III 6. Vorlesung
MehrKapitel 2: Formale Sprachen Gliederung. 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie
Gliederung 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 2.1. 2.2. Reguläre Sprachen 2.3. Kontextfreie Sprachen 2/1, Folie 1 2015 Prof. Steffen
MehrNormalformen für kontextfreie Grammatiken. Noam CHOMSKY, Sheila GREIBACH. Bäume. Ableitungen in kontextfreien Grammatiken. Grammatik G = (N,T,P,S)
Noam CHOMSKY, Sheila GREIBACH Normalformen für kontextfreie Grammatiken Noam CHOMSKY (*1928 ) Sheila GREIBACH (*1939) Grammatik G = (N,T,P,S) GREIBACH Normalform: A aw, w N* Erweiterte GREIBACH Normalform:
Mehr6 Kontextfreie Grammatiken
6 Kontextfreie Grammatiken Reguläre Grammatiken und damit auch reguläre Ausdrücke bzw. endliche Automaten haben bezüglich ihres Sprachumfangs Grenzen. Diese Grenzen resultieren aus den inschränkungen,
MehrFORMALE SYSTEME. 3. Vorlesung: Endliche Automaten. TU Dresden, 17. Oktober Markus Krötzsch
FORMALE SYSTEME 3. Vorlesung: Endliche Automaten Markus Krötzsch TU Dresden, 17. Oktober 2016 Rückblick Markus Krötzsch, 17. Oktober 2016 Formale Systeme Folie 2 von 31 Wiederholung Mit Grammatiken können
MehrDeterministischer Kellerautomat (DPDA)
Deterministische Kellerautomaten Deterministischer Kellerautomat (DPDA) Definition Ein Septupel M = (Σ,Γ, Z,δ, z 0,#, F) heißt deterministischer Kellerautomat (kurz DPDA), falls gilt: 1 M = (Σ,Γ, Z,δ,
MehrGrammatik Prüfung möglich, ob eine Zeichenfolge zur Sprache gehört oder nicht
Zusammenhang: Formale Sprache Grammatik Formale Sprache kann durch Grammatik beschrieben werden. Zur Sprache L = L(G) gehören nur diejenigen Kombinationen der Zeichen des Eingabealphabets, die durch die
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre
Mehrkontextfreie Grammatiken Theoretische Informatik kontextfreie Grammatiken kontextfreie Grammatiken Rainer Schrader 14. Juli 2009 Gliederung
Theoretische Informatik Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. Juli 2009 1 / 40 2 / 40 Beispiele: Aus den bisher gemachten Überlegungen ergibt sich: aus der Chomsky-Hierarchie bleiben
MehrEin Satz der deutschen Sprache besitzt ein Subjekt, ein Prädikat und ein Objekt (SPO).
1 Grammatiken Autor: Tilman Blumenbach Letzte Änderung: 28. Juni 2012 18:15 Ziel von Grammatiken Wollen die Struktur von Sprachen modellieren und charakterisieren. Beispiel Ein Satz der deutschen Sprache
MehrKapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14
Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen
MehrAufgabentypen: Spickerblatt: kontextfrei (Typ 2): zusätzlich: u ist eine!"# v 1
Info4 Stoff Aufgabentypen: Grammatik CH einordnen NFA DFA Grammatik Chomsky-NF CYK-Algorithmus: Tabelle / Ableitungsbäume Grammatik streng kf. Grammatik Grammatik Pumping Lemma Beweis, dass Gr. nicht reg,
MehrGrundbegriffe der Informatik Tutorium 11
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 11 Tutorium Nr. 32 Philipp Oppermann 29. Januar 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum
Mehr(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen
(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen (siehe auch bei den Aufgaben zu endlichen Automaten) 1) Eine Grammatik G sei gegeben durch: N = {S, A}, T = {a, b, c, d}, P = { (S, Sa), (S, ba), (A, ba), (A, c),
MehrWortproblem für kontextfreie Grammatiken
Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?
MehrKapitel 3: Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie Gliederung
Gliederung 1. Berechenbarkeitstheorie 2. Grundlagen 3. Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie 4. Die Komplexitätsklassen P und NP 5. Die Komplexitätsklassen RP und BPP 3.1. Ressourcenkompression
MehrI.5. Kontextfreie Sprachen
I.5. Kontextfreie prachen Zieht man in Betracht, dass BNF-yteme gerade so beschaffen sind, dass auf der linken eite immer genau ein Nichtterminal steht, so sind das also gerade die Ableitungsregeln einer
MehrInformatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit. Zugangsnummer: 9201
Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit Wiederholung Kapitel 3 und 4 http://pingo.upb.de Zugangsnummer: 9201 Dozent: Jun.-Prof. Dr.
