Einführung: Kaum Theorie, aber viel Training. Mehr Theorie in Zusätzliche Aufgabensammlung in 34021

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Alfred Müller
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1 STOCHASTIK Binomialverteilung Einführung: Kaum Theorie, aber viel Training Mehr Theorie in 3402 Zusätzliche Aufgabensammlung in 3402 Ausführliche Erklärung des Einsatzes dreier Rechner: Grafikrechner: CASIO fx 980 CAS-Rechner: CASIO ClassPad II TI Nspire CAS Datei Nr Umgeschrieben: Stand: 20. Oktober 203 Text deutlich geändert! DEMO für Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 340 Binomialverteilung 2 Inhalt Binomialverteilung - Einführung 3. Das Experiment Ziehen ohne/mit Zurücklegen Zufallsvariable 3 Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm 4.2 Das Glücksrad ganz ausführliche Berechnung mittels Kombinatorik.3 Andere Beispiele kurze Berechnung mit TR 9 (a) Würfeln 9 (b) Defekte Schrauben finden 0 (c) Münze werfen (d) Spielkarten ziehen 2 2 Binomialverteilung Theorie und Formeln 3 Berechnung einer kompletten Wertetafel für BinomialPDf () mit TI Nspire CAS 5 (2) mit CASIO ClassPad (3) mit dem GTR CASIO FX-980 (o.ä.) 9 3 Binomialverteilung Musterbeispiele 20 4 Verteilungsfunktion für die Binomialverteilung Berechnung von Intervall-Wahrscheinlichkeiten Hintergrund einer Verteilungsfunktion 2 Histogramm 27 5 Weiteres Training Binomialverteilung Berechnung von Intervall-Wahrscheinlichkeiten 28 () Weniger als / Höchstens 28 (2) Mindestens / Mehr als 30 (3) Von bis / Zwischen Umfangreichere Anwendungsaufgaben 35 Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen Wiederholung (Vom Mittelwert zum Erwartungswert) Erwartungswert bei der Binomialverteilung 43 DEMO für 7 Anhang: Arbeiten mit Tabellen zur Binomialverteilung 44 Hinweis: Die Dreimal-Mindestens-Aufgabe wird im Text 30 besprochen

340 Binomialverteilung 24 4 Die Verteilungsfunktion für die Binomialverteilung 4.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man unter fünfzig überprüften Schrauben A: höchstens 2 B: weniger als 5 C: mehr als 5 aber höchstens 8 D: mehr als 3 E: mindestens 7 nicht als Menge von

X ist binomial verteilt mit p def = 0, (0% sind defekt). Definitionsbereich für X: 0;;...;49 ;50 D=.

Ereignis A: Man findet höchstens 2 defekte Schrauben: X 2: Zugehörige Ereignismenge: A 0;;2 Wahrscheinlichkeit: P A P X 2 P X 0 P X P X 2 Für solche Summen enthalten die modernen Rechner die

3 340 Binomialverteilung 24 4 Die Verteilungsfunktion für die Binomialverteilung 4. Berechnung von Intervall-Wahrscheinlichkeiten Einführungs-Beispiel (b) Eine Maschine stellt Schrauben her und produziert dabei mit 0 % relativer Häufigkeit fehlerhafte Schrauben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man unter fünfzig überprüften Schrauben A: höchstens 2 B: weniger als 5 C: mehr als 5 aber höchstens 8 D: mehr als 3 E: mindestens 7 nicht als Menge von Ereignissen, defekte findet? Zuerst MUSS man eine Zufallsvariable definieren und dazu diesen Pflichttext schreiben: Wissen: Es sei X die Anzahl der defekten Schrauben unter 50 ausgewählten. X ist binomial verteilt mit p def = 0, (0% sind defekt). Definitionsbereich für X: 0;;...;49 ;50 D=. binomial verteilt heißt, dass man die Wahrscheinlichkeiten für X mittels der Binomialverteilung berechnet. Jedes der drei genannten Ereignisse lässt sich durch eine Ungleichung beschreiben. Ereignis A: Man findet höchstens 2 defekte Schrauben: X 2: Zugehörige Ereignismenge: A 0;;2 Wahrscheinlichkeit: P A P X 2 P X 0 P X P X 2 Für solche Summen enthalten die modernen Rechner die binomiale Verteilungsfunktion. Diese heißt binomialcdf (bei CASIO) oder binomcdf (bei TI Nspire). CASIO: Menü: Interaktiv Verteilungen (diskret) binomialcdf50 TI Nspire: Menü: Wahrscheinlichkeit Verteilungen BinomialCdf: Klarstellung: Ein Ereignis ist die Menge der dazu gehörenden Ergebnisse. Also eine Ergebnismenge. Gebräuchlich ist aber auch der Begriff Ereignismenge, sondern als die zu einem Ereignis gehörende Menge von Ergebnissen. DEMO für Ergebnis: P A P X 2 0,7 Merke: Die Funktion BinomialCDf berechnet die Summe der Wahrscheinlichkeiten von a (unterer Wert) bis b (oberer Wert).

