Strom und Magnetismus. Musterlösungen. Andreas Waeber Ohmsche Widerstände I: Der Widerstand von Draht A beträgt mit r A = 0, 5mm

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1 Strom und Magnetismus Musterlösungen Andreas Waeber Elektrischer Strom. Strahlungsheizer: U=5V, P=50W a) P = U = P = 0, 9A U b) R = U = 0, 6Ω c) Mit t=3600s: E = P t = 4, 5MJ. Ohmsche Widerstände : Der Widerstand von Draht A beträgt mit r A = 0, 5mm R A = σ el ra Der Widerstand von Draht B errechnet sich analog mit r B,i = 0, 5mm und r B,a =, 0mm R B = σ el (r B,a r B,i ) Damit beträgt der Quotient R A R B = r B,a r B,i r A = 3 3. Ohmsche Widerstände : d = mm, d = 0, 5mm, ϱ Eisen = 8, Ωm a) Wir betrachten den Draht als eine Reihenschaltung innitesimaler Widerstände dr = dx ϱ Eisen. Der Querschnitt bei der änge x ist A(x) = A(x) 4 (d(x)) = (d 4 + d d x). Um den Gesamtwiderstand zu bestimmen, summieren wir nun über die gesamte Drahtlänge : R = 4ϱ Eisen = 4ϱ Eisen (d + d d 0 x) dx = (d + d d d d x) 0 = 4ϱ Eisen d d

2 Einsetzen der Zahlenwerte liefert R = 0, 44Ω. b)bei einer Spannung U=V ieÿt ein Strom = U =, 5A. Die Gesamtleistung R P = U =, 5W verteilt sich dabei allerdings nicht gleichmäÿig auf die eiterlänge. Mit dp = dr ergibt sich für die eistung pro innitesimalem ängenstück dp (x) dx = ϱ Eisen A(x) 4. Entladung eines Kondensators: Bei der Entladung eines Kondensators gilt für die Spannung U = U 0 e t RC Umstellen der Formel liefert die Kapazität: C = t R ln U 0 U =, 9mF Die Zeitkonstante ist ganz einfach τ = RC = 95s. Die ursprüngliche adung auf der Kondensatorplatte berechnet sich aus Q 0 = C U 0 = 0, 38C 5. Widerstandsnetzwerk: Wenn wir zwischen M und A eine Spannung anlegen, sehen wir direkt, dass zwischen den unteren Ecken des Dreiecks keine Potentialdierenz auftritt. Der untere Widerstand kann also weggelassen werden. Die anderen Widerstände lassen sich entsprechend dem Ersatzschaltbild rechts umstellen. Damit beträgt der Gesamtwiderstand R Ges = R + R + R = R R Ges = R Analog lässt sich auch der Gesamtwiderstand zwischen je zwei Ecken des Dreiecks zu R bestimmen.

3 6. Widerstandsnetzwerk : Wir legen in beiden Maschen die Stromrichtung so fest, dass der Strom im Gegenuhrzeigersinn ieÿen soll. Nach der Maschenregel gilt dann für die obere Masche U U U 3 R = 0 und für die untere Masche U R = 0 Damit lässt sich der Strom durch die Widerstände einfach durch Umstellen der Gleichungen bestimmen. Es ergibt sich = 0, 05A und = 0, 06A. Wenn Φ b das Potential am Punkt b ist, gilt für das Potential an Punkt a, dass Φ a = Φ b + U 3 + U ist. Die Potentialdierenz beträgt folglich Φ = Φ a Φ b = 9V. 7. Widerstandsnetzwerk : Bei der Festlegung der Stromrichtung wählen wir für beide Maschen die technische Stromrichtung. n der linken Masche bewegt sich der Strom also im Urzeigersinn, in der rechten Masche im Gegenuhrzeigersinn. a) Nach der Knotenregel gilt somit für die Ströme, die sich im oberen Knoten treen = 0 Nach der Maschenregel gilt zudem U + R R = 0 U + R + R = 0 ösen des Gleichungssystems ergibt = 5 A von oben nach unten, 9 = 3A von 9 rechts nach links und 3 = 8 A von links nach rechts. Die Rate mit der Energie in 9 Wärme umgewandelt wird ist die eistung P = R. Für die drei Widerstände ergibt sich P = 0, 346W, P = 0, 050W, P 3 = 0, 709W. b) Die eistung der Batterien ist gleich ihrer jeweiligen Spannung mal der Stromstärke in der eigenen Masche, also P B = U 3 =, 6W und P B = U = 0, 57W. Batterie wird also aufgeladen. Statische Magnetfelder 8. Hohlzylinder: Nach Ampere gilt Bd s = µ A 0. Dabei entspricht dem Strom, der durch die geschlossene Fläche ieÿt, über deren Rand integriert wird. Da der Zylinder symmetrisch zu seiner Mittelachse ist, integrieren wir über einen Kreisrand, so dass die linke Seite stets Bd s = r B ist. Der eingeschlossene Strom ist im Hohlraum 0, A auÿerhalb des Zylinders und im Zwischenbereich (r) = r a. Damit ist die Feldstärke b a 0 r a µ B(r) = 0 a (r (b ) a < r b a ) r b < r 3