MehrTutoraufgabe 1 (ɛ-produktionen):
Prof aa Dr J Giesl Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Hausaufgaben sollen in Gruppen von je 2 Studierenden aus dem gleichen Tutorium
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie WS 11/12 155 Überblick Zunächst einmal definieren wir formal den Begriff
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 2 Kontextfreie Grammatiken Definition: Eine Grammatik G
MehrWas bisher geschah Chomsky-Hierarchie für Sprachen: L 0 Menge aller durch (beliebige) Grammatiken beschriebenen Sprachen L 1 Menge aller monotonen
Was bisher geschah Chomsky-Hierarchie für Sprachen: L 0 Menge aller durch (beliebige) Grammatiken beschriebenen Sprachen L 1 Menge aller monotonen (Kontextsensitive) Sprachen L 2 Menge aller kontextfreien
MehrUnentscheidbare Grammatik-Probleme
Unentscheidbare Grammatik-Probleme Satz: Für zwei kontextfreie Sprachen L 1 = L(G 1 ), L 2 = L(G 2 ) mit Typ-2-Grammatiken G 1 und G 2 sind die folgenden fünf Probleme unentscheidbar: 1) Leerheit des Schnitts
MehrGrammatiken. Grammatiken sind regelbasierte Kalküle zur Konstruktion von Systemen und Sprachen Überprüfung von Systemen und Sprachen
Grammatiken Grammatiken sind regelbasierte Kalküle zur Konstruktion von Systemen und Sprachen Überprüfung von Systemen und Sprachen Grammatiken eignen sich besonders zur Modellierung beliebig tief geschachtelter,
MehrOperationen auf Grammatiken
Operationen auf Grammatiken Ziel: Normalisierungen, Vereinfachungen, Elimination bestimmter Konstrukte Erzeugen eines Parsers Transformation G 1 G 2 mit L(G 1 ) = L(G 2 ) I.a. Parsebaum 1 (w) Parsebaum
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 16.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Organizatorisches Literatur Motivation und Inhalt Kurzer
MehrFormale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER
Formale Sprachen Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marian KOGLER Grammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind Grammatiken.
MehrEinführung in die Computerlinguistik
Einführung in die Computerlinguistik Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen, Abschlußeigenschaften kontextfreier Sprachen und die Komplexität natürlicher Sprachen Dozentin: Wiebke Petersen WS 2004/2005
MehrIst eine algorithmische Problemstellung lösbar und wenn ja, mit welchen Mitteln? was ist eine algorithmische Problemstellung?
Überblick 1. reguläre Sprachen endliche Automaten (deterministisch vs. nichtdeterministisch) Nichtregularität 2. Berechenbarkeit Registermaschinen/Turingmaschinen Churchsche These Unentscheidbarkeit 3.
MehrEINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK
EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Sommersemester 2012 17. DIE KONTEXTFREIEN SPRACHEN II: ABSCHLUSSEIGENSCHAFTEN, MASCHINENCHARAKTERISIERUNG, KOMPLEXITÄT Theoretische
MehrEndliche Sprachen. Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für
Endliche Sprachen Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für L. 447 Zusammenfassung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen:
MehrTheoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl
Theoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl Bestandteile einer Programmiersprache: a) Syntax (Form): durch kontextfreie Grammatik beschrieben b) Semantik (Bedeutung) 1.) Kontextfreie Sprachen
MehrKontextfreie Grammatiken. Kontextfreie Grammatiken 1 / 45
Kontextfreie Grammatiken Kontextfreie Grammatiken 1 / 45 Was kann man mit kontextfreien Grammatiken anfangen? Kontextfreie Grammatiken, kurz: werden zur Modellierung von KFGs beliebig tief geschachtelten
MehrBerechenbarkeit und Komplexität
Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2010/11 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien und Übungsblätter
MehrChomsky-Grammatiken 16. Chomsky-Grammatiken
Chomsky-Grammatiken 16 Chomsky-Grammatiken Ursprünglich von Chomsky in den 1950er Jahren eingeführt zur Beschreibung natürlicher Sprachen. Enge Verwandschaft zu Automaten Grundlage wichtiger Softwarekomponenten
MehrGrammatiken. Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V. Startsymbol S V. Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S)
Grammatiken Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V Startsymbol S V Produktionen P ( (V Σ) \ Σ ) (V Σ) Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S) Schreibweise für Produktion (α, β) P: α β 67 /
MehrTyp-1-Sprachen. Satz 1 (Kuroda ( ) 1964)
Typ-1-Sprachen Satz 1 (Kuroda (1934-2009) 1964) Eine Sprache L hat Typ 1 (= ist kontextsensitiv) genau dann, wenn sie von einem nichtdeterministischen LBA erkannt wird. Beweis: Sei zunächst L Typ-1-Sprache.
