Kapitel 2 Kontinuierliche Systemmodelle (II)

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1 Mechatronische Modellierung Elemente und Simulation und Systeme II mechatronischer Teil Systeme B () Kapitel Kontinuierliche Systemmodelle (II) 6. Anwendungsbeispiele 7. Zustandsraumdarstellung 6. Anwendungsbeispiele 6. Rotierende Schwungmasse Physikal. Ersatzmodell: Zählrichtungen! a M M Freikörperbild Parameter: J 6 kgm Schwungmasse (Massenträgheitsmoment J bzgl. Achse a) Interessierende Größe: Winkelgeschwindigkeit / Drehzahl Eingangsgröße (bekann: Angreifende Drehmomente M und M Bewegungsgleichung: Drallbilanz (hier skalar, da nur ein Freiheitsgrad): d d D J J M M J = const. Vereinfachung: Da hier nur Winkelgeschwindigkeit interessant, kann durch ersetzt werden: J M M SoSe 07 58

2 Rotierende Schwungmasse: Signalfluss-orientiertes Modell I Auflösen der Gleichung nach Ableitung(en) der Zustandsgröße(n): M M M : 00 Nm M : 0 J Simulink-Blockschaltbild: Simulationsergebnis: / s Übung t / s SoSe Rotierende Schwungmasse: Signalfluss-orientiertes Modell II Modifikation: Drehzahlabhängige Momente z.b.: M Lastmoment Viskose Reibung (geschw.proportional) M Antriebsmoment Gleichstrommotor (fremderreg Verbrennungsmotor Simulink- Blockschaltbild: SoSe 07 60

3 Rotierende Schwungmasse: Signalfluss-orientiertes Modell III Modifikation: Drehzahlabhängige Momente z.b.: M Lastmoment Viskose Reibung (geschw.proportional) M Antriebsmoment Gleichstrommotor (fremderreg Verbrennungsmotor Simulationsergebnis: (M von Gl.str.-M.) / s SoSe 07 6 t / s Rotierende Schwungmasse: Signalfluss-orientiertes Modell IV Modifikation: Drehzahlabhängige Momente z.b.: M Lastmoment Viskose Reibung (geschw.proportional) M Antriebsmoment Gleichstrommotor (fremderreg Verbrennungsmotor Simulationsergebnis: (M von Verbr.-M.) / s Neue Anfangs- Drehzahl! SoSe 07 6 t / s 3

4 Rotierende Schwungmasse: Objekt-orientiertes Modell I Modelica-Objektdiagramm: SoSe Rotierende Schwungmasse: Objekt-orientiertes Modell II Zugehöriger Modelica-Text: model Schwungmasse Modelica.Mechanics.Rotational.Inertia Schwungmasse(phi_start=0, w_start=00, J=6) annotation (extent=[-8,6;,-4]); Modelica.Mechanics.Rotational.Torque M "Antriebsmoment" annotation (extent=[-58,-8; -30,0]); Modelica.Mechanics.Rotational.Torque M "Antriebsmoment" annotation (extent=[60,-8; 34,0]); Modelica.Blocks.Sources.Constant Signal_M(k=00) annotation (extent=[-98,-6; -74,8]); Modelica.Blocks.Sources.Constant Signal_M(k=0) annotation (extent=[98,-6; 74,8]); annotation (Diagram, experiment(stoptime=0, Algorithm="Dassl"), experimentsetupoutpu; Verknüpfungen (setzen an den Knotenpunkten equation Potentialvariablen gleich, summieren Flussvariablen zu 0) connect(schwungmasse.flange_b, M.flange_b) annotation (points=[,6; 8,6; 8,6; 34,6], style(color=0, rgbcolor={0,0,0})); connect(m.flange_b, Schwungmasse.flange_a) annotation (points=[-30,6; -4,6; -4,6; -8,6], style(color=0, rgbcolor={0,0,0})); connect(signal_m.y, M.tau) annotation (points=[7.8,6; 67.7,6; 67.7,6; 6.6, 6], style(color=74, rgbcolor={0,0,7})); connect(signal_m.y, M.tau) annotation (points=[-7.8,6; -66.8,6; -66.8,6; -60.8,6], style(color=74, rgbcolor={0,0,7})); end Schwungmasse; Instanziierungen (inkl. Parameterbelegungen, grafische Angaben, ) Modell-Einstellungen (hier nur Solver-Einstellungen) SoSe