340 Binomialverteilung 25 Ereignis B: Man findet weniger als 5 defekte Schrauben: X 5: Ereignismenge: B 0;;2; 3; 4 B kann man auch so beschreiben: Man findet höchstens

Berechnung: CASIO ClassPad: TI Nspire: Ergebnis: Hinweis: Ereignis C: P X 5 P X 4 0,432 Man beachte, dass jeder Hersteller die Reihenfolge der Parameter selbst

Man findet mehr als 5 aber höchstens 8 defekte Schrauben: Jetzt verwendet man eine Doppelungleichung: 5 X 8: Oder besser so: X 8 Ergebnismenge: C ;7;8 Berechnung:

..;50 Ergebnismenge: Ereignis E: Man findet mindestens 7 defekte Schrauben: X 7 E 7;8;.

4 340 Binomialverteilung 25 Ereignis B: Man findet weniger als 5 defekte Schrauben: X 5: Ereignismenge: B 0;;2; 3; 4 B kann man auch so beschreiben: Man findet höchstens 4 defekte Schrauben: X 4. Berechnung: CASIO ClassPad: TI Nspire: Ergebnis: Hinweis: Ereignis C: P X 5 P X 4 0,432 Man beachte, dass jeder Hersteller die Reihenfolge der Parameter selbst festlegen kann: CASIO: (von, bis, n, p) TI: (n, p, von, bis) Die Anzahl der angezeigten Dezimalstellen kann man selbst im Rechner einstellen. Man findet mehr als 5 aber höchstens 8 defekte Schrauben: Jetzt verwendet man eine Doppelungleichung: 5 X 8: Oder besser so: X 8 Ergebnismenge: C ;7;8 Berechnung: CASIO ClassPad: TI Nspire: Ergebnis: P 5 X 8 P X 8 0,320 Ereignis D: Man findet mehr als 3 defekte Schrauben: X 3 D 4;5;...;50 Ergebnismenge: Ereignis E: Man findet mindestens 7 defekte Schrauben: X 7 E 7;8;...;50 Ergebnismenge: Berechnungen: CASIO ClassPad: TI Nspire: DEMO für HINWEIS: Einfachere oder ältere Rechner haben möglicherweise nicht die Möglichkeit, für die Verteilungsfunktion eine untere Schranke einzugeben, sie verwenden stets dafür die Zahl 0. Dann muss man im Beispiel C so vorgehen: PC P X 8 PX 8 PX 5 Von der Wahrscheinlichkeit für die Werte 0;;2;3;4;5;;7;8 subtrahiert man die Wahrscheinlichkeit für die Zahlen, die nicht zu C gehören, also von 0;;2;3;4;5.

5 340 Binomialverteilung Hintergrund einer Verteilungsfunktion Die Binomialverteilung dient der Berechnung einzelner Werte: P X x Beispiel: Beim Würfeln tritt jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit auf. 5 Beim Experiment 5-mal Würfeln erhält man also mit p eine Eins, und mit p 2 keine Eins. Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl X der geworfenen Einsen kann man mit der Binomialverteilung berechnen: 5 5 P X 0 0, P X 4 0, P X 2 0, P X 3 0, P X 4 0, P X 5 0,000 Rechner verwenden die Bezeichnung PDf. Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung berechnet üblicherweise die Summe der P X x P 0 X x Wahrscheinlichkeiten von 0 bis x: Man kann also aus obiger Tabelle berechnen: P X 0 P X 0 0,409 P X P X 0 P X 0,409 0,409 0,8038 P X 2 P X 0 P X P X 2 0,8038 0,08 0, P X 5 P X 0... P X 5!!! (Abweichungen ergeben sich durch Addition gerundeter Werte.) DEMO für Neue Rechner verwenden die Verteilungsfunktion, für die man die Abkürzung CDf verwendet, auch schon für untere Grenzen, die größer als 0 sind.