4 9. Gebogener eiter: Nach Biot-Savart gilt B( r ) = µ 0 4 s ê d s. Da wir das r Magnetfeld im Ursprung suchen, folgt direkt, dass die geraden eiterstücke nichts zu diesem Feld beitragen können, da dort ê d s ist und das Kreuzprodukt folglich verschwindet. Die Berechnung der Feldstärke, die durch den Halbkreis vervorgerufen wird, ist aber analog zur kreisförmigen Schleife aus der Vorlesung; wir integrieren abschlieÿend lediglich von o bis statt von 0 bis. Das Feld im Ursprung beträgt also B(0) = µ 0 4R êz 0. Kraft auf i-onen: Für die durch das elektrischen Feld verursachte Kraft gilt: F C = Eq Für die vom Magnetfeld verursachte Kraft gilt: F = qvb sin α, wobei sin α =, da α = 90 Das Gleichsetzen beider Kräfte liefert E = qvb = vb.die Geschwindigkeit q E v lässt sich aus der kinetischen Energie E kin der onen berechnen: v = kin. E m kin ergibt sich aus der durchlaufenen Potentialdierenz zu E kin = Uq = 0keV. Die Feldstärke ergibt sich letztlich zu E = 6, V. m. Kraft auf eiter: Gemäÿ der Vorlesung ist F = ( B). Damit gilt für die Beträge F = B sin α. Der gesuchte Winkel beträgt also α = arcsin( F ) = 4, 8 B. Parallele Drähte: Die Kraft auf einen eiter ist F = ( B). Das Magnetfeld, das auf den einen eiter wirkt, ist gerade jenes, welches der andere eiter im Abstand a hervorruft. Das Magnetfeld eines eiters ist aber B = µ 0. Folglich ergibt sich für r die Kraft von Draht auf Draht F = ( µ 0 r êφ) = µ 0 (ê φ ê z ) r Die Kraft pro ängeneinheit ist folglich F = µ 0 r êr) Da actio gleich reactio ist die Kraft von Draht auf Draht betragsmäÿig gleich. Für unseren Fall, dass die Ströme parallel ieÿen, ist dies eine anziehende Kraft, für antiparallele Ströme wirkt die Kraft abstoÿend. 3. Dipolmoment: Das magnetische Dipolmoment ist p m = p m (0, 6ê x 0, 8ê y ) mit p = A = 4, 0mA. a) Damit ist das Drehmoment D = p m B = p m (0, 6ê x 0, 8ê y ) (0, 5ê x + 0, 3ê z ) = p m [ 0, 4ê x 0, 8ê y + 0, ê z ]. b) Die potentielle Energie beträgt E p ot = p m B = p m (0, 6ê x 0, 8ê y ) (0, 5ê x + 0, 3ê z ) = 0, 5p m = 6, J 4

5 4. Hall-Eekt: Es gilt im Gleichgewicht F = F C : qv D B = qe = q U H b bv D B = U H v D = U H bb =, 0 4 m s Die adungsträgerdichte berechnen wir über die Stromstärke. x sei die änge des Metallstreifens: = dq dt = n q A dx dt n = = n q b d v D q b d v D = 5, m 3 5