Teil VII. Deskriptive Statistik. Woche 5: Deskriptive Statistik. Arbeitsschritte der Datenanalyse. Lernziele

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1 Woche 5: Deskriptive Statistik Teil VII Patric Müller Deskriptive Statistik ETHZ WBL 17/19, Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 2 / 31 WBL 2017 Lernziele Arbeitsschritte der Datenanalyse Sie können Kenngrössen von Stichproben berechnen, auf Papier und mit R: arithmetisches Mittel, empirische Standardabweichung und Varianz, Median, Quantile... die empirische Korrelation zweier Grössen mit Hilfe verschiedener Kennzahlen berechnen... die Unterschide der empirischen Kenngrössen zu den entsprechenden Kennzahlen bei Zufallsvariablen nennen... Plots zeichnen und lesen, die eine numerische Stichprobe visualisieren: Histogramm, Boxplot, empirische kumulative Verteilungsfunktion, Dichtekurve... Vor- und Nachteile der obenstehenden Plots benennen. Vorlesung basiert auf Kapitel 4.3 des Skripts. Modell generieren Daten messen Daten inspizieren statistische Inferenz Interpretation Wahrscheinlichkeitsrechnung deskriptive Statistik beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeit und Statistik 3 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 4 / 31 WBL 2017

2 Deskriptive und beurteilende Statistik Von Modellen zu Daten Deskriptive Statistik Überblick über Datensätze Verteilungen visualisieren auffällige Eigenschaften finden Verteilungen mit wenigen Kenngrössen beschreiben Beurteilende Statistik aus Daten Schlüsse ziehen Parameter schätzen Hypothesen testen Bisher probabilistische Modelle betrachtet. Rest des Kurses: Analyse von Daten, die von realen System erzeugt wurden. Im Folgenden nehmen wir an, x 1, x 2,..., x n seien n Messungen derselben Grösse. Übliche Annahme: n unabhängige Messungen von gleicher Wahrscheinlichkeitsverteilung. Formal: Modell: Stichprobe: X 1, X 2,..., X n i.i.d. F X ( ), x 1, x 2,..., x n i.i.d.: independent and identically distributed, unabhängig und identisch verteilt. Wahrscheinlichkeit und Statistik 5 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 6 / 31 WBL 2017 Kenngrössen für eine einzelne Stichprobe Deskriptive Statistik für eine einzelne Stichprobe Mittelwert empirische Varianz und Standardabweichung empirischer Median empirische Quantile Beispieldatensatz: Aktivitätsniveau von Monoamine-Oxidase (MAO) in 18 Patienten mit einem gewissen Typ Schizophrenie. Messwerte x 1 bis x 18. MAO: Enzym, das vermutlich das Verhalten beeinflusst, und dessen Aktivität durch Schizophrenie beeinträchtigt sein kann. Eine gute Gewohnheit ist es, die Daten immer zuerst anzuschauen, das heisst die Daten zu plotten! (Quelle: Potkin et al. (1978)) Wahrscheinlichkeit und Statistik 7 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 8 / 31 WBL 2017

3 Mittelwert (arithmetisches Mittel) Empirische Varianz Arithmetisches Mittel: x = x x n = 1 n n n R-Funktion: mean Arithmetisches Mittel ist ein konsistenter Schätzer für den Erwartungswert µ = E(X ): X = 1 n x i n X i µ wenn n Arithmetisches Mittel ist erwartungstreu (engl. unbiased ): x Empirische Varianz: sx 2 = 1 n (x i x) 2 (s x : n 1 empirische Standardabweichung) R-Funktionen: var, sd Empirische Varianz ist ein konsistenter Schätzer für σ 2 = Var(X ): s 2 x σ 2 wenn n Empirische Varianz ist erwartungstreu: E(s 2 x ) = σ 2 x + s x x x s x E(X ) = µ Wahrscheinlichkeit und Statistik 9 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 10 / 31 WBL 2017 Empirischer Median Mittelwert und Median: Vergleich Empirischer Median: Wert, der grösser (oder gleich) ist als die Hälfte der Datenpunkte kleiner (oder gleich) ist als die andere Hälfte der Datenpunkte Berechnung: Messwerte ordnen x (1) x (2)... x (n). Median: { x m = ((n+1)/2), für n ungerade, 1 2 (x (n/2) + x (n/2+1) ), sonst R-Funktion: median x m xm mx mx m x Median ist robust, Mittelwert nicht! Wahrscheinlichkeit und Statistik 11 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 12 / 31 WBL 2017

4 Quantile Graphische Darstellungen einer einzelnen Stichprobe Verallgemeinerung des Konzepts des Medians. Empirisches α-quantil: Wert q α, der grösser (oder gleich) ist als (α n) Messwerte, und kleiner (oder gleich) ist als (1 α) n Messwerte Berechnung (Beispiel): Daten sortieren: x (1) x (2)... x (n) Falls α (n 1) eine ganze Zahl ist, ist q α = x (α(n 1)+1) ; ansonsten interpoliert man q α zwischen x ( α(n 1) +1) und x ( α(n 1) +1) Die Berechnung in der Literatur ist nicht einheitlich! R-Funktion: quantile... und weitere 8 (!) verschiedene Algorithmen. Boxplot Histogramm Empirische kumulative Verteilungsfunktion später: Q-Q (Quantil-Quantil)-Plot Wahrscheinlichkeit und Statistik 13 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 14 / 31 WBL 2017 Boxplot Boxplot R-Funktion: boxplot Ausreisser Grösster normaler Messwert Oberes Quartil q 0.75 Median Unteres Quartil q 0.25 Kleinster normaler Messwert Ausreisser Interquartilsabstand IQR ( interquartile range ) IQR = q 0.75 q 0.25 Normale Messwerte : Messwerte, die nicht mehr als 1.5 IQR von den Quartilen entfernt sind Wahrscheinlichkeit und Statistik 15 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 16 / 31 WBL 2017