MehrGrundkurs Theoretische Informatik
Gottfried Vossen I Kurt-Ulrich Witt Grundkurs Theoretische Informatik Eine anwendungsbezogene Einführung - Für Studierende in allen Informatik-Studiengängen 5., durchgesehene Auflage Mit 147 Abbildungen
MehrGrundbegriffe der Informatik Tutorium 12
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 12 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 28. Januar 2015 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum
MehrTuringautomaten Jörg Roth Turingautomaten
Turingautomaten Jörg Roth 331 5 Turingautomaten Wir führen nochmals ein neues Automatenmodell ein und erweitern die Fähigkeit, Sprachen zu erkennen: Problem vom Kellerautomaten: wir können zwar beliebig
MehrTheorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie
Theorie der Informatik 17. März 2014 6. Formale Sprachen und Grammatiken Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 6.1 Einführung
Mehr1. Der Begriff Informatik 2. Syntax und Semantik von Programmiersprachen. I.2. I.2. Grundlagen von von Programmiersprachen.
1. Der Begriff Informatik 2. Syntax und Semantik von Programmiersprachen I.2. I.2. Grundlagen von von Programmiersprachen. - 1 - 1. Der Begriff Informatik "Informatik" = Kunstwort aus Information und Mathematik
MehrReguläre Sprachen. R. Stiebe: Theoretische Informatik für ING-IF und Lehrer,
Reguläre Sprachen Reguläre Sprachen (Typ-3-Sprachen) haben große Bedeutung in Textverarbeitung und Programmierung (z.b. lexikalische Analyse) besitzen für viele Entscheidungsprobleme effiziente Algorithmen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
MehrAufgabe Mögliche Punkte Erreichte Punkte a b c d Σ a b c d Σ x1 13
Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 2003/04 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 14. April 2004 2. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004 Hier Aufkleber
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik
MehrTheoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt
Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt Reguläre Sprachen Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius stefan.milius@fau.de Theoretische Informatik Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg
MehrEinführung in die Logik
Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3
MehrFormale Sprachen und Automaten: Tutorium Nr. 8
Formale Sprachen und Automaten: Tutorium Nr. 8 15. Juni 2013 Übersicht 1 Nachtrag 2 Besprechung von Übungsblatt 7 Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 3 CFG PDA Definitionen Ein Beispiel! Aufgabe 4 Der PDA als
MehrÜbungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten
Universität Freiburg PD Dr. A. Jakoby Sommer 27 Übungen zum Repetitorium Informatik III Übungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten. Untersuchen Sie das folgende Spiel: A B x x 2 x 3 C D Eine Murmel
MehrAbschluss gegen Substitution. Wiederholung. Beispiel. Abschluss gegen Substitution
Wiederholung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen: DFAs NFAs Reguläre Ausdrücke:, {ε}, {a}, und deren Verknüpfung mit + (Vereinigung), (Konkatenation) und * (kleenescher Abschluss) Abschluss gegen
Mehr8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen
8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen Turingmaschinen (TM) von A. Turing vorgeschlagen, um den Begriff der Berechenbarkeit formal zu präzisieren. Intuitiv: statt des Stacks bei Kellerautomaten
MehrTeil V. Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie
Teil V Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ α, β (Σ V ),
MehrGrammatiken und die Chomsky-Hierarchie
Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Def.: Eine Grammatik G=(Σ,V,S,R) besteht aus endlichem Alphabet Σ endlicher Variablenmenge V mit V Σ= Startsymbol SєV endlicher Menge R с (V Σ) + x(v Σ)* von Ableitungsregeln
MehrKlausuraufgaben. 1. Wir betrachten die folgende Sprache über dem Alphabet {a, b}
Klausuraufgaben 1. Wir betrachten die folgende Sprache über dem Alphabet {a, b} L = {a n b m n > 0, m > 0, n m} a) Ist L kontextfrei? Wenn ja, geben Sie eine kontextfreie Grammatik für L an. Wenn nein,
MehrGrundlagen der Informatik II
Grundlagen der Informatik II Dr.-Ing. Sven Hellbach S. Hellbach Grundlagen der Informatik II Abbildungen entnommen aus: Dirk W. Hoffmann: Theoretische Informatik; Hanser Verlag 2011, ISBN: 978-3-446-42854-6