6 340 Binomialverteilung 27 Das Diagramm für die Binomialverteilung nennt man in dieser Form ein Stabdiagramm. Es besteht aus Stäben, von denen der letzte so kurz ist, dass man ihn nur noch als Punkt darstellen kann. Schaubilder für Verteilungsfunktionen stellt man oft als Treppenkurven dar. P X 0,8038 ist dann eine horizontale Strecke von x = bis vor x = 2. Bei x = 2 springt die Treppe zum nächsten Wert 0,945, usw. Diese Werte wachsen durch die fortgesetzte Aufsummierung an bis sie den Wert erreichen. Bei großem n sind die letzten Einzelwerte der Binomialverteilung in der Regel sehr klein, so dass der kumulierte Wert schon viel früher als angezeigt wird. DEMO für

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man höchstens 5 Einsen bzw. höchstens 20 Einsen? X sei die Zahl der Einsen. X ist binomial verteilt mit p.

7 340 Binomialverteilung 28 5 Training Binomialverteilung Siehe auch Text 3402 Aufgabensammlung zur Binomialverteilung 5. Training zur Berechnung von Intervall-Wahrscheinlichkeiten () Weniger als / Höchstens - Aufgaben Beispiel 7a (Zugehöriges 7b folgt später) Mit einem idealen Würfel wird 00-mal gewürfelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man höchstens 5 Einsen bzw. höchstens 20 Einsen? X sei die Zahl der Einsen. X ist binomial verteilt mit p. Beispiel 8a B P X 5 F 5,00, 0,0004 P X 20 F 20,00, 0,848 B Bei einem Test gibt es pro Frage 3 mögliche Antworten. Ein Prüfling kreuzt nur durch Raten an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er von 24 Fragen weniger als ein Viertel richtig? X sei die Zahl der richtig angekreuzten Fragen. X ist binomial verteilt mit p. P X P X 5 F 5,24, 0,38 B 3 Ergebnis: Mit 3,8% Wahrscheinlichkeit hat er nur 0 bis 5 Richtige angekreuzt. Beispiel 9a Beim Verpacken von Eiern gehen immer wieder einige zu Bruch. Die Erfahrung zeigt, dass in einer Zwölfer-Packung durchschnittlich ein Ei beschädigt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Schachtel mit 2 Eiern a) kein beschädigtes Ei? b) weniger als 2 beschädigte Eier? c) weniger als 4 beschädigte Eier? DEMO für Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei beschädigt ist, ist. Es sei X die Zahl der beschädigten Eier in 2 einer 2er-Packung. X ist binomial verteilt. 2 a) 2 B 2 b) B 2 c) P X 0 f 0,2, 0,352 P X 2 P X F,2, 0,73 P X 4 P X 3 F 3,2, 0,98 B 2 3

8 340 Binomialverteilung 29 Aufgabe 0 30 % der Personen in Schieldorf sind Linkshänder. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man dort unter 0 Testpersonen a) genau 3 Linkshänder? b) höchstens 5 Linkshänder? c) weniger als 4 Linkshänder? X sei die Anzahl der Linkshänder. X ist binomial verteilt mit p = 0,3. a) P X 3 f 3;0;0,3 0,27 d. h. etwa 27%. b) B P X 5 F 5 0;0,3 0,953 d. h. etwa 95%. B ; c) P X 4 P X 3 F 3;0;0,3 0,50 d. h. etwa 5%. B DEMO für

9 340 Binomialverteilung 30 (2) Mindestens Aufgaben / Mehr als - Aufgaben Mit der zuvor besprochenen Verteilungsfunktion kann man auch diese Aufgaben erledigen. Dazu muss man auf das Gegenereignis umschalten und die Höchstens-Aufgabe verwenden. Merke: X 4 (mehr als 4) ist das Gegenteil von X 4 (höchstens 4) Also gilt: P X 4 P X 4 X 5 (mindestens 5) ist das Gegenteil von X 4 (höchstens 4) Beispiel c Also gilt: P X 5 P X 4 (a Seite 38 und b Seite 39 gehören dazu) Eine Maschine stellt Schrauben her und produziert dabei mit 5 % relativer Häufigkeit fehlerhafte Schrauben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, a) dass unter zehn überprüften Schrauben mehr als 2 defekt sind? b) dass unter zwanzig überprüften Schrauben mindestens 2 defekt sind. DEMO für

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