5 Rotierende Schwungmasse: Objekt-orientiertes Modell III Verwendete Modellklassen: Icon Modelica-Text model Inertia "D-rotational component with inertia"... parameter SI.Inertia J(min=0)= "Moment of inertia";... equation w = der(phi); a = der(w); J*a = flange_a.tau + flange_b.tau; end Inertia; model Torque "Input signal acting as external torque..." equation flange_b.tau = -tau; end Torque; Spezifiziert spezielle Modellklasse, deren Schnittstellen vorgegebene Ein-/Ausgangskauslität haben müssen. block Constant "Generate constant signal of type Real" parameter Real k= "Constant output value"; extends Interfaces.SO; equation y = k; end Constant; SoSe Rotierende Schwungmasse: Objekt-orientiertes Modell IV Darstellung der drehzahlabhängigen Momente: durch Signalfluss-orientierte Ergänzung (in Modelica ebenfalls möglich): durch Objekt-orientierte Ergänzung: Übung SoSe

6 Anwendungsbeispiel 6. Kupplungsvorgang Physikal. Ersatzmodell: a r a r i M Reibscheiben Anpresskraft F K M R M R Reibmomente J 3 3 ( ra ri ) M R FK 3 ( ra r i ) J M Parameter: kgm 5 kgm 00s J r i 0,m F K 5000N (0) J r a 0,5 m 0,3 (0) 0 Ausgangsgrößen: Winkelgeschwindigkeiten beim Kupplungsvorgang, Eingangsgrößen: Drehmomente M, M Bewegungsgleichungen: Drallbilanzen: J M M R J M R M SoSe Kupplungsvorgang: Signalfluss-orientiertes Modell I Auflösen nach Ableitungen: M M R J M R M J Simulink-Blockschaltbild (nur gültig, solange, d.h. während Reibvorgang): Übung Erweitertes Simulink-Blockschaltbild (für, d.h. während und nach Reibvorgang): Übung SoSe

7 Kupplungsvorgang: Signalfluss-orientiertes Modell II Simulationsergebnis: / s Knickpunkt beider Linien t / s Übung Frage: Was passiert, wenn die Anpresskraft verringert wird? SoSe Kupplungsvorgang: Objekt-orientiertes Modell Übung SoSe

8 7. Zustandsraumdarstellung Ausgangslage (Wdh.): Mathematische Modelle kontinuierlicher dynamischer Systeme bestehen aus verkoppelten Differentialgleichungen (DGl) und DAG-System algebraischen Gleichungen (AGl) Ziel der Zustandsraumdarstellung: Einheitliche Darstellungsform für kontinuierliche dynamische Systeme, d.h. standardisierte Form für lineare und nichtlineare DGl-Systeme, unabhängig von physikalischer Herkunft der Systeme (Mechanik, Thermodynamik, Elektrotechnik) SoSe 07 7 Zustandsraumdarstellung: Vorgehensweise Schritt : Festlegen der Zustandsgrößen x i Alle zeitveränderlichen Größen, die im DAG-System in der. Ableitung auftreten ( Speichervariablen ) In höherer Ableitung auftretende zeitveränd. Größen werden durch Einführung zusätzlicher Zustandsgrößen in Ableitungen. Ordnung überführt. Eingangsgrößen u j Alle unabhängigen zeitveränderlichen Größen. Ausgangsgrößen y k Alle abhängigen interessierenden Größen, die in algebraischer Beziehung zu Zustandsgrößen stehen. SoSe