5 Histogramm Histogramm: Wahl der Intervall-Breite Histogram of x 20 Bereich der gemessenen Werte wird in Intervalle (c k 1, c k ] unterteilt Bsp.: c k = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 Anzahl Messwerte in jedem Intervall zählen: h k := #{i x i (c k 1, c k ]} Bsp.: h k = 2, 5, 4, 3, 1, 2, 0, 1 Über Intervall (c k 1, c k ] Dichte h k einzeichnen (oder n(c k c k 1 ) absolute Häufigkeiten h k ) Wie wählen wir die Intervall-Breite eines Histogramms? Intervalle Intervalle Intervalle Intervalle Herumspielen, oder R automatisch wählen lassen Wahrscheinlichkeit und Statistik 17 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 18 / 31 WBL 2017 Histogramm für bimodale Verteilung Nichtparametrische Dichteschätzung Achtung: schlecht gewählte Intervall-Breite kann Eigenschaften (hier: Bimodalität) verschleiern! Nachteile von Histogrammen Darstellungsqualität stark von Histogrammbreite abhängig Sprünge der geschätzten Wahrscheinlichkeitsdichte an Intervallgrenzen unrealistisch Alternative: nichtparametrische Dichteschätzung Verbesserungen gegenüber Histogramm: Datenpunkte nicht in vordefiniertem Intervall zählen, sondern in sliding window Punkte in der Mitte des sliding window mehr Gewicht geben als Punkte am Rand Wahrscheinlichkeit und Statistik 19 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 20 / 31 WBL 2017

6 Kerndichteschätzer Wahl der Bandbreite Gegeben: Messwerte x 1, x 2,..., x n Kerndichteschätzer für Dichte der erzeugenden Verteilung ist ˆf (x) = 1 nh n ( ) x xi K ; h K heisst Kern und kann eine beliebige, symmetrische Wahrscheinlichkeitsdichte sein. Häufig verwendet: Rechteck-Kern: K ist Dichte der uniformen Verteilung auf [ 1 2, 1 2 ]; gibt allen Datenpunkten in [x h, x + h] gleiches Gewicht Gauss-Kern: K ist Dichte der Standard-Normalverteilung; gibt Punkten, die weit von x entfernt sind, weniger Gewicht Die Bandbreite h hat grossen Einfluss auf die Schätzung. Eine kleine Bandbreite lässt die Schätzung stark oszillieren. Grosse Bandbreite flacht die Schätzung ab. Automatische Bandbreitenwahl in R (Funktion density). Wahrscheinlichkeit und Statistik 21 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 22 / 31 WBL 2017 Beispiel: Kerndichteschätzer für RNA-Expressionsdaten Vergleich verschiedener Darstellungsmethoden Histogramm, Kerndichteschätzer und Boxplot für bimodale Stichprobe: Boxplot verschleiert Bimodalität vollständig! Wahrscheinlichkeit und Statistik 23 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 24 / 31 WBL 2017

7 Empirische kumulative Verteilungsfunktion Verschiedene Darstellungen einer bimodalen Stichprobe Zur Erinnerung: kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist definiert als F X (x) = P(X x) Empirische kumulative Verteilungsfunktion einer Stichprobe x 1, x 2,..., x n : ˆF (x) = #{k x k x} n Fn(x) Fn(x) Wahrscheinlichkeit und Statistik 25 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 26 / 31 WBL 2017 Deskriptive Statistik für mehrere Messgrössen Pearsons Korrelationskoeffizient I Streudiagramm: (Pearsons) Korrelationskoeffizient: NO 2 (µ g m 3 ) In R: r = s xy s x s y [ 1, 1], s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i y) > cor(no2$no2, no2$temp) Pearsons Korrelationskoeffizient misst die lineare Beziehung zwischen 2 Stichproben {x i } and {y i }: r = +1 falls y i = a + bx i für eine reelle Zahl b > 0 r = 1 falls y i = a + bx i für eine reelle Zahl b < 0 Achtung: verschiedene nichtlineare Abhängigkeiten können zum selben Korrelationskoeffizienten führen! Temp ( C) [1] Wahrscheinlichkeit und Statistik 27 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 28 / 31 WBL 2017

8 Pearsons Korrelationskoeffizient II Rangkorrelation Streudiagramme verschiedener simulierter Datensätze und ihr Korrelationskoeffizient Quelle: (Spearman) Rangkorrelationskoeffizient: Alternative zu Pearsons Korrelationskoeffizient Misst, wie monoton der Zusammenhang zwischen zwei Stichproben ist Misst auch nichtlineare Zusammenhänge Robust gegen Ausreisser Berechnung: Ränge k i der Datenpunkte x 1, x 2,..., x n berechnen: kleinster Messwert hat Rang 1, zweitkleinster Rang 2, etc. Ränge li der Datenpunkt y 1, y 2,..., y n berechnen Spearsons Rangkorrelationskoeffizient: ρ = rkl (d.h., Pearsons Korrelationskoeffizient zwischen k i und l i ) In R: > cor(no2$no2, no2$temp, method = "spearman") [1] Wahrscheinlichkeit und Statistik 29 / 31 WBL 2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik 30 / 31 WBL 2017 Literatur Steven G Potkin, H Eleanor Cannon, Dennis L Murphy, and Richard Jed Wyatt. Are paranoid schizophrenics biologically different from other schizophrenics? New England Journal of Medicine, 298(2):61 66, Wahrscheinlichkeit und Statistik 31 / 31 WBL 2017

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