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (V) 15.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrÜbungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 7 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im W 16/17 Ausgabe 17. Januar 2017 Abgabe 31. Januar 2017, 11:00 Uhr (im
MehrDank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Reguläre Ausdrücke als Suchmuster für grep
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
Mehr1 Automatentheorie und Formale Sprachen
Sanders: TGI October 29, 2015 1 1 Automatentheorie und Formale Sprachen 1.1 Allgemeines Sanders: TGI October 29, 2015 2 Beispiel: Arithmetische Ausdrücke:EXPR Σ={1,a,+,,,(,)} a ist Platzhalter für Konstanten
MehrAutomaten, Spiele, und Logik
Automaten, Spiele, und Logik Woche 2 25. April 2014 Inhalt der heutigen Vorlesung 1. Reguläre Ausdrücke 2. der Satz von Kleene 3. Brzozowski Methode 4. grep und perl Reguläre Ausdrücke Rekursive Definition,
MehrEndliche Automaten, reguläre Ausdrücke, rechtslineare Grammatiken
1 / 15 Endliche Automaten, reguläre Ausdrücke, rechtslineare Grammatiken Prof. Dr. Hans Kleine Büning FG Wissensbasierte Systeme WS 08/09 2 / 15 Deterministischer endlicher Automat (DEA) Definition 1:
MehrFormale Sprachen. Grammatiken. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marion OSWALD. Grammatiken: Ableitung
Formale Sprachen rammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marion OSWALD rammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind rammatiken.
MehrMusterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14
Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Musterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 23/4 Vorname Nachname Matrikelnummer Hinweise Für die
MehrKapitel IV Formale Sprachen und Grammatiken
Kapitel IV Formale Sprachen und Grammatiken 1. Begriffe und Notationen Sei Σ ein (endliches) Alphabet. Dann Definition 42 1 ist Σ das Monoid über Σ, d.h. die Menge aller endlichen Wörter über Σ; 2 ist
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
Automaten und formale prachen Notizen zu den Folien 10 Kontextfreie Grammatiken Beispiele für kontextfreien Grammatiken ei Σ = {a, b}. Beispiel 1 (Folie 233, oben) Geben ie eine kontextfreie Grammatik
MehrCompiler. Kapitel. Syntaktische Analyse. Kapitel 4. Folie: 1. Syntaktische Analyse. Autor: Aho et al.
Folie: 1 Kapitel 4 Übersicht Übersicht Syntax: Definition 4 syn-tax: the way in which words are put together to form phrases, clauses, or sentences. Webster's Dictionary Die Syntax (griechisch σύνταξις
MehrTHIA - Übungsblatt 2.
THIA - Übungsblatt 2. Aufgabe 12 (Eine einfache Sprache). Endliche Ziffernfolgen, die mit einer 0 beginnen, auf die mindestens eine weitere Ziffer folgt, wobei nur die Ziffern 0,..., 7 vorkommen, sollen
MehrFormale Sprachen und Grammatiken
Formale Sprachen und Grammatiken Jede Sprache besitzt die Aspekte Semantik (Bedeutung) und Syntax (formaler Aufbau). Die zulässige und korrekte Form der Wörter und Sätze einer Sprache wird durch die Syntax
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2011
Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik Sommersemester 2011 Dr. Sander Bruggink Übungsleitung: Jan Stückrath Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 1 Wir beschäftigen uns ab
MehrTeil 4: Grammatiken und Syntaxanalyse. (Kapitel T5-T7)
Teil 4: Grammatiken und Syntaxanalyse (Kapitel T5-T7) Grammatiken und die Chomsky- Hierarchie [T5.1] Ziel: Regelsysteme zur Erzeugung von Sprachen. Beispiel: arithmetische Ausdrücke können definiert werden
MehrTheoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen
Prof. Dr. F. Otto 26.09.2011 Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universität Kassel Klausur zur Vorlesung Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen SS 2011 Name:................................
MehrSoftware Engineering Ergänzung zur Vorlesung
Ergänzung zur Vorlesung Prof. Dr. Markus Müller-Olm WS 2008 2009 2.6.1 Endliche und reguläre Sprachen Endliche und reguläre Sprache: fundamental in vielen Bereichen der Informatik: theorie Formale Sprachen
MehrAbschluss unter Operationen
Abschluss unter Operationen Definition Definition: Es seien L eine Menge von Sprachen und τ eine n-stellige Operation, die über Sprachen definiert ist. Dann heißt L abgeschlossen unter τ, wenn für beliebige
Mehr