9 Zustandsraumdarstellung: Vorgehensweise Schritt : Aufstellen der Zustandsdifferentialgleichungen: x f( x,, xn, u,, u p ) x n T T Zust.vekto r x Eingangsvektor u f ( x,, x n n, u,, u p ) Voraussetzung: Auflösbarkeit nach x i Ausgangsgleichungen: y g ( x,, x, u,, u y q x spannt n-dimensionalen Zustandsraum auf. n: Systemordnung (= Anzahl unabhängiger Speicher im System) q n g ( x,, x n, u,, u p p ) ) SoSe Lineares / linearisiertes Zustandsraummodell Ist das DAG-System linear in x,, x n, x,, x n und u,,u p, so lässt es sich in Matrixform mit konstanten Systemmatrizen A, B, C, D schreiben: x ( A x( B u( y( C x( D u( Schritt 3: Ein nicht-lineares DAG-System kann in der Nähe eines Arbeitspunktes R linearisiert werden: x( A x( B u( x( : x( xr u( : u( ur y( C x( D u( y( : y( yr mit SoSe

10 Zustandsraumdarstellung: Beispiel Elektrisches Netzwerk (I) Ausgangsgröße i( u R Eingangsgröße u( i i u C DAE-System: i i i Ri i t u C d duc i u i C R C uc di R i L di u u Ri L Gesucht: Lineares Zustandsraummodell () () (3) SoSe Zustandsraumdarstellung: Beispiel Elektrisches Netzwerk (II) Schritt : Festlegen der Zustandsgrößen: ( ZG, da Speicher: Kondensator, Spule) Eingangsgröße: Ausgangsgröße: Schritt : Aufstellen der x u C x i u u y i SoSe Aus (): Aus (3): Aus (): Zustandsdifferentialgleichungen (linear, in Matrixform): x 0 R C x RC R u x x 0 L L Ausgangsgleichung: x y u R R x T Cc A Dd Bb du u R C u R C C C di R i u L L u u y i i C i R 0

11 Aus: L. Litz, Grundlagen der Automatisierungstechnik Aus: L. Litz, Grundlagen der Automatisierungstechnik Zustandsraumdarstellung: Beispiel Verladebrücke (I) Interessierende Größe: Greiferlage Vorgebbare Antriebskraft Differential-algebraisches Gleichungssystem: (DGl) (DGl) (AGl) SoSe Zustandsraumdarstellung: Beispiel Verladebrücke (II) Schritt : Festlegen der Zustandsgrößen: Eingangsgröße: Ausgangsgrößen: x s x 4 K s K x3 x u f y s G DAG-System: () () (3) (4) (5) Vorbereitung auf Schritt : Eliminieren von x 4 in () und x in () Aus (): in (): in (): SoSe 07 78

12 Aus: L. Litz, Grundlagen der Automatisierungstechnik Zustandsraumdarstellung: Beispiel Verladebrücke (III) Schritt : Aufstellen der Zustandsdifferentialgleichungen: Ausgangsgleichung: SoSe Zustandsraumdarstellung: Beispiel Verladebrücke (III) Aufgabe: Stellen Sie ein linearisiertes Zustandsraummodell der Verladebrücke auf. Der Arbeitspunkt sei x R = (0, 0, 0, 0) T ; u R = 0; y R = 0. SoSe 07 80

13 Zusammenfassung und Lernkontrolle Anwendung: Vorgehensweise bei der Modellierung in Matlab / Simulink verstanden haben Prinzipielles Vorgehen bei der Modellierung in Dymola / Modelica verstanden haben Zustandsraumdarstellung: Ziel und Vorgehen verstanden haben Schritt : Festlegen der Zustandsgrößen x i, Eingangsgrößen u j, Ausgangsgrößen y k Schritt : Aufstellen der Zustandsgleichungen, Ausgangsgleichungen Bei nichtlinearem Modell, falls erforderlich, Schritt 3: Linearisierung der Zustands- und Ausgangsgleichungen SoSe